2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末考试数学试题及答案
2020_2021学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试卷(答案版)
2020~2021学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.【答案】【解析】【踩分点】计算： ．原式．故答案为：．2.【答案】【解析】【踩分点】已知，，则等于 ．∵，∴，∴．故答案为：．3.【答案】【解析】不等式的解集为 ．∵，∴，【踩分点】∴，∴，∴或，解得：或，故不等式的解集是．故答案为：．4.【答案】【解析】【踩分点】已知扇形的圆心角为，弧长是，则扇形的面积是 ．因为扇形的圆心角为，弧长是，所以扇形的半径为：，所以扇形的面积为：．故答案为：．5.【答案】【解析】【踩分点】已知幂函数的图象过点 ，则 ．设幂函数，由函数图象过点，所以，解得，所以，所以．故答案为：．6.已知函数，是其反函数，则 ．【答案】【解析】【踩分点】令，∴．故答案为：．7.【答案】【解析】【踩分点】方程的解为 ．由方程，可得 .∴，即，即．解得 或，又且，故，故答案为：．8.【答案】【解析】若关于的方程有解，则实数的取值范围是 ．令，则关于的方程有解，即有正实数解．故，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，故，故，即．【踩分点】故答案为：．9.【答案】【解析】【踩分点】已知，且．式子的最小值是 ．令，，则，且，∴，∴，当且仅当且，即，，时等号成立．故答案为：．10.【答案】【解析】已知，，若函数为奇函数，则的最小值为 ．由已知可得：，所以，所以．又函数为奇函数，则，所以，则，，所以，．令【踩分点】，由二次函数的单调性可知：．故答案为：．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知函数是上的偶函数，若、，则“”是“”的（ ）．A 已知函数是上的偶函数，则，若、，，则，所以．若、，，因为函数是上的偶函数，所以，当且仅当在上单调，且时，才有，即．综上，若、，则“”是“”的充分不必要条件．故选．12.函数的图象大致为（ ）．A.yOxB.yO xC.yOxD.yO x【答案】【解析】A ，∴为奇函数，其图象关于原点对称，令，解得，函数只有一个零点，只有选项符合．故选．13.A.B. C. D.【答案】【解析】设集合，集合．若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ）B 由，得：或．由，得：，所以，或，，因为所以，则且小于．由中恰含有一个整数，所以．即，也就是．解①得：，解②得：①②所以，满足中恰含有一个整数的实数的取值范围是．故选．14.A.B.C.D.【答案】【解析】已知函数，则方程的解的个数是（ ）．C 方程的解的个数，等价于函数与的图象交点的个数．在同一平面直角坐标系中作出与的图象，由图象可知，两函数图象的交点个数为．故选．三、解答题（本大题共4小题，共44分）15.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知函数为奇函数．求实数的值并证明是增函数．若实数满足不等式，求的取值范围．，证明见解析．．因为为奇函数，所以，所以，，，此时为奇函数，故．16.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知函数．若函数的值域为，求实数的取值范围．若函数在区间上严格递增，求实数的取值范围．．．当时，满足题意；当时，要使得的值域为，只需要满足，解得．综上，．，．当时，外层函数为严格增函数，所以只需满足；当时，外层函数为严格减函数，所以只需满足，此时不存在满足条件的，舍去．（2）【踩分点】设，则，所以，所以是增函数．由（）得为定义域上的奇函数且单调递增，由可得，所以，即，所以，解得．【踩分点】综上，．17.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司提供（万元）的专项补贴，并以每套元的价格收购其生产的全部防护服．公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率，公司生产万件防护服需投入成本（万元）．将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（利润总收入一成本，政府补贴万元计入公司收入中）．在复工率为时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？对任意的，当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？（精确到），．政府补贴为万元才能使公司的防护服利润达到最大．．∵，∴，即，．当时，，当且仅当，即时等号成立，所以政府补贴万元才能使公司的防护服利润达到最大．若对任意的，公司都不亏损，则在上恒成立，【踩分点】∴，令，∴，在上单调递增，∴，∴．18.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】已知函数，．当时，求函数的值域．若关于的方程有两个不等根，，求的值．已知存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有个不等根，，，求出实数的取值范围．．．．因为，所以函数在区间上严格递减，而，，故函数的值域为．因为在上单调递减，在上单调递增，又，，所以，则有，即，故，所以．令，由（）知，令，因为在上单调递减，在上单调递增，且，，，则当时，方程有两个不等根，由（）知，两根之积为；当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为．令，由二次函数与的图象特征，原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有个不等根，，且有两个不等根，只有一个根，则必有，结合二次函数的性质，则有，解得，所以实数的取值范围为．【踩分点】。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
上海市华东师范大学第二附属中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知扇形的圆心角为72︒，半径为5，则扇形的面积S =__.2．若实数x ，y 满足1xy=，则223x y +的最小值为__. 3．函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为________________ 4．若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝__________.5．已知幂函数()f x x α=，1112,,,,2,3232α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭的图象关于原点对称，且当()0,x ∈+∞时单调递增，则α=__.6．已知函数()29f x x =-，()3x g x x =-，那么()()f x g x ⋅=__. 7．方程222log (14)log (2)3log (6)x x x +++=++的解是_________.8．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += .9．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．10．已知函数()()22,2,{2,2,x x f x x x -≤=-> 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则的取值范围是__________．二、单选题11．设α是第三象限的角，且sin02α<，cos 02α>，则2α是（ ） A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角D ．第四象限的角 12．设,a b ∈R ，则“a b >”是“a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( )A ．奇函数，且在（0,1）上是增函数B ．奇函数，且在（0,1）上是减函数C ．偶函数，且在（0,1）上是增函数D ．偶函数，且在（0,1）上是减函数 14．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三、解答题15．已知cot 2α=-，求tan α，sin α，cos α.16．记不等式2111x x -+-≤的解集为M ，不等式216814x x -+≤的解集为N ，求M N ⋂.17．已知函数()22x x f x a -=+⋅()a R ∈．（1）讨论函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 在(,2]-∞上为减函数，求a 的取值范围．18．对于定义在区间D 上的函数()y f x =，若存在0x D ∈，对任意的x D ∈，都有()()0f x f x ≥，则称函数()f x 在区间D 上有“下界”，把()0f x 称为函数()f x 在D 上的“下界”.（1）分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；()()1120f x x x =->，()()21605f x x x x=+<≤. （2）请你类比函数有“下界”的定义，写出函数()f x 在区间D 上有“上界”的定义；并判断函数()()21605f x x x x=-<≤是否有“上界”？说明理由； （3）若函数()f x 在区间D 上既有“上界”又有“下界”，则称函数()f x 是区间D 上的“有界函数”，把“上界”减去“下界”的差称为函数()f x 在D 上的“幅度M ”.对于实数a ，试探究函数()1232F x x x a a ⎛⎫=-+≤⎪⎝⎭是否是[]1,2上的“有界函数”？如果是，求出“幅度M ”的值.参考答案1．5π【解析】【分析】将角度制表示的角转化为弧度制表示的角,利用扇形面积公式求解即可【详解】722721805ππ︒=⨯=rad , ∴扇形的面积2125525S ππ=⨯⨯=, 故答案为：5π【点睛】 本题考查扇形的面积公式,考查角度制与弧度制的转化,属于基础题.2．【分析】利用均值不等式可得223x y +≥=检验是否可取等,即可得到最小值【详解】∵实数x ,y 满足1xy=,则223x y +≥=,当且仅当x =,即x =号成立,因此最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用均值不等式求最值,属于基础题3．【解析】 试题分析：由题意可得：30{40x x -≠->，解得{}|43x x x <≠且． 考点：本题函数的定义域，学生的基本运算能力．4．2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=. 5．3【分析】分析可得()f x 是奇函数且在0,上单调递增,根据幂函数的性质即可判断α的值 【详解】因为()f x 为幂函数且在0,上为增函数,所以0α>,又函数()f x 的图象关于原点对称,所以()f x 为奇函数,所以3α=,故答案为：3【点睛】本题考查幂函数的图象与性质的应用,属于基础题6．()233x x x +≠ 【分析】由题直接相乘即可,要注意定义域【详解】由题,函数()29f x x =-,()3x g x x =-()3x ≠, 那么()()()()()2293333x f x g x x x x x x x x ⋅=-⋅=+=+≠-, 故答案为：()233x x x +≠ 【点睛】本题考查求函数解析式,要注意定义域,属于基础题7．2x =【解析】解：因为222log (14)log (2)3log (6)2{2(14)(2)8(6)x x x x x x x x +++=++>-⇔∴=++=+8．32- 【解析】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解； 若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. 考点：指数函数的性质.9．(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.10．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩， ∴()222,02{,0x x f x x x ---=< ， ∵函数y =f (x )−g (x )恰好有四个零点，∴方程f (x )−g (x )=0有四个解，即f (x )+f (2−x )−b =0有四个解，即函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象有四个交点，()()222,02{2,0258,2x x x y f x f x x x x x ++<=+-=-+> ， 作函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象如下，115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 结合图象可知，74<b <2， 故答案为7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．11．D【分析】由α是第三象限的角可得2α是第二象限的角或第四象限的角,再根据三角函数值的符号进而确定2α所在位置 【详解】因为α是第三象限的角, 所以2α是第二象限的角或第四象限的角, 因为sin 02α<,cos 02α>, 所以2α是第四象限角 故选：D【点睛】本题考查n 分角的所在象限,考查三角函数值符号的应用,属于基础题12．B【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】当1a =,2b =-时,满足a b >,但a b >不成立,即充分性不成立； 若a b >,当0b ≥,满足a b >；当0b <时,a b b >>,成立,即必要性成立,故“a b >”是“a b >”必要不充分条件,故选：B【点睛】本题考查必要不充分条件的判断,根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键13．A【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为10{10x x +>->，解得11x -<<，又()ln(1)ln(1)[ln(1)ln(1)]()f x x x x x f x -=--+=-+--=-，所以函数()f x 的奇函数，由1()ln(1)ln(1)ln 1x f x x x x +=+--=-，令()11x g x x+=-，又由1201x x <<<，则 ()()2121212121112()011(1)(1)x x x x g x g x x x x x ++--=-=>----，即，所以函数()11x g x x+=-为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--在(0,1)上增函数，故选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题.14．D【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ，∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误；对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误； 对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确故选D ．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.15．当α的终边在第二象限时，1tan 2α=-，sin α，cos α=;当α的终边在第四象限时，1tan 2α=-，sin 5α=-，cos 5α= 【分析】利用同角三角函数的基本关系,以及三角函数在各个象限中的符号,分类讨论求得tan α,sin α,cos α【详解】∵cot 2α=-,∴11tan cot 2αα==-,∴α的终边在第二或第四象限, 当α的终边在第二象限时,sin 0α>,cos 0α<,因为22sin sin 1tan co cos 2s 1ααααα⎧===-+⎪⎨⎪⎩,解得sin α,cos α=； 当α的终边在第四象限时,sin 0α<,cos 0α>,因为22sin sin 1tan co cos 2s 1ααααα⎧===-+⎪⎨⎪⎩,解得sin 5α=-,cos α= 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,考查三角函数值的符号,考查运算能力16．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】分别解得关于M ,N 的不等式,再根据交集定义求解即可【详解】 ∵2111x x -+-≤,∴()102111x x x -≥⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩或()102111x x x -<⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩, 413x ∴≤≤或01x ≤<, 403x ∴≤≤,即40,3M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； ∵216814x x -+≤,即216830x x --≤,∴()()41430x x +-≤,1344x ∴-≤≤,即13,44N ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦, 故30,4MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查解含绝对值的不等式,考查解一元二次不等式,考查交集运算17．（1）当1a =时，()f x 是奇函数；当1a =-时，()f x 是偶函数；当1a ≠±时，()f x 是非奇非偶函数，（2）4a ≥.【详解】（1）()22x x f x a --=+⋅若()f x 为偶函数，则对任意的x ∈R ，都有()()f x f x =-，即2222x x x x a a --+⋅=+⋅，2(1)2(1)x x a a --=-，(22)(1)0x xa ---=对任意的x ∈R 都成立．由于22x x --不恒等于0，故有10a -=，即1a =∴当1a =时，()f x 是偶函数． 若()f x 为奇函数，则对任意的x ∈R ，都有()()f x f x =--， 即22220x x x x a a --+⋅++⋅=，(22)(1)0x xa -++=对任意的x ∈R 都成立．由于22x x-+不恒等于0，故有10a +=，即1a =-∴当1a =-时，()f x 是奇函数．∴当1a =时，()f x 是奇函数；当1a =-时，()f x 是偶函数；当1a ≠±时，()f x 是非奇非偶函数．（2）因函数()f x 在(,2]-∞上为减函数，故对任意的122x x <≤，都有12())0(f x f x ->，即12()()f x f x -=1122121222(22)(22)(1)022x x x x x x x x a a a --+⋅-+⋅=-->恒成立． 由12220x x -<，知121022x x a -<恒成立，即1222x x a ⋅<恒成立． 由于当122x x <≤时12max (22)4x x ⋅<∴4a ≥考点：函数奇偶性与单调性18．（1）()1f x 无“下界”，理由见解析；()2f x 有“下界”，“下界”为8（2）对于定义在区间D 上的函数()y f x =，若存在0x D ∈，对任意的x D ∈，都有()()0f x f x ≤，则称函数()f x 在区间D 上有“上界”，把()0f x 称为函数()f x 在D 上的“上界”；()2f x 无“上界”,理由见解析（3）()F x 是[]1,2上的“有界函数”，“幅度M ”的值为32a -【分析】（1）根据()0f x 称为函数()f x 在D 上的“下界”的定义,判断即可；（2）类比函数有“下界”的定义,写出函数()f x 在区间D 上有“上界”的定义即可；通过讨论x 的范围,判断函数()2f x 是否有“上界”即可；（3）写出()F x 的分段函数式,讨论①当0a ≤时,②当102a <≤时,函数的解析式和对称轴与区间的关系,由单调性即可得到最值和幅度M 的值【详解】（1）∵()()1120f x x x =->,∴()11f x <,无“下界”；∵05x <≤,()2168f x x x ∴=+≥=,当且仅当4x =时“=”成立, ∴()()21605f x x x x=+<≤有“下界” （2）对于定义在区间D 上的函数()y f x =,若存在0x D ∈,对任意的x D ∈,都有()()0f x f x ≤,则称函数()f x 在区间D 上有“上界”,把()0f x 称为函数()f x 在D 上的“上界”；由题,()()21605f x x x x=-<≤, 当04x <<时,160x x-<, ()216f x x x ∴=-,()221610f x x'∴=--<, ()2f x ∴在()0,4上单调递减,当0x →时,()2f x →+∞,无“上界”；当45x ≤≤时,160x x-≥, ()216f x x x ∴=-,()2216'10f x x∴=+>, ()216f x x x ∴=-在[]4,5上单调递增,()()221695555f x f ∴≤=-=, 综上,函数()()21605f x x x x=-<≤无“上界” （3）()2223,22323,2x ax x a F x x x a x ax x a⎧-++≤⎪=-+=⎨-+>⎪⎩, ①当0a ≤时,()223F x x ax =-+对称轴为x a =,在[]1,2上单调递增, ()()max 274F x F a ==-,()()min 142F x F a ==-,幅度()()2132M F F a =-=-；②当102a <≤时,对于()223F x x ax =-+,区间[]1,2在对称轴的右边,为增区间, ()()max 2F x F =,()()min 1F x F =,幅度()()2132M F F a =-=-综上可得是[]1,2上的“有界函数”,“幅度M ”的值为32a -【点睛】本题考查新定义的理解和应用,考查函数的最值,考查分类讨论思想和推理能力。
2020-2021学年上海市华二附中高一上期 期末数学试卷
2020学年第一学期高一数学教学质量检测试卷（考试时间90分钟，本卷满分100分）一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共44分．答案填在答题纸相应位置）．1．计算：2233318log 752log 52-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭． 2．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α= ． 3．不等式2411x x x --≥-的解集为 ． 4．已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是 2cm ．5．已知幂函数()f x 的图像过点⎛⎝⎭，则(3)f = ． 6．已知函数()2()log 21f x x =-，1()y f x -=是其反函数，则1(1)f -= ．7．方程()()2lg 2lg 2610x x x +-+-+=的解为 ．8．关于x 的方程()94340x x a ++⋅+=有实数根，则实数a 的取值范围 ． 9．已知0a >，0b >且3a b +=，式子2021202120192020a b +++的最小值是 ． 10．已知122020()1232021x x x x f x x x x x +++=++++++++Λ，()()F x f x m n =+-，若函数()y F x =为奇函数，则2x m x n ++-的最小值是 ．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）11.已知()f x 是R 上的偶函数，12,x x R ∈，则“120x x +=”是“()12()f x f x =”的（ ）．.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件12.函数()201ax ya x=>+的图像大致为（ ）．.A .B .C .D13.设集合{}2|230A x x x =+->，集合{}2|210,0B x x ax a =--≤>，若A B Ι中恰有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）.A 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B 34,43⎡⎫⎪⎢⎭⎣ .C 3,24⎡⎫⎪⎢⎭⎣.D ()1,+∞ 14.已知函数111,22()1(2),262x x f x f x x ⎧--≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则方程()10xf x -=的解的个数是（ ）.A 5 .B 6 .C 7 .D 8三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）．15．（本题满分10分，共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分） 已知函数2()21x x a f x -=+为奇函数． （1）求实数a 的值，并证明()f x 是严格增函数；（2）若实数t 满足不等式1((1)02f f t +->-，求t 的取值范围.16．（本题满分10分，共有2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分）．已知函数2()46f x ax x =-+.（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间](1,3上单调递增，求实数a 的取值范围．17．（本题满分12分，共有2小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）新冠疫情造成医用防护服短缺，政府决定为生产防护服的公司提供[]()0,10x x ∈（万元）的专项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（万件），其中[]()0.5,1k k ∈为工人的复工率，公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++（万元）（1）将公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；（2）当复工率0.7k =时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的[]0,10x ∈（万元），当复工率k 达到多少时，公司才能不亏损？（精确到0.01）18．（本题满分12分，共有3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）． 已知函数327()23x x f x ⋅-=-，2()log g x x =． （1）当[]0,1x ∈时，求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()g x t =有两个不等根(),αβαβ<，求αβ的值；（3）已知存在实数a ，使得对任意的[]0,1m ∈，关于x 的方程24()4()31()0g x a g x a f m -⋅+--=在区间1,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个不等根123,,x x x ，求实数a 的取值范围．。
上海华东师范大学附属中学2020-2021学年高一数学文期末试题含解析
上海华东师范大学附属中学2020-2021学年高一数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则a =（ ）A ． 5.25B ． 5.15C ． 5.2D ．10.5参考答案：A 由题意得 ．∴样本中心为．∵回归直线过样本中心， ∴ ，解得．2. 直线与圆交于两点，则A.B.C.D.参考答案：B 3. 函数是定义域为R 的奇函数，当时，则当时，的表达式为 A ．B ．C ．D ．参考答案：D4. 已知函数，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则abc的取值范围是( )A ．（1，10）B ．（5，6）C ．（10，12）D ．参考答案：C【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质．【专题】作图题；压轴题；数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f （a ）=f （b ）=f （c ），不妨a ＜b ＜c ，求出abc 的范围即可． 【解答】解：作出函数f （x ）的图象如图， 不妨设a ＜b ＜c ，则ab=1，则abc=c∈（10，12）． 故选C ．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力． 5. 已知集合，则下列式子表示正确的有（ ） ①②③④A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个参考答案：C6. 函数的定义域为 （A ）(2,+∞)（B ）[2,+∞)（C）(－∞,2) （D）(－∞,2]参考答案：A7. 同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．参考答案：C8. 空间中，垂直于同一直线的两条直线（）A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能参考答案：D由题意得，根据空间中的线面位置关系或根据正方体为例，可得垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面。
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分） 1.已知函数ℎ(x)=f(x)−x 2是奇函数，且f(1)=−2，函数g(x)=f(x)+1x ，则g(−1)=( )A. 3B. 2C. 1D. −22.函数y =2x −12x +1⋅sinx 的图象大致为( )A.B.C.D.3. 若集合A ={1,2,3,4}，B ={x|x 2−x −6≤0}，则A ∩B =( )A. {1}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2,3}4.已知函数f(x)={lnx, 1≤x ≤4−2lnx, 14≤x ≤1，若函数F(x)=f(x)−kx 在区间[14,4]上恰好有一个零点，则k 的取值范围为( )A. (1e ,16ln2]∪{0} B. (1e ,+∞)∪{0} C. [ln22,16ln2)∪{0} D. (ln22,16ln2]∪{0}二、单空题（本大题共10小题，共40.0分） 5.设曲线y =x n+1(n ∈N +)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2015x 1+log 2015x 2+⋯+log 2015x 2014的值为______ ． 6. 函数y =2−sinθ1−cosθ的最小值为______ ． 7. 不等式4x −5⋅2x +4<0的解集为______ ．8.半径为100mm 的圆上，有一段弧长为300mm ，此弧所对的圆心角的弧度数为______ ．9.若幂函数f(x)=x a 经过点(3,9)，则α=______．10. 设常数a >0且a ≠1，函数f(x)=log a x ，若f(x)的反函数图象经过点(1,2)，则a =______． 11. 已知下列四下命题：①函数f(x)=2x 满足：对任意x 1,x 2∈R,有f(x 1+x 22)≥12[f(x 1)+f(x 2)]；②函数f(x)=log 2(x +√1+x 2),g(x)=1+22x −1均是奇函数； ③函数f(x)=e −2−e x 切线斜率的最大值是−2； ④函数f(x)=x 12−(14)x 的在区间(14,13)上有零点．其中正确命题的序号是______ ． 12. 定义在上的函数，若关于的方程有5个不同的实根，则=___________13. 已知x >1，函数y =x 2x−1的最小值为______ ．14. 设f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若 f(1)>1，f(2015)=2a−3a+1，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15. 已知函数f(x)=log 4(4x +1)+kx(k ∈R)与g(x)=log 4(a ⋅2x −43a)，其中f(x)是偶函数． (1)求实数k 的值及f(x)的值域； (2)求函数g(x)的定义域；(3)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．16. 二次函数y =ax 2+x +1,(a >0)的图象与x 轴两个交点的横坐标分别为x 1,x 2． (1)证明：(x 1+1)(x 2+1)=1； (2)证明：x 1<−1,x 2<−1；(3)若x 1,x 2满足不等式|lg x1x 2|≤1，试求a 的取值范围．17. 张家界某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x(x ≥10)万元之间满足：y =f(x)=ax 2+10150x −bln x，a，b为常数．当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元．(参考10数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6)(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润=旅游增加值−投入)18.已知函数f(x)=lnx−ax−3(a≠0)．(1)讨论函数f(x)的零点个数；(2)若∀x∈[1,2]，函数g(x)=x3+x2[m−2f′(x)]在区间(a,3)有最值，求实数m的取值范围．2参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性，利用奇偶性求解函数值，题目有一定的难度． 由已知ℎ(−1)=−ℎ(1)是解题的关键．解：因为函数 ℎ(x)=f(x)−x 2 是奇函数，且 f(1)=−2 ，函数 g(x)=f(x)+1x , 所以g(−1)=f(−1)−1，且ℎ(−1)=f(−1)−1， 又因为ℎ(−1)=−ℎ(1)， 所以f(−1)−1=−[f(1)−1]， 得到f(−1)−1=−(−2−1)， 解得f(−1)=4，g(−1)=4−1=3． 故选A ．2.答案：D解析：解：根据题意，设y =f(x)=2x −12x +1⋅sinx ，当x =0时，有f(0)=20−120+1sin0=0，排除B 、C ；当x =π时，sinπ=0，有f(π)=0，排除A ； 故选：D ．根据题意，用排除法分析：令x =0和x =π，求出函数的值，由排除法分析选项即可得答案． 本题考查函数的图象分析，注意特殊值法的运用，属于基础题．3.答案：D解析：解：由B 中不等式变形得：(x +2)(x −3)≤0， 解得：−2≤x ≤3，即B =[−2,3]， ∵A ={1,2,3,4}， ∴A ∩B ={1,2,3}， 故选：D求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4.答案：A解析：解：由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=kx在区间[14,4]上恰好有一个交点，如图所示：显然，当k=0时，满足条件．当y=kx和y=lnx相切时，设切点为A(x0,lnx0)，由导数的几何意义可得1x0=lnx0−0x0−0，解得x0=e，故切线的斜率为1e．当y=kx经过点B(14,4ln2)时，k=4ln214=16ln2．故k的范围为(1e,16ln2]∪{0}，故选：A．由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=kx在区间[14,4]上恰好有一个交点，数形结合求得k的范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于基础题．5.答案：−1解析：解：对y=x n+1(n∈N∗)求导，得y′=(n+1)x n，令x=1得在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1，在点(1,1)处的切线方程为y−1=k(x n−1)=(n+1)(x n−1)，不妨设y=0，x n=nn+1，则x1⋅x2⋅x3…⋅x n=12×23×34×…×nn+1=1n+1，从而log2015x1+log2015x2+⋯+log2015x2014=log2015(x1⋅x2…x2014)=log201512015=−1．故答案为：−1．要求log2015x1+log2015x2+⋯+log2015x2014，需求x1⋅x2⋅…⋅x2014的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．6.答案：34解析：解：y=2−sinθ1−cosθ=2sin2θ2+2cos2θ2−2sinθ2cosθ21−(1−2cos2θ2)=tan2θ2+1−tanθ2tan2θ2=cot2θ2−cotθ2+1=(cotθ2−12)2+34，故当cotθ2=12时，函数y取得最小值为34，故答案为：34．由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，把函数的解析式化为y=2sin2θ2+2cos2θ2−2sinθ2cosθ21−(1−2cos2θ2)=(cotθ2−12)2+34，再利用二次函数的性质求得它的最小值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，二次函数的性质的应用，属于中档题．7.答案：{x|0<x<2}解析：解：设t=2x，原不等式可转化为：t2−5t+4<0，即(t−1)(t−4)<0，∴1<t<4，∴1<2x<4，∴0<x<2∴原不等式的解集为{x|0<x<2}．故答案为{x|0<x<2}．本题先进行换元，将原不等式转化为一元二次不等式，解出一元二次不等式后，再解相应的指数不等式，得到本题结论．本题考查的是解不等式，解题的方法是换元法，利用换元可以化难为易，本题难度不大，属于基础题．8.答案：3解析：解：半径为100mm的圆上，有一段弧长为300mm，则由弧长公式可得：α=lr =300100=3，故答案为：3．由已知利用弧长公式即可计算得解．本题考查了弧长公式的应用，属于基础题．9.答案：2解析：解：设幂函数为y =x α， 幂函数y =f(x)的图象经过点(3,9)， 所以9=3α，α=2， 故答案为：2．设出f(x)的解析式，把(3,9)点代入求出α即可．考查求幂函数的解析式，指数与对数简单运算，基础题．10.答案：2解析：解：∵常数a >0且a ≠1，函数f(x)=log a x ，f(x)的反函数的图象经过点(1,2)， ∴函数f(x)=log a x 的图象经过点(2,1)， ∴log a 2=1， 解得a =2． 故答案为：2．由反函数的性质得函数f(x)=log a x 的图象经过点(2,1)，由此能求出a ．本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.答案：②解析：解：对于①，函数f(x)=2x ，令x 1=0，x 2=2，则x 1+x 22=1，显然f(x 1+x 22)=f(1)=2；12[f(x 1)+f(x 2)]=12[f(0)+f(2)]=52，f(x 1+x 22)<12[f(x 1)+f(x 2)]，故①错误；对于②，函数f(x)=log 2(x +√1+x 2)的定义域为R ，且f(−x)+f(x)=log 2(−x +√1+(−x)2)+log 2(x +√1+x 2)=log 21=0，所以，f(−x)=−f(x)，即f(x)=log 2(x +√1+x 2)为奇函数； 同理可得，g(−x)+g(x)=0，即g(x)=1+22x −1是奇函数，故②正确； 对于③，函数f(x)=e −2−e x 的导函数f′(x)=−e x <0， 函数f(x)=e −2−e x 切线斜率无最大值，故③错误对于④，函数f(x)=x 12−(14)x ，f′(x)=2√x −(14)x ln 14=2√x +(14)x ln4>0，所以，f(x)=x 12−(14)x 为R 上的增函数，又f(14)=(14)12−(14)14<0，f(13)=(13)12−(14)13=(127)16−(116)12<0，所以，f(x)=x 12−(14)x 在区间(14,13)上无零点，故④错误．故答案为：②．①，函数f(x)=2x 中，足：令x 1=0，x 2=2，可得f(x 1+x 22)=f(1)=2；12[f(x 1)+f(x 2)]=12[f(0)+f(2)]=52，可判断①；②，利用奇偶函的概念可判断函数f(x)=log 2(x +√1+x 2),g(x)=1+22x −1均是奇函数从而可判断②；③，利用导数的几何意义可求得函数f(x)=e −2−e x 切线斜率，从而可判断③；④，利用零点存在定理可判断函数f(x)=x 12−(14)x 在区间(14,13)上无零点．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的“凹凸”性、奇偶性，考查导数的几何意义、函数的零点等，考查分析与运算求解能力，属于中档题．12.答案：解析：试题分析：因为有5个不同的根，必有对应有三个不同的根，还有一个对应有两个不同的根．对应的根分别是4，14，−6，不妨设为．对应有两个不同的跟关于对称，所以，故，=考点：方程的零点分布13.答案：4解析：解：∵x >1，∴x −1>0． 函数y =x 2x−1=x 2−1+1x−1=x +1+1x−1=x −1+1x−1+2≥2√(x −1)⋅1x−1+2=4，当且仅当x =2时取等号． ∴函数y =x 2x−1的最小值为4．故答案为：4．变形利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．14.答案：(−1,23)解析：解：由f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数， 则f(x +3)=f(x)，f(−x)=−f(x)，∴f(2015)=f(3×671+2)=f(2)=f(2−3)=f(−1) =−f(1)，又f(1)>1，∴f(2015)<−1， 即2a−3a+1<−1，即为3a−2a+1<0，即有(3a −2)(a +1)<0，解得，−1<a <23． 故答案为：(−1,23).先根据周期性和奇函数，将f(2015)化成f(−1)=−f(1)，然后根据已知条件建立关系式，解分式不等式即可求出实数a 的取值范围．本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，周期性和奇偶性都是函数的整体性质，同时考查了分式不等式的求解，属于中档题．15.答案：解：(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(−x)，∴log 4(4x +1)+kx =log 4(4−x +1)−kx ， ∴log 44x +14−x +1=−2kx ，即x =−2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k =−12．f(x)=log 4(4x +1)−12x =log 4(2−x +1)≥log 41=0∴f(x)的值域是[0,+∞)--------------------------------------------------------------(4分) (2)当a ⋅2x −43a >0时，函数解析式有意义 当a >0时，2x >43，得x >log 243；当a <0时，2x <43，得x <log 243.----------------------------------------(5分) 综上，当a >0时，定义域为{x|x >log 243}；当a <0时，定义域为{x|x <log 243}；---------------------------------(6分) (3)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x +1)−12x =log 4(a ⋅2x −43a)有且只有一个实根，即方程2x+12x =a⋅2x−43a，有且只有一个实根，------------------------------------(7分)令t=2x>0，则方程(a−1)t2−43a−1=0有且只有一个正根，①当a=1时，t=−34，不合题意；②当a≠1时，由△=0得a=34或−3，若a=34，则t=−2不合题意；若a=−3，则t=12满足要求；----------------------------------------(8分)若△>0，则此时方程应有一个正根与一个负根，∴−1a−1<0，∴a>1，又△>0得a<−3或a>34，∴a>1.-----------------------(9分)综上，实数a的取值范围是{−3}∪(1,+∞).----------------------------------------(10分)解析：(1)根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值，化简函数，即可求出f(x)的值域；(2)当a⋅2x−43a>0时，函数解析式有意义，分类讨论，即可求函数g(x)的定义域；(3)根据函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．16.答案：(1)证明：由题意得：x1+x2=−1a ，x1⋅x2=1a，∴(1+x1)(1+x2)=x1x2+(x1+x2)+1=1；(2)证明：由△=1−4a>0，解得：a<14，∵(1+x1)(1+x2)=1>0，而(1+x1)(1+x2)=x1+x2+2=−1a+2<−4+2<0，∴1+x1<0，1+x2<0，故x1<−1，x2<−1；(3)解：x2=−x11+x1，|lg x1x2|≤1，∵110≤x1x2≤10，∴110≤−(1+x1)≤10，∴−11≤x1≤−1110，a=1x1x2=−(1x12+1x1)=−(1x1+12)2+14，当1x1=−12时，a的最大值是14，当1x1=−111时，a的最小值是10121，故a的范围是[10121,1 4 ].解析：本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．(1)根据韦达定理求出x1+x2，x1⋅x2的值，证明即可；(2)由△>0，求出a的范围，从而证出结论；(3)求出x2=−x11+x1，由110≤x1x2≤10，得到110≤−(1+x1)≤10，求出a的范围即可．17.答案：解：(1)由条件{a×202+10150×20−bln2=35.7a×102+10150×10−bln1=19.2(2分)解得a=−1100,b=1(4分)则f(x)=−x2100+10150x−ln x10(x≥10).(6分)(2)由T(x)=f(x)−x=−x2100+5150x−ln x10(x≥10)则T′(x)=−x50+5150−1x=−(x−1)(x−50)50x(10分)令T′(x)=0，则x=1(舍)或x=50当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x∈(50,+∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50,+∞)上是减函数，∴x=50为T(x)的极大值点(12分)即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为T(50)=24.4万元．(13分)解析：(1)由条件：“当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元”列出关于a，b的方程，解得a，b的值即得则求f(x)的解析式；(2)先写出函数T(x)的解析式，再利用导数研究其单调性，进而得出其最大值，从而解决问题．本小题主要考查函数模型的选择与应用、应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．解决实际问题通常有四个步骤：(1)阅读理解，认真审题；(2)引进数学符号，建立数学模型；(3)利用数学的方法，得到数学结果；(4)转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．18.答案：解：(1)∵x >0，∴f′(x)=1x −a ，若a <0，∴f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(e 3)=−ae 3>0，x →0时，f(x)→−∞，此时，f(x)存在唯一零点；若a >0，f′(x)=1−ax x =0，x =1a ， 所以x ∈(0,1a )，f(x)单调递增，x ∈(1a ,+∞)，f(x)单调递减，∴f(x)max =f(1a )=−lna −4，当−lna −4<0，即a >e −4时，f(x)无零点；当−lna −4=0，即a =e −4时，f(x)有一个零点；当−lna −4>0，即0<a <e −4时，f(x)有两个零点；综上：a <0或a =e −4时，f(x)有一个零点；0<a <e −4时，f(x)有两个零点；a >e −4时，f(x)无零点．(2)g(x)=x 3+x 22[m −2f′(x)]，g′(x)=3x 2+(m +2a)x −1．∵g(x)在(a,3)上有最值，∴g(x)在(a,3)上不单调，而g′(0)=−1<0，∴{g′(3)>0g′(a)<0恒成立． 又a ∈[1,2]，由g′(a)<0，即m <1a −5a ，所以m <−192，又g′(3)>0，所以3m +26+6a >0，解得m >−323，故−323<m <−192． 解析：(1)求出f(x)的导数，分类讨论a 的取值得到函数f(x)的零点个数；(2)根据条件判断出g(x)在(a,3)上有最值，则{g′(3)>0g′(a)<0恒成立．结合a 的取值范围可得m 取值范围． 本题考查利用函数导数求函数零点个数，利用分类讨论思想是关键，属于中档题．。
上海市华东师范大学第二附属中学2025届高三数学第一学期期末考试模拟试题含解析
上海市华东师范大学第二附属中学2025届高三数学第一学期期末考试模拟试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．20 2．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 3．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．12B ．1-C ．±1D ．12± 4．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π5．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）．A ．21B ．22C ．23D ．24 6．若复数211i z i =++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A 5 B ．4 C ．2 D 5 7．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件8．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（ ）A ．3?k <B ．3?kC ．5?kD ．5?k < 10．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．11．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+ D ．815i -- 12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）A ．3πB ．23π C ．π D ．43π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分）1. 已知函数f(x)是R 上的偶函数，若x 1、x 2∈R ，则“x 1+x 2=0”是“f(x 1)=f(x 2)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 函数y =axx 2+1(a >0)的图象大致为( )A.B.C.D.3. 设集合A ={x|x 2+2x −3>0}，集合B ={x|x 2−2ax −1≤0,a >0}.若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,34)B. [34,43)C. [34,+∞)D. (1,+∞)4. 已知函数f(x)={1−12|1−x|,x ≤212f(x −2),2<x ≤6，则方程xf(x)−1=0的解得个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 8二、单空题（本大题共10小题，共40.0分）5. 计算：(12)−2+823+log 375−2log 35=______．6. 已知cosα=13，α∈(−π2,0)，则tanα等于______． 7. 不等式x 2−x−4x−1≥1的解集为______ ．8. 已知扇形的圆心角为π3，弧长是πcm ，则扇形的面积是______ cm 2．9. 已知幂函数f(x)的图象过点(2,√22)，则f(3)=______．10. 已知函数f(x)=log 2(2x −1),y =f −1(x)是其反函数，则f −1(1)= ______ ． 11. 方程lg(x +2)−lg(2x 2+x −6)+1=0的解为______ ．12. 若关于x 的方程9x +(4+a)⋅3x +4=0有解，则实数a 的取值范围是______． 13. 已知a >0，b >0且a +b =3.式子2021a+2019+2021b+2020的最小值是______ ．14.已知f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+⋯…+x+2020x+2021，F(x)=f(x+m)−n，若函数y=F(x)为奇函数，则|x2+m|+|x−n|的最小值为______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知函数f(x)=2x−a2x+1为奇函数．(Ⅰ)求实数a的值并证明f(x)是增函数；(Ⅱ)若实数t满足不等式f(1t−2)+f(−1)>0，求t的取值范围．16.已知函数f(x)=ax2−4x+6．(1)若函数y=log2f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数y=log a f(x)在区间(1,3]上严格增，求实数a的取值范围．17.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将墙加到t=k⋅(6−12x+4)(万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1])，A公司生产t万件防护服需投入成本(20+8x+50t)(万元)．(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(利润=总收入一成本，政府补贴x万元计入公司收入中)；(2)在复工率为k=0.7时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？(3)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工案k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确0.01)18.已知函数f(x)=3⋅2x−72x−3，g(x)=|log2x|．(1)当x∈[0,1]时，求函数f(x)的值域；(2)若关于x的方程g(x)=t有两个不等根α，β(α<β)，求αβ的值；(3)已知存在实数a，使得对任意m∈[0,1]，关于x的方程4g2(x)−4ag(x)+3a−1−f(m)=0在区,4]上总有3个不等根x1，x2，x3，求出实数a的取值范围．间[18答案和解析1.【答案】A【解析】 【解答】解：已知函数f(x)是R 上的偶函数，则f(x)=f(−x)， 若x 1、x 2∈R ，“x 1+x 2=0”，则x 1=−x 2， 所以f(x 1)=f(−x 2)=f(x 2)， 若x 1、x 2∈R ，f(x 1)=f(x 2)， 因为函数f(x)是R 上的偶函数， 所以f(x 1)=f(x 2)=f(−x 2)，所以x 1=−x 2，或x 1=−x 2+T ，T 是函数的周期，所以x 1+x 2=0，或x 1+x 2=T ， 故x 1、x 2∈R ，则“x 1+x 2=0”是“f(x 1)=f(x 2)”的充分不必要条件， 故选：A ． 【分析】根据函数奇偶性、充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题考查了函数的性质、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2.【答案】A【解析】解：f(−x)=−axx 2+1=−f(x)， ∴y =f(x)为奇函数，其图象关于原点对称， 令axx 2+1=0，解得x =0，函数只有一个零点，只有选项A 符合， 故选：A ．根据函数的奇偶性和函数的零点即可判断．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数的零点是关键，属于基础题． 3.【答案】B【解析】解：由x 2+2x −3>0，得：x <−3或x >1． 由x 2−2ax −1≤0，得：a −√a 2+1≤x ≤a +√a 2+1． 所以，A ={x|x 2+2x −3>0}={x|x <−3或x >1}，B ={x|x 2−2ax −1≤0,a >0}={x|a −√a 2+1≤x ≤a +√a 2+1}.因为a >0，所以a +1>√a 2+1，则a −√a 2+1>−1且小于0． 由A ∩B 中恰含有一个整数，所以2≤a +√a 2+1<3． 即{a +√a 2+1≥2a +√a 2+1<3，也就是{√a 2+1≥2−a①√a 2+1<3−a②．解①得：a ≥34，解②得：a <43．所以，满足A ∩B 中恰含有一个整数的实数a 的取值范围是[34,43)．故选：B ．先求解一元二次不等式化简集合A ，B ，然后分析集合B 的左端点的大致位置，结合A ∩B 中恰含有一个整数得集合B 的右端点的范围，列出无理不等式组后进行求解．本题考查了交集及其运算，考查了数学转化思想，训练了无理不等式的解法，求解无理不等式是该题的一个难点．此题属中档题．4.【答案】C的图象交点的个数，【解析】解：方程xf(x)−1=0的解得个数，等价于函数y=f(x)与y=1x在同一坐标系作出y=f(x)与y=1的图象，x由图象可知，函数得零点个数为7．故选：C．图象的交点个数，利用分段函数的解析式，作出分段函数的图象，将问题转化为两个函数y=f(x)与y=1x即可得到答案．本题考查了函数的零点与方程根的关系，解题的关键是正确画出分段函数的图象．5.【答案】9【解析】解：原式=4+23×23+log(3×25)−2log35=4+4+1+2log35−2log35=9，3故答案为：9．利用对数的运算性质求解．本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．6.【答案】−2√2【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】,0)，解：∵α∈(−π2∴sinα=−√1−cos2α=−2√2，3=−2√2．∴tanα=sinαcosα故答案为：−2√2．7.【答案】[−1,1)∪[3，+∞)【解析】解：∵x 2−x−4x−1≥1，∴x 2−x−4−x+1x−1≥0，∴x 2−2x−3x−1≥0， ∴(x−3)(x+1)x−1≥0，∴{x −1>0x −3≥0或{x −1<0x +1≥0，解得：−1≤x <1或x ≥3，故不等式的解集是[−1,1)∪[3，+∞)， 故答案为：[−1,1)∪[3，+∞)．移项，通分，分解因式，通过讨论x −1的符号，问题转化为x 的不等式组，解出即可． 本题考查了分式不等式的解法，考查分类讨论思想，是一道基础题．8.【答案】3π2【解析】解：因为扇形的圆心角为π3，弧长是πcm ， 所以：圆的半径为：ππ3=3，所以：扇形的面积为：12×π×3=3π2cm 2．故答案为：3π2．由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．9.【答案】√33【解析】解：设幂函数y =f(x)=x α，由函数图象过点(2,√22)，所以2α=√22，解得α=−12；所以f(x)=x −12， 所以f(3)=3−12=√33． 故答案为：√33．利用待定系数法求出幂函数y =f(x)的解析式，再计算f(3)的值．本题考查了利用待定系数法求幂函数的解析式以及函数值计算问题，是基础题．10.【答案】32【解析】解：令f−1(1)=t⇒f(t)=log2(2t−1)=1⇒t=32，∴f−1(1)=32．故答案为：32．根据反函数图象过点(1,t)，则原函数图象过点(t,1)，将点(t,1)代入解析式解之即可．本题主要考查了反函数的应用，解题的关键是利用反函数图象过点(m,n)则原函数图象过点(n,m)，属于基础题．11.【答案】132【解析】解：由方程lg(x+2)−lg(2x2+x−6)+1=0，可得lg10(x+2)2x2+x−6=0，∴10(x+2)2x2+x−6=1，即2x2+x−6=10(x+2)，即(2x−13)(x+2)=0．解得x=132，或x=−2，又x+2>0且2x2+x−6>0，故x=132，(−2舍)，故答案为：132．由题意可得lg10(x+2)2x2+x−6=0，即10(x+2)2x2+x−6=1，结合真数大于0，由此求得x的值．本题主要考查对数方程的解法，体现了等价转化的数学思想，注意真数大于0的限制，属于中档题．12.【答案】{a|a≤−8}【解析】解：令3x=t>0，则关于x的方程9x+(4+a)⋅3x+4=0即t2+(4+a)t+4=0有正实数解．故a=t2+4t+4−t =−4−(t+4t)，由基本不等式可得t+4t ≥4，当且仅当t=4t时，等号成立，故−(t+4t)≤−4，故−4−(t+4t)≤−8，即a≤−8，故答案为{a|a≤−8}．令3x=t>0由条件可得a=t2+4t+4−t =−4−(t+4t)，利用基本不等式和不等式的性质求得实数a的取值范围．本题考查方程有解问题、基本不等式求最值问题，同时考查转化思想和换元法，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：令a+2019=x，b+2020=y，则x>2019，y>2020且x+y=4042，∴14042(x+y)=1，∴2021a+2019+2021b+2020=2021(1x +1y )=2021(1x +1y )⋅14042(x +y)， =1+12(yx+xy)≥1+12⋅2√yx⋅xy=2，当且仅当y x =xy 且x +y =4042，即x =y =2021，a =2，b =1时成立．故答案为：2．令a +2019=x ，b +2020=y ，则x >2019，y >2020且x +y =4042，然后利用乘1法，结合基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，换元法的应用是求解问题的关键．14.【答案】2021−√1011【解析】解：由已知可得：f(x)=1−1x+1+1−1x+2+⋯+1−1x+2021=2021−(1x +1+1x +2+⋯+1x +2021) 所以f(−2022−x)=2021−(1−2021−x +1−2020−x +⋯+1−x−1)， 所以f(x)+f(−2022−x)=4042，又函数F(x)为奇函数，则F(−x)=−F(x)，所以f(x)+f(2m −x)=2n ，则2m =−2022，2n =4042， 所以m =−1011，n =2021，令g(x)=|x 2+m|+|x −n|=|x 2−1011|+|x −2021|={ x 2−x +1010,x <−√1011−x 2−x +3033,−√1011≤x ≤√1011x 2−x +1010,√1011<x <2021x 2+x −3033,2021≤x，由二次函数的单调性可知；min{g(−√1011,g(√1011)}=g(√1011)=2021−√1011， 故答案为：2021−√1011．先化简函数f(x)，再把−2022−x 代入f(x)解析式中，两式相加可得f(x)+f(−2022−x)=4042，再利用F(x)是奇函数，建立关系式，进而可得m ，n 的值， 再把m ，n 的值代入所求的关系式中，可求出最小值．本题考查了函数的奇偶性以及最值问题，涉及到分离常数法，属于中档题．15.【答案】解：(I)因为f(x)=2x −a2x +1为奇函数，所以f(0)=1−a 2=0，所以a =1，f(x)=2x −12x +1=1−22x +1， 设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=21+2x 2−21+2x 1=2(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)<0， 所以f(x 1)<f(x 2)，所以f(x)是增函数；(II)由(I)得y =f(x)为定义域R 上的奇函数且单调递增， 由f(1t−2)+f(−1)>0可得f(1t−2)>−f(1)=f(−1)，所以1t−2>1， 即1t−2−1=3−tt−2>0，所以(t −2)(t −3)<0， 解2<t <3．【解析】(I)由已知结合奇函数的性质可知f(0)=0，代入可求； (II)由已知结合函数的单调性及奇偶性即可直接求解．本题主要考查了函数单调性的判断及利用单调性及奇偶性求解不等式，属于中档试题． 16.【答案】解：(1)当a =0时，y =log 2(−4x +6)满足题意； 当a ≠0时，要使得y =log 2f(x)的值域为R ，只需要满足{a >0△=16−24a ≥0，解得0<a ≤23，综上a ∈[0,23]．(2)y =log a t,t =ax 2−4x +6，当a >1时，外层函数为严格增，所以只需满足{2a≤1a −4+6≥0⇒a ≥2； 当0<a <1时，外层函数为严格减，所以只需满足{2a ≥39a −12+6>0⇒{a ≤23a >23，此时不存在，舍去；综上a ∈[2,+∞)．【解析】(1)当a =0时，圆柱说法满足题意，当a ≠0时，要使得y =log 2f(x)的值域为R ，转化列出不等式组求解即可．(2)当a >1时，当0<a <1时，利用复合函数的单调性，列出不等式组求解即可． 本题考查函数的单调性的应用，复数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：(1)∵t =k ⋅(6−12x+4)，∴y =80t −(20+8x +50t)=30t −20−8x =30k(6−12x+4)−20−8x ， 即y =180k −360k x+4−8x −20,x ∈[0,10]；(2)y =180k −360k x+4−8x −20=180k +12−8[(x +4)+45kx+4]，∵x ∈[0,10]，∴4≤x +4≤14， ∴(x +4)+45k x+4≥2√(x +4)×45k x+4=6√5k ，当且仅当x +4=45kx+4，即x =3√5k −4时，等号成立． ∴y =180k +12−8[(x +4)+45kx+4]≤180k +12−48√5k ，故政府补贴为3√5k −4万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为180k +12−48√5k 万元； (3)若对任意的x ∈[0,10]，公司都不产生亏损， 则180k −360k x+4−8x −20≥0在x ∈[0,10]恒成立，即k ≥145⋅(x+4)(2x+5)x+2，记t =x +2，则t ∈[2,12]，此时(x+4)(2x+5)x+2=(t+2)(2t+1)t =2t +2t +5，由于函数f(t)=2t +2t +5在t ∈[2,12]单调递增， ∴当t ∈[2,12]时，f(t)max =f(12)=29+16≈29.167， ∴k ≥145×29.167≈0.648，即当工厂工人的复工率到0.65时，对任意的x ∈[0,10]，公司都不产生亏损．【解析】(1)直接由利润=总收入−成本可得利润y 关于x 的函数解析式； (2)把(1)中的函数解析式变形，再由基本不等式求最值； (3)若对任意的x ∈[0,10]，公司都不产生亏损，则180k −360k x+4−8x −20≥0在x ∈[0,10]恒成立，分离参数k ，结合函数的单调性求最值，即可求得复工率的最大值．本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)因为f(x)=3(2x −3)+22x −3=3+22x −3，所以函数f(x)在区间[0,1]上严格递减， 而f(0)=2，f(1)=1， 故函数f(x)的值域为[1,2]．(2)因为g(x)=|log 2x|在x ∈[0,1]单调递减，在[1,+∞)单调递增， 又t =|g(α)|=|g(β)|， 所以0<α<1<β，则有|log 2α|=|log 2β|，即−log 2α=log 2β 故0=log 2α+log 2β=log 2αβ， 所以aβ=1； (3)令p =f(m)，由(1)知p =f(m)∈[1,2]， 令t =g(x)，因为g(x)=|log 2x|在x ∈[18,1]单调递减，在[1,4]单调递增，且g(18)=3，g(1)=0，g(4)=2 则当t ∈(0,2]时，方程t =g(x)有两个不等根， 由(2)知，且两根之积为1；当t ∈(2,3]∪{0}时，方程t =g(x)有且只有一个根且此根在区间[18,14)内或者为1． 令ℎ(t)=4t 2−4at +3a −1，由二次函数ℎ(t)与g(x)的图象特征， 原题目等价于：对任意p ∈[1,2]，关于t 的方程ℎ(t)=p 在区间[0,3]上总有2个不等根t 1，t 2(t 1<t 2)， 且t 1=g(x)有两个不等根，t 2=g(x)只有一个根，则必有0<t 1≤2<t 2≤3， 结合二次函数ℎ(t)的性质，则有{ℎ(0)=3a −1>2ℎ(2)=15−5a <1ℎ(3)=35−9a ≥2，解得145<a ≤113，所以实数a的取值范围为(145,113]．【解析】(1)将已知函数f(x)的解析式利用分离常数法将函数解析式变形，再利用复合函数的单调性即可判断函数f(x)的单调性，求解最值即可得到答案；(2)利用g(x)的单调性以及t=|g(α)|=|g(β)|，得到0<α<1<β，再利用解析式即可得到a和β的关系式(3)令t=g(x)，分析g(x)的单调性，然后对t分情况进行分析，得到当t∈(0,2]时，方程t=g(x)有两个不等根，t∈(2,3]∪{0}时，方程t=g(x)有且只有一个根且此根在区间[18,14)内或者为1，进一步令ℎ(t)=4t2−4at+3a−1，将问题转化为对任意p∈[1,2]，关于t的方程ℎ(t)=p在区间[0,3]上总有2个不等根t1，t2(t1< t2)，且t1=g(x)有两个不等根，t2=g(x)只有一个根，则必有0<t1≤2<t2≤3，分析求解，列出关于a的不等式组，求解即可．本题考查了函数的综合应用，涉及了函数的零点与方程根的关系，解题的关键是将问题转化为关于t的方程ℎ(t)=p在区间[0,3]上总有2个不等根t1，t2(t1<t2)，且t1=g(x)有两个不等根，t2=g(x)只有一个根．第11页，共11页。
2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知()f x 是R 上的偶函数，12,x x R ∈，则“120x x +=”是“()()12f x f x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据函数的奇偶性，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 是R 上的偶函数，若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=成立，即充分性成立； 若()()12f x f x =，则12x x =-或12x x =，即必要性不一定成立， 所以“120x x +=”是“()()12f x f x =”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．函数2(0)1axy a x =>+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论． 【详解】记2()1axf x x =+，函数定义域为R ，则2()1ax f x x -=-+()f x =-，函数为奇函数，排除BC ，又0x >时，()0f x >，排除D ． 故选：A ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．设集合{}2230A x x x =+->，集合{}2210,0B x x ax a =--≤>，若A B 中恰有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞【答案】B【分析】先化简集合A ，再根据函数2()21y f x x ax ==--的零点分布，结合A ∩B 恰有一个整数求解. 【详解】{}{22303A x x x x x =+->=<-或}1x >，函数2()21y f x x ax ==--的对称轴为0x a =>， 而(3)680f a -=+>，(1)20,(0)0f a f -=><，故其中较小的零点为(1,0)-之间，另一个零点大于1，(1)0f <， 要使A ∩B 恰有一个整数，即这个整数解为2，(2)0f ∴≤且(3)0f >，即44109610a a --≤⎧⎨-->⎩，解得：3443a ≤< ， 则a 的取值范围为34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故答案为：B.【点睛】关键点睛：本题主要考查集合的交集运算的应用以及二次函数的零点分布问题，解题的关键是根据二次函数的性质得出A B 中的整数为2，利用零点存在性定理求解.4．已知函数111,22(),1(2),262x x f x f x x ⎧--≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩则方程()10xf x -=的解得个数是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】化简得出函数()f x 的表达式，方程()10xf x -=的解得个数，即方程1()f x x=的实数根的个数，作出函数()f x 和1y x=的图象，结合函数图象可得出答案. 【详解】当2x ≤时，()31212111122x x f x x x x -⎧⎪≤≤⎪=--=⎨+<⎪⎪⎩ 当24x <≤时，()12314(2)53424x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩当46x <≤时，()34518(2)75628x x f x f x xx -⎧⎪<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎪⎩方程()10xf x -=的解得个数，即方程1()f x x=的实数根的个数. 在同一坐标系中作出()y f x =与1y x=的图象， 由()()()11112424f f f ===，，， 如图：函数()y f x =的图象与1y x=的图象有7个交点. 所以函数()()1g x xf x =-的零点个数是：7 故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点个数，解答本题的关键是得出函数函数()f x 的表达式，作出函数()f x 的图象，将问题转化为方程1()f x x=的实数根的个数，即函数()y f x =的图象与1y x =的图象的交点个数，数形结合可解. 二、填空题5．计算：2233318log 752log 52-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭________．【答案】9【分析】根据分数指数幂的运算、对数的运算性质求解出结果.【详解】原式=()()232333333212log 3552log 542log 32log 52log 512++⨯⨯-=+++-⎛⎫⎪⎝⎭4419=++=，故答案为：9. 6．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于________． 【答案】22-【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得sin α的值，进而利用商数关系可求得tan α的值.【详解】,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，sin 3α∴==-sin tan cos ααα==- 故答案为：-．7．不等式2411x x x --≥-的解集为______.【答案】[1,1)[3,)-+∞【分析】把分式不等式转化为整式不等式，然后利用高次不等式的结论求解．【详解】不等式2411x x x --≥-化为24101x x x ---≥-，22301x x x --≥-，(1)(3)(1)010x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩， 解得3x ≥或11x -≤<． 故答案为：[1,1)[3,)-+∞．【点睛】方法点睛：解分式不等式的方法：把分式不等式移项，不等式右边化为0，左边通分，然后化为整式不等式，要注意分母不为0，对一元二次不等式易得解，对高次的不等式可利用序轴标根法写出不等式的解．解题中多项式的最高次项系数正数． 8．已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ．【答案】32π 【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果. 【详解】因为一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，所以其所在圆的半径为33r ππ==， 因此该扇形的面积是1133222S lr ππ==⨯⨯=. 故答案为：32π.9．已知幂函数()f x 的图象过点⎛ ⎝⎭，则()3f =______.【分析】由条件求出()12f x x-=，然后可求出答案.【详解】因为幂函数()f x x α=的图象过点⎛ ⎝⎭所以2α=，解得12α=-，即()12f x x -=所以()12333f -==10．已知函数12()log (21),()f x x y f x -=-=是其反函数，则1(1)f -=__________.【答案】32【分析】令2log (21)1x -=即可求出1(1)f -【详解】解：令22log (21)1log 2x -==，所以212x -=，解得32x =，即1(1)f -=32. 故答案为:32. 11．方程()()2lg 2lg 2610+-+-+=x x x 的解集为_________.【答案】132⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】根据对数运算法则，先将方程化为()()2lg102lg 26+=+-x x x ，得到()210226+=+-x x x ，求解，再由对数的性质，得到x 的范围，即可得出结果.【详解】因为()()2lg 2lg 2610+-+-+=x x x ，所以()()2lg102lg 26+=+-x x x ，所以()210226+=+-x x x ，整理得：292602--=x x ，解得2x =-或132x =； 又由220260x x x +>⎧⎨+->⎩解得 32x >；所以132x =，原方程的解集为132⎧⎫⎨⎬⎩⎭故答案为132⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查解对数方程，熟记对数运算法则与对数的性质即可，属于常考题型. 12．若关于x 的方程9(4)340x x a ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】8a ≤-【分析】令30x t =>，方程转化为2(4)40t a t +++=有正根，由根的判别式结合根与系数关系，建立关于a 的不等式，求解即可.【详解】方程9(4)340x x a ++⋅+=有解， 令30x t =>，则方程2(4)40t a t +++=有正根， 又两根的积为4，()()2416040a a ⎧∆=+-≥⎪∴⎨-+>⎪⎩，解得8a ≤-. 故答案为：8a ≤-.【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，应用根的判别式和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题. 13．已知0a >，0b >且3a b +=.式子2021202120192020a b +++的最小值是___________.【答案】2【分析】令2019a x +=，2020b y +=，从而可得1()14042x y +=，再利用基本不等式即可求解. 【详解】令2019a x +=，2020b y +=， 则2019x >，2020y >且4042x y +=， ∴1()14042x y +=， ∴202120211111120212021()201920204042x y a b x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1111222y x x y ⎛⎫=+++⋅= ⎪⎝⎭≥，当且仅当y xx y=取等号，即2021,2,1x y a b ====时成立. 故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 14．已知122020()1232021x x x x f x x x x x +++=++++++++，()()F x f x m n =+-，若函数()y F x =为奇函数，则2||x m x n ++-的最小值是___________.【答案】2021【分析】利用已知条件得到()()20224042f x f x +--=，又利用()y F x =为奇函数，即可求出,m n 的值，代入2||x m x n ++-，分四种情况去绝对值，利用二次函数的单调性求最值即可得出结果.【详解】由122020()1232021x x x x f x x x x x +++=++++++++，得()111112320211111f x x x x x =-+-+-++-++++1112021122021x x x ⎛⎫=-+++⎪+++⎝⎭，又()11120222021202120211f x x x x ⎛⎫--=-+++⎪------⎝⎭1112021202120211x x x ⎛⎫++++ ⎪+++⎝⎭， 则()()20224042f x f x +--=，因为()()F x f x m n =+-，又函数()y F x =为奇函数，()()()()()()0222F x F x f x m f x m n f x f x m n -+=⇒-+++=⇒+-+=，故22022,240421011,2021m n m n =-=⇒=-=；所以()221011|||2021|x m x n x x g x ++-=+-=-，当2021x ≥时，原式22101120213032x x x x =-+-=+-， 对称轴为12x =-，故函数()g x 在[)2021,+∞上为增函数， 所以()g x 的最小值为：220211011-；2021x ≤<时，原式22101120211010x x x x =-+-=-+， 对称轴为12x =，故函数()g x 在)2021上为增函数，所以()g x 的最小值为：2021当x ≤22101120213032x x x x =-++-=--+， 对称轴为12x =-，故函数()g x 在12⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，在12⎛- ⎝上为减函数，所以()g x 的最小值为：2021当x ≤22101120211010x x x x =-+-=-+， 对称轴为12x =，故函数()g x 在(,-∞上为减函数，所以()g x 的最小值为：2021综上：2||x m x n ++-的最小值是2021故答案为：2021【点睛】方法点睛：形如()20x a x b a b -+-<<求最值的问题.分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(((),,,,,b b ⎤-∞+∞⎦四个部分，在每个部分上去掉绝对值符号，研究二次函数的单调性即可求解最值. 三、解答题15．已知函数2()21x x af x -=+为奇函数.（1）求实数a 的值并证明()f x 是增函数；（2）若实数满足不等式1(1)02f f t ⎛⎫+-> ⎪-⎝⎭，求t 的取值范围.【答案】（1）1a =，证明见解析；（2）(2,3)t ∈.【分析】（1）依题意可得()()f x f x -=-，即可求出参数a 的值，从而求出函数解析式，再利用作差法证明函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可； 【详解】（1）因为()y f x =是定义域为R 奇函数，由定义()()f x f x -=-，所以222121x xx xa a----=-++ 所以2(1)1x a a -=-， ∴1a =. 所以21()21x x f x 证明：任取12x x -∞<<<+∞，121212*********(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++．12x x -∞<<<+∞，1222x x ∴<．12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．()f x ∴在定义域上为增函数．（2）由（1）得()y f x =是定义域为R 奇函数和增函数1(1)(1)2f f f t ⎛⎫>--= ⎪-⎝⎭ 112t ⇒>- 302t t -⇒>- (2)(3)0t t ⇒--<23t ⇒<<所以(2,3)t ∈.【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性． 16．已知函数2()46f x ax x =-+．（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间](1,3上严格增，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）[)2,a ∈+∞．【分析】（1）根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+，由此根据a 与0的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出a 的取值范围.【详解】（1）当0a =时，2log (46)y x =-+满足题意； 当0a ≠时，要使得2log ()y f x =的值域为R ，只需要满足016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得203a <≤，综上20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ （2）2log ,46a y t t ax x ==-+，当1a >时，外层函数为严格增，所以只需满足212460a aa ⎧≤⎪⇒≥⎨⎪-+≥⎩； 当01a <<时，外层函数为严格减，所以只需满足22332912603a aa a ⎧≤⎧⎪≥⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+>>⎩⎪⎩，此时不存在，舍去； 综上[)2,a ∈+∞．【点睛】思路点睛：形如()()()2lg 0f x ax bx c a =++≠的函数，若函数的定义域为R ，则有00a >⎧⎨∆<⎩；若函数的值域为R ，则有0a >⎧⎨∆≥⎩.17．新冠疫情造成医用防护服短缺，政府决定为生产防护服的公司提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭(万件)，其中([0.5,1])k k ∈为工人的复工率.公司生产t 万件防护服还需投入成本(20850)x t ++(万元).（1）将公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)； （2）当复工率0.7k =时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，公司才能不亏损？(精确到0.01). 【答案】（1）3601807204ky k x x =---+，[]0,10x ∈；（2）2；（3）0.58 【分析】（1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可； （2）当0.7k =时，可得()2527+4+134+4y x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，利用基本不等式即可求出； （3）若对任意的x ∈[0，10]，公司都不产生亏损，得到36018072004kk x x ---≥+在x ∈[0，10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．【详解】（1）依题意，()3608020850302071807204ky x t x t t x k x x =+-++=--=---+，[]0,10x ∈； （2）当0.7k =时，3600.71800.77204y x x ⨯=⨯---+()25225271067+4+1344+4x x x x ⎡⎤=--+=-+⎢⎥+⎣⎦50≤-=， 当且仅当()2527+4+4x x =，即2x =时等号成立， 所以政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大50万元； （3）若对任意的x ∈[0，10]，公司都不产生亏损，则36018072004kk x x ---≥+在[]0,10x ∈恒成立， ∴21748802180x x k x ++≥⋅+，令[]22,12t x =+∈，2172012112720180180t t k t t t ++⎛⎫∴≥⋅=++ ⎪⎝⎭， 设()12720f t t t =++在[]2,12上递增，∴()()max 12127122010512f t f ==⨯++=，∴1105180.580k ≥⨯≈. 即当工人的复工率达到0.58时，公司不亏损.【点睛】结论点睛：本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，解决此类问题的关键是根据条件准确的求出关系式，对于实际问题的最值问题，常用基本不等式或函数单调性的办法求解，注意实际问题中的取值范围．18．已知函数()32723x xf x ⋅-=-，()2log g x x =． （1）当[]0,1x ∈时，求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()g x t =有两个不等根(),αβαβ<，求αβ的值；（3）已知存在实数a ，使得对任意]1[0m ∈，，关于x 的方程()()()244310g x ag x a f m -+--=在区间1,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有．．3个不等根1x ，2x ，3x ，求出实数a 的取值范围． 【答案】（1）[]1,2；（2）1a β=；（3）141153a <≤． 【分析】（1）将函数()f x 化简再根据单调性即可得函数()f x 的值域； （2）根据()g x 的解析式，将,αβ代入化简，即可得到αβ的值.（3）令()p f m =，()t x g =，2()4431h t t at a =-+-，根据]1[0m ∈，得出p 的取值范围，由题意可得关于t 的方程()h t p =在区间[]0,3有两解12,t t ，且()1t g x =有两个不等根，()2t g x =只有一个根，列出不等式组得出a 的范围. 【详解】（1）()()3232232323x x x f x -+==+--在区间[]0,1x ∈上严格减， 而()02f =，()11f =，故函数()f x 的值域为[]1,2．（2）因为()2|log |g x x =在[]0,1x ∈单调递减，在[)1,+∞单调递增，()()t g g αβ== 01αβ∴<<<，则有22log log αβ=，即22log log αβ-=故2220log log log αβαβ=+=，所以1a β= （3）令()p f m =，由（1）知()[]1,2p f m =∈令()t x g =，因为()2log g x x =在1,18x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调减，在[]1,4单调递增，且138g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =，()42g =则当(]0,2t ∈时，方程()t x g =有两个不等根，由（2）知，且两根之积为1； 当(2,3]{0}t ∈时，方程()t x g =有且只有一个根且此根在区间11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭内或者为1. 令2()4431h t t at a =-+-，由二次函数()h t 与()g x 的图象特征，原题目等价于： 对任意[]1,2p ∈，关于t 的方程()h t p =在区间[]0,3上总有2个不等根()1212,t t t t <， 且()1t g x =有两个不等根，()2t g x =只有一个根， 则必有12023t t <≤<≤或102t <≤且20t =，当12023t t <≤<≤时，结合二次函数()h t 的图象，则有(0)312(2)1551(3)3592h a h a h a =->⎧⎪=-<⎨⎪=-≥⎩，解之得141153a <≤， 当102t <≤且20t =，则()()1020221222h a a h h ⎧≤≤⎪⎪<<⎪⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩，此时无解.综上所述，实数a 的取值范围为141153a <≤. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查的是利用函数的单调性求函数值域，以及对数函数方程的零点以及复合函数零点的求法，解题的关键是确定方程()t x g =有且只有一个根且此根在区间11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭内或者为1，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.。
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绝密★启用前
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高
一上学期期末考试数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分）
1.计算：2233318log 752log 52
-++-=（）_________. 2.已知1cos ,(,0),32
παα=∈-则tan α=_________. 3.不等式2411
x x x --≥-的解集为_________. 4. 已知扇形的圆心角为3π，弧长是,cm π则扇形的面积是_________2
cm .
5.已知幂函数()f x 的图像过点2
，则(3)f =_________. 6.已知函数12()log (21),()f x x y f x -=-=是其反函数，则1(1)f -=_________.
7.方程2lg(2)lg(26)10x x x +-+-+=的解为：_________.
8.关于x 的方程9(4)340x x
a ++⋅+=由实数根，则实数a 的取值范围_________. 9.已知0,0a
b >>，且3a b +=，式子2021202120192020
a b +++的最小值是_________.
10.已知函数122020()1232021x x x x f x x x x x +++=++++++++，且函数 ()()F x f x m n =+-为奇函数，则2||x m x n ++- 的最小值为
二、选择题（本大题共4小题，每题4分，每题16分）
11.已知()f x 是R 上的偶函数，12,x x R ∈，则“120x x +=”是“12()()f x f x =”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.函数2(0)1ax
y a x 的图象大致为（ ）
13.设集合{}2230,A x x x =+->集合{}
2210,0B x x ax a =--≤>，若A B 中恰有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）
A.3(0,)4
B.34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C.3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D.()1,+∞
14.已知函数111,22(),1(2),262
x x f x f x x ⎧--≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩则方程()10xf x -=的解得个数是（ ）
A. 5
B. 6
C.7
D.8
三、解答题（本题共4小题，共44分）
15.（本题满分10分，第1小题6分，第2小题4分） 已知函数2()21
x x a f x -=+为奇函数. （1）求实数a 的值并证明()f x 是严格增函数；
（2）若实数满足不等式1(1)02f f t ⎛⎫+-> ⎪-⎝⎭
，求t 的取值范围.
16. （本大题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
已知函数2
()46f x ax x =-+. (1)若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；
(2)若函数log ()a y f x =在区间](1,3上严格增，求实数a 的取值范围。
17. （本大题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分）
新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司提供([0,10])x x ∈(万元)的专项补贴, 并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服A 公司在收到政府x (万元)补贴后, 防护服产量将墙加到1264t k x ⎛
⎫=⋅- ⎪+⎝⎭
（万件），其中k 为工厂工人的复工率([0.5,1])k ∈，A 公司生产t 万件防护服需投入成本(20850)x t ++(万元).
(1)将A 公司生产防护服的利润 y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(利润=总收入一成本,政府补贴x 万元计入公司收入中）；
（2）在复工率为=0.7k 时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？
(3)对任意的[0,10]x ∈ (万元)，当复工案k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损? （精确 0.01)
18. （本大题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分）
已知函数()32723
x x f x ⋅-=-，()2log g x x =. （1）当[]0,1x ∈时，求函数()f x 的值域；
（2）若关于x 的方程()g x t =有两个不等根(),αβαβ<，求αβ的值；
（3）已知存在实数a ，使得对任意]1[0m ∈，，关于x 的方程
()()()2-44310g x ag x a f m -+--=在区间1,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上总有．．3个不等根1x ，2x ，3x ，求出实数a 的取值范围.。