1.1变化率与导数-教学设计-教案

1.1变化率与导数-教学设计-教案

I教学准备

1.教学目标

(1)理解平均变化率的概念

(2)了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念•

(3)理解导数的概念

(4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率•

2.教学重点/难点

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解

教学难点：会求简单函数y = f (x )在x = x0 处的导数

3.教学用具

多媒体、板书

4.标签

教学过程

一、创设情景、弓I入课题

【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果------------------------- 微积分的产生。

【板演/PPT】

【师】人们发现在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t （单位：秒）存在函数关系

h（t）=-4.9t 2+6.5t+10.

如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

【板演/PPT】

让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

【设计意图】自然进入课题内容。

二、新知探究

[1]变化率问题

【合作探究】

探究1气球膨胀率

【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢•从数学角度，如何描述这种现象呢？

气球的体积V（单位:L）与半径r（单位:dm）之间的函数关系是■

如果将半径r表示为体积V的函数，那么

【板演/PPT】

【活动】

【分析】仍=瞪

当V从0增加到1时，气球半径增加了

XT.9AT—13.1

气球的平均膨胀率为芝严^0.62（亦2）

（1）当V从1增加到2时，气球半径增加了

气球的平均膨胀率为号护如°

0.62>0.16

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.

【思考】当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？

r（V

）-r（V）

：

解析：

探究2高台跳水

【师】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t （单位：秒）存在函数关系h（t）=-4.9t 2+6.5t+10.

如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描

述其运动状态？

（请计算）

f •沖U二二-时®屮环朿度

【生】学生举手回答

【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性, 迫切想知道解决问题的方法。

【师】解析：h(t)=-4.9t

在时阿昱

【设计意图】两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服

=-8J2(M I S)

【板演/PPT】

拭纣一*⑴

务。

探究3计算运动员在。兰“宁这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：轨鑰=拭0)=10 »=孚=0

(1)运动员在这段时间里是静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

【板演/PPT】

【生】学生举手回答

【师】在高台跳水运动中，平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.

【活动】师生共同归纳出结论

平均变化率：

上述两个问题中的函数关系用y = f (x)表示, 那么问题中的变化率可用式子心)-心表示.

可—旳

我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.

习惯上用△ x=%x1, △ y=f(%f(x1)

这里Ax看作是对于x1的一个增量”可用x1+Ax 代替x2

同样△ y=f(x)-f(x)，于是，平均变化率可以表示为：

【几何意义】观察函数f (x)的图象，平均变化率驚先护的几何意义是什么？

【提示】：直线AB的斜率

【生】学生结合图象思考问题【设计意图】问题的目的是：

①让学生加深对平均变化率的理解；

②为下节课学习导数的几何意义作辅垫；

③③培养学生数形结合的能力。

[2]导数的概念

探究1何为瞬时速度

【板演/PPT】

在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度•

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势•

【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢？

ft（f）= _4.9f3 +6.5r + 10

求：从2s到（2+4）s这段时间内平均速度

解：

v =—

探究2当△趋近于0时,平均速度有什么变化趋势？

从2s到（2+凸:方这段时间内平均速度

当厶t 趋近于0时,即无论t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋 近与一个确定的值 -

3.1.

从物理的角度看,时间间隔|无限变小时, 平均速度就无限趋近于t = 2时的瞬时速度.因 此,运动员在t = 2时的瞬时速度是 -3.1 m/s.

表示 当t =2, △趋近于0时,平均速度 趋近

于确定值T3.1 ”.

【瞬时速度】

表示当t=2, △趋近于0时，平均速度趋于确 定值-

13.1 ”.

局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速 度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡 到瞬时速度的精确值。那么，运动员在某一时 刻的瞬时速度？

为了表述方便，我们用

血吃+凶）-也）=g z Af

我们用

/i(2+2V)-；:(2)

Af

= -13.1