高中数学 1.1.1 正弦定理教案

高中数学 1.1.1 正弦定理教案教学分析本节内容是正弦定理教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．在初中学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力．本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计算，这是一种基本运算能力，学生基本上已经掌握了．若在解题中出现了错误，则应及时纠正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间．本节可结合课件“正弦定理猜想与验证”学习正弦定理．三维目标1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．2．通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力．通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神．重点难点教学重点：正弦定理的证明及其基本运用．教学难点：正弦定理的探索和证明；已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(特例引入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的边角关系，若∠C为直角，则有a＝csinA，b＝csinB，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到asinA＝bsinB，进一步提问，等式能否与边c和∠C建立联系？从而展开正弦定理的探究．思路 2.(情境导入)如图，某农场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处有火情发生．在A处测到火情在北偏西40°方向，而在B处测到火情在北偏西60°方向，已知B在A 的正东方向10千米处．现在要确定火场C距A、B多远？将此问题转化为数学问题，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC 与BC的长．”这就是一个解三角形的问题．为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理，由此展开新课的探究学习．推进新课新知探究提出问题1阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题？2联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系？3由2得到的数量关系式，对一般三角形是否仍然成立？4正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？你能用哪些方法证明它？5什么叫做解三角形？6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢？活动：教师引导学生阅读本章引言，点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性．如教师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识．让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题．关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，教师引导学生探究其数量关系．先观察特殊的直角三角形．如下图，在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，则asinA＝bsinB＝csinC＝c.从而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？教师引导学生画图讨论分析．如下图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角的三角函数的定义，有CD＝asinB＝bsinA，则asinA＝bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.从而asinA ＝bsinB＝csinC.(当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成) 通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立．教师点出这就是今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sinA ＝b sinB ＝c sinC上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明．教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系；描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系．因为如果∠A＜∠B，由三角形性质，得a ＜b.当∠A、∠B 都是锐角，由正弦函数在区间(0，π2)上的单调性，可知sinA ＜sinB.当∠A 是锐角，∠B 是钝角时，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函数在区间(π2，π)上的单调性，可知sinB ＞sin(π－A)＝sinA ，所以仍有sinA ＜sinB.正弦定理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，教师鼓励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法．讨论结果：(1)～(4)略．(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形．(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：①已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”．这类问题的解是唯一的．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”．这类问题的答案有时不是唯一的，需根据实际情况分类讨论．应用示例例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9 cm，解此三角形．活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程，在本例中就是求解∠C，b，c.此题属于已知两角和其中一角所对边的问题，直接应用正弦定理可求出边b，若求边c，则先求∠C，再利用正弦定理即可．解：根据三角形内角和定理，得∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理，得b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理180°求出第三个角，再利用正弦定理．(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．变式训练在△ABC中(结果保留两个有效数字)，(1)已知c＝3，A＝45°，B＝60°，求b；(2)已知b＝12，A＝30°，B＝120°，求a.解：(1)∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°，b sinB ＝c sinC，∴b＝csinB sinC ＝3sin60°sin75°≈1.6. (2)∵a sinA ＝b sinB， ∴a＝bsinA sinB ＝12sin30°sin120°≈6.9. 例2已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1)：(1)∠A＝60°，∠B＝45°，a ＝10；(2)a ＝3，b ＝4，∠A＝30°； (3)b ＝36，c ＝6，∠B＝120°.活动：教师可引导学生先画图，加强直观感知，明确解的实际情况，这样在求解之后，无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的明确，思路清晰流畅，同时体会分析问题的重要性，养成解题前自觉判定解题策略的良好习惯，而不是盲目乱试，靠运气解题．解：(1)因为∠C＝180°－60°－45°＝75°，所以由正弦定理，得 b ＝asinB sinA ＝10sin45°sin60°＝1063≈8.2，c ＝asinC sinA ＝10sin75°sin60°≈11.2(如图1所示)．图1(2)由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝4sin30°3＝23，因此∠B≈41.8°或∠B≈138.2°(如图2所示)．图2 当∠B≈41.8°时，∠C≈180°－30°－41.8°＝108.2°，c＝asinCsinA＝3sin108.2°sin30°≈5.7；当∠B≈138.2°时，∠C≈180°－30°－138.2°＝11.8°，c＝asinCsinA＝3sin11.8°sin30°≈1.2(如图2所示)．(3)由正弦定理，得sinC＝csinBb＝6sin120°36＝6×3236＝22，因此∠C＝45°或∠C＝135°.因为∠B＝120°，所以∠C＜60°.因此∠C＝45°，∠A＝180°－∠B－∠C＝15°.再由正弦定理，得a＝bsinAsinB＝36sin15°32≈2.2(如图3所示)．图3点评：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形．当然对于不符合题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的变式训练来体会．变式训练在△ABC 中，已知a ＝60，b ＝50，A ＝38°，求B(精确到1°)和c.(保留两个有效数字)解：∵b＜a ，∴B＜A ，因此B 也是锐角． ∵sinB＝bsinA a ＝50sin38°60≈0.513 1， ∴B≈31°. ∴C＝180°－(A ＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°.∴c＝asinC sinA ＝60sin111°sin38°≈91. 例3如图，在△ABC 中，∠A 的角平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD DC＝AB AC. 活动：这是初中平面几何中角平分线的性质定理，用平面几何的方法很容易证得．教材安排本例的目的是让学生熟悉正弦定理的应用，教师可引导学生分析相关的三角形的边角关系，让学生自己证明．证明：如图，在△ABD 和△CAD 中，由正弦定理，得BD sinβ＝AB sinα，① DC sinβ＝AC sin180°－α＝AC sinα，② ①÷②，得BD DC ＝AB AC .点评：解完此题后让学生体会是如何通过正弦定理把所要证的线段连在一起的．本例可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用．例4在△ABC中，A＝45°，B∶C＝4∶5，最大边长为10，求角B、C，外接圆半径R及面积S.活动：教师引导学生分析条件B∶C＝4∶5，由于A＋B＋C＝180°，由此可求解出B、C，这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形，显然其解唯一，结合正弦定理的平面几何证法，由此可解三角形，教师让学生自己探究此题，对于思路有阻的学生可给予适当点拨．解：由A＋B＋C＝180°及B∶C＝4∶5，可设B＝4k，C＝5k，则9k＝135°，故k＝15°，那么B＝60°，C＝75°.由正弦定理，得R＝102sin75°＝5(6－2)，由面积公式S＝12bc·sinA＝12c·2RsinB·sinA＝75－25 3.点评：求面积时，b未知但可转化为b＝2RsinB，从而解决问题．1.在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，则△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案：D解析：运用正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB以及结论sin2A－sin2B＝sin(A ＋B)·sin(A－B)，由(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝(sin2A－sin2B)sinC.∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝sin(A＋B)·sin(A－B)·sinC.若sin(A－B)＝0，则A＝B.若sin(A－B)≠0，则sin2A＋sin2B＝sin2C a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D.2．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c等于( )A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．1∶3∶2 D．2∶3∶1答案：C知能训练1．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S的值是( )A. 2B.3＋1C.12(3＋1) D．2 22．在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边长为__________．3．在△ABC中，若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝__________.答案：1．B 解析：由正弦定理asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝22，B＝180°－A－C＝105°，∴△ABC的面积S＝12acsinB＝12×2×22sin105°＝3＋1.2.532＋66解析：∵B＝105°，C＝15°，∴A＝60°.∴b为△ABC的最长边．由正弦定理，得b＝asinBsinA＝5sin105°sin60°＝532＋66.3.33解析：由正弦定理，知a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC的外接圆半径)．∴(3sinB－sinC)cosA＝sinA·cosC，化简，得3sinB·cosA＝sin(A＋C)＝sinB.∵0＜sinB≤1，∴cosA＝3 3.课堂小结1．先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题及解三角形需要注意的问题，特别是两解的情况应怎样理解．2．我们在推证正弦定理时采用了从特殊到一般的分类讨论思想，以“直角三角形”作问题情境，由此展开问题的全面探究，正弦定理的证明方法很多，如平面几何法、向量法、三角形面积法等．让学生课后进一步探究这些证明方法，领悟这些方法的思想内涵．3．通过例3引入了三角形外接圆半径R与正弦定理的关系．但应引起学生注意，R的引入能给我们解题带来极大的方便．作业习题1—1A组1、2、3.设计感想本教案设计思路是：立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，让学生亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受创造的快乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到较好的落实．本教案的设计时刻注意引导并鼓励学生提出问题．一方面鼓励学生大胆地提出问题；另一方面注意妥善处理学生提出的问题，启发学生抓住问题的数学实质，将问题逐步引向深入．根据上述设想，引导学生从感兴趣的实际问题到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的情况，从而形成猜想，激起进一步探究的欲望，然后引导学生对猜想进行严格的逻辑证明，并让学生通过自己的努力发现多种证法，开阔学生视野．备课资料一、知识扩展1．判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题分为一解、两解和无解三种情况．一方面，我们可以利用课本上的几何图形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析．设已知a、b、A，则利用正弦定理sinB＝bsinA a，如果sinB＞1，则问题无解；如果sinB＝1，则问题有一解；如果求出的sinB＜1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．2．利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时，常常将正弦定理写成a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(R为△ABC的外接圆半径)．这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换，我们将在以后具体应用．3．正弦定理的其他几种证明方法(1)三角形面积法如图，已知△ABC，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，作AD⊥BC，垂足为D.则Rt△ADB 中，sinB ＝AD AB， ∴AD＝AB·sinB＝csinB. ∴S △ABC ＝12a·AD＝12acsinB.同理，可得S △ABC ＝12absinC ＝12bcsinA.∴acsinB＝absinC ＝bcsinA. ∴sinB b ＝sinC c ＝sinA a ，即a sinA ＝b sinB ＝csinC. (2)平面几何法如图，在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，作△ABC 的外接圆，O 为圆心，连结BO 并延长交圆于C′点，设BC′＝2R ，则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAC′＝90°，∠C＝∠C′，∴sinC＝sinC′＝c 2R .∴csinC＝2R. 同理，可得a sinA ＝2R ，bsinB ＝2R.∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R. 这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式a sinA＝b sinB ＝c sinC. 这种证明方法简洁明快．在巩固平面几何知识的同时，将任意三角形与其外接圆联系在一起，并且引入了外接圆半径R ，得到a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R 这一等式，其变式为a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ，可以更快捷地实现边角互化．特别是可以更直观地看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系，为正弦定理的应用带来更多的便利．(3)向量法①如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →，为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →，由分配律可得j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →.∴|j ||AC→|cos90°＋|j ||CB →|cos(90°－C)＝|j ||AB →|cos(90°－A)．∴as inC ＝csinA.∴a sinA ＝c sinC. 同理，可得c sinC ＝b sinB. ∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC. ②如图，△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°，过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →，得j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →，即a·cos(90°－C)＝c·cos(A－90°)， ∴asinC＝csinA.∴a sinA ＝csinC .同理，可得b sinB ＝c sinC .∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC. ③当△ABC 为直角三角形时，a sinA ＝b sinB ＝csinC显然成立．综上所述，正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立．二、备用习题1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6 2．△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sinB ＝12，sinC ＝32，则a∶b∶c 等于 … ( )A ．1∶3∶2 B．1∶1∶ 3C ．1∶2∶ 3D ．2∶1∶3或1∶1∶ 33．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于 … ( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 24．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且B ＝2A ，则ba 的取值范围是 … ( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(1，3)D ．(2，3)5．在△ABC 中，若∠A＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________．6．在△ABC中，已知a＝334，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.7．在△ABC中，cosA＝－513，cosB＝35，(1)求sinC的值；(2)设BC＝5，求△ABC的面积．参考答案：1．D 解析：由正弦定理，知bsinB＝asinA，即bsin60°＝10sin45°，解得b＝5 6.2．D 解析：由题意，知C＝60°或120°，B＝30°，因此A＝90°或30°.故选D.3．D 解析：由正弦定理得6sin120°＝2sinC，得sinC＝12，于是有C＝30°或C＝150°(不符合题意，舍去)．从而A＝30°.于是△ABC是等腰三角形，a＝c＝ 2.4．D 解析：由正弦定理知ba＝sinBsinA，又∵B＝2A，∴ba＝sin2AsinA＝2cosA.∵△ABC为锐角三角形，∴0°＜B＜90°.∴0°＜2A＜90°.∴0°＜A＜45°.又∵0°＜C＜90°，∴A＋B＞90°.∴3A＞90°.∴A＞30°.∴30°＜A＜45°.∴2＜2cosA＜3，即2＜ba＜ 3.故选D.5.1534 解析：由正弦定理，得AB sinC ＝BC sinA ，即5sinC ＝7sin120°，∴sinC ＝57×32＝5314. 因此sinB ＝3314，所以S △ABC ＝12×5×7×3314＝1534.6.839 解析：由正弦定理，得4sinB ＝334sin30°，解得sinB ＝839.7．解：(1)由cosA ＝－513，得sinA ＝1213. 由cosB ＝35，得sinB ＝45，∴sinC＝sin(A ＋B)＝sinA·cosB＋cosA·sinB＝1665. (2)由正弦定理，得AC ＝BC×sinB sinA ＝5×451213＝133， ∴△ABC 的面积S ＝12×BC×AC×sinC＝12×5×133×1665＝83.。

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数学学案编号39 1.1.1 正弦定理

山西大学附中高一年级(下)数学学案编号391.1.1 正弦定理一、学习目标：1.能理解会证明正弦定理.2.会用正弦定理解决两类解三角形问题.二、知识导学：自学教材P 2---P 3后完成：1) 首先来探讨直角三角形中，角与边的数量关系.如图，在ABC Rt ∆中，设c AB b AC a BC ===,,, 据锐角三角函数中正弦函数的定义，有=c a ，=cb ，所以 a bc ==又cc c ==1sin , 则Cc B b A a sin sin sin ==.错误！未找到引用源。

对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况来探究：2) 如图，当ABC ∆是锐角三角形时，设边AC 上的高是BD ，根据三角函数的定义，有BD= = ,则C c A a sin sin =, 同理可得， ,从而 Cc B b A a sin sin sin ==. 错误！未找到引用源。

3) 当ABC ∆是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗？若成立写出证明过程，否则说明理由.综上1) 2) 3)可得对于任意三角形ABC 都有 .我们把这个定理叫 .正弦定理的探究过程体现了由到的数学思想?通过查找资料，你还学会了哪些证明正弦定理的方法？请写出一种来：三、理解定理：（1）适用范围：正弦定理适用于三角形。

（2）正弦定理说明：同一三角形中，各边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正 c a b数，即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===；k 的几何意义是 .（3）公式Cc B b A a sin sin sin ==实际上表示了三个等式： Bb A a sin sin =，， . 四、学以致用：一般地，把三角形的和叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作。

用正弦定理解三角形的方法体现了数学中的思想？问题1：已知在10,45,30,,ABC c A C a b B ∆=== 中，求和.问题2 ：已知在C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆.归纳总结：根据正弦定理可以解哪两类解三角形问题？① .② .五、探究与发现：已知三角形两边及一边对角A b a ,,,解三角形问题的探究：以下解三角形问题是否有解？若有解有几个解?若A 是钝角或直角，且b a <或b a =时 .若A 是钝角或直角,且b a >时 .若A 是锐角，且b a >或b a =时 .若A 是锐角，且b a <时解的情况确定吗？都有哪些类型？六、提出问题：（1）预习自学后你有什么疑惑？（2）合作学习后解决了哪些问题？又产生了哪些新问题？（3）通过正弦定理的学习你有哪些新的想法？猜想或质疑？。

高二数学人教A版必修5教学教案1-1-1正弦定理(2)_1

正弦定理一、教学内容的分析“正弦定理”是人教A版必修五第一章第一节的主要内容。

其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．二、学生学习情况分析在初中学生已经学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理任意三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

这就要求教师在教学中引导学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得知识。

所以本节课的教学将以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

四、三维目标1、知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及证明方法，并能解决一些简单的三角形问题。

2、过程与方法通过对特殊三角形边长和角度关系的探索，发现正弦定理，初步学会用特殊到一般的思想方法发现数学规律。

3、情感态度与价值观通过生活实例的探究引出正弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。

五、教学重难点重点：正弦定理的证明及其基本运用．难点：（1）正弦定理的探索和证明；（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个a cb O B C A 数．六、教学过程设计（一）新课导入如图，河流两岸有A 、B 两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A 、B 两地的距离(假设现在的位置是A 点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。

1.1.1正弦定理教案

1.1.1正弦定理一、教学目标： 1、能力要求：①掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解一些斜三角形； ②能够运用正弦定理解决某些与测量和几何有关的实际问题。

2、过程与方法：①使学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系——正弦定理。

②在探究学习中认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。

二、教学重点、难点：重点：理解和掌握正弦定理的证明方法。

难点：理解和掌握正弦定理的证明方法；三角形解的个数的探究。

三、预习问题处理：1、在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。

那么斜三角形怎么办？确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条件？2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即。

3、一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做。

4、用正弦定理可解决下列那种问题① 已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。

5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的？四、新课讲解：在ABC Rt ∆中，设90=C ，则1sin ,sin ,sin ===C c b B c a A ，即：C cc B b c A a c sin ,sin ,sin ===, CcB b A a sin sin sin ==。

问题一：对于一般的三角形，上述关系式是否依然成立呢？设ABC ∆为锐角三角形，其中C 为最大角。

如图（１）过点A 作BC AD ⊥于D ，此时有bADC c AD B ==sin ,sin ，所以C b B c sin sin =，即C c B b sin sin =．同理可得CcA a sin sin =，所以CcB b A a sin sin sin ==。

1.1.1正弦定理

[评析 (1)已知三角形的任意两个角和一边，由三角形评析] 已知三角形的任意两个角和一边评析已知三角形的任意两个角和一边，内角和定理，可以先求出三角形的另一角，内角和定理，可以先求出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边．算出三角形的另两边． (2)运算过程中，运算过程中，要注意三角函数公式的应用，运算过程中要注意三角函数公式的应用，此题中对 105°作了“拆角”处理．作了“ 作了拆角”处理．
[评析 (1)已知两边及一边对角时，解三角形可用正弦评析] 已知两边及一边对角时，评析已知两边及一边对角时定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、两解或无解的情况．解的情况． (2)在三角形中，在三角形中，在三角形中注意运用大边对大角或大角对大边的性局限于一个三角形中)．质(局限于一个三角形中．局限于一个三角形中
4．利用正弦定理解三角形的类型及其解的情况． (1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解．已知两角与一边用正弦定理，有解时，只有一解．已知两角与一 (2)已知两边及其中一边的对角，已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，已知两边及其中一边的对角用正弦定理，可能有两一解或无解．解、一解或无解．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情，况如下：况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
①a＝＝ bsinA< 关系式 bsinA a<b ②a≥b ≥ 两解解的个数一解
a< bsinA 无解
a>b 一解
a≤b ≤ 无解
已知两角及一边解三角形已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： (1)若所给边是已知角的对边时，若所给边是已知角的对边时，若所给边是已知角的对边时可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角． (2)若所给边不是已知角的对边时，若所给边不是已知角的对边时，若所给边不是已知角的对边时先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．

高中数学必修5《1.1.1正弦定理》教学设计

高中数学必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计1000字【教学设计】【教学目标】1. 理解正弦定理的概念，掌握求解三角形边长的方法。

2. 学会运用正弦定理求解实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

【教学内容】《数学必修5》第1章第1节，“正弦定理”（1.1.1）。

【教学过程】一、导入1. 引导学生思考：“三角形的边有什么特点？”2. 让学生回忆一下高中数学所学的定理，比如勾股定理和角平分线定理。

3. 引入正弦定理的概念，让学生对正弦定理有个初步的了解。

二、知识讲授1. 讲解正弦定理的概念及其公式。

2. 分别对三角形中的三角函数进行讲解，让学生对它们的定义有一个清晰的认识。

3. 通过图示让学生知道在不同情况下如何使用正弦定理解决问题。

4. 给学生提供几个具体例子，让他们练习运用正弦定理解决实际问题。

三、练习1. 让学生自主完成课本上的练习题，巩固所学知识。

2. 可以组织学生进行小组竞赛，比赛项目为用正弦定理解决实际问题，以此提高学生的兴趣和参与度。

四、复习与总结1. 以课堂小测验的形式检查学生对所学知识的掌握情况。

2. 对所学知识进行概括性总结，让学生对正弦定理的应用有更全面的了解。

【教学重点】1. 正确掌握正弦定理的概念和公式。

2. 熟练掌握正弦定理的运用方法。

【教学难点】1. 正弦定理的应用在实际问题中的具体运用。

2. 正确判断在不同情况下使用正弦定理的方法。

【教学方法】1. 讲解法：通过讲解，让学生明白正弦定理的概念和公式。

2. 案例法：通过实例让学生知道如何使用正弦定理解决问题。

3. 组织竞赛法：通过小组竞赛，让学生更加积极主动地参与课堂活动。

【学情分析】学生学习高中数学是从基础数学知识逐步深入的，正弦定理是高中数学重点内容之一，更为复杂的三角函数内容的基础。

学习正弦定理需要有良好的基础数学知识，同时也需要良好的逻辑思维能力，因此需要从基础知识入手，渐进进行教学。

【教学建议】1. 为了保证课堂效果，教师应该采用多样化的教学法，如讲解法、案例法、练习法等。

正弦定理1

§1．1．1正弦定理（第一课时）教材：人教A版一、教学目标a、知识与技能1、掌握正弦定理的内容，及推证正弦定理的过程；2、简单运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题．b、过程与方法1、在已有知识的基础上通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养的创新意识和观察与逻辑思维能力；2、通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的知识的应用能力、协作能力和数学交流能力．c、情感态度价值观1、面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生自主探索、合作交流，调动学生的主动性和积极性，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣；2、培养合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过平面几何、三角形函数、正弦定理等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一;3、利用几何画板软件演示正弦定理，用观察到的事实说话，从而受到辩证唯物主义观的教育，培养学生的学习数学的兴趣．二、教学重难点教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用．教学难点：正弦定理的探索及猜想提出过程．三、教辅手段板书、运用多媒体辅助教学．四、教学模式采用引导发现模式——教师创设问题情境、启发讲授，引导学生探索学习．五、教学过程一、创设情境[PPT 展示]问题一：人人都知道，世界上最高的山峰是喜玛拉雅山脉的珠穆朗玛峰，也被称为神女峰，被测得是8848米?科学家们是怎样测出来的呢？设计意图：众所周知兴趣是最好的老师，如果一节课有一个良好的开头，那就意味着成功的一半，因此我设计一个学生比较感兴趣的问题，吸引学生注意力，使其立刻进入到研究者的角色中来！问题二：设A,B 两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?[师] 我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具．设计意图：我通过从学生日常生活中的实际问题引入，与问题一形成对照，思维既有延续性又产生在强烈的意识冲突，造成学生用已有知识不能解决的问题冲突，激发学生思维，激发了解决问题的迫切愿望，激发学生的求知欲二、发现定理[师] 初中时我们已经学过解直角三角形，那么现在请同学回忆一下直角三角行的边角关系．[生]如图在Rt ABC ∆中有222a b c +=，sin a c A =，sin b c B =，90A B ︒∠+∠=．[师]对！那也就是说利用直角三角形中的这些边角关系对任意的直角三角形A B C cb a的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边和其他角．[师]在直角三角形中，你能用其他的边和角表示斜边吗？[生]能．在Rt ABC ∆中，因为sin a c A =，sin b c B =，所以sin a c A =，sin bc B =．[师]我们观察这两个式子可知c 边能用a 边与其所对角的正弦的比值来表示，也可以用b 边与其所对角的正弦的比值来表示，那么c 边能否用c 边与其所对角的正弦的比值来表示呢？[生]能．因为sin sin901C ︒==，所以sin c c C =．[师]那么由上面的三个式子我们就可以得出sin sin sin a b c c A B C ===．从而在Rt ABC ∆中，有sin sin sin a b c c A B C ===．思考：那么对于任意的三角形，以上的关系式是否仍然成立？设计意图：爱因斯坦说过发现问题比解决问题更重要，这样设计是为了让学生体验了发现的过程，从学生熟悉的直角三角形的的边角关系的知识内容入手，观察发现转化到一般的三角形，然后产生猜想，进而完成一般性证明，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力．[师]请同学们和老师一起看看用几何画板是怎样演示这一般的三角形的边角关系，看看任意的三角形是否有sin sin sin a b c c A B C ===成立呢？[师]同学们观察到了什么？[生] ,,sin sin sin a b c c c c A B C ≠≠≠，但是sin sin sin a b c A B C==．设计意图：通过几何画板就可以让学生从直观上进一步猜测正弦定理，并且可以看到在一一般的三角形中ｃ不等于边比对角的正弦值，用观察到的事实说话，从而是学生受到辩证唯物主义观的教育，也明白现代科技的重要性．三、证明定理[师] 我们虽然有了多媒体技术的支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明sin sin sin a b c A B C==呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论． [师]（引导）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图所示，当ABC ∆是锐角三角形时，作AB 上的高是CD,根椐三角形的定义,得到sin sin CD a B b A ==，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin b c B C =，从而sin sin sin a b c A B C ==．类似的可推出，当ABC ∆是钝角三角形时，以上的关系式仍然成立．（证明过程由学生课后自己推导）（法二片段教学中省略）法二：当ABC ∆为钝角三角形时，过A 作单位向量垂直于， +=AB 两边同乘以单位向量，j ⋅ (+)=j ⋅则：⋅+⋅=⋅，∴|j |⋅||cos90 +|j |⋅||cos(90)C -= |j |⋅||cos(90)A - ， ∴A c C a sin sin =， ∴sin sin a c A C =，同理：若过C 作j 垂直于CB 得：sin sin b c B C = ∴sin sin sin a b c A B C ==，当ABC ∆为钝角三角形时，设90A ∠> ，过A 作单位向量j 垂直于向量，同样可证得：A C B j A C Bjsin sin sin a b c A B C ==．从上面的研究探讨过程，可得以下定理：解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程四、及时体验（PPT 展示）例：在ABC ∆中，，解三角形．解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+ 066.2=；根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．[师]小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素．设计意图：让学生自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习，[师]现在我们来回答一下上课前老师提问的问题：设A,B 两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?[生]可以．如图所示，利用正弦定理可得到 0032.0,81.8,42.9A B a cm ===bsin βAB =sin(α+β)设计意图：利用正弦定理，让学生体会用新的知识，新的定理，可以解决之前不能解决的问题，激发学生不断探索新知识的欲望．五、归纳提升正弦定理： sin sin sin a b c A B C ==主要应用：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素．设计意图：让学生在一次对把所学内容进行当堂总结，有利于学生将新知识内化成自己的知识．六、课后探究（1）你还可以用其它方法证明正弦定理吗？（2）知道三角形的两个条边和任何一角，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素吗？（3）sin sin sin a b c kA B C ===那么这个k 值是什么呢?你能用一个和三角形有关的量来表示吗? 设计意图：通过（１）让学生对正弦定理进行再深入的探究，让学生从多角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识；通过（2）ABC αβb c让学生更深入的研究正弦定理；通过（3）可以让学生将正弦定理和所学的圆的知识联系在一起，培养学生用联系的观点看问题．七、作业设计作业：第10页[习题1．1]A 组第1、2题．提高作业：(1)在ABC ∆中，已知a =b =45A =︒，解三角形．(2)b =b =b =并解三角形，观察解的情况．设计意图：人的发发展不可能整齐划一的，我们必须承认差异、尊重差异，不同的人在数学上得到不同的发展，所以请所有同学完成书面作业，每个学生都需要掌握，提高作业留给学有余力的学生，让学生的此基础上提升自我．。

1.1.1正弦定理

课题：正弦定理课型：新授编号：01 时间：2011-9-1一、教学目标（一）、知识目标1、掌握正弦定理内容及证明定理的方法。

2、会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题。

（二）、能力目标培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力以及探索数学规律的思维能力（三）思想目标通过三角函数，正弦定理，向量的数量积，三解形的面积相等，三解形的外接圆等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重点正弦定理的证明及其应用。

三、教学难点已知两边及一边的对角解三角形时判断解的个数。

课前预习部分一、情境引入为了建造崇海隧道，需要测量黄埔江两岸的两个出口处点A 与点B 的距离，为了测量人员先在岸的一边定出基线BC ，测得030,135,15.0=∠=∠=ABC ACB km BC ，这时如何求AB 的长呢？二、知识回顾1.=⋅b a ；=⋅⇔⊥b a b a ；2.090=∠∆C ，ABC Rt 中，已知B A c AB ∠∠=,,，则=a =b ；3.圆的内接四边形的对角；三角形的面积公式；4.在ABC ∆中，已知a 、b 分别为A 、B 所对的边，则a>b5.一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做。

课内探究部分三、探索发现1、固定ABC ∆的边CB 及角B ，使边AC 绕着顶点C 转动，你能发现角C 的大小与它对边AB 长度之间有怎么的关系吗？2、在ABC Rt ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,，你能发现它们之间有什么关系吗？结论★：。

四、探究证明1、结论★是否对于任意的三角形都成立？请给出证明。

2、正弦定理：、即。

3、正弦定理可以有哪些变形？4、正弦定理的应用（能解决哪类问题）：五、典型例析例1、在ABC ∆中，已知0045,30,12===B A b ，解这个三角形。

正弦定理教案

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理（第一课时）教案设计一．教学内容分析：1.1“正弦定理和余弦定理”的第一课时。

解三角形即是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，通过对三角形边和角关系做量化研究，发现并掌握正弦定理，解决简单的三角形度量问题。

二．三维目标：让学生从已有的知识经验出发，通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理，再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力，培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同时通过对三角函数，向量与正弦定理等知识见得联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证唯物统一的唯物主义观点。

三．教学重点与难点：本节课的重点是正弦定理的探索，证明及其基本应用，难点是正弦定理的一些应用，以及逻辑思维能力的培养。

教学过程一．创设情境在初中，我们学过三角形有6个元素，分别为3个角和3条边，那么解三角形就是知道其中几个元素的情况下，求其他几个元素。

在三角形中的对应关系分别为：角A 对应边a ，角B 对应边b ，角C 对应边c 。

今天，我们要来学习的这个公式，就是用来帮助我们解三角形的。

今天要来学习的公式。

1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C===（2R 为外接圆直径）在直角三角形中我们很容易证明这个公式：如右图在直角三角形中：我们可以得到1sin ,sin ,sin ===C c bB c a AC cc B b c A a c sin ,sin ,sin ===即C c B b A a sin sin sin ==∴ 思考：上述关系式是在三角形为直角三角形下得到的，那么斜三角形中是否有相同的结论呢？二．证明探究我们可以通过以下几个途径来试着证明在斜三角形中是否有相同的结论（1）将斜三角形转化为直角三角形中的边角关系（2）建立直角坐标系，利用三角函数的定义（3）通过三角形的外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题我们来尝试通过上述途径（3）来证明：如图在圆O 中有一内接三角形ABC ，过A,O 作直径AD 交圆于D ，连接DC ，三角形ABC 为任意三角形，圆O 的半径为R 。

1.1.1正弦定理(1)

解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据ห้องสมุดไป่ตู้弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
巡视指导
归纳：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
相互交流，给出答案
边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而增大。能否
浏览目标
自主学习
完成任务
明确疑问
合作学习
展示讲解推导过程
课时计划
课题
1．1．1正弦定理
课型
新授课
班别
1.5
1.6
时间
教学目标
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
教学过程
教学内容
及流程
教师活动
学生活动
备注
1、创设情境
如图1．1-1，固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动。
思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
2、目标任务
1、理解正弦定理
2、能够应用正弦定理解决简单问题
3、个体自学
任务：
1、阅读教材p2——4。
2、明确正弦定理及其推理过程。
3、知道什么是解三角形。
四、互动交流
明确答案
交流疑问
五、展示汇报
如图1．1-3，当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD= ,则，