2023届河北衡水中学高三1月模拟数学试题(解析版)
2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知有A 、B 、C 、D 四个命题，其中A 为B 的必要条件，B 为C 的充分条件，C 为D 的必要条件，D 为A 的必要条件.若增加条件使得A 、B 、C 、D 中的任意一个命题均为A 、B 、C 、D 四个命题的必要条件，则这个条件可以为（ ）. A ．B 为C 的必要条件 B ．B 为A 的必要条件 C ．C 为D 的充分条件 D ．B 为D 的必要条件2．复数z i a b =+(),0a b ≠.若112z -=，则（ ）的值与a 、b 的值无关. A ．13z +B ．12z + C ．12z -D ．14z -3．0x ∀≠，101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可以写成关于221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的多项式，则该多项式各项系数之和为（ ）.A ．240B ．241C ．242D ．2434．函数()f x 的图像如图所示，已知()02f =，则方程()()1f x xf x '-=在(),a b 上有（ ）个非负实根.A ．0B ．1C ．2D ．35．函数()3cos f x x =的最大值为（ ）.A ．B ．C ．D ．36．1sin0.1a =+，0.1e b =，101.01c =，1716d =，a ，b ，c ，d 间的大小关系为（ ）. A ．b a d c >>> B ．b c a d >>> C ．b c d a >>>D ．b a c d >>>7．已知数列{}n a 、{}n b ，12n n a a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]12n n b b +=，()n N +∈其中[]x 为不大于x 的最大整数.若11a b m ==，1000m ≤，N m +∈，有且仅有4个不同的t ，使得t t a b ≠，则m 一共有（ ）个不同的取值.A ．120B ．126C ．210D ．2528．平面上有两组互不重合的点，12m A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、与12n B B B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、(),N ,2m n n +∈≥，[]1,t n ∀∈，N t +∈，1mi ti A B t ==∑.则111n i i i B B -+=∑的范围为（ ）. A ．2,n n m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,n n m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,2n n n m m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．211,n n m m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．工厂生产某零件，其尺寸D 服从正态分布()210,0.01N k （单位：cm ）.其中k 由零件的材料决定，且0k >.当零件尺寸大于10.3cm 或小于9.7cm 时认为该零件不合格；零件尺寸大于9.9cm 且小于10.1cm 时认为该零件为优质零件；其余则认为是普通零件.已知当随机变量()2,XN μσ时，()0.159P X μσ>+≈，()20.023P X μσ>+≈，()30.001P X μσ>+≈，则下列说法中正确的有（ ）. A ．k 越大，预计生产出的优质品零件与不合格零件的概率之比越小 B ．k 越大，预计生产出普通零件的概率越大C ．若 1.5k =，则生产200个零件约有9个零件不合格D ．若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为3a ，2a ，5a -，则当1k =时，每生产1000个零件预计盈利2580a10．已知椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>上有三点1P 、2P 、3P ，1F 、2F 分别为其左、右焦点.则下列说法中正确的有（ ）.A ．若线段11P F 、21P F 、31P F 的长度构成等差数列，则点1P 、2P 、3P 的横坐标一定构成等差数列.B ．若直线12PP 与直线23PP 斜率之积为22ba-，则直线13P P 过坐标原点. C ．若123PP P 的重心在y 轴上，则1121313PF P F P F a ++=D ．123PP P 11．已知函数()sin sin 44f x a x b x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中a 、0b >.则下列说法中正确的有（ ）.A ．()f x 的最小值为a -B ．()f xC ．方程()f x b =在35,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有三个解 D ．()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减12．直线1l 、2l 为曲线y e x =与y ln x =的两条公切线.1l 从左往右依次交e x 与ln x 于A 点、B 点；2l 从左往右依次交e x 与ln x 于C 点、D 点，且A 点位于C 点左侧，D 点位于B 点左侧.设坐标原点为O ，1l 与2l 交于点P .则下列说法中正确的有（ ）. A ．AD BC < B ．22OP <C ．e 1tan 22eBOC ∠<+ D ．2AOC π∠>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为______. 14．已知存在实数x 使得1sin cos 2x a x a -+-=，则a 的取值范围为______. 15．已知圆C ：224x y +=，点()3,0A ，点()2,0B -.点P 为圆C 上一点，作线段AP 的垂直平分线l .则点B 到直线l 距离最小值为______.16．二元数列(){},i j a 中各项的值同时由i ，j 决定(),i j +∈N .已知二元数列(){},m n a 满足(),1m a m =，()21,n a n =，()()()1,1,11,2m n m n m n a a a ++++=+()m n +∈N 、.若()22022,202112020t a t +>->，t ∈Z ，则t =______四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知ABC ，D 为边AC 上一点，1AD =，2CD =. (1)若34BA BD ⋅=，0BC BD ⋅=，求ABCS ；(2)若直线BD 平分ABC ∠，求ABD △与CBD △内切圆半径之比的取值范围.18．为提高核酸检测效率，某医学实验室现准备采用某种检测新冠肺炎病毒核酸的新型技术进行新一轮大规模核酸筛查.经过初步统计分析得出该项技术的错检率约为0.04，漏检率约为0.01.（错检率指在检测出阳性的情况下未感染的概率，漏检率指在感染的情况下检测出阴性的概率） (1)当有100个人检测出核酸阳性时，求预计检出的假阳性人数；(2)为节约成本，实验室在该技术的基础上采用“混采”的方式对个别疫区进行核酸检测，即将n 个人的样本装进一根试管内送检；若某组检测出核酸阳性，则对这n 个人分别进行单人单试管核酸采样.现对两个疫区的居民进行核酸检测，A 疫区共有10000名居民，采用10n =的混采策略；B 疫区共有20000名居民，采用20n =的混采策略.已知两个疫区每个居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032，通过计算比较A 、B两个疫区核酸检测预计消耗试管数量.参考数据：100.98670.8747≈ 2.24≈19．异面直线1l 、2l 上分别有两点A 、B .则将线段AB 的最小值称为直线1l 与直线2l 之间的距离.如图，已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面PBC ，PB PC ⊥，点D 为线段AC 中点，1AP BP CP ===.点E 、F 分别位于线段AB 、PC 上（不含端点），连接线段EF .(1)设点M 为线段EF 中点，线段EF 所在直线与线段AC 所在直线之间距离为d ，证明：DM d >. (2)若AB PCk AE FC==()1k >，用含k 的式子表示线段EF 所在直线与线段BD 所在直线之间的距离. 20．已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和. (1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立. 21．已知抛物线22y px =()0p >，点1P 为抛物线焦点.过点1P 作一条斜率为正的直线l 从下至上依次交抛物线于点A 与点B ，过点B 作与l 斜率互为相反数的直线分别交x 轴和抛物线于P 、A .(1)若直线12A A 斜率为k ，证明抛物线在点1B 处切线斜率为k -；(2)过点t A ()*N ,>1t t ∈作直线分别交x 轴和抛物线于21t P -、t B ，过点t B 作直线分别交x 轴和抛物线于2t P 、1t A +，且*N t ∀∈，直线t t A B 斜率与直线1t t A B +斜率互为相反数.证明数列{}1n n P P +为等差数列. 22．已知函数()()1ln 0f x a x x x x=++>. (1)若()f x 有唯一零点，设满足条件的a 值为1a 与2a ()12a a ≠证明：①1a 与2a ()12a a ≠互为相反数；②15843a >>； (2)设()()g x xf x =.若()g x 存在两个不同的极值点1x 、2x ，证明12x x a +>-. 参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1≈1．A 【分析】先由题设条件得到A B C D A ⇐⇒⇐⇐，再利用充要条件的传递性对选项逐一分析即可. 【详解】因为A 为B 的必要条件，B 为C 的充分条件，C 为D 的必要条件，D 为A 的必要条件， 所以,,,A B B C C D D A ⇐⇒⇐⇐，即A B C D A ⇐⇒⇐⇐， 对于A ，若B 为C 的必要条件，即B C ⇐，则A B C D A ⇐⇔⇐⇐，所以A 、B 、C 、D 互为充要条件，则A 、B 、C 、D 中的任意一个命题均为A 、B 、C 、D 四个命题的必要条件，故A 正确；对于B ，若B 为A 的必要条件，即B A ⇐，则A B C D A ⇔⇒⇐⇐，易得B 不是C 的必要条件，故B 错误；对于C ，若C 为D 的充分条件，即C D ⇒，则A B C D A ⇐⇒⇔⇐，易得B 不是C 的必要条件，故C 错误；对于D ，若B 为D 的必要条件，即B D ⇐，则A B C D A ⇐⇒⇐⇐且B D ⇐，易得B 不是C 的必要条件，故D 错误. 故选：A 2．A 【分析】根据复数的运算和模的公式化简条件，确定a 、b 关系，再依次判断各选项. 【详解】因为z i a b =+，所以()()()()()2222i1i i 111i 11i i i i a a b b a b a b a b z a b a b a b a b a b ---------=-===+++-+，所以2222221i1a a b b z a b a b ---=-=++又112z -=，所以222222224a a b b a b a b ⎛⎫--⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ()()22222224a a b b a b --+=+，所以()()222222223a a a b b a b -++=+，因为,0a b ≠，所以220a b +≠，所以22213a a b ++=，所以2211039a b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以13z +=13z +的值与a 、b 的值无关.故选：A. 3．D 【分析】利用换元法，将101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为()52t +，从而利用赋值法即可求得该多项式各项系数之和.【详解】因为222112x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，令221t x x =+，则()5105221122x x t x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令1t =，则()5523243t +==， 所以该多项式各项系数之和为243. 故选：D. 4．B 【分析】利用导数研究函数()()1f x xf x --'的单调性，结合零点存在性定理判断方程()()1f x xf x '-=在(),a b 上的根的个数. 【详解】由图象可得函数()f x 在(),a b 上有3个极值点，不妨设其极值点为123,,x x x ，其中1230x x x <<<， 设()()g x f x '=，()()()1h x f x xg x =--，()()()()()h x f x g x xg x xg x ''''=--=-，由图象可得()20g x =，()30g x =，()20,x x ∈时，函数()f x 单调递增，()()0g x f x '=>，又函数()f x 的图象由陡峭变为平缓，故()g x 逐渐变小，所以当()20,x x ∈时，函数()g x 单调递减，()0g x '<，当()23,x x x ∈时，函数()f x 单调递减，所以()()0g x f x ='<，函数()f x 的图象先由平缓变为陡峭，再由陡峭变为平缓，()g x 先变大再变小，函数()g x 先单调递减再单调递增，所以()g x '取值先负后正，所以存在()423,x x x ∈，使得()40g x '=，当()24,x x x ∈，()0g x '<，当()43,x x x ∈，()0g x '>，当()3,x x b ∈时，函数()f x 单调递增，函数()f x 的图象由平缓变为陡峭，函数()g x 单调递增，所以当()3,x x b ∈时，()0g x '>，当()40,x x ∈时，()0g x '<，当()4,x x b ∈时，()0g x '>，所以当()40,x x ∈时，()0h x '>，函数()()()1h x f x xg x =--在()40,x 单调递增， 当()4,x x b ∈时，()0h x '<，函数()()()1h x f x xg x =--在()4,x b 单调递减， 因为()()()0110000h f g =-⨯-=>，函数()h x 在()40,x 单调递增， 所以函数()()()1h x f x xg x =--在()40,x 上不存在零点，且()40h x >，因为()()()()()11f b h b f bg b g b b b b ⎛⎫-=--=-⎪⎝⎭， 因为()1f b b-表示点()(),b f b 与点()0,1的连线的斜率，()g b 表示曲线()f x 在点()(),b f b 处的切线的斜率，结合图象可得()()1f bg b b -<，故()0h b <，所以函数()()()1h x f x xg x =--在()4,x b 上存在唯一零点，故方程()()1f x xf x '-=在(),a b 上有1个非负零点， 故选：B.5．D 【分析】利用三角函数的平方关系将()f x 转化为点P 到点,A B 的距离之差，再利用三角形两边之差小于第三边，结合三角函数的值域即可求得结果. 【详解】因为2225cos 4sin 59cos 4cos 4sin 5x x x x x -+=--+()()22229cos 4sin 4sin 13cos 2sin 1x x x x x =+-+=+-，所以()3cos f x x =故()f x 的最大值转化为点()3cos ,2sin P x x 到()0,1A 与()0,2sin B x 的距离之差的最大值， 因为1sin 1x -≤≤，22sin 2x -≤-≤，112sin 3x -≤-≤，所以12sin 3PA PB AB x -≤==-≤，当且仅当sin 1x =-时，等号成立，则3PA PB -≤，经检验，此时cos 0x =，()303f x ⨯=， 所以()3f x ≤，即()f x 的最大值为3. 故选：D. 6．B 【分析】构造函数()e 1xf x x =--，利用导数与函数单调性的关系证得b c >；利用二项式定理证得10.1c >+，再构造函数()sin g x x x =-证得0.1sin 0.1>，从而得到c a >；构造函数()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，证得1sin 0.116>，从而得到a d >；由此得解.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()0e 1e 10x f x '=->-=，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故()()00e 010f x f >=--=，即e 10x x -->，所以e 1x x >+，则0.01e 0.011 1.01>+=，即()100.1e 1.01>，故b c >； 因为()010101.0110.1c +==，所以其展开通项公式为()()1011010C 10.010.01C kkk k k k T -+=⨯=，故()01100.01C 1T =⨯=，()112100.01C 0.1T =⨯=，10k T +>， 所以()100110.0110.11.01c =>+=+，令()()sin 0g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()00g x g >=，即sin x x >， 所以0.1sin 0.1>，故10.11sin0.1c >+>+，即c a >；令()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()5cos 8h x x '=-，因为π06x <<cos 1x <，则5cos 8x >>，故()0h x '>， 所以()h x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()00h x h >=，即5sin 8x x >，易知π0.10,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以51sin 0.10.1816>⨯=，则1171sin 0.111616+>+=，即a d >；综上：b c a d >>>. 故选：B. 7．C 【分析】将m 表示为012390123922222c c c c c ++++⋅⋅⋅+，其中{}019,,,0,1c c c ⋅⋅⋅∈，且019,,,c c c ⋅⋅⋅不全为0，1000m ≤，分析t t a b ≠与019,,,c c c ⋅⋅⋅的取值的关系，由此确定满足条件的m 的取值的个数. 【详解】设012390123922222m c c c c c =++++⋅⋅⋅+，其中{}019,,,0,1c c c ⋅⋅⋅∈，且019,,,c c c ⋅⋅⋅不全为0，1000m ≤，若01c =，则1239123912222m c c c c =++++⋅⋅⋅+，11a b m ==，1239223481122222a c c c c m =+++⋅⋅+-=+⋅，22mb =， 若00c =，则123912392222m c c c c =+++⋅⋅⋅+，11a b m ==，22m a =，22m b =， 所以若01c =则，22a b ≠，若00c =，则22a b =，若00c =，10c =，则239239222m c c c =++⋅⋅⋅+，11a b m ==，22m a =，22m b =，34m a =，34m b =， 若00c =，11c =，则2392392222m c c c =+++⋅⋅⋅+，11a b m ==，22m a =，22m b =，324m a -=，34m b =， 若01c =，10c =，则2392391222m c c c =+++⋅⋅⋅+，11a b m ==，212m a -=，22m b =，314m a -=，314m b -=， 若01c =，11c =，则23923912222m c c c =++++⋅⋅⋅+，11a b m ==，212m a -=，22m b =，334m a -=，314m b -=， 所以10c =时，33a b =，11c =时，33a b ≠，同理可以证明0k c =时，22k k a b ++=，1k c =，22k k a b ++≠，因为有且仅有4个不同的t ，使得t t a b ≠，即0129,,,,c c c c ⋅⋅⋅中有且仅有4个变量取值为1，其余变量取值为0，又从0129,,,,c c c c ⋅⋅⋅中任选4个变量有410C 种取法，故满足条件的m 的个数为410C ，即210个，故选：C. 8．D 【分析】考虑1,2m n ==的特殊情况，验证选项可得答案. 【详解】当1,2m n ==时，由题，有[]1,2t ∀∈，N t +∈，1t A B t =.得111212，A B A B ==.则1B 在以1A 为圆心，半径为1的圆上，则2B 在以1A 为圆心，半径为2的圆上.又11121n i i i B B B B -+==∑，则如下图所示，即1112A B B B =时，12B B 取最小值为1；如下图所示，即21112B A A B =时，12B B 取最大值为3.则当1,2m n ==时，111n i i i B B -+=∑的范围是[]1,3，验证选项可排除A ，B ，C.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题因点的情况较为复杂，且又为选择题，故考虑利用特殊值验证选项得答案. 9．AC 【分析】对于AB ，利用正态分布曲线的图像变化即可得解；对于C ，结合参考数据，求出预计生产出的不合格零件的概率，从而得解；对于D ，结合参考数据，分别求出预计生产出的优质零件、普通零件与不合格零件的概率，从而得解. 【详解】依题意，得2210,0.01k μσ==，则0.1k σ=，0k >，对于A ，当k 变大时，σ变大，则零件尺寸D 的正态分布曲线越扁平，所以预计生产出的优质品零件的概率越小，不合格零件的概率越大，则其比例越小，故A 正确； 对于B ，由选项A 可知，预计生产出普通零件的概率越小，故B 错误； 对于C ，当 1.5k =时，0.10.15k σ==，则()()10.320.023P X P X μσ>=>+≈，而()()()9.7220.023P X P X P X μσμσ<=<-=>+≈， 所以预计生产出的不合格零件的概率为()()10.39.70.046P X P X >+<≈， 故生产200个零件约有不合格零件的个数为2000.0469.29⨯=≈，故C 正确； 对于D ，当1k =时，0.10.1k σ==，则()()10.330.001P X P X μσ>=>+≈，()9.70.001P X <≈，()()()9.910.1120.682P X P X P X μσμσμσ<<=-<<+=->+≈，所以预计生产出优质零件的概率为0.682，不合格零件的概率为0.002，普通零件的概率为10.6820.0020.316--=，故每生产1000个零件预计盈利()10000.68230.31620.00252668a a a a ⨯⨯+⨯+⨯-=⎡⎤⎣⎦，故D 错误. 故选：AC. 10．ABC 【分析】先证明两个结论，结论1为焦半径公式，利用该公式可判断AC 的正误，利用同一法可判断B 的正误，结论2为均值不等式，利用该结论可求内接三角形面积的最大值，从而可判断D 的正误.【详解】结论1：若(),P m n 为椭圆22221：+=x y C a b上的的动点，()1,0F c -为其左焦点，则1cm PF a a =+.证明：1PF =ca m a=+，因为[],,m a a c a ∈-<，故c a c a m a c a -≤+≤+，故1cPF a m a=+.结论2：若0,1,2,3,4i x i ≥=，则1234x x x x +++≥证明：因为2120x x +-=≥，故12x x +≥12x x =时等号成立，同理34x x +≥34x x =时等号成立，当且仅当1234x x x x =时等号成立，所以1234x x x x +++≥1234x x x x ===时等号成立.由结论2可得4123412344x x x x x x x x +++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1234x x x x ===时等号成立.对于A 、C ，设()()()111222333,,,,,P a b P a b P a b ，则 由结论1可得：1,1,2,3ii ca PF a i a=+=， 因为2111312P F PF PF =+，故32122ca ca caa a a a a a+⨯=+++， 整理得到：2132a a a =+，故A 正确.因为123PP P 的重心在y 轴上，故12303a a a ++=， 故()11213112333cPF P F P F a a a a a a++=+++=，故C 正确. 对于B ，设1P 关于原点的对称点为Q ，则()11,Q a b --， 故21212P Q a a k b b +=+（120b b +≠，否则120P P k =，这与题设矛盾），故2122212121222121212P Q P P a a a a a a k k b b b b b b +--=⨯=+--， 但2222112222221,1,a b a b a b a b +=+=所以2222121222220a a b b a a b b-+-=， 所以2221222212a a b b b a -=--，而231222P P P P b k k a=-，故232P P P Q k k =，因3,P Q 均在椭圆上，故3,P Q 重合即直线13P P 过坐标原点，故B 正确. 我们先证明一个命题命题：设(),P m n 为椭圆22221：+=x y C a b 上的点，直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，则PAB 面积的最大值. 证明：当直线l 的斜率不存在时，设直线:l x t =， a t a -<<，则PAB的面积122S t m b b t m =⨯-⨯=⨯-若t m >，则()()()4222224233()334b b a m S t m t m a t a t a a -⎛⎫=⨯---+≤⨯ ⎪⎝⎭，因为a m a -≤≤，，故4222226273416b a S a b a ⎛⎫≤⨯= ⎪⎝⎭，即S ≤，当且仅当(),0P a -，2a t =时等号成立，故此时max S =. 同理可证：当<t m时，max S =. 过当直线l 的斜率存在，可设:l y kx t =+，由222222y kx sb x a y a b=+⎧⎨+=⎩可得()22222222220b a k x a ksx a s a b +++-=， 故()()4222222222440a k s b a k a s a b ∆=-+->，故22220b s a k -+>，而AB =， 又P 到l的距离为d =PAB 的面积为：12S ==对于给定的k ，先考虑km n s -+的最大值，设cos ,sin m a b θθ==，则cos sin km n s ak b s θθ-+=-+()s θϕ++，其中sin ϕϕ==若0s ≥，则km n s -+s ，此时222absS b a k≤+设222u a k b =+，则2u b ≥，故)s=由结论2可得：))()133ssssss ss =42127316u ≤=⎝⎭，当且仅当s = 故)s)222a k b +，故()2222224a k b S b ak +≤=+， 若0s <，则km ns -+s，同理可得S ， 综上，PAB . 对于D，考虑1P 为椭圆上的点，直线l 为直线23P P ，由前述命题可得：123PP P，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】思路点睛：椭圆上的动点到焦点的距离可以转化为动点的某坐标与离心率、半长轴的关系来处理，而多变量的最值问题，往往是通过降低变元的个数逐步处理. 11．BC 【分析】根据题意，可得(),sin 044,sin 044x x f x x x ππϕππϕ⎧⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由sin 04x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，求解出x 的取值范围，根据对应范围内的函数解析式，()f x 即可求出()f x 的最值，进而判断A 、B 选项；令()f x b =，分3,44x ππ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦和5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭两种情况解方程，即可判断C 选项；取3,,22524x ππππ⎛⎫⎛⎫∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出此时函数()f x 的单调区间，即可判断函数在5,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，从而判断在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，进而判断D 选项. 【详解】()sin sin sin cos 4444f x a x b x a x b x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即(),sin 044,sin 044x x f x x x ππϕππϕ⎧⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中sin ϕ=cos ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 由sin 04x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即52,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈， 所以当52,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()4f x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 即[]+2,24x k k πϕϕπϕππ-+∈++，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当242x k ππϕπ-+=+，即324x k πϕπ=-+时，()max f x = 当24x k πϕϕππ-+=++，即524x k ππ=+时， ()min f x b ϕ==-； 当32,244x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭时，()4f x x πϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 即()2,24x k k πϕϕππϕπ--∈--+-+，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当242x k ππϕπ-+=-+，即24x k πϕπ=--+时，()max f x =由于24x k ϕπππϕ≠-++--，所以()f x 无最小值.综上所述，()f x 的最小值为b -A 错误，B 正确；由()f x b =，所以当3,44x ππ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，4x b πϕ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即()sin sin sin 4x πϕϕϕ⎛⎫--==-=- ⎪⎝⎭，即24x k ππ-=或224x k πϕππ--=+， Z k ∈，所以4x π=或324x πϕ=-+，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.当5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4x b πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin 4sin x ϕπϕ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭， 即24x k ππ-=或224x k πϕππ-+=+， Z k ∈，所以524x πϕ=-，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 综上所述，方程()f x b =在35,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有三个解，故C 正确；取4,52x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()4f x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令322242k x k ππππϕπ+≤-+≤+，即372244k x k ππϕπϕπ-+≤≤-+；令22242k x k ππππϕπ-+≤-+≤+，即32244k x k ππϕπϕπ--+≤≤-+； 由于0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当04πϕ<<时，函数()f x 在4,23ϕππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在35,44ππϕ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，即函数()f x 在5,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有增有减，则()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有增有减，故D 错误.故选：BC. 12．CD 【分析】先由()e xf x =和()lng x x =是一对反函数，图像关于直线y x =对称，得出点AC 关于直线y x =对称，点BD关于直线y x =对称，点P 在直线y x =上，再算出()e xf x =和()lng x x =的公切线方程，设D 点坐标为()00,e x x ，用0x ()012x <<表示出ABC 三个点的坐标，由直线性质算出P 点坐标，再依次通过计算得出每个选项的正误即可. 【详解】由题意，画出大致图像如图，设()e xf x =与()lng x x =，1l 为直线AB ，2l 为直线CD ，且()e xf x =和()lng x x =是一对反函数，图像关于直线y x =对称，则点AC 关于直线y x =对称，点BD 关于直线y x =对称，点P 在直线y x =上，设()e xf x =的切点为()11,x y ，()lng x x =的切点为()22,x y ，由()e xf x '=，()1g x x'=， 得()e xf x =的切线方程为()111e e x x y x x =-+，()ln g x x =的切线方程为()2221ln y x x x x =-+， 当两函数的切线方程重合时，即为公切线，则()112121e 1e 1ln x x x x x⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩，将12e xx -=代入下式得1111e 1x x x +=-，将e x y =和11x y x +=-的图像在同一坐标系中画出如图，设方程1111e 1x x x +=-的其中一个解为10x x =()01x >，则0001e 1x x x +=-， 由221e 21+>-，可得012x <<， 又因0000011e 11x x x x x ---+==+--，则方程1111e 1x x x +=-的另一个解为10x x =-()012x <<，因此A 点坐标为()00,e x x --，B 点坐标为()00e ,x x ，C 点坐标为()00e ,x x --，D 点坐标为()00,e xx .因为AD 与BC 关于直线y x =对称，所以AD BC =，选项A 错误； 由点P 在直线AB 上可得B A B PB A B Py y y y x x x x --=--，设点P 坐标为(),P P x x ，则000000e e e x P x x P x x x x x ---=+-，解得00201e eP x x x x -+=+， 设()()21,12e ex x x h x x -+=<<+，()()()()2221e 1e e e x xx x x x h x ----++'=+，设()()()()221e 1e ,12x x j x x x x -=--++<<，()()()2e e10x xj x x -'=+-+<， 则()()()221e 1e x x j x x x -=--++在()1,2上单调递减，由()410e j =>，()2292e 0ej =-+<， 可得()()()221e 1e x x j x x x -=--++在()1,2上的函数值为先正后负， 即()()()()2221e 1e eex xxx x x h x ----++'=+在()1,2上的值为先正后负，则()21e e x x x h x -+=+在()1,2上的单调性为先增后减，又()211e eh =+，()22521e e h =+，且()()12h h <， 则()()212111e e 2e ex x x h x h -+=>=>++，即002011e e 2P x x x x -+=>+，所以2P P O x P =>B 错误； 分别连接BO ，CO ，如图，由0000tan e e x B x B x y BOx x x -∠===，0000tan e ex C x C y x COx x x --∠===， 得()tan tan tan tan 1tan tan BOx COxBOC BOx COx BOx COx ∠+∠∠=∠+∠=-∠⋅∠000020e e e 10122e x x x x x -+=<<+-，选项C 正确； 分别连接AO ，CO ，如图，得AOC ∠>第三象限夹角，即2AOC π∠>，选项D 正确.故选：CD. 13【分析】画出符合题意的四面体，由其特征将其补形为长方体，分别计算外接球与内切球表面积可得答案. 【详解】如图，设四面体11A BC D -为“黄金四面体”，且11111111A B A B A B A Bm A D BD AC BC =====， 得1111A D BD AC BC n ====， 又因四个面都为“黄金三角形”，则11C D A B t ==.注意到四面体11A BC D -对棱相等，则将其补形为如图所示长方体1111ABCD A B C D -，则该长方体外接球与该四面体外接球重合.设1，，AA a AB b AD c ===，则长方体外接球半径R 为长方体体对角线长度的一半，有R =又注意到：22221222212222a b A B t a c A D n b c BD n ⎧+==⎪+==⎨⎪+==⎩，得222222t a b c n ++=+，又222t m n=，得2nR ==注意到11111111111111ABCD A B C D A BC D B A B C D A C D C BCD A ABD V V V V V V ------=++++， 1111111116B A BCD A C D C BCD A ABD V V V V abc ----====， 则114163A BC D V abc abc abc -=-=. 又在11A BC 中，111C A C B =，取1A B 中点为E ， 则11C E A B ⊥，故1112A BC S= 又由前面分析可知四面体11A BC D -的四个面全等， 则四面体11A BC D -的表面积S=1142A BC S=设四面体11A BC D -的内切球半径为r ，则1113A BC D V Sr -=，得113A BC DV r S-==注意到111AC BC =a b =⇒=，又22221222212222a b A B t a c A D n b c BD n⎧+==⎪+==⎨⎪+==⎩，得22,t ab c ==t m n =，则r ==则“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为：222222222222241141242444412ππm m m n R m r m m m m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===++⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入m =【点睛】关键点点睛：本题涉及求几何体的外接球半径及内切球半径，难度较大.题目关键为由题目条件得到“黄金四面体”的对棱相等，从而将其补形为长方体，而适当的代换也可减小计算的复杂度. 14．⎡⎢⎣⎦【分析】结合绝对值三角不等式可得sin cos sin cos 2x a x a x x a -+-≥+-1242x a π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，即1122242a x a π⎛⎫-≤+≤+ ⎪⎝⎭，再结合4x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭122122a a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，进而求解.【详解】由sin cos sin cos 2x a x a x x a -+-≥+-，即1sin cos 22x x a +-≤，1242x a π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，即1122242a x a π⎛⎫-≤+≤+ ⎪⎝⎭，又因为4x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以122122a a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得1144a -≤≤， 所以a的取值范围为⎡⎢⎣⎦.故答案为：⎡⎢⎣⎦. 15【分析】根据题意假设AP 的中点(),D a b ，先利用代入法求得a 的取值范围，再利用点斜式求得直线l 的方程，从而利用点线距离公式求得d =，进而利用换元法与基本不等式求得点B 到直线l 距离的最小值.【详解】依题意，设AP 的中点(),D a b ，则()23,2P a b -，()222344a b -+=，所以22534a b a +=-，2232a -≤-≤，则1522a ≤≤，因为()3,0A ，所以3AD b k a =-，故3l a k b-=-， 所以线段AP 的垂直平分线l 为()3a yb x a b--=--，即()()22330a x by a b a -+-++=，则()5304a x by -++=， 所以点()2,0B -到直线l 的距离为d==令t =15t ≤≤，23112t a -=，所以2312982512263t t d t t --⨯==+≥=，当且仅当2563t t =，即t =所以d ≥B 到直线l.16．答案征集 【详解】 解析征集17．(2)⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）先利用平面向量的加减运算得到3122BA BD BC =-，再利用平面向量的数量积运算法则求得BD =，又利用余弦定理与数量积运算求得AB（2）先由角平分线性质定理得到12AB BC =，再利用余弦定理与数量积运算求得BD =角形面积公式与内切圆的性质得到112r R ⎛⎫= ⎝，进而利用换元法与不等式的性质求得rR的范围，由此得解. 【详解】（1）如图1，1AD =，2CD =，所以()11312222BA BD DA BD CD BD BD BC BD BC =+=+=+-=-，因为34BA BD ⋅=，0BC BD ⋅=， 所以22313133222224BA BD BD BC BD BD BC BD BD ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅== ⎪⎝⎭，故212BD =，则22BD =BD =， 又0BC BD ⋅=，则BC BD⊥，故BC ==不妨记ABD α∠=，AB m =，则2222211cos 2m AB BD AD AB BD α+-+-===⋅ 因为3cos 4BA BD BA BD α⋅==，所以234m =，解得m3cos 4α==， 因为0πα<<，所以sin α== 所以11sin 22ABCABDBCDSSSABBD BD BC α=+=⋅+⋅1122==. .（2）如图2，不妨设ABD △与CBD △内切圆的半径分别为r 与R ， 因为直线BD 平分ABC ∠， 所以由角平分线性质定理得12AB AD BC CD ==，记AB c =，则2BC c =， 记ABC β∠=，则22222224959cos 2224AB BC AC c c c AB BC c c c β+-+--===⋅⨯⨯， 因为()11213333BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+，所以222222241441459cos 429999994c BD BA BC BA BC c c c c cβ-=++=+⨯+⨯⨯222c =-， 因为AB BCAC +>，即23c c +>，则1c >，所以2BD c =，即BD =因为112122ABD BCDAD hS SCD h ⋅==⋅（h 为顶点B 到AC 的距离）， 又()()11122ABDSAB BD AD r c r =++=，()()112222BCDS BC BD CD R c R =++=，112c r=，则11122r R ⎛⎫== ⎝，令1t c =+，则1c t =-，2t >，=， 因为2t >，所以1102t<<，则0<<111<11<<11<<，1112⎛⎫<<⎝1r R <<， 所以ABD △与CBD△内切圆半径之比的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭..18．(1)4；(2)A 疫区核酸检测预计消耗试管数量比B 疫区核酸检测预计消耗试管数量少. 【分析】（1）利用错检率计算得解；（2）先求出整个A 疫区检测次数的期望值()E X 和整个B 疫区检测次数的期望值()E Y ，再作差比较大小即得解. 【详解】（1）解：当有100个人检测出核酸阳性时，预计检出的假阳性人数为1000.04=4⨯.（2）解：先计算A 疫区核酸检测预计消耗试管数量. 设A 疫区每个居民感染新冠肺炎的概率为(00.00032)P P <<，采用10n =的混采策略，则该小组所需检测次数为1和11，对应的概率分别为10(1)P -和101(1)P --,所以该小组检测次数的期望为101010(1)11[1(1)]1110(1)P P P -+--=--，10000名居民分成1000个小组，所以整个A 疫区检测次数的期望值()E X 为101100010000(1)P --. 再计算B 疫区核酸检测预计消耗试管数量. 设B 疫区每个居民感染新冠肺炎的概率为P ，采用20n =的混采策略，则该小组所需检测次数为1和21，对应的概率分别为20(1)P -和201(1)P --,所以该小组检测次数的期望为202020(1)21[1(1)]2120(1)P P P -+--=--，20000名居民分成1000个小组，所以整个B 疫区检测次数的期望值()E Y 为202100020000(1)P --. 10202010()()1000010000(1)20000(1)10000[2(1)(1)1]E X E Y P P P P -=---+-=----101010000[2(1)1][(1)1]P P =-+--因为00.00032P <<，所以102(1)10P -+>，1010(1)10.9996810P --<-<， 所以()()0E X E Y -<，所以A 疫区核酸检测预计消耗试管数量比B 疫区核酸检测预计消耗试管数量少. 19．(1)证明见解析 )1k >【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，进而假设DM 是直线EF 与AC 的公垂线，利用空间向量垂直的坐标表示得到关于,t r 的方程组，从而推出矛盾，由此得证；（2）利用（1）中结论，求得直线EF 与BD 的公共法向量n ，从而利用异面直线间的距离公式0BE n d n⋅=求得所求. 【详解】（1）因为在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面PBC ，PB PC ⊥， 所以易得,,PA PC PB 两两垂直，以P 为原点，,,PA PC PB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,,,022P A C B D ⎛⎫⎪⎝⎭，故()1,1,0AC =-，不妨设()01AEt t AB=<<，()01PF r r =<<，则()()1,0,1,0,AE t AB t t t ==-=-，()0,,0F r ， 所以()()()1,0,0,0,1,0,PE PA AE t t t t =+=+-=-，即()1,0,E t t -， 所以()1,,EF t r t =--，1,,222t r t M -⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,222t r t DM --⎛⎫= ⎪⎝⎭， 要证DM d >，只需证DM 不是直线EF 与AC 的公垂线即可， 假设DM 是直线EF 与AC 的公垂线，则,DM EF DM AC ⊥⊥，故00DM EF DM AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()()110222111022tr t t r t t r --⎧⨯-+⨯+⨯-=⎪⎪⎨--⎪⨯-+⨯=⎪⎩，整理得22201t t r r t r ⎧-++-=⎨+=⎩，消去t ，得2210r r -+=，即()210r -=，所以1r =，不满足01r <<，故假设不成立， 所以DM d >..（2）不妨设()01AE FC t t AB PC ==<<，则()11t k k=>， 由（1）得()1,0,E t t -，11,,122BD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,0,1BE t t =--，因为FC tPC =，所以1PF PC FC PC tPC t =-=-=-，则()0,1,0F t -， 所以()1,1,EF t t t =---，不妨设(),,n x y z =是直线EF 与BD 的公共法向量，所以()()11011022EF n t x t y tz BD n x y z ⎧⋅=-+--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令32x t =-，则2y t =-，22z t =-，故()32,2,22n t t t =---，设线段EF 所在直线EF 与线段BD 所在直线之间的距离为0d ， 则(203BE n d nt ⋅===因为()11t k k=>， 所以2011d -+=即线段EF 所在直线EF 与线段BD 所在直线之间的距离为)1k >.20．(1)()12n n n S +=(2)证明见解析 【分析】（1）代入,x y ，将条件化为211n n n n a a a a +++-=-，从而得到{}1n n a a +-是常数列，进而得到{}n a 是等差数列，由此利用等差数列的前n 项和公式即可得解；（2）利用数学归纳法推得要证结论，需证1324k k a S +<+()2k ≥，再次利用数学归纳法证得其成立，从而结论得证. 【详解】（1）因为2x =，1y =-，所以2112n n n n n a xa ya a a +++==-+，则211n n n n a a a a +++-=-， 又21211a a -=-=，所以{}1n n a a +-是首项为1的常数列，则11n n a a +-=，所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，则()11n a a n d n =+-=， 所以()12n n n S +=. （2）因为1x y ==，所以211n n n n n a xa ya a a +++==++，又11a =，22a =，所以3213a a a =+=，10n n a a +>>，则112n n n n a a a a -+>+=，因为2221212,n n n n T a a a a a S a =+++=+++，所以当1n =时，211111,1a S a T ====，所以211114014T S S -<==； 当2n =时，221122225,3T a S a a a =+==+=，所以222294214T S S -<==； 假设当()2n k k =≥时，有214k k k T S S -<， 则当1n k =+时，22211111114k k k k k k k k k T S T a S a S a a ++++++-=+--<+-， 因为()2222211112k k k k k k k k S S S a S S a a ++++-=+-=+，所以要证222111111144k k k k k k T S S a a S +++++-<+-<()2k ≥，需证221211121442k k k k k k k S S a a S a a +++++=-<+-()2k ≥，即证1324k k a S +<+()2k ≥，当2k =时，33a =，23S =，则32391024a S =<=+， 假设当()2k r r =≥时，有1324r r a S +<+， 则当1k r =+时，21333243r r r r r a a a S a ++=+<++， 因为12r r a a -<，所以113222r r r r a a a a -+<+=， 所以211324322424r r r r r r a S a S a S +++<++<++=+， 综上：1324k k a S +<+()2k ≥成立， 所以()2111124k k k T S S k +++<-≥成立， 综上：214n n n T S S -<恒成立. 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)设()()()111122233,,,,,A x y B x y A x y ，可用点的坐标表示112112,,A B A B A A k k k ，根据斜率关系可得132,,y y y 的关系，根据导数求出点1B 处切线斜率，从而可证抛物线在点1B 处切线斜率为k -；.(2) 设22*(,),,,N 22t t t t t t a b A a B b t p p ⎛⎫∈⎪⎝⎭，根据题设的共点的直线的斜率关系可得112,2t t t t t t b b a a a b -++=-+=-，从而可证{}t b 、{}t a 为等差数列，故可证{}1n n P P +为等差数列. 【详解】（1）设()()()111122233,,,,,A x y B x y A x y 则11121222121212222A B y y y y pk y y x x y y p p--===-+-，同理2112231322,A B A A p pk k k y y y y ===++. 2111A B A B k k =-，即231222p py y y y =-++，1322y y y ∴+=-， 122222A A p pk k y y ∴==-=-. 当0y >时，y y '==所以抛物线22y px =()0p >在点()()1222,0B x y y >2pk y ===-，得证. （2）设22*(,),,,N 22t t t t t t a b A a B b t p p ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 故直线22222:222t t t t t t tt t t t t b a a a p A B y x a x a b a p b a p p⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，令0y =，则2t t a b x p =-，故21,02t t t a b P p -⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理12,02t t t a b P p +⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当2n t =时，1111,,n n n n n n P P n n P P P P x x P P x x +-+-=-=- 故11112n n n n n n n P P P P P P P x x x +-+--=+-21212111222t t t t t t t t tP P P a b a b a b x x x p+-+++--+=+-=()()1112t t t t t t a b b b a a p+++-+-=，当21n t =-时，同理有()()11112t t t t t t n n n n b a a a b b P P P P p+-+--+--=，因为11t t t t t tA B A B A B k k k -+=-=，故1122222211222t t t t t t t tt t t t b a b a b a b a b a b a p p p-+-+---=-=---， 整理得到：()11t t t t t t b a b a b a -++=-+=+，因此112,2t t t t t t b b a a a b -++=-+=-， 由12t t t b b a -+=-可得112t t t b b a +++=-，故()111224t t t t t t b b b a a b +-+++=-+=， 因此112t t t b b b +-+=，即{}t b 为等差数列，设其公差为1d . 而()11t t t t b b a a -+-=--，故11t t a a d +-=-，其中2t ≥.又直线21111112:2a p A B y x a a b p ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，因该直线过,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，故211112022a p p a a b p ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，解得211p b a =-，故22111122p a b a a a =--=-，所以2222211111143222p p p b a b a a a a a -=--=++=-， 故222111111222p p a a a a a a a -=--=-，而222211111113222p p p b b a a d a a a -=-+=-=，。
2023年河北省衡水中学高考数学模拟试卷+答案解析(附后)
2023年河北省衡水中学高考数学模拟试卷1. 已知全集，，，则( )A. B.C. D.2. 已知复数，，若z在复平面上对应的点在第三象限，则( )A. 4B.C.D.3.已知等差数列的前n项和为，，则( )A. 66B. 78C. 84D. 964. 条件p：，，则p的一个必要不充分条件是( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象大致是( )A. B. C. D.6. 在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知抛物线C：过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM 与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为( )A. B.C. D.8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究.其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向.已知正四棱锥的外接球半烃为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则( )A. 2B.C.D.9. 统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”.一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史.在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征.为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差.一组数据：，，⋯，记其均值为m，中位数为k，标准差为s，则( )A.B.C.新数据：，，，⋯，的标准差为D.新数据：，，，⋯，的标准差为2s10. 已知，，且满足，则的取值可以为( )A. 10B. 11C. 12D. 2011. 圆O：与双曲线交于A，B，C，D四点，则( )A. r的取值范围是B. 若，矩形ABCD的面积为C. 若，矩形ABCD的对角线所在直线是E的渐近线D. 存在，使四边形ABCD为正方形12. 已知函数的导函数为，则( )A. 有最小值B. 有最小值C. D.13. 已知角终边上有一点，则______ .14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为______ .15. 已知函数的部分图像如图所示，在区间内单调递减，则的最大值为______ .16. 如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD为菱形，，，，且平面ABCD，四边形BEFG是正方形，则______ ；异面直线AG与DE所成角的余弦值为______ .17. 已知数列满足，且，求证：是等比数列，并求的通项公式；若数列的前n项和为，求使不等式成立的n的最小值.18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求的最小值；若M为的重心，，求19. 第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会.为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛.已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响.求这3人中至多有2人通过初赛的概率；求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元.若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好.20. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是平行四边形，，，AD与平面所成的角为求；求二面角的余弦值.21. 如图，已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，且直线AB的斜率为，的面积为1，O为坐标原点.求C的方程；设直线l与C交于，两点，且，N与B不重合，M与C的上顶点不重合，点Q在线段MB上，且轴，AB平分线段QN，点到l的距离为d，求当d取最大值时直线MN的方程.22. 已知函数证明：当时，为增函数；若有3个零点，求实数a的取值范围，参考数据：，答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为，，所以，又因为，所以则故选：求出集合M、N，再利用并集和补集的定义，即可求解．本题主要考查交集、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为，则，解得，因为复数z在复平面上对应的点在第三象限，则，解得，因此，故选：利用复数的除法化简复数z，利用复数的模长公式以及复数的几何意义可求得实数a的值．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设等差数列的首项为，公差为d，由可得，整理可得，所以，则故选：设等差数列的首项为，公差为d，结合题意可得，结合等差数列的性质代入等差数列的前n项和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：若，使得，则，可得，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，故当时，，即p：，所以p的一个必要不充分条件是故选：对于命题p，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数a的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项．本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：对于函数，有，可得，所以，函数的定义域为，因为，，所以，函数为偶函数，排除AB选项；当时，，则，此时，排除D选项．故选：分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项．本题主要考查了函数的奇偶性在函数图象判断中的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：取PQ的中点N，则，可得，，当且仅当N在线段AM上时，等号成立，故，显然当时，取到最小值，，故故选：根据向量运算可得，结合图形分析的最小值即可得结果．本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：因为抛物线C：过点，所以，解得：，所以，设，，直线MN：，代入中整理得，所以，，所以，即，则，解得：，所以直线MN：，直线l的斜率为，且过C的焦点，所以l：，则到直线l的距离为，所以l把分成面积相等的两部分，因为直线l与直线MN平行，所以到直线l：的距离为到直线MN：距离的，，解得：或舍去所以直线MN的方程为故选：由题意求出抛物线方程为，设，，直线MN：，联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由，可求出，再求出直线l的方程，由题意可转化为到直线l：的距离为到直线MN：距离的，代入求解即可得出答案．本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：设底面正方形ABCD的对角线长为2a，高为h，，正方形的中心为O，外接球的球心为，则有即，在中，，①，②，以O为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则有，，设平面PCD的一个法向量为，则有，即，令，解得，，设向量与平面PCD的夹角为，则，球心到平面PCD的距离，，由①得，即③，故设，则③可整理成，两边平方得，，由①②得故选：正四棱锥的外接球和内接球球心重合，说明其结构特殊，找出结构的特殊性，再计算．本题主要考查了正四棱锥的外接球和内切球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A选项，因为，样本数据最中间的项为，由中位数的定义可知，A对；对于B选项，不妨令，则，B错；对于C选项，数据，，，⋯，的均值为，方差为，所以，数据，，，⋯，的标准差为s，C错；对于D选项，数据，，，⋯，的均值为，其方差为，所以，新数据：，，，⋯，的标准差为2s，D对．故选：利用中位数的定义可判断A选项；取，可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项．本题主要考查了均值、中位数和标准差的计算公式，属于基础题．10.【答案】CD【解析】解：因为，，所以，，故，当，且，而时，即等号不能同时成立，所以，故AB错误，CD正确．故选：根据条件及基本不等式可得，进而即得．本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：对于选项A，双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因为圆O：与双曲线交于A，B，C，D四点，所以，故A错误；对于选项B，C，当时，圆O：，联立方程，解得，所以或或或，不妨令，，，，所以，，所以，则，所以AC：，故不是双曲线的渐近线，即B正确，C错误；对于选项D，若四边形ABCD为正方形，不妨设A为第一象限内的交点，设，，由，解得，又，所以，所以当时，使四边形ABCD为正方形，故D正确；故选：首先求出双曲线的顶点坐标与渐近线方程，即可判断A，对于B、C，求出交点坐标，即可判断B、C，设，求出m、r，即可判断本题主要考查了双曲线的性质，考查了圆与双曲线的综合问题，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：由于函数的导函数为，则，又得其导函数为，故在定义域为单调递增函数，知无最小值，故B错误；当时，，，，故；当时，，，，但是指数函数始终增长的最快，故；又因为，，故一定存在，使得，所以在时为单调递减，在时为单调递增，故在处取得最小值，故A正确；又在定义域为单调递增函数，可知在为凹函数，可得，即，故C正确；令，易知，，，令，故在定义域为单调递增函数，故，则，故D正确．故选：对选项逐一判断，首先对求导得到，再对进行求导，得出的单调性及零点，即可得出，最值及单调性，即可判断AB的正误，由的增减性可知的凹凸性，由此可知，的大小，即可判断C的正误，再构造，同理可判断D的正误．本题主要考查了导数与单调性，函数性质的综合应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，，根据同角关系有，故答案为：根据正切的定义，运用诱导公式以及同角关系求解．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：分两种情况讨论：第一局甲胜，第二局乙胜：若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，所以第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；第一局乙胜，第二局甲胜：若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为综上所述，甲、乙各胜一局的概率为故答案为：分两种情况讨论：第一局甲胜，第二局乙胜：第一局乙胜，第二局甲胜．分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：由图可知函数过点，所以，即，所以或，，因为，所以或，又函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取得最小值，所以，所以，因为在区间内单调递减，，所以，所以，所以，则或解得或，所以的最大值为故答案为：根据函数过点求出的值，再根据x的范围求出的范围，结合函数的单调性与周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形，设H为AB的中点，连接DH，所以又，因此又平面ABCD，故以D为原点，分别以DE，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，，，，则，，，，由题意，则平面ABCD，平面ABCD，设，，从而，因为四边形BEFG是正方形，所以，所以，解得，所以，，设，则，因为，所以，所以，即，所以，所以，设异面直线AG与DE所成角为，又，所以，即异面直线AG与DE所成角的余弦值为故答案为：；根据线面垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解距离及异面直线所成角的余弦值．本题主要考查了利用空间向量求线段的长，以及利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题．17.【答案】解：由，，可得，所以，则，又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，所以，则，所以由可知：，当n为偶数时，，当n为奇数时，，因为，，所以使不等式成立的n的最小值为【解析】根据递推公式即可证明是等比数列，然后利用等比数列的通项公式和已知条件即可求解；结合的通项公式求出数列的前n项和为，然后讨论即可求解．本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为；分别延长BM，CM，AM，交三角形的对应边于点D，E，F，点M为的重心，，在中，，D为边AC的中点，，，设，，则，，在中，又勾股定理可得：，即，同理在中，，即，在中，，即，消去x，y得，又，所以，从而解得，即，在中，由余弦定理可得：，，同理在中，，，【解析】利用余弦定理及基本不等式即可求解最小值；利用重心性质及勾股定理求出边长关系，利用余弦定理求出两个角的余弦值，然后通过同角关系求出正弦值即可．本题考查解三角形，余弦定理勾股定理，基本不等式的应用，方程思想，属中档题．19.【答案】解：人全通过初赛的概率为，所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为，所以这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为；方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，且，所以元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为600、900、1200、1500，则，，，，所以所以，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．【解析】计算出3人全通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了二项分布的概率公式和期望公式，属于中档题．20.【答案】解：因为，，在中，由余弦定理可得，则，所以，则，又因为为直四棱柱，所以平面ABCD，所以，DA，DB两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，则可取，由题意可知：AD与平面所成的角为，所以，解得，所以由知：平面的法向量，，，设平面的法向量为，则，则可取，则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值【解析】根据，，利用余弦定理可得，结合已知条件，建立空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，求出平面的法向量和AD的方向向量，线面角即可求解；结合的结论和平面的法向量，再求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解．本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．21.【答案】解：由已知得，，，即①又因为的面积为1，所以，即②联立①②解得，，所以椭圆C的方程为；根据题意，直线l的斜率存在，且l不过C的上、下顶点，故可设其方程为，，设Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为，由得，，则，即，又，由已知直线MB的方程为，直线AB的方程为，直线QN的方程为，联立，解得，即，联立，解得，即，因为AB平分线段QN，所以T为线段QN的中点，所以，即，整理得，把代入上式整理得，因为，所以，化简得，又由得，解得，，设，则，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，当时，有最大值，即d有最大值，所以，所以直线MN的方程为【解析】根据已知条件列出关于a，b的方程组求解即可；设l的方程为，，Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为，由已知可得，结合韦达定理可得出，从而可求点到l的距离d，再通过构造函数，利用函数单调性求出d取最大值时的条件，从而可求直线MN 的方程．本题主要考查了椭圆性质在椭圆方程求解中的应用，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，属于中档题．22.【答案】解：将代入的解析式得：，，令，显然是增函数，，，使得，此时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，显然是关于得减函数，，由，，得，，，即，是增函数；令，，，令，令，则有，，，显然是增函数，第21页，共21页，，使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，时，，即，是增函数，时，，即是减函数，时，是增函数，所以在处，有极大值，在处有极小值，的大致图像如下：欲使得原函数有3个零点，a 得取值范围是，综上，a 得取值范围是【解析】将代入函数解析式，求导，求出导函数的极小值即可；参数分离，构造函数，求出其单调区间以及函数的大致图像即可．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质在零点个数判断中的应用，特殊值是解决本题的一个关键，对于导函数的研究的一个原则是多次求导直到导函数能够比较清晰的观察出其单调性为好，属于中档题．。
河北衡水中学2023届高三一模数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 复数（为虚数单位）的虚部是（ ）A．B ．1C．D ．22. 已知函数，则“”是“有极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值为（ ）A．B ．2C．D ．44. 已知均为正实数，且，，，则A．B．C．D．5. 设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则6. 已知向量，满足，，，那么与的夹角为（ ）A．B．C．D．7. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．8.已知，且，，则（ ）A．B．C．D．9. 在长方体中，，，，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若直线与直线CD 所成的角为，则B ．若经过点A 的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点M，则C ．若经过点A 的直线m 与长方体所有面所成的角都为θ，则D ．若经过点A 的平面β与长方体所有面所成的二面角都为，则10.如图，已知二面角的棱l 上有A ，B 两点，，，，，且，则下列说法正确的是（）．A ．当时，直线与平面所成角的正弦值为B ．当二面角的大小为时，直线与所成角为C．若，则二面角的余弦值为河北衡水中学2023届高三一模数学试题 (2)河北衡水中学2023届高三一模数学试题 (2)三、填空题四、解答题D．若，则四面体的外接球的体积为11. 已知，，若与共线，则下列说法正确的是（ ）A．将的图象向左平移个单位得到函数的图象B．函数的最小正周期为C ．直线是的一条对称轴D ．函数在上单调递减12.若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）.若，且，，，则（ ）A．有无数个“友情点对”B．恰有个“友情点对”C．D．13. 如图，有一半径为1的球形灯泡，要为其做一个上窄下宽的圆台形灯罩，要求灯罩对应的圆台的轴截面为球形灯泡对应的大圆的外切等腰梯形，则灯罩的表面积（不含下底面）至少为__________.14. 用一平面去截球所得截面的面积为，已知球心到该截面的距离为，则该球的表面积是___________．15. 过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，，切点为，（，不重合），设直线，分别与y 轴交于点A ，B ，则下列结论中正确的序号为______．①两点的横坐标之积为定值；②直线的斜率为定值；③线段AB 的长度为定值；④三角形ABP 面积的取值范围为．16. 已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.17.对于项数为的有穷数列，若，则称为“数列”.(1)已知数列、的通项公式分别为，.分别判断、是否为“数列”；（只需给出判断）(2)已知“数列”的各项互不相同，且，.若也是“数列”，求有穷数列的通项公式；(3)已知“数列”是的一个排列（即数列中的项不计先后顺序，分别取），且，求的所有可能值.18.如图，在直四棱柱中，、分别是、的中点，与交于点．（1）求证：、、、四点共面；（2）若底面是菱形，且，求证：平面．19. 已知椭圆，，分别为椭圆的左，右焦点，且，两直线和与椭圆分别交于，和，，其中，当时，直线经过椭圆的上顶点.（1）求椭圆的方程；（2）设，若，求证：为定值.20.如图，在多面体中，四边形为矩形，，，，，，，，是的中点，为上一点（不是的中点）．(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．21. 已知函数在处的切线与直线垂直，函数．（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．。
2023届河北省衡水中学高三下学期一调考试数学试题及答案
2022—2023衡水中学下学期高三年级一调考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合}12|{≤<-N ∈=x x A ，}1)2{lg({<+=x x B ，则=B A A ．}1,0,1{-B ．}1,0{C ．}1,1{-D ．}1{-2．已知复数z 满足|i ||1||5|+=-=-z z z ，则=||z A ．10B ．13C ．23D ．53．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，且2sin 2cos 3=-αα，则A ．32)cos(=-απB ．42)tan(=-απC ．352sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απD ．452cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为A ．4923B ．4933C ．4941D ．49515．已知抛物线x y C 2:2=的焦点为F ，点M 在C 上，点N 在准线l 上，满足OF MN //(O为坐标原点），||||MN NF =，则MNF ∆的面积为A ．3B ．435C ．233D ．326．碳达峰，是指在某一个时点，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值。
亿吨后开始下降，其二氧化碳的排放量S （单位：亿吨）与时间基（单位：年）满足函数关系式tab S =，已知经过5年，该地区二氧化碳的排放量为54a 亿吨．若该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为4a 亿吨，则该地区要实现“碳中和”至少需要经过(lg 2≈0.3)A ．28年B ．29年C ．30年D ．31年7．从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比m 大，一个比m 小的概率为∈m (145*)N .已知m 为上述数据中的x %分位数，则x 的取值可能为A ．50B ．60C ．70D ．808．已知1x 是函数)2ln(1)(+-+=x x x f 的零点，2x 是函数442)(2++-=a ax x x g 的零点，且满足1||21≤-x x ，则实数a 的最小值是A ．1-B ．2-C ．222-D ．21-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届河北省衡水市第二中学高三上学期一模数学试题及参考答案
2023届河北省衡水市第二中学高三上学期一模数学试题及参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}321330,12A xx x x B x x ⎧⎫=--+<=+≥⎨⎬⎩⎭∣∣，则（）A.()3,1,32A B ⎛⎫⋃=-∞-⋃ ⎪⎝⎭B.()1,1,2A B ⎡⎫⋃=-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C.()(),11,3A B ∞⋂=--⋃ D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-=⋂32123，B A 2.已知复数13i 22z =-+，则20231ii z =∑的值为（）A.13i 22-+ B.13i 22-- C.0 D.13.在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有2,CE ED AE =与对角线BD 交于F ，则AF =（）A.1233AB AD + B.3144AB AD +C 1344AB AD ⋅+ D.13AD AB +4.已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积成比例，那么这两个几何体的体积也对应成比例.则椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为（）A.243a b π B.243ab π C.343a π D.343b π5.从11到15这5个整数中选出2个，则这2个数的因数个数之和为8的概率是（）A.110B.15C.310D.256.已知()()()2tan 0,,023f x x f πωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎪⎝⎭，周期3,,,0446T πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()f x 的对称中心，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A. C.3D.3-7.若2ln1.01,,1201a b c ===，则（）A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<8.某正六棱锥外接球的表面积为16π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长2l ∈∣，则其体积的取值范围是（）A.932⎡⎢⎣⎦B.128327⎡⎢⎣⎦C.931283,227⎡⎢⎣⎦D.643,27⎡⎢⎣二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.过任意三点有且仅有一个平面B.m 为直线，,αβ为平面，若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥C.,m n 为直线，α为平面，若,m a n α∥∥，则m n ∥D.,m n 为直线，a 为平面，若,m a n a ⊥⊥，则m n∥10.关于函数()331f x x x =-+，下列说法正确的是（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 的图像关于原点对称C.()f x 有三个零点D.2sin10 是()f x 的一个零点11.已知抛物线C ：22(0)y px p =>过点()1,2,M 是C 准线l 上的一点，过M 作C 的切线MA ､MB 与抛物线分别切于A B ､，则（）A.C 的准线方程是1x =- B.2||MF FA FB=C.2||AM AF AB= D.0MA MB ⋅≠ 12.直线l ：y ax =与y ex =的图像交于()()1122,,A x y B x y ､两点()12,y e x x x <=在A ､B 两点的切线交于,C AB 的中点为D 则（）A.a e ≤B.点C 的横坐标大于1C.12x x -<D.CD 的斜率大于0三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()623x y ++中4x y 的系数为__________（用数字作答）.14.写出一个满足下列条件的双曲线的方程__________.①焦点在x 轴上②渐近线与圆22(2)3x y -+=有交点15.已知函数()()(),f x g x g x ､的图像关于1x =对称，且()()()()()1,121,g 13f x g x f x g x -=++-==则231()i f x ==∑__________.16.已知224x y +=+__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程及演算步骤.17.已知数列{}n a 满足()12n n n a a S +=，其中n S 是{}n a 的前n 项和.（1）求证：{}n a 是等差数列；（2）若121,2a a ==，求()121n n n n n a b a a +-=的前n 项和n T .18.在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()2222222a b c a R a a c b +--=+-，其中R 是三角形外接圆半径，且A 不为直角.（1）若6B π=，求A 的大小；（2）求2222a c b -的最小值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面,ABCD O 为AB 中点，AC 与OD 交于点,E PAB 的重心为G.（1）求证：EG ∥平面PCD（2）若5,8,4PA PB AB BC ====，求二面角C GE D --的正弦值.20.某工厂生产一批零件，其直径X 满足正态分布()10,0.25X N ~（单位：mm ）（1）现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在()8.5,11.5之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：15(33)0.9973,0.99730.9603P X μσμσ-<<+=≈）（2）若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？21.已知()()()2,0,2,0,,A B P x y -满足PA 与PB 的斜率之积为34（1）求P 的轨迹C 的方程.（2）12,l l 是过椭圆内同一点D 的两条直线，1l 交椭圆于2,MN l 交椭圆于PQ ，且MNPQ 共圆，求这两条直线斜率之和.22.已知函数()()[]sin ,0,f x x x x ππ=-∈（1）求()f x 在()0,0处的切线方程；（2）若()f x a =在定义域上有两解12,x x ，求证：①2a <；②12a x x a ππ-≤--.参考答案一、选择题1.B2.A 解析：i z 2321+-=，i i z 2321232122--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=，14341232123213=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=i i z ()()()i z z z z z z z z z z z i i232111111113674202320231+-==--=--=--=+⨯=∑3.C 解析：如图，正方形ABCD 中，ED CE 2=，则AB CD DE 3131==.∵CD AB ∥，∴DEF ∆∽BAF ∆，则31==AB DE AF EF ，故()AB AD AB AD DE AD AE AF 41433143434343+=⨯+=+==.4.B 解析：如下图所示：直线h y =交半椭圆()012222≥=+y b y a x 于B A 、两点，交半圆()0222≥=+y b y x 于D C 、两点，由题意可得b ah b h b b a h b b h a CDAB =--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222222222212，将半椭圆()012222≥=+y by a x 和半圆()0222≥=+y b y x 绕着x 轴旋转一圈后，将垂直于y 轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为S S '、，由题意可知b a CD CD AB S S =⋅⋅⋅='24141ππ，将半椭圆()012222≥=+y b y a x 绕x 轴旋转一圈所得的几何体体积为V ，半圆()0222≥=+y b y x 绕着x 轴旋转一圈所得的几何体体积为V '则baV V ='，∴343423ab b b a V b a V ππ=⋅='=.5.C解析：11的因数有11和1，共有2个因数；12的因数有1,2,3,4,6,12，共有6个因数；13的因数有13和1，共2个因数；14的因数有1,2,7,14，共4个因数；15的因数有1,3,5,15，共4个因数，从5个数中选两个数，共有1025=C 种选择，则2个数的因数个数之和为8，则这两个数可以是11和12，或12和13，或15和14，共三种，故2个数的因数个数之和为8的概率为103.6.D解析：∵()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0tan 2πϕωϕωx x f ，由()3320=f 可得33tan 332tan 2=⇒=ϕϕ，且2πϕ<，∴6πϕ=，又∵⎪⎭⎫⎝⎛06，π是()x f 的对称中心，故Z k k ∈=+,266ππωπ解得Zk k ∈-=,13ω且⎪⎭⎫⎝⎛∈434ππ，T ，即434434<<⇒<<ωπωππ，∴当1=k 时，2=ω即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62tan 2πx x f ，∴()332632tan 2-=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=ππx f .7.B解析：由于()01.01ln 01.1ln +==a ，1201.01102.1-⨯+=-=c 故设函数()()()01211ln >++-+=x x x x f ，则()()()0,21112121111>+++-+=+-+='x x x x x xx x f .由于()()0121222<-=+-+x x x ，∴()()22121x x+<+即()0121<+-+x x ，即()0<'x f ，故()x f 为单调递减函数，故()()00=<f x f ，即()()0,1211ln >-+<+x x x ，即c a <；又()01.01ln 01.1ln +==a ，01.0201.022012+⨯==b ，令()())0(,221ln >+-+=x xxx x g ，则()()()()()0,0212411222>>++=+-+='x x x x x x x g ，即()x g 为单调递增函数，故()()00=>g x g ，即()xxx +>+221ln ，即b a >，故c a b <<.8.B解析：如图所示，设该正六棱锥的高h PO =1，侧棱长为a ，设该正六棱锥外接球的半径为r ，则有ππ1642=r ，∴2=r ，∵外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，∴2≥h ，设θ=∠OPB ，在六边形ABCDEF 中，∵正六边形的边长为l ，∴l B O =1，在OPB ∆中，由余弦定理可知42244cos 2aa a =⋅-+=θ，在直角三角形PB O 1∆中，a h =θcos ，所以有h a a a h 44cos 2=⇒==θ，由勾股定理可知222222244h h l h l h a l h -=⇒=+⇒=+，∵[]2,3∈l ，∴[]4,32∈l，因此有314432≤≤⇒≤-≤h h h ，而2≥h ，∴32≤≤h 该正六棱锥的体积()()3224234232321631h h h h h h l l V -=-=⋅⋅⋅⋅⨯⨯=，()()⎪⎭⎫⎝⎛--=-='3823338232h h h h h V ，当382<≤h 时，()0>'h V ，()h V 单调递增；当338≤<h 时，()0<'h V ，()h V 单调递减，∴()27312838max =⎪⎭⎫⎝⎛=V h V ，∵()342=V ，()2393=V ，()()32V V <，二、选择题9.BD解析：对于A ，过任意不共线的三点有且仅有一个平面，故A 错；对于B ，由于α⊥m ，β⊥m ，所以βα∥，故B 正确；对于C ，若αα∥，∥n m ，则n m ,可以异面，也可以相交，也可以平行，故C 错误；对于D ，根据垂直同一平面的两直线平行，故D 正确.10.ACD解析：对于函数()133+-=x x x f ，求导可得()()()113332+-=-='x x x x f ，令()0='x f ，解得1±=x ，可得下表：x ()1-∞-，1-()1,1-1()∞+，1()x f '+-+()x f 单调递增极大值单调递减极小值单调递增则()()31=-=f x f 极大，()()11-==f x f 极小，即可作图，通过图象可知，()x f 有两个极值点，故A 正确；函数()x f 的图像不关于原点对称，故B 错误；函数()x f 有三个零点，故C 正确；∵()θθθ2sin 3sin +=θθθθ2sin cos 2cos sin +=()θθθθθcos 2sin cos sin 21sin 2⋅+-=()θθθθθθ323sin 4sin 3sin 1sin 2sin 2sin -=-+-=即()θθθ3sin sin 341sin 3-=将︒10sin 2代入()x f 解析式可得，()()110sin 610sin 8110sin 2310sin 210sin 233+︒-︒=+︒⨯-︒=︒f ()110sin 630sin 10sin 3418+︒-︒-︒⨯=0110sin 630sin 210sin 6=+︒-︒-︒=，故D 正确.11.ABC解析：点()2,1在抛物线C 上，∴p 24=∴2=p ，则xy 42=设焦点为F ，()01，F ，则C 的准线方程是12-=-=px ，A 正确；设点()m M ,1-，先考虑0≠m 情况，则过点M 作C 的切线MB MA ,，切线斜率必存在且不等于0，设切线方程为()01≠++=k m x k y ，，联立x y 42=，可得04442=++-km y k y ，则0116162=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∆k m k ，即012=-+mk k ，042>+=∆'m ，设MB MA ,的斜率分别为21,k k ，则1m 2121-=-=+k k k k ，，即MB MA ⊥，∴0=⋅MB MA ，D 错误；设()()2211,,y x B y x A ，，不妨设A 在第一象限，B 在第四象限，则112x y =，222x y -=，由于x y 42=，对于曲线在第一象限内部分有x y 2=，∴xy 1='，则111x k =，对于曲线在第一象限内部分有x y 2-=，∴xy 1-='，则221x k =，对于121-=k k ，故11121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯x x ，∴121=x x ，则()161621221==x x y y ∴421-=y y ，由于0≠m ，故AB 斜率一定存在，设直线AB 的方程为v ux y +=，联立x y 42=，可得0442=+-u v y u y ，故4442121-===+uv y y u y y ，∴v u -=，则直线AB 的方程为()1-=+=x u v ux y ，即直线AB 过定点()0,1F ，∴B F A ,,三点共线，由于m m k k k k k k x x y y u k AB 22211222442121212121=--=+=+=-=+==，2mk MF -=，故1-=MF AB k k ，∴AB MF ⊥，在AMB RT ∆中，MFB ∆∽AFM ∆∽AMB ∆，则FB F A MF =2，AB AF AM=2，当0=m 时，()01，-M ，B A ,关于x 轴对称，1,02121-==+k k k k ，0=⋅MB MA 成立；此时AB 斜率不存在，不妨设11=k ，12-=k ，则1:1--=+=x y MB x y MA ，：，联立x y 42=，解得()()21,2,1-，B A ，则AB 过定点()0,1，且AB MF ⊥，则FB F A MF =2，AB AF AM=2成立，综上所述，BC正确.12.BC解析：对A ，∵直线ax y =与曲线xe y =交于()()2211,,y x B y x A ，两点()21x x <，xe a e ax xx=⇔=有两个不同的交点.∵()21x x e x e x x -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴xe y x=在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增且e y =min ，+∞→+∞→+∞→→y x y x ,;,0，∴e a >，故A 错误.对B ，由题意得，()212121x x eax e ax x x<==，∴2110x x <<<()x e x g x=，设()()()()10,2<<--=x x g x g x h ，则()()()⎦⎤⎢⎣⎡---='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='--2222212x e x e x x e x e x h x x x x .令()2x e x m x =，则()()32xx e x m x -='，∴()x m 在()2,0单调递减.∵()1,0∈x ，()2,12∈-x ∴()()x m x m ->2∴()0<'x h ，()x h 在()1,0上单调递减，∴()()01=>h x h ，()()x g x g ->2.∵2110x x <<<∴()()112x g x g ->又()()21x g x g =∴()()122x g x g ->，∵()+∞∈,22x ，()+∞∈-,221x ∴122x x ->，221>+x x .AC 的方程：()111x x e e y x x -=-，BC 的方程：()2212x x e e y x x -=-，联立可解得()111121212221211212111>-+=---=---=-=-x x ax ax ax ax e e e x e x x x x e e y x x x x x x 故选项B 正确.对C ，设()()[]122+-+---=x e a x ax e x s x，则()e x e x s x-+-='22，()2-=''x e x s ，令()02=-=''x e x s 可得2ln =x ，()2ln ,0∈x ，()0<''x s ，()∞+∈，2ln x ，()0>''x s ，且()01='s ，()()()012ln min ='<'='s s x s ，∵()00>'s ，设()1,0∈m ()m x ,0∈，()0>'x s ，()1,m x ∈，()0<'x s ，()∞+∈，1x ，()0>'x s ，∵()()010==s s ，()0min =x s ，∴()()[]0122≥+-+---=x e a x ax e x s x，∴()122+-+-≥-x e a x ax e x，∵21,x x 是0=-ax e x的两个根，43,x x 是方程()0122=+-+-x e a x 的两个根，∴()4224321--+=-<-e a x x x x ，∴C 正确.对D ，∵()⎪⎭⎫⎝⎛++222121x x a x x D ，，()21211x ax x x C ，-+∴()[]22212121-++-=x x x x x x a k CD ，∵e a >，221>+x x ，2110x x <<<设()()2ln 2a x aax e x f x---=，则()a a a ax e x f x ln +--='，()a e x f x -=''当()a x ln ,0∈，()0<''x f ，则()()0ln ='>'a f x f ；当()∞+∈，2ln x ，()0>''x f ，则()()0ln ='>'a f x f ∴()+∞∈,0x ，()0≥'x f ，()x f 在()+∞,0单调递增，且()0ln =a f ，()a x ln ,0∈，()()0ln 22<---=a x aax e x f x ，()2ln 2a x a ax e x -<-，()∞+∈，2ln x ，()()0ln 22>---=a x aax e x f x ，()2ln 2a x a ax e x ->-，∵2110x x <<<，()()2221ln 2ln 2a x a a x a->-，a x x a ln ln 21->-，∴a x x ln 221<+，∴221221a e x x a x x <=+，121<x x .∴0<CD k ，∴D 错误.三、填空题13.1620解析：()()[]626233++=++y x y x ，其二项展开式的通项为：()()rrrr y x C T 36261+=-+，要得到y x 4，则()462x x r=-，解得4=r .()43+y 的二项展开式的通项为k k k k y C T 3441-+=，令14=-k ，可得3=k 故()623++y x 中y x 4的系数为162027415333446=⨯⨯=⨯⨯C C .14.122=-y x （答案不唯一）解析：不妨设双曲线的渐近线方程为()0>±=k kx y ，()3222=+-y x 的圆心为()0,2，半径为3，∵渐近线与圆()3222=+-y x 有交点，∴圆心()0,2到这两直线的距离为3121222≤+=+±k k k k ，解得：30≤<k ，故取1=k ，双曲线的渐近线方程为x y ±=，此时焦点在x 轴上的双曲线为122=-y x .15.26解析：∵()x g 的图象关于1=x 对称，∴()()x g x g -=2∴()()()()⎩⎨⎧=++=-111x g x f x g x f ，两式相加可得()()21=++x f x f 故()()221=+++x f x f ，可得()()2+=x f x f ，故函数()x f 的周期为2.∵()()1=-x g x f ，()31=g ，∴()()4111=+=g f .∴()()()[]()()[]()()[]()2322214321231f f f f f f f x f i +++++++=∑= ()()26422122232222=+=+=+⨯=f f16.5解析：设12411252+-++-=-+-=x y x y t ()22222222144211214y x y y x x y x y y x +-++-+=+-+++-+=()()22221221y x y x +-+-+=令圆422=+y x 上任意一点()y x P ,，()2,0M ，()0,1N ，则()PN PM t +=21.设()0,n N '使得N P PN '=21，则()M N N P PM t '='+=2121min min ，又∵NO OP '=21，∴4='N O ，∴()04，N '由勾股定理可得：522422=+='M N ，∴521='M N .四、解答题17.解：（1）由()21n n a a n S +=得2≥n 时，()()21111--+-=n n a a n S 两式相减得()()1112--+-=-n n a n a a n ……①，因此可得()n n na a a n +-=-+111……②①②相减得：()()()111122-+-+-=-n n n a n a n a n 由于01>-n ，所以112-++=n n n a a a ，所以{}n a 是等差数列.（2）由（1）知{}n a 是等差数列，11=a ，22=a ，所以n a n =，因此()()()1221121211+-=+-=-=++n n n n n a a a b n n n n n n n n ，所以12212232222212113221+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n T n n n n .18.解：（1）在ABC ∆中，∵()B A b B ac A bc a bc a a c b a a R cos cos cos 2cos 22222222=⋅⋅⨯=-+-+=-∴A b B a B R cos cos cos 2=-，由正弦定理可得：A B R B A R B R cos sin 2cos sin 2cos 2=-∴()C B A B A B A B sin sin sin cos cos sin cos =+=+=又A 不是直角，则2π≠+C B ，∴B C +=2π，∵6π=B ，∴6ππ=--=C B A .（2）由（1）知，∵()2222222b c a a c b a a R -+-+=-转化为C B sin cos =，又π=++C B A ，B C +=2π，∴B A 22-=π.∴B B B B C A b c a 222222222sin cos 22sin 2sin sin sin 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-πB B B 222sin cos 2cos 2-=()()B BB B B B B 22242222sin sin 12sin 8sin 8sin sin 1sin 212+-+-=---=7sin 1sin 8sin 1sin 7sin 822224-+=+-=B B B B B 7247sin 1sin 8222-=-⨯⨯≥BB 当且仅当BB 22sin 1sin 8=，即481sin =B 时，等号成立，∴2222bc a -的最小值为724-.19.解（1）∵P AB ∆的中心为G ，O 为AB 的中点，∴31=OP OG 又CD OA ∥，CD OA ∥，∴DE OE 21=即31=OD OE ，又31=OP OG ，∴OPOGOD OE =，∴PD EG ∥又⊂PD 平面PCD ，⊄EG 平面PCD ，∴EG ∥平面PCD （2）∵PB P A =，O 为AB 的中点，∴AB PO ⊥，又平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD =AB ，⊂OP 平面P AB ，∴ABCD PO 平面⊥，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则()0,4,4C ，()0,44-，D ，()1,0,0G ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-03434，，E ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=031638，，EC ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=13434，，GE ，⎪⎭⎫⎝⎛-=03838，，ED设平面CEG 的法向量为()z y x m ,,=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=⋅=+=⋅03434031638z y x GE m y x EC m ，令1-=y ，可得()4,1,2-=m ，设平面GED 的法向量为()c b a n ,,=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=⋅=-=⋅0343403838c b a GE n b a ED n ，令1=a ，可得()0,1,1=n ，∴42422.211===n m ∴二面角D GE C --的正弦值为4217224211=-.20.解：（1）∵()25.010~，N X ，∴()9973.05.115.8=<<X P ，∴随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为0397.09973.0115≈-，如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为0.0397，该事件为小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的.（2）次品的概率为1-0.9973=0.0027，抽取100个零件进一步检测，设次品数为Y ，则()p B Y ，100~，其中0027.0=p ，故()()kkkp p C k Y P --==1001001设次品数最可能是k 件，则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥--++-----k k k k k k k k k k k k p p C p p C p p C p p C 9911100100100101111001001001111，即()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-+≥-⋅--⋅--≥⋅-pk k p k k p k k p k k !99!1!1001!100!!1001!101!1!100!100!!100，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥----≥110011011k p k p k p k p ，解得()*∈≤≤-Nk p k p 1011101.∵0027.0=p ，∴2727.0101=p ，7273.01101-=-p ，故0=k .故这100个零件中的次品数最可能是0.21.解（1）∵()y x P ,满足P A 与PB 的斜率之积为43-，∴()24322±≠-=-⋅+x x y x y ，整理得：()213422±≠=+x y x （2）设()00,y x D ，∵D 在C 内，∴1342020<+y x 即12432020<+y x ，设1l 的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x ，α为1l 的倾斜角把1l 的参数方程代入()213422±≠=+x y x 中得：()()01243sin 8cos 6sin 4cos3202000222=-+++++y x t y x t αααα，则()αααα2222022202021sin 4cos 34312sin 4cos 31243++-=+-+=y x y x t t ，即()αα2222021sin 4cos 34312++-==⋅y x t t PB P A .设直线2l 的倾斜角为β，上式用β代替α，同理可得43t t PF PE =⋅()ββ22220sin 4cos 34312++-=y x .∵MNEF 共圆由圆的相交弦定理可知：=⋅PB P A PF PE ⋅，即()αα222020sin 4cos 34312++-y x ()ββ222020sin 4cos 34312++-=y x ，∴αα22sin 4cos 3+ββ22sin 4cos 3+=，整理可得βα22sin sin =，∵βα，为直线的倾斜角，∴0sin ,0sin ≥≥βα，∴βαsin sin =，∵βα≠，∴πβα=+∴βαtan tan -=，即两直线的斜率互为相反数，∴两直线的斜率之和为0.22.解：（1）∵()()x x x x f cos sin -+-='π，∴()π='0f ∴()x f 在()00，处的切线方程为x y π=.（2）①易得()()000==πf f ，∵()()()()x x x x x f --=-=πππsin sin ，设[]ππ，0∈-=x t ，∴()()t t t x f sin ==ϕ∴()a x f =在定义域上有两解21,x x 等价于()a t =ϕ在[]π，0上有两个不同的根21,t t ，即直线a y =与函数()t ϕ在[]π，0上的图象有两个交点.∵()t t t t cos sin +='ϕ∴当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πt 时，()0>'t ϕ；当⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,2t 时，设()0sin cos 2<-=''t t t t ϕ，∴()t ϕ'在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2单调递减，而012cos 22sin 2>=+=⎪⎭⎫⎝⎛'ππππϕ，()0cos sin <-=+='πππππϕ∴存在唯一的⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,20t 使得()00='t ϕ，即0cos sin 000=+t t t ，故当⎪⎭⎫⎝⎛∈0,2t t π时，()0>'t ϕ，()t ϕ单调递增，()π，0t t ∈时，()0<'t ϕ，()t ϕ单调递减，综上可知，当()0,0t t ∈时，()0>'t ϕ，()t ϕ单调递增，()π，0t t ∈时，()0<'t ϕ，()t ϕ单调递减，()000max sin t t t f ==ϕ，∴max 0f a <≤.设()[)π,22sin ∈-=x x x x F ，，()，2222cos 2cos x x x x x x F +=+='设()2cos 2+=x x x H ，则()()0sin cos 2sin cos 22<-=-='x x x x x x x x x H ，∵ππ<<23，∴212cos 1-<<-，()022cos 42<+=H 从而，()[)π,2∈x x F 在上递减，故()()012sin 2<-=≤F x F ，即xx 2sin <，当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,2πx ，显然x x 2sin <，故()π,0∈x 时，x x 2sin <恒成立.故()2sin 000max <==t t t f ϕ，即方程()a x f =在定义域上有两解21,x x 时，20<≤a ，原命题得证.②由①知，设[]ππ，0∈-=x t ，∴()()tt t x f sin ==ϕ∴()a x f =在定义域上有两解21,x x 等价于()a t =ϕ在[]π，0上有两个不同的根21,t t ，不妨设21t t <，且20<≤a ，∴21x x -1221t t t t -=-=，设()()ππ-+=t t t t s sin ，[]π，0∈t ，∴()0cos sin ≥-≥++='t t t t t s ππ∴()()0=≤πs t s ，即()ππ--≤t t t sin ，又t t t ≤sin ，∴a t t t t a ≥⇒≤=1111sin ，∴ππaa x x --≤-21，原不等式得证.。
河北衡水中学2023届高三一模数学试题(含解析)
河北衡水中学2023届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某商店为了解该店铺商品的销售情况，对某产品近三年的产品月销售数据进行统计分析，绘制了折线统计图，如图．下列结论正确的有（ ）A ．该产品的年销量逐年增加B ．该产品各年的月销量高峰期大致都在8月C ．该产品2019年1月至12月的月销量逐月增加D ．该产品各年1月至6月的月销量相对于7月至12月波动性更小、变化更平稳10．已知函数()f x 的图象的对称轴方程为3x =，则函数()f x 的解析式可以是（ ）三、填空题15．如图，已知台体ABCD16．在空间直角坐标系下，由方程椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为四、解答题17．已知()sin()0,|f x A x ωϕω⎛=+> ⎝16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()sin()f x A x ωϕ⎛=+ ⎝(1)若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的率；(2)现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记境空气等级为尚清洁的个数，求ξ的分布列和数学期望19．已知数列{}n a ，{}n b 满足(1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+=(1)若直线l ⊂平面PAB ，求证：(2)若//PQ AC ，ABP DAC ∠=∠的余弦值.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线线:1l y x =-与双曲线C 交于A参考答案：设ABC 的面积为1，1A MN ∴三棱台1ABC A MN -的体积又三棱柱111ABC A B C -的体积()213h S S h ∴=++⋅，解得：1A MN ∽111A B C △，1S ⎛∴= ⎝设OE h =，则14OE h =-，在11Rt OB E 和Rt OBE 中，()()22224442h h ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩∴2设1AB =，则1AP =，2AD CD AB ==//PQ AC ，//PA CQ ，∴四边形ACQP 则()1,0,0B ，()0,0,1P ，()2,2,1Q ，∴设平面BPQ 的法向量(),,n x y z =，。
河北省2023届高三模拟(一)数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 复数满足，则在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知直线：恒过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为（ ）A．B．C．D．3.设，则的大小关系是（ ）A．B．C．D．4. 对于空间中的直线，以及平面，，下列说法正确的是A ．若，，，则B ．若，，，则C ．若 ，，，则D ．若，，，则5.定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ）A ．8B．C ．8或D ．66. 已知、为双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于、两点，若，其中为坐标原点，则的离心率为（ ）A．B．C．D．7. 通过验血诊断某疾病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，现对2名未患病者和1名患病者进行验血，每人的诊断结果互不影响，则诊断结果均为阴性的概率为（ ）A．B．C．D．8. 若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）A．B．C．D．9. 设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（ ）A ．的最小正周期为πB．的单调递减区间为，C ．图像的对称轴为直线，D．的图像可由的图像向左平移个单位长度得到10.在平面直角坐标系中，已知圆，点，，点，为圆上的两个动点，则下列说法正确的是（ ）A．圆关于直线对称的圆的方程为B．分别过，两点所作的圆的切线长相等C ．若点满足，则弦的中点的轨迹方程为D．若四边形为平行四边形，则四边形的面积最小值为211. 在长方体中，，，则（ ）河北省2023届高三模拟（一）数学试题(1)河北省2023届高三模拟（一）数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C ．直线与平面所成的角为D ．直线与平面所成角的正弦值为12.若过点有两条直线与圆相切，则实数m 的可能取值是（ ）A ．－3B ．3C ．0D．13. 已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，P ，Q 分别为，的中点，且，则双曲线E 的离心率为__________．14.已知在平面直角坐标系中椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上不同于四个顶点的任意一点，延长线段到，若在轴上存在一点，满足，垂足为，则__________.15.在公差不为零的等差数列中，为其前n 项和，若，则________．16.在锐角中，分别为内角的对边，，角的平分线交于，.(1)求；(2)求外接圆面积的最小值.17. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)设直线、的斜率分别为、，且．①求证：直线经过定点．②设和的面积分别为、，求的最大值．18. 某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏班主任把8个小球（只是颜色有不同）放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个，现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负．并规定如下：①一个人摸球，另一人不摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋子中摸出1球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和；(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分的分布列和数学期望；(3)有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由．19. 2002年8月国家通过修订《中华人民共和国水法》来保护水资源，加强人们保护水资源，防治水污染，节约用水等意识.小明为了了解本市市民保护水资源，节约用水意识是否落地，随机抽取了300名市民进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求的值，并估计这300名市民评分的中位数；(2)若先用分层抽样的方法从评分在和的市民中抽取5人，然后再从抽出的这5位市民中任意选取2人作进一步访谈：①写出这个试验的样本空间；②求这2人中至少有1人的评分在的概率.20. 已知数列的前项和为，、满足（为常数，且）.（1）求数列的通项公式；（2）设，当时，求数列的前项和.21. 新冠疫苗有三种类型：腺病毒载体疫苗､灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗.腺病毒载体疫苗只需要接种一针即可产生抗体，适合身体素质较好的青壮年，需要短时间内完成接种的人群，突发聚集性疫情的紧急预防.灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗安全性高，适合老､幼､哺､孕及有慢性基础病患者和免疫缺陷人群，灭活疫苗需要接种两次.重组蛋白亚单位新冠疫苗需要完成全程三针接种，接种第三针后，它的有效保护作用为90%，人体产生的抗体数量提升5-10倍，甚至更高（即接种疫苗第三针后，有90%的人员出现这种抗疫效果）.以下是截止2021年12月31日在某县域内接种新冠疫苗人次（单位：万人，忽略县外人员在本县接种情况）统计表：腺病毒载体疫苗灭活疫苗重组蛋白亚单位疫苗第一针0.510110第二针010110第三针00100其中接种腺病毒载体疫苗的统计情况如下：接种时间接种原因接种人次（单位：人）3月疫情突发15006月高考考务10007月抗洪救灾2500(1)遭遇3月疫情突发､服务6月高考考务､参加7月抗洪救灾的人都是不同的人.在已接种腺病毒载体疫苗的人员中随机抽取一名，求这个人参加了抗洪救灾的概率；(2)在已接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗的人员中，用分层抽样的方法抽取12人，其中接种重组蛋白亚单位疫苗的人员是根据人体产生的抗体数量是否至少提升5-10倍为依据分层抽样抽取的，再从这12人随机抽取3人，这3人中，人体产生的抗体数量至少提升5-10倍的人数为，求的分布列和数学期望.。
2023届河北省衡水中学高三年级一模考试数学参考答案
2023届高三质量检测（一）数学答案一、单选题： 1-4 BCAB 5-8ADCC 二、多选题：9. BC 10. AC D 11. BC 12.AB 三、填空题:13. 273-e 14. -54042316. 7四、解答题 17.解：（Ⅰ）sin sin sin a +b C +Bc -b A= 由正弦定理得+=a +b b c c -b a…………………………….2分化简得222a +b -c =-abcos C =-∴12…………………………….4分 ()π∈C 0, 23π∴=C ……………………………5分 （Ⅱ）)12+a +b =由正弦定理得)sin sin A +B =C+12)sin sin πA -A 3⎛⎫++= ⎪⎝⎭122 sin πA +4⎛⎫=⎪⎝⎭2 ……………………………7分7034412ππππ<<∴<+<A A即4334ππππ∴+==-A A ，…………………………9分sin sin A ππ⎛⎫-∴=-=⎪⎝⎭344…………………………10分18解析：（Ⅰ）3,0.5x y ==,………………………………..2分51()() 2.2i i i x x y y =-⋅-=-∑,521()10i i x x =-=∑, 51521()()0.22()iii ii x x y y b x x ∧==-⋅-∴==--∑∑,…………………………………….4分1.16a y b x ∧∧∴=-=,0.22 1.16y x ∧∴=-+…………………………………………….6分（Ⅱ）把1lg 72x u =+代入0.22 1.16y x ∧=-+得： l 0.03811g .y u ∧-=-…………………………………………..8分令0.1lg 0.380.14u y ∧-≤=-，……………………………………10分 解得781110u -≥A 浓度至少要达到781110-mol/L. ………………………………12分19. （Ⅰ）证明：,.,,,.SA SB AB O AB SO AB ABCD SAB SO SAB ABCD SAB AB SO ABCD SO BD ==∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥为的中点，平面平面平面平面平面平面则. ………………………………………………2分CB BABO AD==，=90CBO BAD ︒∠∠=， ∴CBO ∆～BAD ∆，故=BCO ABD ∠∠, ∴+=+=90ABD COB BCO COB ︒∠∠∠∠，∴BD CO ⊥；………………………………………………4分 ,CO SO O BD SOC =∴⊥平面……………………………………………5分（Ⅱ）如图，在底面ABCD 中，过O 点作OM 垂直AB 交棱CD 于M 点，以O 为坐标原点，射线OS ，OA,OM 为,x y z ，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系O xyz -.由已知得,(000)010010O A B -，，，（，，），（，，）00C D -（，（00S ，）,SEE E SD λλ=假设存在点，设，）…………………………………………6分(33,1,2),(0,2,0),(3,1,AEAB DC DS λλλ=--==-=-(,,).200,.00,x y z SCD y DC x y DS =⎧-=⎧⋅=⎪⎪==⎨--=⋅=⎪⎩设为平面的法向量，则即令，n n nn……………………………………8分(,,).200,)(1)00,,x y z ABE y AB x y z AE x λ=⎧-=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨+-+=⎪⋅=⎪⎩⎩==设为平面的法向量，则即，令可得mm m m…………………………………10分1cos ,51717210210SE SE SD SD λλ⋅〈⋅〉=====∴==因此有解得，，或m n m n m n………………………………12分 20.解：（Ⅰ）方法一：由23563a +2a =S +得2d =-，∴()211n S =-n a n ++，………………2分 若数列{}n S 为单调递减，则满足()101+<≥n n S -S n 恒成立， 即()1201-<≥a n n ，得()121<≥a n n 恒成立.………………4分 解得：12a <.………………5分 方法二：由23563a +2a =S +得2d =-，∴()211n S =-n a n ++，………………2分 若数列{}n S 为单调递减，则需满足11322a +<………………4分 解得：12a <. ………………5分 （Ⅱ）根据题意数列{}n b 为： 0010120111,2,1,2,2,3,2,2,2,523,2,2,2,21n ---n -n --++可将数列分组：第一组为：1，02；第二组为：1-，02，12；第三组为：3-，02，12，22；第k 组为：23k -+，02，12，2212k -；………………7分则前k 组一共有()()32312k kk +++++=项，当12k =时，项数为90.故95T 相当于是前12组的和再加上2323,1,2,2,2-这五项，即 ()()()()()()()0010111239511212222222312T =++++++++++2+2+--+-…………9分()()0010111222222+++++可看成是数列{}n c ()21n n c =-的前12项和，…………10分∴()()121395212121121223124821428050212T =++++==⨯--⨯+----.………………12分21.解：（Ⅰ）由题意可知：点(4,3)P 在双曲线上，所以221691a b-=，……………1分 过P 做x 轴的平行线3y =，与by x a=±相交于,M N 两点，那么,M N 两点可求： 3(,3)a M b ，3(,3)aN b-， 所以22222233916944164a a a a a b b b a b-⋅+=-=-==，所以2a =， ………………………3分代入221691a b -=，可知b =，所以双曲线的方程为22143x y -=. ………………………4分（Ⅱ）（选①）由题意可知，直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程：22143x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，可得：222(34)84120k x kmx m ----=所以2340k -≠，222(8)4(34)(412)0km k m ∆=----->即22340m k +->,由韦达定理可知：122834km x x k +=-，212241234m x x k --=-,…………………6分由条件121k k +=，即为：121233144y y x x --+=--， 整理可得：211212(4)(3)(4)(3)(4)(4)x kx m x kx m x x -+-+-+-=--即：121212122(34)()8(3)4()16kx x m k x x m x x x x +--+--=-++………………8分代入韦达定理得：22286690m km k k m +---+=分解因式可得：(23)(43)0m k m k --+-= 所以23m k =+或43m k =-+………………10分若23m k =+，直线23(2)3y kx m kx k k x =+=++=++，则直线l 过定点(2,3)-； 若43m k =-+，则43(4)3y kx m kx k k x =+=-+=-+，则直线l 过点P ，不合题意舍去.综上所述，直线l 过定点(2,3)-.………………12分（选②）由题意可知，直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立方程：22143x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，可得：222(34)84120k x kmx m ----= 所以2340k -≠，222(8)4(34)(412)0km k m ∆=----->即22340m k +->由韦达定理可知：122834km x x k +=-，212241234m x x k--=-…………………6分 由条件121k k =，即为：121233144y y x x --⋅=--， 整理可得：[]121211()()3()()91(4)(4)kx m kx m kx m kx m x x ++-++++=-- 即：221212121212()3()6914()16k x x km x x m k x x m x x x x +++-+-+=-++…………………8分展开代入韦达定理得：22732161890m km k m ++--=分解因式可得：(743)(43)0m k m k +++-=所以437k m +=-或43m k =-+…………………10分 若437k m +=-，直线4343()777k y kx m kx k x +=+=-=--，则直线l 过定点43(,)77-；若43m k =-+，则43(4)3y kx m kx k k x =+=-+=-+，则直线l 过点P ，不合题意舍去.综上所述，直线l 过定点43(,)77-.…………………12分 22.解：（Ⅰ）证明：令()(1)1f x x x αα=+--，当1α=时，可知()0f x =，原不等式成立；…………………1分 当1α>时，11'()(1)[(1)1]f x x x ααααα--=+-=+-， 可知当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增. …………………3分 所以()(0)0f x f ≥=，所以原不等式得证. …………………4分（Ⅱ）要证对任意*n N ∈，123(1)n n n n nn n +++⋯+<+恒成立，只要证：123......11111n n n nn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即证：121111......111111nnnnn n n n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………6分由（Ⅰ）可知对于任意正整数{}1,2,3......i n ∈，11111ii n n ⎛⎫-≤- ⎪++⎝⎭，所以 11111111in ni ni n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，那么 121111......11111n n n nn n n n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)(2)11111111......11111n nn n n n n n n n n ⋅--⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211111111......11111nn n n nnnn n n n --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（*）…………………8分而11(1)12n n -≤+成立， 证明：要证11(1)12n n -≤+，只要证111()121n n≤+，令1(0,1]x n =∈，即证明：21x x ≤+成立，令()21x g x x =--，求导可得：'()2ln 21x g x =-， 当210log ()ln 2x <<时，'()0g x <，()g x 单调递减；当21log ()1ln 2x <≤时，'()0g x >，()g x 单调递增，又(0)0g =，(1)0g =，所以当(0,1]x ∈时，()0g x ≤.所以11(1)12n n -≤+.…………………10分 所以（*）1221111111()()()()()1()1222222n n n n--≤+++++=-<所以命题得证.…………………12分。
河北省2023届衡水中学一调数学(答案)
2022—2023衡水中学下学期高三年级一调考试数学参考答案1，B 【解析】由题意得}1,0{=A <+<=20|{x x B }82{{}10<<-=x x ，所以}1,0{=B A .2．C 【解析】设),(i R b a b a z ∈+=，由题意得+-2)5(a 22222)1()1(++=+-=b a b a b ，解得3=a ，3-=b ，所以23)3(3||22=-+=z .3．B 【解析】由题意得2sin )sin21(32=--a α，解得21sin -=α或31sin =α．又⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，所以=αsin 31，则322sin 1cos 2-=--=αα，=αααcos sin tan 42-，所以322cos )cos(=-=-ααπ，=-)tan(απ42tan =-α，322cos 2sin -==⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααπ，⎪⎭⎫⎝⎛-απ2cos 31sin ==α，故ACD 错误、B 正确．4．D 【解析】设该高阶等差数列为}{n a ，则}{n a 的前7项分别为1，2，4，7，11，16，22.令n n n a a b -=+1，则数列}{n b 为1，2，3，4，5，6，…，所以数列}{n b 是首项为1，公差为1的等差数列，所以n b n =，即n a a n n =-+1，故+-+-=)()(989999100100a a a a a ++- )(9798a a =+++++=+-1)1.979899()(112 a a a =++⨯12)199(994951.5．A 【解析】由题意得抛物线C 的焦点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21，准线l 的方程为21-=x ，设准线l 与x 轴的交点为E 如图，由题知l MN ⊥.由抛物线的定义知||||MF MN =．又||||MN NF =，所以MNF ∆是等边三角形，因为OF MN //，所以=∠=∠MNF EFN ︒60，所以22||2||===p EF NF ，所以MNF ∆的面积为360sin ||212=︒NF .6．C 【解析】由题意得545a ab =，即545=b ，所以=b 554，令4a ab t =，则41=t b ，即41)54(5=t ，即41lg 54lg 5=t ，可得2lg 2)12lg 3(51-=-t ，故=t 301.032lg 312lg 10=≈-.7．C 【解析】由题意得从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数有2828=C 种不同的结果，其中一个数比m 大，一个数比m 小的不同结果有)9)(2(m m --种，所以14528)9)(2(=--m m ，整理得028112=+-m m ，解得4=m 或7=m ．当4=m 时，数据中的%x 分位数是第3个数，则38%2<⋅<x ，解得5.3725<<x ，故所有选项都不满足；当7=m 时，数据中的%x 分位数是第6个数，则68%5<⋅<x ，解得755.62<<x ，故ABD 不满足、C 满足．8．A 【解析】)(x f 的定义域为),2(+∞-，-='1)(x f 2121++=+x x x ，当12-<<-x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减；当1->x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增，所以0)1()(min =-=f x f ，所以1-=x 为方程0)(=x f 的唯一实根，即11-=x ，故1||21≤-x x ，即1|1|2≤--x ，解得022≤≤-x .因为2x 是++-=a ax x x g 42)(24的零点，所以方程04422=++-a ax x 在区间]0,2[-上有实根，即4)42(2+=-x a x 在区间]0,2[-上有实根，即2422-+=x x a 在区间]0,2[-上有实根．令=)(x g 242-+x x ，]0,2[-∈x ，则=-+-=-+=28)4(24)(22x x x x x g 428)2(282+-+-=-++x x x x .设≤--=4(2x t )2-≤t ，则48)(++=tt t h ，易知)(t h 在区间,4(-)22-上单调递增，在区间)222(--上单调递减．又2)4(-=-h ，2)2(-=-h ，所以2)(min -=t h ，244)(max -=t h ，所以24422-≤≤-a ，即≤≤-a 1222-，故实数a 的最小值是-1．二、选择题9．ABD 【解析】由题意得）（32,2()320,11=++=+b a ，所以2232(2||）+=+b a =4，故A 正确；203212)(.=⨯+⨯=⋅+a b a ，故B 正确；因为>=+<b a a ,cos 21412||||)(=⨯=++⋅b a a b a a ，且π≤+≤b a a ,0，所以3,π=+b a a ，故C 错误；向量b a +在向量a 上的投影向量为a a a a b a a 2||||)(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅，故D 正确．10．ABC 【解析】因为⎩⎨⎧=--=--,11,31A A 所以2=A ，所以1)2cos(2)(-+=ϕx x f ，又2|1cos 2||)0(|=-=ϕf ，所以23cos =ϕ（舍去）或21cos -=ϕ，因为<<ϕ0π，所以32πϕ=，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=322sin 2)(πx x g ，当12π=x 时，212-=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，所以)(x g 的图象关于直线12π=x 对称，故A 正确；当3π=x 时，03=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，所以)(x g 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π对称，故B 正确；当≤+-ππk 223ππk x 2322+-≤-，z k ∈，即+≤≤+-12125πππx k πk ，Z k ∈，时，)(x g 单调递减，则当0=k 时，)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,125ππ上单调递减，所以)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡12,0π，故C 正确；因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx f )(2cos 23232cos 21x g x x =/-=⎪⎭⎫⎝⎛++=+ππ，故D 错误．11．AC 【解析】因为圆01682:221=++-+y x y x C 的标准方程为1)4()1(22=++-y x ，所以其圆心为)4,1(1-C ，半径为11=r ，因为圆+-+x y x C 6:22205=的标准方程为4)3(22=+-y x ，所以其圆心为)0,3(2C ，半径为22=r ，设点2C 关于直线l 对称的点为),(b a C ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-,02223,13b a a b解得⎩⎨⎧=-=,5,2b a 即)5,2(-C .如图，连接1CC 交直线l 于点P ，连接2PC ，此时1,,C P C 三点共线，||||12PC PC +最小，则||||PB P A +最小，所以=+min |)||(|PB P A -=--=--+103||||||2112112r r CC r r PC PC 3，故A 正确、B 错误；因为||||||AB PB P A ≤-，所以当||AB 取到最大值且点B A P ,,共线时，-||P A ||PB 取到最大值．由图可知，==||||max MN AB =++2121||r r C C 352+，所以||||PB P A -的最大值为352+，故C 正确，D错误。
河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(理)试题Word版含解析
河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学（理）试题Word版含解析2021届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学〔理〕试题数学本卷须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应标题的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均有效。
3．非选择题的作答：用签字蜿蜒接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均有效。
4．考试完毕后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题1．双数z =(−3−4i )i 在复平面内对应的点位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限 2．选集U=R ，M ={x|−x 2≥2x }那么C U M = A ． {x |−2<x <0 } B ． {x |−2≤x ≤0 } C ． {x|x <−2或x >0 } D ． {x|x ≤−2或x ≥0 }3．某地某所高中2021年的高考考生人数是2021年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学状况，统计了该校2021年和2021年的高考状况，失掉如下柱状图：2021年高考数据统计 2021年高考数据统计 那么以下结论正确的选项是A ． 与2021年相比，2021年一本达线人数增加B ． 与2021年相比，2021年二本达线人数添加了0.5倍C ． 与2021年相比，2021年艺体达线人数相反D ． 与2021年相比，2021年不上线的人数有所添加4．等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10=100，那么a 7的值为 A ． 11 B ． 12 C ． 13 D ． 145．f (x )是定义在R 上的奇函数，假定x >0时，f (x )=xlnx ，那么x <0时，f (x )= A ． xlnx B ． xln (−x ) C ． −xlnx D ． −xln (−x ) 6．椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)和直线l:x 4+y3=1，假定过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，那么椭圆C 的离心率为A ． 45 B ． 35 C ． 34 D ． 157．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE⃑⃑⃑⃑⃑ =2EO ⃑⃑⃑⃑⃑ ，那么ED ⃑⃑⃑⃑⃑ = A ． 13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ． 23AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ C ． 23AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ D ． 13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 8．某几何体的三视图如下图，那么此几何体 A ． 有四个两两全等的面 B ． 有两对相互全等的面 C ． 只要一对相互全等的面 D ． 一切面均不全等9．赵爽是我国现代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为«周碑算经»一书作序时，引见了〝勾股圆方图〞，亦称〝赵爽弦图〞〔以弦为边长失掉的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的〕.类比〝赵爽弦图〞，可相似地结构如下图的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF =2AF =2，假定在大等边三角形中随机取一点，那么此点取自小等边亚角形的概率是A ．413B ．2√1313C ．926D ．3√132610．函数f (x )={−e x ,x ≤0,lnx,x >0〔e 为自然对数的底数〕，假定关于x 的方程f (x )+a =0有两个不相等的实根，那么a 的取值范围是A ． a >−1B ． −1<a <1C ． 0<a ≤1D ． a <111．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点区分为F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，假定∠F 1MF 2=45°，那么双曲线的渐近线方程为A ． y =±√2xB ． y =±√3xC ． y =±xD ． y =±2x12．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 区分为棱BB 1，CC 1的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两局部，其中含A 1的局部为V 1，不含A 1的局部为V 2，连结A 1和V 2的任一点M ，设A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为α，那么sinα的最大值为A ．√22B ．2√55C ．2√65D ．2√66二、填空题此卷只装订不密封 姓名 准考证号 考场号 座位号13．实数x，y满足约束条件{x−y+1≥0,2x+y−4≤0,y≥0,，那么z=x−2y的最小值为________.14．数列{a n}，假定数列{3n−1a n}的前n项和T n=15×6n−15，那么a5的值为________.15．由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰恰有7个1，3个0，那么这样的不同数字代码共有____________个.16．函数f(x)=−sin(π3x+φ)+|x−2|(|φ|<π2)的图像关于直线x=2对称，事先x∈[−1,2]，f(x)的最大值为____________.三、解答题17．如图，在ΔABC中，P是BC边上的一点，∠APC=60°，AB=2√3，AP+PB=4.〔1〕求BP的长；〔2〕假定AC=5√34，求cos∠ACP的值.18．在ΔABC中，D，E区分为AB，AC的中点，AB=2BC=2CD，如图1.以DE为折痕将ΔADE折起，使点A抵达点P的位置，如图2.如图1 如图2〔1〕证明：平面BCP⊥平面CEP；〔2〕假定平面DEP⊥平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三高考押题卷三理数试题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知复数,则=（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由题意可得: ,则= .本题选择C选项.2. 集合,,则=（）A. B.C. D.【解析】A【解析】由题意可得: ,则= .本题选择A选项.3. 已知函数地最小正周期为,则函数地图象（）A. 可由函数地图象向左平移个单位而得B. 可由函数地图象向右平移个单位而得C. 可由函数地图象向左平移个单位而得D. 可由函数地图象向右平移个单位而得【解析】D【解析】由已知得,则地图象可由函数地图象向右平移个单位而得,故选D.4. 已知实数,满足约束条件则地最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】B【解析】绘制目标函数表示地可行域,结合目标函数可得,目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中地两边,分别交于、,且交其对角线于,若,,,则=（）学,科,网...A. B. 1 C. D. -3【解析】A【解析】由几何关系可得: ,则: ,即: ,则= .本题选择A选项.点睛:(1)应用平面向量基本定理表示向量地实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量地加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题地一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量地形式,再通过向量地运算来解决．6. 在如下图所示地正方向中随机投掷10000个点,则落入阴影部分（曲线为正态分布地密度曲线）地点地个数地估计值为（附:若,则,.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【解析】B【解析】由正态分布地性质可得,图中阴影部分地面积 ,则落入阴影部分（曲线为正态分布地密度曲线）地点地个数地估计值为.本题选择B选项.点睛:关于正态曲线在某个区间内取值地概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ),P(μ－2σ<X≤μ＋2σ),P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)地值．②充分利用正态曲线地对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 某几何体地三视图如下图所示,其中俯视图下半部分是半径为2地半圆,则该几何体地表面积是（）A. B. C. D.【解析】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4地正方体挖掉半个圆柱所得地组合体,且圆柱底面圆地半径是2、母线长是4,∴该几何体地表面积 ,本题选择B选项.8. 已知数列中,,.若如下图所示地程序框图是用来计算该数列地第2018项,则判断框内地条件是（）A. B. C. D.【解析】B学,科,网...【解析】阅读流程图结合题意可得,该流程图逐项计算数列各项值,当时推出循环,则判断框内地条件是.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测地次数为,则=（）A. 3B.C.D. 4【解析】B【解析】由题意知,地可能取值为2,3,4,其概率分别为,,,所以,故选B．10. 已知抛物线:地焦点为,点是抛物线上一点,圆与线段相交于点,且被直线截得地弦长为,若=2,则=（）A. B. 1 C. 2 D. 3【解析】B【解析】由题意:M（x0,2√2）在抛物线上,则8=2px,则px=4,①由抛物线地性质可知,, ,则,∵被直线截得地弦长为√3|MA|,则,由,在Rt△MDE中,丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2,即,代入整理得:②,=2,p=2,由①②,解得:x∴ ,故选:B．【点睛】本题考查抛物线地简单几何性质,考查了抛物线地定义,考查勾股定理在抛物线地中地应用,考查数形结合思想,转化思想,属于中档题,将点A到焦点地距离转化为点A到其准线地距离是关键.11. 若定义在上地可导函数满足,且,则当时,不等式地解集为（）A. B. C. D.【解析】D【解析】不妨令 ,该函数满足题中地条件,则不等式转化为: ,整理可得: ,结合函数地定义域可得不等式地解集为.本题选择D选项.12. 已知是方程地实根,则关于实数地判断正确地是（）A. B. C. D.【解析】C【解析】令 ,则 ,函数在定义域内单调递增,方程即: ,即 ,结合函数地单调性有: .本题选择C选项.点睛:(1)利用导数研究函数地单调性地关键在于准确判定导数地符号．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题～第21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22题和第23题为选考题,考生根据要求作答.学,科,网...二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若地展开式中项地系数为20,则地最小值为_________．【解析】2【解析】试卷分析:展开后第项为,其中项为,即第项,系数为,即,,当且仅当时取得最小值.考点:二项式公式,重要不等式.14. 已知中,内角,,地对边分别为,,,若,,则地面积为__________．【解析】【解析】由题意有: ,则地面积为 .【解析】【解析】由题意可得,为正三角形,则,所以双曲线地离心率 .16. 已知下列命题:①命题","地否定是","；②已知,为两个命题,若""为假命题,则"为真命题"；③""是""地充分不必要条件；④"若,则且"地逆否命题为真命题其中,所有真命题地序号是__________.【解析】②【解析】逐一考查所给地命题:①命题","地否定是","；②已知,为两个命题,若""为假命题,则"为真命题"；③""是""地必要不充分条件；④"若,则且"是假命题,则它地逆否命题为假命题其中,所有真命题地序号是②.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列地前项和,且,,.（1）证明:数列为等比数列；（2）求.【解析】（1）见解析；（2）.学,科,网...【解析】试卷分析:(1)利用题意结合等比数列地定义可得数列为首先为2,公比为2地等比数列；(2)利用(1)地结论首先求得数列地通项公式,然后错位相减可得.试卷解析:（1）因为,所以,即,则,所以,又,故数列为等比数列.（2）由（1）知,所以,故.设,则,所以,所以,所以.点睛:证明数列{a n }是等比数列常用地方法:一是定义法,证明 ＝q (n ≥2,q 为常数)；二是等比中项法,证明＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法．18. 如下图所示,四棱锥,已知平面平面,,,,.（1）求证:；（2）若二面角为,求直线与平面所成角地正弦值.【解析】（1）见解析；（2）.【解析】试卷分析:(1)利用题意首先证得平面,结合线面垂直地定义有.(2)结合(1)地结论首先找到二面角地平面角,然后可求得直线与平面所成角地正弦值为.试卷解析:（1）中,应用余弦定理得,解得,所以,所以.因为平面平面,平面平面,,所以平面,又因为平面,学,科,网...所以.（2）由（1）平面,平面,所以.又因为,平面平面,所以是平面与平面所成地二面角地平面角,即.因为,,所以平面.所以是与平面所成地角.因为在中,,所以在中,.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况,对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高（单位:）频数分布表如表1、表2.表1:男生身高频数分布表表2:女生身高频数分布表（1）求该校高一女生地人数；（2）估计该校学生身高在地概率；（3）以样本频率为概率,现从高一年级地男生和女生中分别选出1人,设表示身高在学生地人数,求地分布列及数学期望.【解析】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】试卷分析:(1)利用题意得到关于人数地方程,解方程可得该校高一女生地人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在地概率为.(3) 由题意可得地可能取值为0,1,2.据此写出分布列,计算可得数学期望为 .试卷解析:（1）设高一女学生人数为,由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40,30,则,解得.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在地人数为,样本容量为70.所以样本中该校学生身高在地概率为.因此,可估计该校学生身高在地概率为.（3）由题意可得地可能取值为0,1,2.学,科,网...由表格可知,女生身高在地概率为,男生身高在地概率为.所以,,.所以地分布列为:所以.20. 中,是地中点,,其周长为,若点在线段上,且.（1）建立合适地平面直角坐标系,求点地轨迹地方程；（2）若,是射线上不同地两点,,过点地直线与交于,,直线与交于另一点,证明:是等腰三角形.【解析】（1）；（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）由题意得,以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系,得地轨迹方程为,再将相应地点代入即可得到点地轨迹地方程；（2）由（1）中地轨迹方程得到轴,从而得到,即可证明是等腰三角形.试卷解析:解法一:（1）以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系.依题意得.由,得,因为故,所以点地轨迹是以为焦点,长轴长为6地椭圆（除去长轴端点）,所以地轨迹方程为.设,依题意,所以,即,代入地轨迹方程得,,所以点地轨迹地方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行,因为,所以直线为,与联立得,,由韦达定理,同理,所以或,当时,轴,当时,由,得,学,科,网...同理,轴.因此,故是等腰三角形.解法二:（1）以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系.依题意得.在轴上取,因为点在线段上,且,所以,则,故地轨迹是以为焦点,长轴长为2地椭圆（除去长轴端点）,所以点地轨迹地方程为.（2）设,,由题意得,直线斜率不为0,且,故设直线地方程为:,其中,与椭圆方程联立得,,由韦达定理可知,,其中,因为满足椭圆方程,故有,所以.设直线地方程为:,其中,同理,故,所以,即轴,因此,故是等腰三角形.21. 已知函数,,曲线地图象在点处地切线方程为.（1）求函数地解析式；（2）当时,求证:；（3）若对任意地恒成立,求实数地取值范围.【解析】（1）；（2）见解析；（3）.学,科,网...【解析】试卷分析:(1)利用导函数研究函数切线地方法可得函数地解析式为.(2)构造新函数.结合函数地最值和单调性可得.(3)分离系数,构造新函数,,结合新函数地性质可得实数地取值范围为.试卷解析:（1）根据题意,得,则.由切线方程可得切点坐标为,将其代入,得,故.（2）令.由,得,当,,单调递减；当,,单调递增.所以,所以.（3）对任意地恒成立等价于对任意地恒成立.令,,得.由（2）可知,当时,恒成立,令,得；令,得.所以地单调增区间为,单调减区间为,故,所以.所以实数地取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题计分,作答时请写清题号.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,曲线:,曲线:.以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系,曲线地参数方程为（为参数）.（1）求,地直角坐标方程；（2）与,交于不同四点,这四点在上地排列顺次为,,,,求地值.【解析】（1）；（2）.【解析】(1)因为,由,得,所以曲线地直角坐标方程为；由,得,所以曲线地极坐标方程为.(2) 不妨设四点在上地排列顺次至上而下为,它们对应地参数分别为,如图,连接,则为正三角形 ,所以,,把代入,得:,即,故,所以.【点睛】本题为极坐标与参数方程,是选修内容,把极坐标方程化为直角坐标方程,需要利用公式,第二步利用直线地参数方程地几何意义,联立方程组求出,利用直线地参数方程地几何意义,进而求值.学,科,网...23. 选修4-5:不等式选讲.已知,为任意实数.（1）求证:；（2）求函数地最小值.【解析】（1）见解析；（2）.【解析】试卷分析:(1)利用不等式地性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式地性质可得.试卷解析:（1）,因为,所以.（2）.即.点睛:本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分地主要原因；对于需求最值地情况,可利用绝对值三角不等式性质定理:||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|,通过适当地添、拆项来放缩求解．。