大学物理第05章_刚体的转动

mg 2 a 5m s mM 2
?
1 2 h at 2.5m 2
T 40 N
例6.一质量为m，长为l 的均质细杆，转轴在o点，距 A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动， 求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直 位置时的角速度和角加速度。
解：J o J c md Nhomakorabea2 2

2
0
1 2 mr d (mr M 0 R ) d 0 2
2 2
2 mr 1 2 2 mr M 0 R 2
2
3-1-5 力矩的功
dW F ds F sin rd
力矩： M
z
F
Fr sin dW Md
r
O
F
r
第5章 刚体的转动
本章内容
5.1 刚体转动的描述
5.2 转动惯量及计算
5.3 转动定律
5.4 转动定律的应用
5.5 角动量守恒
5.6 转动中的功和能
5.7* 进动
5.1 刚体转动的描述
刚体 在受力时不改变形状和体积的物体 刚体是固体物件的理想化模型
刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且 在外力作用下，各个质元的相对位置保持不 变
2
l 2
2
m 1m 3l J x dx x 0 0 l 3 l
1.将棒弯一半成90度; 2.将Z轴移至细棒中心位置;
1 2 J ml 3 1 2 (2) J ml 12
例2. 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中 心并与盘面垂直的Z轴转动惯量。 解：
dm 2 rdr
说明：
1. 物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量 和角速度的乘积不变。方向也不变。 2. 几个物体组成的系统， 绕一公共轴转动，则对该 公共转轴的合外力矩为零 时，该系统对此轴的总角 动量守恒
J ω 恒量
i i i
常平架回转仪装置
轴承光滑，在不太长的 时间内，空气与轴摩擦 阻力的冲量矩和回转仪 的角动量相比是很小的! 可近似认为: 角动量守恒，矢量方向 不变表现为转轴方向不 变，大小不变表现为回 转仪的恒定角速率转动
3g d cos d 2l


0
d

2
0
3g cos d 2l
A
c o
1 2 3g 3g 2 sin 0 2 2l 2l
3g l

B
0
例7. 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的 水平面上。若它的初速度为o，绕中o心旋转，问经 过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）
d dt

P点线速度
v r r
P点线加速度
dv d dr a r r v dt dt dt

旋转(切向)加速度
向轴(法向)加速度
5.2
转动惯量及计算
质元：组成物体的微颗粒元
质元对点的角动量为
u ( M 3m) v M 3m
6mu ( M 3m)l
例10. 一长为l，质量为M的杆可绕支点o自由转动。 一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。 若棒偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。 解： 角动量守恒： 子弹作为刚体,射入前的角动量：
2 2 V V
J r 2 dm r 2 dS （面质量分布）
S S
J r 2 dm r 2 dl
L L
（线质量分布）
例1. 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。 解：
J r dm
2
z
m dm dx dx l
o O
dm
x dx
x
r x
解： 由系统角动量守恒
小球作为刚体,对定轴角动量 为: 2
o
u
(J )球0 ml mul
(J )杆 (J )球1 (J )杆 mvl
解题思路 1. 写出角动量守恒表达式; 2. 写出机械能守恒表达式; 3. 解方程组;
mul (J )杆 mvl
机械能守恒
1 1 2 1 2 2 mu mv J 2 2 2
6mu ( M 3m)l
u ( M 3m) v M 3m
由冲量与冲量矩 设碰撞时间为t
y
Ft mv (mu)
F lt J 0
消去t
o
u
mul J mvl
1 1 1 2 2 2 mu m v J 2 2 2
2
J r dm 2 r 3dr
J 2 r dr
3 0
R
R
o
r
dr

R
2
4
1 2 mR 2
1. 将圆盘切成一半;2. 将轴平行移至与盘边缘相 切处; 3.将Z轴移至通过圆心并在圆面上;
平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚 体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是
W Jd
1 2
dW Md
1 2 1 2 J2－ J1 2 2
刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所 做的功等于刚体转动动能的增量。
例9. 质量为M，长为2l 的均质细棒，在竖直平面内可 绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的 小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。 求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。
转动惯量 J 是刚体转动惯性的量度
例5. 质量为M =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求 （1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）绳 子的张力。
解： mg T ma
1 T Ma 2
M
T m m1 mg
1 1 2 2 a M TR J MR MR 2 2 R
3R dt d 4 g
3R 0 dt 0 4 g d
t 0
3R 0 t 4 g
3-1-4 刚体对定轴的角动量守恒定律
刚体对定轴的角动量定理
当

t2
t1
M z d t L2 z L1z
Mz 0
时
Lz Jω 恒量
刚体对定轴的角动量守恒定律：
当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时， 刚体对该转轴的角动量保持不变。 注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕 定轴转动的任意物体系统。
1 2 2 M 0 R mr ( ) 0 2
r
o R
1. 写出人的绝对角速度; 2. 运用角动量守恒定理; 由系统角动量守恒知 : 3. 积分求解;
1 2 mr (mr M 0 R ) 2 1 2 d 2 2 d mr (mr M 0 R ) dt 2 dt
解
dM dF r dmg r
dr r o R
m 2mrdr dm 2 r dr 2 2 R R
2mgr 2 dr dM 2 R
M dM
R
0
2 mgr dr 2 mgR 2 R 3
2
d M J dt
2 1 2 d mgR mR 3 2 dt
Lz Liz mi ri 2 ( mi ri 2 )
i i i
令
J z mi ri
i
2
kg m 2
J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量。
Lz J z
结论： 刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量 的分布以及转轴的位置有关。 对于质量连续分布的刚体：
J r dm r dV（体质量分布）
o
r
1 2 19 2 2 J 2 J md mr m3r mr 2 2 4 2 19 2 65 2 J J1 J 2 mr mr mr 3 2 6
5.3 转动定律
由质点系对轴的角动量定理，可得
d Lz d( J z ) Mz dt dt
两边乘以dt，并积分
z
J rG m
rG
J mr
2 G
例4. 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m， 半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r） 解： 摆杆转动惯量：
1 4 2 2 J1 m2r mr 3 3 解题思路
1. 确定研究对象属性; 摆锤转动惯量： 2. 写出摆杆转动惯量; 3. 写出摆锤转动惯量; 4. 计算钟摆转动惯量 ; 2 c
m x m y
yi
xi x ri Δ mi y
Jx J y
z
例3. 已知圆盘JZ=0.5mR2, 求对圆盘的一条直径的Jx
m 圆盘 R
x y
由

C
J J J y x z Jx Jy 1 J J mR 2 x y 4
回转半径
设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯量 为J，则定义物体对该转轴的回转半径rG为：
整个刚体的转动动能：
ri
vi
mi
1 2 2 Ek Eki mi ri 2
1 2 2 ( mi ri ) 2
1 2 Ek J 2
设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功：
d 由转动定律 M J dt d 有 dW J d J d dt
2 2
C
d
平行
J Z mi (ri d 2dxi)
2 2 i
J Z mi ri2 mi d 2 2d mi xi
i i i