向量的数乘运算及其几何意义PPT优秀课件
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向量数乘运算及其几何意义(公开课课件)
在计算机图形学中的应用
向量数乘运算在计算机图形学中用于描述二维或三维图形的变换， 如旋转、缩放、平移等。
在机器学习中的应用
向量数乘运算在机器学习中用于特征提取和数据降维，可以提高模 型的训练效率和精度。
THANK YOU
感谢聆听
向量数乘运算及其几何意义(公 开课课件)
目
CONTENCT
录
• 向量数乘运算的定义与性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 向量数乘运算的扩展与展望
01
向量数乘运算的定义与性质
定义
向量数乘的定义
数乘运算是一种线性运算，它对向量进行缩放和旋转。具体来说， 对于任意实数k和向量a，数乘运算的结果是ka，其中k是标量，a是 向量。
向量数乘运算的性质
向量数乘运算具有一些重要的性质， 如结合律、交换律、分配律等，这些 性质在解决实际问题中具有广泛的应 用。
向量数乘运算在几何上表示对向量进 行缩放和平移，可以通过图形直观地 理解。向量数乘运算的 Nhomakorabea来发展方向
深入研究向量数乘运算的性质和算法
随着科学技术的不断发展，向量数乘运算在各个领域的应用越来越广泛，需要深入研究 其性质和算法，以提高计算效率和精度。
02
向量数乘运算的几何意义
标量与向量的数乘
标量与向量的数乘定义
标量数乘是指将一个标量与一个向量相乘，得到一个新的向量。这个新的向量的 模长是原向量模长的标量倍，而方向则与原向量相同或相反，取决于标量的正负 。
举例
假设有一个向量$overset{longrightarrow}{a}$，其模长为2，现在将其与标量3相 乘，得到新的向量$3overset{longrightarrow}{a}$，其模长为6，方向与 $overset{longrightarrow}{a}$相同。
向量数乘运算在计算机图形学中用于描述二维或三维图形的变换， 如旋转、缩放、平移等。
在机器学习中的应用
向量数乘运算在机器学习中用于特征提取和数据降维，可以提高模 型的训练效率和精度。
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向量数乘运算及其几何意义(公 开课课件)
目
CONTENCT
录
• 向量数乘运算的定义与性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 向量数乘运算的扩展与展望
01
向量数乘运算的定义与性质
定义
向量数乘的定义
数乘运算是一种线性运算，它对向量进行缩放和旋转。具体来说， 对于任意实数k和向量a，数乘运算的结果是ka，其中k是标量，a是 向量。
向量数乘运算的性质
向量数乘运算具有一些重要的性质， 如结合律、交换律、分配律等，这些 性质在解决实际问题中具有广泛的应 用。
向量数乘运算在几何上表示对向量进 行缩放和平移，可以通过图形直观地 理解。向量数乘运算的 Nhomakorabea来发展方向
深入研究向量数乘运算的性质和算法
随着科学技术的不断发展，向量数乘运算在各个领域的应用越来越广泛，需要深入研究 其性质和算法，以提高计算效率和精度。
02
向量数乘运算的几何意义
标量与向量的数乘
标量与向量的数乘定义
标量数乘是指将一个标量与一个向量相乘，得到一个新的向量。这个新的向量的 模长是原向量模长的标量倍，而方向则与原向量相同或相反，取决于标量的正负 。
举例
假设有一个向量$overset{longrightarrow}{a}$，其模长为2，现在将其与标量3相 乘，得到新的向量$3overset{longrightarrow}{a}$，其模长为6，方向与 $overset{longrightarrow}{a}$相同。
必修四向量数乘运算及其几何意义课件
02
在几何上，数乘运算可以理解为 将向量$mathbf{a}$按比例放大 或缩小，缩放因子为$|k|$。
几何意义
当$k > 0$时，数乘后的向量 $mathbf{a} times k$与原向量 $mathbf{a}$方向相同，且长度为$|k| times |mathbf{a}|$。
数乘运算可以改变向量的长度和方向 ，但不会改变向量的起点和终点。
进阶练习
应用题解析
设计涉及实际问题的向量数乘运算题目，如速度、加速度等物理量的计算。
复杂计算挑战
提供涉及多个步骤的向量数乘运算题目，要求学生准确、快速地完成。
综合练习
知识融合
将向量数乘与其他向量知识融合，如向量加法、减法、数乘等，考查学生的综合 运用能力。
几何意义应用
设计涉及向量在几何图形中的数乘运算题目，要求学生理解并解释其几何意义。
数乘的结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，有λ * (μ * a) = μ * (λ * a)。
实例解析
实例1
设向量a = [1, 2]，实数λ = -3，则λ * a = [-3, -6] 。
实例2
设向量a = [2, -1]，实数λ = 2，μ = -1，则(λ + μ) * a = [1, -4] + [-2, 2] = [1, -2]。
实数与向量的数乘
对于任意实数λ和向量a，数乘运 算的结果是λ * a，其中λ * a的长 度为|λ| * |a|，方向由实数λ的正 负决定。
性质
01
02
03
标量积性质
对于任意实数λ和向量a， 有(λ + μ) * a = λ * a + μ * a。
分配律
在几何上，数乘运算可以理解为 将向量$mathbf{a}$按比例放大 或缩小，缩放因子为$|k|$。
几何意义
当$k > 0$时，数乘后的向量 $mathbf{a} times k$与原向量 $mathbf{a}$方向相同，且长度为$|k| times |mathbf{a}|$。
数乘运算可以改变向量的长度和方向 ，但不会改变向量的起点和终点。
进阶练习
应用题解析
设计涉及实际问题的向量数乘运算题目，如速度、加速度等物理量的计算。
复杂计算挑战
提供涉及多个步骤的向量数乘运算题目，要求学生准确、快速地完成。
综合练习
知识融合
将向量数乘与其他向量知识融合，如向量加法、减法、数乘等，考查学生的综合 运用能力。
几何意义应用
设计涉及向量在几何图形中的数乘运算题目，要求学生理解并解释其几何意义。
数乘的结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，有λ * (μ * a) = μ * (λ * a)。
实例解析
实例1
设向量a = [1, 2]，实数λ = -3，则λ * a = [-3, -6] 。
实例2
设向量a = [2, -1]，实数λ = 2，μ = -1，则(λ + μ) * a = [1, -4] + [-2, 2] = [1, -2]。
实数与向量的数乘
对于任意实数λ和向量a，数乘运 算的结果是λ * a，其中λ * a的长 度为|λ| * |a|，方向由实数λ的正 负决定。
性质
01
02
03
标量积性质
对于任意实数λ和向量a， 有(λ + μ) * a = λ * a + μ * a。
分配律
《向量数乘运算及其几何意义课件(人教A版必修)》课件
解：如图 → → ∵AD＝2DB， → → → → 2→ ∴CD＝CA＋AD＝CA＋ AB 3 → 2 → → 1→ 2→ ＝CA＋ (CB－CA)＝ CA＋ CB. 3 3 3 → 1→ → 又∵CD＝ CA＋λCB， 3 2 ∴λ＝ . 3
共线向量定理的应用
→ → BC 例3 (本题满分 9 分)已知向量AB＝a＋5b， → ＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D
③|λa|＝|λ|a；④|λa|＝λ|a|. 解析：实数λ与向量a的积λa也是一个向量,所 以①错,②正确;|λa|＝|λ||a|,所以③④错. 想一想 向量与实数可以求积，那么向量和实数可以 进行加减运算吗？ 提示：不可以．向量与实数不能进行加减运 算，如1＋a和λ－a无法运算．
2.共线向量定理 向量 a(a≠0) 与 b 共线，当且仅当有唯一一个 b＝λa 实数λ，使____________ ． 做一做 已知向量 a ， b 不共线，则 c ＝ a － 2b 与 d ＝－ 2a＋4b的位置关系是什么？ 提示：d＝－2c，故c＝ AB ＋ BM ＝ a＋ BC ＝ a＋ (b－ a)＝ (a 2 2 2 ＋b)． → 2→ ∵△ADN∽△ABM，AD＝ AB， 3 → 2→ 1 ∴AN＝ AM＝ (a＋b)． 3 3
变式训练
→ 2.在△ABC 中， 已知 D 是 AB 边上一点， 若AD → → 1→ → ＝2DB，CD＝ CA＋λ CB，求 λ 的值． 3
→ → 证明：∵CB＝2a－8b，CD＝3a－3b， → → → 又∵AC＝AB＋BC＝－a＋13b， → ∴CA＝a－13b.
→ → → 设CA＝xCB＋yCD＝2xa－8xb＋3ya－3yb ＝(2x＋3y)a－(8x＋3y)b＝a－13b，
人教版必修4 数学2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课件(24张)精选ppt课件
1．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b) ＝－2a＋4b.
用已知向量表示其他向量 如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点 M，且A→B＝ a，A→D＝b，你能用 a、b 表示M→A、M→B、M→C和M→D吗？
[解] 分别作向量O→A、O→B、O→C，过点 A、C 作直线 AC(如 图)．由图猜想 A、B、C 三点共线． 因为A→B＝O→B－O→A
＝a＋2b－(a＋b)＝b， 而A→C＝O→C－O→A ＝a＋3b－(a＋b)＝2b， 于是A→C＝2A→B. 所以，A、B、C 三点共线．
(1)证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个 向量共线，两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题 的依据． (2)若 A，B，C 三点共线，则向量A→B，A→C，B→C在同一直 线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线 性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
[解] (1)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b. (2)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c. (3)原式＝12(2a＋32b)－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
向量的数乘运算方法 (1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方 法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是 向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数． (2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知 量，通过解方程的方法求解．
解：由三角形中位线定理， 知 DE 綊12BC，
2.2.3向量数乘运算及其几何意义(免费课件)
A
D
C
B
1 思考： （1）若将条件改为 DC = AB ， 3
（2）若将条件改为 AD
其形状如何？加以证明。梯形
BC ， AB AD ，
其形状如何？加以证明。
矩形
小结:
一、①λ a 的定义及运算律
②向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
C
a
b
3b 2b b A,B,C三点共线
B
小结:
证明三点共线的方法:
A
AB=λBC
且有公共点Ｂ
a
O
例 3、已知四边形 ABCD 满足条件 AB DC ， 试判断其的形状，并证明。
解： AB DC AB DC 且 AB//DC ｜ ｜｜ ｜
ABDC是平行四边形
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则: 起点相同,对角为和
B
首尾相接，再连首尾
C
a
ab b
ab
A
b
C
b
A
a
B
O
a
3.向量减法三角形法则:
共起点，连终点，指向前终点
a b
O
b
B
a
BA a b
(3) (a b) a b. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 2、计算： 解： （1） (4) 5a ；20a 【 （2） 5(a 5a ；a b) b ； 2、计算： （1） (4) b) 3( 预 a 5b 3a 3b b 5 习 （3） 5(a b) 3(a2(a ) b ；3c) ) b 2b 2a 7b c （2） (3 (5 a (5 1) 3) 3 b 自 （3） (3a b c) 2(a 2b 3c) 测 3a b c 2a 4b 6c 】 (3 2)a (1 4)b (1 6)c a 5b 7c
D
C
B
1 思考： （1）若将条件改为 DC = AB ， 3
（2）若将条件改为 AD
其形状如何？加以证明。梯形
BC ， AB AD ，
其形状如何？加以证明。
矩形
小结:
一、①λ a 的定义及运算律
②向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
C
a
b
3b 2b b A,B,C三点共线
B
小结:
证明三点共线的方法:
A
AB=λBC
且有公共点Ｂ
a
O
例 3、已知四边形 ABCD 满足条件 AB DC ， 试判断其的形状，并证明。
解： AB DC AB DC 且 AB//DC ｜ ｜｜ ｜
ABDC是平行四边形
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则: 起点相同,对角为和
B
首尾相接，再连首尾
C
a
ab b
ab
A
b
C
b
A
a
B
O
a
3.向量减法三角形法则:
共起点，连终点，指向前终点
a b
O
b
B
a
BA a b
(3) (a b) a b. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 2、计算： 解： （1） (4) 5a ；20a 【 （2） 5(a 5a ；a b) b ； 2、计算： （1） (4) b) 3( 预 a 5b 3a 3b b 5 习 （3） 5(a b) 3(a2(a ) b ；3c) ) b 2b 2a 7b c （2） (3 (5 a (5 1) 3) 3 b 自 （3） (3a b c) 2(a 2b 3c) 测 3a b c 2a 4b 6c 】 (3 2)a (1 4)b (1 6)c a 5b 7c
必修四向量数乘运算及其几何意义课件
定义向量类
在程序中定义一个向量类，包括 向量的坐标数据和向量数乘运算 的方法。
实现向量数乘运算方法
在向量类中实现向量数乘运算的 方法，可以采用分配律和结合律 等方法进行优化。
实例化向量对象
在程序中实例化两个向量的对象， 并输入向量的坐标数据。
利用向量代数解决物理问题
建立物理模型
根据实际问题建立物理模型，采用向量的形式描述物体运动和受力情况。
$k(l\overset{\longrightarrow}{a}+m\overset{\longrightarrow}{b})=kl\overset{\longrightarrow}{a}+km\o verset{\longrightarrow}{b}$，即向量数乘满足分配律，可以分配任意两个数乘操作。
02
向量数乘运算的代数表示
向量数乘运算的符号表示
01
向量数乘运算的符号表示为在向 量前加上一个系数。例如，如果 有一个向量a，那么2a就是a的数 乘，表示为2 × a。
02
数乘运算满足交换律和结合律， 即对于任何实数k和l，以及向量a 和b，有(k+l)a=ka+la和 k(a+b)=ka+kb。
05
向量数乘运算的优化与提升
利用计算器进行向量数乘运算
手动输入数据
在计算器中手动输入向量的坐标数据。
1
选择向量数乘运算功能
2
在计算器的菜单中选择向量数乘运算的功能。
3 得出结果
根据向量数乘运算的规则，计算出结果。
通过编程实现向量数乘运算的优化
选择编程语言
选择适合的编程语言，如Python、 C等。
• 对于二维向量，数乘运算可以用一个2x2的矩阵表示。假设向量a的坐标为(x, y)， 乘以实数k后得到的新向量的坐标为(kx, ky)，那么这个过程可以用矩阵表示为
向量数乘运算及其几何意义(课件)新
在数学中的应用
描述向量的缩放
向量数乘可以用来描述向量的缩放，即通过乘以一个标量 系数来改变向量的长度或方向。这在数学中常用于向量的 标准化和归一化。
解决线性方程组
向量数乘可以用于解决线性方程组。通过将方程组中的向 量进行数乘运算，可以化简方程组的形式，便于求解。
描述向量的旋转
向量数乘可以用于描述向量的旋转。通过乘以一个旋转角 度的余弦值和正弦值，可以将一个向量旋转一定的角度。
负向量的数乘
负向量的数乘结果为该向量 的反方向。
向量数乘的运算规则
结合律
向量数乘满足结合律，即(k1 * k2) * v = k1 * (k2 * v) = k1 * k2 * v。
分配律
向量数乘满足分配律，即k * (v1 + v2) = k * v1 + k * v2。
单位元
任何非零标量都可以作为单位元，即e * v = v * e = v，其中e是单位元。
向量数乘运算及其几 何意义
目录
CONTENTS
• 向量数乘运算的定义与性质 • 向量数乘的几何意义 • 向量数乘的应用 • 向量数乘的扩展知识
01
向量数乘运算的定
义与性质
向量数乘的定义
向量数乘的定义
向量数乘运算是一种线性运算， 通过将标量与向量相乘，得到一 个新的向量。标量可以是实数或 复数。
02
向量数乘的几何意
义
向量数乘的长度变化
01
当数乘的系数为正数时，向量的长度会增大或缩小，但方向 保持不变。
02
当数乘的系数为负数时，向量的长度同样会增大或缩小，但 方向会反向。
03
数乘运算不会改变向量的起点和终点，因此向量数乘的长度 变化是相对的。
人教A版必修四 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课件(37张)
rr 和(- a )+(- a
)+(-
r a
)分
别如何简化其表示形式？
提示: ＋ ＋ 记为3 ，
（－ ）＋（－ ）＋（－ ）记为－3 .
r
r
r
思考3：向量3 a 和－3 a 与向量 a 的大小和方向有
什么关系？
r
a
rr
r
aa
a
OA
B
C
r
r
r
a
a
a
P
N
M
O
思考4：设
r a
为非零向量，那么
r
2 3
x，y，λ(x
r a
±y
r b
）可转化为什么运算？
提示:
rr
r
r
λ(x a ±yb ）=λx a ±λyb .
【即时训练】
已知A→B＝a＋5b，B→C＝－2a＋8b，C→D＝3(a－b)，则( B ) A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线
可分别转化为什么运算？
提示:
r
r
-2× (5 a )= -10 a ；
r 2a＋
(3＋
2
2
r b
=
2(
r a
+
)
r a
=3
ar＋
br )r； 2a.
r 思考2：一r般地，设rλ，r μ为实数，则λ(μa )， (λ＋μ) a ，λ( a ＋b )分别等于什么？
=
提示:
（1）(ar ) ()ar
r a,
br，试作
uuur OA
rr a＋b，
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CD1CACB，则 等于（ A）
3
2 A.
1 B.
C. 1
3
3
3
D.
2 3
4.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，
并给出证明。 (1)ADBC;
(2)AD1BC 3
(3)ABDC,且AB AD
课堂作业
5.如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，
点N在线段BD上，且有BN= 1 BD，求证：M、N、C
2.证明:若u P u C u r u P u A u r ( 1 ) u P u B u r ，则A,B,C三点共线。
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
向量数乘运算及其几何意义
问题：一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细 绳上做匀速直线运动，若蚂蚁向东方向一秒 钟的位移对应的向量为 a，那么它在同一方
向 又3a上怎吗样3？秒表若钟示蚂的？蚁位是向移西3对a3吗应秒?的钟你向的能量位用怎移图样对形表应表示的示？向吗是量？
和探( 究a ) ：( a 已) 知( 非a )零.你向能量说说a它，们作的出几a 何 意a 义a 吗？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
(2 )已 知 : 3 x (x a ) 3 a 2 (x 4 b 2 a ) 4 (x a b ) 0求 x .
总结：
向量的加、减、数乘你几运能何算说 意r 统说义r 称其吗为? 向量 的线性运算.对于任意向量 a 、b ，以及任
意实数 、 1、2 ，恒有： (1 a 2 b ) 1 a 2 b
思考：你能解释上述运算律的几何意义吗？
特别地：( (a ) a b ) (a a ) b ( a )
例题讲解
例1：计算：r
（1）(3r)4ra ； rr r
（2）3 (a r b r ) 2 r (a b r ) a rr
D
C
M
b
A
r a
B
12课..计若堂算向：量作1 3 方 业程1 22 (2 x a 3 (x 8 b 2 )a )( 4 0 a ，则2b 向) 量 x 等2b于（a6a）
3.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若 AD2DB，a ຫໍສະໝຸດ oaA
a a
B C
a a a
N
M
QP
OC OAABBC a a a 3a
PN PQQMMN ( a ) ( a ) ( a )
3(a)3a
（1）3a与 a 方向相同, 且 3a 3a ；
（定2义）：3a实与数a 与方向向量相反a,且的积你几3 ：a 能何 说意3 说义a 其吗. ?
实 （ （由数12（））1与）a向00得时时量，，a a 0的；时aa积与与，是a a a 一方方 个向向向0 相相量.反同，；；记作：a.
三点共线。
3
提示：设
ABa，
BC b
则 MN … 1 a 1b
63
MC … 1 ab 2
A
D
C
N
MB
一课、堂①小a结的：定义及运算律
b ② 向量a 共 线向 定理(a a 与 0b ) 量 共线
二、 定理的应用：
本节课你体会到
1. 证明 向量共线； 了哪些数学思想?
2. 证明 三点共线:
ABBCA,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AAB与 BCC D 不D在同一条 直直 线线 A上 ∥B直线CD
课外作业：
P92 A组习题11、12
课后思考：
1.证明:若A,B,C三点共线,则
u u u r u u u r u u u r P C P A ( 1 ) P B
问题：引入向量数乘运算后，你能
发现数乘向量与原向量之间的位置关 系吗？
定理：
向唯量一一b个与实非数零向量，使a得共线b当且仅a。当有
思考:
1) a 为什么要是非零向量?
2) b可以是零向量吗?
3) 怎样理解向量平行？与两
直线平行有什么异同？
例题讲解:
rr
uuur r r
（ 解3：）（( 2 1）a 原3 式b = c ) r1 2( ar3 a r 2 rb （ c 2) ）原式=
5
r b
（3）原式= a5b2c
巩计 算 固： 练（ 习1 ） ：（ 22 a r 6 b r 3 c r) 3 ( 3 a r 4 b r 2 c r);1a 3 rr r r rrr r r
例2.如图，已知任意两个向量 a、b ，试作 OAab,
u u u rr ru u u rr r
O B a 2 b ,O C a 3 b .你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r
3b
B
r
2b
A
r
b
r
a
O
例题讲解:
uuu r ruuur r
例3.如 你图能，用YarA、BbrC来D表的示两条M u u u A 对r 、 M u 角u u B 线r 、 M u 相u u C u 交r和 于M u 点u u D u Mr，。且 ABa,ADb，
口答：
C在线段AB上，且 AC 5 则
CB 2
5
AC 7 AB BC 2 AB
7
数乘向量运算定律 :
结合律：(a ) ()a ;
第第一二分分配配律律：：((a ) b a ) a a a b ; .