(整理)导数变化率的教学案例
(整理)导数的变化率教案
临清三中高二年级教学案编号：1 编者：张慧时间：2013.02.25 课题 3.1.1变化率问题教材分析本节课的主要知识内容是平均变化率教学目标会求平均变化率教学重点求平均变化率平均变化率的几何意义教学难点一、预习认知：1.预习课本3.1.12.气球的平均膨胀率计算公式：3.高台跳水运动员的平均速度计算公式：4.平均变化率概念及公式：二、展示新知：1.提问两个变化率公式：2.板书展示平均变化率概念及公式：三、讨论质疑：四、教师精讲：平均变化率概念:上述问题中的变化率可用式子 ______________表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率．．．．．，平均变化率为：=∆∆=∆∆xf x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212. 思考：观察函数f (x )的图象，平均变化率：=∆∆xf 1212)()(x x x f x f --表示什么?典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ．例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率．五、训练巩固：1.质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.六、小结提升：1.平均变化率的概念;2．函数在某点处附近的平均变化率.七、达标检测：一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( )A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不等于零 [答案] D[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选D.2．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) [答案] D[解析] 由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选D.3．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( )A ．3B ．0.29C ．2.09D ．2.9 [答案] D[解析] f (－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2. f (－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.∴平均变化率为f (－0.9)－f (－1)－0.9－(－1)＝－1.71－(－2)0.1＝2.9，故应选D. 4．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( )A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1 [答案] B[解析] f (1)＝5，f (1.3)＝5.69.∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3，故应选B. 5．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( )A ．2－ΔxB ．－2－ΔxC ．2＋ΔxD ．(Δx )2－2·Δx [答案] B[解析] ∵f (2)＝－22＋2×2＝0，∴f (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx )＝－2Δx －(Δx )2，∴f (2＋Δx )－f (2)2＋Δx －2＝－2－Δx ，故应选B. 6．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx等于( ) A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2 [答案] C[解析] Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝[(1＋Δx )2＋1]－2Δx＝2＋Δx .故应选C. 7．质点运动规律S (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )A ．6.3B ．36.3C ．3.3D ．9.3 [答案] A[解析] S (3)＝12，S (3.3)＝13.89，∴平均速度v ＝S (3.3)－S (3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故应选A.8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．① [答案] B[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B. 9．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )A ．v 0B.Δt s (t 0＋Δt )－s (t 0)C.s (t 0＋Δt )－s (t 0)ΔtD.s (t )t[答案] C[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.10．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14(Δx )2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14(Δx )2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14(1＋Δx )2 [答案] C[解析] 点Q 的横坐标应为1＋Δx ，所以其纵坐标为f (1＋Δx )＝14(Δx ＋1)2，故应选C. 二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________. [答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)Δx＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12.12．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x的平均变化率为________． [答案] －29[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx ＝－29. 13．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时的平均变化率为________． [答案]6－2[解析] Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1＝6－2. 14．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________．[答案] 5 4.1[解析] 当Δx ＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－221＝5.当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1. 作业：1．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率．[解析] 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)－1－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2.函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为 f (5)－f (0)5－0＝2.函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)－1－(－3)＝－2.函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为g (5)－g (0)5－0＝－2.2．过曲线f (x )＝2x 2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，求出当Δx ＝14时割线的斜率．[解析] 割线AB 的斜率k ＝(2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝Δy Δx＝2(1＋Δx )2－2Δx ＝－2(Δx ＋2)(1＋Δx )2＝－7225.3．求函数y ＝x 2在x ＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？[解析] 在x ＝2附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx . 对任意Δx 有，k 1＜k 2＜k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．。
变化率与导数教案
变化率与导数教案113第二章变化率和导数2.1.1瞬时变化率一导数教学目标：(1) 理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2) 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度⑶ 理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数f(x)在区间［X A , X B ］上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设 P(X 1, f(x 1)) , Q(x o , f(x o ))，则割线 PQ 的斜率为 k PQ = f (xj- f (X o )X 1 — Xo设 X 1 - X o =A x ，贝U X 1 = △ x + X o ,... kP Q /X O FTS当点P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜率，即当△ x2、曲线上任一点(x o , f(x 0))切线斜率的求法:k = f(X o+也X)- f(X o)，当△ x 无限趋近于0时，k 值即为(x o , f(x o ))处切线的斜率。
3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度⑵位移的平均变化率：S (to+4) -s(to)(3) 瞬时速度：当无限趋近于o 时，S(t o十筑)一S(to)无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t o时的瞬时速度无限趋近于0时，k pQ怏+匆-5)无限趋近点Q 处切线斜率。
变化率与导数的概念教学案例与反思
变化率与导数的概念---教学案例与反思清远市佛冈县第一中学数学科组黄荫东教学目标1．知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2．过程与方法：1）通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力2）通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法3．情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.教学重难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，理解逼近的思想方法教法学法教法：运用多媒体平台展示教学，整堂课围绕“问题链”开展，突出①动——师生互动、共同探索。
②导——教师指导、循序渐进➢新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲➢理解导数的内涵——数形结合，动手计算,学生自主探索,获得导数的定义➢例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识➢课堂练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知学法：➢合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。
（如问题2的处理）➢自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。
（如问题3的处理）➢ （3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
（如例题的处理） 课时安排 1课时 教学过程一 创设情景，引入新课问题1：说出函数的定义，并画出函数x y 2=的图象. (导数的研究对象是函数)问题2：函数x y 2=的图象有什么特征？（图象逼近x 轴，“指数爆炸”等） 问题3：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？（由此引入变化率） 问题4：分别求出函数x y 2=在区间[1，2]和[2，3]上的平均变化率.问题5：函数y=f(x)的图象（如图所示），请写出函数在区间[]21,x x 上的平均变化率.观察图象，它表示什么？（由此引入函数的平均变化率）二 新课讲解 1．平均变化率1212)()(x x x f x f x y --=∆∆ 例题1 在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h （t ）=－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在65049t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题： （1）运动员在这段时间里是静止的吗？f f（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？（在学生相互讨论交流结果，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
导数与函数变化率教案设计
导数与函数变化率教案设计：一、教学目标1.了解导数的概念和定义，掌握基本求导公式和法则。
2.理解函数的单调性和极值，并能应用导数求解。
3.能够掌握函数的变化率的概念，应用导数求解。
4.能够运用导数的概念和方法解决实际问题。
二、教学内容1.导数的概念和定义2.求导法则3.函数的单调性和极值4.函数的变化率与导数5.应用导数解决实际问题三、教学过程第一节：导数的概念和定义1.引入教师通过引导学生想象一下：车在马路上行驶时，如果我们想知道车的速度是多少，应该怎么做？引导学生想到了导数的概念。
2.导数的定义介绍导数的定义：设函数y=f（x），若极限lim Δx→0（f（x+Δx）－f（x））/Δx存在，称为函数f（x）在点x处的导数。
3.图像解释导数通过画图来解释导数的概念，帮助学生掌握。
第二节：求导法则1.基本求导法则（1）常数函数（2）幂函数（3）指数函数（4）对数函数（5）三角函数2.综合例题分析通过综合例题来演示求导过程，让学生掌握求导的方法。
第三节：函数的单调性和极值1.函数的单调性介绍函数的单调性：设函数y=f（x）在区间（a，b）内具有一阶导数，那么如果f’（x）>0，则函数在该区间单调递增，如果f’（x）<0，则函数在该区间单调递减。
2.函数的极值介绍函数的极值：设函数y=f（x）在点x=c处连续，那么如果在（c-d，c）上f（x）≤f（c）,在（c， c+d）上f（x）≤f（c），则c为函数y=f（x）的极大值点；如果在（c-d， c）上f（x）≥f （c），在（c， c+d）上f（x）≥f（c），则c为函数y=f（x）的极小值点。
3.图像分析单调性和极值通过图像分析函数的单调性和极值，帮助学生理解。
第四节：函数的变化率与导数1.函数的变化率介绍函数的变化率：使用导数来研究函数的变化率，函数在某一点的导数就是该点的变化率。
2.应用导数求解通过例题来演示应用导数求解的过程，让学生掌握应用导数求解的方法。
《2.11变化率与导数、导数的计算》 教案
教学过程一、课堂导入1．从近几年的高考试题来看，导数的几何意义是高考的热点．2．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右．3．命题切入点：在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查与解析几何结合的相关知识．二、复习预习导数的概念、几何意义及其运算是运用导数解决问题以及导数在实际生活中的应用的基础，虽然相关知识点的考查为A,B级，但是在许多综合题目中都会涉及本节知识点，需要学生在运用本节知识点理解题意的基础上进一步的运用导数。
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的作用，在实施化简时，要注意变换的等价性，避免不必要的失误．对于某些不满足求导法则条件的函数，可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.三、知识讲解考点1 导数的概念函数)(x f y =在0x x =处的导数一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，称其为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '．考点2 导函数当x 变化时，)(x f '称为)(x f 的导函数，则xx f x x f y x f x ∆-∆+='='→∆)()(lim)(000特别提醒：注意)(x f '与)(0x f '的区别，)(x f '是一个函数，)(0x f '是常数，)(0x f '是函数)(x f '在点0x 处的函数值．考点3 导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点),(00y x P 处的切线的斜率，过点P 的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-．特别提醒：求函数)(x f y =在点),(00y x P 处的切线方程与求函数)(x f y =过点),(00y x P 的切线方程意义不同，前者切线有且只有一条，且方程为))((000x x x f y y -'=-，后者可能不只一条．考点4 几种常见函数的导数考点5 导数运算法则(1))()(])()([x g x f x g x f '±'='±； (2))()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='； (3))()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f '-'='，)0)((≠x g考点6 复合函数的导数(理)设函数)(x ϕμ=在点x 处有导数)(x ϕμ'='，函数)(μf y =在点x 的对应点μ处有导数)(μf y '='， 则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处也有导数，且x x y y μμ'⋅'='四、例题精析【例题1】【题干】求下列函数的导数(1)y＝x＋x5＋sin xx2；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝11－x＋11＋x；(4)y＝cos 2xsin x＋cos x.【解析】(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 32-＋x 3＋sin xx 2，∴y ′＝(x 32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2.(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .【例题2】【题干】求下列复合函数的导数：(1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝ln x2＋1；(3)y＝1(1－3x)4；(4)y＝x1＋x2.【解析】(1)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′＝2(1＋sin x )·cos x .(2)y ′＝(ln x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·( x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·12(x 2＋1)12-·(x 2＋1)′＝xx 2＋1.(3)设u ＝1－3x ，y ＝u －4.则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3)＝12(1－3x )5. (4)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x () 1＋x 2′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x21＋x 2 .【例题3】【题干】已知函数f (x )＝2 x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，233，求△AOB 的面积．【解析】(1)f′(x)＝1x＋1，则f′(x0)＝1x0＋1，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线方程为y－f(x0)＝1x0＋1(x－x0)，即y＝xx0＋1＋x0＋2x0＋1.所以当x0＝1时，切线l的方程为x－2y＋3＝0.(2)当x＝0时，y＝x0＋2x0＋1；当y＝0时，x＝－x0－2.S△AOB＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0＋2x0＋1·(x0＋2)＝(x0＋2)22 x0＋1，∴S△AOB ＝⎝⎛⎭⎪⎫－23＋222 －23＋1＝839.【例题4】【题干】若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________.【答案】 π2【解析】∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ， ∴f ′(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ. 于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋θ＋π2 ＝2cos(3x ＋θ)，由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2.四、课堂运用【基础】1．(2013·永康模拟)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是()解析：选D据函数的图象易知，x<0时恒有f′(x)>0，当x>0时，恒有f′(x)<0.2．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于() A．0 B．－1C.12D．2解析：选C f′(x)＝3x2－2tx－4，f′(－1)＝3＋2t－4＝0，t＝1 2.3．(2013·大庆模拟)已知直线y＝kx与曲线y＝ln x有公共点，则k的最大值为()A．1 B.1 eC.2e D.2e解析：选B从函数图象知在直线y＝kx与曲线y＝ln x相切时，k取最大值．y′＝(ln x)′＝1x ＝k，x＝1k(k≠0)，切线方程为y－ln 1k ＝k⎝⎛⎭⎪⎫x－1k，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k＝－1，k＝1e.【巩固】4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2. ∴f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4.答案：－45．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)【拔高】6．求下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x 12-；(2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝1x ＋1，其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B根据函数的求导公式知只有(1)正确．7．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12.∴a 3＝4，a 5＝1.∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：218．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x 轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)，∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )．(2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1，∴x k ＝－(k －1)，∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－ne －1，即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－ne －1.课程小结1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．。
变化率与导数教学案
变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重难点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.一、课前预习 （阅读课本1-4页） 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析： (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出：问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 。
二、情境导入，问题引领思考: 问题1中，当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?三、合作探究1.上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ∆+1代替2x ，同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考: 观察函数)(x f 的图象（右图）平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?四、典型例题例 1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆x y .例2 求y ＝2x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率变式题 ：已知函数f (x )＝x 2＋2x ，求f (x )从a 到b 的平均变化率．(1)a ＝1，b ＝2； (2)a ＝3，b ＝3.1； (3)a ＝－2，b ＝1.5.五、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 . 2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.六、课后练习，巩固提高1． 设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到xx ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ）A()x x f ∆+0 B()xx f ∆+0 C()xx f ∆⋅0 D()()00x f x x f -∆+2． 一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ）A －4B －8C 6D －63． 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ）A R R ∆π8 B()248R R R ∆+∆ππ C ()244R R R ∆+∆ππ D ()24R ∆π4． 在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则x y∆∆为（ ） A 21+∆+∆x x B 21-∆-∆x x C 2+∆x Dx x ∆-∆+12 5． 在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h （单位：m ）与起跳后时间t （单位：s ）的函数关系是()105.69.42++-=t t t h ，则下列说法不正确的是（ ） A 在10≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /6.1B 在49650≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /0 C 运动员在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4965,0时间段内，上升的速度越来越慢D 运动员在[]2,1内的平均速度比在[]3,2的平均速度小七、总结交流、归纳提升 1、知识与方法2、结合自己掌握的情况进行总结、交流、反思导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.重难点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.一、课前预习 （阅读课本4-6页） 回顾上节问题2，计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？二、情境导入，问题引领我们把物体在某一时刻的速度称为 .运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t∆趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？三、合作探究，新知学习从函数)(xfy=在0xx=处的瞬时变化率是:我们称它为函数()y f x=在0x x=处的导数,记作：说明: (1)导数即为函数)(xfy=在0xx=处的瞬时变化率;(2)0x x x∆=-,当0x∆→时,x x→,所以()()()limx xf x f xf xx x→-'=-四、典例分析例1(1)求函数23xy=在1=x处的导数.(2)求函数xxxf+-=2)(在1x=-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析:先求)()(xfxxfyf-∆+=∆=∆,再求xy∆∆,最后求xyx∆∆→∆0lim.例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油的温度(单位:C)为2()715(08)f x x x x=-+≤≤,计算第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂练习 1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.六、课后作业、巩固提高 1．自变量由0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ） A 在区间],[10x x 上的平均变化率B 在x 处的变化率C 在1x 处的变化率D 在区间],[10x x 上的导数2．下列各式中正确的是（ ） A x x f x x f y x x x ∆-∆-=→∆=)()(|000'lim0 B x x f x x f x f x ∆∆-∆-=→∆)()()(000'limCx x f x x f y x x x ∆+∆+=→∆=)()(|000'lim0 D x x x f x f x f x ∆∆--=→∆)()()(0000'lim3．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ）A 2B . －2C 3D －34．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ） A 0 B 3C －2D t 23-5．函数x x y 1+=， 在1=x 处的导数是6．13-=x y ，当2=x 时 ，=∆∆→∆xyx lim 07．设圆的面积为A ，半径为r ，求面积A 关于半径r 的变化率。
导数的变化率教案
导数的变化率教案一、教学目标：1. 让学生理解导数的定义和意义，掌握导数的计算方法。
2. 引导学生理解变化率的概念，并能运用变化率解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点：1. 导数的定义和计算方法。
2. 变化率的概念及应用。
三、教学难点：1. 导数的计算。
2. 变化率在实际问题中的应用。
四、教学准备：1. 教师准备PPT和教学案例。
2. 学生准备笔记本和笔。
五、教学过程：1. 导入：教师通过PPT展示导数和变化率的概念，引导学生回顾初中阶段的学习内容，为新课的学习做好铺垫。
2. 导数的定义与计算：教师讲解导数的定义，通过PPT展示导数的几何意义和物理意义。
教师引导学生学习导数的计算方法，包括基本函数的导数公式、导数的四则运算等。
3. 变化率的概念：教师讲解变化率的概念，引导学生理解变化率是描述函数在某一点处变化快慢的物理量。
教师通过实例讲解如何运用变化率解决实际问题。
4. 课堂练习：教师布置练习题，让学生独立完成。
练习题包括导数的计算和变化率的应用。
教师在练习过程中给予学生个别辅导，帮助学生巩固所学知识。
6. 课后作业：教师布置课后作业，让学生巩固所学知识。
作业包括导数的计算、变化率的应用等。
六、教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足，为下一节课的教学做好准备。
七、教学评价：教师通过课堂表现、课后作业和课堂练习对学生进行评价，了解学生对导数和变化率的掌握情况，为下一步的教学提供依据。
八、教学计划：1. 下一节课内容：导数的应用。
2. 教学方法：讲解、案例分析、课堂练习。
3. 教学目标：让学生掌握导数的应用，能运用导数解决实际问题。
4. 教学难点：导数的应用。
5. 教学准备：教师准备PPT和教学案例，学生准备笔记本和笔。
6. 教学过程：同上。
7. 教学反思：同上。
8. 教学评价：同上。
六、教学内容：导数的应用1. 最大值和最小值问题：教师通过案例引导学生如何使用导数求解函数的最大值和最小值。
优秀教案21-变化率与导数
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数（1）教材分析导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具.在本章,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数的基本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，初步感受导数在解决数学问题与实际问题中的作用.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．课时分配本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修1－1第三章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时，主要讲解导数的概念及利用定义求导数.教学目标重点: 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．知识点：导数的概念.能力点：掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤教育点：通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验自主探究点：通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程.考试点：利用导数的概念求导数.易错易混点：对0x ∆→的理解，0,0,x x ∆>∆<0,0x x ∆>∆≠但0x ∆≠. 拓展点：导数的几何意义.教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学一、引入新课师生活动：教师：请说出函数()y f x =从x 1到x 2的平均变化率公式．学生：2121()()f x f x x x --．教师：如果用x 1与增量△x 表示，平均变化率的公式是怎样的？ 学生：11()()f x x f x x+∆-∆教师：高台跳水的例子中，在时间段650,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.学生：在教师的讲述中思考用什么量来反映运动员的运动状态． 提问：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？ 学生：体会并明确瞬时速度的作用．提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，要求物体在2s 的瞬时速度，应该怎么解决？【设计意图】让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度.【设计说明】应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫.二、探究新知已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++，完成下列表格中02t =秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．师：观察以上表格，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？将结果投影，引导同学们一起观察.在学生观察的基础上指出：当t ∆趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．[设计意图] 让学生通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．给学生充分的感性材料, 使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．培养学生归纳、概括能力.师:你认为通过实验所得结果（常数）就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似值？启发学生归纳出结论：0t ∆→时，平均速度所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是一个精确值，它与变量t ∆无关，只与时刻0t 有关．[设计意图] 使学生认识到平均速度当时间间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的极限模型．一般地,函数()y f x =在x x =o 处的瞬时变化率是00()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆o o ,我们称它为函数()y f x =在x x =o 处的导数,记作()f x 'o 或|x x y ='o ,即()f x 'o =00()()lim lim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆o o .三、理解新知求函数()y f x =在点0x 处的导数的步骤大致分为以下三步：第一步，求函数增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步，求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； 第三步，求平均变化率的极限，即导数'00()lim x yf x x∆→∆=∆．[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1求2y x =在点1x =处的导数． 解:222(1)12()y x x x ∆=+∆-=∆+∆,22()2y x x x x x ∆∆+∆==+∆∆∆, ∴00limlim(2)2x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.1'|2x y =∴=注意:2()x ∆括号别忘了写.变式训练: 求224y x x =+在点3x =处的导数.解:2222(3)4(3)(2343)2()16y x x x x ∆=+∆++∆-⨯+⨯=∆+∆,216yx x∆=∆+∆, 00lim lim(216)16x x y x x ∆→∆→∆=∆+=∆, 即3'|16x y ==.[设计意图]通过变式训练,便于学生全面的认识利用定义求导数的步骤, 提高理解、运用知识的能力． 例2 已知21y x =+,求'y .解:[]2()1(21)y x x x ∆=+∆+-+2x =∆,2yx∆∴=∆,0lim2x yx∆→∆∴=∆,即'2y =.变式训练: 已知y =,求'y .解:y ∆=,y x x∆=∆∆,0limlimx x y x x ∆→∆→∆==∆∆=’ 'y ∴=[设计意图] 由一个问题引申为一类问题，提高学生的解题能力．同时,便于学生发现不同题目解题过程的 区别与联系,有利于学生用联系的观点看问题．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：导数的概念.2．思想：特殊与一般、化归的思想．教师总结: 本节课学习了导数的概念，导数的概念表明：当自变量的增量趋向于零时，函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思想．求导数的步骤大致分为以下三步： 第一步，求函数增量； 第二步，求平均变化率并化简； 第三步，求平均变化率的极限，即导数． [设计意图] 加强对学生学习方法的指导．六、布置作业1．阅读教材P74—76； 2.书面作业必做题： P79 习题3.1 A 组 1,2,3,4,5. 选做题：1.如果质点A 按照规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 . 2.设函数()f x 可导，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆ .3. 设函数()f x 3ax =+，若'(1)3f =，则a = .4.函数1y x x=+在1x =处的导数等于 . 5.质点M 按规律223s t =+做直线运动(位移单位:cm ，时间单位：s)，求质点M 在2t =时的瞬时速度，并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较. 答案:1. 18 2.1(1)3f ' 3. 3 4. 0 5. 瞬时速度为8/cm s ,用两种方法求得的结果相同. 课外思考:函数()y f x =在一点处的导数有什么几何意义吗?[设计意图]设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用导数的概念，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生深刻思考、领悟导数的意义，为下节课的学习做铺垫．七、教后反思1.“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.学生通过“经历”、“体会”、“感受”，最后形成概念的学习过程，充分体现了学生为本的现代教育观.2.作业的布置尽量满足多样化的学习需求,做到因材施教,但在具体实施中,分寸的把握需视情况而定.八、板书设计。
高中数学变化率的教案
高中数学变化率的教案
教学目标：
1. 理解变化率的概念，能够计算函数在某一点处的导数。
2. 掌握变化率与导数的关系，能够应用导数解决实际问题。
3. 提高学生的数学分析能力和解决问题的能力。
教学重点：
1. 变化率的概念
2. 导数的计算
3. 导数的应用
教学难点：
1. 理解导数的定义及其应用
2. 解决实际问题时的应用
教学步骤：
一、导入（5分钟）
通过一个简单的例子引出变化率的概念，让学生感受到变化率的重要性和实际应用价值。
二、概念讲解（15分钟）
1. 讲解变化率的定义及其计算方法。
2. 介绍导数的概念及其与变化率的关系。
3. 解释导数的意义和应用。
三、实例演练（20分钟）
1. 让学生通过例题计算函数在某一点处的导数。
2. 给学生几个实际问题，让他们应用导数解决问题。
四、拓展应用（10分钟）
1. 给学生习题提供更多练习机会，巩固导数的计算和应用。
2. 让学生思考如何在实际问题中更好地使用导数解决问题。
五、总结与评价（5分钟）
总结今天的学习内容，强调导数在数学和实际问题中的重要性，并评价学生的学习情况。
六、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对导数的理解和应用能力，以及在解决实际问题中的应用能力。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的概念及其应用有了更深入的理解，提高了数学分析能力和解决问题的能力。
但在实际引导学生解答实际问题时，还需引导学生思考更深入，提高解决问题的能力。
变化率与导数教案
变化率与导数教案【教案】一、教学目标：1. 知识与能力目标：(1) 理解变化率的概念及其在实际问题中的应用；(2) 掌握导数的定义及其计算方法；(3) 能够灵活运用导数的概念和方法解决实际问题。
2. 过程与方法目标：(1) 培养学生分析问题、抽象问题、解决问题的能力；(2) 培养学生的逻辑思维和推理能力；(3) 培养学生自主学习和协作学习的能力。
二、教学重点：1. 变化率的概念及其应用；2. 导数的定义及其计算方法。
三、教学难点：1. 导数的计算方法；2. 导数在实际问题中的应用。
四、教学过程：Step 1 引入问题引导学生思考以下问题：在日常生活中，我们经常会遇到速度的变化、物体数量的变化、面积的变化等，这些变化的速率如何表示？如何计算？为什么需要计算变化率？Step 2 变化率的定义及计算方法1. 引导学生思考何为变化率：变化率，即某一量在单位时间内的变化量。
如速度的变化率表示单位时间内的位移量。
2. 引导学生思考如何计算变化率：变化率的计算方法是利用两个变量之间的差值来表示。
如速度的变化率可以用两点之间的斜率来表示。
3. 通过具体例子让学生体会变化率的计算方法：如一辆汽车行驶了100公里，时间为2小时，那么汽车的速度变化率是多少？Step 3 导数的引入1. 引导学生思考何为导数：导数是函数在某一点的变化率。
在数学上，导数用来表示函数的变化速度。
2. 引导学生思考如何计算导数：导数的计算方法主要有两种，一种是用极限的方法求导，另一种是使用求导公式。
3. 通过具体例子让学生理解导数的计算方法：如给出函数y=x²，求x=1处的导数。
Step 4 导数的应用1. 引导学生思考导数在实际问题中的应用：导数在实际问题中可以用来描述变化的速率、求解最值等。
2. 通过具体例子让学生理解导数的应用：如一块铁板的边长随时间的变化率是多少？Step 5 练习与拓展1. 提供一些简单的导数计算练习题，让学生巩固所学知识。
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学生动手解答，老师强调符号
语言的规范使用，对诸如 (x) 2 忘
写括号的现象加以纠正.
本题是教材上的一道 例题.在学生建立起导数 概念，明确用定义求导数 的方法之后,进行强化训 练, 渗透算法思想，加深 对导数概念的理解，强化 对重点知识的巩固.
利用例 1 继续设问，函数在 x 1处可导，
师生互动，共同探讨归纳函
点处切线的斜率
增量 x
增量 y
斜率 y x
k lim y x0 x
的极 限
思想
形
一
函数在 x x0
般 函数
成
处的变化率
？
？
？
情 y=f(x)
？
？
？
概 念
教学 环节
形
【师生活动】将学生分成若干学习小组，以表格为载体为师生、生生互动搭起积极交流的探究平台.教师
巡视，鼓励学生参与，对个别学有困难的小组加以指导.探究后，共同归纳得出：两个问题的解决在方法、本
业
伏笔.可导与连续的关
-------------
-------------
3.已知曲线 C 是函数 f (x) 2x 2 1 的图象
系，设计成选作题，既不 影响主体知识建构,又能
（1）求点 A(1,3)处的切线的斜率
使学有余力的学生得到
深
（2）求函数在 x=1 处的导数
进一步的发展.利用网
师生活动
学生相互交 流探讨瞬时速 度和和切线的 斜率两个具体 问题，解决方法 上有什么共同 之处.
设计意图
针对新概念创设 相应的学生熟悉的问 题情景，让学生从概念 的现实原型，体验、感 受直观背景和概念间 的关系，为学生主动建 构新知提供自然的生 长点.
①归纳共性 揭示本质
研究
求解问题
类
对象
求解方法
教学 环节
内
容
设计意图
练习：
设计练习 1，巩固求
练
1．已知 y=x3－2x+1，求 y′，y′|x=2.
导方法； 设计练习 2，通
习
过适当的变式训练，揭示
反
2．设函数 f(x)在 x0 处可导，则 lim f (x0 x) f (x0 x) 概念的内涵，提高学生的
馈
x0
x
模式识别的能力，培养学
本质 思想
物体
平均
比
运动
物体在 t0 时
求时间 求位移
求平均
求瞬时速度
速度 极限
探
具 规律
体
的瞬时速度
增量 t
增量 h
速度 h t
v lim h t0 t
的极 限
思想
H=h(t)
索
例
曲线上
求割线的
求切线的斜率
割线
子 曲线
求横坐标
求纵坐标
斜率 极限
y=f(x)
P (x0 , y0 )
质、思想上都有相同之处.一个是“位移改变量与时间改变量之比”的极限，一个是“纵坐标改变量与横坐标
改变量之比”的极限.如果舍去它们的具体含义，都可以概括为求平均变化率的极限.
【设计意图】给学生创设探究的平台，分析瞬时速度和切线的斜率两个具体问题，讨论解决这两个问题的
方法、本质、思想上有什么共同之处，引导学生分析、观察、归纳，打通揭示事物本质的思维通道.
D.既不充分也不必要条件
-------------
展
面总结出两小问的区别与联系， 学生辨清“函数
选出代表作品用投影仪全班交
f (x) 在一点处
概
流.完善后，屏幕显示形成共识：
的导数”、“函数
念
【区别】
f (x) 在开区间
（1）函数 f (x) 在点 x0 处 内的导数”与“导
数”三者的关系.
的导数，是在点 x0 处的变化率，
是一个常数；
（2）函数 f (x) 的导数是
描述角度
本质
分析导数的本质后，同时简单提及导
让学生感
概
文字语言
瞬时变化率
数产生的时代背景.
受数学文化
符号语言 念
lim y x0 x
图形语言
（切线斜率）
的熏陶，了解 导数的文化 价值、科学价
值和应用价
值.
教学 环节
-------------
内容
师生活动
设计意图
-------------
【探讨 3】求导数的方法是什么？ 类 比 探 索 形 成 概 念
样在开区间 (a,b) 内构成一个特
展
【探讨 1】函数在开区间内可导，那么对于
识相联系，自然引入导函
每一个确定的值,都有唯一确定的导数值与之相 殊的映射，这里的映射是数集到数 数概念，从而完成从函数
对应，这样在开区间内存在一个映射吗？
集的映射，就是函数，我们把这个 在 一 点 可 导 函 数 在
引
申
拓
【例 2】已知 y= x ，求（1）y′;（2）y′
本例共两 个 小 问 ， 第 (1)
展
|x=2.
小问是教材上的
一道例题, 第
(2) 小 问 是 补 充
题.两问都是求
导数，但它们有
本质上的区别！
发
分学习小组让学生动脑思 学生容易产生混
考，动手“操作”，相互交流。书 淆 . 通 过 此 题 让
成
“原型”解释“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本
质. 概
念
由具体 到抽象再回 到具体的过 程，感知上升 到了理性，强 化了对概念 的理解.
③剖析概念 加深理解
引导学 组织学生阅读“导数”定义，抓住 生 以 数 学 语
类
【探讨 1】 怎样判断函数在一点是否可导？
定义中的关键词“可导”与“导数”交 言 （ 文 字 语 流探讨，然后通过师生互动挖掘这些概 言 、 符 号 语
发
新 函 数 叫 做 f (x) 在 开 区 间 开 区 间 内 可 导 函 数
展
【探讨 2】存在的这个映射是否构成一个新
在开区间内的导函数的
概
的函数呢？若能，新函数的定义域和对应法则 (a, b) 内的导函数。它的定义域是 两次拓展.
念
分别是什么呢？
教学 环节
-------------
内
容
师生活动
比
之间的平均变化率的极限问题，也就是怎样计算函数
= lim f (x0 x) f (x0 ) , 并 对
瞬时速度进 行类比迁移，
探
在点 x0 处的变化率？
x0
x
自然引出函
猜想的合理性进行分析后，引出
数在一点处
索
定义 1：（函数在一点处可导及其导数） 可 导 和 导 数
的概念.
形
引出导数定义后，回归问题情景，反思概念的
对开区间内任意点 x 而言，是
f (x) 在开区间内任意点 x 的变
化率，是一个函数. 【联系】一般而言，
y f (x) 在 x0 处的导数就是
-------------
-------------
导函数 f (x) 在 x = x0 处的函
数值，表示为 y | xx0 ，这也是求
f / ( x0 ) 的一种方法.
内
容
师生活动
设计意图
-------------
-------------
②类比迁移 形成概念
引导学生利用求瞬时速度的方法
用具体
和思想类比探究，猜想得出函数在点 到抽象，特殊
类
【思考】考虑求一般函数 y=f(x) 在点 x0 到 x0 + x
x0
处的变化率
lim
x0
y x
到一般的思 维方式，利用
通过层层展开的探
那么 x -1， x 2 ， x 3 这些点也可导 数在开区间 (a, b) 的每一点可导， 讨，激活学生知识思维的
引
吗？从而引申拓展出定义 2：（函数在开区间
“最近发展区”，引导学
申
(a, b) 内可导）
每一点就有确定的唯一的导数.这 生主动将新问题与原认
拓
知结构中函数的相关知
【例 1】求函数 y=x2 在点 x 1处的导数.
让学生类比瞬时速度的问题， 根据导数定义归纳出求函数
y f (x) 在点 x0 处导数的方法
步骤： （1）求函数的增量； （2）求平均变化率； （3）取极限，得导数.
用定义法求导数是 本课的重点之一.有了可 导这个逻辑基础，导数成 为可导的自然结果，求导 数的方法则是对导数概 念的理解与应用.让学生 积极主动参与，进行有意 义的建构，有利于重点知 识的掌握.
化
选做题： 1.有条件的同学上网查阅有关微积分产生的时代背景 络，便于学生开展自主学
概
和历史意义的资料并交流讨论.
习，拓展学习方式和平
念
台.
2.函数 f (x) =|x|在 x=0 处是否可导？
3.函数 y=f(x)在 x=x0 处可导是它在 x=x0 处连续的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条
的问题可以考虑用导数解决）.
必做题：1.教材跑 P56 习题 3-1 1,2
2. 已知 f(3)=2， f (3) 2, 则 lim 2x 3 f (x)
弹性的分层作业，照
分
x3 x 3
顾到各种层次的学生.补
层
的值为（ ）
充的必做 3，为下节课研
作
（A）0
（B）－4
（C）8
（D）不存在 究 导 数 的 几 何 意 义 打 下
-------------