13 第14讲函数极限存在性的判定准则
高数课件-极限的存在准则
注意：上面极限中的 e 在当时只是极限值的记号，而现在
已经成为重要的数值。
以 e 为底的对数称为自然对数.记作 ln x ，即 ln x loge x . 函数 y ln x 与函数 y ex 互为反函数.
e 为无理数，其值为 e=2.718281828459045…。
在第
13
章中将有
e
n0
证 ①由 xn1 xn
2 xn
2 xn1
xn xn1
，
2 xn 2 xn1
知 xn1 xn 与 xn xn1 同号，以此类推， xn1 xn 与
x2 x1 2 2 2 0 同号， {xn} 单调增加。
22-22
续证 ② x1 2 2, x2 2 x1 2 2 2, ， 一般地， xn 2 xn1 2 2 2 ，
由第一重要极限的推广形式得 lim x0
2 1 x
2
1 cos
故 lim x0
x2
x
1 2
(lim x0
sin x 2 )2
x
1 2
12
1. 2
2
22-12
例 2.5.5
求
lim
x x0
sin
x x
sin x0
x0
.
解
lim sin x sin
x0
lim
2 sin
x x0 2
cos
x x0 2
1 n!
1
1 1!
1 2!
1 3!
1 n!
.
22-24
证明思路:
⑴先利用均值不等式证明数列{(1 1)n} 单增且有上界；然 n
后由单调有界准则知数列{(1 1)n} 收敛，即极限lim(1 1)n
函数极限的性质和收敛准则
函数极限的性质和收敛准则函数极限是在数学分析中一个重要的概念，它包含了许多重要的性质和收敛准则。
在本文中，我们将讨论函数极限的性质和收敛准则，并详细介绍每个性质和准则的定义和证明。
一、函数极限的性质1. 唯一性性质：如果一个函数存在极限，那么它的极限是唯一的。
也就是说，如果f(x)存在极限L，则该极限是唯一的。
这个性质可以通过反证法来证明。
假设存在两个不同的数L1和L2都是f(x)的极限，即limx→a f(x) = L1和limx→a f(x) = L2、由于L1≠L2，根据极限的定义可以找到一个ε>0，使得对于任意的δ>0，当0<，x-a，<δ时，必有，f(x)-L1，<ε和，f(x)-L2，<ε，这导致矛盾。
2. 有界性质：如果一个函数存在极限，那么它在极限点的一些邻域内是有界的。
也就是说，如果limx→a f(x)存在，则存在一个正数M，使得在a的一些邻域内，有，f(x)，≤M。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
3.保号性质：如果一个函数存在极限，并且极限为L，则存在ε>0，使得当0<，x-a，<δ时，有f(x)>0或f(x)<0。
也就是说，在足够接近极限点时，函数的取值保持正号或负号。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
4. 夹逼性质：如果函数f(x)满足对于任意的x∈(a-d,a+d)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x)也存在，且limx→a f(x) = L。
二、函数极限的收敛准则1. Cauchy收敛准则：如果一个函数f(x)满足对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<，x-a，<δ，以及0<，y-a，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。
那么函数f(x)在x→a时收敛。
极限存在判定与求法
0，不论x的
t 0
趋势如何，都有
lim
1
o(
1
x) o(x)
e
例3 解
求极
限
lim
1
2
3x1
。
x x
lim
1
2 3x1
lim
1
2 6( x )1 2
x x
x x
lim
x
1
2 x
x 2
6
1
2 x
e6
16
2020年6月11日星期四
练习
1)
求
极
限lim
1
2
1
xx
。
2020年6月11日星期四
§2.3 极限存在性的判定与求法
一、极限存在性的判断准则 前面我们学习了计算极限的几种基本方法。但是对于一些
稍微复杂的极限，如三角函数、反三角函数、对数函数、指数 函数等混合式的极限，很难用前面的方法计算。下面介绍两个 极限的存在性的判断定理，这两个定理不仅是微积分的理论基 础，在极限的计算中也有重要作用。
注：1. 利用这些结果计算极限时，要注意自变量的变化趋势，
例如我们证明过
lim sin x 0 。 x x
2. 利用这个重要极限求极限时，只要o(x) →0，不论x的变化
趋势如何，都有 lim sin o(x) 1
o(x)
例如
由于 lim
1
0
，则 lim n sin 1
lim
sin 1 n
1
。
备忘 lim ln(1 x) 1 x0 x
lim ex 1 1 x0 x
得结论（变量的等价代换）：
x 0时，
函数极限存在的条件
函数极限存在的条件
极限是一种数学概念，它指函数针对某个变量在某个取值附近一组值集合所向上或向下无限趋近的状态。
极限运算可以用来判断函数是否存在极限，以及求出其值。
在函数的极限存在的条件下，可以使用极限概念来求出函数的行为。
1. 变量不可绝对值取值：函数的极限只有在变量不绝对取值时才存在。
例如，函数f(x)=1/x，当x→0时，这个函数没有定义边界值，因此它没有极限。
3. 函数的连续性：函数的极限只有在函数的连续性情况下才会存在。
数学定义中，连续性指函数被根据变量关系进行连续求值之后，变量的取值域完整无残缺。
换言之，连续的函数随着变量的取值变化，函数的取值也会跟随变化，即使变量取值近似趋于某一值也是如此。
因此，当函数具有连续性时，函数的极限也会存在。
4. 对称性：函数的极限只有在函数具有对称性时才会存在，这是由于对称性会使函数的变化情况一致，从而可以使极限数存在。
例如：函数f(x)=x2-2，其图像呈对称性，并且随着x增大（或减小），函数值逐渐向某一特定值无穷近，因此该函数的极限存在于x=0，且极限值为-2。
判断函数极限是否存在的方法
判断函数极限是否存在的方法判断函数极限是否存在是微积分中的重要概念之一。
在实际问题中，判断函数极限的存在性可以帮助我们更好地理解函数的行为，进行数学建模和预测。
在本文中，我们将介绍判断函数极限存在的方法，并详细讨论极限的定义、性质和计算方法。
我们将首先介绍极限的定义，然后讨论函数极限的性质和计算方法。
最后，我们将通过一些例题对判断函数极限存在性的方法进行详细说明。
1.极限的定义在微积分中，我们用极限来描述函数在某一点处的“接近性”。
当自变量x趋于某个值a时，函数f(x)的极限存在，表示当x足够接近a时，f(x)的取值也足够接近一个确定的数L。
这个数L即是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
根据这个定义，我们可以得到极限存在的三个要素：自变量x趋于某个值a、函数f(x)在a的邻域内有定义、函数f(x)的取值趋于一个确定的数L。
因此，要判断函数极限是否存在，我们需要根据这三个要素来进行分析和判断。
2.函数极限的性质函数极限存在的性质主要包括唯一性、局部有界性、局部保号性和局部保序性。
唯一性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则它的极限值是唯一的。
局部有界性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则它在该邻域内有界。
局部保号性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L（L>0），则在该邻域内，函数的取值大于0。
局部保序性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则在该邻域内，函数的取值的大小顺序与自变量的大小顺序一致。
这些性质为判断函数极限的存在性提供了重要依据。
在实际问题中，我们可以根据这些性质来判断函数极限是否存在，并进一步进行相关的分析和计算。
3.函数极限的计算方法判断函数极限的存在性和计算实际上是相辅相成的。
只有在判断函数极限存在的前提下，我们才能进行具体的计算。
函数极限的计算方法主要包括极限的四则运算法则、极限的夹逼定理、极限的连续性定理和极限的分部求极限法等。
高等数学极限存在准则-PPT
lim 1
t
说明
：若利用
lim (1
( x)
1 (x)
)
(
x
)
e,
则
原式
lim (1
x
1 x
)
x
1
e1
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例7. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
1 x
)2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2x) 2
1
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
e
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二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1
x
oC
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
注
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例2. 求
解:
lim tan x0 x
且
(xn )
xn x0 , f (xn ) 有定义
有 lim
n
f
(xn )
A.
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
xn x0 ,
使
lim
极限存在准则和其应用
x2 x1
x
二 、极限存在准则的应用
1 1 1 1 例1 已知数列 xn , 其中 xn 1 1! 2! 3! n!
证明 此数列极限存在。
证：xn 显然单调递增，且
1 1 1 1 xn 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 n n 1 1- 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 1 2 2 2 1 2
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
bn
1 2 1.5 1.666666667 1.6 1.625 1.615384615 1.619047619 1.617647059 1.618181818 1.617977528 1.618055556 1.618025751
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。高（ 137米）与底边长（227米）之比为0.629,但这些金字塔底 面的边长与高之比都接近于0.618.
绘画艺术中的黄金分割
蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体 现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完 美.
大自然中的斐波那契数列
• 花瓣的数目
3 证： b1 1， b2 2， b3 2 Fn Fn 1 Fn 1 1 bn 1 1 Fn Fn bn 1
用数学归纳法容易证明：
并求此极限。
(n 1,2,)
数列 b2 n 是单调减少的。 数列b2 n-1 是单调增加的；
又对一切 n, 1 bn 2 成立，
海棠（2）
钱兰（3）
大自然中的斐波那契数列
• 花瓣的数目
函数极限的存在准则
一、函数与极限
函数极限的存在准则
学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。
我们先来看一个例子：
例：符号函数为
对于这个分段函数,x 从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。
定义：如果x 仅从左侧(x＜x 0)趋近x 0时，函数与常量A 无限接近，则称A 为函数当
时的左极限.记：
如果x 仅从右侧(x＞x 0)趋近x 0时，函数与常量A 无限接近，则称A 为函数当时
的右极限.记：
注：只有当x→x 0时，函数的左、右极限存在且相等，方称在x→x 0时有极限
函数极限的存在准则
准则一：对于点x 0的某一邻域内的一切x，x 0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有≤≤，且，那末存在，且等于A 注：此准则也就是夹逼准则.
准则二：单调有界的函数必有极限.
注：有极限的函数不一定单调有界
两个重要的极限
一：
注：其中e 为无理数，它的值为：e=2.718281828459045...二：
注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.
注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.。
《高数13函数的极限》PPT课件
若当xx0时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫
做函数f(x)当xx0时的左极限 记为
•精确定义
lim
x x0
f (x) A 或f(x0)A
.
lim
x x0
f
(x)
Ae
0
d
0
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
注: xx0 有时也记为 x x0 ,
xx0+ 有时也记为x+x0.
x0
x0
x0 x
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
类似地可定义右极限:
lim
x x0
f (x)
A或f ( x0 )
A.
•结论
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
14
下页
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
1
sin
lim n
1 n 1,
n
同理
lim
n
n sin
1 1, n
lim
n
n2 n
1
sin
n n2
1
1
27
注: 1. 可利用函数的极限,求数列的极限;
2. 由 子 列 极 限 不 存 在 或 不相 等 函数极限不存在.
例10 证明 limsin 1 不存在.
x0
x
分析:
limsin 1 a
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
播放
17
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
函数的极限存在条件
在数学中，函数的极限是研究函数变化趋势和性质的重要概念之一。
当我们讨论一个函数在某一点的极限是否存在时，我们其实在探讨这个函数在该点处是否能够无限地接近某个特定的值。
然而，并非所有函数都具有极限存在，它需要满足一定的条件。
要讨论一个函数在某点的极限是否存在，我们首先需要确保该点处函数的值是定义好的。
即函数在该点的定义域是完备的。
假设函数f(x)在x=a处的定义域完备，那么我们可以开始研究函数极限的存在条件。
一般来说，一个函数在x=a处的极限存在的充要条件是当x无限接近a时，函数值可以无限接近于某个特定的值L。
数学符号表示为：lim(x→a) f(x) = L.这个式子可以解读为：当x无限接近a时，f(x)无限接近L。
对于一个函数极限存在的条件有以下几点：首先，函数f(x)在x=a处的定义域必须包含a的某个去心邻域。
也就是说，对于存在一个正数δ，当0<|x-a|<δ时，函数f(x)是有定义的。
其次，函数f(x)在x=a处必须非常接近于某个特定的常数L。
也就是说，对于任意给定的正数ε，我们总能找到正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
最后，函数极限的存在还要求函数f(x)在x=a处左极限和右极限存在，并且它们相等。
也就是说，当x无限接近a时，f(x)在a的左侧和右侧都趋近于L。
这些条件的要求是相对严格的。
它们保证了函数在某个点的极限的存在性，并且给出了如何计算函数极限的方法。
当函数满足这些条件时，我们可以使用极限的定义来计算函数在某点处的极限值。
然而，并非所有函数都满足极限存在的条件。
有一些函数在某点处的极限不存在，即函数在该点处无法无限接近于某个特定的值。
这种情况下，我们可以说函数在这个点处的极限是不存在的。
总的来说，函数极限的存在条件为函数在该点处值的定义域完备，并且满足函数值接近于某个常数的条件。
如果函数在某点处的极限存在，那么我们可以计算极限值。
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=.
1
2
1+ +1
【思考】若将题(4)中的 → +∞改为 → −∞或 → ∞ , 极限是否存在?
例14.2 计算下列极限：
− sin2
sin(sin )
1−
1 lim
, 2 lim
, 3 lim
→ + sin3
→
→ 1+3
ln − 1
, 4 lim
.
→−
sin
1
【分析】 两个重要极限 lim = 1, lim 1 + = .
−4
≠0 ,
【分析】 据题意，有 (2 ) = (4 ) = 0. 令 ( ) = ( − 2 )( − 4 )( − ).
()
( − 2 )( − 4 )( − )
lim
= lim
= −2 (2 − ) = 1,
→ −2
→
−2
,
()
( − 2 )( − 4 )( − )
lim
= lim
= 2 (4 − ) = 1,
arctan
1 lim
,
→
1+ −1
3 lim
,
→
1
4
2 lim
−
,
→ −2 −4
4 lim
→
+1− .
【解】(1) 由于
1
lim = 0,
→
arctan
而 arctan < , 故 lim
= 0.
2
→
例14.1 计算下列极限：
arctan
1 lim
,
→
1+ −1
3 lim
,
→
【解】(2)
1
4
2 lim
= lim
= −2 (2 − ) = 1,
→ −2
→
−2
()
( − 2 )( − 4 )( − )
lim
= lim
= 2 (4 − ) = 1,
→ −4 →
−4
1
1
= , = 3 , 所以
=
−2 −3
2
2
() 1
1
lim
= ⋅ ⋅ (− )= − .
→ −3 2
2
− 4 . 从而
例14.5 试用夹逼定理证明：
−2 −4
+1− .
1+ −1 + 1+
1 + 1+
+⋯+1 +⋯+1
例14.1 计算下列极限：
arctan
1 lim
,
→
1+ −1
3 lim
,
→
1
4
2 lim
−
,
→ −2 −4
4 lim
→
+1− .
【解】(4)
lim
→
+1−
= lim
→
= lim
→
+1−
+1+
= lim
+1+
→
+1+
1
1
→
→ 1+3
ln − 1
, 4 lim
.
→−
【解】(4) 将极限式变形,
ln − 1
ln
lim
= lim
= limln
,
→−
→−
→
由于 lim
→
−
= lim 1 +
→
ln − 1
1
= . 所以 lim
= ln = .
→−
例14.3 试确定常数 , 的值, 使 lim
− − = 0.
→ +1
【解】由于
→
→
【解】(1)
sin2
sin2
lim
→
− sin2 + sin3
1−
= lim
→
sin3 1+
1− = lim
2
→ sin3
⋅2 1−2 1
=
=− .
1+3 4
1+ 3 ⋅3
例14.2 计算下列极限：
− sin2
sin(sin )
1−
1 lim
, 2 lim
, 3 lim
→ + sin3
→
→ 1+3
高等数学典型例题与解法（一）
第14讲 函数极限存在性的判定准则
理学院 周 敏 教授
函数极限的运算法则
四则运算 设 lim ( ) = , lim ( ) = ，则有
lim ( ) ± ( ) = lim ( ) ± lim ( ) = ± ；
lim ( ) ⋅ ( ) = lim ( ) ⋅ lim ( ) = ⋅ ；
，
→
→
则可以说明极限 lim ( )不存在.
→
1, 为有理数，
例14.6 证明狄利克雷函数 ( ) =
在 = 1处不存在极限.
0, 为无理数
【证明】取有理数列
= 1 + 和无理数列
= 1 + ，显然
lim = 1， lim = 1，
→
→
但
lim
= 1，lim
= 0.
→
→
故由海涅定理知lim ( )不存在.
→
【注】事实上, 狄利克雷函数 ( )在任何点处都不存在极限.
→ −4 →
−4
例14.4 设 ( )是三次多项式, 且满足 lim
→
()
求 lim
.
→ −3
() = lim
−2 →
() =1
−4
≠0 ,
【解】据题意，有 (2 ) = (4 ) = 0. 令 ( ) = ( − 2 )( − 4 )( − ).
解得
()
( − 2 )( − 4 )( − )
lim
( ) lim ( )
lim =
=
( ) lim ( )
≠0 .
复合函数的极限
设 lim ( ) = , 且在 的某去心邻域 ∘( ) 内 ( ) ≠ ,
→
若 lim ( ) = , 则 lim ( ( )) = .
→
→
设 lim ( ) = > 0, lim ( ) = , 则 lim ( ) ( ) = .
(1) lim = 1， 其中 为 的取整函数.
→
(2) lim
→
= ，其中 为 的取整函数, > 0, > 0.
【证明】(1) 因为对任意 ≠ 0，有 − 1 < [ ] ≤ ， 不等式两边除以 ，
−1
−1
当 > 0时，有
< ≤ 1; 当 < 0时，有 1 ≤ <
;
1
−1
1−
由于 lim
→
= lim
→
→
=.
1, 为有理数，
例14.6 证明狄利克雷函数 ( ) =
在 = 1处不存在极限.
0, 为无理数
【分析】海涅定理：
lim ( ) = ⇔对任何满足 → ( → ∞)且 ≠ ( = 1,2, ⋯ )
→
的数列 ，均有 lim ( ) = .
→
因此，若能找到两个满足条件的数列
和
，但
lim
≠ lim
ln − 1
, 4 lim
.
→−
【解】(2)
sin(sin )
sin(sin ) sin
sin(sin ) sin
lim
= lim
⋅ = lim
⋅ lim = 1.
→
→ sin
→ sin
→
例14.2 计算下列极限：
− sin2
sin(sin )
1−
1 lim
, 2 lim
, 3 lim
→ + sin3
→
1
= 1, 故由夹逼定理可知 lim
→
= 1.
例14.5 试用夹逼定理证明：
(1) lim = 1， 其中 为 的取整函数.
→
(2) lim
→
= ，其中 为 的取整函数, > 0, > 0.
【证明】(2) 因为 − 1 < ≤ ≠ 0 , 当 → 0 时有 > 0，
−<
≤.
又 lim − = , 因此由夹逼定理可知 lim
→
→ 1+3
ln − 1
, 4 lim
.
→−
【解】(3)
1− lim → 1+3
−4
= lim 1 +
→
1+3
⋅
=→
=.
1−
1−
⋅(
或者， lim
= lim
= =.
→ 1+3
→
1+3
⋅
例14.2 计算下列极限：
− sin2
sin(sin )
1−
1 lim
, 2 lim
, 3 lim
→ + sin3
设lim ( ) = 0， ( ) 为同一极限过程中的有界量，则
lim ( ) ( ) = 0 .
函数极限与数列极限的关系（海涅定理）
设 lim ( ) = ，则对任何满足 → ( → ∞)且 ≠
→
( = 1,2, ⋯ )的数列 ，均有 lim ( ) = . 反之亦真.