2014-2015学年浙江省衢州二中高二(上)数学期中试卷带解析答案

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浙江省衢州第二中学2014届高三上学期期中考试数学(文)试题(有答案)

衢州二中二〇一四学年度第一学期高三期中考试数学（文）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若全集U ＝{－1，0，1，2}，P ＝{2|2x Z x ∈< }，则集合P 关于全集U 的补集是A {2}B {0，2}C {－1，2}D {－1，0，2}2．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则=++852a a a A 26 B 27 C 28 D 293． “2πϕ=” 是 “函数(x)sin(x )f ϕ=+为偶函数” 的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4. βα，是两个不同的平面，则下列命题中错误．．的是 A 若α∥β，则α内一定存在直线平行于βB 若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βC 若α∥β，则α内一定存在直线垂直于βD 若α⊥β，则α内一定存在直线垂直于β5．设12log 3a =，0.313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln c π=，则 A a c b << B a b c << C c a b << D b a c <<6．已知,a b 为单位向量，且夹角为23π，则向量2a b +与a 的夹角大小是 A 23π B 2π C 3π D 6π 7．关于函数x x x f ln 2)(+-= ，下列说法正确的是A 无零点B 有且仅有一个零点C 有两个零点21,x x ，且0)1)(1(21>--x xD 有两个零点21,x x ，且0)1)(1(21<--x x8．在△ABC 中，a,b,c 分别为角A 、B 、C 的对边且cos ,cos 2B b C a c =-+则角B 的大小为 A 4π B 6π C 3π D 23π 9．记(P)f 为双曲线 22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)上一点P 到它的两条渐近线的距离之和；当P 在双曲线上移动时，总有(P)f ≥b ．则双曲线的离心率的取值范围是A 5(1,]4B 5(1,]3C (0,2] D10．函数x x x x f sin 31)(3-+=的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且 12320140a a a a ++++<，记=m 1232014()()()()f a f a f a f a ++++.关于实数m ，下列说法正确的是A m 恒为负数B m 恒为正数C 当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数D 当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

2014-2015学年浙江省衢州一中高二上学期期中数学试卷与解析(文科)

2014-2015学年浙江省衢州一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知空间两点P1（﹣1，3，2），P2（2，4，﹣1），则|P1P2|=（）A． B． C． D．2．（5分）下列几何体的三视图是一样的为（）A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球3．（5分）下列函数在定义域内为增函数且是奇函数的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x3C．f（x）=2x2+1 D．f（x）=2x+14．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．平面α内所有的直线都与a异面B．平面α内不存在与a平行的直线C．平面a内所有的直线都与α相交D．直线α与平面α有公共点5．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1﹣=1，则a6﹣a5的值为（）A．0 B．1 C．D．6．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（）A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条7．（5分）已知AO为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，直线OC在平面α内，且∠AOB=∠BOC=45°，则∠AOC的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）将一个真命题中的“n个平面”换成“n条直线”、“n条直线”换成“n个平面”，若所得到的新命题仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，下列四个命题①垂直于同一个平面的两条直线平行；②垂直于同一个平面的两个平面平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一个平面的两条直线平行．其中是“可换命题”的是（）A．①②B．①④C．①③D．③④9．（5分）如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°10．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x轴、y轴上移动，则点C1到原点O的最远距离为（）A．B．C．5 D．4二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）各项均为实数的等比数列{a n}中，a1=1，a5=4，则a3=．12．（4分）将函数f（x）=sin（2x﹣）图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是．13．（4分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是．14．（4分）已知△ABC的直观图是边长为2的正三角形，则△ABC的面积是．15．（4分）已知函数f（x）=4x+（x＞1）在x=a处取得最小值，则a=．16．（4分）已知异面直线a，b，过不在a，b上的任意一点，下列三个结论：①一定可作直线l与a，b都相交；②一定可作直线l与a，b都垂直；③一定可作直线l与a，b都平行；其中所有正确命题的序号是．17．（4分）若不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，则实数k 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共14+14+14+15+15=72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，AC和BD交于点E，PA=3，AD=2，AB=2，BC=6．（1）若在PC取一点F，满足=，求证：EF∥平面PAB；（2）求证：BD⊥平面PAC．19．（14分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN 的方程．20．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1DC；（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值；（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．21．（15分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n，求T n；（3）令b n=（n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，S n＜对一切n∈N*成立，求最小正整数m．22．（15分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈R．（Ⅰ）若a=1，试判断并证明函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．2014-2015学年浙江省衢州一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知空间两点P1（﹣1，3，2），P2（2，4，﹣1），则|P1P2|=（）A． B． C． D．【解答】解：空间两点P1（﹣1，3，2），P2（2，4，﹣1），则|P1P2|==．故选：A．2．（5分）下列几何体的三视图是一样的为（）A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球【解答】解：圆台的正视图与左视图但是等腰梯形，俯视图是两个圆，不满足题意．圆锥的正视图与左视图但是等腰三角形，俯视图是一个圆，不满足题意．圆柱的正视图与左视图但是矩形，俯视图是一个圆，不满足题意．球的正视图与左视图，俯视图都是一个圆，满足题意．故选：D．3．（5分）下列函数在定义域内为增函数且是奇函数的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x3C．f（x）=2x2+1 D．f（x）=2x+1【解答】解：对于A．函数是奇函数，在（2k，2k）（k为整数）上递增，则A不满足；对于B．函数为奇函数，由于y′≥0，则在R上递增，则B满足；对于C．函数为偶函数，则B不满足；对于D．函数既不是奇函数，也不是偶函数，则D不满足．故选：B．4．（5分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．平面α内所有的直线都与a异面B．平面α内不存在与a平行的直线C．平面a内所有的直线都与α相交D．直线α与平面α有公共点【解答】解：∵直线a不平行于平面α，∴直线a与平面α相交，或直线a⊂平面α．∴直线α与平面α有公共点．故选：D．5．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1﹣=1，则a6﹣a5的值为（）A．0 B．1 C．D．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1﹣=1，∴a2﹣1=1，解得a2=2，，解得a3=，=1，解得a4=，=1，解得a5=，=1，解得，∴a6﹣a5==．故选：C．6．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（）A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条【解答】解：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与面D1EF平行，故选：D．7．（5分）已知AO为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，直线OC在平面α内，且∠AOB=∠BOC=45°，则∠AOC的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：在OA取一点A'，过A'作A'B'⊥α，再作B′C′⊥OC，垂足为C′，连接A′C′，由A′B′⊥OC，易得OC⊥A′C′．则cos∠AOB=，cos∠BOC=，cos∠AOC=，故有cos∠AOB•cos∠BOC=cos∠AOC．由于∠AOB=∠BOC=45°，则cos∠AOC=cos45°•cos45°=×=，则∠AOC=60°．故选：C．8．（5分）将一个真命题中的“n个平面”换成“n条直线”、“n条直线”换成“n个平面”，若所得到的新命题仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，下列四个命题①垂直于同一个平面的两条直线平行；②垂直于同一个平面的两个平面平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一个平面的两条直线平行．其中是“可换命题”的是（）A．①②B．①④C．①③D．③④【解答】解：①垂直于同一个平面的两条直线平行是真命题，垂直于同一个直线的两个平面平行也是真命题，故是“可换命题”；②垂直于同一个平面的两个平面平行，是假命题，故不是“可换命题”③平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，平行于同一平面的两个平面平行是真命题，故是“可换命题”；④平行于同一个平面的两条直线平行，是假命题，故不是“可换命题”故选：C．9．（5分）如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：将其还原成正方体ABCD﹣PQRS，连接SC，AS，则PB∥SC，∴∠ACS（或其补角）是PB与AC所成的角∵△ACS为正三角形，∴∠ACS=60°∴PB与AC所成的角是60°故选：B．10．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x轴、y轴上移动，则点C1到原点O的最远距离为（）A．B．C．5 D．4【解答】解：由题意可知，C1与AB和O在同一个平面时，C1到O的距离比较大，如图：设∠BAO=α，则C1坐标为（），|OC1|===，其中tan，显然|OC1|，故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）各项均为实数的等比数列{a n}中，a1=1，a5=4，则a3=2．【解答】解：∵各项均为实数的等比数列{a n}中，a1=1，a5=4，∴1•q4=4，∴q2=2，∴=2．故答案为：2．12．（4分）将函数f（x）=sin（2x﹣）图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是g（x）=sin2x．【解答】解：函数f（x）=sin（2x﹣）图象上的所有点向左平移个单位长度．得到：g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin2x即：g（x）=sin2x故答案为：g（x）=sin2x13．（4分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是100．【解答】解：如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．因此该几何体的体积=3×6×6﹣=108﹣8=100．故答案为：100．14．（4分）已知△ABC的直观图是边长为2的正三角形，则△ABC的面积是2．【解答】解：过A'作A'F'∥y'交x'轴于F'，∵△A'B'C'的边长为1，∴△A'B'C'的高为A'E=．∵∠A'F'E=45°，∴A'F'=×=，∴对应△ABC的高AF=2A'F'=2×，∴△ABC的面积S=×2×．故答案为：2．15．（4分）已知函数f（x）=4x+（x＞1）在x=a处取得最小值，则a=．【解答】解：由于x＞1，∴x﹣1＞0，故函数f（x）=4x+=4（x﹣1）++4≥2+4=8，当且仅当4（x﹣1）2=1，即x=时，等号成立，故x=时函数取得最小值为8．故答案为：16．（4分）已知异面直线a，b，过不在a，b上的任意一点，下列三个结论：①一定可作直线l与a，b都相交；②一定可作直线l与a，b都垂直；③一定可作直线l与a，b都平行；其中所有正确命题的序号是②．【解答】解：如图所示，∵a，b是异面直线，∴存在唯一一对平面α∥β，且a ⊂α，b⊂β．设不在a，b上的任意一点为P．①若点P∈α或P∈β，则不能够作直线l与a，b都相交，因此①不正确；②过点P一定可作直线l⊥α，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，则l⊥a，l⊥b．因此正确．③假设过点P可作直线l∥a，l∥b，则a∥b，这与已知a，b是异面直线相矛盾．因此假设不成立，即不存在过点P的直线l与a，b都平行．因此③不正确．综上可知：只有②正确．故答案为：②．17．（4分）若不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，则实数k 的取值范围是1≤k≤4．【解答】解：设原不等式的解集为A，当k=0时，则x＞4，不合题意，当k＞0且k≠2时，原不等式化为[x﹣（）]（x﹣4）＜0，∵，∴，要使不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，须，解得：1≤k≤4；当k=2时，A=∅，合题意，当k＜0时，原不等式化为[x﹣（）]（x﹣4）＞0，∴A=（﹣∞，）∪（4，+∞），不合题意，故答案为：1≤k≤4．三、解答题：本大题共5小题，共14+14+14+15+15=72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，AC和BD交于点E，PA=3，AD=2，AB=2，BC=6．（1）若在PC取一点F，满足=，求证：EF∥平面PAB；（2）求证：BD⊥平面PAC．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴=，∵=，∴．∴EF∥PA．∵EF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB．∴EF∥平面PAB；（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．在直角梯形ABCD中，过点D作DM∥AC交BC的延长线于点M．∵AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=2，BC=6．∴BD==4，AC==．∴BD2+DM2=BM2=82，∴BD⊥DM．即BD⊥AC．又AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．19．（14分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程．【解答】（本题满分14分）（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．…（3分）得圆O的方程为x2+y2=4．…（6分）（2）由题意，可设直线MN的方程为2x﹣y+m=0．…（8分）则圆心O到直线MN的距离．…（10分）由垂径分弦定理得：，即．…（12分）所以直线MN的方程为：或．…（14分）20．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1DC；（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值；（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，∴AD⊥DE，可得A1D⊥DE．又∵A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．∵BC⊂面BCDE，∴A1D⊥BC．∵BC⊥CD，CD∩BC=C，∴BC⊥面A1DC．…（4分）（Ⅱ）以C为原点，CD、CB所在直线分别为x、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．…（5分）可得D（2，0，0），E（2，2，0），B（0，3，0），A1（2，0，4）．设=（x，y，z）为平面A1BC的一个法向量，∵，，∴，令x=2，得y=0，z=﹣1．所以=（2，0，﹣1）为平面A1BC的一个法向量．…（7分）设BE与平面A1BC所成角为θ，则．所以BE与平面A 1BC所成角的正弦值为．…（9分）（Ⅲ）设D（x，0，0），则A1（x，0，6﹣x），∴=…（12分）根据二次函数的图象与性质，可得当x=3时，A1B的最小值是，由此点D为AC的中点即D为AC中点时，A1B的长度最小，最小值为．…（14分）21．（15分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a1=1，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令T n=a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n，求T n；（3）令b n=（n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，S n＜对一切n∈N*成立，求最小正整数m．【解答】解：（1），所以：a n﹣a n=2，﹣1∴{a n}是以2为公差的等差数列．又a1=1，∴a n=2n﹣1．（2）根据（1）的结论：﹣a n=﹣2，得到：a n﹣1T n=a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n=（a1﹣a2）+（a3﹣a4）+…+（a2n﹣1﹣a2n）=﹣2n，所以：T n=﹣2n；（3）当n≥2时，=，∴S n=b1+b2+…+b n=3+=．由于：，只需满足对一切n+恒成立即可．由于，所以：，解得：m≥2012．最小正整数m=2012．22．（15分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈R．（Ⅰ）若a=1，试判断并证明函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．【解答】解：（1）∵a=1，x∈[1，6]，∴f（x）=|x﹣1|﹣+1=x﹣，∴f′（x）=1+＞0，∴f（x）是增函数；（2）因为1＜a＜6，所以f（x）=，①当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，所以当x=6时，f（x）取得最大值为．②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，而f（3）=2a﹣6，f（6）=，当3＜a≤时，2a﹣6≤，当x=6时，f（x）取得最大值为．当≤a＜6时，2a﹣6＞，当x=3时，f（x）取得最大值为2a﹣6．综上得，M（a）=．。

2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题(word版)

2014～2015学年度第一学期期中考试高二数学试题一．填空题（每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1. 命题“2,220x R x x ∃∈++=”的否定是 ▲ .2. 过点()4,3P --，倾斜角为135°的直线的方程为 ▲ .3. ()43,7M xoy -点，关于平面的对称点的坐标为 ▲ .4. 直线240x y +-=在两坐标轴上的截距之和为 ▲ .5. 已知一个球的体积为336cm π，则这个球的表面积为 ▲ .6. 直线()230215x y +-=-被圆心为，的圆截得的弦长为，则圆的方程为 ▲ 7. “1a =”是“01ax y x ay +=+=直线与直线平行”的 ▲ 条件（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”） 8. ()()(),00,2,1,1P m A B 点到定点距离之和的最小值是 ▲9. 在过点()2,3的直线中，被圆22240x y x y +--=截得的弦长最短的直线的方程为▲10. ,,_______a b c αβγ设为不同的直线，，，为不同的平面，则下面命题正确的个数为 ①,a c b c a b ⊥⊥若则 ②,a b b a a ααα⊂若则或 ③,a a b b αα⊥⊥若则 ④,αγβγαβ⊥⊥若则11. 若圆222424030x y k x y k k k x y ++-+-=-+=关于直线对称，则实数的值为▲12. 若命题“[)()21,3,220x x a x ∃∈+--≥是不等式”是假命题，则实数a 的值为▲13. 在2,1,ABC BC AB AC ABC ∆==∆中，已知则面积的最大值是▲14. 圆()()2220x a y a a x y a -+-=+=上恰有两点到直线的取值范围是 ▲二、解答题（共6小题，合计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 15.（本小题满分14分）[)()22:11:4240""""p y x mx q x m x p q p q m =++-+∞--+=已知命题二次函数在，上单调递增；命题方程没有实数根。

浙江省衢州一中2014-2015学年高二数学上学期开学试卷(含解析)

浙江省衢州一中2014-2015学年高二上学期开学数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D． x3＞y32．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）3．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．36．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2] 7．（5分）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣8．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣19．（5分）数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．1110．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A．B．a n=n﹣1 C．a n=n（n﹣1）D．二．填空题（每小题4分，共28分）11．（4分）经过两点A（﹣1，3），B（4，﹣2）的直线的倾斜角的度数等于．12．（4分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=．13．（4分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．14．（4分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，{a n}的前n项和最大．15．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．16．（4分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为．17．（4分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为．三．解答题（共72分）18．（14分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．19．（14分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcosC=（2a﹣c）cosB，（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若b=，a﹣c=2，求△ABC的面积．20．（14分）已知点M（3，1），直线l：ax﹣y+4=0及圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0（1）求经过M点的圆C的切线方程；（2）若直线l与圆C相切，求a的值；（3）若直线l与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．21．（15分）已知数列{a n}满足a1=0，a2=﹣20，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；（Ⅲ）记数列{b n}的前n项和为S n，求正整数k，使得对任意n∈N*均有s k≤s n．22．（15分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|（Ⅰ）若函数φ（x）=|f（x）|﹣g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a≥﹣3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[﹣2，1]上的最大值．浙江省衢州一中2014-2015学年高二上学期开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y3考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．解答：解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但==，故＞不成立．B．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立．C．当x=π，y=0时，满足x＞y，此时sinx=sinπ=0，siny=sin0=0，有sinx＞siny，但sinx ＞siny不成立．D．∵函数y=x3为增函数，故当x＞y时，x3＞y3，恒成立，故选：D．点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．2．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的坐标运算，，计算判别即可．解答：解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．点评：本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．3．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，两式相减得3a3=a4﹣a3，由此能求出公比q=4．解答：解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，两式相减得3a3=a4﹣a3，a4=4a3，∴公比q=4．故选：B．点评：本题考查公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．3考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．解答：解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故选：C．点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，2015届高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．6．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x+y的不等关系式，进而可求出x+y的取值范围．解答：解：∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选D．点评：利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．7．（5分）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x 取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y ﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．解答：解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．11考点：数列递推式．专题：计算题．分析：先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10，联立方程求得b1和d，进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．解答：解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2∵b n=a n+1﹣a n，∴b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3故选B．点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．10．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A．B．a n=n﹣1 C．a n=n（n﹣1）D．考点：根的存在性及根的个数判断；等差数列的通项公式．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的零点的定义，构造两函数图象的交点，交点的横坐标即为函数的零点，再通过数列及通项公式的概念得所求的解．解答：解：当x∈（﹣∞，0]时，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x=x+1．令y=2x，y=x+1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（﹣∞，0]上的图象，由图象易知交点为（0，1），故得到函数的零点为x=0．当x∈（0，1]时，x﹣1∈（﹣1，0]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣1，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x﹣1=x．令y=2x﹣1，y=x．在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1]上的图象，由图象易知交点为（1，1），故得到函数的零点为x=1．当x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣2+1，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣2+1﹣x=0，得2x﹣2=x﹣1．令y=2x﹣2，y=x﹣1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2]上的图象，由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x=2．依此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为a n=n﹣1．故选B．点评：本题主要考查了函数零点的概念及零点的求法、数列的概念及简单表示；培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；解题中使用了数形结合及分类讨论的数学方法和数学思想．二．填空题（每小题4分，共28分）11．（4分）经过两点A（﹣1，3），B（4，﹣2）的直线的倾斜角的度数等于135°．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：利用两点间的斜率公式可求得直线AB的斜率，从而可得其倾斜角．解答：解：∵A（﹣1，3），B（4，﹣2），∴直线AB的斜率k==﹣1，设直线AB的倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tanθ=﹣1，∴θ=135°．故答案为：135°．点评：本题考查直线的斜率，掌握直线的斜率与其倾斜角之间的关系是关键，属于基础题．12．（4分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．解答：解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），∴sin2θ﹣cos2θ=0，∴2sinθcosθ=cos2θ，∵0＜θ＜，∴cosθ≠0．∴2tanθ=1，∴tanθ=．故答案为：．点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．13．（4分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．考点：圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题．专题：计算题；直线与圆．分析：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的变角关系求得sinθ的值，可得cosθ、tanθ的值，再计算tan2θ．解答：解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA=，圆的半径为r=，∴sinθ=，∴cosθ=，tanθ=，∴tan2θ==，故答案为：．点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于较基础题．14．（4分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：可得等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．解答：解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．点评：本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．15．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．解答：解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得 cosA===﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．16．（4分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为5．考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．解答：解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．点评：此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．17．（4分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为﹣1．考点：一般形式的柯西不等式；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：首先把：4a2﹣2ab+b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到++得到关于b的二次函数，求出最小值即可．解答：解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]2=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴，c=b2∴++==当b=﹣2时，取得最小值为﹣1．故答案为：﹣1点评：本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．三．解答题（共72分）18．（14分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ的值，再由θ∈（0，），求得sinθ的值，从而求得f（﹣θ）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=．（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．19．（14分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcosC=（2a﹣c）cosB，（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若b=，a﹣c=2，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后再利用诱导公式变形，求出cosB的值，即可确定出∠B的大小；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将cosB的值代入，利用完全平方公式变形，将a﹣c与b 的值代入求出ac的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinBcosC=2sinAcosB﹣cosBsinC，整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，则B=；（Ⅱ）∵cosB=，b=，a﹣c=2，∴b2=a2+c2﹣2accosB，即7=a2+c2﹣ac=（a﹣c）2+ac=4+ac，整理得：ac=3，则S△ABC=acsinB=×3×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（14分）已知点M（3，1），直线l：ax﹣y+4=0及圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0（1）求经过M点的圆C的切线方程；（2）若直线l与圆C相切，求a的值；（3）若直线l与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．考点：直线与圆相交的性质．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）圆方程化为标准方程，分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求经过M点的圆C的切线方程；（2）利用圆心到直线的距离等于半径，即可求出a的值；（3）利用弦心距与半径，半弦长的关系，即可求出a的值．解答：解：（1）圆方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4∴圆心（1，2），半径为2斜率不存在时，经过M点的直线方程为x=3，满足题意；设经过M点的圆C的切线方程为y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+1=0∴d==2∴k=∴切线方程为3x﹣4y﹣5=0综上，经过M点的圆C的切线方程为x=3和3x﹣4y﹣5=0；（2）∵直线l与圆C相切，∴=2，解得a=0或a=；（3）圆心（1，2）到直线ax﹣y+4=0的距离为，∵直线l与圆C相交与A，B两点，且弦AB的长为2，∴（）2+（）2=4，解得a=﹣．点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题．21．（15分）已知数列{a n}满足a1=0，a2=﹣20，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；（Ⅲ）记数列{b n}的前n项和为S n，求正整数k，使得对任意n∈N*均有s k≤s n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）欲求a3，a5只需令m=2，n=1赋值即可．（Ⅱ）以n+2代替m，然后利用配凑得到b n+1﹣b n，和等差数列的定义即可证明．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b n=8n﹣2，数列{b n}单调递增，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2﹣a1+2=6再令m=3，n=1，可得a5=2a3﹣a1+8=20（Ⅱ）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8即b n+1﹣b n=8所以{b n}是公差为8的等差数列（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b n=8n﹣2，数列{b n}单调递增，∵正整数k，使得对任意n∈N*均有s k≤s n．∴k=1．点评：本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．同时考查了等差数列的定义，通项公式，和数列求和的方法．22．（15分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|（Ⅰ）若函数φ（x）=|f（x）|﹣g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a≥﹣3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[﹣2，1]上的最大值．考点：函数最值的应用；函数的零点．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）方程|f（x）|=g（x）可化为|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，易知x=1已是该方程的根，从而要使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，结合图象可得a的范围；（2）当a≥﹣3时，求出函数h（x）=|f（x）|+g（x）的解析式，根据分段函数最值的求法，分别求出各断上函数的最值，然后求出它们的最大值即可．解答：解：（1）函数φ（x）=|f（x）|﹣g（x）只有一个零点，即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而要使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，作出函数y=|x+1|的图象如图所示：结合图形得a＜0．（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x2﹣1|+a|x﹣1|=，当﹣2≤x＜﹣1时，，当x=﹣2时，h（x）的最大值为h（﹣2）=3a+3；当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为max{h（﹣1），h（1），h（﹣）}=max{0，，2a}=．点评：本题考查函数的零点和二次函数在定区间上的最值问题，其中求出函数的解析式是关键，求出分段函数在各断上的最值，再比较大小是难点，考查运算能力和分类讨论的数学思想．。

数学上学期期中试题-第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题及答案

浙江省衢州第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．抛物线24y x =的焦点坐标为（）A ．()1,0B ．()0,1C ．()16,0D ．()0,16 2．已知,αβ是平面，,,a b c 是直线，O 是点．下列五个命题：①若//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a b ； ②若//,a b a c ⊥，则b c ⊥； ③若//,a b αα⊂，则//a b ； ④若//,//a b αα，则//a b ； ⑤若,//,ab O a α=，则b 与α平行或相交．其中正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．已知c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距，则ab c +的取值范围是（）A ．,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．2⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎭D ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．已知实数,m n 满足222m n +=，则点(),P m n m n +-的轨迹方程是（）A ．221x y +=B ．221x y -=C ．222x y +=D ．224x y +=5．直线3y x =+与曲线2194x x y -=的交点情况为（） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有两个交点 D ．有三个交点6．已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任一点，过焦点1F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为（） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 7．已知定点7,42A ⎛⎫⎪⎝⎭，动点P 在抛物线2:2C y x =上，点P 在y 轴上的射影是M ，则PA PM +的最小值是（）A ．112 B ．4 C ．92D ．5 8．过点()4,0P 的直线l 与双曲线22:1412x y C -=的右支交于,A B 两点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ≥B ．1k <C ．kD ．k ≤二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥，则a 与b 的位置关系是．12．渐近线方程为0x =的双曲线过点(2-，则此双曲线的标准方程为．13．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与BD 所成的角θ的大小为．14．已知点)M，椭圆22:14x C y +=与直线(y k x =交于,A B 两点，则ABM ∆的周长为．15．已知12,F F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，M 是1PF 的中点，3OM =，则点P 到椭圆左焦点1F 的距离1PF = ．16．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是抛物线C 上的动点，若定点()1,0A -，则PFPA的最小值为． 17．已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为e ，直线:l y ex a =+与x 轴、y 轴分别交于点,A B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点．若AM AB λ=，则2e λ+= ．三、解答题（本大题共5小题，14分+14分+14分+15分+15分，共72分）18．一个椭圆1C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2C 和椭圆1C 有公共焦点，且双曲线2C 的实半轴长比椭圆1C 的半长轴长小4，双曲线2C 的离心率2e 与椭圆1C 离心率1e 之比为7:3，求椭圆1C 和双曲线2C 的方程．（14分）19．已知抛物线2:C y x =-与直线():1l y k x =+相交于,A B 两点，O 为坐标原点．（14分）（1）求OA OB ⋅的值；（2）当AOB ∆k 的值．21．已知直线220x y -+=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ．椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．（15分）（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN长度的最小值；的面积为（3）当线段MN的长度最小时，椭圆C上是否存在这样的点T，使得TAB 1？若存在，确定点T的个数；若不存在，请说明理由．5衢州二中二○一四学年第一学期高二期中考试—数学参考答案20．（1）2213x y -= （2）()22225133078033y kx k x kx x y =+⎧⇒---=⎨-=⎩，设CD 的中点为E22155,1313kE k k ⎛⎫⇒ ⎪--⎝⎭2221255EB k k k k k k --⇒=⇒-=k ⇒= 21．（1）2214x y +=；（2）()221016:2,3344SA y k x M k x y ⎧⎛⎫=+⇒⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+=⎩()222214161640k x k x k ⇒+++-=222284,1414k k S k k ⎛⎫-⇒ ⎪++⎝⎭()1101:2,433SB y x N k k ⎛⎫⇒=--⇒- ⎪⎝⎭ 16133MN k k ⇒=+83≥，∴14k =时min83MN=；（3）14k=64,55S SB ⎛⎫⇒⇒= ⎪⎝⎭154T SB S d -=⇒=，设1:0l xy t ++=1342l SB d t -==⇒=-或52-，若32t =-代入检验，点T 有2个；若52t =-代入检验，点T 不存在；所以点T 共有2个．。

浙江省杭州二中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文) Word版含答案

杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷(文科)一、选择题（每题3分，共30分）1.设n m ,是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//m ,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则B ．若m //,,//,n m n αβαβ⊥⊥则C ．若//m ,,,//n m n αβαβ⊥⊥则D ．若m //,,//,//n m n αβαβ⊥则2.正方体1111D C B A ABCD -中，N M 、分别是BC CC ,1的中点，则过N M A 、、三点的正方体1111D C B A ABCD -的截面形状是A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对3.如图，在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为 A ．23 B ．21 C ．33 D ．634.若点()n m P ,，)1,1(+-m n Q 关于直线l 对称，则l 的方程是A ．01=+-y xB ．0=-y xC ．01=++y xD ．0=+y x 5.直三棱柱111ABC A B C -中，090=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为A ．110B ．25C D 6.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中,下面结论错误的是 A.BD ∥平面11D CB B. 异面直线AD 与1CB 所成的角为30° C.1AC ⊥平面11D CB D. 1AC BD ⊥7.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 B.4π C.8π D.16π 6题 7题SBA CO3题8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A.B.C.D.9.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=，再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=，则tan OPQ ∠的值为10．三棱锥ABC O -中，OC OB OA ,,两两垂直且相等，点Q P ,分别是线段BC 和OA 上移动，且满足BC BP 21≤，AO AQ 21≤，则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是 A.]552,33[B.]22,33[C.]552,66[D.]22,66[ 二、填空题（每题4分，共24分）11.两条平行直线011801243=++=-+y ax y x 与之间的距离为_________.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2),(2,0),(1,0)A B C -，分别以ABC ∆的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 .13.已知1111D C B A ABCD -为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1AC ·(11A B 1A DO1D 1C 1B CBA8题APQ ODCB－1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1A A ·AD |.其中正确命题的序号是________．14题 15题14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是面对角线1A B 上的动点，则1AM MD + 的最小值为．15．如图，在三棱锥BCD A -中，2====AD AB DC BC ，2=BD ，平面⊥ABD 平面BCD ，O 为BD 中点，点Q P ,分别为线段BC AO ,上的动点（不含端点），且CQ AP =，则三棱锥QCO P -体积的最大值为________．16．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为．三、解答题（共46分）17．（10分）(1)已知C B A ,,三点坐标分别为()2,1,2-，()1,5,4-，()3,2,2-，求点P 的坐标使得()-=21； (2)已知()4,5,3-=，()8,1,2=，求：①⋅；②与夹角的余弦值； ③确定λ，μ的值使得μλ+与z 轴垂直，且()()53=+⋅+μλ.18.（12分）一个几何体是由圆柱11A ADD 和三棱锥ABC E -组合而成,点C B A ,,在圆O 的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中⊥EA 平面ABC ,AC AB ⊥,AC AB =.2=AE .(1)求证：BD AC ⊥.(2)求三棱锥BCD E -的体积.19．（12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，F E ,分别是11A B 、1CC 的中点，过1D 、E 、F 作平面1D EGF 交1BB 于G ． (l)求证：EG ∥1D F ；(2)求二面角11C D E F --的余弦值；(3)求正方体被平面1D EGF 所截得的几何体11ABGEA DCFD -的体积．20.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. ⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）二、填空题（每题4分，共24分）11.12. 13.14. 15. 16.三、解答题（共46分）17.（10分）18.（12分）19.(12分)20.（12分）杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）二、填空题（每题4分，共24分）11.2712. 4140x y +-= 13. 1,214. 15. 16. 三、解答题（共46分）17.（1）设P （x ，y ，z ），则=（x-2，y+1，z-2），=（2，6，-3），=（-4，3，1）， ∵=21（-）.∴（x-2，y+1，z-2）=21［（2，6，-3）-（-4，3，1）］ =21（6，3，-4）=(3，23，-2)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+=-2223132z y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0215z y x∴P 点坐标为(5，21，0).（2）①a ·b=（3，5，-4）·（2，1，8） =3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a|=222)4(53-++=52, |b|=222812++=69, ∴cos 〈a,b 〉=b a b a ⋅ =692521⋅-=-2301387.∴a 与b 夹角的余弦值为-2301387. ③取z 轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）. 依题意()()()⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+530b a n b a b a μλμλ即()()()()⎩⎨⎧=⋅+-++=⋅+-++534,6,584,5,2301,0,084,5,23μλμλμλμλμλμλ故⎩⎨⎧=+=+-534829084μλμλ 解得⎪⎩⎪⎨⎧==211μλ.18.【解析】(1)因为EA ⊥平面ABC,AC ⊂平面ABC,所以EA ⊥AC,即ED ⊥AC.又因为AC ⊥AB,AB ∩ED=A,所以AC ⊥平面EBD. 因为BD ⊂平面EBD,所以AC ⊥BD.(2)因为点A,B,C 在圆O 的圆周上,且AB ⊥AC,所以BC 为圆O 的直径. 设圆O 的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,解得所以BC=4,AB=AC=2.以下给出求三棱锥E-BCD 体积的两种方法：方法一：由(1)知,AC ⊥平面EBD, 所以V E-BCD =V C-EBD =S △EBD ×CA,因为EA ⊥平面ABC,AB ⊂平面ABC, 所以EA ⊥AB,即ED ⊥AB. 其中ED=EA+DA=2+2=4, 因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △EBD =ED ×AB=×4×2=4,所以V E-BCD =×4×2=. 方法二：因为EA ⊥平面ABC,所以V E-BCD =V E-ABC +V D-ABC =S △ABC ×EA+S △ABC ×DA=S △ABC ×ED. 其中ED=EA+DA=2+2=4, 因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △ABC =×AC ×AB=×2×2=4,所以V E-BCD =错误！未找到引用源。

2013-2014学年浙江省杭州二中高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)

2013-2014学年浙江省杭州二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）直线2x+3y+1=0的斜率为（）A．B．C．D．2．（3分）直线kx+y﹣2=0（k∈R）与圆x2+y2+2x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与k值有关3．（3分）直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行，则（）A．B．A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1C．D．A1A2+B1B2=04．（3分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．5．（3分）已知m是一条直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若α⊥β，m⊂α，则m⊥β；②若m⊂α，α∥β，则m∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊂α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题的序号是（）A．①③B．②C．①④D．②④6．（3分）过点C（12，16）作圆x2+y2=100的两条切线，切点为A、B，则点C 到直线AB的距离为（）A．5 B．C．10 D．157．（3分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°，E 是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值是（）A．0 B．C．D．8．（3分）若圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay﹣6=0的公共弦长为2，则a的值为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．无解9．（3分）一个三棱锥铁框架的棱长均为2，其内置一气球，使其充气至尽可能的膨胀（保持球的形状），则此球的表面积为（）A． B．2πC．3πD．6π10．（3分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1=2，AB=AC=1，O为侧面四边形BB1C1C对角线的中点，则AO的长度为（）A．B． C．D．二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.请将答案填写在答题卷中的横线上.11．（4分）两异面直线m，n分别垂直于二面角α﹣l﹣β的两个半平面，且m，n所成的角为60°，则二面角α﹣l﹣β的大小是．12．（4分）直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．13．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．14．（4分）函数的定义域是．15．（4分）若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是．16．（4分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为．17．（4分）在三棱锥S﹣ABC中，已知SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC ≤8．则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为．三、解答题：本大题有4小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．19．（10分）已知△ABC的一个顶点A（﹣1，﹣4），∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0．（Ⅰ）求BC边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的内切圆方程．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，CD=1，AB=2，E是PB中点，点E在平面ACP上的射影是△ACP的重心G．（1）求PB与平面ACP所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC﹣E的平面角的正弦值．21．（12分）已知圆O：x2+y2=4与直线l：y=x+b，在x轴上有点P（3，0），（1）当实数b变化时，讨论圆O上到直线l的距离为2的点的个数；（2）若圆O与直线l交于不同的两点A，B，且△APB的面积S=，求b的值．2013-2014学年浙江省杭州二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）直线2x+3y+1=0的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：化直线2x+3y+1=0的方程为斜截式可得：y=x﹣，由斜截式的特点可知已知直线的斜率为：故选：A．2．（3分）直线kx+y﹣2=0（k∈R）与圆x2+y2+2x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与k值有关【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+1=0化成标准方程，得（x+1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心为C（﹣1，1），半径r=1．点C到直线kx+y﹣2=0的距离d===，∴当k＜0时，点C到直线的距离d＜1，可得直线kx+y﹣2=0与圆相交；当k=0时，点C到直线的距离d=1，可得直线kx+y﹣2=0与圆相切；当k＞0时，点C到直线的距离d＞1，可得直线kx+y﹣2=0与圆相离．综上所述，直线kx+y﹣2=0与圆x2+y2+2x﹣2y+1=0的位置关系与k的取值有关．故选：D．3．（3分）直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行，则（）A．B．A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1C．D．A1A2+B1B2=0【解答】解：①当B1•B2≠0时，直线l1：A1x+B1y+C1=0化为：，直线l2：A2x+B2y+C2=0化为，∵l1∥l2，∴=﹣，，∴．化为A1B2=A2B1，A1C2≠A2C1．（*）②当B1B2=0时，∵l1∥l2，∴B1=B2=0，．∴（*）也成立．综上可得：B成立．故选：B．4．（3分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．【解答】解：由三视图可知该几何体上部分为四棱锥，下部分为圆柱．则四棱锥的高VO=，∴四棱锥的体积为．圆柱的高为2，底面半径为1，∴圆柱的体积为π×12×2=2π．故该几何体的体积为．故选：C．5．（3分）已知m是一条直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若α⊥β，m⊂α，则m⊥β；②若m⊂α，α∥β，则m∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊂α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题的序号是（）A．①③B．②C．①④D．②④【解答】解：①若α⊥β，m⊂α，则m与β不一定垂直，因此不正确；②若m⊂α，α∥β，利用面面平行的性质定理可得m∥β，因此正确；③若m∥α，m∥β，则α∥β或相交，因此不正确；④若m⊂α，m⊥β，利用面面垂直的判定定理可得：α⊥β，因此正确．综上可知：只有②④正确．故选：D．6．（3分）过点C（12，16）作圆x2+y2=100的两条切线，切点为A、B，则点C 到直线AB的距离为（）A．5 B．C．10 D．15【解答】解：圆x2+y2=100的圆心为O（0，0），半径r=10．连结OA、OB、OC，可得|OC|==20，∵AC切圆O与点A，∴OA⊥AC，|AC|==10，因此，以C为圆心、CA半径的圆方程为（x﹣12）2+（y﹣16）2=300，∵CA、CB为经过点C的圆O的两条切线，∴|AC|=|BC|，可得点B也在圆C上，因此AB是圆O与圆C的公共弦，将圆O与圆C的方程相减，得3x+4y﹣25=0，可得点C到直线AB的距离d==15．故选：D．7．（3分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°，E 是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值是（）A．0 B．C．D．【解答】解：以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系．在Rt△AOB中OA=，于是，点A、B、D、P的坐标分别是A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）．E是PB的中点，则E（，0，）于是=（，0，），=（0，，）．设与的夹角为θ，有cosθ==，θ=arccos，∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos．8．（3分）若圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay﹣6=0的公共弦长为2，则a的值为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．无解【解答】解：圆x2+y2=a2的圆心为原点O，半径r=|a|．将圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay﹣6=0相减，可得ay+a2﹣6=0，即得两圆的公共弦所在直线方程为ay+a2﹣6=0．原点O到ay+a2﹣6=0的距离d=|﹣a|，设两圆交于点A、B，根据垂径定理可得∴a2=4，∴a=±2．故选：A．9．（3分）一个三棱锥铁框架的棱长均为2，其内置一气球，使其充气至尽可能的膨胀（保持球的形状），则此球的表面积为（）A． B．2πC．3πD．6π【解答】解：∵一个三棱锥铁框架的棱长均为2，几何体的正四面体，如图：球的球心O在底面ABC的中心E与S的连线上，并且AO=OS，∵一个三棱锥铁框架的棱长均为2，∴SA=SB=SC=AB=AC=BC=2，∴D为BC的中点，AD=，AE=，SE===；球的半径为r，OA=，OE=SE﹣OS=SE﹣OA=，AO2=OE2+AE2，∴，解得r=∴所求球的表面积S=4πr2==2π．故选：B．10．（3分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1=2，AB=AC=1，O为侧面四边形BB1C1C对角线的中点，则AO的长度为（）A．B． C．D．【解答】解：取BC的中点D，连结OD，AD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1=2，AB=AC=1，∴OD∥AA1，AD=，OD=1，由cos∠A1AB=cos∠A1AD•cos∠BAD，可得==．在△AOD中，AO2=AD2+OD2﹣2AD•ODcos∠ADO=12+（）2﹣2×=．∴AO=．故选：C．二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.请将答案填写在答题卷中的横线上.11．（4分）两异面直线m，n分别垂直于二面角α﹣l﹣β的两个半平面，且m，n所成的角为60°，则二面角α﹣l﹣β的大小是60°或120°．【解答】解：根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a，b分别垂直于两个平面，则两条直线的夹角与二面角相等或互补，∵m，n所成的角为60°，∴二面角α﹣l﹣β的大小是60°或120°．故答案为：60°或120°．12．（4分）直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．【解答】解：把l2：2x+2y+3=0化为．∵l1∥l2，∴l1与l2的距离d==．故答案为：．13．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．14．（4分）函数的定义域是[﹣1，1] ．【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得﹣1≤x≤1，∴函数的定义域为[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．15．（4分）若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣a）2+y2=3﹣2a，可得圆心P坐标为（a，0），半径r=，且3﹣2a＞0，即a＜，由题意可得点A在圆外，即|AP|=＞r=，即有a2＞3﹣2a，整理得：a2+2a﹣3＞0，即（a+3）（a﹣1）＞0，解得：a＜﹣3或a＞1，又a＜，可得a＜﹣3或，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，）16．（4分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2+y2=6．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），又P（1，1），则x1+x2=x+1，y1+y2=y+1，，．由PA⊥PB，得，即（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0．整理得：x1x2+y1y2﹣（x1+x2）﹣（y1+y2）+2=0，即x1x2+y1y2=x+1+y+1﹣2=x+y ①又∵点A、B在圆上，∴②再由|AB|=|PQ|，得，整理得：=（x﹣1）2+（y﹣1）2③把①②代入③得：x2+y2=6．∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为：x2+y2=6．故答案为：x2+y2=6．17．（4分）在三棱锥S﹣ABC中，已知SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC ≤8．则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为8．【解答】解：∵在三棱锥S﹣ABC中，SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC ≤8，=SA•SB•sin∠SAB，又cos∠SAB=≤﹣，∴sin∠SAB≤∴S△SAB，=×4×5×sin∠SAB≤4．∴S△SAB设点C到面SAB的距离为h，则h≤CB≤6，根据三棱锥S﹣ABC体积V=•S•h≤×4×6=8，△SAB故答案为：8．三、解答题：本大题有4小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．【解答】解：（1）证明：连接AC，AC交BD于O．连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO，∵EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．19．（10分）已知△ABC的一个顶点A（﹣1，﹣4），∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0．（Ⅰ）求BC边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的内切圆方程．【解答】解：（I）设点A（﹣1，﹣4）关于直线y+1=0的对称点为A'（x1，y1），可得x1=﹣1，（﹣4+y1）=﹣1，解得y1=2×（﹣1）﹣（﹣4）=2，∴A'坐标为（﹣1，2），再设点A（﹣1，﹣4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A″（x2，y2），可得，解之得x2=3，y2=0，∴A″坐标（3，0），∵∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，∴点A'与点A″都在直线BC上，根据直线方程的两点式，得直线A'A″的方程为=，化简得x+2y﹣3=0，即为边BC所在直线的方程，∵直线BC的斜率k=﹣，∴BC边上的高所在的直线的斜率为k'==2，∵A点坐标为（﹣1，﹣4），∴BC边上的高所在的直线的方程为y+4=2（x+1），化简得2x﹣y﹣2=0；（II）根据题意，可得△ABC的内角平分线l1与l2的交点即为△ABC的内切圆的圆心，联解，得，可得内切圆的圆心为（0，﹣1），又∵圆心到直线BC的距离为半径，∴内切圆的半径，因此，△ABC的内切圆方程为x2+（y+1）2=5．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，CD=1，AB=2，E是PB中点，点E在平面ACP上的射影是△ACP的重心G．（1）求PB与平面ACP所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC﹣E的平面角的正弦值．【解答】解：（1）连结PG，则PG是PE在面ACP的射影，即∠EPG是PB与平面ACP所成的角．设F为PA中点，连结EF、FD，∵E，F分别是PA，PB的中点，底面ABCD是直角梯形，∴EF∥CD，EF=CD，∵CD⊥平面PAD，∴，∴∵EF=1，∴∴EC=，EG==，∵PE=，∴sin∠EPG==；（2）过点E作底面ABCD的垂线，垂足为H，则EH∥PD，且EH=1．过点E作AC的垂线，垂足为I，连接HI，则∠HIE即为二面角B﹣AC﹣E的平面角．由于CE∥DF，而DF⊥面PAB，∴CE⊥AE，CE⊥PB，则CE=，AE=，∴EI=，∴∴二面角B﹣AC﹣E的平面角的正弦值是．21．（12分）已知圆O：x2+y2=4与直线l：y=x+b，在x轴上有点P（3，0），（1）当实数b变化时，讨论圆O上到直线l的距离为2的点的个数；（2）若圆O与直线l交于不同的两点A，B，且△APB的面积S=，求b的值．【解答】解：（1）圆心O（0，0）到直线l：y=x+b的距离为d=，则当d=＞4，即|b|＞4时，个数为0；当d==4，即|b|=4时，个数为1；当d=＜4，即|b|＜4时，个数为2；（2）由S=tan∠APB=PA•PB•sin∠APB，得到PA•PB•cos∠APB=9，即•=9，设A（x1，y1），B（x2，y2），得到=（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2），则（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=9，即x1x2﹣3（x1+x2）+y1y2=0（i），联立直线与圆方程得：，消去y得2x2+2bx+b2﹣4=0，则，即，将y1y2=（x1+b）（x2+b）=﹣2，代入（i）得b2+3b﹣4=0，变形得：（b+4）（b﹣1）=0，解得：b=﹣4或b=1，由于b2＜8，得到b=1．。

2014-2015学年浙江省衢州市五校联考高二上学期期中数学试卷与解析

2014-2015学年浙江省衢州市五校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．135°B．120°C．60°D．45°2．（5分）两条异面直线a，b在平面α上的投影不可能的是（）A．一点和一条直线 B．两条平行线C．两条相交直线D．两个点3．（5分）过点P（﹣4，1）且与直线3x﹣4y+6=0垂直的直线方程是（）A．4x﹣3y﹣19=0 B．4x+3y+13=0 C．3x﹣4y﹣16=0 D．3x+4y﹣8=0 4．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5．（5分）点（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是（）A．B．C．D．6．（5分）直线kx﹣y+3k﹣2=0恒过一定点，则该定点的坐标（）A．（3，2） B．（﹣3，﹣2）C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）7．（5分）直线kx+y﹣1=0（k∈R）与圆x2+y2﹣2y=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与k值有关8．（5分）在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为（）A．B．C．D．9．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知点O为正方体ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD的中心，则下列结论正确的是（）A．直线OA1⊥平面AB1C1B．直线OA1∥直线BD1C．直线OA1⊥直线AD D．直线OA1∥平面CB1D1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且直线l过点（1，1），则直线l的一般式方程是．12．（4分）两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．13．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．14．（4分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为．15．（4分）圆C1：（x﹣1）+（y﹣1）2=4与C2：x2+（y﹣a）2=1相离，则a的取值范围．16．（4分）已知关于x方程x+m=有两解，则实数m取值范围是．17．（4分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．三、解答题（本大题共5小题，共72分要求书写工整，答题规范，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（14分）△ABC的三个顶点分别为A（0，4）、B（﹣2，6）、C（﹣8，0）（1）求边AC和AB所在直线的方程（2）求边AC上的中线BD所在的直线的方程．19．（14分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC1∥平面CDB1（2）求二面角C﹣AB﹣C1的正切值．21．（15分）已知：直线l：ax﹣y+4=0，圆C与x轴相切于点A（1，0），且过B （1+，3）（1）求圆C的方程；（2）若直线l与圆C相切，求a的值；（3）若直线l与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，a的值．22．（15分）设直线y=kx+1与圆C：x2+y2﹣2kx﹣2my﹣7=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，（Ⅰ）求m，k的值；（Ⅱ）若直线x=ay+1与C交P，Q两点，是否存在实数a使得OP⊥OQ，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．2014-2015学年浙江省衢州市五校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．135°B．120°C．60°D．45°【解答】解：直线x+y+1=0的向量为﹣1，直线的倾斜角为α，∴tanα=﹣1，∴α=135°．故选：A．2．（5分）两条异面直线a，b在平面α上的投影不可能的是（）A．一点和一条直线 B．两条平行线C．两条相交直线D．两个点【解答】解：A选项中的情况是可能出现的，当两异面直线中的一条与平面垂直时，两条异面直线a，b在平面α上的投影可能是一点和一条直线；B选项中情况是可以出现的，当两条异面直线处在两个平行的平面中且此两平面都与已知平面垂直时，两直线的投影是两条平行线；C选项中的情况是可以出现的，当两条异面直线处在两个平行的平面中且此两平面都不与已知平面垂直时，两直线的投影是两条相交直线；D选项中的情况不可能出现，因为只有当直线与平面垂直时，它在平面中的投影是一个点，由此知，若两异面直线在同一个平面的中的投影是两个点，由此两直线都与已知平面垂直，由线面垂直的性质知，此两直线平行，这与两直线异面，矛盾，故D选项中的情况不可能出现．故选：D．3．（5分）过点P（﹣4，1）且与直线3x﹣4y+6=0垂直的直线方程是（）A．4x﹣3y﹣19=0 B．4x+3y+13=0 C．3x﹣4y﹣16=0 D．3x+4y﹣8=0【解答】解：直线3x﹣4y+6=0的斜率为：．过点P（﹣4，1）且与直线3x﹣4y+6=0垂直的直线的斜率为：，有点斜式方程可得：y﹣1=（x+4）．即4x+3y+13=0过点P（﹣4，1）且与直线3x﹣4y+6=0垂直的直线方程是4x+3y+13=0．故选：B．4．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【解答】解：A．平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面，∴A错误．B．垂直于同一平面的两条直线平行，∴B正确．C．平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，可能相交，∴C错误．D．垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，∴D错误．故选：B．5．（5分）点（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：点（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是：=故选：D．6．（5分）直线kx﹣y+3k﹣2=0恒过一定点，则该定点的坐标（）A．（3，2） B．（﹣3，﹣2）C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）【解答】解：直线kx﹣y+3k﹣2=0 即k（x+3）﹣y﹣2=0，令x+3=0，求得x=﹣3，y=﹣2，故直线kx﹣y+3k﹣2=0恒过定点的坐标为（﹣3，﹣2），故选：B．7．（5分）直线kx+y﹣1=0（k∈R）与圆x2+y2﹣2y=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与k值有关【解答】解：圆x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径为：1．直线kx+y﹣1=0（k∈R）恒过（0，1）．显然直线恒过的是圆的圆心，所以直线与圆的位置关系是相交．故选：A．8．（5分）在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：可在原图基础上，再向下加一个正方体ABB1A1﹣MNPQ．在连接B1Q，DQ，则∠DB1Q为所求异面直线所成角或其补角．cos∠DB1Q===0所以，∠DB1Q=90°，即AC与B1D所成的角的大小为90°．故选：D．9．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴由弦长公式得，圆心到直线的距离小于或等于1，∴≤1，∴8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故选：D．10．（5分）已知点O为正方体ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD的中心，则下列结论正确的是（）A．直线OA1⊥平面AB1C1B．直线OA1∥直线BD1C．直线OA1⊥直线AD D．直线OA1∥平面CB1D1【解答】解：根据正方体的性质可知A1E=OC，A1E∥OC∴四边形A1ECO为平行四边形则A1O∥EC而A1O⊄平面CB1D1，EC⊂平面CB1D1∴直线OA1∥平面CB1D1故选：D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且直线l过点（1，1），则直线l的一般式方程是x﹣y=0，或x+y﹣2=0．【解答】解：当直线过原点时，方程为y=x，即x﹣y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（1，1）代入直线的方程可得k=2，故直线方程是x+y﹣2=0．综上，所求的直线方程为：x﹣y=0，或x+y﹣2=0，故答案为：x﹣y=0，或x+y﹣2=0．（不是一般式或者漏答都不给分）12．（4分）两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．【解答】解：由直线x+3y﹣4=0取一点A，令y=0得到x=4，即A（4，0），则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y﹣9=0的距离d===．故答案为：13．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．14．（4分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为1．【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心是（﹣1，2）圆心在直线3x+2y+a=0上，∴﹣3+2+a=0，∴a=1故答案为：115．（4分）圆C1：（x﹣1）+（y﹣1）2=4与C2：x2+（y﹣a）2=1相离，则a的取值范围a或a．【解答】解：圆C1：（x﹣1）+（y﹣1）2=4的圆心（1，1），半径为：2；圆C2：x2+（y﹣a）2=1的圆心（0，a），半径为：1．∵两个圆相离，∴＞1+2．解得a或a．故答案为：a或a．16．（4分）已知关于x方程x+m=有两解，则实数m取值范围是1．【解答】解：∵关于x方程x+m=有两解，∴转化为：y=x+m，与y=，有2个交点，∵m＞0，=1，m=，∴根据图象可知实数m取值范围：1，故答案为：1，17．（4分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件AC⊥BD或四边形ABCD为菱形时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【解答】解：若A 1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1BB1，则A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形．三、解答题（本大题共5小题，共72分要求书写工整，答题规范，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（14分）△ABC的三个顶点分别为A（0，4）、B（﹣2，6）、C（﹣8，0）（1）求边AC和AB所在直线的方程（2）求边AC上的中线BD所在的直线的方程．【解答】解：（1）∵A（0，4），C（﹣8，0），∴直线AC的截距式方程得：，化简得x﹣2y+8=0…（3分）∵B（﹣2，6），A（0，4）∴由直线的两点式方程，得AB方程为，即x+y﹣4=0综上所述，边AC所在直线的方程为x﹣2y+8=0，边AB所在直线的方程为x+y﹣4=0…（6分）（2）设点D（x，y），由线段的中点坐标公式，可得，∴AC中点D坐标为（﹣4，2）再由直线的两点式方程，得BD所在直线的方程为，化简得2x﹣y+10=0，即为所求边AC上的中线BD所在的直线的方程．…（12分）19．（14分）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．【解答】解：（1）连接OM ，则OM ⊥AB设OM=r ，OB=﹣r ，在△BMO 中，sin ∠ABC==⇒r=∴S=4πr 2=π．（2）∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，∴AC=1．∴V=V 圆锥﹣V 球=π×AC 2×BC ﹣πr 3=π×﹣π×=π． 20．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点，（1）求证：AC 1∥平面CDB 1（2）求二面角C ﹣AB ﹣C 1的正切值．【解答】（本题14分）解：（1）连接DE，由题意可知：DE为△ABC1的中位线，可知DE∥AC 1﹣﹣﹣﹣（3分）由⇒AC1∥平面CDB﹣﹣﹣﹣（4分）（2）过点C作AB的垂线CF交AB于点F，连C1F∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱∴CC1⊥AB，又由AB⊥CF且CC1∩CF=C∴AB⊥平面CFC1，∴AB⊥FC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）于是有⇒∠CFC1为C﹣AB﹣C1的平面角﹣﹣﹣﹣（2分）题意以及等积法可得FC==在Rt△C1CF中，CC1=4，CF=∴tan∠CFC1==．∴二面角C﹣AB﹣C1的正切值为﹣﹣﹣﹣﹣（3分）21．（15分）已知：直线l：ax﹣y+4=0，圆C与x轴相切于点A（1，0），且过B （1+，3）（1）求圆C的方程；（2）若直线l与圆C相切，求a的值；（3）若直线l与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，a的值．【解答】解：（1）设圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣r）2=r2，r是圆的半径，由题意可知B（1+，3）在圆上：（）2+（3﹣r）2=r2，解得r=2，所求圆的分方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（2）因为直线l：ax﹣y+4=0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，于是：2=，解得a=0或a=．（3）弦AB的长为2，由r=2可得，弦心距d2=r2﹣，从而解得d=1，d=，代入数据可得：1=解得22．（15分）设直线y=kx+1与圆C：x2+y2﹣2kx﹣2my﹣7=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，（Ⅰ）求m，k的值；（Ⅱ）若直线x=ay+1与C交P，Q两点，是否存在实数a使得OP⊥OQ，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由M，N关于直线x+y=0对称，可知所求的直线的斜率k=1∵根据圆的性质可得直线y+x=0过圆的圆心C（1，m）∴m=﹣1（Ⅱ）把x=ay+1代入（x﹣1）2+（y+1）2=9得（1+a2）y2+2y﹣8=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，若OP⊥OQ，则有x1x2+y1y2=（ay1+1）（ay2+1）+y1y2=（1+a2）y1y2+a（y1+y2）+1=即7a2+2a+7=0，方程无实数根，所以满足条件的实数a不存在．。

浙江省衢州市五校2014-2015学年高二上学期期中联考数学试题

浙江省衢州市五校2014-2015学年高二上学期期中联考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）45D 60 C 120 B 135 A )(011、、、、的倾斜角为直线=++y x 、2、两条异面直线,a b 在平面α上的投影不．可能的是（） A 、一点和一条直线 B 、两条平行线 C 、两条相交直线 D 、两个点 3、过点)1,4(-p )且与直线0643=+-y x 垂直的直线方程是( )A 01934=--y x 、B 01334=++y x 、C 01643=--y x 、D 0843=-+y x 、 4、已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是（）.A 、若m ∥,n α∥α,则m ∥nB 、若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC 、若n ∥,n α∥β,则α∥βD 、若,m n αα⊥⊥,则m ∥n5、点()1,1-到直线10x y -+=的距离是（）A 、12 B 、32 C D 6、直线023=-+-k y kx 恒过一定点，则该定点的坐标（）A )2(3，、B )2,3(--、C )3,2(、D )3--2(，、 7、直线()R k y kx ∈=-+01与圆0222=-+y y x 的位置关系是 ( )A 、相交B 、相切C 、相离D 、与k 值有关8、在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，AC 与B 1D 所成的角的大小为( ) A 、π6 B 、π4 C 、π3 D 、π29、直线3+=kx y 与圆4)2()3(22=-+-y x 相交于M ，N 两点，若23MN ≥ 则k 的取值范围是（）A 、 3(,][0,)4-∞-+∞ B 、 1[,0]3-C 、 1(,][0,)3-∞-+∞ D 、 3[,0]4-10、如右下图：已知点O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列结论正确的是( )A 、直线OA 1⊥直线ADB 、直线OA 1∥直线BD 1C 、直线OA 1⊥平面AB 1C 1D 、直线OA 1∥平面CB 1D 1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11、已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且直线l 过点)1,1(，则直线l 的一般式方程．．．．．是 . 12、两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是 . 13、若圆锥的侧面积为π2，底面面积为π，则该圆锥的体积为_____________. 14、若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心，则a 的值为_____________ 15、_______1)(:4)1()1(:22221的取值范围相外离，则与圆圆a a y x C y x C =-+=-+-16、已知关于x 的方程21x m x -=+有两解，则实数m 的取值范围是__________________。

浙江省衢州第二中学高三上学期期中——数学(理)数学理

浙江省衢州第二中学 2014届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知是虚数单位，设复数，，则在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设全集且,{}2|680B x x x =-+<,则（）A ．B ．C ．D ．3．把函数（）的图象向左平行移动个单位长度，再把所得图象的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（） A ．， B ．， C ．， D ．，4．等差数列的前项和当首项和公差变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的是（）A ．B ．C ．D ．5．集合{}*|ln ,P x x k k N ==∈，若，则，那么运算可能是（）A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法 6．在中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，为边长为2的等边三角形，若，且是线段上的四等分点，则123AC AP AC AP AC AP ⋅+⋅+⋅的值是（） A ． B ． C ． D ．8．若函数32()|1|f x x a x a R =+-∈，则对于不同的实数，则函数的单调区间个数不可能．．．是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个9．若双曲线的焦点关于渐近线对称的点恰在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B ． C ．2 D ． 10．如图，函数的图象为折线ABC ，设，()()*1,n n f x f f x n N +=∈⎡⎤⎣⎦，）A ．B ．12．设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为．． 13．若函数有最小值，则a 的取值范围是．14．已知奇函数是定义在上的增函数，数列是一个公差为2的等差数列，满足891011()()()()0f x f x f x f x +++=,则的值为．15．函数[]()2s i n 0,y x x π=∈在点处的切线与函数在点处切线平行，则直线的斜率是．16．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，直线的倾斜角为，直线过的右焦点，且与相交于两点（可互换），若，则的取值范围是． 17．已知函数1()1f x x=-，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则的取值情况可能的是：．①． ②． ③． ④．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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2014-2015学年浙江省衢州二中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（0，1）2．（5分）已知α，β是平面，a，b，c是直线，O是点．下列五个命题：①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若a∥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥α，b⊂α，则a∥b；④若a∥α，b∥α，则a∥b；⑤若a∩b=O，a∥α，则b与α平行或相交．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（5分）已知c是椭圆C：的半焦距，则的取值范围是（）A． B．C．D．4．（5分）已知实数m，n满足m2+n2=2，则点P（m+n，m﹣n）的轨迹方程是（）A．x2+y2=1 B．x2﹣y2=1 C．x2+y2=2 D．x2+y2=45．（5分）直线y=x+3与曲线﹣=1（）A．没有交点B．只有一个交点C．有两个交点D．有三个交点6．（5分）F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．（5分）已知定点，动点P在抛物线C：y2=2x上，点P在y轴上的射影是M，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．B．4 C．D．58．（5分）过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（）A．|k|≥1 B．|k|＞C．|k|≤D．|k|＜19．（5分）双曲线y=的焦距为（）A．B．2 C．2 D．410．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．2 B．C．1 D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是．12．（4分）渐近线方程为x±y=0的双曲线过点，则此双曲线的标准方程为．13．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为．14．（4分）已知点，椭圆与直线交于点A、B，则△ABM的周长为．15．（4分）已知F1，F2分别是椭圆C：=1的左、右焦点，P为椭圆C上一点，M是PF1的中点，|OM|=3，则点P到椭圆左焦点F1的距离|PF1|=．16．（4分）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，P是抛物线C上的动点，若定点A （﹣1，0），则的最小值为．17．（4分）已知F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A，B，M是直线l与椭圆C的一个公共点．若，则λ+e2=．三、解答题（本大题共5小题，14分+14分+14分+15分+15分，共72分）18．（14分）一个椭圆C1的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，一双曲线C2和椭圆C1有公共焦点，且双曲线C2的实半轴长比椭圆C1的半长轴长小4，双曲线C2的离心率e2与椭圆C1离心率e1之比为7：3，求椭圆C1和双曲线C2的方程．19．（14分）已知抛物线C：y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A，B两点，O 为坐标原点．（1）求的值；（2）当△AOB的面积为时，求实数k的值．20．（14分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，经过A（a，0），B（0，﹣b）两点的直线l与原点的距离d=（1）求双曲线C的方程；（2）直线y=kx+5与双曲线C交于M，N两点，若|BM|=|BN|，求斜率k的值．21．（15分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A 和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．22．（15分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和⊙C2：x2+y2=r2（r＞0）都经过点P（﹣1，0），且椭圆C1的离心率e=，过点P作斜率为k1，k2的直线l1，l2分别交椭圆C1、⊙C2于点A，B，C，D，k1=λk2．（1）求椭圆C1和⊙C2的方程；（2）若直线BC恒过定点Q（1，0）求实数λ的值；（3）当k1=时，求△PAC面积的最大值．2014-2015学年浙江省衢州二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（0，1）【解答】解：∵抛物线的方程是y2=4x，∴2p=4，得=1，∵抛物线y2=2px的焦点坐标为F（，0）∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．故选：C．2．（5分）已知α，β是平面，a，b，c是直线，O是点．下列五个命题：①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若a∥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥α，b⊂α，则a∥b；④若a∥α，b∥α，则a∥b；⑤若a∩b=O，a∥α，则b与α平行或相交．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于①，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a与b异面，故①错误；对于②，若a∥b，a⊥c，则b⊥c，故②正确；对于③，若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，故③错误；对于④，若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交，或a与b异面，故④错误；对于⑤，若a∩b=O，a∥α，则b与α平行或相交，故⑤正确．故选：B．3．（5分）已知c是椭圆C：的半焦距，则的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边分别为b、c，斜边为a，由直角三角形的2个直角边之和大于斜边得：b+c＞a，∴＜1，又∵=，∴∴故选：B．4．（5分）已知实数m，n满足m2+n2=2，则点P（m+n，m﹣n）的轨迹方程是（）A．x2+y2=1 B．x2﹣y2=1 C．x2+y2=2 D．x2+y2=4【解答】解：令x=m+n，y=m﹣n，解得m=，n=∵m2+n2=2，∴，即：x2+y2=4．故选：D．5．（5分）直线y=x+3与曲线﹣=1（）A．没有交点B．只有一个交点C．有两个交点D．有三个交点【解答】解：当x≥0时，曲线﹣=1方程可化为：﹣=1…①将y=x+3代入①得：5x2﹣24x=0，解得x=0或，x=，即此时直线y=x+3与曲线﹣=1有两个交点；当x＜0时，曲线﹣=1方程可化为：+=1…①将y=x+3代入①得：13x2+24x=0，解得x=0（舍去）或，x=，即此时直线y=x+3与曲线﹣=1有一个交点；综上所述直线y=x+3与曲线﹣=1有三个交点故选：D．6．（5分）F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：由题意，延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，∵PQ是∠F1PF2的外角平分线，且PQ⊥MF1∴△F1MP中，|PF1|=|PM|且Q为MF1的中点由三角形中位线定理，得|OQ|=|MF2|=（|MP|+|PF2|）∵由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，（2a是椭圆的长轴）可得|MP|+|PF2|=2a，∴|OQ|=（|MP|+|PF2|）=a，可得动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2∴点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆．故选：A．7．（5分）已知定点，动点P在抛物线C：y2=2x上，点P在y轴上的射影是M，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．B．4 C．D．5【解答】解：依题意可知焦点F（0），准线x=﹣，延长PM交准线于H点．则|PF|=|PH||PM|=|PH|=|PA|﹣，|PM|+|PA|=|PF|+|PA|，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①设直线FA与抛物线交于P0点，可计算得P0（3，），另一交点（，﹣）舍去，当P重合于P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|=，则所求为|PM|+|PA|=﹣=，故选：C．8．（5分）过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（）A．|k|≥1 B．|k|＞C．|k|≤D．|k|＜1【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣4），由消去y，得（3﹣k2）x2+8k2x﹣16k2﹣12=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线AB与双曲线的右支有两个不同的交点，∴，化简此不等式组可得k2＞3，即|k|＞．故选：B．9．（5分）双曲线y=的焦距为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：因为双曲线的实轴为y=x，所以双曲线与实轴的交点为：（1，1），所以a=，2a=2，因为双曲线的渐近线是坐标轴，是等轴双曲线，所以双曲线的离心率为，所以c=2，2c=4．故选：D．10．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤，即的最大值为．故选：D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是平行、相交或异面．【解答】解：因为直线a，b不一定在同一个平面内，所以如果在同一个平面内，两条直线平行，如果不在同一个平面内，如墙角线，两条直线相交，或者异面．如果在同一个平面内，两条直线平行，如果不在同一个平面内，如墙角线，两条直线相交，或者异面．故答案为：平行、相交或异面．12．（4分）渐近线方程为x±y=0的双曲线过点，则此双曲线的标准方程为y2﹣．【解答】解：由题意可知，可设双曲线的方程是x2﹣2y2=m，把点代入方程解得m=﹣2，故所求的双曲线的方程是：x2﹣2y2=﹣2，即：y2﹣故答案为：y2﹣．13．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故答案为：60°14．（4分）已知点，椭圆与直线交于点A、B，则△ABM的周长为8．【解答】解：椭圆中，a=2，b=1，c=，∴为椭圆的右焦点，直线过椭圆的左焦点，∴△ABM的周长为4a=8故答案为：815．（4分）已知F1，F2分别是椭圆C：=1的左、右焦点，P为椭圆C上一点，M是PF1的中点，|OM|=3，则点P到椭圆左焦点F1的距离|PF1|=4．【解答】解：∵F1，F2分别是椭圆C：=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|+|PF2|=2a=10，∵M是PF 1的中点，O是F1F2中点，∴|OM|=|PF2|=3，则|PF2|=6，|PF1|=10﹣6=4．故答案为：4．16．（4分）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，P是抛物线C上的动点，若定点A（﹣1，0），则的最小值为．【解答】解：设P（x，y），则y=4x，∵定点A（﹣1，0），F（1，0），∴===设t=，x≥0，0＜t≤1，∴=，0＜t≤1，当t=时，g（t）=﹣4t2+4t+1最大值为2，∴最小值为．故答案为：．17．（4分）已知F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A，B，M是直线l与椭圆C的一个公共点．若，则λ+e2=1．【解答】解：由于直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A，B，则A（﹣，0），B（0，a），消去y，由e=，得x2+2cx+c2=0，解得M（﹣c，a﹣ec），则即有（﹣c+，a﹣ec）=λ（，a），即有，则有1﹣e2=λ，即λ+e2=1．三、解答题（本大题共5小题，14分+14分+14分+15分+15分，共72分）18．（14分）一个椭圆C1的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，一双曲线C2和椭圆C1有公共焦点，且双曲线C2的实半轴长比椭圆C1的半长轴长小4，双曲线C2的离心率e2与椭圆C1离心率e1之比为7：3，求椭圆C1和双曲线C2的方程．【解答】解：设椭圆、双曲线的标准方程分别为+=1（a1＞b1＞0）、（a2＞0，b2＞0），由题意得，解得a1=7，a2=3，b1=6，b2=2，所以椭圆C1和双曲线C2的标准方程分别为=1和=1．19．（14分）已知抛物线C：y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A，B两点，O 为坐标原点．（1）求的值；（2）当△AOB的面积为时，求实数k的值．【解答】解：（1）将直线方程代入抛物线方程，消去y，得，k2x2+（2k2+1）x+k2=0，（k≠0），设A（x 1，y1），B（x2，y2），则x1•x2=1，又联立直线方程和抛物线方程，消去x，得，ky2+y﹣k=0，则y1y2=﹣1，y1+y2=﹣，则有=x1x2+y1y2=1﹣1=0；（2）直线l：y=k（x+1）恒过点（﹣1，0），则△AOB的面积为S=|y1﹣y2|===，解得，k=．20．（14分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，经过A（a，0），B（0，﹣b）两点的直线l与原点的距离d=（1）求双曲线C的方程；（2）直线y=kx+5与双曲线C交于M，N两点，若|BM|=|BN|，求斜率k的值．【解答】解：（1）由题意可得，，解得，a=，b=1，c=2；故双曲线C的方程为：；（2）由题意可得，即（1﹣3k2）x2﹣30kx﹣78=0，设MN的中点为E，则E（，），则k EB=，则k•=﹣1，解得，k=．21．（15分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A 和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB 的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1故椭圆C的方程为（4分）（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设S（x1，y1），则得，从而即，（6分）又B（2，0）由得，∴，（8分）故又k＞0，∴当且仅当，即时等号成立．∴时，线段MN的长度取最小值（10分）（2）另解：设S（x s，y S），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：又所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最小值．（3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为，∴（11分）要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件．（14分）22．（15分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和⊙C2：x2+y2=r2（r＞0）都经过点P（﹣1，0），且椭圆C1的离心率e=，过点P作斜率为k1，k2的直线l1，l2分别交椭圆C1、⊙C2于点A，B，C，D，k1=λk2．（1）求椭圆C1和⊙C2的方程；（2）若直线BC恒过定点Q（1，0）求实数λ的值；（3）当k1=时，求△PAC面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0），且椭圆C1的离心率e=，∴，解得a=1，c=，∴，∴椭圆C1的方程为x2+2y2=1．∵⊙C2：x2+y2=r2（r＞0）经过点P（﹣1，0），∴1=r2，∴⊙C2的方程为x2+y2=1．（2）设直线BC为y=k1（x+1），∵过点P作斜率为k1，k2的直线l1，l2分别交椭圆C1、⊙C2于点A，B，C，D，联立，得，联立，得，∴A（，），B（，），C（，），D（，），∵k1=λk2．直线BC恒过定点Q（1，0），∴，∴（，）∥（），∴k1=2k2，解得λ=2．（3）当k1=时，A（），∴|PA|=，=，∴S=≤，∴k2=时，（S△PAC）max=．。