浙江省台州市书生中学高三数学上学期第一次月考试卷理(含解析) (1)

2015-2016学年浙江省台州市书生中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合U={x|x ≤﹣1或x ≥0}，A={x|0≤x ≤2}，B={x|x 2＞1}，则集合A∩（∁U B ）等于（ ）A ．{x|x ＞0或x ＜﹣1}B ．{x|1＜x ≤2}C ．{x|0≤x ≤1}D ．{x|0≤x ≤2}2．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βD ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α 3．若数列{a n }的前n 项和S n 满足，则a 5=（ ）A ．16B ．C ．8D ．4．“a=1”是“∀x ∈（0，+∞），ax+≥1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f （2）=0，则不等式的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪（0，2] B ．[﹣2，0]∪[2，+∞） C ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞﹚ D ．[﹣2，0）∪（0，2]6．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x 、y ，使得，且x+2y=1，则cos ∠BAC 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知F 1、F 2分别是双曲线C 1：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，且F 2是抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点，双曲线C 1与抛物线C 2的一个公共点是P ，若线段PF 2的中垂线恰好经过焦点F 1，则双曲线C 1的离心率是（ ）A ．2+B ．1+C ．2+D ．1+8．已知函数f （x ）=，当x ∈[0，10]时，关于x 的方程f （x ）=x ﹣的所有解的和为（ ）A ．55B ．100C ．110D ．120二、填空题：本大题有7小题，9-12每题6分，13-15题每题4分，共36分．把答案填在答题卷的相应位置．9．若经过点P（﹣3，0）的直线l与圆M：x2+y2+4x﹣2y+3=0相切，则圆M的圆心坐标是；半径为；切线在y轴上的截距是．10．设函数，则= ；若f（f（a））=1，则a的值为．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB，△ABC则的面积为，sin（2A﹣B）= ．12．某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是cm3，其侧视图的面积是cm2．13．已知实数x，y满足则z=2|x|+y的取值范围是．14．已知x，y为正数，且x++3y+=10，则x+3y的最大值为．15．已知函数f（x）=x2+ax+1，若存在x0使|f（x0）|≤，|f（x0+1）|≤同时成立，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B；（2）求sinA•cosC的取值范围．17．如图1所示，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，AD=6，DC=BC=3．过B作BE⊥AD于E，P是线段DE上的一个动点．将△ABE沿BE向上折起，使平面AEB⊥平面BCDE．连结PA，PC，AC（如图2）．（Ⅰ）取线段AC的中点Q，问：是否存在点P，使得PQ∥平面AEB？若存在，求出PD的长；不存在，说明理由；（Ⅱ）当EP=ED时，求平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值．18．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（1）若f（﹣1）=f（2），且不等式x≤f（x）≤2|x﹣1|+1对x∈[0，2]恒成立，求函数f （x）的解析式；（2）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．19．已知A，B是椭圆的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交X轴于T点（1）求椭圆C的方程；（2）求△MNT的面积的最大值．20．设S n为等差数列{a n}的前n项和，其中a1=1，且=λa n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求常数λ的值，并写出{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求最小的正整数k，使得对任意的n≥k，都有|T n﹣|＜成立．2015-2016学年浙江省台州市书生中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合U={x|x≤﹣1或x≥0}，A={x|0≤x≤2}，B={x|x2＞1}，则集合A∩（∁U B）等于（）A．{x|x＞0或x＜﹣1} B．{x|1＜x≤2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简B={x|x2＞1}={x|x＜﹣1或x＞1}，先求∁U B，从而求A∩（∁U B）．【解答】解：∵U={x|x≤﹣1或x≥0}，B={x|x2＞1}={x|x＜﹣1或x＞1}，∴∁U B={x|x=﹣1或0≤x≤1}，又∵A={x|0≤x≤2}，∴A∩（∁U B）={x|0≤x≤1}，故选：C．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，γ与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β；在D中，n∥α或n⊂α．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故A错误；若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故B错误；若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β，故C 正确；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选：C．3．若数列{a n}的前n项和S n满足，则a5=（）A．16 B．C．8 D．【考点】数列递推式．【分析】利用递推公式与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵，∴当n=1时，a1=4﹣a1，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（4﹣a n）﹣（4﹣a n﹣1），化为，∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为．则a5=2×=．故选：D．4．“a=1”是“∀x∈（0，+∞），ax+≥1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可，【解答】解：当a=1时，∀x∈（0，+∞），不等式为x+≥成立．当a=2时，2x+≥，满足“∀x∈（0，+∞），ax+≥1”，但此时a=1不成立．∴“a=1”是“∀x∈（0，+∞），ax+≥1”的充分不必要条件．故选：A．5．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f（2）=0，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣2]∪（0，2] B．[﹣2，0]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞﹚D．[﹣2，0）∪（0，2]【考点】函数单调性的性质．【分析】由题设条件，可得出函数f（x）在（0，2）的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负，再利用函数奇函数的性质对不等式进行化简，解出不等式的解集，选正确选项【解答】解：∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f（2）=0∴函数f（x）在（0，2）的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负当x＞0时，不等式等价于3f（﹣x）﹣2f（x）≤0又奇函数f（x），所以有f（x）≥0所以有0＜x≤2同理当x＜0时，可解得﹣2≤x＜0综上，不等式的解集为[﹣2，0）∪（0，2]故选D6．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得，且x+2y=1，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】对等式两边分别乘以，便可得到，根据O为△ABC外接圆的圆心，便可得到，从而可以得出，然后联立x+2y=1即可解出x，y，cos∠BAC，并需满足x，y非零，这便可得出cos∠BAC．【解答】解：如图，由得：；，=8；∴，联立x+2y=1解得，或；∵x，y都不为0；∴．故选：A．7．已知F1、F2分别是双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，且F2是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，双曲线C1与抛物线C2的一个公共点是P，若线段PF2的中垂线恰好经过焦点F1，则双曲线C1的离心率是（）A．2+B．1+C．2+D．1+【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】P作抛物线准线的垂线，垂足为A，连接PF2，在直角△F1AP中．利用勾股定理，结合双曲线、抛物线的定义，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设点P（x0，y0），F2（c，0），过P作抛物线准线的垂线，垂足为A，连接PF2，由双曲线定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a由抛物线的定义可得|PA|=x0+c=2c﹣2a，∴x0=c﹣2a在直角△F1AP中，|F1A|2=8ac﹣4a2，∴y02=8ac﹣4a2，∴8ac﹣4a2=4c（c﹣2a）∴c2﹣4ac+a2=0∴e2﹣4e+1=0∵e＞1∴e=2+故选：A．8．已知函数f（x）=，当x∈[0，10]时，关于x的方程f（x）=x﹣的所有解的和为（）A．55 B．100 C．110 D．120【考点】分段函数的应用．【分析】根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和，找出规律作和即可．【解答】解：x∈[0，1）时，f（x）=（x﹣1）2+2（x﹣1）+1=x2，令f（x）=x﹣，得：x2﹣x+=0，∴x1+x2=1；x∈[1，2）时，f（x）=（x﹣1）2+1=x2﹣2x+2，令f（x）=x﹣，得：x2﹣3x+；∴x3+x4=3，x∈[3，4）时，f（x）=（x﹣2）2+2=x2﹣4x+6，令f（x）=x﹣，得：x5+x6=5，…，x∈[n，n+1）时，f（x）=（x﹣n）2+n，令f（x）=x﹣，得：x2n+1+x2n+2=2n+1，x∈[9，10]时，f（x）=（x﹣9）2+9，令f（x）=x﹣，得：x19+x20=19，∴1+3+5+…+19=100，故选：B二、填空题：本大题有7小题，9-12每题6分，13-15题每题4分，共36分．把答案填在答题卷的相应位置．9．若经过点P（﹣3，0）的直线l与圆M：x2+y2+4x﹣2y+3=0相切，则圆M的圆心坐标是（﹣2，1）；半径为；切线在y轴上的截距是﹣3 ．【考点】圆的一般方程．【分析】根据圆的标准方程即可求出圆心坐标和半径，根据直线相切即可求出切线方程．【解答】解：圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=2，则圆心坐标为（﹣2，1），半径R=，设切线斜率为k，过P的切线方程为y=k（x+3），即kx﹣y+3k=0，则圆心到直线的距离d===，平方得k2+2k+1=（k+1）2=0，解得k=﹣1，此时切线方程为y=﹣x﹣3，即在y轴上的截距为﹣3，故答案为：10．设函数，则= 2 ；若f（f（a））=1，则a的值为．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】利用分段函数由里及外逐步求解即可．第二问，通过分类讨论求解方程的解即可．【解答】解：函数，则=f（3×）=f（1）=2；f（f（a））=1，a＜时，1=f（3a﹣1）=3（3a﹣1）﹣1，解得a=．当a≥1时，2a＞1，f（f（a））=1，不成立；当时，f（f（a））=1，23a﹣1=1，解得a=，（舍去）．综上a=．故答案为：．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB，△ABC则的面积为，sin（2A﹣B）= ．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】由sinA=2sinB结合正弦定理可得：a=2b，又a﹣b=2，即可解得b，a，由余弦定理可得cosB，求得sinB，利用三角形面积公式可求面积；由已知求得sinA，可求cosA，利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简所求后即可得解．【解答】解：∵sinA=2sinB，c=4，∴由正弦定理可得：a=2b，又a﹣b=2，即可解得：b=2，a=4，∴由余弦定理可得：cosB===，可得：sinB==，∴==．∴A为锐角，sinA=2sinB=，cosA==，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB=2sinAcosAcosB﹣（1﹣2sin2A）sinB=2×﹣（1﹣2×）×=．故答案为：，．12．某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是 4 cm3，其侧视图的面积是cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】判断得出该几何体是三棱锥，求解其体积： S△CBD×AB，△BCD边BD的高为，再利用直角三角形求解面积即可．【解答】解：∵根据三视图得出：该几何体是三棱锥，AB=2，BC=3，DB=5，CD=4，AB⊥面BCD，BC⊥CD，∴其体积： S△CBD×AB==4，△BCD边BD的高为==侧视图的面积：×2=故答案为；4，13．已知实数x，y满足则z=2|x|+y的取值范围是[﹣1，11] ．【考点】简单线性规划．【分析】根据约束条件画出可行域，然后分析平面区域里特殊点，然后将其代入z=2|x|+y中，求出z=2|x|+y的取值范围．【解答】解：根据约束条件画出可行域，画出z=2|x|+y表示的虚线部分．由图得当虚线部分z=2|x|+y过点D（0，﹣1）时，Z最小为﹣1．当z=2|x|+y过点A（6，﹣1）时，Z最大为11．故所求z=2|x|+y的取值范围是[﹣1，11]故答案为：[﹣1，11]．14．已知x，y为正数，且x++3y+=10，则x+3y的最大值为8 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】又x++3y+=10，可得（x+3y）2﹣10（x+3y）+10++=0，利用基本不等式，可得（x+3y）2﹣10（x+3y）+16≤0，即可得出结论．【解答】解：∵x++3y+=10，∴（x+3y）（x++3y+）=10（x+3y），∴（x+3y）2﹣10（x+3y）+10++=0，∵+≥6（=，即x=y时取等号）∴（x+3y）2﹣10（x+3y）+16≤0，∴2≤x+3y≤8，∴x+3y的最大值为8，此时x=y=2．故答案为：8．15．已知函数f（x）=x2+ax+1，若存在x0使|f（x0）|≤，|f（x0+1）|≤同时成立，则实数a的取值范围为[﹣，﹣2]∪[2，] ．【考点】二次函数的性质．【分析】求出二次函数的最值，考察f（x）=x2+h，当h=0，﹣时，有|f（﹣）|≤，|f（﹣+1）|≤同时成立，令﹣≤0，解不等式即可得到．【解答】解：由f（x）=（x+）2+，考察f（x）=x2+h，当h=0时，有|f（﹣）|≤，|f（﹣+1）|≤同时成立；当h=﹣时，有|f（﹣）|≤，|f（﹣+1）|≤同时成立．所以﹣h≤0即﹣≤0，解得﹣≤a≤﹣2或2≤a≤．故答案为：[﹣，﹣2]∪[2，]．三、解答题：本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B；（2）求sinA•cosC的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）运用正弦定理和余弦定理，即可得到B；（2）运用内角和定理可得C，再由二倍角公式和两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理， =即为=，化简得：b 2﹣c 2=a 2﹣ac 即a 2+c 2﹣b 2=ac ，由余弦定理可得，cosB==．由0＜B ＜π，则B=；（Ⅱ）由于A+C=，则sinAcosC=sinAcos （﹣A ）=sinA （﹣cosA+sinA ），=﹣sin2A+（1﹣cos2A ），=﹣sin （2A+），由B=可知 0＜A ＜，所以＜2A+＜，故﹣1≤sin （2A+）≤1，则﹣≤﹣sin （2A+）≤+，所以﹣≤sinAcosC ≤+．17．如图1所示，直角梯形ABCD 中，∠BCD=90°，AD ∥BC ，AD=6，DC=BC=3．过B 作BE ⊥AD 于E ，P 是线段DE 上的一个动点．将△ABE 沿BE 向上折起，使平面AEB ⊥平面BCDE ．连结PA ，PC ，AC （如图2）．（Ⅰ）取线段AC 的中点Q ，问：是否存在点P ，使得PQ ∥平面AEB ？若存在，求出PD 的长；不存在，说明理由；（Ⅱ）当EP=ED 时，求平面AEB 和平面APC 所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理进行求解即可；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）存在．当P为DE的中点时，满足PQ∥平面AEB．…取AB的中点M，连结EM，QM．由Q为AC的中点，得MQ∥BC，且，…又PE∥BC，且，所以PE∥MQ，PE=MQ，所以四边形PEMQ为平行四边形，…故ME∥PQ．…又PQ⊄平面AEB，ME⊂平面AEB，所以PQ∥平面AEB．…从而存在点P，使得PQ∥平面AEB，此时．…（Ⅱ）由平面AEB⊥平面BCDE，交线为BE，且AE⊥BE，所以AE⊥平面BCDE，又BE⊥DE，…以E为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图2），则E（0，0，0），B（3，0，0），A（0，0，3），P（0，2，0），C（3，3，0）．…=（3，1，0），=（0，﹣2，3）．…平面AEB的一个法向量为n1=（0，1，0），…设平面APC的法向量为n2=（x，y，z），由得…取y=3，得n2=（﹣1，3，2），…所以，即面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值为．…18．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（1）若f（﹣1）=f（2），且不等式x≤f（x）≤2|x﹣1|+1对x∈[0，2]恒成立，求函数f （x）的解析式；（2）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求2b+c的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【分析】（1）因为f（﹣1）=f（2），不等式x≤f（x）≤2|x﹣1|+1对x∈[0，2]恒成立，函数的对称轴为x=，且f（1）=1，进而可得b，c的值，及函数f（x）的解析式；（2）若c＜0，且函数f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，则，利用线性规划可得2b+c的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）=x2+bx+c，f（﹣1）=f（2），所以1﹣b+c=4+2b+c，解得：b=﹣1，…因为当x∈[0，2]，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1，令x=1，则1≤f（1）≤1，所以有f（1）=1，…即c=1，所以f（x）=x2﹣x+1；…（2）因为f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且c＜0，所以有，即其对应的平面区域如图所示：…令Z=2b+c，则当b=﹣1，c=0时，Z取最小值﹣2，当b=1，c=0时，Z取最大值2，由于可行域不包括（﹣1，0）和（1，0）点故﹣2＜2b+c＜219．已知A，B是椭圆的左，右顶点，B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交X轴于T点（1）求椭圆C的方程；（2）求△MNT的面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题设知a=2，b=．由此能求出椭圆C的方程．（2）由点差法知PQ的中垂线交x轴于，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN：x=my+1与椭圆联立可得（3m2+4）y2+6my﹣9=，0，由此能求出三角形MNT的面积的最大值．【解答】解：（1）由题设知a=2，b=椭圆C的方程（2）由点差法知PQ的中垂线交x轴于设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN：x=my+1与椭圆联立可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0令t=m2+1≥1，则故20．设S n为等差数列{a n}的前n项和，其中a1=1，且=λa n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求常数λ的值，并写出{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求最小的正整数k，使得对任意的n≥k，都有|T n﹣|＜成立．【考点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）利用赋值法分别求出，，进一步利用等差中项求出λ的值，最后确定数列的通项公式．（Ⅱ）利用上步的结论，进一步根据所求的b n=，利用乘公比错位相减法求出数列的和，最后利用所得的关系式，利用赋值法求出恒成立的n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，其中a1=1，且=λa n+1（n∈N*）．令n=1时，解得：，令n=2时，解得：所以：，解得：则：a2=2，d=1，所以：a n=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a n=n，所以：b n==，数列{b n}的前n项和为T n，T n=b1+b2+…+b n=+…+①=+…+②所以：①﹣②得：使得对任意的n≥k，都有|T n﹣|＜成立．则：，即：，设：则：，，d3=1，当n≥4时，d n＜1，所以：n取最小值为4，恒成立．。