三角形的相关概念及三边关系

【例4】 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A、3，8，4 B、4，9，6 C、15，20，8 D、9，15，8
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【例5】 为估计池塘两岸 A、B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点 P，测得 PA=16m，PB=12m， 那么 AB 间的距离不可能是（ ）
A
B
P
A、5m C、20m
三角形的相关概念及三边关系
知识回顾
一、三角形的基本概念
⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形． 三角形具有稳定性．
⑵三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角． 在同一个三角形内，大边对大角．
⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角． 二、与三角形相关的边
)．
A． 2b l 2(a b) B． 2a l 2b C． a l a b D． a l 2a b
【例21】 a 、 b 、 c 为三角形的三边长，化简 a b c b c a c a b ，若此三角形周长为11， 求上面式子的值．
【例22】下列长度的线段能否组成三角形： a2 3 、 a2 4 、 a2 7 ( a 0 )；
【例10】一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5 ，则它的周长为( )
A．7
B．9
C．12
D．9 或 12
【例11】两根木棒的长分别是 7 cm 和 10 cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根 木棒的长是 acm ，则 a 的取值范围是___________．
【例12】已知三角形的三边长分别为 4 、 5 、 x ，则 x 不可能是( )
【例18】有三条线段，其中两条线段的长为 3 和 5 ，第三条线段的长为 x ，若这三条线段不能构成三角
形，则 x 的取值范围是
．
【例19】 不等边三角形中，如果一条边长等于另两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上
的高的比值 k 的取值范围是
．
【例20】已知 ABC 有两边长为 a 、 b ，其中 a b ，则其周长 l 一定满足(
注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之 和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．
同步练习
【例1】 如图所示，∠BAC 的对边是（ ）
A
A、BD C、BC
B、DC D、AD
C
B
D
【例2】 三角形的周长小于 13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（ ） A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个
⑴三角形中的三种重要线段 ①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线
段叫做三角形的角平分线． 注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角 形内部． ②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形 内部． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高 线． 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部； 钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立． 画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．
【例23】下列长度的线段能否组成三角形： 3a 、 4a 、 2a 1( a 1 )； 5
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【巩固1】 下列线段能组成三角形的是( A． a 1， a 2 ， a 3 C． a ， a ， a2 1
) B． a ， a ， a 1 D． 1 ， 1 ， 2 a 2a 3a
【例24】 周长为整数的三角形三边长分别为
注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．
三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角 形或钝角三角形)．
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三角形三边关系： ①三角形任何两边的和大于第三边．
②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即 a 、 b 、 c 三条线段可组成三 角形 b c a b c 两条较小的线段之和大于最大的线段．
【习题6】 已知，如图， P,Q 为三角形 ABC 内两点， B, P,Q,C 构成凸四边形，求证： AB AC BP PQ QC ．
A
Q P
B
C
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知识讲解
三角形的分类：
直角三角形:三角形中有一个角是直角
三角形(按角分)
斜三角形
锐角三角形:三角形中三个角都是锐角 钝角三角形:三角形中有一个角是钝角
不等边三角形:三边都不相等的三角形
三角腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形 等边三角形(正三角形):有三边相等的三角形
A． 2 、 3 、 4
B． 1 、 1 、 1 234
)． C． a2 1 、 2a2 1 、 3a2 1
D． 52 、123 、133
【例9】 下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A．1 cm ，2 cm ，5 cm B．4 cm ，5 cm ，9 cm C．5 cm ，8 cm ，15 cm D．6 cm ，8 cm ，9 cm
A、0＜x＜3 C、3＜x＜6
B、x＞3 D、x＞6
【习题2】 在下列长度的线段中，能组成三角形的是( )．
A． 2 ， 2 ， 4
B． 2 ， 3 ， 5
C． 2 ， 3 ， 6
D． 4 ， 4 ， 7
【习题3】 如图，为估计池塘岸边 A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点 O ，测得 OA 15 米，
A
P
B
C
【例27】如图，在三角形 ABC 中， AB AC BC ，为三角形内任意一点，连结 AP ，并延长交 BC 于 点 D ．求证： （1） AB AC AD BC ； （2） AB AC AP BP CP ．
A
A
P
E
P F
B
D CB
DC
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课后练习
【习题1】 如图，△ABC 中，已知 AB=AC=x，BC=6，则腰长 x 的取值范围是（ ）
OB 10 米， A 、 B 间的距离不可能是( )
A．5 米 B．10 米
C． 15 米 D．20 米
【习题4】 已知三角形的两边长分别为 3cm 和 8cm ，则此三角形的第三边的长可能是( )
A． 4cm
B． 5cm C． 6cm
D．13cm
【习题5】 现有长度分别为 2cm ， 3cm ， 4cm ， 5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数 为．
2
2
2
【例14】已知三角形两边长为 2cm 和 7cm ，求它的周长的取值范围．
【例15】一个三角形三边长分别为 8 ，10 ， x ，则 x 的取值范围是
．
【例16】一个三角形三边长分别为 6 ， 7 ， x ，则三角形的周长 l 的范围是
．
【例17】已知三角形中两边长为 2 和 7， （1）若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为_________． （2）若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为_________．
B、15m D、28m
【例6】 如图所示，第 1 个图中有 1 个三角形，第 2 个图中共有 5 个三角形，第 3 个图中共有 9 个三 角形，依次类推，则第 6 个图中共有三角形 _________ 个．
【例7】 已知三角形的两边为 8 、10 ，求第三边的范围，求周长的范围．
【例8】 下列不能构成三角形三边长的数组是(
A． 3
B． 5
C． 7
D． 9
【例13】 判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例． 已知 ABC 的三边分别为 x ， y ， z ． （1）以 x2 ， y2 ， z2 为三边的三角形一定存在．
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（2）以 1 (x y) ， 1 ( y z) ， 1 (z x) 为三边的三角形一定存在．
3
、
4
、
x
，且
x
满足不等式
x 1 3x
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，这样的三角形有
个．
【巩固2】 将三边长为 a ，b ，c 的三角形记作 a ，b ，c ．写出周长为 20，各边长为正整数的所有不同
的三角形．
【例25】 用 7 根火柴棒首尾顺序连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为
．
【例26】如图， P 为 △ABC 内一点，试说明 PA PB PC 1 (AB BC AC) ． 2
【例3】 为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这 四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输 电线路的最短总长度应该是（ ）
电厂
D
84 5A
11
6 8
5.5
6.5 C
9 7
B
A、19.5 C、21.5
B、20.5 D、25.5