第二章有限元方程的求解方法
有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
15
第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
有限元第2讲：加权余量法
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
边界欲求解问题问题域在问题域内对于一个问题可以归结为在一定的边界条件或动力问题的初始条件下求解微分方程的解这些微分方程为问题的控制方程微分算子与未知函数u无关的已知函数域值待求的未知函数有限单元法崔向阳边界欲求解问题问题域在问题域内
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
第二章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式
第二章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 2.1 引言本章将讨论通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元法列式的基本步骤。
最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能为基础建立的有限单元位移元。
它是有限元方法中应用最普遍的单元。
对于一个力学或物理问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。
平面问题三结点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。
我们将以此作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而导出弹性力学问题有限元方法的一般列式。
2.2 弹性力学平面问题的有限元列式2.2.1 单元位移模式及插值函数典型的三结点三角形单元结点编码为i,j,m 。
每个结点有两个位移分量，如图2.2所示。
每个结点的位移可用位移矢量i α表示，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i v u α ),,(m j i每个单元有6个结点位移分量（称为6个自由度），于是单元结点的位移向量可表示为[]Tm m j j i im j i e v u v u v u =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=ααααe α为单元结点位移列阵。
1．单元的位移模式和广义坐标在有限元方法中单元的位移模式，是指在单元内位移的插值函数，其一般形式采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简单，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。
假设3结点三角形单元位移模式选取一次多项式y x u 321βββ++=y x v 654βββ++= （2.2.1）它的矩阵形式是φβ=u （2.2.2）其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=v u u ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕϕφ00 []y x 1=ϕ[]T 654321βββββββ=由于三个结点也在单元内，满足位移模式，于是得i i i y x u 321βββ++=j j j y x u 321βββ++= （2.2.3） m m m y x u 321βββ++=上式是关于321,,βββ的线性方程组。
有限元法(杆系)
Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0
9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
有限元法的基本原理
第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。
经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。
从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。
它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。
通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。
在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。
尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。
通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。
2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。
3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。
4）有限元的收敛性和误差估计。
由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。
另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。
§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。
2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。
第二章 有限元分析基本理论
第二章 有限元分析基本理论有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。
单元内的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。
这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量(自由度)。
根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。
有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。
如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。
如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。
2.1 有限元分析的基本概念和计算步骤首先以求解连续梁为例，引出结构有限元分析的一些基本概念和计算步骤。
如图2-1，连续梁承受集中力矩作用。
将结构离散为三个节点，两个单元。
结构中的节点编号为1、2、32.1.1单元分析在有限元分析过程中，第一步是进行结构离散，并对离散单元进行分析，分析的目的是得到单元节点的力与位移的关系。
单元分析的方法有直接法和能量法，本节采用直接法。
从连续梁中取出一个典型单元e ，左边为节点i ，右边为节点j 。
将节点选择在支承点处，单元两端只产生转角位移e i θ、ej θ，顺时针转动为正。
独立的单元杆端内力为弯矩i m 、j m ，顺时针为正。
记：{}e j i eu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=θθ为单元e 的节点位移向量；{}ej i em m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=为单元e 的杆端力向量。
根据结构力学位移法可得如下平衡方程：⎪⎭⎪⎬⎫+=+=e j e e i e e j ej e e i e e i k k m k k m θθθθ22211211 (2-1)式中：ee e e ee i k k i k k 2412212211====，lEIi e =，EI 、l 分别为单元e 的抗弯刚度和长度。
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第二章有限元方程的求解方法
有限元方法是一种用于求解微分方程的数值近似方法，它将求解域（问题的区域）分割成许多小的子域，通过在每个子域上建立适当的数学模型，将微分方程转化为代数问题进行求解。
在有限元方法中，关键的一步是建立数学模型，即选择合适的试验函数空间和相应的权函数。
常用的有限元方法有有限元法和有限差分法，这两种方法都是在数学模型的基础上进行离散化处理，然后用有限元方程求解方法求解代数问题。
有限元法是一种建立在小区域上近似表示的方法，它将整个求解域分割成许多小的子域，每个子域内选取适当的试验函数来近似表示原问题的解。
这样，原问题就可以表示为求解子域上的代数问题。
有限元法的关键是选择适当的试验函数和权函数。
试验函数是用来近似表示原问题的解，而权函数则是用来衡量试验函数与原问题解之间的误差。
通常，试验函数和权函数都是在每个子域上选取的多项式函数。
有限差分法是一种将原问题的微分方程转化为代数方程的方法。
在有限差分法中，求解域被分割成格点，并在这些格点上定义函数的值。
通过使用各个格点上的函数值及其邻域的函数值，可以近似表示微分方程中的导数项。
然后，将微分方程转化为代数方程进行求解。
有限差分法的关键是选择合适的差分格式，这决定了在每个格点上求解代数方程时所使用的邻域函数值。
无论是有限元法还是有限差分法，最后都需要用数值算法求解得到的代数方程。
常用的数值算法有直接法和迭代法。
直接法是一种直接求解代数方程的方法，例如高斯消元法和LU分解法等。
迭代法是一种通过迭代求解逼近原问题解的方法，常用的迭代法有雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法等。
在使用有限元方法求解微分方程时，步骤通常包括：建立数学模型，
选择合适的试验函数和权函数；将微分方程离散化处理，得到代数方程；
选择适当的数值算法求解代数方程；对得到的数值解进行后处理，例如计
算导数或积分等。
在实际应用中，有限元方法广泛应用于结构力学、流体力学、热传导
等领域的求解。
它具有灵活性和适用性强的特点，能够处理复杂的求解域
和边界条件。
同时，有限元方法也存在一些问题，如网格依赖性、数值稳
定性等。
因此，在具体应用中需要综合考虑问题的特点和求解方法的特点，选择合适的有限元方程求解方法。