弹性波动力学重点复习题-36页文档资料

1．什么是弹性体?当一个物体受到外力作用，在它的内部质点间发生位置的相对变化，从而使其形状改变，当外力作用取消后，物体的应力、应变状态立刻消失，并恢复原有的形状。

这类物体称为弹性体。

2．物体在什么条件下表现为弹性性质，在什么条件下表现为塑性性质?在外力作用较小，作用时间较短情况下，大多数物体包括岩石在内，表现为弹性体性质。

外力作用大，作用时间长的情况下，物体会表现为塑性体性质。

3．弹性动力学的基本假设有哪些?（1）介质是连续的（2）物体是线性弹性的（3）介质是均匀的（4）物体是各向同性的（5）物体的位移和应变都是微小的（6）物体无初应力4．什么是弹性动力学中的理想介质?理想介质：连续的、均匀的、各向同性的线性完全弹性介质。

3．什么是正应变、切应变、相对体变?写出它们的位移表达式。

答：正应变是弹性体沿坐标方向的相对伸缩量。

切应变表示弹性体扭转或体积元侧面角错动。

相对体变表示弹性体体积的相对变化。

4．什么是旋转角位移?写出它与(线)位移的关系式。

旋转角位移为体积元侧面积对角线的转动角度。

5．试解释应变张量和旋转张量中各分量的物理含义。

zz yy xx e e e ,,分别表示弹性体沿x 、y 、z 方向的相对伸长量； zx yz xy e e e ,,分别表示平行于坐标面xoy 、yoz 和xoz 的侧面积的角错动量。

z y x ωωω、、分别表示与坐标面yoz 、xoz 和xoy 平行的侧面积对角线围绕x 、y 和z 轴的旋转角。

11．设弹性体内的位移场为j y x i y x s ρρρ)()(2211αδδα+++=，其中2121,,,δδαα都是与1相比很小的数，试求应变张量、转动角位移矢量及体积膨胀率(相对体变)。

解：j y x i y x s ρρρ)()(2211αδδα+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂=+=∂∂+∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=00 2121z u x w e y w z v e x v y u e zw e y v e x u e zx yz xy zz yy xx δδαα 应变张量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=0 0 0 0 021211δδδδαε 体积膨胀率21ααθ+=∂∂+∂∂+∂∂=++=zwy v x u e e e zz yy xx 12．已知弹性体内的位移场为j x x k i y y k s ρρρ)()(00---=，其中00,,y x k 为已知常数，试求应变张量和旋转张量，并阐述此结果反映什么物理现象。

解：j x x k i y y k s ρρρ)()(00---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=00 000 z u x w e y w z v e x v y u e zw e y v e x u e zx yz xy zz yy xx 应变张量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 0 00 0 00 00ε体积膨胀率0=∂∂+∂∂+∂∂=++=zw y v x u e e e zz yy xx θ 反映了该弹性体没有发生体积及形状的变化，只是绕z 轴旋转了一个角度。

6．什么是应力、正应力、切应力、应力张量?答：作用于单位截面积上的内力，称为应力。

应力作用方向与作用截面垂直，称为正应力；应力作用方向在作用截面上，称为切应力。

三个相互正交的坐标面上应力矢量共同构成了应力张量。

记为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz yz xz zy yy xy zx yx xx T στττστττσ 。

14. 已知弹性体内一点P 处的应力张量由矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=402050207T 给出。

试求过点P 外法线方向为u=2i-2j+k 的面元上的应力矢量n p 。

解： 外法线单位矢量为k j i kj i n ρρρρρρρ31323212222222+-=+++-=由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n m l P P P zz yz xz zy yy xy zx yx xx nz ny nx στττστττσ得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡31 3232 402050207nz ny nx P P P 得 4312320327=⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=nx P则：j i P n ρρρ3104-= 9244910016=+=n P ρ 8. 杨氏模量、泊松比、剪切模量、体变模量各表示了什么物理含义?答：（1）杨氏模量E ，是正应力与正应变的比例系数；（2）切变模量μ，是切应力与切应变的比例系数；（3）拉梅系数λ，μ，反映正应力与正应变的比例系数的另一种形式；（4）压缩模量或体变模量K ，表示单元体在胀缩应变状态下，相对体变与周围压力间的比例系数；（5）泊松比ν，表示物体横向应变与纵向应变的比例系数，故也称横向形变系数。

19. 已知一各向同性线性弹性体的弹性模量为：杨氏模量E=210Gpa ，泊松比为0.28；其中一点处的应变分量为0,8,2,3,==-==-==xy zz zx yz yy xx e e a e a e a e a e ，其中a=410-，试求拉梅常数μλ,，并写出该点上的应力张量。

解：GPa E 176183755632.08.58)56.01)(28.01(28.0210)21)(1(==-+⨯=-+=υυυλ体应变a e e e zz yy xx 2-=++=θ 则由应力应变关系1．已知一弹性介质内MPa 510==μλ，位移场为→→→→++=k w j v i u S ,其中⎪⎩⎪⎨⎧-===xy z w xz v xy u 222试求点P(0,2,-4)处的应变张量、转动向量、体应变以及该点处的应力分量。

解：由题可知在P(0,2,-4)点则应变张量为8 4 -24 0 02 0 8ij e -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭或⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=4 0 100 21 2 8ij e 由转动向量体应变()8080xx yy zz e e e θ=++=++-=由应力应变关系有20. 将ij ij z y x p δτ),,(-=代入用下标记号表示的运动微分方程i i j ji u F ..,ρρτ=+中，化为矢量方程，并用梯度算子表示。

解：由ij ij z y x p δτ),,(-=可知⎪⎭⎪⎬⎫-=-=-= p p p zz yy xx σσσ ⎪⎭⎪⎬⎫===000xy yzzx τττ代入运动微分方程⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222t w F z y x t v F z y x t u F z y x z zz yz xz y zy yy xy x zx yx xx ρρσττρρτστρρττσ得：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=+∂∂-∂∂=+∂∂-∂∂=+∂∂-222222t w F x p t v F x p t u F x p z y x ρρρρρρ将各式分别乘以单位向量→→→k j i 、、，相加，得：22tSF p ∂∂=+∇-→→ρρ第三章复习思考题3．写出纵波和横波速度的表达式，分析它们之间的大小关系。

由于210<<υ，因此1>γ，即S P v v >，可见纵波速度大于横波速度。

4．什么叫泊松体?泊松体的拉梅常数、纵横波速度、泊松比各有什么特点? 答：41=υ，或者μλ=，具有这种性质的物体称为泊松体。

对泊松体而言，73.1=γ。

14．已知某弹性介质中的P 波速度为3600m ／s ，S 波速度1950m ／s ，求该介质的泊松比。

解：13241950360021)1(22==--=+==υυμμλγS P v v 15．已知弹性介质中杨氏模量为E ，泊松比为ν，求介质的P 波速度和S 波速度。

解：)21)(1()1(22υυρυρμλρμλ-+-=+=+=E v P 6．简述地震波在弹性介质中传播的基本规律。

答：惠更斯（Huygens ）原理：任意时刻波前面上的每一点都可以看作是一个新的波源（子波源），由它产生二次扰动，形成新的波前，而以后的波前位置可以认为是该时刻子波前的包络线。

由波前面各点所形成的新扰动（二次扰动）在观测点上相互干涉叠加，其叠加结果是在该点观测到的总扰动。

斯奈尔（Snell ）定律：反射波满足反射定律，而透射波满足折射定律（地震学中称透射定律），地震波也遵循这个规律，统称为斯奈尔定律。

在界面上，入射波、反射波和透射波的iiv p θsin = 值相等，称p 为射线参数。

7．写出周期、频率、波长、波数、速度各量之间的关系式。

10．简述非均匀波的主要特点。

答：非均匀波的振幅在空间是变化的，随着空间坐标在变化。

不均匀平面波其等相位面与等振幅面互相垂直。

16．已知介质1的P 波速度为s m v /20001=，介质2的P 波速度为123v v =，有一平面简谐P 波以入射角ο30=θ自介质1入射到两介质的分界面上，已知入射波的振幅为i A ，频率为30Hz ，反射P 波和透射P 波的振幅分别为r A 和t A ，试写出这三个波的波函数表达式。

解：临界角33sin 21==v v i ，入射角ο30=θ小于临界角。

反射角等于入射角，根据透射定律21sin sin v v ='θθ，透射角ο60='θ。

平面简谐波函数)cos sin (),,,(vz x t j Ae t z y x f θθω--=，x 轴向右，z 轴向下入射波：)400034000(60),,,(z x t j i eA t z y x f --=π反射波：)400034000(60),,,(z x t j r e A t z y x f +-=π 透射波：)340004000(60),,,(z x t j t eA t z y x f --=π17．已知一简谐P 波的波函数为)08.006.0360(z x t j Ae -+=ϕ，试求以下问题： (1)设x 轴向右，z 轴向下，请用一经过原点的射线画出此波的传播方向，并标明角度。

(2)这个波的圆频率和圆波数各是多少?在x 方向和z 方向上的视波数各是多少? 圆频率Hz 360=ω在x 方向和z 方向上的视波数 08.0 06.0=-=z x k k 圆波数1.036003602====vk ωλπ或者)/1(1.022m k k k z x=+= (3)这个波的真实传播速度、在x 方向和z 方向上的视速度各是多少? 解：)36008.036006.0(360)08.006.0360(z x t j z x t j AeAe-+-+==ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-v vααcos 36008.0sin 36006.0 求解得波的真实传播速度：s m v /3600= 在x 方向和z 方向上的视速度s m C x /6000-=、s m C z /4500 = 11．球面波、柱面波与平面波的本质区别在哪里?试解释球面扩散因子和柱面波扩散因子的物理含义。