华师大二附中高一期末(2019.01)好题详解(1)(1)
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.2．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.3．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：3222k x k k Z ππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ） A ．2或3 B ．4或3C ．5或6D ．8或7【答案】A【解析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案. 【详解】 函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8， 而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤， 又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =， 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.二、填空题5．函数1arcsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______. 【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【解析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案. 【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以2x =-时，arcsin 23y π⎛=-=- ⎝⎭， 12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. 故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.6．数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a = _____.【答案】()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【解析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦； ∴()()3122n n a nn ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为：()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题7．()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案. 【详解】()cos f x x x =+12cos 2x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,. 故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.8．“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）. 【答案】必要非充分【解析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+， 当121a a ==，342a a ==时， 满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分. 【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S = ； 【答案】60 【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列． 所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列． 因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60． 故答案为60．10．已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.【考点】余弦定理；三角形的面积公式.11．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________【解析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解． 【详解】由11()an n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==， 则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列， ∴19999991001log (99)199a =⋅=． 故答案为：1． 【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．12．等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m ∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数， 所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉ 当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉ 当3n =时，得2381m -=，此时6m =， 所以9m n +=， 故答案为：9. 【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.13．在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(t a n t a n )t a n t a n t a n t a n A C BA B C+=++________． 【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B += 所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++ ()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B CA C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b AC B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭． 故答案为：2201714．已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______. 【答案】lg 3【解析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案. 【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg3n n n n ++=+所以123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lglg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+ ()13131lg lg 331n n n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++ 所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3. 【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.三、解答题15．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高． 【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A7∴sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3． （2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫-+⨯⎪⎝⎭=14． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC 边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 16．已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）； （2）求1limnn n u u →∞-. 【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim ,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩； 【解析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限. 【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+， 所以()32n n n S +=， 当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=- 所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-. （2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a =+则()111lim lim nn n n n n n a uu na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==； 当a b ¹时，11n n n n n u a a b ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==--- 则111n n n n n n u a b u a b++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17． 已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=； （1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值. 【答案】（1）π或3π； （2）； （3）19；【解析】试题分析：(1)4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22x x +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值. 试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或， arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18．（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos 7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案. 【详解】（1）()()cos 3cos 2cos2cos sin 2sin x x x x x x x =+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x =-所以原式得证. （2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos2cos 21k x k x x k x +=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12coscoscoscos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a ---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kk a =-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos2cos2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=- ()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos2cos2cos 22k x kx x k x +=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12coscoscoscos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-； （3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈ cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos 7π为无理数，所以1cos,cos cos777mm πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112cos cos cos777m mm m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos16,7m m m N π≤≤∈不是有理数. 【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。
2019-2020学年上海华二附中高一上学期数学期末试卷
华二附中高一期末数学试卷2020.01一. 填空题1. 若实数a b >，则下列说法正确的是（1）a c b c +>+ （2）ac bc < （3）11a b< （4）22a b > 2. 函数()(0)f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是3. 函数22711()(1)m m f x m m x ++=--是幂函数，则m =4. 若a 、b 都是正数，且1a b +=，则(1)(1)a b ++的最大值5. 不等式|1||2|13x x -++<的解集为6. “若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是7.已知函数()f x =[1,9]x ∈，2()()()g x f x f x =⋅的反函数是1()g x -，则 1()g x -的定义域为8. 函数243()6x x f x x ++=-的值域为 9. 已知a 、b 为非零实数，且3126a b ab ==，则a b +的值为10. 已知函数1321()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()ln(2)1x g x a x x =+++（a ∈R ），若对 任意的12,{|,2}x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是二. 选择题11. 幂函数()y f x =经过点，则()f x 是（ ）A. 偶函数，且在(0,)+∞上是增函数B. 偶函数，且在(0,)+∞上是减函数C. 奇函数，且在(0,)+∞上是减函数D. 非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数12. 若函数6(3)37()7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 9(,3)4 B. 9[,3)4 C. (2,3) D. (1,3)13. 定义在R 上的函数()f x 有反函数1()f x -，若有()()2f x f x +-=恒成立，则11(2020)(2018)f x f x ---+-的值为（ ）A. 0B. 2C. 2-D. 不能确定14. 已知函数()f x 的定义域为{0,1,2}，值域为{0,1}，则满足条件的函数()f x 的个数为（ ）A. 1个B. 6个C. 8个D. 无数个三. 解答题15. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-.（1）求(0)f 及((1))f f 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数根，求实数m 的取值范围.16. 某城市居民每月自来水使用量x 与水费()f x 之间满足函数0()()C x A f x C B x A x A <≤⎧=⎨+->⎩，当使用34m 时，缴费4元， 当使用327m 时，缴费14元，当使用335m 时，缴费19元.（1）求实数A 、B 、C 的值；（2）若某居民使用329m 水，应该缴水费多少元？17. 已知函数121()log ()1ax f x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求实数k 的取值范围.18. 已知函数2||()2x x P f x x x x M ∈⎧=⎨-+∈⎩，其中P 、M 是非空数集且P M =∅，设(){|(),}f P y y f x x P ==∈，(){|(),}f M y y f x x M ==∈.（1）若(,0)P ∈-∞，[0,4]M =，求()()f P f M ； （2）是否存在实数3a >-，使得[3,]P M a =-，且()()[3,23]f P f M a =--？ 若存在，求出所有满足条件的a ，若不存在，说明理由；（3）若PM =R 且0M ∈，1P ∈，()f x 单调递增，求集合P 、M .参考答案一. 填空题1.（1）2. 0b =3. 2或1-4. 945. (7,6)-6. 若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠7.8. (,16[67,)-∞-+∞9. 2 10. 3(,]4-∞-二. 选择题11. D 12. B 13. A 14. B三. 解答题15.（1）(0)0f =，((1))1f f =-；（2）(1,0)-.16.（1）11A =，58B =，4C =；（2）1154元. 17.（1）1-；（2）[1,)-+∞；（3）[1,1]-.18.（1）[8,)-+∞；（2）3；（3）(0,)[1,)P t =+∞，(,0][,1)M t -∞，其中01t << 或(0,][1,)P t =+∞，(,0](,1)M t -∞，其中01t <<或[1,)P =+∞，(,1]M -∞或(0,)P =+∞，(,0]M -∞.。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共40分）1．（4分）若实数a＞b，则下列说法正确的是．（1）a+c＞b+c；（2）ac＜bc；（3）＜；（4）a2＞b22．（4分）函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是．3．（4分）函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，则m＝．4．（4分）若a，b都是正数，且a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值．5．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|＜13的解集为．6．（4分）“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题是．7．（4分）已知函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）的反函数是g﹣1（x），则g﹣1（x）的定义域为．8．（4分）函数f（x）＝的值域为．9．（4分）已知a，b为非零实数，且3a＝12b＝6ab，则a+b的值为．10．（4分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．二、选择题（每题4分，共16分）11．（4分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数12．（4分）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）13．（4分）定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（）A．0B．2C．﹣2D．不能确定14．（4分）已知函数f（x）的定义域为{0，1，2}，值域为{0，1}，则满足条件的函数f（x）的个数为（）A．1个B．6个C．8个D．无数个三、解答题15．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，16．（10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）＝当使用4m3时，缴费4元，当使用27m3时，缴费14元；当使用35m3时，缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水，应该缴水费多少元？17．（12分）已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．18．（14分）已知函数f（x）＝其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（I）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M＝[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）＝[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M＝R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共40分）1．（4分）若实数a＞b，则下列说法正确的是（1）．（1）a+c＞b+c；（2）ac＜bc；（3）＜；（4）a2＞b2【分析】由不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：由可加性知，（1）正确；当c≥0时，（2）显然不正确；当a，b满足其中一个为0时，（3）显然无意义；取a＝1，b＝﹣2可知，（4）不正确．故答案为：（1）．【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题．2．（4分）函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0．【分析】函数f（x）＝kx+b（k≠0）⇔f（0）＝0，即可得出．【解答】解：函数f（x）＝kx+b（k≠0）⇔f（0）＝0，∴b＝0．∴函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0．故答案为：b＝0．【点评】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，则m＝2或﹣1．【分析】函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，利用幂函数的定义得m2﹣m ﹣1＝1，由此能求出m的值．【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1．故答案为：2或﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）若a，b都是正数，且a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值．【分析】先利用基本不等式可得，再将（a+1）（b+1）展开即可得到答案．【解答】解：∵a+b＝1，a＞0，b＞0，∴，即，当且仅当a＝b时取等号，∴，即（a+1）（b+1）的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．5．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|＜13的解集为（﹣7，6）．【分析】分类讨论，去掉绝对值符号，解不等式即可．【解答】解：当x≤﹣2时，原不等式等价于1﹣x﹣x﹣2＜13，解得x＞﹣7，此时满足﹣7＜x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，原不等式等价于1﹣x+x+2＜13，即3＜13恒成立；当x≥1时，原不等式等价于x﹣1+x+2＜13，解得x＜6，此时满足1≤x＜6；综上，不等式的解集为（﹣7，6）．故答案为：（﹣7，6）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题．6．（4分）“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题是若x≠1或y≠0，则x+y≠1．【分析】本题根据“若p，则q”的逆否命题的形式是：“若￢q，则￢p”，可以解答．【解答】解：若p，则q的逆否命题的形式是：若￢q，则￢p．因此命题“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题为“若x≠1或y≠0，则x+y≠1”．故答案为：若x≠1或y≠0，则x+y≠1．【点评】本题考查了逆否命题的概念，四种命题的关系．7．（4分）已知函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）的反函数是g﹣1（x），则g﹣1（x）的定义域为[2，2]．【分析】函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）＝•＝，根据单调性可得其值域．于是g﹣1（x）的定义域为原函数g（x）的值域．【解答】解：函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）＝•＝，由，解得1≤x≤3．∴g（x）∈[2，2]，则g﹣1（x）的定义域为原函数g（x）的值域，∴g﹣1（x）的定义域为∈[2，2]，故答案为：[2，2]，【点评】本题考查了互为反函数的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（4分）函数f（x）＝的值域为．【分析】分离常数后，利用双勾函数的性质即可得解．【解答】解：，由双勾函数性质可知，．故答案为：．【点评】本题考查函数值域的求解，属于基础题．9．（4分）已知a，b为非零实数，且3a＝12b＝6ab，则a+b的值为2．【分析】设3a＝12b＝6ab＝k，把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求解．【解答】解：设3a＝12b＝6ab＝k，∴a＝log3k，b＝log12k，ab＝log6k，∴＝2log k6，又∵，∴，∴，∴a+b＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质，是中档题．10．（4分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．【分析】可求得，，根据题意f（x）max≤g （x）min（x＞﹣2），由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．【解答】解：对函数f（x），当x≤1时，；当x＞1时，，∴f（x）在（﹣2，+∞）上的最大值；对函数g（x），函数g（x）若有最小值，则a＝0，即，当x∈（﹣2，0）∪（0，+∞）时，，易知函数；又对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），∴f（x）max≤g（x）min（x＞﹣2），即，∴，∴，即实数k的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．二、选择题（每题4分，共16分）11．（4分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数【分析】设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可．【解答】解：设幂函数的解析式为：y＝xα，将（3，）代入解析式得：3α＝，解得α＝，∴y＝，故选：D．【点评】本题考查了求幂函数的解析式，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道基础题．12．（4分）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）【分析】利用函数的单调性，判断指数函数的对称轴，以及一次函数的单调性列出不等式求解即可【解答】解：∵函数f（x）＝单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3﹣a＞0且a＞1．但应当注意两段函数在衔接点x＝7处的函数值大小的比较，即（3﹣a）×7﹣3≤a，可以解得a≥，综上，实数a的取值范围是[，3）．故选：B．【点评】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．13．（4分）定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（）A．0B．2C．﹣2D．不能确定【分析】分析：由f（x）+f（﹣x）＝2，得f（t）+f（﹣t）＝2，注意（2020﹣x）与（x ﹣2018）的和等于2，若（x﹣2018）与（2020﹣x）一个是t，则另一个是﹣t，再应用反函数的定义解出t和﹣t即得．【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）＝2，∴f（t）+f（﹣t）＝2，令2020﹣x＝m，x﹣2018＝n，∴m+n＝2，∴可令f（t）＝m，f（﹣t）＝n，由反函数的定义知，∴t＝f﹣1（m），﹣t＝f﹣1（n）∴f1（m）+f1（n）＝0，即：f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值是0，故选：A．【点评】本题考查反函数，体现换元的数学思想，属于中档题．14．（4分）已知函数f（x）的定义域为{0，1，2}，值域为{0，1}，则满足条件的函数f（x）的个数为（）A．1个B．6个C．8个D．无数个【分析】由函数定义直接写出即可得解．【解答】解：当0对应0时，可以有①（1，0），（2，1）；②（1，1），（2，0）；③（1，1），（2，1）；共三种对应方式；当0对应1时，可以有①（1，0），（2，0）；②（1，1），（2，0）；③（1，0），（2，1）；共三种对应方式；故满足条件的函数f（x）共有6个．故选：B．【点评】本题考查函数定义的理解，属于基础题．三、解答题15．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f（f（1））的值；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；（Ⅲ）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，作出函数f（x）的图象，由数形结合法分析即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；则f（0）＝0，f（1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，（Ⅲ）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，而y＝f（x）的图象如图：分析可得﹣1＜m＜0；故m的取值范围是（﹣1，0）．【点评】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题．16．（10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）＝当使用4m3时，缴费4元，当使用27m3时，缴费14元；当使用35m3时，缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水，应该缴水费多少元？【分析】（1）由题意知C的值，再把（27，14），（35，19）代入f（x）中求出B和A的值；（2）写出f（x）的解析式，计算f（29）的值即可．【解答】解：（1）由题意得：C＝4，将（27，14），（35，19）代入f（x）＝4+B（x﹣A），得：，解得A＝11，B＝；所以A＝11，B＝，C＝4．（2）由（1）知，f（x）＝；当x＝29时，f（29）＝4+×（29﹣11）＝＝15.25；所以该居民使用29m3水时，应该缴水费15.25元．【点评】本题考查了分段函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．17．（12分）已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．【分析】（1）函数f（x）＝的图象关于原点对称，可得f（x）+f（﹣x）＝0，整理得+＝0恒成立，即可得出答案（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求出x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）的最大值，即可解出m的取值范围（3）由于f（x）＝在[2，3]上是增函数，g（x）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出，解之即可得出答案【解答】解：（1）函数f（x ）＝的图象关于原点对称，∴f（x）+f（﹣x）＝0，即+＝0，∴（）＝0，∴＝1恒成立，即1﹣a2x2＝1﹣x2，即（a2﹣1）x2＝0恒成立，所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，又a＝1时，f（x ）＝无意义，故a＝﹣1；（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m 恒成立，即+（x﹣1）＜m，∴（x+1）＜m在（1，+∞）恒成立，由于y ＝（x+1）是减函数，故当x＝1，函数取到最大值﹣1，∴m≥﹣1，即实数m的取值范围是m≥﹣1；（3）f（x ）＝在[2，3]上是增函数，g（x ）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，∴只需要即可保证关于x的方程f（x ）＝（x+k）在[2，3]上有解，下解此不等式组．代入函数解析式得，解得﹣1≤k≤1，即当﹣1≤k≤1时关于x的方程f（x ）＝（x+k）在[2，3]上有解．【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题第11页（共13页）18．（14分）已知函数f（x ）＝其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（I）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M＝[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）＝[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M＝R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．【分析】（I）利用y＝|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域，再求其并集即可；（II）抓住线索﹣3∈P∪M，逐层深入，先判断﹣3∈P，得a 的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定a的值；（III）现根据函数的单调性确定∴（﹣∞，0）⊆M，（1，+∞）⊆P，再证明在（0，1）上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合P，M【解答】解：（I）∵P＝（﹣∞，0），∴f（P）＝{y|y＝|x|，x∈（﹣∞，0）}＝（0，+∞），∵M＝[0，4]，∴f（M）＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈[0，4]}＝[﹣8，1]．∴f（P）∪f（M）＝[﹣8，+∞）（II）若﹣3∈M，则f（﹣3）＝﹣15∉[﹣3，2a﹣3]，不符合要求∴﹣3∈P，从而f（﹣3）＝3∵f（﹣3）＝3∈[﹣3，2a﹣3]∴2a﹣3≥3，得a≥3若a＞3，则2a﹣3＞3＞﹣（x﹣1）2+1＝﹣x2+2x∵P∩M＝∅，∴2a﹣3的原象x0∈P且3＜x0≤a∴x0＝2a﹣3≤a，得a≤3，与前提矛盾∴a＝3此时可取P＝[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M＝[﹣1，0），满足题意（III）∵f（x）是单调递增函数，∴对任意x＜0，有f（x）＜f（0）＝0，∴x∈M∴（﹣∞，0）⊆M，同理可证：（1，+∞）⊆P若存在0＜x0＜1，使得x0∈M，则1＞f（x0）＝﹣+2x0＞x0，于是[x0，﹣+2x0]⊆M记x1＝﹣+2x0∈（0，1），x2＝﹣+2x1，…第12页（共13页）∴[x0，x1]∈M，同理可知[x1，x2]∈M，…由x n+1＝﹣+2x n，得1﹣x n+1＝1+﹣2x n＝（1﹣x n）2；∴1﹣x n＝（1﹣x n﹣1）2＝（1﹣x n﹣2）22＝…＝（1﹣x0）2n对于任意x∈[x0，1]，取[log2log（1﹣x0）（1﹣x）﹣1，log2log（1﹣x0）（1﹣x）]中的自然数n x，则x∈[xn x，xn x+1]⊆M∴[x0，1）⊆M综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：P＝（0，t）∪[1，+∞），M＝（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1或者P＝（0，t]∪[1，+∞），M＝（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1或者P＝[1，+∞），M＝（﹣∞，1]或者P＝（0，+∞），M＝（﹣∞，0]【点评】本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题解决问题的能力第13页（共13页）。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（上）期末数学试卷试题数：18.满分：01.（填空题.3分）函数f（x）= lg(x+1)x的定义域为___ ．2.（填空题.3分）设f（x）是定义在R上的奇函数.且满足f（x+2）=-f（x）.则f（-2）=___ ．3.（填空题.3分）已知cosα=√55，−π2＜α＜0 .则tanα=___ ．4.（填空题.3分）2020°是第___ 象限角．5.（填空题.3分）已知函数y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数.若函数f−1(x)=x−ax+1(x≠−a，x∈R)的图象过点（2.3）.则f（4）=___ ．6.（填空题.3分）若关于x的方程|a x-1|=2a.（a＞0.a≠1）有两个不相等实数根.则实数a的取值范围是___ ．7.（填空题.3分）屠老师从2013年9月10日起.每年这一天到银行存款一年定期1万元.且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期.若一年定期存款利率2.50%保持不变.到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出.他可取回的钱数约为___ 元（保留整数）8.（填空题.3分）已知函数f（x）=k•4x-k•2x+1-4（k+5）在区间[0.2]上存在零点.则实数k的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）下列命题正确的序号为___ ．① 周期函数都有最小正周期；② 偶函数一定不存在反函数；③ “f（x）是单调函数”是“f（x）存在反函数”的充分不必要条件；④ 若原函数与反函数的图象有偶数个交点.则可能都不在直线y=x上；10.（填空题.3分）设f（x）是定义在R上的奇函数.且当x≥0时.f（x）=x2.若对任意的x∈[t.t+2].不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立.则实数t的取值范围是 ___ ．11.（单选题.3分）“我自横刀向天笑.笑完我就去睡觉．睡醒我又拿起刀.我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中.蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象.它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点的图象大致为（）12.（单选题.3分）函数y= e x+e−xe x−e−xA.B.C.D.13.（单选题.3分）已知f（x）=|x+1|+|x+2|+……+|x+2018|+|x-1|+|x-2|+……+|x-2018|（x∈R）.且集合M={a|f（a2-a-2）=f（a+1）}.则集合N={f（a）|a∈M}的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个14.（单选题.3分）下列命题中正确的命题是（）A.若存在x1.x2∈[a.b].当x1＜x2时.有f（x1）＜f（x2）.则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数B.若存在x i∈[a.b]（1≤i≤n.n≥2.i、n∈N*）.当x1＜x2＜x3＜…＜x n时.有f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜…＜f（x n）.则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数C.函数y=f（x）的定义域为[0.+∞）.若对任意的x＞0.都有f（x）＜f（0）.则函数y=f（x）在[0.+∞）上一定是减函数D.若对任意x1.x2∈[a.b].当x1≠x2时.有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0 .则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数15.（问答题.0分）已知一个扇形的周长为30厘米.求扇形面积S的最大值.并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数．16.（问答题.0分）判断并证明函数f(x)=1+2x1−2x +log21+x1−x的奇偶性．17.（问答题.0分）已知函数f（x）=9x-2a•3x+3：（1）若a=1.x∈[0.1]时.求f（x）的值域；（2）当x∈[-1.1]时.求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n.同时满足下列条件：① n＞m＞3；② 当h（a）的定义域为[m.n]时.其值域为[m2.n2].若存在.求出m、n的值.若不存在.请说明理由．18.（问答题.0分）设ℎ(x)=x+mx . x∈[14，5] .其中m是不等于零的常数．（1）写出h（4x）的定义域：（2）求h（x）的单调递增区间：（3）已知函数f（x）（x∈[a.b]）.定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a.b]）.f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a.b]）．其中.min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值.max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=x.x∈[0.1].则f1（x）=0.x∈[0.1].f2（x）=x.x∈[0.1].当m=1时.设M(x)=ℎ(x)+ℎ(4x)2+|ℎ(x)−ℎ(4x)|2.不等式t≤M1（x）-M2（x）≤n恒成立.求t.n的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：0的定义域为___ ．1.（填空题.3分）函数f（x）= lg(x+1)x【正确答案】：[1]（-1.0）∪（0.+∞）【解析】：根据对数函数以及分母不为0.求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得：.{x+1＞0x≠0解得：x＞-1且x≠0.故函数的定义域是（-1.0）∪（0.+∞）.故答案为：（-1.0）∪（0.+∞）．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题.考查对数函数的性质.是一道基础题．2.（填空题.3分）设f（x）是定义在R上的奇函数.且满足f（x+2）=-f（x）.则f（-2）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：利用奇函数的性质f（0）=0；给已知等式中的x赋值0.求出f（2）；利用奇函数的定义求出f（-2）．【解答】：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数.∴f（0）=0∵f（x+2）=-f（x）.令x=0得f（2）=-f（0）所以f（2）=0∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（-2）=-f（2）=0故答案为0【点评】：本题考查奇函数的性质：若f（x）是奇函数.且在x=0处有意义则f（0）=0；考查奇函数的定义；考查通过赋值法求函数值．3.（填空题.3分）已知cosα=√55，−π2＜α＜0 .则tanα=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：利用同角三角函数的基本关系式.求出sinα.然后得到tanα．【解答】：解：因为cosα=√55，−π2＜α＜0 .所以sinα= −√1−cos2α = −√1−(√55)2=−2√55.所以tanα= sinαcosα=−2√55√55=-2；故答案为：-2【点评】：本题是基础题.考查同角三角函数的基本关系式的应用.注意角的范围.三角函数值的范围.考查计算能力．4.（填空题.3分）2020°是第___ 象限角．【正确答案】：[1]三【解析】：把2020°写成5×360°+220°.可知2020°与220°角的终边相同.则答案可求．【解答】：解：∵2020°=5×360°+220°.∴2020°与220°角的终边相同.为第三象限角．故答案为：三．【点评】：本题考查了象限角.考查了终边相同的角.是基础题．5.（填空题.3分）已知函数y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数.若函数f−1(x)=x−ax+1(x≠−a，x∈R)的图象过点（2.3）.则f（4）=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：根据f-1（2）=3得a=-7.再根据f-1（x）=4解得x=1即可．=3.解得a=-7.所以f-1（x）= 【解答】：解：因为f-1（x）过（2.3）.所以f-1（2）=3.所以2−a2+1x+7.x+1=4解得x=1.所以f（4）=1.由x+7x+1故答案为：1．【点评】：本题考查了反函数.属基础题．6.（填空题.3分）若关于x的方程|a x-1|=2a.（a＞0.a≠1）有两个不相等实数根.则实数a的取值范围是___ ．）【正确答案】：[1]（0. 12【解析】：先画出a＞1和0＜a＜1时的两种图象.根据图象可直接得出答案．【解答】：解：据题意.函数y=|a x-1|（a＞0.a≠1）的图象与直线y=2a有两个不同的交点．a＞1时0＜a＜1时）.由图知.0＜2a＜1.所以a∈（0. 12）．故答案为：（0. 12【点评】：本题主要考查指数函数的图象与性质.考查方程根的个数的判断.体现了数形结合及转化的数学思想．7.（填空题.3分）屠老师从2013年9月10日起.每年这一天到银行存款一年定期1万元.且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期.若一年定期存款利率2.50%保持不变.到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出.他可取回的钱数约为___ 元（保留整数）【正确答案】：[1]53877【解析】：利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】：解：屠老师从2013年9月10日起.每年这一天到银行存款一年定期1万元.且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期.若一年定期存款利率2.50%保持不变.到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出.他可取回的钱数约为：（1+0.025）+（1+0.025）2+（1+0.025）3+（1+0.025）4+（1+0.025）5≈53877．= 1.025(1−0.0255)1−0.025故答案为：53877．【点评】：本题考查他可取回的钱数的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．8.（填空题.3分）已知函数f（x）=k•4x-k•2x+1-4（k+5）在区间[0.2]上存在零点.则实数k的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.-4]∪[5.+∞）【解析】：要使函数f（x）=k•4x-k•2x+1-4（k+5）在区间[0.2]上存在零点.换元令t=2x.则t∈[1.4].即f（t）=k•t2-2k•t-4（k+5）=k（t-1）2-5（k+4）在[1.4]上有零点.根据零点判定定理即可求得结论．【解答】：解：令t=2x.则t∈[1.4].∴f（t）=k•t2-2k•t-4（k+5）=k（t-1）2-5（k+4）在[1.4]上有零点.∴f（1）f（4）≤0即可.即-5（k+4）（4k-20）≤0.解得k≥5或k≤-4.故答案为：（-∞.-4]∪[5.+∞）．【点评】：此题是中档题．考查函数的零点与函数图象的交点之间的关系.体现了转化的能力.同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．9.（填空题.3分）下列命题正确的序号为___ ．① 周期函数都有最小正周期；② 偶函数一定不存在反函数；③ “f （x ）是单调函数”是“f （x ）存在反函数”的充分不必要条件；④ 若原函数与反函数的图象有偶数个交点.则可能都不在直线y=x 上；【正确答案】：[1] ③ ④【解析】：根据题意.对题目中的命题进行分析、判断真假性即可．【解答】：解：对于 ① .不是所有的周期函数都有最小正周期.如f （x ）= {0，x 为有理数1，x 为无理数.∴ ① 错误；对于 ② .f （x ）=0.x∈{0}.是偶函数.它有反函数.∴ ② 错误；对于 ③ .f （x ）是单调函数时.f （x ）存在反函数.充分性成立.f （x ）存在反函数时.f （x ）不一定是单调函数.如f （x ）= 1x .（x≠0）.必要性不成立. 是充分不必要条件. ③ 正确；对于 ④ .原函数与反函数的图象有偶数个交点时.则它们的交点必关于直线y=x 对称. 也可能都不在直线y=x 上. ④ 正确；综上所述.正确的命题序号是 ③ ④ ．故答案为： ③ ④ ．【点评】：本题利用命题真假的判断考查了函数的定义与性质的应用问题.是中档题．10.（填空题.3分）设f （x ）是定义在R 上的奇函数.且当x≥0时.f （x ）=x 2.若对任意的x∈[t .t+2].不等式f （x+t ）≥2f （x ）恒成立.则实数t 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1] [√2，+∞)【解析】：由当x≥0时.f （x ）=x 2.函数是奇函数.可得当x ＜0时.f （x ）=-x 2.从而f （x ）在R 上是单调递增函数.且满足2f （x ）=f （ √2 x ）.再根据不等式f （x+t ）≥2f （x ）=f （ √2 x ）在[t.t+2]恒成立.可得x+t≥ √2 x 在[t.t+2]恒成立.即可得出答案．【解答】：解：当x≥0时.f （x ）=x 2∵函数是奇函数∴当x ＜0时.f （x ）=-x 2∴f （x ）= {x 2 x ≥0−x 2 x ＜0. ∴f （x ）在R 上是单调递增函数.且满足2f （x ）=f （ √2 x ）.∵不等式f （x+t ）≥2f （x ）=f （ √2 x ）在[t.t+2]恒成立.∴x+t≥ √2 x在[t.t+2]恒成立.即：x≤（1+ √2）t在[t.t+2]恒成立.∴t+2≤（1+ √2）t解得：t≥ √2 .故答案为：[ √2 .+∞）．【点评】：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性.难度适中.关键是掌握函数的单调性与奇偶性．11.（单选题.3分）“我自横刀向天笑.笑完我就去睡觉．睡醒我又拿起刀.我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中.蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象.它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点【正确答案】：C【解析】：本题符合函数周期性特点．【解答】：解：函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”．打油诗作者【横刀向天笑】→【睡觉】→【拿起刀】→【横刀向天笑】→……每三句重复出现一样的内容.符合函数周期性的特点．故选：C．【点评】：打油诗作者通过循环句式.表达了面对将要发生的灾难时.豁达坦然的心境.诙谐中透露出自己的无奈和寂寞．的图象大致为（）12.（单选题.3分）函数y= e x+e−xe x−e−xA.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：欲判断图象大致图象.可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑.还可从函数的单调性（在函数当x＞0时函数为减函数）方面进行考虑即可．【解答】：解析：函数有意义.需使e x-e-x≠0.其定义域为{x|x≠0}.f（-x）= e−x+e xe−x−e x =- e x+e−xe x−e−x=-f（x）.故函数为奇函数.排除选项D；又因为y=e x+e−xe x−e−x =e2x+1e2x−1=1+2e2x−1.所以当x＞0时函数为减函数.排除选项B.C．故选：A．【点评】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的函数比较复杂.需要对其先变形.再在定义域内对其进行考查其余的性质．13.（单选题.3分）已知f（x）=|x+1|+|x+2|+……+|x+2018|+|x-1|+|x-2|+……+|x-2018|（x∈R）.且集合M={a|f（a2-a-2）=f（a+1）}.则集合N={f（a）|a∈M}的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【正确答案】：A【解析】：先判断函数f （x ）奇偶性.由f （a 2-a-2）=f （a+1）进而|a 2-a-2|=|a+1|解得a.另外当x∈[-1.1]时f （x ）=4074342.联立） {−1≤a 2−a −2≤1−1≤a +1≤1得到a 的范围.根据f （a ）的解析式可以得到f （a ）的个数.从而得到结果．【解答】：解：∵函数f （x ）=|x-2018|+|x-2017|+…+|x -1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|. ∴f （-x ）=|-x-2018|+|-x-2017|+…+|-x-1|+|-x+1|+…+|-x+2017|+|-x+2018|=|x-2018|+|x-2017|+…+|x -1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|=f （x ）. 即函数f （x ）是偶函数.当x∈[-1.1]时.f （x ）=4074342；当x∈[-2.-1]时.f （x ）=-2x+2（3+4+……+2018）=-2x+4074336 若f （a 2-a-2）=f （a+1）. 则a 2-a-2=a+1 ① .或a 2-a-2=-（a+1） ② ； {−1≤a 2−a −2≤1−1≤a +1≤1③ 由 ① 得a 2-2a-3=（a+1）（a-3）=0. 即（a-1）（a-3）=0.解得a=-1或a=3； 由 ② 得a 2-1=0.解得a=1或a=-1； 由 ③ 得1−√132 ≤a ≤1−√52综上a=-1或1−√132 ≤a ≤1−√52或a=3；又f （1）=4074342. 当-1≤a ≤1−√52时f （a ）=4074342当1−√132≤a ＜-1时f （a ）=-2a+4074336.有无数个f （3）=4+5+……+2021+2+1+0+1+……+2015=4074348 ∴f （a ）的值有无数个． 故选：A ．【点评】：本题考查了函数性质.方程与不等式的解法.集合的性质.考查了推理与计算能力.属于难题．14.（单选题.3分）下列命题中正确的命题是（）A.若存在x1.x2∈[a.b].当x1＜x2时.有f（x1）＜f（x2）.则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数B.若存在x i∈[a.b]（1≤i≤n.n≥2.i、n∈N*）.当x1＜x2＜x3＜…＜x n时.有f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜…＜f（x n）.则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数C.函数y=f（x）的定义域为[0.+∞）.若对任意的x＞0.都有f（x）＜f（0）.则函数y=f（x）在[0.+∞）上一定是减函数D.若对任意x1.x2∈[a.b].当x1≠x2时.有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0 .则说函数y=f（x）在区间[a.b]上是增函数【正确答案】：D【解析】：比值大于零.说明分子分母同号.即自变量与函数值变化方向一致.由增函数的定义可得结论．【解答】：解：对任意x1.x2∈[a.b].当x1≠x2时.有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0成立.即有x1＞x2时.f（x1）＞f（x2）.x1＜x2时.f（x1）＜f（x2）.由增函数的定义知：函数f（x）在区间[a.b]上是增函数．故选：D．【点评】：本题主要考查增函数、减函数的定义.熟记定义是解题的关键．属基础题．15.（问答题.0分）已知一个扇形的周长为30厘米.求扇形面积S的最大值.并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数．【正确答案】：【解析】：设扇形的半径为R.弧长为l.依题意有l+2R=30.利用扇形面积公式S扇形= 12lR.利用基本不等式即可求得答案．【解答】：解：设扇形的半径为R.弧长为l.则l+2R=30．可得：S扇形= 12 lR= 12（30-2R）•R=（15-R）•R≤[ (15−R)+R2]2= 2254（当且仅当R= 152时取等号）．可得：S扇形最大值为2254.此时R= 152.l=15．可得：扇形圆心角的弧度数α= lR = 15152=2（rad ）．【点评】：本题考查扇形面积公式.考查弧长公式.考查基本不等式（也可利用配方法）的应用.属于中档题．16.（问答题.0分）判断并证明函数 f (x )=1+2x 1−2x+log 21+x1−x的奇偶性．【正确答案】：【解析】：容易看出f （x ）是奇函数.根据奇函数的定义证明：可求出f （x ）的定义域.然后可得出f （-x ）=-f （x ）.从而判断出f （x ）是奇函数．【解答】：解：解 {1−2x ≠01+x 1−x＞0得.-1＜x ＜1.且x≠0；∴f （x ）的定义域为{x|-1＜x ＜1.且x≠0}； 又 f (−x )=1+2−x 1−2−x+log 21−x 1+x = −1+2x1−2x−log 21+x1−x =−f (x ) ；∴f （x ）是奇函数．【点评】：考查奇函数的定义及判断.对数的运算性质． 17.（问答题.0分）已知函数f （x ）=9x -2a•3x +3： （1）若a=1.x∈[0.1]时.求f （x ）的值域； （2）当x∈[-1.1]时.求f （x ）的最小值h （a ）；（3）是否存在实数m 、n.同时满足下列条件： ① n ＞m ＞3； ② 当h （a ）的定义域为[m.n]时.其值域为[m 2.n 2].若存在.求出m 、n 的值.若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设t=3x .则φ（t ）=t 2-2at+3=（t-a ）2+3-a 2.φ（t ）的对称轴为t=a.当a=1时.即可求出f （x ）的值域；（2）由函数φ（t ）的对称轴为t=a.分类讨论当a ＜ 13时.当 13≤a≤3时.当a ＞3时.求出最小值.则h （a ）的表达式可求；（3）假设满足题意的m.n 存在.函数h （a ）在（3.+∞）上是减函数.求出h （a ）的定义域.值域.然后列出不等式组.求解与已知矛盾.即可得到结论．【解答】：解：（1）∵函数f （x ）=9x -2a•3x +3. 设t=3x .t∈[1.3].则φ（t ）=t 2-2at+3=（t-a ）2+3-a 2.对称轴为t=a ． 当a=1时.φ（t ）=（t-1）2+2在[1.3]递增. ∴φ（t ）∈[φ（1）.φ（3）]. ∴函数f （x ）的值域是：[2.6]； （Ⅱ）∵函数φ（t ）的对称轴为t=a. 当x∈[-1.1]时.t∈[ 13.3].当a ＜ 13 时.y min =h （a ）=φ（ 13 ）= 289 - 2a3 ； 当 13 ≤a≤3时.y min =h （a ）=φ（a ）=3-a 2； 当a ＞3时.y min =h （a ）=φ（3）=12-6a ． 故h （a ）= {289−2a3，a ＜133−a 2，13≤a ≤312−6a ，a ＞3 ；（Ⅲ）假设满足题意的m.n 存在.∵n ＞m ＞3.∴h （a ）=12-6a. ∴函数h （a ）在（3.+∞）上是减函数． 又∵h （a ）的定义域为[m.n].值域为[m 2.n 2].则 {12−6m =n 212−6n =m 2. 两式相减得6（n-m ）=（n-m ）•（m+n ）. 又∵n ＞m ＞3.∴m -n≠0.∴m+n=6.与n ＞m ＞3矛盾． ∴满足题意的m.n 不存在．【点评】：本题主要考查二次函数的值域问题.二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理.是中档题．18.（问答题.0分）设ℎ(x)=x+mx . x∈[14，5] .其中m是不等于零的常数．（1）写出h（4x）的定义域：（2）求h（x）的单调递增区间：（3）已知函数f（x）（x∈[a.b]）.定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a.b]）.f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a.b]）．其中.min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值.max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=x.x∈[0.1].则f1（x）=0.x∈[0.1].f2（x）=x.x∈[0.1].当m=1时.设M(x)=ℎ(x)+ℎ(4x)2+|ℎ(x)−ℎ(4x)|2.不等式t≤M1（x）-M2（x）≤n恒成立.求t.n的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）考查复合函数的定义域；（2）x+ mx在m＜0时在（0.+∞）单调递增.在m＞0时是对勾函数.x= √m是其极小值点.利用这个求单调递增区间；（3）不等式t≤M1（x）-M2（x）≤n恒成立.就是求函数M1（x）-M2（x）的最大值与最小值.而M（x）实际上是对函数h（x）与h（4x）求较小的那个．【解答】：解：（1）4x∈[ 14 .5].所以h（4x）的定义域为[116，54]；（2）m＜0时.h（x）在[14，5]递增；0＜m≤116时.h（x）在[14，5]递增；116＜m≤25时.h（x）在[√m，5]递增；m＞25时.h（x）在[√m，5]递减.无单调增区间．（3）M（x）的定义域为[ 14 .5 4 ]h（x）≥h（4x）时.M（x）=h（x）；h（x）＜h（4x）时.M（x）=h（4x）．h（x）≥h（4x）⇔x+ 1x ≥4x+ 14x⇔x2≤ 14．所以当x∈[ 14 . 12]时.h（x）≥h（4x）.M（x）=h（x）=x+ 1x.在[ 14. 12]单调递减.所以M1（x）=x+ 1x .M2（x）=M（14）= 174．令g（x）=M1（x）-M2（x）=x+ 1x - 174.则g（x）在区间[ 14. 12]上的最小值为- 74.最大值为0．当x∈（12 . 54]时.h（x）＜h（4x）.M（x）=h（4x）=4x+ 14x.在（12. 54]单调递增.并且M（1）= 174 =M （ 14 ）i ．当x∈（ 12 .1）时.M 1（x ）=M （ 12 ）= 52 .M 2（x ）=M （ 14 ）= 174 .所以g （x ）=- 74 ． ii ．当x∈[1. 54]时.M 1（x ）=M （ 12）= 52.M 2（x ）=M （x ）=4x+ 14x.所以g （x ）= 52-4x- 14x.在[1. 54 ]上单调递减所以g （x ）的最大值为g （1）=- 74.最小值为g （ 54）=- 2710． 综上g （x ）的最大值为0.最小值为- 2710 ． ∴n≥0.t≤- 2710 ．【点评】：本题考查函数的单调性、不等式恒成立等问题.使用了分类讨论、数形结合、转化法等方法.属于难题．。
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题与详细解析
华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.3.()cos f x x x =+的值域是______.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C +=++________．10.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B.C. D.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为413.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,]42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3B.4或3C.5或6D.8或7三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．16.已知()1221*,,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1lim nn n u u →∞-.17.已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos 16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案.【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以32x =-时，arcsin 23y π⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.【答案】()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦；∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题3.()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】【分析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案.【详解】()cos f x x x=+12sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.【答案】必要非充分【解析】【分析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案.【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+，当121a a ==，342a a ==时，满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；【答案】60【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列．所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列．因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60．故答案为60．6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.考点：余弦定理；三角形的面积公式.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________【答案】1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()a n n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==，则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，∴19999991001log (99)199a =⋅=．故答案为1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】【分析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数，所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉当3n =时，得2381m -=，此时6m =，所以9m n +=，故答案为：9.【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C +=++________．【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B+=所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b A C B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭．故答案为2201710.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.【答案】lg 3【解析】【分析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案.【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg 3n n n n ++=+所以123n nS a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lg lg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+()13131lg lg 331n n n n⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3.【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B 【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.13.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3 B.4或3C.5或6D.8或7【答案】A 【解析】【分析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案.【详解】函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8，而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤，又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1)∠A =π3(2)AC边上的高为2【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A 437sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16.已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1limnn n u u →∞-.【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩；【解析】【分析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限.【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+，所以()32n n n S +=，当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=-所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n nn a n a a aS a +++-+-+=-.（2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a=+则()111lim lim n nn n n n n a u u na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==；当a b ¹时，11nn n nn u a ab ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==---则111n n n n nn u a b u a b ++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17.已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x 的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.【答案】（1）π或3π；（2）[arctan；（3）19；【解析】试题分析：(1) 4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22xx +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或，arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈arctan a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】【分析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【详解】（1）()()cos 3cos 2cos 2cos sin 2sin x x x x x x x=+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x=-所以原式得证.（2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos 2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos 2cos 21k x k x x k x+=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos 2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos 2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kka=-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=-()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos 2cos 2cos 22k x kx x k x+=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos7π为无理数，所以1cos,cos cos 777m m πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112coscos cos 777m m m m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos 16,7m m m N π≤≤∈不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．幂函数()y f x =的图象经过点(3，则()f x 是（ ）A ．偶函数，且在()0，+∞上是增函数 B ．偶函数，且在()0，+∞上是减函数 C ．奇函数，且在()0，+∞上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在()0，+∞上是增函数 【答案】D【解析】设()af x x =，代入已知点坐标，求出解析式，再确定奇偶性和单调性．【详解】设()af x x =，∴3a=，12a =，即12()f x x =，它既不是奇函数也不是偶函数，但在定义域[0,)+∞上是增函数． 故选：D ． 【点睛】本题考查幂函数的解析式，考查幂函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 2．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3【答案】B【解析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 3．定义在R 上的函数()f x 有反函数()1fx -，若有()()2f x f x +-=恒成立，则()()1120202018f x f x ---+-的值为（ ）A ．0B ．2C ．-2D ．不能确定【答案】A【解析】由已知可得()f x 图像关于(0,1)，可得()1f x -关于(1,0)对称，根据对称性，即可求解. 【详解】定义在R 上的函数()f x 有()()2f x f x +-=恒成立， ()f x 图像关于(0,1)对称，()1f x -关于(1,0)对称，()()()()11202020182,202020180x x f x f x ---+-=-+-=.故选:A, 【点睛】本题考查互为反函数图像间的关系，利用对称性求函数值，解题的关键要掌握对称性的代数式表示，属于中档题.4．已知函数()f x 的定义域为{}0,1,2，值域为{}0,1，则满足条件的函数()f x 的个数为（ ） A ．1个 B ．6个C ．8个D ．无数个【答案】B【解析】根据已知条件定义域{}0,1,2中有两个元素和{0,1}的一个元素对应，第三个元素与{0,1}另一个元素对应，即可求解. 【详解】满足条件的函数()f x 有：(0)0,(1)1,(2)1f f f ===；(0)1,(1)0,(2)0f f f ===；(1)0,(0)1,(2)1f f f ===；(1)1,(0)0,(2)0f f f ===；(2)0,(0)1,(1)1f f f ===；(2)1,(0)0,(1)0f f f ===，满足条件的函数有6个.故选:B. 【点睛】本题考查函数定义，属于基础题.二、填空题5．若实数a b >，则下列说法正确的是__________． （1）a c b c +>+；（2）ac bc <；（3）11a b<；（4）22a b > 【答案】（1）【解析】根据不等式的性质逐个判断，即可得到结论. 【详解】根据不等式的性质（1）正确； （2）中如果0c ≥时不成立，故错误； （3）若1,1a b ==-时，11a b<不成立，故错误； （4）若1,1a b ==-，22a b >不成立，故错误. 故答案为:（1） 【点睛】本题考查不等式的性质，对于常用的不等式成立的条件要熟记，属于基础题. 6．函数()()0f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是__________． 【答案】0b =【解析】根据奇函数的定义，即可求解. 【详解】()()0f x kx b k =+≠为奇函数，则()(),0f x kx b f x kx b b -=-+=-=--=. 故答案为:0b =. 【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，注意奇偶性的定义应用，属于基础题. 7．函数()()227111m m f x m m x++=--是幂函数，则m =__________．【答案】2或-1【解析】根据幂函数的定义，即可求解. 【详解】()()227111mm f x m m x ++=--是幂函数，2211,20m m m m ∴--=--=，解得2m =，或1m =-.故答案为: 2或-1.8．,,1a b R a b +∈+=，则(1)(1)a b ++的最大值为________. 【答案】94【解析】根据基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭结合所求代入公式，即可求解.【详解】由题意,,1a b R a b +∈+=，则2119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当11a b +=+，即12a b ==时等号成立， 即(1)(1)a b ++的最大值为94. 故答案为94【点睛】本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件.9．不等式1213x x -++<的解集为__________． 【答案】()7,6-【解析】对x 分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】1213x x -++<化为12113x x ≥⎧⎨+<⎩或21313x -≤<⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩， 解得16x ≤<或21x -?或72x -<<-，所以76x -<<.故答案为:()7,6-. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解，考查分类讨论思想，属于基础题. 10．“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是__________． 【答案】若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠. 【解析】根据逆否命题的形式，即可得出结论. 【详解】“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是” “若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠.” 故答案为: 若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠. 【点睛】本题考查命题的形式，要注意连接词的变化，属于基础题.11．已知函数()f x =]9[1x ∈，，()()()2g x f x f x =⋅的反函数是()1g x -，则()1gx -的定义域为__________．【答案】2,⎡⎣【解析】根据互为反函数的关系，即求()g x 的值域 【详解】()()[1,9],[1,3]f x x g x x =∈=∈,()g x 在[1,3]为增函数，()g x ∴的值域为2,⎡⎣，即为()1gx -的定义域.故答案为:2,⎡⎣.【点睛】本题考查互为反函数之间的关系，求函数的值域，要注意复合函数的定义域，是解题的易错点，属于中档题.12．函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【答案】(),1616⎡-∞-++∞⎣U【解析】设6x t -=，将()f x 关于t 的函数，利用基本不等式，即可求出值域. 【详解】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==++，当0t >时，()16g t ≥，当且仅当6t x ==时等号成立； 同理当0t <时，()16g t ≤-，当且仅当6t x =-=-时等号成立；所以函数的值域为(),1616⎡-∞-++∞⎣U . 故答案为:(),1616⎡-∞-++∞⎣U .【点睛】本题考查函数的值域，注意基本不等式的应用，属于基础题.13．已知a ，b 为非零实数，且3126a b ab ==，则+a b 的值为__________． 【答案】2【解析】根据指对数的关系，将已知等式转化为对数形式，即可求解. 【详解】336313126,log 6log 6,0,log 3log 6a b ab ab a ab a b ====≠∴==， 同理66log 12,log 362a a b =+==. 故答案为:2. 【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查简单的对数运算，以及换底公式的应用，属于基础题.14．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+， 当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21xg x a x x =+++， 设21xy x =+，当0,0x y ==， 当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+， 若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-， 均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤， 当2x >-时，ln(2)x R +∈， 若0,2,()a x g x >→-→-∞， 若0,,()a x g x <→+∞→-∞ 所以0a =，min 21(),()12x g x g x x ==-+， maxmin ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-，实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.三、解答题15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()0f 及()()1ff 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()00f =，()()11ff =-；（2）()1,0- 【解析】（1）根据函数的解析式，以及函数的对称性，即可求解； （2）由已知只需0x >时，()f x m =有两个解的即可. 【详解】（1）()f x 是定义在R 上的偶函数， 且当0x ≥时，()22f x x x =-，()()1(1)(1)1(0)0,f f f f f ==-==-；（2）函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解， 只需0x >时，()f x m =有两个解， 当0x ≥时，()222(1)1f x x x x =-=--，所以10m -<< 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，以及由方程根的个数求参数，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键，属于基础题.16．某城市居民每月自来水使用量x 与水费()f x 之间满足函数()()0C x Af x C B x A x A<≤⎧=⎨+->⎩，当使用34m 时，缴费4元，当使用327m 时，缴费14元；当使用335m '时，缴费19元. （1）求实数A 、B 、C 的值；（2）若某居民使用329m 水，应该缴水费多少元？【答案】（1）11A =，58B =，4C =；（2）1154元【解析】（1）由已知判断A 的范围，用待定系数法求出,A B ； （2）根据解析式，即可求解. 【详解】 （1）依题意得(27)(4)(35)(27),4272743527f f f f A --≠∴≤<--，(27)4(27)144,(35)4(35)19f B A C f B A =+-=⎧∴=⎨=+-=⎩，解得5,118B A ==，511,,48A B C ∴===.（2）5(29)4(2911)11.258f =+⨯-=（元），答：某居民若使用329m 水，应该缴水费11.25元. 【点睛】本题考查求函数解析式的应用问题，以及求函数值，属于基础题. 17．已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值； （2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k的取值范围.【答案】(1) 1a =- (2) 1m ≥- (3) [1,1]k ?【解析】试题分析：（1）根据函数的奇偶性，求出a 的值即可；（2）求出f （x ）+12log （x ﹣1）=12log （1+x ），根据函数的单调性求出m 的范围即可；（3）问题转化为k=21x -﹣x+1在[2，3]上有解，即g （x ）=21x -﹣x+1在[2，3]上递减，根据函数的单调性求出g （x ）的值域，从而求出k 的范围即可． 解析：（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-， 即111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----，解得1a =-或1a =（舍）.（2）()()()()111122221log 1log log 1log 11xf x x x x x ++-=+-=+- 当1x >时，()12log 11x +<-，∵当()1,x ∈+∞时，()()12log 1f x x m +-<恒成立，∴1m ≥-.（3）由（1）知，()()12log f x x k =+，即()()11221log log 1x f x x k x +==+-，即11x x k x +=+-即211k x x =-+-在[]2,3上有解， ()211g x x x =-+-在[]2,3上单调递减()g x 的值域为[]1,1-，∴[]1,1k ∈-点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，如果是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。
2024届上海华东师大二附中高一数学第二学期期末经典试题含解析
2024届上海华东师大二附中高一数学第二学期期末经典试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知a 是第一象限角，那么2a是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角2．函数()()sin f x A x =+ωϕ，()0,0A ω>>，若()f x 在区间[0,]2π上是单调函数，()()0()2ππ-==-f f f ，则ω的值为（ ）A ．12B ．2C ．12或23D ．23或2 3．已知21tan tan 544παββ+=-=（），（），则tan 4πα+（）的值为（） A ．16B ．322C ．2213D ．13184．如图，函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足(1,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，5PM =，则A 的值为（ ）A ．62B ．52C 1633D 8335．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2) (4)D ．(2)(3)6．在ABC 中，已知30A ∠=︒，3AB =，2BC =，则ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定7．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知22(2,2cos )222a sinαα=-，(cos ,)2b m α=，若对任意的[1,1]m ∈-，12a b ⋅>恒成立，则角α的取值范围是 A ．713(2,2)()1212k k k z ππππ++∈ B ．57(2,2)()1212k k k z ππππ++∈ C ．5(2,2)()1212k k k z ππππ-+∈ D ．7(2,2)()1212k k k z ππππ-+∈ 9． 过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( ) A ．4B ．2C ．D ．10．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 13a =-，则10S 等于 （ ） A ．18B ．24C ．60D ．90二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）若实数a ＞b.则下列说法正确的是___ ． （1）a+c ＞b+c ；（2）ac ＜bc ；（3） 1a ＜ 1b ；（4）a 2＞b 22.（填空题.4分）函数f （x ）=kx+b （k≠0）是奇函数的充要条件是___ ．3.（填空题.4分）函数f （x ）=（m 2-m-1）x m2+7m+11是幂函数.则m=___ ．4.（填空题.4分）若a.b 都是正数.且a+b=1.则（a+1）（b+1）的最大值___ ．5.（填空题.4分）不等式|x-1|+|x+2|＜13的解集为___ ．6.（填空题.4分）“若x+y=1.则x=1且y=0”的逆否命题是___ ．7.（填空题.4分）已知函数f （x ）= √x +1 .x∈[1.9].g （x ）=f （x ）•f （x 2）的反函数是g -1（x ）.则g -1（x ）的定义域为___ ． 8.（填空题.4分）函数f （x ）= x 2+4x+3x−6的值域为___ ．9.（填空题.4分）已知a.b 为非零实数.且3a =12b =6ab .则a+b 的值为___ ．10.（填空题.4分）已知函数f （x ）= {−x 2+x +k ，x ≤1−12+log 13x ，x ＞1.g （x ）=aln （x+2）+ xx 2+1（a∈R ）.若对任意的x 1.x 2∈{x|x∈R .x ＞-2}.均有f （x 1）≤g （x 2）.则实数k 的取值范围是___ ． 11.（单选题.4分）幂函数y=f （x ）经过点（3. √3 ）.则f （x ）是（ ） A.偶函数.且在（0.+∞）上是增函数 B.偶函数.且在（0.+∞）上是减函数 C.奇函数.且在（0.+∞）是减函数D.非奇非偶函数.且在（0.+∞）上是增函数 12.（单选题.4分）若函数f （x ）= {(3−a )x −3，x ≤7ax−6，x ＞7单调递增.则实数a 的取值范围是（ ） A.（ 94 .3） B.[ 94 .3） C.（1.3）D.（2.3）13.（单选题.4分）定义在R上的函数f（x）有反函数f-1（x）.若有f（x）+f（-x）=2恒成立.则f-1（2020-x）+f-1（x-2018）的值为（）A.0B.2C.-2D.不能确定14.（单选题.4分）已知函数f（x）的定义域为{0.1.2}.值域为{0.1}.则满足条件的函数f（x）的个数为（）A.1个B.6个C.8个D.无数个15.（问答题.8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数.且当x≥0时.f（x）=x2-2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）-m=0有四个不同的实数解.求实数m的取值范围.16.（问答题.10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）={C，0＜x≤AC+B(x−A)，x＞A当使用4m3时.缴费4元.当使用27m3时.缴费14元；当使用35m3时.缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水.应该缴水费多少元？17.（问答题.12分）已知函数f（x）= log121−axx−1的图象关于原点对称.其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1.+∞）时.f（x）+ log12（x-1）＜m恒成立.求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）= log12（x+k）在[2.3]上有解.求k的取值范围．18.（问答题.14分）已知函数f（x）= {|x|，x∈p−x2+2x，x∈M其中P.M是非空数集.且P∩M=∅.设f（P）={y|y=f（x）.x∈P}.f（M）={y|y=f（x）.x∈M}．（Ⅰ）若P=（-∞.0）.M=[0.4].求f（P）∪f（M）；（Ⅱ）是否存在实数a＞-3.使得P∪M=[-3.a].且f（P）∪f（M）=[-3.2a-3]？若存在.请求出满足条件的实数a；若不存在.请说明理由；（Ⅲ）若P∪M=R.且0∈M.I∈P.f（x）是单调递增函数.求集合P.M．2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）若实数a＞b.则下列说法正确的是___ ．（1）a+c＞b+c；（2）ac＜bc；（3）1a ＜1b；（4）a2＞b2【正确答案】：[1]（1）【解析】：由不等式的性质逐项判断即可．【解答】：解：由可加性知.（1）正确；当c≥0时.（2）显然不正确；当a.b满足其中一个为0时.（3）显然无意义；取a=1.b=-2可知.（4）不正确．故答案为：（1）．【点评】：本题考查不等式性质的运用.属于基础题．2.（填空题.4分）函数f（x）=kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是___ ．【正确答案】：[1]b=0【解析】：函数f（x）=kx+b（k≠0）⇔f（0）=0.即可得出．【解答】：解：函数f（x）=kx+b（k≠0）⇔f（0）=0.∴b=0．∴函数f（x）=kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是b=0．故答案为：b=0．【点评】：本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．3.（填空题.4分）函数f（x）=（m2-m-1）x m2+7m+11是幂函数.则m=___ ．【正确答案】：[1]2或-1【解析】：函数f（x）=（m2-m-1）x m2+7m+11是幂函数.利用幂函数的定义得m2-m-1=1.由此能求出m的值．【解答】：解：∵函数f（x）=（m2-m-1）x m2+7m+11是幂函数.∴m2-m-1=1.解得m=2或m=-1．故答案为：2或-1．【点评】：本题考查实数值的求法.考查幂函数的性质的性质等基础知识.考查推理能力与计算能力.属于基础题．4.（填空题.4分）若a.b都是正数.且a+b=1.则（a+1）（b+1）的最大值___ ．【正确答案】：[1] 94【解析】：先利用基本不等式可得ab≤14.再将（a+1）（b+1）展开即可得到答案．【解答】：解：∵a+b=1.a＞0.b＞0.∴ 1=a+b≥2√ab .即ab≤14.当且仅当a=b时取等号.∴ (a+1)(b+1)=ab+1+1≤14+2=94.即（a+1）（b+1）的最大值为94．故答案为：94．【点评】：本题主要考查基本不等式的运用.属于基础题．5.（填空题.4分）不等式|x-1|+|x+2|＜13的解集为___ ．【正确答案】：[1]（-7.6）【解析】：分类讨论.去掉绝对值符号.解不等式即可．【解答】：解：当x≤-2时.原不等式等价于1-x-x-2＜13.解得x＞-7.此时满足-7＜x≤-2；当-2＜x＜1时.原不等式等价于1-x+x+2＜13.即3＜13恒成立；当x≥1时.原不等式等价于x-1+x+2＜13.解得x＜6.此时满足1≤x＜6；综上.不等式的解集为（-7.6）．故答案为：（-7.6）．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法.考查分类讨论思想.属于基础题．6.（填空题.4分）“若x+y=1.则x=1且y=0”的逆否命题是___ ．【正确答案】：[1]若x≠1或y≠0.则x+y≠1【解析】：本题根据“若p.则q”的逆否命题的形式是：“若￢q.则￢p”.可以解答．【解答】：解：若p.则q 的逆否命题的形式是：若￢q.则￢p ．因此命题“若x+y=1.则x=1且y=0”的逆否命题为“若x≠1或y≠0.则x+y≠1”． 故答案为：若x≠1或y≠0.则x+y≠1．【点评】：本题考查了逆否命题的概念.四种命题的关系．7.（填空题.4分）已知函数f （x ）= √x +1 .x∈[1.9].g （x ）=f （x ）•f （x 2）的反函数是g -1（x ）.则g -1（x ）的定义域为___ ． 【正确答案】：[1][2.2 √10 ]【解析】：函数f （x ）= √x +1 .x∈[1.9].g （x ）=f （x ）•f （x 2）= √x +1 • √x 2+1 = √x 3+x 2+x +1 .根据单调性可得其值域．于是g -1（x ）的定义域为原函数g （x ）的值域．【解答】：解：函数f （x ）= √x +1 .x∈[1.9].g （x ）=f （x ）•f （x 2）= √x +1 • √x 2+1 = √x 3+x 2+x +1 .由 {1≤x ≤91≤x 2≤9 .解得1≤x≤3．∴g （x ）∈[2.2 √10 ].则g -1（x ）的定义域为原函数g （x ）的值域.∴g -1（x ）的定义域为∈[2.2 √10 ]. 故答案为：[2.2 √10 ].【点评】：本题考查了互为反函数的性质、函数的单调性.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．8.（填空题.4分）函数f （x ）= x 2+4x+3x−6 的值域为___ ．【正确答案】：[1] (−∞，16−6√7]∪[16+6√7，+∞) 【解析】：分离常数后.利用双勾函数的性质即可得解．【解答】：解： f (x )=x 2+4x+3x−6=(x−6)2+16(x−6)+63x−6=(x −6)+63x−6+16 .由双勾函数性质可知. x −6+63x−6+16∈(−∞，−2√63+16]∪[2√63+16，+∞) ． 故答案为： (−∞，16−6√7]∪[16+6√7，+∞) ．【点评】：本题考查函数值域的求解.属于基础题．9.（填空题.4分）已知a.b 为非零实数.且3a =12b =6ab .则a+b 的值为___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：设3a =12b =6ab =k.把指数式化为对数式.再利用对数的运算性质即可求解．【解答】：解：设3a =12b =6ab =k. ∴a=log 3k.b=log 12k.ab=log 6k.∴ 1a +1b =log k 3+log k 12=log k 36 =2log k 6.又∵ 1ab =log k 6 . ∴ 1a +1b =2ab . ∴a+b ab =2ab. ∴a+b=2. 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了指数式与对数式的互化.以及对数的运算性质.是中档题． 10.（填空题.4分）已知函数f （x ）= {−x 2+x +k ，x ≤1−12+log 13x ，x ＞1.g （x ）=aln （x+2）+ xx 2+1（a∈R ）.若对任意的x 1.x 2∈{x|x∈R .x ＞-2}.均有f （x 1）≤g （x 2）.则实数k 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (−∞，−34]【解析】：可求得 f (x )max =max{14+k ，−12} . g (x )min =−12 .根据题意f （x ）max ≤g （x ）min （x ＞-2）.由此得到 14+k ≤−12 .解该不等式即可求得实数k 的取值范围．【解答】：解：对函数f （x ）.当x≤1时. f (x )max =f (12)=14+k ；当x ＞1时. f (x )max =f (1)=−12 .∴f （x ）在（-2.+∞）上的最大值 f (x )max =max{14+k ，−12} ； 对函数g （x ）.函数g （x ）若有最小值.则a=0.即 g (x )=xx 2+1 . 当x∈（-2.0）∪（0.+∞）时. g (x )=1x+1x.易知函数 g (x )min =−12；又对任意的x 1.x 2∈{x|x∈R .x ＞-2}.均有f （x 1）≤g （x 2）. ∴f （x ）max ≤g （x ）min （x ＞-2）.即 max{14+k ，−12}≤−12 . ∴ 14+k ≤−12 .∴ k ≤−34 .即实数k 的取值范围为 (−∞，−34] ．故答案为：(−∞，−34]．【点评】：本题考查不等式的恒成立问题.考查函数最值的求解.考查转化思想及计算能力.属于中档题．11.（单选题.4分）幂函数y=f（x）经过点（3. √3）.则f（x）是（）A.偶函数.且在（0.+∞）上是增函数B.偶函数.且在（0.+∞）上是减函数C.奇函数.且在（0.+∞）是减函数D.非奇非偶函数.且在（0.+∞）上是增函数【正确答案】：D【解析】：设出幂函数的解析式.求出自变量的指数.从而求出函数的性质即可．【解答】：解：设幂函数的解析式为：y=xα.将（3. √3）代入解析式得：3α= √3 .解得α= 12.∴y= x12 .故选：D．【点评】：本题考查了求幂函数的解析式.考查函数的奇偶性和单调性问题.是一道基础题．12.（单选题.4分）若函数f（x）= {(3−a)x−3，x≤7a x−6，x＞7单调递增.则实数a的取值范围是（）A.（94.3）B.[ 94.3）C.（1.3）D.（2.3）【正确答案】：B【解析】：利用函数的单调性.判断指数函数的对称轴.以及一次函数的单调性列出不等式求解即可【解答】：解：∵函数f （x ）= {(3−a )x −3，x ≤7a x−6，x ＞7 单调递增.由指数函数以及一次函数的单调性的性质.可得3-a ＞0且a ＞1． 但应当注意两段函数在衔接点x=7处的函数值大小的比较. 即（3-a ）×7-3≤a .可以解得a≥ 94 . 综上.实数a 的取值范围是[ 94 .3）． 故选：B ．【点评】：本题考查分段函数的应用.指数函数的性质.考查学生的计算能力.属于中档题． 13.（单选题.4分）定义在R 上的函数f （x ）有反函数f -1（x ）.若有f （x ）+f （-x ）=2恒成立.则f -1（2020-x ）+f -1（x-2018）的值为（ ） A.0 B.2 C.-2 D.不能确定 【正确答案】：A【解析】：分析：由 f （x ）+f （-x ）=2.得 f （t ）+f （-t ）=2.注意（2020-x ）与 （x-2018）的和等于2.若（x-2018）与 （2020-x ）一个是t.则另一个是-t.再应用反函数的定义解出 t 和-t 即得．【解答】：解：∵f （x ）+f （-x ）=2.∴f （t ）+f （-t ）=2. 令 2020-x=m.x-2018=n.∴m+n=2.∴可令 f （t ）=m.f （-t ）=n.由反函数的定义知. ∴t=f -1（m ）.-t=f -1（n ） ∴f 1（m ）+f 1（n ）=0.即：f -1（2020-x ）+f -1（x-2018）的值是0. 故选：A ．【点评】：本题考查反函数.体现换元的数学思想.属于中档题．14.（单选题.4分）已知函数f （x ）的定义域为{0.1.2}.值域为{0.1}.则满足条件的函数f （x ）的个数为（ ） A.1个 B.6个C.8个D.无数个【正确答案】：B【解析】：由函数定义直接写出即可得解．【解答】：解：当0对应0时.可以有① （1.0）.（2.1）；② （1.1）.（2.0）；③ （1.1）.（2.1）；共三种对应方式；当0对应1时.可以有① （1.0）.（2.0）；② （1.1）.（2.0）；③ （1.0）.（2.1）；共三种对应方式；故满足条件的函数f（x）共有6个．故选：B．【点评】：本题考查函数定义的理解.属于基础题．15.（问答题.8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数.且当x≥0时.f（x）=x2-2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）-m=0有四个不同的实数解.求实数m的取值范围.【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据题意.由函数的解析式.将x=0代入函数解析式即可得f（0）的值.同理可得f（1）的值.利用函数的奇偶性分析可得f（f（1））的值；（Ⅱ）设x＜0.则-x＞0.由函数的解析式分析f（-x）的解析式.进而由函数的奇偶性分析可得答案；（Ⅲ）若方程f（x）-m=0有四个不同的实数解.则函数y=f（x）与直线y=m有4个交点.作出函数f（x）的图象.由数形结合法分析即可得答案．【解答】：解：（Ⅰ）根据题意.当x≥0时.f（x）=x2-2x；则f（0）=0.f（1）=1-2=-1.又由函数f（x）为偶函数.则f（1）=f（-1）=-1.则f（f（1））=f（-1）=-1；（Ⅱ）设x＜0.则-x＞0.则有f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x.又由函数f（x）为偶函数.则f（x）=f（-x）=x2+2x.则当x＜0时.f（x）=x2+2x.（Ⅲ）若方程f（x）-m=0有四个不同的实数解.则函数y=f（x）与直线y=m有4个交点. 而y=f（x）的图象如图：分析可得-1＜m＜0；故m的取值范围是（-1.0）．【点评】：本题考查偶函数的性质以及函数的图象.涉及方程的根与函数图象的关系.注意利用数形结合法分析与应用.是中档题．16.（问答题.10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）={C，0＜x≤AC+B(x−A)，x＞A当使用4m3时.缴费4元.当使用27m3时.缴费14元；当使用35m3时.缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水.应该缴水费多少元？【正确答案】：【解析】：（1）由题意知C的值.再把（27.14）.（35.19）代入f（x）中求出B和A的值；（2）写出f（x）的解析式.计算f（29）的值即可．【解答】：解：（1）由题意得：C=4.将（27.14）.（35.19）代入f（x）=4+B（x-A）.得：{4+B(27−A)=14 4+B(35−A)=19.解得A=11.B= 58；所以A=11.B= 58.C=4．（2）由（1）知.f（x）= {4，0＜x≤114+58(x−11)，x＞11；当x=29时.f（29）=4+ 58 ×（29-11）= 614=15.25；所以该居民使用29m3水时.应该缴水费15.25元．【点评】：本题考查了分段函数模型的应用问题.也考查了运算求解能力.是基础题．17.（问答题.12分）已知函数f（x）= log121−axx−1的图象关于原点对称.其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1.+∞）时.f（x）+ log12（x-1）＜m恒成立.求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）= log12（x+k）在[2.3]上有解.求k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）函数f（x）= log121−axx−1的图象关于原点对称.可得f（x）+f（-x）=0.整理得log121−axx−1+ log121+ax−x−1=0恒成立.即可得出答案（2）x∈（1.+∞）时.f（x）+ log12（x-1）＜m恒成立.求出x∈（1.+∞）时.f（x）+ log12（x-1）的最大值.即可解出m的取值范围（3）由于f（x）= log121+xx−1在[2.3]上是增函数.g（x）= log12（x+k）在[2.3]上是减函数.可得出.两函数图象在所给区间上有交点.由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出{f (2)≤g (2)f (3)≥g (3).解之即可得出答案【解答】：解：（1）函数f （x ）= log 12 1−ax x−1 的图象关于原点对称.∴f （x ）+f （-x ）=0.即 log 121−ax x−1 + log 12 1+ax −x−1 =0. ∴ log 12 （1−ax x−1×1+ax −x−1 ）=0.∴ 1−ax x−1×1+ax −x−1 =1恒成立.即1-a 2x 2=1-x 2.即（a 2-1）x 2=0恒成立.所以a 2-1=0.解得a=±1.又a=1时.f （x ）= log 12 1−ax x−1 无意义.故a=-1；（2）x∈（1.+∞）时.f （x ）+ log 12 （x-1）＜m 恒成立.即 log 12 1+x x−1 + log 12（x-1）＜m.∴ log 12（x+1）＜m 在（1.+∞）恒成立.由于y= log 12（x+1）是减函数.故当x=1.函数取到最大值-1.∴m≥-1.即实数m 的取值范围是m≥-1；（3）f （x ）= log 12 1+x x−1 在[2.3]上是增函数.g （x ）= log 12 （x+k ）在[2.3]上是减函数.∴只需要 {f (2)≤g (2)f (3)≥g (3) 即可保证关于x 的方程f （x ）= log 12（x+k ）在[2.3]上有解.下解此不等式组．代入函数解析式得 {log 123≤log 12(2+k )log 122≥log 12(3+k ).解得-1≤k≤1. 即当-1≤k≤1时关于x 的方程f （x ）= log 12（x+k ）在[2.3]上有解．【点评】：本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用.属于有一定难度的题.本题考查了数形结合的思想.转化化归的思想.属于灵活运用知识的好题18.（问答题.14分）已知函数f （x ）= {|x |，x ∈p−x 2+2x ，x ∈M 其中P.M 是非空数集.且P∩M=∅.设f （P ）={y|y=f （x ）.x∈P}.f （M ）={y|y=f （x ）.x∈M}．（Ⅰ）若P=（-∞.0）.M=[0.4].求f （P ）∪f （M ）；（Ⅱ）是否存在实数a ＞-3.使得P∪M=[-3.a].且f （P ）∪f （M ）=[-3.2a-3]？若存在.请求出满足条件的实数a ；若不存在.请说明理由；（Ⅲ）若P∪M=R .且0∈M .I∈P .f （x ）是单调递增函数.求集合P.M ．【正确答案】：【解析】：（I）利用y=|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域.再求其并集即可；（II）抓住线索-3∈P∪M.逐层深入.先判断-3∈P.得a的范围.再由已知推理缩小此范围.最后确定a的值；（III）现根据函数的单调性确定∴（-∞.0）⊆M.（1.+∞）⊆P.再证明在（0.1）上存在分界点的话.这个分界点应具有怎样的性质.最后根据此性质写出满足题意的集合P.M【解答】：解：（I）∵P=（-∞.0）.∴f（P）={y|y=|x|.x∈（-∞.0）}=（0.+∞）.∵M=[0.4].∴f（M）={y|y=-x2+2x.x∈[0.4]}=[-8.1]．∴f（P）∪f（M）=[-8.+∞）（II）若-3∈M.则f（-3）=-15∉[-3.2a-3].不符合要求∴-3∈P.从而f（-3）=3∵f（-3）=3∈[-3.2a-3]∴2a-3≥3.得a≥3若a＞3.则2a-3＞3＞-（x-1）2+1=-x2+2x∵P∩M=∅.∴2a-3的原象x0∈P且3＜x0≤a∴x0=2a-3≤a.得a≤3.与前提矛盾∴a=3此时可取P=[-3.-1）∪[0.3].M=[-1.0）.满足题意（III）∵f（x）是单调递增函数.∴对任意x＜0.有f（x）＜f（0）=0.∴x∈M∴（-∞.0）⊆M.同理可证：（1.+∞）⊆P若存在0＜x0＜1.使得x0∈M.则1＞f（x0）=- x02 +2x0＞x0.于是[x0.- x02 +2x0]⊆M记x1=- x02 +2x0∈（0.1）.x2=- x12 +2x1.…∴[x0.x1]∈M.同理可知[x1.x2]∈M.…由x n+1=- x n2 +2x n.得1-x n+1=1+ x n2 -2x n=（1-x n）2；∴1-x n=（1-x n-1）2=（1-x n-2）22=…=（1-x0）2n对于任意x∈[x0.1].取[log2log（1-x0）（1-x）-1.log2log（1-x0）（1-x）]中的自然数n x.则x∈[xn x.xn x+1]⊆M∴[x0.1）⊆M综上所述.满足要求的P.M必有如下表示：P=（0.t）∪[1.+∞）.M=（-∞.0]∪[t.1）.其中0＜t＜1或者P=（0.t]∪[1.+∞）.M=（-∞.0]∪（t.1）.其中0＜t＜1或者P=[1.+∞）.M=（-∞.1）或者P=（0.+∞）.M=（-∞.0]【点评】：本题综合考查了集合的表示方法和意义.函数的值域.逻辑推理和论证的能力.分析问题解决问题的能力。
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华二附中高一期末数学试卷好题2019.01一.填空题8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为二.选择题12.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（）A. B. C. D.13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数三.解答题17.已知函数()9233x x f x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.华二附中高一期末数学试卷好题详解2019.01一.填空题8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是【答案】(,4][5,)-∞-+∞ ；【解析】[]121,4222020424(5)04224[1,4]24(1)5xx x x x t t y k k k t k ky t t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--=--⎩令有交点，法一：由图，知20111[5,4][,0)(0,](,4][5,)45k k k ∈-⇒∈-⇒∈-∞-+∞ ；法二：)(x f 在]2,0[上单调递增⇒≤⇒0)2()0(f f (,4][5,)k ∈-∞-+∞ 9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；【答案】③④；【解析】①错误；如：()f x C =无最小正周期；②错误；如()(0)f x C x ==为偶函数，但是其有反函数；③正确；④正确，不连续就行；如3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩（图像为黑色部分），则13[2,3]()2[0,1]x x f x x x --∈⎧=⎨-∈⎩⇒交点为)21,25()25,21(、，个数为2个，且交点不在y x =上，如图；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为【答案】a 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x <时，2()()()f x f x x x x =--=-=-，()f x x x =⇒函数单调递增；22max ()2()2))(1)(1)f x a f x x f x a a x a x ⎡⎤+===⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥≥max1)a x ⎡⎤⇒⎣⎦≥1)(2)1)2a a =+=+a ⇒；二.选择题12.函数x xxxe e y e e --+=-的图像大致为（）A.B. C. D.【答案】B ；【解析】由计算器Table 数表，得当0>x 时，2)(>x f ，且单调递减，故选B ；13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）【答案】D ；A【解析】()f x 为偶函数，且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数；那么情况有三种：（1）221a a a --=+31a ⇒=-或；（2）22(1)11a a a a --=-+⇒=-或；（3）2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤，不用解了，则{(1),(3)}N f f =，一共2个元素，故答案选D ；14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数【答案】D ；【解析】A 错，选项描述为存在性，而单调性定义要求任意性；B 选项同A 错误；C 选项与单调性无关，错；D 选项正确；三.解答题17.已知函数()9233x xf x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）[]2,6；（2）228219331()3331263a a h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪=⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）不存在m n 、满足题意.【解析】（1）1a =，()9233x x f x =-⋅+，令3[1,3]x t =∈，则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈，则：[]()2,6g t ∈；（2）[1,1]x ∈-，令13[,3]3x t =∈，则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈，讨论对称轴t a =与定义域位置关系，得2min28219331()()3331263a a f x h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）()126,3h a a a =-≥，函数单调递减，那么[,]a m n ∈时，22221266()126m n n m n m n m⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减；得6m n +=，而3n m >>，则6m n +>，故矛盾，则不存在m n 、满足题意.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.【答案】（1）15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x的单调递增区间是⎤⎦；（3）0n ≥，2710t -≤.【解析】（1）1154,5,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦ ；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x的单调递增区间是⎤⎦.（3）由题知()()()2314113443444x h x h x x x x x x x x --=+--=-+=，]45,41[]45,161[]5,41[=∈ x ∴()()4h x h x >，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()()4h x h x =，12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；()()4h x h x <，15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪⇒=⎨<⎪⎩≥111,,421154,,424x x x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎪⎣⎦⎩，()1111,,42515,,224x x x M x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⇒=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x ，12117711[,0],,444271,425127754[,],1,241044x x x M M x x x x ⎧⎡⎤+-∈-∈⎪⎢⎣⎦⎪⎪⎡⎤⇒-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤--∈--∈⎪⎢⎣⎦⎩()()1227,010M x M x ⎡⎤⇒-∈-⎢⎥⎣⎦，∴0n ≥，2710t -≤.华二附中高一期末数学试卷2019.01一.填空题1.函数lg(1)x y x+=的定义域是2.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2)f -= 3.已知5cos 5α=，02πα-<<，则tan α=4.2020是第象限角5.已知函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数，若函数1()x af x x a--=+（x a ≠-，x ∈R ）的图像过点(2,3)，则(4)f =6.若关于x 的方程|1|2xa a -=（0a >，1a ≠）有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围是7.屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为元（保留整数）8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为11.“我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉.睡醒我又拿起刀，我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中，蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象，它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点12.函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为（）A. B. C. D.13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数15.已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.16.判断并证明函数2121()log 121x x xf x x++=+--的奇偶性.17.已知函数()9233x xf x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.华二附中高一期末数学试卷答案2019.01一.填空题1.函数lg(1)x y x+=的定义域是【答案】(1,0)(0,)-+∞ ；【解析】10(1,0)(0,)0x x x +>⎧⇒∈-+∞⎨≠⎩；2.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2)f -=【答案】0；【解析】令0x =代入(2)()f x f x +=-，得(2)(0)0f f -=-=； 3.已知5cos 5α=，02πα-<<，则tan α=【答案】2-；【解析】同角三角关系，注意tan 0α<即可；4.2020是第象限角【答案】三；【解析】20203212 1.31ππ⨯+ ，位于第三象限；5.已知函数()y f x =与1()y fx -=互为反函数，若函数1()x af x x a--=+（x a ≠-，x ∈R ）的图像过点(2,3)，则(4)f =【答案】53；【解析】12(2)312a f a a --==⇒=-+，11()1x f x x -+=-，利用原函数与反函数关系得(4)f 的值为方程1()4f x -=的解，解得53x =；6.若关于x 的方程|1|2x a a -=（0a >，1a ≠）有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围是【答案】102a <<；【解析】|1|2x a a -=，等价于|1|2x y a y a =-=，两函数有两个交点，分01,1a a <<>两种情况讨论，分别画图，都得12(0,1)(0,)2a a ∈⇒∈；7.屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为元（保留整数）【答案】53877；【解析】12510000(1 2.5%)(1 2.5%)(1 2.5%)53877⎡⎤⨯++++++⎣⎦ ；8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是【答案】(,4][5,)-∞-+∞ ；【解析】[]121,4222020424(5)04224[1,4]24(1)5x x x x x t t y k k k t k k y t t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--=--⎩令有交点，法一：由图，知20111[5,4][,0)(0,](,4][5,)45k k k ∈-⇒∈-⇒∈-∞-+∞ ；法二：)(x f 在]2,0[上单调递增⇒≤⇒0)2()0(f f (,4][5,)k ∈-∞-+∞ 9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；【答案】③④；【解析】①错误；如：()f x C =无最小正周期；②错误；如()(0)f x C x ==为偶函数，但是其有反函数；③正确；④正确，不连续就行；如3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩（图像为黑色部分），则13[2,3]()2[0,1]x x f x x x --∈⎧=⎨-∈⎩⇒交点为)21,25()25,21(、，个数为2个，且交点不在y x =上，如图；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为【答案】a 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x <时，2()()()f x f x x x x =--=-=-，()f x x x =⇒函数单调递增；22max ()2()2))(1)(1)f x a f x x f x a a x a x ⎡⎤+===⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥≥max1)a x ⎡⎤⇒⎣⎦≥1)(2)1)2a a =+=+a ⇒；二.选择题11.“我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉.睡醒我又拿起刀，我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中，蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象，它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点【答案】C ；12.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（）A.B. C. D.【答案】B ；【解析】由计算器Table 数表，得当0>x 时，2)(>x f ，且单调递减，故选B ；13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）【答案】D ；A【解析】()f x 为偶函数，且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数；那么情况有三种：（1）221a a a --=+31a ⇒=-或；（2）22(1)11a a a a --=-+⇒=-或；（3）2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤，不用解了，则{(1),(3)}N f f =，一共2个元素，故答案选D ；14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数【答案】D ；【解析】A 错，选项描述为存在性，而单调性定义要求任意性；B 选项同A 错误；C 选项与单调性无关，错；D 选项正确；三.解答题15.已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】15,2()2r rad α==【解析】230l r +=≥90022582rl =≤，当且仅当2l r =时等号成立，得152()2lr rad rα=⇒==.16.判断并证明函数2121()log 121x xxf x x++=+--的奇偶性.【答案】见解析.【解析】定义域满足：10(1,0)(0,1)1120x x x x +⎧>⎪⇒∈--⎨⎪-≠⎩，定义域关于原点对称；222121211211()log log log ()121211121x x x x x x x x xf x f x x x x--+-+++--=+=+=-----+---+故()f x 为奇函数.17.已知函数()9233x x f x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）[]2,6；（2）228219331()3331263a a h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪=⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）不存在m n 、满足题意.【解析】（1）1a =，()9233x x f x =-⋅+，令3[1,3]x t =∈，则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈，则：[]()2,6g t ∈；（2）[1,1]x ∈-，令13[,3]3x t =∈，则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈，讨论对称轴t a =与定义域位置关系，得2min28219331()()3331263a a f x h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）()126,3h a a a =-≥，函数单调递减，那么[,]a m n ∈时，22221266()126m n n m n m n m ⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减；得6m n +=，而3n m >>，则6m n +>，故矛盾，则不存在m n 、满足题意.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.【答案】（1）15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x 的单调递增区间是,5m ⎤⎦；（3）0n ≥，2710t -≤.【解析】（1）1154,5,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦ ；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x 的单调递增区间是,5m ⎤⎦.（3）由题知()()()2314113443444x h x h x x x x x x x x --=+--=-+=，]45,41[]45,161[]5,41[=∈ x ∴()()4h x h x >，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()()4h x h x =，12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；()()4h x h x <，15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪⇒=⎨<⎪⎩≥111,,421154,,424x x x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎪⎣⎦⎩，()1111,,42515,,224x x x M x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⇒=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x ，12117711[,0],,444271,425127754[,],1,241044x x x M M x x x x ⎧⎡⎤+-∈-∈⎪⎢⎣⎦⎪⎪⎡⎤⇒-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤--∈--∈⎪⎢⎣⎦⎩()()1227,010M x M x ⎡⎤⇒-∈-⎢⎥⎣⎦，∴0n ≥，2710t -≤.。