三角形的有关概念及三边关系
三角形的三边长度关系
三角形的三边长度关系一、什么是三角形的三边长度关系三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个角组成。
三角形的三边长度之间存在一定的关系，这个关系可通过不等式来描述。
在本文中，我们将探讨三角形三边长度关系的原理和性质，并给出相关的数学证明和例子。
二、三边长度关系的基本定理在三角形中，三条边的长度分别为a、b、c，根据三条边的关系，可以得到以下的三个定理。
1. 任意两边之和大于第三边三角形的基本性质之一是，任意两边之和大于第三边。
即对于三角形ABC来说，有以下的关系式成立：a +b > cb +c > aa + c > b这个定理可以直观地理解为，在一个平面上，无法通过两条较短的线段连接起来构成一条较长的线段。
2. 两边之差小于第三边三角形的第二个定理是，两边之差小于第三边。
即对于三角形ABC来说，有以下的关系式成立：a -b | < cb -c | < aa - c | < b这个定理可以通过反证法来证明。
假设存在一个三角形ABC，使得|a - b| >= c，那么可以推出a >= b + c，与第一个定理矛盾，所以这个不等式成立。
3. 两边之和大于第三边的充要条件三角形的第三个定理是，两边之和大于第三边是构成三角形的充要条件。
即对于三角形ABC来说，有以下的关系式成立：a +b >c 且 b + c > a 且 a + c > b证明：假设存在一个三角形ABC，使得a + b > c 且 b + c > a 且 a + c > b不成立。
不失一般性，我们假设a + b <= c。
由于a和b的长度是正数，所以这个不等式不成立。
因此，两边之和大于第三边是构成三角形的必要条件。
三、三边长度关系的数学证明下面我们给出三边长度关系的数学证明，以深入理解这个定理的原理。
1. 任意两边之和大于第三边的证明假设有一个三角形ABC，其中三边分别为a、b、c。
三角型的三边关系
三角型的三边关系三角形是平面几何中最基本的图形之一，由三条线段组成。
在三角形中，三边之间存在着一些重要的关系，这些关系对于解决各种几何问题都非常重要。
下面将详细介绍三角形的三边关系。
一、基本概念1. 三角形的定义在平面直角坐标系中，如果有三个不共线的点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则以这三个点为顶点所组成的图形称为三角形ABC。
2. 三边在一个三角形ABC中，AB、BC和AC分别称为这个三角形的“边”，而A、B和C则分别称为这个三角形的“顶点”。
3. 顶点连线在一个三角形ABC中，连接两个不相邻顶点所得到的线段称为这个三角形的“对角线”。
二、直角三角形1. 定义如果一个三角形有一个内角等于90度，则这个三角形就是直角三角形。
2. 特征直角三角形有以下特征：（1）直角所对应的边称为斜边，而另外两条边则分别称为直角腿；（2）斜边是直接连接两个不相邻顶点的线段；（3）直角腿的长度可以通过勾股定理求出，即c²=a²+b²。
三、等腰三角形1. 定义如果一个三角形有两条边相等，则这个三角形就是等腰三角形。
2. 特征等腰三角形有以下特征：（1）等腰三角形的两个等边所对应的内角相等；（2）等腰三角形的第三条边称为底边，底边所对应的内角称为底角；（3）等腰三角形的高是从底边上某一点到另一条边上垂直引出的线段，高所在的直线称为高线。
四、等边三角形1. 定义如果一个三角形的所有边都相等，则这个三角形就是等边三角形。
2. 特征等边三角形有以下特征：（1）等边三角形的每个内角都是60度；（2）等边三角形中任意两个顶点之间都存在一条相同长度的弧；（3）等边三角形中任意两个顶点之间都存在一条相同长度的弦。
五、不规则三角形1. 定义如果一个三角形的三条边长度都不相等，则这个三角形就是不规则三角形。
2. 特征不规则三角形有以下特征：（1）不规则三角形的内角和等于180度；（2）不规则三角形中任意两个顶点之间都存在一条弧，但这条弧的长度可能不同；（3）不规则三角形中任意两个顶点之间都存在一条弦，但这条弦的长度可能不同。
初中数学第1课时 三角形的有关概念及三边关系
第2章三角形2.1 三角形第1课时三角形的有关概念及三边关系要点感知1 不在同一直线上的三条线段所构成的图形叫作三角形.预习练习1-1 如图所示的三角形记作，这个三角形的边是线段.三角形的顶点是点.三角形的角是.要点感知2 有相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作角，腰和底边的夹角叫作角.三边都相等的三角形叫作三角形.预习练习2-1 等腰三角形的腰长为4 cm，底边长为7 cm，则它的周长等于.要点感知3 三角形的任意两边之和第三边.预习练习3-1 (2013·宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( ) A.1，2，6 B.2，2，4 C.1，2，3 D.2，3，4知识点1 三角形的有关概念1.如图是小明用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是( )2.图中共有三角形的个数是( )A.4个B.5个C.6个D.7个3.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.知识点2 等腰三角形与等边三角形4.一个等边三角形的周长为6 cm，则其边长为cm.5.如果a+2与3为等边三角形的两边长，那么a的值为.6.等腰△ABC的周长为20 cm，底边AC=4 cm，求腰长.知识点3 三角形的三边关系7.(2013·温州)下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )A.1，2，4B.4，5，9C.4，6，8D.5，5，118.(2013·长沙)如果一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边可能是( )A.2B.4C.6D.89.(2013·淮安)若等腰三角形有两条边的长分别是3和1，则此等腰三角形的周长是( )A.5B.7C.5或7D.610.判断下列各组线段是否能组成三角形.(1)a=2 cm，b=5 cm，c=8 cm；(2)a=3 cm，b=3 cm，c=6 cm；(3)a=3 cm，b=4 cm，c=4 cm.11.如图所示，内角中含有∠B的三角形的个数共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个12.(2013·毕节改编)已知等腰三角形一边长为5，另一边长为8，刚这个等腰三角形的周长为( )A.18B.21或18C.21D.1313.(2013·南通)有3 cm，6 cm，8 cm，9 cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.414.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( )A.2B.3C.5D.1315.一个三角形的两边长分别为2厘米和9厘米，第三边的长是一个奇数，则此三角形是等腰三角形.(填“一定”“可能”或“不可能”)16.已知三角形的三边分别为a，b，c，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，则三角形的形状是.17.(1)如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中共有个三角形；(2)如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中共有个三角形；(3)如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有个三角形.18.若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|.19.用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形，其中有一边为4 cm，试求另两边的长.。
三角形的相关概念及三边关系
三角形的相关概念及三边关系三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条线段组成，每两条线段的交点称为顶点。
三角形有许多重要的概念和性质，其中最为关键的是三边关系。
本文将介绍三角形的相关概念，并探讨三边关系的性质和应用。
一、三角形的相关概念1. 三角形的分类根据三条边的长度关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三边长度相等，等腰三角形的两边长度相等，普通三角形的三边长度各不相等。
2. 三角形的内角和外角三角形的内角是指三个顶点所对应的角，分别用A、B、C表示。
三角形的外角是指在顶点所在直线延长线上的补角，分别用α、β、γ表示。
3. 三角形的内角和外角之和三角形的内角之和为180度，即A + B + C = 180度。
三角形的外角之和也为180度，即α + β + γ = 180度。
4. 三角形的高和中线三角形的高是指从顶点所在直线到底边的垂直线段，分别记为h1、h2、h3。
三角形的中线是连接顶点和底边中点的线段，分别记为m1、m2、m3。
二、三角形的三边关系1. 三角形的边长关系三角形的任意两边之和大于第三边，即a + b > c，b + c > a，c + a > b。
这是三角形存在的必要条件。
2. 三角形的等边关系等边三角形的三边长度相等，即a = b = c。
等边三角形的三个内角也相等，都为60度。
3. 三角形的等腰关系等腰三角形的两边长度相等，即a = b 或 b = c 或 c = a。
等腰三角形的两个内角也相等，分别为A = B 或 B = C 或 C = A。
3. 三角形的直角关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度。
直角三角形的斜边长度等于两直角边长度的平方和的平方根。
4. 三角形的相似关系如果两个三角形的对应角相等，那么它们称为相似三角形。
相似三角形的对应边之间存在着等比关系。
三、三角形的应用1. 三角形的面积计算三角形的面积可以通过三角形的底边长度和高来计算，面积等于底边乘以高再除以2。
三角形地三边关系
一、三角形的有关概念 1、定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形注意三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
2、有关概念及其表示方法如图所示 线段AB ，BC ，CA 是三角形的边。
点A,B,C 是三角形的顶点。
C B A ∠∠∠,,是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
即：组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
顶点是A,B,C 的三角形，记作△ABC 。
读作“三角形ABC ”。
△ABC 的三边，有时也用a,b,c 来表示。
如图所示。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.。
① 三角形的分类我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
直角三角形两个锐角互余。
斜三角形2、按边分类。
三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。
即底边和腰相等的等腰三角形。
按边分类: 不等边三角形等腰三角形三、三角形的三边关系对任意一个△ABC ，如果把其中任意两个顶点（例如B ，C ）看成定点，由“两点的所有连线中，线段最短“可得AB+AC ＞BC ① 同理有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③由式子①②③我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边. 注释：（1）三边关系的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了三角形边得限制关系。
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形。
三角形三边关系
三角形三边关系三角形是几何图形中最基本也是最重要的图形之一。
三角形的三边关系是三角形性质的基石，掌握好这一基本概念对于理解其他几何概念非常重要。
本文将详细介绍三角形三边关系及其应用。
一、三角形三边关系的定义三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形。
根据三角形的定义，我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这种性质通常被称为“三角形三边关系”。
二、三角形三边关系的证明证明三角形三边关系有多种方法，其中最经典的是利用“反证法”。
假设三角形三边a、b、c满足a<b+c，我们来证明这与假设矛盾。
假设反面成立，即a≥b+c，那么b+c≥a+c，即b≥a+c-c=a，这与题目中a>b矛盾。
因此，我们的假设是错误的，所以三角形三边关系成立。
三、三角形三边关系的几何应用三角形三边关系在几何学中有着广泛的应用。
例如，它可以用来判断三条线段能否组成一个三角形，或者比较两条线段的长度大小。
它还可以用于解决一些与三角形有关的实际问题，如测量不可直接测量的距离或高度等。
四、总结三角形三边关系是几何学中的一个基本概念，它反映了三角形中任意两边之和与第三边的关系。
这一性质不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在解决实际问题时也具有重要意义。
掌握好三角形三边关系对于理解其他几何概念也是非常有帮助的。
三角形三边的关系在几何学中，三角形是一种基本的图形，其三边之间的关系是构成三角形的核心要素。
本文将探讨三角形三边的关系，以及其在实际生活中的应用。
一、三角形三边的关系三角形三边的关系可以用以下三个基本定理来描述：1、三角形两边之和大于第三边。
这意味着，任意两边之和必须大于第三边，否则不能构成三角形。
2、三角形两边之差小于第三边。
这意味着，任意两边之差必须小于第三边，否则也不能构成三角形。
3、三角形的任意两边之和大于第三边，同时任意两边之差小于第三边。
这个定理实际上是前两个定理的组合。
三角形的边角关系.
三角形的三边关系1．三角形的概念不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．①三角形有三条边，三个内角，三个顶点.②组成三角形的线段叫做三角形的边;③相邻两边所组成的角叫做三角形的内角简称角;④相邻两边的公共端点是三角形的顶点，⑤三角形ABC 用符号表示为△ ABC ，⑥三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C的小写字母 c 表示，AC 可用b表示，BC 可用 a 表示.1:三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接2:三角形是一个封闭的图形；3:△ ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义例例 1 图中三角形的个数是( )A．8 B．9 C．10 D．112．三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形的任意两边之差小于第三边.1：三边关系的依据是：两点之间线段是短2:判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形; 若不满足，则不能构成三角形.3:三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和例1 ：已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是( )A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10例2：下列各组条件中，不能组成三角形的是( )A. a+1、a+2、a+3 (a>3)B. 3cm、8cm、10 cmC. 三条线段之比为1:2:3D. 3a、5a、2a+1 (a>1)例3．△ ABC的三边长分别为4、9、x,⑴ 求x 的取值范围；⑵ 求△ ABC 周长的取值范围；⑶ 当x 为偶数时，求x ；⑷ 当△ ABC 的周长为偶数时，求x ；⑸ 若△ ABC 为等腰三角形，求x ．课堂练习1．已知长度为2cm,3cm,4cm,5cm 的四条线段，能组成多少个不等边三角形？2．已知等腰三角形的周长是14 cm ，底边与腰的比为 3 : 2 ，求各边的长.3．在ABC中，AB 9,BC 2，并且AC 为奇数，那么ABC的周长是多少？4．如图， D 是ABC内任意一点，BD 延长线与AC 交于 E 点，连结DC.求证：AB AC BD DC .3．三角形的高、中线、角平分线(1 ) 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部。
数学《三角形三边之间的关系》
• 详细描述：在数学中，三角形三边关系定理常用于解决与三角形相关的问题，如三角形分类、三角形全等的判定等。在 实际生活中，三角形三边关系定理可用于解决各种实际问题，如建筑学中的结构设计、地理学中的地貌分析等。例如， 在建筑学中，工程师可以利用三角形三边关系定理来验证结构的稳定性和安全性。在地理学中，地貌分析师可以利用三 角形三边关系定理来分析地形的特征和形成过程。此外，三角形三边关系定理还可以用于数学竞赛和智力游戏等领域， 如几何证明题、数论问题和最优化问题等。
周长公式
周长 = 边长1 + 边长2 + 边长3。
边长确定
边长的确定依赖于三角形 的类型和已知条件。
面积与周长的关系
无直接关系
面积和周长是两个不同的数学量，它 们之间没有直接的关系，不能通过一 个推导出另一个。
相关因素
在某些特定条件下，如等腰三角形或 直角三角形，可以通过特定的数学关 系将面积和周长联系起来，但这并不 适用于所有三角形。
要点二
等腰三角形两边相等
等腰三角形有两边长度相等，这两边对应的角也相等。
三角形中的不等式的应用
判断能否构成三角形
利用三角形的基本不等式，可以判断 给定的三条线段能否构成一个三角形 。
确定三角形的形状
利用特殊不等式，可以确定三角形的 形状，如直角三角形、等腰三角形等 。
04
三角形的面积与周长
三角形的面积计算
三角形的分类
总结词
三角形可以根据其特性进行分类。
详细描述
根据三角形的角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。锐角三角形的所有角都小于90 度，直角三角形有一个90度的角，钝角三角形有一个角大于90度。此外，三角形还可以根据边的长度关系进行分 类，如等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。
三角形三边关系讲义
中考要求内容 基本要求略高要求较高要求 三角形 了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形进行分类：理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、外心、重心会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题；能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题板块一 与三角形有关的边与三角形相关的边⑴三角形中的三种重要线段①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部． ②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． ⑵三角形三条边的关系①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即a 、b 、c 三条线段可组成三角形⇔b c a b c -<<+⇔两条较小的线段之和大于最大的线段． 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．【例1】 下列线能否组成三角形．A ．123，，B ．234，，C ．222345，， D ．222123(0)a a a a +++≠，，【巩固】在下列长度的线段中，能组成三角形的是( )．A ．2，2，4B ．2，3，5C ．2，3，6D ．4，4，7【巩固】下列不能构成三角形三边长的数组是( )．例题精讲三角形的三边关系A ．2-、3-、4-B ．12、13、14C ．21a +、221a +、231a +D ．25、312、313【例2】 如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15OA =米，10OB =米，A 、B 间的距离不可能是( ) A ．5米 B ．10米 C ． 15米 D ．20米【巩固】已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是( )A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm【巩固】 已知三角形三边长分别为2，1x +，3，则x 的取值范围是( )A ．34x <<B ．0x <<4C ．26x <<D ．34x ≤<【巩固】若三角形的三边长为3，4，x ，则偶数x 的值有 ．【巩固】已知三角形的三边长分别为4、5、x ，则x 不可能是( )A ．3B ．5C ．7D ．9【巩固】如果线段a ，b ，c 能组成一个三角形，那么它们的长度的比可以是( )A ．112::B ．252-::C ．200820092010::D ．484::【例3】 已知三角形两边长为2cm 和7cm ，求它的周长的取值范围．【巩固】已知三角形中两条边的长分别为a 、b ，且a b >，求这个三角形的周长l 的取值范围( )A ．33a l b >>B ．2()2a b l a +>>C ．22a b l b a +>>+D ．32a b l a b ->>+【例4】 （1）一个三角形三边长分别为6，7，x ，则三角形的周长l 的范围是 ．（2）已知ABC ∆有两边长为a 、b ，其中a b <，则其周长l 一定满足( )． A ．22()b l a b <<+ B ．22a l b << C ．a l a b <<+ D ．2a l a b <<+【例5】 已知三角形中两边长为2和7，（1）若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为_________． （2）若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为_________．【例6】 （1）有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x ，若这三条线段不能构成三角形，则x 的取值范围是 ．（2）已知三角形三边长分别为2，1x -，3，则x 的取值范围是 ．（3）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997，则三角形的第三边是 ．【巩固】一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( )A ．7B ．9C ．12D ．9或12【巩固】已知三角形的两边为8、10，求第三边的范围，求周长的范围．【例7】 判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例．已知ABC ∆的三边分别为x ，y ，z ．（1）以2x ，2y ，2z 为三边的三角形一定存在．（2）以1()2x y +，1()2y z +，1()2z x +为三边的三角形一定存在．【巩固】判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例．已知ABC ∆的三边分别为x ，y ，z ．⑴ 以1x 、1y 、1z为三边的三角形一定存在．⑵ 以1x y -+、1y z -+、1z x -+为三边的三角形一定存在．【例8】 如图，四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，9CD =，AD a =，则a 的取值范围a934ABCD【例9】 不等边三角形中，如果一条边长等于另两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是 ．【巩固】在不等边三角形中，如果有一条边长等于另两条边长的平均值，那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )A ．314k <<B ． 113k <<C ． 12k <<D ． 112k <<【巩固】不等边三角形ABC 的两条高长度为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．【例10】a、b、c为三角形的三边长，化简a b c b c a c a b--+--+--，若此三角形周长为11，求上面式子的值．【巩固】a、b、c为三角形的三边长，化简a b c a b c a b c a b c++-----+-+-【例11】已知在ABC∆中，8AB=，14BC=，求BC边上的中线AD的取值范围．【例12】下列长度的线段能否组成三角形：23a+、24a+、27a+(0a≠)；【例13】下列长度的线段能否组成三角形：3a、4a、21a+(15 a>)；【巩固】下列线段能组成三角形的是( )A．1a+，2a+，3a+B．a，a，1a+C．a，a，21a+D．1a，12a，23a【巩固】下列长度的线段能否组成三角形：23a+、24a+、27a+(0a≠)；【巩固】下列长度的线段能否组成三角形：3a、4a、5a(0a>)；【巩固】长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任意取三根，能组成多少个三角形？【例14】已知三角形的三边长a、b、c都是整数，且a b c<<，如果7b=，求满足题意的三角形的个数．【巩固】 已知三角形三边的长a 、b 、c 都是整数，且a b c <≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．【巩固】 已知三角形三边的长a 、b 、c 都是整数，若a b c ≤≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．【例15】 周长为整数的三角形三边长分别为3、4、x ，且x 满足不等式12327x x ->⎧⎨<⎩，这样的三角形有 个．【例16】 周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？【巩固】 将三边长为a ，b ，c 的三角形记作()a b c ，，．写出周长为20，各边长为正整数的所有不同的三角形．【例17】 一个三角形的三条边的长分别是a ，b ，c (a ，b ，c 都是质数)，且16a b c ++=，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．直角三角形或等腰三角形【例18】 设m 、n 、p 均为自然数，足m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长的三角形有多少个?【例19】 若三角形的周长为60，求最大边的范围．【巩固】 已知ABC ∆的周长是12，求最大的边的范围．【例20】 设ABC ∆的三边a 、b 、c 的长度均为自然数，且a b c ≤≤，13a b c ++=，则以a 、b 、c 为三边的三角形共有 个．【巩固】 设m 、n 、p 均为自然数，且m n p ≤≤，11m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长的三角形有多少个?【巩固】 若三角形三边长a 、b 、c 是三个连续的自然数，三角形的周长小于19，这样三角形有 个．【例21】 用7根火柴棒首尾顺序连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为 ．【巩固】现有长度分别为2cm ，3cm ，4cm ，5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为 ．【例22】 在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示：222221111等边三角形等腰三角形等边三角形653形状示意图火柴数① 4根火柴能搭成三角形吗？② 8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？【例23】 将长度为2n (n 为自然数且4n ≥)的一根铅丝折成各边长均为整数的三角形，记(,,)a b c 为三边的长分别为a ，b ，c 且满足a b c ≤≤的一个三角形．（1）就4n =、5、6的情况，分别写出所有满足题意的(,,)a b c ；（2）有人根据⑴中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n (n 为自然数且4n ≥)时，对应的(,,)a b c 的个数一定是3n -．事实上，这是一个不正确的猜想；请写出12n =时的所有(,,)a b c ，并回答(,,)a b c 的个数；（3）试将12n =时所有满足题意的(,,)a b c ，按照至少两种不同的标准进行分类．【例24】 如图，P 是ABC ∆内任意一点，求证：（1）PB PC AB AC +<+； （2）P A ∠>∠PCBA【巩固】已知，如图，P Q ，为三角形ABC 内两点，B P Q C ，，，构成凸四边形，求证：AB AC BP PQ QC +>++． QPCBA【巩固】如图，在ABC ∆中取一点P ，使CP CB =，求证：AB AP >．PCB A【例25】 如图，P 为ABC △内一点，试说明1()2PA PB PC AB BC AC ++>++．ABC P【巩固】如图，在三角形ABC 中，AB AC BC >>，为三角形内任意一点，连结AP ，并延长交BC 于点D ．求证：（1）AB AC AD BC +>+； （2）AB AC AP BP CP +>++．PAB CD【巩固】如图所示，在ABC ∆中，AD BC ⊥，D 在BC 上，ABC ∠>ACB ∠，P 是AD 上的任意一点，求证AC BP AB PC +<+．A BC D P【例26】 点1C 、1A 、1B 分别在ABC ∆的边AB 、BC 和CA 上，且满足11111113AC C B BA AC CB B A ==::=::，求证：ABC ∆的周长p 与111A B C ∆的周长'p 之间有不等式1'2p p <．A 1AB 1BC 1C1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A ．1cm ，2cm ，5cmB ．4cm ，5cm ，9cmC ．5cm ，8cm ，15cmD ．6cm ，8cm ，9cm 2.已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为( )．A ．8B ．7C ．6D ．43. 两根木棒的长分别是7cm 和10cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是cm a ，则a 的取值范围是___________．4. 一个三角形三边长分别为8，10，x ，则x 的取值范围是 ．5.一个三角形的周长为偶数，其中的两条边长分别为4和2003，则满足上述条件的三角形的个数为( )A ．1个B ．3个C ．5个D ．7个6. 有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x ，若这三条线段不能构成三角形，则x 的取值范围是 ．7. 已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中三条构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形个数是 ．8.将长为15dm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有多少种．课后作业。
三角形三边关系完整版
在建筑、桥梁、机械等领域中，经常利用三角形的稳定性来增强结构的稳定性和 承重能力。例如，在建筑中，常常将钢架结构或桁架结构设计成三角形形状，以 提高其稳定性和承载能力。
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三角形三边关系定理
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三角形两边之和大于第三边
任意两边之和大于第三边
在三角形中，任意两边长度之和必然大于第三边的长度。这 是三角形存在的基本条件之一。
应用举例
在证明两个三角形全等时，如果已知两边及夹角相等，可以直接应用SAS全等条件进行证明。
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ASA和AAS全等条件介绍
ASA全等条件
两角和它们的夹边对应相等的两 个三角形全等。
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AAS全等条件
两角和一角的对边对应相等的两个 三角形全等。
应用举例
在证明两个三角形全等时，如果已 知两角及夹边相等或两角及一角的 对边相等，可以分别应用ASA或 AAS全等条件进行证明。
注意事项
在构造相似三角形时，需要确保 对应角相等或对应边成比例。
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典型例题解析与拓展 延伸
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基础题型解析与技巧指导
已知两边求第三边
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三 边的性质，通过代数运算求解第三边的取值范围。
已知三边判断形状
通过比较三边长度，判断三角形形状（等边、等腰或 一般三角形），并理解各种形状三角形的性质。
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SSS相似条件
如果两个三角形三组对应 边成比例，则这两个三角 形相似。
探讨
SAS和SSS相似条件在实际 应用中相对较少，但仍然 具有一定的理论价值。
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? (2）有人说CD是△ACD和
△BCD的公共的边，对吗?AD是
△ACD和△ABD的公共边，对吗?
C
D
B ? (3)∠BDC是△BCD的什么角?
例 图中以BC为边的三角形共有__4____个；
它们分别
_△__B_C_F_;__△___B_C_E_;__△___B_C_D_;__△___B_C_A_ ．
3、学会用数学知识进行说理．
6.外角
∠ACD
∠BCE
三角形外角的定义：三角形内角的一边与另一边 的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。
请画出△ABC的所有外角．
A
1
B
C
D
2 E
1 . 4 所有外角
5.
.2
3
6
例：下图中有几个三角形 ?并把它们表示出来
指出△ADC的三个内角、三条边
A
提问 ? （1）∠ADC能写成∠D
吗?∠ACD能写成∠C吗?为什么?
等边三角形
等腰三角形中，相等的边叫腰，另 一边叫底，两腰的夹角叫做顶角， 腰和底边的夹角叫做底角。
顶 腰角
等腰三角形和等边三角形为特殊的三角形
腰
底角 底角 底
以AB为边的三角形有哪些？ A
D
△ABC、△ABE
E
以E为顶点的三角形有哪些？
△ ABE 、△BCE 、 △CDE
B
C
说出其中ΔBCD的三个角？
∠BCD 、 ∠CBD 、∠D
五.知识巩固
? 三角形的概念，一个三角形有三个顶 点，三条边，三个内角，六个外角， 和三角形一个内角相邻的外角有2个， 它们是对顶角，若一个顶点只取一个 外角，那么只有3个外角。
六.课堂总结
1、本节通过贴近我们生活的图片出发， 体验了三角形知识的产生过程； 2.掌握了三角形的基本要素及其表示法；
2.1 三角形
第1课时 三角形的有关概念 及三边关系
学习目标
1. 通过作三角形(已知三条线段)的过程中，发现“三 角形任何两边之和大于第三边”．并会利用这个不 等量关系判断不知的三条线段能否组成三角形以及 已知三角形的二边会求第三边的取值范围。
2．会利用三角形的稳定性解决一些实际问题。
一.三角形的定义
在△ABD中,∠A是___B_D___边的对角, ∠ADB是
△_A_B_D__的内角,又是_△___F_DC__或__△__B_D_C___的一
个外角．
A
E
D
F
B
C
三.三角形的分类
直角三角形
按角分
锐角三角形
斜三角形 钝角三角形
不等边三角形（不规形 等腰三角形
定义：不在同一条直线上的三条线段首 尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
×
×
×
×
×
√
二.三角形的相关概念
1、顶点： 用一个大写字母表示如A、B、C
2、边：边AB，边BC，边AC
A
3、角（内角）： 相邻两边 的夹角 ∠A，∠B，∠C
4、三角形记作：△ABC
B
5、对角：BC边的对角是∠A
C
对边：∠C的对边是BA