沪教版高二C专题(复数的概念和坐标表示2星)

专题C ：复数的概念和坐标表示（★★）
教学目标
1.理解复数集、复数的代数形式、实部与虚部的概念，理解两个复数相等的概念；
2.理解复数与向量之间的关系，为用向量的方法处理复数的加减法打下基础，掌握复数模的概念，理解复数的模与向量模的关系，复数模与实数绝度值的关系.
1 min.
知识梳理
6 min.
1.虚数单位i :它的平方等于1-，即：2
1i =-.
（注：实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立）；
2.i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程2
1x =-的另一个根是i -. 3.i 的周期性： 41
n i
i +=， 421n i +=-，43n i i +=-， 41n i =.
4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈ 的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示.
5.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式.
6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数
(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0.
7.复数集与其它数集之间的关系： N Z
Q R C 苘苘.
8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，c ，d R ∈，那么a bi c di +=+⇔a c =，,b d =.
9.复数模的几何意义：对应平面向量oz 的模|oz |，即复数 (,)z a bi a b R =+∈在复平面上对应的点Z(a ,b )到原点的距离；
10.建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一
一对应关系．以原点O 为起点，复数z 在复平面内的对应点Z 为终点的向量OZ →，与复数z 一一对应，OZ →
的模叫做复数z 的模.
典例精讲
28min.
例1（★★）判断下列结论是否正确： （1）a b R ∈、,则a bi +是虚数； （2）b R ∈，则bi 是纯虚数； （3）=z a 不是虚数；
（4）*
(,)z a bi a b N =+∈是虚数. 解：（1）、（2）、（3）错，（4）对.
巩固练习：
判断下列命题的真假： 命题1：2
0∈≥若z C,则z ；
命题2：2
2
,,,()()0,x y z C x y y z x y z ∈-+-===若则； 命题3：,2a R a ∈+若则()i 是纯虚数；
命题4：,,00,00p q C p q pq p q ∈>>>+>若且则且.
解：命题1，命题2，命题3均为假命题，命题4为真命题.
（注：本题目考察学生对复数的概念的理解以及掌握，讲解以互动，提问学生，老师总结的形式）
例2（★★）实数m 取什么数值时，复数1(1)z m m i =++-是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 解：（1）=1m （2）1m ≠（3）=1m -.
巩固练习：
m 取何值时，复数226
(215)3
m m z m m i m -+=+--+.
（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数. 解：（1）=5m ； (2) 5m ≠且3m ≠- (3) =2m -或=3m . （注：题目考察学生对复数的概念的掌握，属于基础题型）
例3（★★）已知(310)(2)19i y i x i -+-+=-，求实数x ，y . 解：=1x ，=1y .
巩固练习：
已知2
2
3(1)2()x y i i x yi +-+=-，期中x ，y 都是实数，求复数+x yi . 解：有四种情况：3-3i,3+i,-1-3i,-1+i .
若x R ∈，试确定a 取什么实数时，等式2
211022
a
x x i xi x i -
-=--3成立？ 解： 52211114
5x x a a ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩
或.
（注：题目考察复数的简单运算以及复数相等的概念，解方程组求x ，y ，注意分类的情况）
例4（★★★）求满足221222
(1)(3)(2)(33)log m log m i log n log n n i ++->++--的实数m ，n 的取值
范围.
解：=2m ，=1n -.
分析：由梳理知识我们已经知道，虚数只有相等关系，没有大小关系，所以若有12z z >，则隐含有12,z z R ∈这个前提条件.
例5（★★★）已知复数2
13(5)z a a i =-++，221(21)()z a a a i a R =-++-∈，分别对应向量1OZ ，2
OZ （O 为原点）.若向量121212Z Z (Z Z =z -z )对应的复数为纯虚数，求a 的值. 解： 1a =-.
巩固练习：
在复平面内，已知等边三角形ABC 的两个顶点AB 所表示的复数分别为1322
i +和2，求第三个顶点的坐标. 解： 1323,22
i or i +-.
课堂检测：
1.（★★）已知z i =-1，则在复平面上与iz 对应的点所在的象限是 （ ）
A .第一象限；
B .第二象限；
C .第三象限；
D .第四象限. 解：B .
2.（★★）将复数1+i 对应的向量按顺时针方向旋转512
π
，再把它的模变为原来的2倍，则与所得到的 向量对应的复数是（ ）
A .-+3i ；
B .--3i ；
C .3-i ；
D .3+i .
解：C .
3．（★★）复数2
(1)(35)2(23)i m i m i +-+-+时纯虚数时，实数m 的取值为 4 或-1 . 4．（★★）=0a 是复数=+z a bi 是纯虚数的 必要 条件（必要，充分，充要）.
5．（★★）如果2
10(7)z a a i a R =+-∈（），Rez=Imz ，则a = 2或5 . 6.（★★）求下列各等式的x ，y ：
（1）2
2
()(24)138x y x y i i ++-=-； （2）2
2
()22x y xyi i -+=-；
（3）2
2
(1130)(6)0x x y y i -+++-=. 解：
（1）1825
,135x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或； （2）11,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨
=-=⎩⎩或； （3）5566,,3232
x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨
=-==-=⎩⎩⎩⎩或或或. 7.（★★★）若复数()()
2
1+4a a i -- (i 为虚数单位)在复平面上的对应点在第三象限，则实数a 的范
围为 .
解：本题考查复数概念以及不等式组解法等问题.由题意知21-<0-4<0a a ⎧⎨⎩
,解之得1<<2a .
答案：(1，2) .
回顾总结
5min.
1.复数的分类:复数=+z a bi (),a b R ∈中，z 是实数⇔ b=0 ；z 是虚数⇔ b ≠0 ；z 是纯虚数⇔=0
a b ⎧⎨≠⎩
2.+a bi 与a bi -(),a b R ∈互为共轭复数；
3.两个复数相等的充要条件：+=+a bi c di (),,,a b c d R ∈ ⇔=a c 且=b d .特别+=0a bi (),a b R ∈⇔=0a 且=0b .
（注：两个复数不全是实数，就不能比较大小，只有相等与不相等的关系） 4.若复数()
()24+3+1a a a i --是纯虚数，则实数a 的值为（ ）
A .1；
B .3；
C .1或3；
D .－1. 解：选B .。