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广东省揭阳市2016届高三第二次高考模拟数学文试题(解析版)

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2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)

2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)

2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：（每小题 分，共 分）．．复数（ ） （其中 为虚数单位）的虚部为（ ） ．．﹣ ． ．﹣．已知集合，则满足 的集合 可以是（ ）． ，． ﹣ ≤ ≤ ． ＜ ＜ ． ＞．各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则（ ）．．． ．．已知平面向量，，，则 的值为（ ）．．﹣ ． ．．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆 （ ﹣）（ ＞）内，则 的最小值是（ ）．．． ．．如图所示为函数 （ ） （ ）（ ＞ ，≤ ≤ ）的部分图象，其中 ， 两点之间的距离为 ，那么． ．﹣ ．﹣ ．．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）． ． ． ．．在棱长为 的正方体 ﹣ 中， 在线段 上，且， 为线段上的动点，则三棱锥 ﹣ 的体积为（ ）． ．．．与 点的位置有关．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为抛物线上一点，且在第一象限， ⊥ ，垂足为 ， ，则直线 的倾斜角为（ ）．．．．．已知点 、 分别是双曲线 ：﹣ （ ＞ ， ＞ ）的左右焦点，过 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，若 ： ： ： ： ，则双曲线的离心率为（ ）．．．．．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）． ． ． ．．设函数 （ ）对任意的 ∈ 满足 （ ） （﹣ ），当 ∈（﹣， 时，有 （ ） ﹣ ﹣ ．若函数 （ ）在区间（ ， ）（ ∈ ）上有零点，则 的值为（） ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或二、填空题（每小题 分，共 分）．已知数列满足，﹣﹣（ ≥ ），则数列的通项公式 ．．若直线 ﹣ （ ＞ ， ＞ ）经过曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心，则 的最小值为．．已知△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ， ，∠ ，则多面体 ﹣ 的外接球的表面积为．．已知函数 （ ） ， （ ） ﹣ （＞ ）若存在 ， ∈ ， ，使得 （ ） （ ）成立，则实数 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共 小题，满分 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过 小时收费 元，超过 小时的部分每小时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过 小时．（ ）若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为，停车付费多于 元的概率为，求甲停车付费恰为 元的概率；（ ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为 元的概率．．在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知（ ）求角 的大小，（ ）若 ，求使△ 面积最大时 ， 的值．．如图，三棱柱 ﹣ 中， ⊥平面 ， 、 分别为 、 的中点，点 在棱 上，且．（ ）求证： ∥平面 ；（ ）在棱 上是否存在一个点 ，使得平面 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 ： ，若存在，指出点 的位置；若不存在，说明理由．．已知椭圆 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（， ）．（ ）求椭圆 的方程；（ ）设直线 与椭圆 相交于 、 两点，以线段 、 为邻边作平行四边形 ，其中点 在椭圆 上， 为坐标原点，求点 到直线 的距离的最小值．．已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ﹣ ．（ ）当 时，求 （ ）的单调区间；（ ）若 ≥ 时， （ ）≥ 恒成立，求 的取值范围．选修 ：几何证明选讲．如图， 是圆 的直径， 是弦，∠ 的平分线 交圆 于点 ， ⊥ ，交 的延长线于点 ， 交 于点 ．（ ）求证： 是圆 的切线；（ ）若 ，求的值．选修 ：坐标系与参数方程．已知直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ）．（ ）求直线 与曲线 的直角坐标方程；（ ）在曲线 上求一点 ，使它到直线 的距离最短．选修 ：不等式选讲．已知函数 （ ） ﹣ ．（ ）若不等式 （ ）﹣ （ ）≥ ﹣ 有解，求实数 的取值范围；（ ）若 ＜ ， ＜ ，且 ≠ ，证明：＞ （）．年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（ 月份）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题 分，共 分）．．复数（ ） （其中 为虚数单位）的虚部为（ ） ．．﹣ ． ．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（ ） ，则答案可求． 【解答】解：复数（ ） ﹣ ，则复数（ ）的虚部为： ．故选： ．．已知集合，则满足 的集合 可以是（ ）． ，． ﹣ ≤ ≤ ． ＜ ＜ ． ＞【考点】交集及其运算．【分析】求出 中 的范围确定出 ，根据 ，找出满足题意的集合 即可． 【解答】解：∵ ≥ ，∴ ＜ （） ≤（） ， ∴ ＜ ≤ ．则满足 的集合 可以 ＜ ＜ ． 故选： ．．各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则（ ）．．． ．【考点】等比数列的性质．【分析】利用 （ ） ，各项为正，可得 ，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．【解答】解：∵各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，∴ （ ） ，∵ （ ） ，∴ ，∴ （ ） ，故答案为： ．．已知平面向量，，，则 的值为（） ． ．﹣ ． ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，代入模长公式列出方程解出 ．【解答】解： （ ， ﹣ ），∵ ，∴ （ ﹣ ） ，解得 ．故选： ．．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆 （ ﹣） （ ＞ ）内，则 的最小值是（）． ． ． ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断点与圆的位置关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆 （ ﹣） （ ＞ ）对应的圆心坐标为（ ，），由图象知只需要点 （ ， ）或 （﹣ ， ）在圆内即可，即 ≥ ，在 的最小值为，故选： ．．如图所示为函数 （ ） （ ）（ ＞ ，≤ ≤ ）的部分图象，其中 ， 两点之间的距离为 ，那么． ．﹣ ．﹣ ．【考点】由 （ ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】由图象得到振幅 ，由 、 两点的距离结合勾股定理求出 和 的横坐标的差，即半周期，然后求出 ，再由 （ ） 求 的值，则解析式可求，从而求得 （ ）．由 （ ） ，得 ，∴ ．又≤ ≤ ，∴ ．则 （ ） （ ）．∴ × ．故选： ．．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）． ． ． ．【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环： ， ；第二次循环： ， ；第三次循环： ， ；第 次循环：， ；令＜﹣ ，解得 ＞ ．∴输出的结果是 ． 故选： ．．在棱长为 的正方体 ﹣ 中， 在线段 上，且， 为线段上的动点，则三棱锥 ﹣ 的体积为（ ）． ．．．与 点的位置有关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】如图所示，连接 ，取，可得 ∥ ，，由于 ⊥平面 ，可得 ⊥平面 ，利用三棱锥 ﹣ 的体积 三棱锥 ﹣即可得出．【解答】解：如图所示，连接 ，取 ，则 ∥ ，， ，∵ ⊥平面 ， ∴ ⊥平面 ， 即 是三棱锥 ﹣ 的高． ∴ 三棱锥 ﹣ 三棱锥 ﹣．故选： ．．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为抛物线上一点，且在第一象限， ⊥ ，垂足为 ， ，则直线 的倾斜角为（）． ． ． ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】可先画出图形，得出 （），由抛物线的定义可以得出 ，从而可以得出 点的横坐标，带入抛物线方程便可求出 点的纵坐标，这样即可得出 点的坐标，从而求出直线 的斜率，根据斜率便可得出直线 的倾斜角．【解答】解：如图，由抛物线方程得；；∴ 点的横坐标为；∴， 在第一象限；∴ 点的纵坐标为；∴ 点的坐标为；∴ 的斜率为；∴ 的倾斜角为．故选： ．．已知点 、 分别是双曲线 ：﹣ （ ＞ ， ＞ ）的左右焦点，过 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，若 ： ： ： ： ，则双曲线的离心率为（ ）．．．．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可求得 ，∠ ，再利用勾股定理可求得 ，从而可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵ ： ： ： ： ， 不妨令 ， ， ， ∵ ，∴∠ ，又由双曲线的定义得： ﹣ ， ﹣ ， ∴ ﹣ ﹣ ，∴ ． ∴ ﹣ ﹣ ，∴ ．在 △ 中， ， 又 ，∴ ， ∴，∴双曲线的离心率 ．故选： ．．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）． ． ． ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为 ，几何体底面圆心角为 ，∴几何体底面弧长为 ．圆锥高为 ．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中， ， ⊥ ， ⊥ ， ，，．∴∠ ∠ ，∠ ．∴∠ ．∴ ．故选 ．．设函数 （ ）对任意的 ∈ 满足 （ ） （﹣ ），当 ∈（﹣， 时，有 （ ） ﹣ ﹣ ．若函数 （ ）在区间（ ， ）（ ∈ ）上有零点，则 的值为（） ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由已知可得函数 （ ）的图象关于直线 对称，画出函数的图象，进而可得满足条件的 值．【解答】解：∵函数 （ ）对任意的 ∈ 满足 （ ） （﹣ ），∴函数 （ ）的图象关于直线 对称，又∵当 ∈（﹣， 时，有 （ ） ﹣ ﹣ ．故函数 （ ）的图象如下图所示：由图可知，函数 （ ）在区间（﹣ ，﹣ ），（ ， ）各有一个零点，故 ﹣ 或 ，故选：二、填空题（每小题 分，共 分）．已知数列满足，﹣﹣（ ≥ ），则数列的通项公式 （ ）．【考点】数列递推式．【分析】由已知得 ﹣﹣（ ≥ ），由此利用累加法能求出该数列的通项公式．【解答】解：∵数列 满足： ， ﹣ ﹣ （ ≥ ），（ ≥ ），∴ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣（ ），故答案为：．．若直线 ﹣ （ ＞ ， ＞ ）经过曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心，则 的最小值为 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求出函数的对称中心坐标，推出 关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最值．【解答】解：曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心（， ）．直线 ﹣ （ ＞ ， ＞ ）经过曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心，可得 ．（ ）（ ） ≥ ，当且仅当 ， ，即 ， 时，表达式取得最小值．故答案为： ．．已知△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ， ，∠ ，则多面体 ﹣ 的外接球的表面积为 ．【考点】球的体积和表面积．【分析】设球心到平面 的距离为 ，利用△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ，∠ ，可得 到平面 的距离为，从而 （） （﹣ ） ，求出 ，即可求出多面体 ﹣ 的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面 的距离为 ，则∵△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ，∠ ，∴ 到平面 的距离为，∴ （） （﹣ ） ，∴ ， ，∴多面体 ﹣ 的外接球的表面积为 ．故答案为： ．．已知函数 （ ） ， （ ） ﹣ （ ＞ ）若存在 ， ∈ ， ，使得 （ ） （ ）成立，则实数 的取值范围是， ．【考点】分段函数的应用．【分析】由存在性，得到只需两个函数的值域相交不为空集即可，所以转换为求函数值域问题．【解答】解：∵函数 （ ） ，∴ （ ）∈ ， ；∵ （ ） ﹣ （ ＞ ），当 ∈ ， 时，∴ ∈ ，∴ （ ）∈ ﹣ ， ﹣∵存在 ， ∈ ， ，使得 （ ） （ ）成立，∴ ﹣ ， ﹣ ， ≠∅，∴只需排除 ﹣ ， ﹣ ， ∅的情况，即 ﹣ ＞，或 ﹣ ＜ ，得 ＜或 ＞∴ 的取值范围是 ， ．三、解答题：本大题共 小题，满分 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过 小时收费 元，超过 小时的部分每小时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过 小时．（ ）若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为，停车付费多于 元的概率为，求甲停车付费恰为 元的概率；（ ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件．【分析】（ ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为 求解即可．（ ）先列出甲、乙二人停车付费之和为 元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．【解答】解：（ ）设 甲临时停车付费恰为 元 为事件 ，则．所以甲临时停车付费恰为 元的概率是．（ ）设甲停车付费 元，乙停车付费 元，其中 ， ， ， ， ．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），共 种情形．其中，（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）这 种情形符合题意．故 甲、乙二人停车付费之和为 元 的概率为．．在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知（ ）求角 的大小，（ ）若 ，求使△ 面积最大时 ， 的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（ ）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据 不为 求出 的值，即可确定出 的度数；（ ）利用余弦定理列出关系式，将 与 的值代入并利用基本不等式求出 的最大值，进而确定出三角形 面积的最大值，以及此时 与 的值即可．【解答】解：（ ）∵ ﹣ ，即 （ ） ﹣ ，∴由正弦定理化简已知等式得： ，整理得： ﹣ ，即﹣（ ） ，∵ ≠ ，∴ ﹣，∵ 为三角形内角，∴ ；（ ）∵ ， ﹣，∴由余弦定理得： ﹣ ，即 ≥，∴ ≤，（当且仅当 时成立），∵ ≤，∴当 时，△ 面积最大为，此时 ，则当 时，△ 的面积最大为．．如图，三棱柱 ﹣ 中， ⊥平面 ， 、 分别为 、 的中点，点 在棱 上，且．（ ）求证： ∥平面 ；（ ）在棱 上是否存在一个点 ，使得平面 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 ： ，若存在，指出点 的位置；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（ ）取 的中点 ，根据，得到 为 的中点，又 为 的中点，根据三角形中位线定理得 ∥ ，从而在三棱柱 ﹣ 中， 为平行四边形，进一步得出 ∥ ．最后根据线面平行的判定即可证出 ∥平面 ．（ ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱 上存在一个点 ，使得平面 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 ： ，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出 与 的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】证明：（ ）取 的中点 ，∵，∴ 为 的中点，又∵ 为 的中点，∴ ∥在三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点， ∴ ∥ ， ，∴ 为平行四边形，∴ ∥ ∴ ∥ ．∵ ⊂平面 ， ⊄平面 ，∴ ∥平面 ．（ ）设 上存在一点 ，使得平面 将三棱柱分割成两部分的体积之比为 ： ，则，∵∴，∴，∴ ．所以符合要求的点 不存在．．已知椭圆 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（， ）．（ ）求椭圆 的方程；（ ）设直线 与椭圆 相交于 、 两点，以线段 、 为邻边作平行四边形 ，其中点 在椭圆 上， 为坐标原点，求点 到直线 的距离的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（ ）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（ ）当直线 的向量存在时，设直线 的方程为： ，与椭圆方程联立化为（ ） ﹣ ，由△＞ ，化为 ﹣ ＞ ，设 （ ，），（， ）， （ ， ）．可得 ， ．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点 到直线 的距离 即可得出．当直线 无斜率时时，由对称性可知：点 到直线 的距离为 ．即可得出．【解答】解：（ ）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得 ， ，∴椭圆 的方程为．（ ）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ，联立，化为（ ） ﹣ ，△ ﹣ （ ）（ ﹣ ）＞ ，化为 ﹣ ＞ ，设 （ ， ）， （ ， ）， （ ， ）．∴ ， （ ） ．∵点 在椭圆 上，∴，∴ ，化为 ，满足△＞ ．又点 到直线 的距离 ．当且仅当 时取等号．当直线 无斜率时时，由对称性可知：点 一定在 轴上，从而点 的坐标为（± ， ），直线 的方程为 ± ，∴点 到直线 的距离为 ．∴点 到直线 的距离的最小值为．．已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ﹣ ．（ ）当 时，求 （ ）的单调区间；（ ）若 ≥ 时， （ ）≥ 恒成立，求 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（ ）当 时，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求 （ ）的单调区间；（ ）若 ≥ 时， （ ）≥ 恒成立，求函数导数，讨论 的范围，结合函数的单调性研究最值即可求 的取值范围．【解答】解：（ ）当 时， （ ） ﹣ ﹣ ， （ ） ﹣ ， 令 （ ）＞ ，则 ﹣ ＞ ，解得： ＞ ，令 （ ）＜ ，则 ﹣ ＜ ，解得： ＜ ，所以，函数 （ ） ﹣ ﹣ 的单调增区间为（ ， ），单调减区间为（﹣， ）． ．（ ）由函数 （ ） ﹣ ﹣ ﹣ ，则 （ ） ﹣ ﹣ （ ﹣ ﹣ ），令 （ ） ﹣ ﹣ ，则 （ ） ﹣ ．由 ≥ ，所以，当 ≤ 时， （ ）≥ ， （ ）为增函数，而 （ ） ，所以 （ ）≥ ，即 （ ）≥ ，所以 （ ）在 ， ）上为增函数，而 （ ） ，所以 （ ）≥ 在 ， ）上恒成立．当 ＞ 时，令 （ ）＜ ，即 ﹣ ＜ ，则．即 （ ）在上为减函数，而 （ ） ，所以， （ ）在上小于 ．即 （ ）＜ ，所以 （ ）在上为减函数，而 （ ） ，故此时 （ ）＜ ，不合题意．综上， ≤ ．选修 ：几何证明选讲．如图， 是圆 的直径， 是弦，∠ 的平分线 交圆 于点 ， ⊥ ，交 的延长线于点 ， 交 于点 ．（ ）求证： 是圆 的切线；（ ）若 ，求的值．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（ ）根据 ，得到∠ ∠ ，结合 是∠ 的平分线，得到∠ ∠ ∠ ，可得 ∥ ．再根据 ⊥ ，得到 ⊥ ，结合圆的切线的判定定理，得到 是⊙ 的切线．（ ）连接 ， ，设 ， ，可证 垂直平分 ，利用勾股定理可得到 ，得到 ，于是 ，然后通过 ∥ ，利用相似比即可求出的值．【解答】（ ）证明：连接 ，∵ ，∴∠ ∠∵∠ 的平分线是∴∠ ∠∴∠ ∠ ，可得 ∥又∵ ⊥ ，∴ ⊥∵ 是⊙ 的半径∴ 是⊙ 的切线； 分（ ）解：连接 ，如图，∵ 为直径，∴∠ ，又 ∥ ，∴∠ ∠ ，∴ ⊥ ，∴ 为 的中点，即 ，又∵ ，∴设 ， ，根据中位线定理得 ，∴ ﹣ ，又四边形 为矩形，∴ ，∴ ，而 ∥ ，∴可得 分选修 ：坐标系与参数方程．已知直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ）．（ ）求直线 与曲线 的直角坐标方程；（ ）在曲线 上求一点 ，使它到直线 的距离最短．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（ ）由曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ），即 ．把 ，代入可得 的直角坐标方程．由直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），消去 得直线 的普通方程．（ ）由曲线 ： （ ﹣ ） 是以 （ ， ）为圆心， 为半径的圆，点 在曲线 上，可设点 （ ， ）（ ∈ ， ）），利用点到直线的距离公式即可得出点 到直线 的距离 及其最小值．【解答】解：（ ）由曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ），即 ．∴曲线 的普通方程为 ﹣ ，配方为 （ ﹣ ） ，∵直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），消去 得直线 的普通方程为 ﹣ ．（ ）∵曲线 ： （ ﹣ ） 是以 （ ， ）为圆心， 为半径的圆，∵点 在曲线 上，∴可设点 （ ， ）（ ∈ ， ）），∴点 到直线 的距离为 ﹣ （ ），∵ ∈ ， ），当 时， ，此时 点的坐标为．选修 ：不等式选讲．已知函数 （ ） ﹣ ．（ ）若不等式 （ ）﹣ （ ）≥ ﹣ 有解，求实数 的取值范围；（ ）若 ＜ ， ＜ ，且 ≠ ，证明：＞ （）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（ ）根据绝对值不等式的意义得到 ﹣ ≤ ，求出 的范围即可；（ ）问题转化为证明（ ﹣ ） ＞（ ﹣ ） ，通过作差证明即可．【解答】解：（ ）因为 （ ）﹣ （ ） ﹣ ﹣ ≤ （ ﹣ ）﹣（ ） ，当且仅当 ≤﹣ 时等号成立，所以 ﹣ ≤ ，解得﹣ ≤ ≤ ；（ ）证明：要证，即证，只需证 ﹣ ＞ ﹣ ，即证（ ﹣ ） ＞（ ﹣ ） ，又（ ﹣ ） ﹣（ ﹣ ） ﹣ ﹣ （ ﹣ ）（ ﹣ ）， ＜ ， ＜ ，所以（ ﹣ ）（ ﹣ ）＞ ，所以（ ﹣ ） ＞（ ﹣ ） ，故原不等式成立年 月 日。

2016-2017学年广东省揭阳市普宁二中高三(下)摸底数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年广东省揭阳市普宁二中高三(下)摸底数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年广东省揭阳市普宁二中高三（下）摸底数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝2i（1﹣i）（i为虚数单位），z的共轭复数为，则＝（）A．4i B．﹣4i C．4D．﹣42．（5分）已知集合A＝，B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（2，+∞）B．[1，2）C．（0，2）D．[1，2]3．（5分）已知向量，，，若（）与互相垂直，则k的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．（5分）已知命题p：∃x∈R，cos x＞sin x，命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或2D．46．（5分）已知函数f（x）＝，则f（log29）的值为（）A．9B．C．D．7．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，设{a n}的前n项和为S n，则S n＝（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）＝（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．9．（5分）若直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则实数m的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．310．（5分）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm11．（5分）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为（）A．B．8（π+1）C．4（2π+1）D．12．（5分）已知P是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，P A、PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，切点分别为A、B，若四边形P ACB的最小面积为2，则k的值为（）A．3B．2C．1D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上）13．（5分）已知向量与的夹角为60°，||＝1，||＝2，则•（2+）的值为．14．（5分）已知函f（x）＝，则f（f（））＝．15．（5分）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2＝4，且C＝60°，则a+b的最小值为．16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）＝a，则f（2）＝．三、解答题（本题共6道题，共70分）17．（10分）已知等差数列{a n}满足：a3＝7，前3项和S3＝15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a sin C＝c cos A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC面积S＝5，b＝5，求sin B sin C的值．19．（12分）已知函数f（x）＝sin（﹣x）sin x﹣sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最小值．20．（12分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n﹣a1且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝log2a n，求{a n b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+1（x∈R）．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程（Ⅱ）求函数f（x）在区间[a，2]（0＜a＜2）上的最小值．22．（12分）设函数f（x）＝x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a＝，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．2016-2017学年广东省揭阳市普宁二中高三（下）摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：复数z＝2i（1﹣i）＝2i+2，∴z的共轭复数为＝2﹣2i，则＝2+2i+（2﹣2i）＝4．故选：C．2．【解答】解：集合A＝＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}＝[1，+∞），B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}＝{x|2x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜2}＝（0，2），∴A∩B＝[1，2）．故选：B．3．【解答】解：＝，∵（）与互相垂直，∴（）•＝k+3＝0，解得k＝﹣3．故选：A．4．【解答】解：命题p：∃x＝0∈R，cos x＞sin x，因此是真命题．命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，是假命题，取x＝时，+＝2，此时不成立，因此是假命题．则下列判断正确的是：命题p∧（￢q）是真命题．故选：D．5．【解答】解：双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，渐近线斜率是±，而夹角是60°，因为两直线关于x轴对称，所以和x轴夹角是30°或60°，即＝tan30°＝或tan60°＝，若＝，即a2＝b2，c2＝a2+b2＝a2，e2＝＝，e＝（负的舍去）；若＝，b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，e2＝4，即e＝2．所以e＝，或e＝2．故选：C．6．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（log29）＝f（log29﹣3）＝÷23＝．故选：D．7．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，∴＝，由，得公差d＝1，∴a n＝n．∴．故选：C．8．【解答】解：由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选：C．9．【解答】解：如图，在坐标平面内画出二元一次不等式x+y﹣3≤0，x﹣2y﹣3≥0所表示的平面区域，求出直线y＝2x与直线x﹣2y﹣3＝0的交点A（﹣1，﹣2），由图可知，要使直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则m≤﹣1．即实数m的最大值为﹣1．故选：B．10．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水＝V柱可得3×πr3+πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3．故选：C．11．【解答】解：三视图对应的几何体是组合体，该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：＝．故选：A．12．【解答】解：S四边形P ACB＝P A•AC＝P A＝∴当|CP|最小时，即CP⊥l时，四边形P ACB的面积最小，由四边形P ACB的最小面积，得，由点到直线的距离公式得：，∵k＞0，∴解得k＝2．故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上）13．【解答】解：根据条件，，；∴＝2+4＝6．故答案为：6．14．【解答】解：由分段函数可知f（）＝，f（f（））＝f（﹣2）＝．故答案为：．15．【解答】解：∵（a+b）2﹣c2＝4，∴c2＝a2+b2+2ab﹣4①∵△ABC中，C＝60°，∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab②由①②得：3ab＝4，ab＝．∴a+b≥2＝2＝（当且仅当a＝b＝时取“＝”）．∴a+b的最小值为．故答案为：．16．【解答】解：根据题意，由f（x）+g（x）＝a x﹣a﹣x+2，则f（2）+g（2）＝a2﹣a﹣2+2，①，f（﹣2）+g（﹣2）＝a﹣2﹣a2+2，②又由f（x）为奇函数而g（x）为偶函数，有f（﹣2）＝﹣f（2），g（﹣2）＝g（2），则f（﹣2）+g（﹣2）＝﹣f（2）+g（2），即有﹣f（2）+g（2）＝a﹣2﹣a2+2，③联立①③可得，g（2）＝2，f（2）＝a2﹣a﹣2又由g（2）＝a，则a＝2，f（2）＝22﹣2﹣2＝4﹣＝；故答案为．三、解答题（本题共6道题，共70分）17．【解答】解：（Ⅰ）∵设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可知：S3＝3a2，则3a2＝15，即a2＝5，由d＝a3﹣a2＝2，∴由等差数列的通项公式可得：a n＝a3+2（n﹣3）＝2n+1，∴数列{a n}的通项公式a n＝2n+1，…（3分）a1＝3，∴前n项和S n，S n＝＝n2+2n，数列{a n}的前n项和S n，S n＝n2+2n；…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：＝22n+1，可知数列{}是以23，为首项，以4为公比的等比数列，数列{}的前n项和T n，T n＝23+25+27+…+22n+1，＝＝＝，数列{}的前n项和T n，T n＝．…（10分）18．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意得：＝，根据正弦定理得：cos A＝sin A，∴tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝，…（4分）（Ⅱ）由S＝5＝bc sin A，得：c＝4，…（6分）根据余弦定理得：a2＝42+52﹣2×，解得：a＝．…．…（8分）由于2R＝＝2，…（10分）由正弦定理得sin B sin C＝＝＝．…．（12分）19．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意得f（x）＝cos x sin x﹣sin2x＝sin2x﹣（）＝sin2x+cos2x﹣＝sin（2x+）﹣…（5分）∴T＝．…（6分）（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为f（）＝．…（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）由已知S n＝2a n﹣a1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，即a n＝2a n﹣1，…（3分）则a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3＝2（a2+1），∴a1+4a1＝2（a2+1），解得：a1＝2．…（5分）∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n＝2n；…（6分）（Ⅱ）由题意得：b n＝log2a n＝n，a n b n＝n•2n，{a n b n}的前n项和T n．T n＝1×2+2×22+…+n•2n，∴2T n＝1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，…（8分）∴﹣T n＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1，＝﹣n•2n+1，＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2，数列{a n b n}的前n项和T n，T n＝（n﹣1）•2n+1+2．…（12分）21．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：f′（x）＝3x2﹣3x，∴f′（2）＝6，又因为f（2）＝3，所以曲线y＝f（x）在在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3＝6（x﹣2），即y＝6x﹣9；（Ⅱ）因为f′（x）＝3x2﹣3x，令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝1，所以f（x）的单增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），所以f（x）的单减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），因为a＞0所以分两种情况：①若0＜a＜1所以当0＜a＜1，f（x）的最小值为；②若1≤a＜2，f（x）在[a，2]上单增，f（x）的最小值为f（a）＝a3﹣a2+1，综上所述，当0＜a＜1，f（x）的最小值为，1≤a＜2时，f（x）的最小值为：a3﹣a2+1．22．【解答】解：（I）a＝时，f（x）＝x（e x﹣1）﹣x2，＝（e x ﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）＝x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）＝e x﹣1﹣ax，则g'（x）＝e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）＝0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）＝0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．另解：当x＝0时，f（x）＝0成立；当x＞0，可得e x﹣1﹣ax≥0，即有a≤的最小值，由y＝e x﹣x﹣1的导数为y′＝e x﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减，可得函数y取得最小值0，即e x﹣x﹣1≥0，x＞0时，可得≥1，则a≤1．。

2016年广东省揭阳市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2016年广东省揭阳市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2016年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝2i（1﹣i）（i为虚数单位），z的共轭复数为，则＝（）A．4i B．﹣4i C．4D．﹣42．（5分）已知集合A＝，B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（2，+∞）B．[1，2）C．（0，2）D．[1，2]3．（5分）已知向量，，，若（）与互相垂直，则k的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．（5分）已知命题p：∃x∈R，cos x＞sin x，命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或2D．46．（5分）已知函数f（x）＝，则f（log29）的值为（）A．9B．C．D．7．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，设{a n}的前n项和为S n，则S n＝（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）＝（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．9．（5分）若直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则实数m的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．310．（5分）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm11．（5分）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为（）A．B．8（π+1）C．4（2π+1）D．12．（5分）已知P是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，P A、PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，切点分别为A、B，若四边形P ACB的最小面积为2，则k的值为（）A．3B．2C．1D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为．14．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．15．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，记数列的前n项和为S n，则S2016的值为．16．（5分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰AB上的动点，则|+|的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且＝﹣．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若AB＝5，求AD的长．18．（12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg．已知当年产量低于450kg时，单位售价为12元/kg，当年产量不低于450kg时，单位售价为10元/kg．（Ⅰ）求图中a、b的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC ＝2，P A＝PB＝．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点D到平面APC的距离．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2＝y+1有公共弦AB（A 在B左边），AB＝2，C2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k（k≠0）的直线l 与C1、C2分别交于点M、N（均异于点A、B）．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（x＞2）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在实数a，使得f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，求a的取值范围．四.请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．（Ⅰ）若BC＝2，BD＝4，求AB的长；（Ⅱ）若AC＝3，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知椭圆C的普通方程为：．（Ⅰ）设y＝2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；（Ⅱ）设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣a|（a∈R，a＞0），（Ⅰ）若f（x）的最小值是﹣3，求a的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|f（x）|≤2的解集．2016年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝2i（1﹣i）（i为虚数单位），z的共轭复数为，则＝（）A．4i B．﹣4i C．4D．﹣4【解答】解：复数z＝2i（1﹣i）＝2i+2，∴z的共轭复数为＝2﹣2i，则＝2+2i+（2﹣2i）＝4．故选：C．2．（5分）已知集合A＝，B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（2，+∞）B．[1，2）C．（0，2）D．[1，2]【解答】解：集合A＝＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}＝[1，+∞），B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}＝{x|2x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜2}＝（0，2），∴A∩B＝[1，2）．故选：B．3．（5分）已知向量，，，若（）与互相垂直，则k的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：＝，∵（）与互相垂直，∴（）•＝k+3＝0，解得k＝﹣3．故选：A．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，cos x＞sin x，命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题【解答】解：命题p：∃x＝0∈R，cos x＞sin x，因此是真命题．命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，是假命题，取x＝时，+＝2，此时不成立，因此是假命题．则下列判断正确的是：命题p∧（￢q）是真命题．故选：D．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或2D．4【解答】解：双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，渐近线斜率是±，而夹角是60°，因为两直线关于x轴对称，所以和x轴夹角是30°或60°，即＝tan30°＝或tan60°＝，若＝，即a2＝b2，c2＝a2+b2＝a2，e2＝＝，e＝（负的舍去）；若＝，b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，e2＝4，即e＝2．所以e＝，或e＝2．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝，则f（log29）的值为（）A．9B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（log29）＝f（log29﹣3）＝÷23＝．故选：D．7．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，设{a n}的前n项和为S n，则S n＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，∴＝，由，得公差d＝1，∴a n＝n．∴．故选：C．8．（5分）函数f（x）＝（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选：C．9．（5分）若直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则实数m的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．3【解答】解：如图，在坐标平面内画出二元一次不等式x+y﹣3≤0，x﹣2y﹣3≥0所表示的平面区域，求出直线y＝2x与直线x﹣2y﹣3＝0的交点A（﹣1，﹣2），由图可知，要使直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则m≤﹣1．即实数m的最大值为﹣1．故选：B．10．（5分）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水＝V柱可得3×πr3+πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3．故选：C．11．（5分）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为（）A．B．8（π+1）C．4（2π+1）D．【解答】解：三视图对应的几何体是组合体，该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：＝．故选：A．12．（5分）已知P是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，P A、PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，切点分别为A、B，若四边形P ACB的最小面积为2，则k的值为（）A．3B．2C．1D．【解答】解：S四边形P ACB＝P A•AC＝P A＝∴当|CP|最小时，即CP⊥l时，四边形P ACB的面积最小，由四边形P ACB的最小面积，得，由点到直线的距离公式得：，∵k＞0，∴解得k＝2．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为60．【解答】解：∵样本容量为160，学生人数所占的比例为＝，∴应抽取学生人数为（3200﹣1000﹣1000）×＝60，故答案为6014．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值∵S＝﹣12+22﹣32+42＝10故答案为：1015．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，记数列的前n项和为S n，则S2016的值为．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣ax的导数为f′（x）＝2x﹣a，可得函数f（x）图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k＝f′（1）＝2﹣a，由切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，可得2﹣a＝3，解得a＝﹣1，即有f（x）＝x2+x＝x（x+1），故，则＝．故答案为：．16．（5分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰AB上的动点，则|+|的最小值为3．【解答】解：如图，以PC、PD为邻边作平行四边形PCQD，则＝，要使取最小值，只需取最小值，∵E为CD的中点，故当PE⊥AB时，取最小值，这时PE为梯形的中位线，即，故．故答案为：3．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且＝﹣．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若AB＝5，求AD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，即AB•AC＝15，∴；（Ⅱ）解法1：由AB＝5，得AC＝3，延长AD到E，使AD＝DE，连结BE，∵BD＝DC，∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°，且BE＝AC＝3，设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得：（2x）2＝AB2+BE2﹣2AB•BE cos∠ABE＝25+9﹣15＝19，解得，即AD的长为；解法2：由AB＝5，得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos∠BAC＝25+9+15＝49，得BC＝7，由正弦定理得：，得，∵0°＜∠ACD＜90°，∴，在△ADC中，，解得；解法3：由AB＝5，得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos∠BAC＝25+9+15＝49，得BC＝7，在△ABC中，，在△ADC中，由，解得．18．（12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg．已知当年产量低于450kg时，单位售价为12元/kg，当年产量不低于450kg时，单位售价为10元/kg．（Ⅰ）求图中a、b的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得到：100（a+0.0015+b+0.004）＝1，得100（a+b）＝0.45，（2分）由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15＝455，得300a+500b＝2.05，（4分）解得a＝0.0010，b＝0.0035．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）结合频率分布直方图知，当年产量为300kg时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg时，其年销售额为6000元，（8分）因为年产量为400kg的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，（9分）而年产量为500kg的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，（10分）故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4＝0.75，（12分）19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC ＝2，P A＝PB＝．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点D到平面APC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取AB得中点O，连接PO、CO，由P A＝PB＝，AB＝2知△P AB为等腰直角三角形，∴PO⊥AB，PO＝1，又AB＝BC＝2，∠ABC＝60°知△ABC为等边三角形，∴．又由PC＝2得PO2+CO2＝PC2，∴PO⊥CO，∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：设点D到平面APC的距离为h，由（Ⅰ）知△ADC是边长为2的等边三角形，△P AC为等腰三角形，由V D﹣P AC＝V P﹣ADC得，∵，，∴＝，即点D到平面APC的距离为．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2＝y+1有公共弦AB（A 在B左边），AB＝2，C2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k（k≠0）的直线l 与C1、C2分别交于点M、N（均异于点A、B）．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣1的顶点为（0，﹣1），即椭圆的下焦点为（0，﹣1），∴c＝1，由AB＝2，知x B＝1，代入抛物线得B（1，0），得b＝1，∴a2＝b2+c2＝2，∴C1的方程为．（Ⅱ）依题意知直线l的方程为y＝k（x﹣1），与联立消去y得：（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣2＝0，则，得，，由，得x2﹣kx+k﹣1＝0，由△＝k2﹣4（k﹣1）＝（k﹣2）2＞0，得k≠2，则x N•x B＝k﹣1，得x N＝k﹣1，y N＝k（k﹣2），∵点A在以MN为直径的圆外，即，∴，又A（﹣1，0），∴＝＝，解得k＜4，综上知k∈（﹣∞，0）∪（0，2）∪（2，4）．21．（12分）已知函数f（x）＝（x＞2）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在实数a，使得f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解法1：＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）记g（x）＝（x﹣2）﹣（x﹣1）ln（x﹣1）（x＞2），g'（x）＝﹣ln（x﹣1）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）即g（x）在（2，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（2）＝0从而f'（x）＜0，∴函数f（x）在（2，+∞）上的单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解法2：依题意得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）记（x≥2）则＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵x＞2∴g'（x）＜0，即函数g（x）在（2，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（2）＝0，从而得f'（x）＜0，∴函数f（x）在（2，+∞）上的单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）解法1：f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，等价于ln（x﹣1）＜a（x﹣2）对∀x∈（2，+∞）均成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由y＝ln（x﹣1）得，由此可得函数y＝ln（x﹣1）的图象在点（2，0）处的切线为y＝x﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（1）当a＜1时，在（2，+∞）上，直线y＝a（x﹣2）与函数y＝ln（x﹣1）的图象相交，不合题意；﹣﹣﹣（9分）（2）当a≥1时，在（2，+∞）上，直线y＝a（x﹣2）在函数y＝ln（x﹣1）的图象的上方，符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上得：要使f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解法2：f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，等价于ln（x﹣1）＜a（x﹣2）对∀x∈（2，+∞）均成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）记h（x）＝ln（x﹣1）﹣a（x﹣2），则＝＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）h（2）＝0，令h'（x）＝0得，，（1）当a≤0时，对∀x∈（2，+∞），h'（x）＞0，即函数h（x）在（2，+∞）单调递增，故h（x）＞h（2）＝0，即ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＞0，不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（2）当0＜a＜1时，对，h'（x）＞0，此时函数h（x）在上为增函数，即ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＞0，不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）当a≥1时，对∀x∈（2，+∞），有h'（x）＜0，函数h（x）在（2，+∞）单调递减，因此ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＜h（2）＝0，符合题意；综上得：要使f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）四.请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．（Ⅰ）若BC＝2，BD＝4，求AB的长；（Ⅱ）若AC＝3，求AE的长．【解答】解：（Ⅰ）由弦切角定理得∠BAC＝∠BDA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∠BAD＝∠BCA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以△BAC∽△BDA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以AB2＝BC•BD＝8，所以；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）连接EC，∵∠AEC＝∠AEB+∠BEC，∠ACE＝∠ABE＝∠BAD+∠ADB，∵∠AEB＝∠BAD，∠BAC＝∠BDA＝∠BEC，∴∠AEC＝∠ACE，∴AE＝AC＝3（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知椭圆C的普通方程为：．（Ⅰ）设y＝2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；（Ⅱ）设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）【解答】解：（Ⅰ）将y＝2t代入椭圆的普通方程得，于是得，∴椭圆C的参数方程为（t为参数）和（t为参数）．（Ⅱ）依题意知点A（3，0），B（0，2），设点P的坐标为（3cosθ，2sinθ），，则S四边形AOBP＝S△BPO+S△OP A＝＝，，当，即时，四边形AOBP面积取得最大值，其值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣a|（a∈R，a＞0），（Ⅰ）若f（x）的最小值是﹣3，求a的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|f（x）|≤2的解集．【解答】解：（Ⅰ）解法1：∵a＞0，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当﹣2≤x＜a时，﹣2﹣a≤f（x）＜a+2，∴当x∈R时，﹣2﹣a≤f（x）≤a+2﹣﹣﹣（4分）∴f（x）min＝﹣（a+2）＝﹣3，∴a＝1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解法2：∵||x+2|﹣|x﹣a||≤|（x+2）﹣（x﹣a）|＝a+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴|f（x）|≤a+2，f（x）min＝﹣（a+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又已知f（x）min＝﹣3，∴a＝1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）】（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（a＞0）当x＜﹣2时，f（x）＝﹣（a+2）＜﹣2，|f（x）|＞2，不等式|f（x）|≤2解集为空集﹣﹣﹣（6分）当x≥a时，f（x）＝a+2＞2，不等式|f（x）|≤2解集也为空集；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当﹣2≤x＜a时，|f（x）|≤2，即﹣2≤2x+2﹣a≤2⇒∵，，∴当﹣2≤x＜a时，|f（x）|≤2的解为﹣﹣﹣﹣﹣（9分）综上得所求不等式的解集为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。

广东省揭阳市届高三数学第二次模拟试题理(含解析)【含答案】

广东省揭阳市届高三数学第二次模拟试题理(含解析)【含答案】

揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）函数2(ln(2)f x x x -的定义域为（A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）(0,2) （D ）[1,2]答案：B解析：根据根式、分式、对数的概念，可得：21020x x x ->⎧⎨->⎩，即102x x >⎧⎨<<⎩，解得：12x <<。

（2）已知复数21i z i=-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）2i （B ）2i - （C ）-2 （D ）2答案：C解析：因为21i z i=-2(1)i i +=＝1i -+，1z i =--，所以，z z +=－2。

（3）已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ==-=，若2a b -与c 共线，则k 的值为 （A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 答案：C解析：2a b -＝，因为2a b -与c 共线，所以，3k k ＝1 （4）已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是 （A ）命题p q ∨是假命题（B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题 答案：D解析：画出函数1y x =-与lg y x =的图象可知，当x ＝1时，有1x -＝lg x ，当x ＞0且x ≠1时，有1x -＞lg x ，故命题p 是真命题；当2x π=时，1sin 2sin x x+=，故q 是假命题，从而有()p q ∧⌝是真命题。

广东省揭阳市2016届高三学业水平考试文科数学试题及答案

广东省揭阳市2016届高三学业水平考试文科数学试题及答案

绝密★启用前揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}A x x x =-≤，{0,1,2,3}B =，则AB =(A) {12}， (B) {012}，， (C) {1} (D) {123}，， 2．已知复数z 满足(21)2z i +=，则z = (A)12i --(B) 12i -+ (C) 12i -- (D)12i - 3．已知向量(1,2),(1,1)a b =-=-，则()a b a -⋅=(A) 8 (B)5 (C) 4 (D) 4- 4．若方程()20f x -=在区间(0,)+∞有解，则函数()y f x =的图象可能是5．在等差数列{}n a 中，已知35710132,9,a a a a a +=++=则此数列的公差为(A)31 (B)3 (C) 12 (D) 166．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数a ，则不等式ln(31)0a -<成立的概率是(A)12(B)23(C)31 (D)147．抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是(A) 12 (B)32 (C) 1 (D) 38．函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=--+的最大值和最小正周期分别为(A)1,2π (B) 1,π (C) 1,22π (D)1,2π9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，图1是描 述汽车价值变化的算法流程图，则当4n =时，最后输出的S 为 (A)9.6 (B)7.68 (C)6.144 (D)4.915210．已知棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1 D 1在一半球底面上，且A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为(A)(B)(C)(D) 11．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若20FP FQ +=，则||QF =(A)3 (B)4 (C)6 (D)812．若关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解,则实数m 的取值范围为(A) 4m >或4m <- (B)45m << (C)48m << (D)5m >或4m =第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13． 已知121(),(,1);4()log ,[1,).xx f x x x ⎧∈-∞⎪⎪=⎨⎪∈+∞⎪⎩，则((2))f f -= ．14．设变量x ，y 满足约束条件222y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为 ．15．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截 去部分的几何体的表面积为 ． 16．数列{}n a 的通项公式(1)2cos()n n n a n n π=-⋅+⋅，其前i =1输入S =15否i =i +1开始结束输出Si >n ？S ＝S (1-20%)是图1C 1Bx时间（分钟）0.003608040201000.002频率/组距0.025图4n 项和为n S ，则10S 等于 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C sin cos A a C =. （I ）求C 的值； （II ）若c =，b =，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”， 若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”； （Ⅲ）设,m n 表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的时间，且已知,[40,60)[80,100]m n ∈⋃，求事件“||20m n ->”的概率. 19．（本小题满分12分）如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 中点．(Ⅰ)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)若四边形CB B 1C 1是正方形，且1A D =求多面体11CAC BD 的体积. 20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴的长为4. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数(1)()ln ,b x f x a x x+=+ 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 2.y = （Ⅰ）求a 、b 的值；图3图4OEBDCPA （Ⅱ）当0x>且1x≠时，求证：(1)ln().1x xf xx+>-22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图5，四边形ABCD内接于，过点A作的切线EP交CB的延长线于P，已知025PAB∠=．（I）若BC是⊙O的直径，求D∠的大小；(II）若025DAE∠=，求证：2DA DC BP=⋅．23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为2cos324sin3x ty tππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是4ρ=．（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求AOB∠的值.24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知函数()|2|f x x=-.（Ⅰ）解不等式()(1)2f x f x++≤；（Ⅱ）若0a<,求证：()()(2).f ax af x f a-≥揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：BCADAC DBCACD解析：9.依题意知，设汽车x年后的价值为S,则15(120%)xS=-，结合程序框图易得当4n=时，415(120%) 6.144S=-=．10. 设半球的半径为r，依题意可得2222r+=，解得r=，图5x=-2y2=8xyxOF'Q'F(2,0)QP所以此半球的体积为323r π=.11. 如右图，根据已知条件结合抛物线的定义易得：|'|||2|'|||3FF PF QQ PQ ==|'|6QQ ⇒=.12. 令sin ,x u =则(0,1]u ∈，关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解等价于方程2()410f u u mu =-+=在(0,1]上有唯一解2160,0.8m m ⎧∆=-=⎪⇔⎨>⎪⎩或(1)50f m =-<，解得4m =或5m >.[或方程2()410f u u mu =-+=在(0,1]上有唯一解等价于直线y m =与关于u 的函数14y u u=+，(0,1]u ∈图象有唯一交点，结合图象易得．二、填空题：13.4-；14. -8；15.54+；16.687．解析：15.依题意知该几何体如右图示：则被截去部分的几何体的表面积为2236542⨯+=+. 16.21010(2)(2)(2)S =-+-++-cos 2cos 210cos10πππ++++102[1(2)]5687.1(2)---=+=--三、解答题： 17．解：（I ）∵A 、C 为ABC ∆的内角，sin cos A a C =知sin 0,cos 0A C ≠≠，结合正弦定理可得：sin sin a Ac C==------------------------------------------------------------3分⇒tan C =,-----------------------------------------------------------------4分∵0C π<< ∴6C π=.--------------------------------------------------------5分（II ）解法1：∵c =，b =由余弦定理得：22712a a =+-----------------------------------------7分整理得： 220a a +-= 解得：1a =或2a =-（不合舍去）--------------------------9分∴1a =，由1sin 2ABC S ab C ∆=得ABC ∆的面积11122ABC S ∆=⨯⨯=．--------------------------------------12分【解法2：由c =结合正弦定理得：sinA C ==，---------------------6分∵a c <， ∴A C <, ∴cos A ==,-----------------------------7分∴sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+sin cos cos sin A C A C =+=12=----------------------------9分由正弦定理得：sin 1sin b Aa B==，-------------------------------------------------10分∴ABC ∆的面积11122ABC S ∆=⨯⨯=．------------------------------------12分】18.解：（1）由20(0.0020.00320.025)1x ⨯+⨯++=得0.017x =；-------------------2分（Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为20(0.0020.003)0.1⨯+=，--------------------3分不少于1小时的频数为12000.1120⨯=，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；------5分（Ⅲ）由直方图知，成绩在[40,60)的人数为50200.0033⨯⨯=人，设为,,A B C ；------6分成绩在[80,100] 的人数为50200.0022⨯⨯=人，设为,x y .---------------------------7分若,[40,60)m n ∈时，有,,AB AC BC 三种情况；若,[80,100]m n ∈时，只有xy 一种情况；-------------------------------------------8分若,m n 分别在[40,60),[80,100]内时，则有,,,,,Ax Ay Bx By Cx Cy 共有6种情况.所以基本事件总数为10种，D 1B 1C 1A 1DCBA EB 1C 1A 1DCBA EHB 1C 1A 1DCBA------------------------------------------------------------------10分 事件“||20m n ->”所包含的基本事件个数有6种. ∴P （||20m n ->）=63.105=----------------------------------------------------12分19.（I)证法1：连结AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ， 则E 为AC 1中点，-------------------------------2分 ∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1，------------------4分 ∵BC 1Ë平面A 1CD ，DE Ì平面A 1CD ，------------5分∴BC 1∥平面A 1CD . -----------------------------6分 【证法2：取11A B 中点1D ，连结1BD 和11C D ，-----1分 ∵BD 平行且等于11A D ∴四边形BD 11A D 为平行四边形 ∴11//A D BD -----------------------------------2分 ∵1A D ⊂平面1ACD ，1BD ⊄平面1ACD ∴1//BD 平面1ACD ,------------------------------3分 同理可得11//C D 平面1ACD ------------------------4分 ∵1111BD C D D = ∴平面1ACD //平面11BD C 又∵1BC ⊂平面11BD C∴BC 1∥平面A 1CD. -------------------------------6分】 (Ⅱ) 222115AD +A A =A D = 1,A A AD \^-------------------------------------7分又111,//B B BC B B A A ^ 1A A BC \^， 又AD BC B = 1A A \^面ABC -------------------------------------------9分（法一）∴所求多面体的体积V =1111111ABC A B C A ACD B A B C V V V ----------------------------10分111111133ABC ACD A B C AA S AA S BB S ∆∆∆=⨯-⋅⨯-⋅⨯112ABC AA S ∆=⋅⨯2112222=⋅⋅= 即所求多面体11CAC BD.----------------12分【（法二）过点1A 作111A H B C ⊥于H ，∵平面11BB C C ⊥平面111A B C 且平面11BB C C 平面111A B C 11B C =∴1A H ⊥平面11BB C C ,----------------------------------------------------------10分∴所求多面体的体积V =1111A ACD A A CC V V --+1111133BCD BCC S AA S A H ∆∆=⋅+⋅11114243232=⨯⨯+⨯⨯=.------------------------------------------12分】20.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b+=>>--------------------------------1分由题意22224a b c a c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2,a b ==-----------------------------------------4分所以，椭圆的方程为22142y x +=．-------------------------------------------------5分（Ⅱ）由椭圆的方程22142y x +=，得P ．-------------------------------------6分由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PA 的斜率为k ，则PA的直线方程为(1)y k x -=-．--------------------------------------------7分由22(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得：222(2)2))40k x k k x k ++-+--=．-------------8分设A (x A , y A )，B (x B , y B )，则1A A x x =⋅=-------------------------------9分同理可得B x =----------------------------------------------------10分则B A x x -=，28(1)(1)2B A B A ky y k x k x k-=----=+． 所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-为定值．----------------------------------12分(1)ln ()1x x f x x +>-21.解：（Ⅰ）∵2(),a bf x x x '=-----------------------------------------------------1分由直线2y =的斜率为0，且过点(1,2)得(1)2,1(1),2f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩即1,0,b a b =⎧⎨-=⎩------------------------------------------------------3分解得1, 1.a b ==-----------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）当1x >时，不等式(1)ln 1()2ln 0.1x x f x x x x x +>⇔-->---------------------------6分当01x <<时，不等式(1)ln 1()2ln 0.1x x f x x x x x +>⇔--<------------------------------7分令22211221()2ln ,()1,x x g x x x g x x x x x-+'=--=+-= ∴当0x >时，()0,g x '≥ 所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增，------------------------9分当1x >时，()(1)0,g x g >=故(1)ln ()1x xf x x +>-成立------------------------------10分当01x <<时，()(1)0,g x g <=故(1)ln ()1x xf x x +>-也成立-------------------------11分所以当0x >且1x ≠时，不等式 总成立----------------------------12分 22.解：（I ）EP 与⊙O 相切于点A ，025ACB PAB ∴∠=∠=，-----------------------1分又BC 是⊙O 的直径，065ABC ∴∠=----------------------------------------------3分四边形ABCD 内接一于⊙O ，0180ABC D ∴∠+∠=0115.D ∴∠=-------------------------------------------------------------------5分（II ）025,DAE ∠=,,ACD PAB D PBA ∴∠=∠∠=∠.ADCPBA ∴∆∆---------------------------------------------------------------7分.DA DCBP BA∴=-------------------------------------------------------------------8分又,DA BA =2.DA DC BP ∴=⋅--------------------------------------------------10分23.解：（I ）直线l 40y +-=，------------------------------------2分曲线C 的直角坐标系方程为2216.x y +=--------------------------------------------4分（II ）⊙C 的圆心（0，0）到直线:40l y +-=的距离2,d ==------------------------------------------------------------6分 ∴121cos ,242AOB ∠== --------------------------------------------------------8分 ∵10,22AOB π<∠< 1,23AOB π∴∠=故23AOB π∠=．-----------------------------------------------10分24.解：（I ）由题意，得()(1)|1||2|f x f x x x ++=-+-，因此只须解不等式|1||2|2x x -+-≤ ---------------------------------------------1分当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即112x ≤≤；------------------------------------2分当12x <≤时，原不式等价于1≤2，即12x <≤；------------------------------------3分当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即522x <≤.--------------------------------------4分综上,原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. -------------------------------------------5 分 （II ）由题意得()()22f ax af x ax a x -=---------------------------------------6分 =2222ax a ax ax a ax -+-≥-+----------------------------------------------8分22(2).a f a =-=--------------------------------------------------------------9分所以()()(2)f ax af x f a -≥成立．------------------------------------------------10分。

广东省揭阳市高三数学第二次模拟试题 理

广东省揭阳市高三数学第二次模拟试题 理

揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数2()=ln(2)1f x x x x +--的定义域为 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）(0,2) （D ）[1,2]（2）已知复数21i z i=-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）2i （B ）2i - （C ）-2 （D ）2（3）已知向量3,1),(0,1),(3)a b c k ==-=r r r，若2a b -r r 与c r 共线，则k 的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 （4）已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是 （A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题 （5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为（A ）1415（B ）815 （C ）25 （D ）415（6）已知函数2log ,(0)()2,(0)x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则不等式()1f x >的解集为（A ）(2,)+∞（B ）(,0)-∞ （C ）(,0)(2,)-∞+∞U （D ）(0,2)（7）如图1，圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （A ）4cm （B ）3cm （C ）2cm （D ）1 cm（8）已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n的前n项和为nS，则2016S的值为（A）20152016（B）20162017（C）20142015（D）20172018（9）函数()(1cos)sinf x x x=+在[,]ππ-的图象的大致形状是（10）实数,x y满足条件20,40,3.x yx yx-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22yx的取值范围为（A）[4,)+∞（B）1[,2]3（C）[0,4]（D）1[,4]9（11）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为(A)20+2π (B) 206π+(C) 142π+ (D)16（12）在平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线2xy e-=交于不同的两点A、B，分别过A、B作x轴的垂线，与曲线lny x=交于点C、D，则直线CD的斜率为（A）3 （B）2 （C）1 （D）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．ABCDb年产量/kg0.0015450550350250650a频率/组距0.0040（13）某水稻品种的单株稻穗颗粒数X 服从正态分布2(200,10)N ，则(190)P X >=__________．(附：若Z～2(,)N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544.)(14)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60o，则该双曲线的离心率为 .(15)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (16)已知等差数列{}n a 满足18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 图3(17)（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=o，且152AB AC ⋅=-u u u r u u u r.(Ⅰ)求△ABC 的面积； (Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4(18)（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年， 根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图5所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平 均年产量为455kg . 当年产量低于450 kg 时，单位售价为 12元/ kg ，当年产量不低于450 kg 时，单位售价为10元/ kg . （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年 产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，求年销售额X （单位：元）的分布列； 图5 （Ⅲ）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o， AB=PC=2，2.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）设H 是PB 上的动点，求CH 与平面PAB 所成 最大角的正切值.图6（20）(本小题满分12分)已知椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b=>>的离心率为6，若动点A 在椭圆C 上，动点B在直线62ab y c ==上.（c 为椭圆的半焦距） （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若OA OB ⊥(O 为坐标原点)，试探究点O 到直线AB 的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.(21)（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()2x f x e ax =+，()g x 是()f x 的导函数， （Ⅰ）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00g x =； （Ⅱ）若存在实数,a b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC =2，BD =4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC =3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>，OPAB DC E图7(Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ) 求关于x 的不等式|()|2f x ≤的解集．揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 答案BCCDACBBADAC（7）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. (8)依题意知2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++， 201611111122320162017S =-+-++-L 12016120172017=-=． （9）由()12f π=可排除（C ）、(D)，由33()134f π=>可排除（B ）,故选(A). (10)设y k x =，则k 为可行域内的点与原点连线的斜率，易得123k ≤≤，故2149k ≤≤. （11）该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个14圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：211(41)2(41+21)320222πππ-⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+.(12)设直线l 的方程为(0)y kx k =>，且1122(,),(,)A x y B x y ，故121x kx e -=，222x kx e-=12221211,x x x e x e k k--⇒==，则122212121211ln()ln()ln ln x x CD e e x x k k k x x x x ----==-- 121211ln (2)ln ln (2)ln 1x e x e k k x x +----==-.二、填空题：ABCDE题号 13 14 15 16 答案0.8413233或2621解析：(13) (190)P X >=1()()0.52P X P X μσμσμσ>-=⋅-<<++0.8413=(16)由81358a a =得11135(7)8(12)61a d a d d a +=+⇒=-， 由1113(1)(1)()061n a a n d a n a =+-=+--≥1213n ⇒≤，所以，数列{}n a 前21项都是正数，以后各项为负数，故n S 取最大值时，n 的值为21. 三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,---2分 即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 152224ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯⨯=.-------5分(Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=o,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分 【解法2：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得35sin 532sin 714AB BACACD BC∠∠===，----------------------------------------9分 ∵090ACD <∠<oo∴211cos 1sin 14ACD ACD ∠=-∠=，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 解得192AD =.------------------------------------------------------12分】 【解法3：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分 在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得192AD =.-------------------------------------------------------12分】 （18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，----------------------------------------------1分 由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------3分 解得0.0010a =；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）依题意知X 的可能取值为3600、4800、5000、6000，-------------------6分 ∵(3600)0.1P X ==，(4800)0.4P X ==，(5000)0.35P X ==，(3600)0.15P X ==，∴X 的分布列为X 3600 4800 5000 6000 P0.10.40.350.15分（Ⅲ）∵一年的销售额不低于5000元的概率为0.35+0.15=0.5, -------------------9分5年中年销售额不低于5000元的年数1~(5,)2B ξ，∴5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为51551113(2)1(0)(1)1()()2216P P P C ξξξ≥=-=-==--⨯=.-----------------12分（19）解：(Ⅰ)证明：取AB 中点O ，连结PO 、CO ，----------1分 由PA=PB=2，AB=2，知△PAB 为等腰直角三角形， ∴PO=1，PO⊥AB，-----------------------------------2分 由AB=BC=2，60ABC ∠=o，知△ABC 为等边三角形， ∴3CO =，-------------------------------------3分由2PC =得222PO CO PC +=,∴PO⊥CO，-------------------------------------------------------4分 又AB CO O=I ，∴PO⊥平面ABC ，----------------------------------------------5分又PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ----------6分 （Ⅱ）解法1：如图，连结OH ，由（Ⅰ）知CO PO ⊥，CO AB ⊥ ∴C O⊥平面PAB ，CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角，-----------7分 在Rt △COH 中，∵tan OC CHO OH ∠=3OH=，-----------8分 要CHO ∠最大，只需OH 取最小值，而OH 的最小值即点O 到PB 的距离，这时OH PB ⊥，22OH =，-------------10分故当CHO ∠最大时，tan 6CHO ∠=.即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.------------------------------12分 【解法2：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABC ，CO AB ⊥，如图所示，以O 为原点，OC 、OB 、OP 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系， 则(3,0,0)C ，(0,1,0)B ，(0,0,1)P ，-----------------------------7分设点H 的坐标为(0,,)m n ，BH BP λ=u u u r u u u r，则(0,1,)(0,1,1)m n λ-=-，∴1,m n λλ=-=，即(0,1,)H λλ-，------8分则(3,1,)HC λλ=--u u u r ，(3,0,0)OC =u u u r为平面PAB 的法向量，设CH 与平面PAB 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||OC HC OC HC OC HC θ⋅=<>=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u u r 22333(1)()λλ=⨯+-+-23172()22λ=-+,------10分当12λ=时，sin θ取最大值，max 6(sin )7θ=，-------------------------11分 又(0,]2πθ∈，此时θ最大，tan 6θ=，即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.-----------------12分】 (20)解：(Ⅰ)依题意得：63c a =-----① 62ab c =--------②-------------1分 ①×②得1b =，---------------------------------------------------2分又2222223c a b a a -==，解得23a =---------------------------------3分 ∴所求椭圆C 的方程为2213x y +=.--------------------------4分 （Ⅱ）依题意知直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =， （1）若0k ≠，则直线OB 的方程为1y x k=-， 设(,),(,)A AB B A x y B x y ，则由222233113A AA A Ay kx x x k y =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，------------------------6分由2213262B B B B y x k k x y ⎧=-⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩，-------------------------------------------------------------------7分∵222223(1)||1|31AAA k OA x y k x k +=+=+=+--------------------------------8分 ∴222213(1)||1()|2BBB k OB x y x k +=+=+-=,-----------------------------9分设点O 到直线AB 的距离为d ，则22222222223(1)3(1)231)3121||3(1)||+||3(1)3(1)312AOB k k S k k d AB k OA OB k k k ∆++⋅++===+++++（.---------10分 (2)若0k =，则A 点的坐标为(3,0)或(3,0)，B 点的坐标为6(0,2， 这时，6321634d ==+，---------------------------------------------------------------------------11分综上得点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.-------------------------------------------------12分 【解法二：设A、B的坐标00(,)A x y 、6(,)2B t ，------------------------------------------5分由点A 在椭圆C 上和OA OB ⊥分别可得：220013x y +=和00602tx y +=，--------6分 设点O 到直线AB 的距离为d，则有||||||,OA OB AB d ⋅=⋅-------------------------------7分2222||||||OA OB AB d ∴⋅=⋅222222221||||||||||||||AB OA OB d OA OB OA OB +⇒==⋅⋅,-------------------8分2022********22222662000000006022220111111112||||3()()()x d OA OB x y x y x y x y t y x ∴=+=+=+=+⋅++++++220022220000323213()3(1)3x x x x y x ++===++--------------------------------------------------------------------11分 所以点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.--------------------------------------------------12分】 (21)（Ⅰ）证明：∵()()2x g x f x e ax '==+，()2x g x e a '=+，------------------------1分当0a >时，()0g x '>，∴函数()g x 在∞∞(-,+)上的单调递增，------------------------2分 又12g a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1210ae--<，()010g =>，------------------------------------------------------3分 ∴存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =；-----------------------------------------------4分（Ⅱ）解：（1）当0a <时，则当(,0)x ∈-∞时，()0g x >，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，且当x →-∞时，()f x →-∞，这与()f x b ≥矛盾；---------------------------5分 （2）当a =，由x e b≥，得b ≤，∴a b -≥；------------------------------------------6分（3）当0a >，由（Ⅰ）知当()0,x x ∈-∞时，()0g x <；当()0,x x ∈+∞时，()0g x >； 即()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，----------------------------------7分 ∴()()0min f x f x =，-----------------------------------------------------------------------------------8分其中0x 满足0020x e ax +=，故002x e a x =-且00x <，∵()f x b ≥恒成立，∴0()b f x ≤即020xb e ax -≥--，于是0020001122x xx a b a e ax e x ⎛⎫-≥--=-+- ⎪⎝⎭，------------------9分记1()(1)22xx h x e x =-+-，0x <，则()()221'()112x h x e x x x=-+，-----------------10分由'()0h x <得1x <-，即函数()h x 在(,1)-∞-上单调时递减，'()0h x >得10x -<<，即函数()h x 在(1,0)-上单调递增，∴min 1()(1)h x h e=-=-， 综上得a b -的最小值为1e-，此时01x =-．--------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分 所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分得AB BC BD AB=，----------------------------------------------------------------------------4分28AB BC BD =⋅=，22AB =；---------------------------------5分（Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分 ∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分 于是得231x t =±-，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C 的参数方程为231,2.x t y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）和231,2.x t y t ⎧⎪=--⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分 设点P的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分3sin 3cos 32sin()4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<-------------------------------------------9分当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AO BP 面积取得最大值，其值为32.--------10分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+---4分∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a =1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-， ∴a =1；-----------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集---6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2aa <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。

2016年广东省揭阳市高三理科二模数学试卷

2016年广东省揭阳市高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 函数f x=x−1ln2x−x2的定义域为 A. 2,+∞B. 1,2C. 0,2D. 1,22. 已知复数z=2i1−i（i为虚数单位），z的共轭复数为z，则z+z= A. 2iB. −2iC. −2D. 23. 已知向量a=3,1，b=0,−1，c= k,3，若a−2b与c共线，则k的值为 A. −3B. −1C. 1D. 34. 已知命题p:∃x∈R，x−1≥lg x，命题q:∀x∈0,π，sin x+1sin x>2，则下列判断正确的是 A. 命题p∨q是假命题B. 命题p∧q是真命题C. 命题p∨¬q是假命题D. 命题p∧¬q是真命题5. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为 A. 1415B. 815C. 25D. 4156. 已知函数f x=log2x,x>02−x,x≤0，则不等式f x>1的解集为 A. 2,+∞B. −∞,0C. −∞,0∪2,+∞D. 0,27. 如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 A. 4 cmB. 3 cmC. 2 cmD. 1 cm8. 已知函数f x=x2−ax的图象在点A 1,f1处的切线l与直线x+3y−1=0垂直，记数列1f n的前n项和为S n，则S2016的值为 A. 20152016B. 20162017C. 20142015D. 201720189. 函数f x=1+cos x sin x在−π,π上的图象的大致形状是 A. B.C. D.10. 实数x，y满足条件2x−y≥0,x+y−4≥0,x≤3.则y2x的取值范围为 A. 4,+∞B. 13,2 C. 0,4 D. 19,411. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 20+2πB. 20+6πC. 14+2πD. 1612. 在平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=e x−2交于不同的两点A，B，分别过A，B作x轴的垂线，与曲线y=ln x交于点C，D，则直线CD的斜率为 A. 3B. 2C. 1D. 12二、填空题（共4小题；共20分）13. 某水稻品种的单株稻穗颗粒数X服从正态分布N200,102，则P X>190=．（附：若Z∼Nμ,σ2，则Pμ−σ<Z<μ+σ=0.6826，Pμ−2σ<Z<μ+2σ=0.9544．）14. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>b>0的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为．15. 执行如图所示的程序框图，则输出的k值为．16. 已知等差数列a n满足，a1>0，5a8=8a13，则前n项和S n取最大值时，n的值为．三、解答题（共8小题；共104分）．17. 如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC=120∘，且AB⋅AC=−152（1）求△ABC的面积；（2）若AB=5，求AD的长．18. 某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455 kg．当年产量低于450 kg时，单位售价为12 元/kg，当年产量不低于450 kg时，单位售价为10 元/kg．（1）求图中a的值；（2）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，求年销售额X（单位：元）的分布列；（3）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．19. 如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60∘，AB=PC=2，PA=PB=2．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成最大角的正切值．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，若动点A在椭圆C上，动点B在直线y=abc =62上．（c为椭圆的半焦距）（1）求椭圆C的方程；（2）若OA⊥OB（O为坐标原点），试探究点O到直线AB的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．21. 已知a∈R，函数f x=e x+ax2，g x是f x的导函数，（1）当a>0时，求证：存在唯一的x0∈ −12a,0，使得g x0=0；（2）若存在实数a，b，使得f x≥b恒成立，求a−b的最小值．22. 如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．（1）若BC=2，BD=4，求AB的长；（2）若AC=3，求AE的长．23. 已知椭圆C的普通方程为：x29+y24=1．（1）设y=2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；（2）设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A，B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）24. 已知f x=∣x+2∣−∣x−a∣a∈R,a>0，（1）若f x的最小值是−3，求a的值；（2）求关于x的不等式∣f x∣≤2的解集．答案第一部分 1. B【解析】要使函数有意义，则 x −1>0,2x −x 2>0,解得 1<x <2． 所以函数 f x = x−1+ln 2x −x 2 的定义域为 1,2 ．2. C【解析】复数 z =2i1−i =2i 1+i1−i 1+i =i −1，z 的共轭复数为 z =−1−i ，则 z +z =−1+i −1−i =−2． 3. C【解析】向量 a = 1 ，b = 0,−1 ，c = k , 3 ，所以 a −2b = 3,1 −2 0,−1 = 3,3 ， 因为 a −2b 与 c 共线， 所以 3× 3=3k ， 所以 k =1． 4. D【解析】命题 p ：取 x =1 时，x −1≥lg x ，成立，因此 p 是真命题．命题 q ：取 x =π2∈ 0,π ，则 sin x +1sin x =2，因此命题 q 是假命题．则下列判断正确的是：命题 p ∧ ¬q 是真命题．5. A【解析】因为某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，所以基本事件总数n =C 64=15，因为所选的 4 人中至少有 1 名女生的对立事件是所选 4 人都是男生，所以所选的 4 人中至少有 1 名女生的概率为：P =1−C 44C 64=1415．6. C【解析】当 x >0 时，f x >1，即为：log 2x >1，解得 x >2；当 x ≤0 时，f x >1，即为：2−x >1，解得 x <0， 综上可得，原不等式的解集为 −∞,0 ∪ 2,+∞ ． 7. B【解析】设球的半径为 r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，所以 3×43πr 3=πr 2 6r −6 ， 解得 r =3． 8. B【解析】函数 f x =x 2−ax 的导数为 fʹ x =2x −a ，可得函数 f x 的图象在点 A 1,f 1 处的切线斜率 k =fʹ 1 =2−a ， 由切线 l 与直线 x +3y −1=0 垂直，可得 2−a =3，解得 a =−1， 即有 f x =x 2+x =x x +1 ， 故1f n=1n n +1=1n −1n +1，则 S 2016=1−12+12−13+⋯+12016−12017=1−12017=20162017． 9. A【解析】因为f−x=1+cos−x sin−x=−1+cos x sin x=−f x,且定义域−π,π关于原点对称，所以f x为奇函数，故图象关于原点对称，故排除C，当x=π2时，fπ2=1，故排除D，当x=π4时，fπ4=1+22×22=2+22>1，故排除B．10. D【解析】画出不等式表示的平面区域，如图所示，设yx =k，则k为可行域内的点与原点连线的斜率，易得13≤k≤2，故19≤k2≤4．11. A【解析】该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个14圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：4−12π×12×2+4×1+12×2π×1×3=20+2π．12. C 【解析】设直线l的方程为y=kx k>0，且A x1,y1，B x2,y2x1>0,x2>0，则C x1,ln x1，D x2,ln x2，因为A，B点在曲线y=e x−2和直线l上，所以kx1=e x1−2，两边同时取以e为底的对数得x1=2+ln kx1，同理可得x2=2+ln kx2，所以直线CD的斜率k=ln x2−ln x1x2−x1=ln x2−ln x1ln kx2−ln kx1=ln x2x1ln kx2kx1=1．第二部分13. 0.8413【解析】因为Pμ−σ<Z<μ+σ=0.6826，所以P X>190=P X>μ−σ=12⋅Pμ−σ<X<μ+σ+0.5=0.8413．14. 233【解析】因为a>b>0，所以渐近线y=bax的斜率小于1，因为两条渐近线的夹角为π3，所以，渐近线的倾斜角为π3，即ba =tanπ3=33，又因为c2=a2+b2，所以c2=a2+13a2，所以c 2a2=43，所以e=233．15. 16【解析】程序运行的过程为：S=0，k=1，不满足条件S>1022，S=21−log31，k=4；不满足条件S>1022，S=24−log34，k=7；不满足条件S>1022，S=27−log37，k=10；不满足条件S>1022，S=210−log310，k=13；不满足条件S>1022，S=213−log313，k=16；满足条件S>1022，退出循环，输出的k值为16．16. 21【解析】设数列的公差为d，由5a8=8a13，得5a1+7d=8a1+12d，解得d=−361a1，由a n=a1+n−1d=a1+n−1 −361a1≥0，可得n≤643=2113，所以数列a n前21项都是正数，以后各项都是负数，故S n取最大值时，n的值为21．第三部分17. （1）因为AB⋅AC=−152，所以AB⋅AC⋅cos∠BAC=−12AB⋅AC=−152，即AB⋅AC=15，所以S△ABC=12AB⋅AC sin∠BAC=12×15×32=1534；（2）解法1：由AB=5，得AC=3，延长AD到E，使AD=DE，连接BE，CE，因为BD=DC，所以四边形ABEC为平行四边形，所以∠ABE=60∘，且BE=AC=3，设AD=x，则AE=2x，在△ABE中，由余弦定理得：2x2=AB2+BE2−2AB⋅BE cos∠ABE=25+9−15=19，解得x=192，即AD的长为192；解法2：由AB=5，得AC=3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC cos∠BAC=25+9+15=49，得BC=7，由正弦定理得：BCsin∠BAC =ABsin∠ACD，得sin∠ACD=AB sin∠BACBC =5×327=5314，因为0∘<∠ACD<90∘，所以cos∠ACD=2∠ACD=1114，在△ADC中，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD cos∠ACD=9+494−2×3×72×1114=194，解得AD=192；解法3：由AB=5，得AC=3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC cos∠BAC=25+9+15=49，得BC=7，在△ABC中，cos∠ACB=AC 2+BC2−AB22AC⋅BC=9+49−252×3×7=1114，在△ADC中，由AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD cos∠ACD=9+494−2×3×72×1114=194，解得AD=192．18. （1）由频率分布直方图的性质得100a+0.0015+b+0.004=1，得100a+b=0.45，由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15=455，得300a+500b=2.05，解得a=0.0010．（2）依题意知X的可能取值为3600，4800，5000，6000，因为P X=3600=0.1，P X=4800=0.4，P X=5000=0.35，P X=3600=0.15，所以X的分布列为：X3600480050006000P0.10.40.350.15（3）因为一年的销售额不低于5000元的概率为0.35+0.15=0.5，5年中年销售额不低于5000元的年数ξ∼B5,12，所以5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为：Pξ≥2=1−Pξ=0−Pξ=1=1−125−C51×125=1316．19. （1）取AB中点O，连接PO，CO，因为PA=PB=，AB=2，所以△PAB为等腰直角三角形，所以PO=1，PO⊥AB，因为AB=BC=2，∠ABC=60∘，所以△ABC为等边三角形，所以CO=3，又PC=2，所以PO2+CO2=PC2，所以PO⊥CO，又AB∩CO=O，AB⊂平面ABCD，CO⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OC⊥AB，OC⊂平面ABCD，所以OC⊥平面PAB，所以∠CHO为CH与平面PAB所成的角．因为tan∠CHO=COOH，所以当OH⊥PB时，OH取得最小值，此时tan∠CHO取得最大值．当OH⊥PB时，OH=PO⋅OBPB =22．所以tan∠CHO=COOH=6．20. （1）依题意得：ca =63，abc=62，两式相乘可得：b=1，又c 2a2=a2−b2a2=23，解得a2=3，所以所求椭圆C的方程为x 23+y2=1．（2）解法一：依题意知直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为y=kx，（1）若k≠0，则直线OB的方程为y=−1kx，设A x A,y A，B x B,y B，则由y A=kx A,x A23+y A2=1⇒x A2=33k2+1，由 y B =−1k x B ,y B = 62⇒x B 2=3k 22， 因为 ∣OA∣= x A 2+y A 2= 1+k 2∣x A ∣=3 k 2+1 3k 2+1，所以 ∣OB∣=x B2B2= 1+ −1k 2∣x B ∣= 3 k 2+12，设点 O 到直线 AB 的距离为 d ，则d=2S △AOB=⋅= 3 k 2+1 ⋅ 3 k 2+13k 2+1+2=3 k 2+1 3 k 2+1 =1.（2）若 k =0，则 A 点的坐标为 − 3,0 或 3,0 ，B 点的坐标为 0, 62 ，这时，d=3×62 3+4=1，综上得，点 O 到直线 AB 的距离为定值，其值为 1． 解法二：设 A ，B 的坐标 A x 0,y 0 ，B t ,62， 由点 A 在椭圆 C 上和 OA ⊥OB 分别可得：x 023+y 02=1 和 tx 0+62y 0=0，设点 O 到直线 AB 的距离为 d ，则有 ∣OA∣⋅∣OB∣=∣AB∣⋅d ， 所以 ∣OA∣2⋅∣OB∣2=∣AB∣2⋅d 2⇒1d =∣AB∣2∣OA∣⋅∣OB∣=∣OA∣2+∣OB∣2∣OA∣⋅∣OB∣，所以1d 2=1∣OA∣2+1∣OB∣2=10202+1t 2+ 622=1x 02+y 02+1622y 02x 02+ 62 2=10202+2⋅x 020202=3+2x 023 x 02+y 02 =3+2x 023 x 02+1−x 023=1,所以点O到直线AB的距离为定值，其值为1．21. （1）因为g x=fʹx=e x+2ax，gʹx=e x+2a，当a>0时，gʹx>0，所以函数g x在−∞,+∞上单调递增，又g −12a=e−1−1<0，g0=1>0，所以存在唯一的x0∈ −12a,0，使得g x0=0．（2）（1）若a<0，则当x<0时，g x>0，即函数f x在−∞,0上单调递增，且当x→−∞时，f x→−∞，这与f x≥b矛盾；（2）若a=0，由e x≥b，得b≤0，所以a−b≥0；（3）若a>0，由（Ⅰ）知当x∈−∞,x0时，g x<0；当x∈x0,+∞时，g x>0；即f x在−∞,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增，所以f x的最小值为f x0，其中x0满足e x0+2ax0=0，故a=−e x02x0且x0<0，因为f x≥b恒成立，所以b≤f x0，即−b≥−e x0−ax02，于是a−b≥a−e x0−ax02=−e x01+12x0−x02，记 x=−e x1+12x −x2，x<0，则 ʹx=12xe x x−12x+1，由 ʹx<0得x<−1，即函数 x在−∞,−1上单调递减，由 ʹx>0得−1<x<0，即函数 x在−1,0上单调递增，所以 x min= −1=−1e，综上得a−b的最小值为−1e，此时x0=−1．22. （1）由弦切角定理得∠BAC=∠BDA，∠BAD=∠BCA，所以△BAC∼△BDA，得ABBD =BCAB，所以AB2=BC⋅BD=8，所以AB=22．（2）连接EC，因为∠AEC=∠AEB+∠BEC，∠ACE=∠ABE=∠BAD+∠ADB，∠AEB=∠BAD，∠BAC=∠BDA=∠BEC，所以∠AEC=∠ACE，AE=AC=3．23. （1） 将 y =2t 代入椭圆的普通方程得 x 2=9 1−4t 24 =9 1−t 2 ，于是得 x =±3 1−t 2， 所以椭圆 C 的参数方程为 x =3 1−t 2,y =2t （t 为参数）和 x =−3 1−t 2,y =2t（t 为参数）． （2） 依题意知点 A 3,0 ，B 0,2 ，设点 P 的坐标为 3cos θ,2sin θ 0<θ<π2， 则S 四边形AOBP =S △BPO +S △OPA=12×2×3cos θ+12×3×2sin θ=3sin θ+3cos θ=3 2sin θ+π4 0<θ<π2 . 当 sin θ+π4 =1，即 θ=π4 时，四边形 AOBP 面积取得最大值，其值为 3 2．24. （1） 解法 1：因为 a >0，所以 f x = − a +2 ,x <−22x +2−a ,−2≤x <a a +2,x ≥a．当 −2≤x <a 时，−2−a ≤f x <a +2，所以当 x ∈R 时，−2−a ≤f x ≤a +2．所以 f x min =− a +2 =−3，所以 a =1．解法 2：因为 ∣∣x +2∣−∣x −a ∣∣≤∣ x +2 − x −a ∣=a +2，所以 ∣f x ∣≤a +2，f x min =− a +2 ，又因为 f x min =−3，所以 a =1．（2） 由（Ⅰ）知 f x = − a +2 ,x <−22x +2−a ,−2≤x <a ,a >0a +2,x ≥a．当 x <−2 时，f x =− a +2 <−2，∣f x ∣>2，不等式 ∣f x ∣≤2 解集为 ∅； 当 x ≥a 时，f x =a +2>2，不等式 ∣f x ∣≤2 解集也为 ∅；当 −2≤x <a 时，∣f x ∣≤2，即 −2≤2x +2−a ≤2⇒a 2−2<x <a 2． 因为 a 2−2>−2，a 2<a ，所以当 −2≤x <a 时，∣f x ∣≤2 的解为 a 2−2<x <a 2．综上得所求不等式的解集为 x∣∣a2−2<x<a2．。

广东省揭阳市2016届高三数学第二次模拟试题文(含解析)

x 2ln( x 1)(x2) ( x1)ln( x 1)( Ⅰ )1 ： f '(x)x 1解析：解：解 法，(x2)2( x 1)(x 2)2----------- 2分记g(x) (x2)( x 1)ln( x （ x 2 ），g()'x n(l)1x0，----------3分1)即 g (x) 在 (2,) 上单调递减，∴ g(x) g (2) 0从而f ' x( ) ，∴ 函 数f ( x) 在 (2,)上 的单调 递减.----------------------------5分x 21)x ln( x【解法2：依题意得f '(x)12) 2，( x--------------------------------------------2分记 g (x)x 2 ln( x 1) （ x2 ）x1则g '(x)112 x，(x1)2x 1( x 1)2---------------------------------------------------------3分∵ x 2 ∴ g '( x)0 ，即函数 g( x) 在 (2,) 上单调递减，∴ g (x) g(2)0 ，从而得 f '( x) 0 ，∴函数f (x)在 (2,)上 的单调递减.--------------------------------------------------5分】( Ⅱ )解法 1： f (x) a 对 x (2, ) 均成立，等价于ln( x 1) a( x2)对 x (2,)均成立，-------------------------------------6分由 yln( x 1) 得 y '1 ，由此可得函数 y ln( x 1) 的图象在点（ 2,0 ）处的切线x1为y=x-2，------------------------------------------------------------------------------- ---------- 7分（ 1）当 a 1时，在 (2,) 上，直线 ya( x2) 与函数 y ln( x 1) 的图象相交，不合题意； ---9分（ 2）当 a1时，在 (2,) 上，直线 ya( x2) 在函数 y ln( x 1) 的图象的上方，符合题意 ---------------11分综上得：要 使f ( x) a对x(2,)均成 立 ，a[ 1 .------------------------------,12分【解法 2： f ( x) a 对 x (2,) 均成立，等价于ln( x 1) a( x2)对x (2,)均成立---------------------------------------5分记h( x) ln( x 1) a( x 2)， 则h '1 1 aa aa1-------a 6分xx ( x1 x ( x ))1x 1 ah(2)0，令 h '(x)0 得 x1 aa 1 20 a 1，a ，a（1）当 a 0 时，对 x (2,) ， h '( x) 0 ，即函数 h( x) 在 (2,) 单调递增，故 h(x) h(2) 0， 即l nx (1a ) x( ，不 符 合题 意；---------------------------8分（2）当 0a 1时，对x (2,1a) ， h '( x) 0 ，a此时函数 h( x) 在 (2,1a) 上为增函数， 即 ln( x 1) a(x2) 0 ，不符合题意； -----10a分（3）当 a 1 时，对 x (2,) ，有 h '( x) 0 ，函数 h( x) 在 (2,) 单调递减，因此 ln( x 1) a( x2)h(2) 0 ，符合题意；综上得：要使 f ( x)a 对 x (2,) 均成立， a[1, ) ． ------------------------12分】请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．(22)( 本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图 7 所示，⊙ O 和⊙ P 相交于 A, B 两点，过 A 作两圆的切线A分别交两圆于 C ， D 两点，连接 DB 并延长交⊙ O 于点 E ．OP( Ⅰ) 若 =2， =4，求 AB 的长；BC BDE( Ⅱ) 若 AC =3，求 AE 的长．B 解析 ：解：（Ⅰ）由弦切角定理得BACBDA ， ---------1分 CDBADBCA，图 7----------------------------------------------------2分所以BAC∽BDA，------------------------------------------------------------------3分得ABBC，BD AB----------------------------------------------------------------------------4分AB 2BC BD8， AB 2 2 ； ---------------------------------5 分（Ⅱ）连接EC ， ∵AEC A ，-----------------------------------------6 分ACEABEBADADB -------------------------------------------------7分∵ AEB BAD ， BACBDA = BEC ,----------------------8分∴AECACE ------------------------------------------------9分∴AE=AC=3. ----------------------------------------------------------------------- ---------10分(23)( 本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知椭圆 C 的普通方程为：x 2 y 29 1．4( Ⅰ) 设 y2t ，求椭圆 C 以 t 为参数的参数方程；( Ⅱ) 设 C 与 x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点 P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形 AOBP 面积的最大值． （其中 O 为坐标原点）解析 ：解：( Ⅰ) 将 y 2t 代入椭圆的普通方程得x 29(1分于是 得-----------------------------------------------------------------------------2 分2∴椭圆 C 的参数方程为x 3 1 t ,（ t 为参数）和4t 2) 9(1 t 2 ) ，------------14x3 1 t 2，2x3 1 t ,（ t 为参数） ---4y2t .y2t.分( Ⅱ)依题意知点 A(3,0)， B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分设 点 P 的坐标为(3cos,2sin )，(0) ---------------------------------------------6分2则S四边形AOBPS BPOSOPA1 2 3cos1 3 2sin ---------------------------228 分3sin3cos3 2 sin( )，(0 ) ----------------9 分42当 sin() 1 ，即 时，四边形 AOBP 面积取得最大值，其值为3 2 .------10 分44(24)( 本小题满分 10 分 ) 选修 45：不等式选讲已知 f ( x)| x 2 | | x a | (a R, a 0) ，( Ⅰ ) 若 f ( x) 的最小值是3 ，求 a 的值；11-----------------------------------------6 分ACEABEBADADB -------------------------------------------------7分∵ AEB BAD ， BACBDA = BEC ,----------------------8分∴AECACE ------------------------------------------------9分∴AE=AC=3. ----------------------------------------------------------------------- ---------10分(23)( 本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知椭圆 C 的普通方程为：x 2 y 29 1．4( Ⅰ) 设 y2t ，求椭圆 C 以 t 为参数的参数方程；( Ⅱ) 设 C 与 x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点 P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形 AOBP 面积的最大值． （其中 O 为坐标原点）解析 ：解：( Ⅰ) 将 y 2t 代入椭圆的普通方程得x 29(1分于是 得-----------------------------------------------------------------------------2 分2∴椭圆 C 的参数方程为x 3 1 t ,（ t 为参数）和4t 2) 9(1 t 2 ) ，------------14x3 1 t 2，2x3 1 t ,（ t 为参数） ---4y2t .y2t.分( Ⅱ)依题意知点 A(3,0)， B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分设 点 P 的坐标为(3cos,2sin )，(0) ---------------------------------------------6分2则S四边形AOBPS BPOSOPA1 2 3cos1 3 2sin ---------------------------228 分3sin3cos3 2 sin( )，(0 ) ----------------9 分42当 sin() 1 ，即 时，四边形 AOBP 面积取得最大值，其值为3 2 .------10 分44(24)( 本小题满分 10 分 ) 选修 45：不等式选讲已知 f ( x)| x 2 | | x a | (a R, a 0) ，( Ⅰ ) 若 f ( x) 的最小值是3 ，求 a 的值；11。

广东省揭阳市高三第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

绝密★启用前揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合}1,0,1{-=A ，}032|{2<--=x x x B ，则=B A（A ）}1,0,1{- （B ）}0{（C ）)1,1(-（D ）)3,1(-（2）已知复数2a iz i+=(其中i 为虚数单位)的虚部与实部相等，则实数a 的值为 （A ）1 （B ）12 （C ）1- （D ）12- （3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为12，甲赢棋的概率为13，则甲输棋的概率为 （A ）56 （B ）23 （C ）16 （D ）12（5）图1是一个算法流程图，则输出的x 值为侧视图图2图3图4（A ）95 （B ）47 （C ）23 （D ）11 （6）某棱柱的三视图如图2示，则该棱柱的体积为 （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）12 （7）已知等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=，则5a =（A ）1 （B ）12 （C ）14（D ）4（8）已知01a b c <<<<，则（A ）b a a a > （B ）a b c c > （C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（9）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，点A 、F 分别为其右顶点和右焦点12(0,),(0,)B b B b -，若12B F B A ⊥，则该双曲线的离心率为（A）1 （B（C（D1 （10）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若 2z x y =-+的最大值为3，则a 的值为（A ）1 （B ）23（C ）2 （D ）37 （11）中国古代数学家赵爽设计的弦图（图3）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图4所示的菱形，已知弦图中， 大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图4中菱形的一个锐 角的正弦值为 （A ）2425（B ）35（C ）45（D ）725（12）已知函数21352,(1)4()1log .(1)4x x x f x x x ⎧-+-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩()|2|sin g x A x =-⋅()x R ∈，若对任意的1x 、2x R ∈，都有12()()f x g x ≤，则实数A 的取值范围为（A ）9(,]4-∞ （B ）7[,)4+∞ （C ）79[,]44 （D ）7(,]4-∞9[,)4+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题第(23)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=-满足||||a b a b ⋅=-⋅，则x = .（14）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且35a =，642S =，则9S = . （15）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 . （16）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这 个长方体体积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC ∆的面积为B ac cos ，BC的中点为D ．(Ⅰ) 求B cos 的值；(Ⅱ) 若2=c ，C c A a sin 5sin =，求AD 的长． (18)（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n *)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．(Ⅰ)求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值；(Ⅱ)规定过三关者才能玩另一个高级别的游戏，估计小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率；(Ⅲ)已知小明在某四次游戏中所过关数为{2,2,3,4}，小聪在某四次游戏中所过关数为{3,3,4,5}，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率．（19）（本小题满分12）已知图6中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //， CD EF //，AB DM ⊥于M 、交EF 于点N，DN =MN =现将梯形ABCD 沿EF 折起，记折起后C 、D 为'C 、'D 且使62'=M D ，如图7示．(Ⅰ)证明：M D '⊥平面ABFE ；,(Ⅱ)若图6中，60A ∠= ，求点M 到平面'AED 的距离．（20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于1||2-MF ，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，求此切线在x 轴上的截距的取值范围．(21)（本小题满分12分）已知0<a ，曲线c bx ax x f ++=22)(与曲线x a x x g ln )(2+=在公共点))1(,1(f 处的切线相同．(Ⅰ)试求a c -的值；(Ⅱ)若1)()(++≤a x g x f 恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==t y t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． ABDCFE ABC ´D ´EF MMN图6图7（Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：(10) 如右图，当直线y x z 2+-=即221zx y +=过点(2,)A a a -时，截距2z最大，z 取得最大值3，即a a 223++-=，得1=a ．（11）设围成弦图的直角三角形的三边长分别为,,a b c ，c a b >>，依题意10c =，22100a b +=，2()4a b -=，解得8,6a b ==，设小边b 所对的角为θ，则63sin 105θ==，4cos 5θ=，24sin 22sin cos 25θθθ==. （12）对任意的1x 、2x R ∈，都有12()()f x g x ≤max min ()()f x g x ⇔≤，注意到max1()(1)4f x f ==-，又()|2|sin |2|g x A x A =-≥--，故1179|2||2|4444A A A --≥-⇒-≤⇒≤≤ 二、填空题：（166=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=.三、解答题：（17）解：(Ⅰ) 由B ac B ac S ABC cos sin 21==∆，------------------------1分得B B cos 2sin =，----------------------------------①------------2分 ∵0B π<< ∴sin 0B > 故0cos >B ，--------------------3分 又1cos sin 22=+B B ，----------------------------②①代入②得51cos 2=B ，∴51cos =B=5；-----------------5分 (Ⅱ)由C c A a sin 5sin =及正弦定理得225c a =，---------------------7分∵2=c ，∴52=a ，521==a BD ，------------------------9分 在△ABD 中，由余弦定理得：55125254cos 2222=⨯⨯-+=⋅⋅-+=B c BD BD c AD ，------11分∴5=AD ．----------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)小明的过关数与奖品数如下表：------------2分小明在这十次游戏中所得奖品数的均值为4)11618243221(101=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯；------------------------------------4分 (Ⅱ)小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率约为4.010112=++；---------------6分 (Ⅲ)小明在四次游戏中所得奖品数为{2,2,4,8}，--------------------------------------7分小聪在四次游戏中所得奖品数为{4,4,8,16}，-------------------------------------8分 现从中各选一次游戏，奖品总数如下表： ---------10分共16个基本事件，总数超过10的有8个基本事件，故所求的概率为21168=．----12分 （19）解：(Ⅰ) 可知AB EF //，∴N D '⊥EF 、MN ⊥EF ，-------------------1分ABDCFE ABC ´D ´EF MMNN又N MN N D = '，得EF ⊥平面'MND ，--------------------3分 得M D EF '⊥，--------------------4分∵222'27'D M MN D N +== ∴MN M D ⊥'，--------------------------5分 又MNEF N =，∴M D '⊥平面ABFE ．--------------------------------------6分(Ⅱ) 设点M 到平面'AED 的距离为h ，由AEM D AED M V V --=''，得M D S h S AEM AED '3131'⋅=⋅∆∆，① ∵2sin 60MN AE ==，6sin 60DNDE ==，------------------------7分∴8AD =,4AM =,-------------------------------------------8分 在MA D Rt '∆中，40''222=+=AM M D A D ，又6'=E D ，2=AE ，得222''AE E D A D +=，∴AE E D ⊥'，-----------------------------------------------10分'1'62AED S AE D E ∆=⋅=，又3221=⋅=∆MN AM S AEM ，代入①式，得123h =⨯h =∴点M 到平面'AED 的距离为---------------------------------12分 (20)解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，---------------1分 得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由抛物线的定义及25||2=QF ，得251=+Q x ， 又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-----------------------------------4分由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-------------------------------------------------6分（II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 切线在x 轴上的截距为k m x -=，又92->-=-m km， ∴切线在x 轴上的截距的取值范围是)0,9(-．----------------------------------12分 （21）解：(Ⅰ) b ax x f +=4)('，xax x g +=2)('，--------------------------1分 由已知得)1()1(g f =，且)1(')1('g f =， 即12=++c b a ，且a b a +=+24，所以23=+b a ，1-=-a c ；-------------------------------------------------4分 (Ⅱ)设1)()()(---=a x g x f x h ，则0>∀x ，0)(≤x h 恒成立，∵2ln )32()12()(2---+-=x a x a x a x h ，------------------------------5分 ∴xaa x a x h --+-=32)12(2)('，-------------------------------------------6分 法一：由0<a ，知x a y )12(2-=和xa-在),0(∞+上单调递减， 得xaa x a x h --+-=32)12(2)('在),0(∞+上单调递减，----------------7分 又032)12(2)1('=--+-=a a a h ，得当)1,0(∈x 时，0)('>x h ，当),1(∞+∈x 时，0)('<x h ，所以)(x h 在)1,0(上单调递增，在),1(∞+上单调递减，----------------------9分 得a h x h --==1)1()(max ，由题意知0)(max ≤x h ，得1-≥a ，----------11分 所以)0,1[-∈a ．---------------------------------------------------------------------------12分【法二：xa x a x a x h --+-=)32()24()('2[(42)](1)a x a x x -+-=，-------8分由0<a ，0>x ，知(42)0a x a -+<，得当)1,0(∈x 时，0)('>x h ，当),1(∞+∈x 时，0)('<x h ，所以)(x h 在)1,0(上单调递增，在),1(∞+上单调递减，-----------------------10分 得a h x h --==1)1()(max ，由题意知0)(max ≤x h ，得1-≥a ，所以)0,1[-∈a ．----------------------------------------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈-----------------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分 其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分 ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆|cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α，∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】 （23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分（Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分 因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+ 又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+， 故1m n mn +≤+．------------------------------------------------------------------10分】。

广东揭阳市届高三第二次模拟考试数学理试题含答案

揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：（7）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=.(8)依题意知2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率 '(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++， 201611111122320162017S =-+-++-12016120172017=-=． （9）由()12f π=可排除（C ）、(D)，由()13f π=>可排除（B ）,故选(A). (10)设y k x =，则k 为可行域内的点与原点连线的斜率，易得123k ≤≤，故2149k ≤≤. （11）该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个14圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：211(41)2(41+21)320222πππ-⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+. (12)设直线l 的方程为(0)y kx k =>，且1122(,),(,)A x y B x y ，故121x kx e -=，222x kx e -= 12221211,x x x e x e k k --⇒==，则122212121211ln()ln()ln ln x x CD e e x x k k k x x x x ----==-- 121211ln(2)ln ln (2)ln 1x e x e k k x x +----==-.A B C D E 二、填空题：解析：(13) (190)P X >=1()()0.52P X P X μσμσμσ>-=⋅-<<++0.8413= (16)由81358a a =得11135(7)8(12)61a d a d d a +=+⇒=-， 由1113(1)(1)()061n a a n d a n a =+-=+--≥1213n ⇒≤， 所以，数列{}n a 前21项都是正数，以后各项为负数，故nS 取最大值时，n 的值为21.三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,---2分 即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分 ∴11sin 1522ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯=.-------5分 (Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分 ∵BD=DC, ∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=,且3BE AC ==-----------8分 设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分 解得2x =，即AD 的长为2分 【解法2：由5AB =得3AC =， 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：sin sin BC AB BAC ACD=∠∠， 得5sin 2sin 7AB BAC ACD BC ∠∠===，----------------------------------------9分 ∵090ACD <∠< ∴11cos 14ACD ∠==，--------------10分 在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =分】 【解法3：由5AB =得3AC =， 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分 在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =分】 （18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，----------------------------------------------1分 由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------3分 解得0.0010a =；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）依题意知X 的可能取值为3600、4800、5000、6000，-------------------6分 ∵(3600)0.1P X ==，(4800)0.4P X ==，(5000)0.35P X ==，(3600)0.15P X ==，∴X 的分布列为分（Ⅲ）∵一年的销售额不低于5000元的概率为0.35+0.15=0.5, -------------------9分 5年中年销售额不低于5000元的年数1~(5,)2B ξ， ∴5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为51551113(2)1(0)(1)1()()2216P P P C ξξξ≥=-=-==--⨯=.-----------------12分 （19）解：(Ⅰ)证明：取AB 中点O ，连结PO 、CO ，----------1分由AB=2，知△PAB 为等腰直角三角形，∴PO=1，PO ⊥AB ，-----------------------------------2分由AB=BC=2，60ABC ∠=，知△ABC 为等边三角形，∴CO ，-------------------------------------3分由2PC =得222PO CO PC +=,∴PO ⊥CO ，-------------------------------------------------------4分又AB CO O =，∴PO ⊥平面ABC ，----------------------------------------------5分又PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ----------6分（Ⅱ）解法1：如图，连结OH ，由（Ⅰ）知CO PO ⊥，CO AB ⊥∴CO ⊥平面PAB ，CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角，-----------7分在Rt △COH 中，∵tan OC CHO OH ∠==，-----------8分 要CHO ∠最大，只需OH 取最小值，而OH 的最小值即点O 到PB 的距离，这时OH PB ⊥，22OH =，-------------10分 故当CHO ∠最大时，tan CHO ∠=.即CH 与平面PAB分【解法2：由（Ⅰ）知PO ⊥平面ABC ，CO AB ⊥，如图所示，以O 为原点，OC 、OB 、OP 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则C ，(0,1,0)B ，(0,0,1)P ，-----------------------------7分设点H 的坐标为(0,,)m n ，BH BP λ=，则(0,1,)(0,1,1)m n λ-=-，∴1,m n λλ=-=，即(0,1,)H λλ-，------8分 则(3,1,)HC λλ=--，(3,0,0)OC =为平面PAB 的法向量，设CH 与平面PAB 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||OCHC OC HC OC HC θ⋅=<>=⋅==分 当12λ=时，sin θ取最大值，max (sin )θ=-------------------------11分 又(0,]2πθ∈，此时θ最大，tan θ=即CH 与平面PAB 分】(20)解：(Ⅰ)依题意得：c a =-----① ab c =--------②-------------1分 ①×②得1b =，---------------------------------------------------2分 又2222223c a b a a -==，解得23a =---------------------------------3分 ∴所求椭圆C 的方程为2213x y +=.--------------------------4分（Ⅱ）依题意知直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，（1）若0k ≠，则直线OB 的方程为1y x k=-， 设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则由222233113A A A A A y kx x x k y =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，------------------------6分由221322B B B B y x k k x y ⎧=-⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩，-------------------------------------------------------------------7分∵|||A OA x ===--------------------------------8分∴|||B OB x ===分 设点O 到直线AB 的距离为d，则22231)1||3(1)AOB S k d AB k ∆+===+（.---------10分 (2)若0k =，则A点的坐标为(或，B点的坐标为(0,2，这时，1d ==，---------------------------------------------------------------------------11分 综上得点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.-------------------------------------------------12分【解法二：设A 、B 的坐标00(,)A x y、(B t ，------------------------------------------5分 由点A 在椭圆C 上和OA OB ⊥分别可得：220013x y +=和000tx y +=，--------6分 设点O 到直线AB 的距离为d ，则有||||||,OA OB AB d ⋅=⋅-------------------------------7分2222||||||OA OB AB d ∴⋅=⋅222222221||||||||||||||AB OA OB d OA OB OA OB +⇒==⋅⋅,-------------------8分20 22222222222000000001111112 ||||3xd OA OB x y x y x y x y ∴=+=+==+⋅++++22002222000323213()3(1)3x xxx yx++===++--------------------------------------------------------------------11分所以点O到直线AB的距离为定值，其值为1.--------------------------------------------------12分】(21)（Ⅰ）证明：∵()()2xg x f x e ax'==+，()2xg x e a'=+，------------------------1分当0a>时，()0g x'>，∴函数()g x在∞∞(-,+)上的单调递增，------------------------2分又12ga⎛⎫-=⎪⎝⎭1210ae--<，()010g=>，------------------------------------------------------3分∴存在唯一的1,02xa⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00g x=；-----------------------------------------------4分（Ⅱ）解：（1）当0a<时，则当(,0)x∈-∞时，()0g x>，即函数()f x在(,0)-∞上单调递增，且当x→-∞时，()f x→-∞，这与()f x b≥矛盾；---------------------------5分（2）当0a=，由x e b≥，得0b≤，∴0a b-≥；------------------------------------------6分（3）当0a>，由（Ⅰ）知当()0,x x∈-∞时，()0g x<；当(),x x∈+∞时，()0g x>；即()f x在()0,x-∞上单调递减，在(),x+∞上单调递增，----------------------------------7分∴()()0minf x f x=，-----------------------------------------------------------------------------------8分其中x满足020xe ax+=，故02xeax=-且x<，∵()f x b≥恒成立，∴()b f x≤即02xb e ax-≥--，于是00201122x xxa b a e ax ex⎛⎫-≥--=-+-⎪⎝⎭，------------------9分记1()(1)22xxh x ex=-+-，0x<，则()()221'()112xh x e x xx=-+，-----------------10分由'()0h x<得1x<-，即函数()h x在(,1)-∞-上单调时递减，'()0h x>得10x-<<，即函数()h x在(1,0)-上单调递增，∴min 1()(1)h x h e=-=-， 综上得a b -的最小值为1e-，此时01x =-．--------------------------------------------------12分 选做题： （22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分 得AB BC BD AB=，----------------------------------------------------------------------------4分 28AB BC BD =⋅=，AB =---------------------------------5分（Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分 ∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分于是得x =±-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C的参数方程为2.x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩（t为参数）和2.x y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分 设点P 的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分 则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分3sin 3cos )4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<-------------------------------------------9分 当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP面积取得最大值，其值为分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+---4分 ∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a =1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分 又已知min ()3f x =-， ∴a =1；-----------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集---6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分 当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2a a <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分 综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。

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绝密★启用前揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知复数2(1)z i i =-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）4i （B ）4i - （C ）4（D ）4-答案：C解析：复数2(1)z i i =-＝2＋2i ，22z i =-，所以，z z +=4。

（2）已知集合2{|1},{|ln(2)}A x y x B x y x x ==-==-，则A B =（A ）(2,)+∞ （B ）[1,2) （C ）(0,2) （D ）[1,2]答案：B解析：集合A ＝{}|1x x ≥，B ＝{}|02x x <<，故A B = [1,2)（3）已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ==-=，若（2a b - ）与c 互相垂直，则k 的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 答案：A解析：2a b - ＝(3,3)，因为2a b - 与c垂直，所以，3k ＋33＝0，所以，k ＝－3（4）已知命题:,cos sin p x R x x ∃∈>，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题 答案：D解析：当x ＝6π时，cos sin x x >成立，所以，命题p 是真命题；当2x π=时，1sin 2sin x x +=，故q 是假命题，从而有()p q ∧⌝是真命题。

（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60，则该双曲线的离心率为（A ）233 （B ）43 （C ）233或2 （D ）4答案：C解析：（1）双曲线两条渐近线在y 轴两旁的夹角为60°时，由双曲线的对称线知，两条渐近线的倾斜角分别为60°、120°，所以，tan 603ba=︒=， 又22222(3)c a b a a =+=+，解得离心率2ce a==。

（2）双曲线两条渐近线在x 轴两旁的夹角为60°时，其中一条渐近线的倾斜角为30°，所以，3tan 303b a =︒=， 又222223()3c a b a a =+=+，解得离心率c e a ==233。

（6）已知函数2,(1)()(1),(1)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则2(log 9)f 的值为（A ）9 （B ）92 （C ）94 （D ）98答案：D解析：22log 9log 83>=，所以，2(log 9)f ＝2(log 91)f -＝2(log 92)f -＝2(log 93)f - ＝22log 9(log 93)3222-=＝98。

（7）已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且124111,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =（A ）2(1)4n + （B ）(3)4n n +（C ）(1)2n n + （D ）212n +答案：C解析：依题意，得：2142a a a =，所以，21(13)(1)d d ⨯+=+，得公差d =1，n a n =；故选C. （8）函数log ||()||a x x f x x =（01a <<）图象的大致形状是答案：C解析：特殊值法。

取12a =，当x ＝2时，f （2）＝－1＜0，排除A ，B ； 当x ＝－2时，f （－2）＝1＞0，排除D ，所以，选C 。

（9）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足条件30,230,.x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（A ）2- （B ）1-（C ）1（D ）3答案：B解析：不等式表示的平面区域如图所示，解2302x y y x --=⎧⎨=⎩得：12x y =-⎧⎨=-⎩，所以，当m ＞－1时，由图可知，直线2y x =与图没有交点，故m 的最大值为－1。

（10）圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （A ）1 cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm答案：C解析：设球的半径为r ，则由3V 球+V 水=V 柱，得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒= （11）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为(A)(622)12π++ (B) 8(1)π+ (C)4(21)π+(D)(1222)π+答案：A解析：该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：21111222222242422222πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯242284(622)12ππππ=++++=++.（12）已知P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）12答案：B解析：PACB S PA AC PA =⋅=四边形2221CP CA CP =-=-，可知当||CP 最小时，即CP l ⊥ 时，其面积最小，由最小面积212CP -=得min ||5CP =， 由点到直线的距离公式得：min 25||51CP k==+，因0k >，所以2k =.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为 ___________． 答案：60解析：高一学生有3200－1000－1000＝1200人，共抽取高一学生人数：16012003200⨯＝60 (14)执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 .答案：6解析：第1步：s ＝1，k ＝2； 第2步：s ＝2，k ＝3； 第3步：s ＝6，k ＝4； 第4步：s ＝15，k ＝5； 第5步：s ＝31，k ＝6；第6步：s ＝56，退出循环，此时k=6(15)已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 .答案：20162017解析：依题意知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++，AB CDABCDE201611111122320162017S =-+-++- 12016120172017=-=．(16) 已知梯形ABCD 中，AD//BC ，90ABC ∠=,AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则||PC PD +的最小值为 .答案：3解析：如图以PC 、PD 为邻边作平行四边形PCQD ，则PC PD PQ += 2PE = ，要||PQ取最小值，只需||PE取最小值，因E 为CD 的中点，故当PE AB ⊥时，||PE取最小值，这时PE 为梯形的中位线，即min 13||(||||)22PE BC AD =+= ,故min ||3PQ =.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=，且152AB AC ⋅=-.(Ⅰ)求△ABC 的面积；(Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4解析：解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=- ，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,----2分即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 152224ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯⨯=.-------5分 (Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分【解法2：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，b年产量/kg0.0015450550350250650a频率/组距0.0040得35sin 532sin 714AB BAC ACD BC ⨯∠∠===，----------------------------------------9分 ∵090ACD <∠<∴211cos 1sin 14ACD ACD ∠=-∠=，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 解得192AD =.------------------------------------------------------12分】 【解法3：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分 在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 解得192AD =.-------------------------------------------------------12分】（18）（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产 量数据，得到年产量频率分布直方图如图5示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg . 已知当 图5 年产量低于450 kg 时，单位售价为12元/ kg ，当年产量不低于 450 kg 时，单位售价为10元/ kg . （Ⅰ）求图中a 、b 的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率. 解析：解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，-------------------------------------------------2分 由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------4分 解得0.0010a =，0.0035b =；----------------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结合直方图知，当年产量为300kg 时，其年销售额为3600元， 当年产量为400kg 时，其年销售额为4800元， 当年产量为500kg 时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg 时，其年销售额为6000元，-------------------------8分 因为年产量为400kg 的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，-----------9分而年产量为500kg 的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，-----------10分 故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75, -----------12分（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=，AB=PC=2，PA=PB=2. （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求点D 到平面APC 的距离.图6解析：解：(Ⅰ)取AB 得中点O ，连结PO 、CO ，----1分 由PA=PB=2，AB=2知△PAB 为等腰直角三角形，∴PO ⊥AB ，PO=1，------------------------------------------------------------------2分 又AB=BC=2，60ABC ∠=知△ABC 为等边三角形，∴3CO =---3分又由2PC =得222PO CO PC +=, ∴PO ⊥CO ，-----------4分∴PO ⊥平面ABC ，-------------------------------------------5分又∵PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD -----------------------6分 （Ⅱ）设点D 到平面APC 的距离为h ，由(Ⅰ)知△ADC 是边长为2的等边三角形，△PAC 为等腰三角形， 由D PAC P ADC V V --=得1133PAC ADC S h S PO ∆∆⋅=⋅---------------------------------------------8分 ∵23234ADC S ∆=⨯=，22117()222PAC S PA PC PA ∆=⋅-=,---------------------10分 ∴ADC PAC S PO h S ∆∆⋅=31221772⨯==，即点D 到平面APC 的距离为2217.-------12分 （20）（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>与抛物线22:1C x y =+有公共弦AB （A 在B 左边），AB =2，2C 的顶点是1C 的一个焦点，过点B 且斜率为k (0)k ≠的直线l 与1C 、2C 分别交于点M 、N （均异于点A 、B ）．（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求k 的取值范围．解析：解：（Ⅰ）∵抛物线21y x =-的顶点为(0,1)-，即椭圆的下焦点为(0,1)-，∴1c =，----------------------------------------------------------------------------------------1分 由AB =2知1B x =，代入抛物线得(1,0)B ，得1b =，----------------------2分∴222a b c =+=2，1C 的方程为2212y x +=；---------------------------4分 （Ⅱ）依题意知直线l 的方程为(1)y k x =-，-------------------------------5分联立2212y x +=消去y 得：2222(2)220k x k x k +-+-=， 则2222M B k x x k -⋅=+，得2222M k x k -=+，242Mk y k -=+，-------------------------7分由{2(1)1y k x x y =-=+，得210x kx k -+-=， 由224(1)(2)0k k k ∆=--=->，得2k ≠，则1N B x x k ⋅=-，得1N x k =-，(2)N y k k =-，----------------------------9分∵点A 在以MN 为直径的圆外，即,AM AN <>[0,)2π∈，----------------------10分∴0AM AN ⋅>，又(1,0)A -， ∴(1,)(1,)M M N N AM AN x y x y ⋅=+⋅+ 22224(2)222k k k k k k --=⋅+++222(4)02k k k -=>+， 解得4k <，综上知(,0)(0,2)(2,4)k ∈-∞ .-----------------------------12分（21）（本小题满分12分）已知函数ln(1)()2x f x x -=-（2x >）．(Ⅰ) 判断函数()f x 的单调性；(Ⅱ)若存在实数a ，使得()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，求a 的取值范围．解析：解：(Ⅰ) 解法1：22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-2(2)(1)ln(1)(1)(2)x x x x x ----=--， -----------2分 记()(2)(1)ln(1)g x x x x =----（2x >），'()ln(1)0g x x =--<，----------3分 即()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=从而'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.----------------------------5分【解法2：依题意得22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-， --------------------------------------------2分记2()ln(1)1x g x x x -=---（2x ≥） 则211'()(1)1g x x x =---22(1)xx -=-，---------------------------------------------------------3分 ∵2x > ∴'()0g x <，即函数()g x 在(2,)+∞上单调递减， ∴()(2)0g x g <=，从而得'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.--------------------------------------------------5分】(Ⅱ) 解法1：()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立，-------------------------------------6分 由ln(1)y x =-得1'1y x =-，由此可得函数ln(1)y x =-的图象在点（2,0）处的切线 为y=x-2，-----------------------------------------------------------------------------------------7分（1）当1a <时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-与函数ln(1)y x =-的图象相交，不合题意；---9分（2）当1a ≥时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-在函数ln(1)y x =-的图象的上方，符合题意---------------11分综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞.------------------------------12分 【解法2： ()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立---------------------------------------5分 记()ln(1)(2)h x x a x =---，则1'()1h x a x =--11a ax x +-=-1()1a a x x a-+=---------6分 (2)0h =，令'()0h x =得1ax a+=， 1201a a a +>⇔<<，（1）当0a ≤时，对(2,)x ∀∈+∞，'()0h x >，即函数()h x 在(2,)+∞单调递增，故()(2)0h x h >=，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；---------------------------8分 （2）当01a <<时，对1(2,)ax a+∀∈，'()0h x >， 此时函数()h x 在1(2,)aa+上为增函数，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；-----10分 （3）当1a ≥时，对(2,)x ∀∈+∞，有'()0h x <，函数()h x 在(2,)+∞单调递减，因此ln(1)(2)(2)0x a x h ---<=，符合题意；综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞．------------------------12分】请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC =2，BD =4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC =3，求AE 的长．解析：解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分OPAB DC E图7得AB BC BD AB=，----------------------------------------------------------------------------4分28AB BC BD =⋅=，22AB =；---------------------------------5分（Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分 ∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分 ∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分 (23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=．(Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）解析：解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分 于是得231x t =±-，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C 的参数方程为231,2.x t y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）和231,2.x t y t ⎧⎪=--⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分 设点P 的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分 3sin 3cos 32sin()4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<----------------9分当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP 面积取得最大值，其值为32.------10分(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>， (Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ)求|()|2f x ≤的解集．解析：解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+，---4分 ∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a =1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分 又已知min ()3f x =-，∴a =1；----------------------------------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集----6分 当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分 当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2a a <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分 综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。

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