【配套K12】八年级数学下册《一元一次不等式和一元一次不等式组》知识点归纳北师大版
八年级数学下册《一元一次不等式和一元一次不等式组》知识点归纳北师大版
一元一次不等式和一元一次不等式组
一、不等关系
一般地,用符号""连接的式子叫做不等式.
要区别方程与不等式:方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.
准确"翻译"不等式,正确理解"非负数"、"不小于"等数学术语.
非负数大于等于00和正数不小于0
非正数小于等于00和负数不大于0
二、不等式的基本性质
掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:
不等式的两边加上同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.
不等式的两边都乘以同一个正数,不等号的方向不变,即
如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,.
不等式的两边都乘以同一个负数,不等号的方向改变,即:
如果a>b,并且cb,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是
正数,那么a>b;
如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;
如果a
即:
a>ba-b>0
a=ba-b=0
aa-bb
列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:
①审:认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如"大于"、"小于"、"不大于"、"不小于"等含义;
②设:设出适当的未知数;
③列:根据题中的不等关系,列出不等式;
④解:解出所列的不等式的解集;
⑤答:写出答案,并检验答案是否符合题意.
五、一元一次不等式与一次函数
六、一元一次不等式组
定义:由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.
一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说
这个不等式组无解.
几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.
解一元一次不等式组的步骤:
分别求出不等式组中各个不等式的解集;
利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.
两个一元一次不等式组的解集的四种情况。
八下知识点-第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
第一章一元一次不等式与一元一次不等式组【思维导图】【知识点】一、不等关系1. 不等式的概念一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做，如x＞3. 像x≠3这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
2. 列不等式（1）常用的不等关系：①x是正数，则；②x是负数，则；③x是非负数，则；④x是非正数，则；⑤x大于y，则；⑥x不小于y，则。
1. 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向；2. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向；3. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向。
4. 利用不等式的基本性质把不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式三、不等式的解集1. 不等式解集的相关概念（1）不等式的解：把是不等式成立的未知数的值，叫做不等式的。
不等式的解是一个具体的。
（2）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的，组成这个不等式的。
不等式的解集是一个，包含不等式的 .2. 不等式的解集在数轴上的表示四、一元一次不等式1. 一元一次不等式不等式的左右两边都是，只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，像这样的不等式叫做一元一次不等式。
2. 一元一次不等式的解法基本思想：运用不等式的基本性质，将不等式变形为x＞a（或x≥a）或x＜a（或x≤a）的形式，即得一元一般步骤：（1） （根据不等式的基本性质2或3）； （2） （根据去括号法则）； （3） （根据不等式的基本性质1）； （4） （根据合并同类项法则）； （5） （根据不等式的基本性质2或3）拓展延伸：解一元一次不等式与解一元一次不等式方程步骤大体一致，但需特别注意 和 的问题。
3. 列一元一次不等式解决实际问题 解题步骤：（1）审：认真审题，分清已知量，未知量之间的关系，要抓住题设的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等，并要准确理解它们的含义。
（2）设：设出适当的未知数。
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式。
北师大版八年级下册第二章：一元一次不等式和一元一次不等式组专题四【一元一次不等式】知识点总结+经典例
第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专题四：一元一次不等式知识点一：认识一元一次不等式例1：下列各式中，哪些是一元一次不等式？哪些不是？试说明理由。
（1）2x y；（2）x22x 10；（3）（4）--11x (x 1) 32x1x 132；挑战自我，勇攀高分1、判断下列式子是否是一元一次不等式：（是的打√，否的打x ）（1）7>4()（2）3x≥2x+1()（3）2x0()（4）x+y>1()（5）x2+3>2x()知识点二：解一元一次不等式与含字母系数的一元一次不等式的解法例1：解下列不等式（1）2x 1x 2(x 1)2（2）1 323（3）2x 1x 3232（4）2x－3－3x－2－3>2例2：解不等式2x 1（3x 1）132，并将解集在数轴上表示出来。
例3：已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是（A．a＞0B．a＞1C．a＜0D．a＜1）例4：若|a﹣5|﹣5+a=0，则a的取值范围是（）A．a≤5B．a＜5C．a≥5D．a＞5例5：已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围例6：关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示，则a的取值是（）A、0B、－3C、－2D、－1-2-1 0 1例7：解关于x的不等式（3a1)x3a2ax 3挑战自我，勇攀高分1.解下列一元一次不等式（1）x 12（2）(x1)2（3）23x 2＋x（4）3[x2(x2)]x 3(x2)2.二次根式2x4有意义，求x的取值范围。
3.x321成立，则x的取值范围是____________。
4.已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＞1C．a＜0D．a＜15.已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（）A．x＞3B．x＜3C．x＞﹣3D．x＜﹣36.已知y满足不等式﹣y＞2+，化简|y+1|+|2y﹣1|的结果是（）A．﹣3y B．3y C．y D．﹣y+27.当2(k 3)10k3时，求关于x的不等式k(x 5)4x k的解集。
北师版八年级下册数学第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组 一元一次不等式组
知1－讲
感悟新知
例1 下列各不等式组，其中是一元一次不等式组的有
__③__④__⑤__．(填序号)
知1－练
① xy＞＋22；＜3 x，
②
x2＋1＞2 x＜1；
x，
③
（2 x－1）＞3x， x≤－2；
④
72－x－x＜8≤5；7－x，⑤
x－1＞0， 2x＋3＜0， ⑥ x－4＞2 x－1；
在同一数轴上分别表示出不等式①、②的解集.
公共部分
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
这个不等式组的解集为3≤x＜5.
感悟新知
知2－讲
注意： 在数轴上表示不等式的解集时应注意： 大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点， 无等号的画空心圆圈.
感悟新知
例2 利用数轴求下列不等式组的解集．
知2－练
C．5D．4
知3－练
C
感悟新知
4. 不等式组的解32－x集＋x在4数0，0轴上表示正确的是(
)
知3－练
D
感;5，)则关于x的不等式组的4x整－－数2mx
0，知3－练 0
B
A．1个B．2个
C．3个D．4个
感悟新知
知3－练
6. 若关于x的一元一次不等式组 2x－1 3( x－2)，
然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组 的解集，如果没有公共部分，那么这个不等式组无解．这 种方法体现了数形结合思想，既直观又明了，易于掌握． (2)口诀法：“同大取大”“同小取小”“大小小大中间 找”“大大小小无处找”，该方法便于记忆．
感悟新知
例3 关___于__x_的__不－. 等3 式组的解xx＞＞集mm是－＋x12，＞－1，则m＝
感悟新知
专题02 一元一次不等式和一元一次不等式组【知识梳理】八年级数学下学期期中专项复习(北师大版)
专题02 一元一次不等式和一元一次不等式组【知识梳理】【知识梳理】一、不等式1、不等式的概念：用不等号“>”、“<”、“≤”或“≥”表示的关系式，叫做不等式．2、不等式的性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或用一个含字母的式子，不等号的方向不变．即：如果a>b，那么a + m>b + m；如果a<b，那么a + m <b + m．3、不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．即：已知m> 0，如果a>b，那么am>bm（或a bm m>）；如果a<b，那么am <bm（或a bm m<）．4、不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．即：已知m< 0，如果a>b，那么am<bm（或a bm m<）；如果a<b，那么am >bm（或a bm m>）．二、一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不为零的不等式，称为一元一次不等式．解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成ax b>（或ax b<等）的形式（其中0a≠）；（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．三、一元一次不等式组1.一元一次不等式组：有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．2、不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．3、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组．4、解一元一次不等式组的一般步骤：（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．【考点剖析】1.不等式的概念 ><≥≤≠⎧⎪>≥≠⎧⎨⎨⎪<≤⎩⎩不等关系大于大于或等于不(1)概念：用不等号“”、“”、“”、“”、“”表示的式子；； 表示“”或“”小于不等于小于小于； 表；(2)常见不等号：； 表示“”或”不大于“或等于 2.不等式的基本性质 1;002;.3;.a b a b a b a b am bm m m a ba b a m m bm m m m m m ⎧⎪>⇒>⎪⎪>⇒±±>>><<⎨⎪⎪>⇒⎪⎩<(1)不等式的基本性质：(2)不等式的基本性质：且(3)不等式的基本性质：且 3.一元一次不等式的解法 (0);ax b a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩>≠(1)不等式的解：能使不等式成立的；(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的，组成这个不等式的解集；(3)解不等式：求不等式解集的过程；(4)解一元一次不等式未知数的值所有解去分母去括号移项未知数的系的步骤：；；；化成两边同除以数.① ②③④⑤ 4.一元一次不等式组 (1)(2),;;;(3)x a x x a x a x a x a a b x b x b x b x b x a b b ><<>⎧⎧⎧⎧>⎨⎨⎨⎨><>><⎩⎩<<<⎩⎩同一个未知数几个一元一次不等式公定义：关于的合在一起组成一个元一次不等式组；解集：各个不等式的解集的叫这个一元一次不等式组的解集； 设的解集的解集的解集的解集；解法：一般步骤求各不等式的；在表示各不等式解集； 共部分无解解 确集轴上定数 ①②③⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩各不等式解集的.公共部分。
第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组
知识点 解一元一次不等式组
将不足40只的鸡放入若干个笼中,若每个笼里放4只,
则有一只鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有一笼无
鸡可放,且最后一笼不足3只.设有x个笼子,
可列出不等式组:
4x+1>5(x-2), 4x+1<5(x-2)+3.
知识点 不等式的基本性质
运用不等式基本性质3时不要忘记改变不等 号的方向.
第二章一元一次不等式与 一元一次不等式组
3 不等式的解集
知识点 不等式的解和解集
宝岛台湾是中国的一个省,不等式的解和解集的关 系就如同台湾省和中华人民共和国的关系一样,不 等式的解是不等式解集的一部分.
知识点 不等式的解和解集
知识点 列不等式表示不等关系
表示不等关系时,千万不要忽略“相等”的可能性.
第二章一元一次不等式与 一元一次不等式组
2 不等式的基本性质
知识点 不等式的基本性质
在如图所示的天平的左右两个质量分别为a和b的 托盘里面添加相同质量为c的砝码,左右两个天平 的不等关系依然不会发生变化. 其过程可以表示为:如果a>b,那么a+c>b+c.
知识点 一元一次不等式与一次函数
用一次函数图象确定一元一次不等式的解集时,容易 把交点的纵坐标当成不等式的解集.
知识点 一元一次不等式和一次函数的综合应用
某图书馆开展两种方式的租书业务:一种是使用会员卡,另一种
是使用租书卡,使用这两种卡租书,租书金额y(元)与租书时间 x(天)之间的关系如图所示.
第二章一元一次不等式与 一元一次不等式组
4 一元一次不等式
知识点 一元一次不等式的定义
北师大版八年级数学下册《一元一次不等式和一元一次不等式组——不等式的基本性质》教学PPT课件(3篇)
如果a＞b，c＜0，那么ac _﹤___bc（或
a＜b cc
）
练一练
1.设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等
式的哪一条基本性质. （1） a - 3__＞__b - 3； 不等式的性质1 （2） a÷3_＞___b÷3 不等式的性质2 （3） 0.1a_＞___0.1b; 不等式的性质2
（4） -4a_＜___-4b
不等式的 基本性质1
→
如果a>b，那
么a+c>b+c，
应 用 性
a-c>b-c
质
不等式 的基本
性质
不等式基 本性质2
→
如果 a b, c 0, 那么ac bc, a b
cc
对 不 等
式
不等式基 本性质3
→
如果 a b,c 0,
那么ac
bc,
a c
b c
简 单 变
形
第二章 一元一次不等式与 一元一次不等式组
归纳总结
不等式性质1：不等式两边都加（或减）同一个数 （或式子），不等号的方向不变.
如果a>b，那么a+c>b+c，a－c>b－c.
小组活动：先确定一个不等式，仿照等式的基本性质2， 在不等式的两边都乘同一个数，看结果有何特点.
例如：3＜5
则3×2___＜___5×2；
3×
1 2
__＜____5×
不等式的性质3
（5） 2a+3_＞___2b+3; 不等式的性质1,2 （6）(m2+1)a__＞__ (m2+1)b(m为常数) 不等式的性质2
2.已知a＜0，用“＜”“＞”填空： (1)a+2 _＜___2； (2)a-1 __＜___-1； (3)3a___＜___0； (4) a __＞____0;
北师大版八年级数学下册第二章一元一次不等式和一元一次不等式组复习课件
知识梳理
（2）解法步骤：①去分母；②去括号；③移项；④ 合并同类项；⑤未知数的系数化为1. 3. 一元一次不等式与一次函数 （1）用一次函数的图象确定一元一次不等式 ax+b>0（或ax+b<0）的解集 要确定ax+b>0（或ax+b<0）的解集，可以利用一次 函数y=ax+b在直角坐标系中的图象. 根据x轴上方图 象上的点的纵坐标_大__于____0，x轴下方图象上的点 的纵坐标_小__于____0，
2. 不等式
的解集是（ A ）
A. x≤4
B. x≥4
C. x≤-1
D. x≥-1
3. 不等式6-4x≥3x-8的非负整数解为（ B ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
4. 关于x的不等式x-b＞0恰有两个负整数解，则b的取
值范围是（ D ）
A. -3＜b＜-2
B. -3＜b≤-2
C. -3≤b≤-2
易错点
正解：设购买甲型号的机器为x台，则乙种型号的机 器为（6-x）台, 依题意,得14x+10（6-x）≤68.解得 x≤2.∵x≥0，且x为整数，∴x=0，x=1或x=2. ∴该公司共有三种购买方案如下. 方案一甲种机器0台，则购买乙种机器6台； 方案二甲种机器1台，则购买乙种机器5台； 方案三甲种机器2台，则购买乙种机器4台.
D. -3≤b＜-2
二、填空题
5. 不等式
的解集是__x_>_-_3___.
6. 不等式5x-3＜3x+5的最大整数解是__3___.
7. 不等式
的解集为x＞1，则m的值为
__4___.
8. 已知实数x,y满足2x-3y=4，并且x≥-1，y＜2，现有
八年级数学下册一元一次不等式和一元一次不等式组知识点归纳北师大版.docx
3、不等式的解集在数轴上的表示:
用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:
①边界:有等号的是ห้องสมุดไป่ตู้心圆圈,无等号的是空心圆圈;
②方向:大向右,小向左
四、一元一次不等式:
1、 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.
(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即
如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, .
(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:
如果a>b,并且c<0,那么ac
2、比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式)
一般地:
如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;
非负数<===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0
非正数<===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0
二、不等式的基本性质
1、掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:
(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:
如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.
如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;
如果a
即:
a>b <===> a-b>0
a=b <===> a-b=0
a a-b<0
一元一次不等式和一元一次不等式组讲义
一元一次不等式和一元一次不等式组知识点一：不等式1、 不等式的基本性质性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。
若a>b ，则a+c>b+c （a-c>b-c ）。
性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。
若a>b 且c>0，则ac>bc 。
性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
若a>b 且c<0，则ac<bc 。
2、同解不等式：如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式。
知识点二：一元一次不等式1、定义：像276x x -<，39x ≤等只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的标准形式： 0ax b +>（0a ≠）或0ax b +<（0a ≠）。
3、一元一次不等式组的解集确定：若a>b则（1）当⎩⎨⎧>>b x a x 时，则a x >，即“大大取大” （2）当⎩⎨⎧<<bx a x 时，则b x <，即“小小取小”（3）当⎩⎨⎧><b x a x 时，则a x b <<，即“大小小大取中间”（4）当⎩⎨⎧<>b x a x 时，则无解，即“大大小小取不了” 知识点三：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。
如：， 。
要点诠释： 在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。
知识点四：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。
八年级下册数学一元一次不等式与一元一次不等式组知识点总结
一元一次不等式与一元一次不等式组是初中数学中的一个重要知识点，以下是该知识点的主要内容以及学习方法和应用：
一、定义：
1. 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，可以用不等号连接的整式方程。
2. 一元一次不等式组：由几个一元一次不等式组成的方程组。
二、解题步骤：
1. 分别解每个不等式；
2. 找出解集的规律；
3. 画出数轴；
4. 根据数轴写出不等式组的解集。
三、注意事项：
1. 解不等式时要根据不等式的性质，不能丢三落四；
2. 解不等式组时要根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到的原则。
四、应用：
不等式与不等式组可以应用于日常生活、工程问题、经济问题等领域，帮助我们解决实际问题。
例如，在购物时我们可以用不等式比较不同商品的价格，或者在工程问题中用不等式表示某些量的范围等。
五、练习方法：
1. 课本例题练习：通过解决课本例题来加深对一元一次不等式与一元一次不等式组的理解；
2. 课后习题练习：通过解决课后习题来巩固知识点；
3. 自测练习：自己出题并解答，以加深对知识点的掌握；
4. 专题练习：针对某一知识点进行专题练习，以加深对该知识点的理解和掌握。
六、总结：
一元一次不等式与一元一次不等式组是初中数学中的重要知识点，需要我们通过多练习来加深对知识点的理解和掌握。
同时，我们也要学会在实际问题中应
用这些知识点，以增强我们的数学应用能力。