第04章分子的对称性资料
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分子的对称性
本章提要： 本章提要：
1. 2. 3. 4. 对称操作和对称元素。 对称操作和对称元素。 对称操作群。 对称操作群。 分子的点群。 分子的点群。 分子的对称性与性质之间的关系。 分子的对称性与性质之间的关系。
4.1
对称操作和对称元素
对称：是指一个物体包含若干等同部分，这些部分相对（对等、 对称：是指一个物体包含若干等同部分，这些部分相对（对等、 对应）而又相称（适合、相当）。 ）。这些部分能经过不改变其内 对应）而又相称（适合、相当）。这些部分能经过不改变其内 部任何两点间距离的对称操作所复原。 部任何两点间距离的对称操作所复原。 复原: 对称物体经过某一操作后， 复原 对称物体经过某一操作后，物体中每一点都被放在周围 环境与原先相似的相当点上， 环境与原先相似的相当点上，无法区别是操作前的还是操作 后的物体。 后的物体。 操作： 操作：是指将图形中每一点按一定规则从一位置移动到另一 位置。 位置。 对称操作是指不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复 对称操作是指不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复 原的操作。例如：旋转、反映、反演。 原的操作。例如：旋转、反映、反演。 不对称操作：改变了图形中任意两点之间的距离的操作。 不对称操作：改变了图形中任意两点之间的距离的操作。
C 2 =C1C1 n n n
C 3 =C1C1C1 n n n n
，…
恒等操作(主操作 恒等操作 主操作)E: 不改变图形中任意一点位置的操作 主操作
Cn = E n
1 对于分子等有限物体, 对于分子等有限物体 Cn ,
C1 = E
的轴次n不受限制 可为任意整数 的轴次 不受限制, n可为任意整数 不受限制 可为任意整数.
通过主轴C 平分副轴（ σd：σ通过主轴 n ，平分副轴（C2轴）的夹角
第四章分子对称性
S1 h ; S2 i ;
S3 C3 h ; S4独立，包含C2 ;
S5 C5 h ; S6 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC3 i
S1 C1 ; S 2 Cˆ 1 ; S 3 C1ˆ ; S 4 Cˆ 2 ; S 5 C1 ; S 6 Eˆ
6
6
6
3
6
3
6
h---与主轴垂直的对称面
12
试找出分子中的镜面
13
四 旋转反演和反轴
映轴与旋转反映操作 旋转反映或旋转反演都是复合操作，相应的对称元素
分别称为映轴Sn和反轴In . 这两种复合操作都包含虚操作. 相应地,Sn和In都是虚
轴.
对于Sn，若n等于奇数，则Cn和与之垂直的σ都独立存 在；
若n等于偶数，则有Cn/2与Sn共轴，但Cn和与之垂 直的σ并不一定独立存在.
4
分子对称操作的特点：
分子在对称操作过程中至少保持一点不动—点操作。 分子中每一类原子经操作后环境---化学组成、各原子的 方向、原子间的距离不变。
对称元素
一、对称元素的要素
1、简单几何元素：点(i)、 线(Cn)、面(σ)
名称：
对称中心 旋转轴 镜面
2、几何元素的组合：Cn& σ( 线与面) Sn 映轴
3
6
6
6
17
Sn 产生对称操作的个数 当n为奇数时，Sn：{Sn1,Sn2,…,Sn2n} 2n个对称操作 n 个Cn，n个hCn，—— Cn＋ h
当n为偶数时，Sn：{Sn1,Sn2,…,Snn} n个对称操作 n为4倍数： Sn，（ Cn/2 ）独立操作 n为非4倍数：Cn/2 + i
分子的对称性
第四章 分子的对称性§4.1 对称性操作和对称元素§ <1>分子对称性概念原子组成分子构成有限的图形，具有对称性。
与晶体的对称性不同。
晶体的主要对称性是点阵结构，而分子的对称性主要是指分子骨架在空间的对称性以及分子轨道（波函数）的对称性。
○1分子对称性：指分子的几何图形（原子骨架和原子、分子轨道空间形状）中有相互等同的部分，而这些等同部分互相交换以后，与原来的状态相比，不发生可辨别的变化，即交换前后图形复原。
○2对称操作：不改变物体内部任何两点间的距离，使图形完全复原的一次或连续几次的操作。
（借助于一定几何实体）○3对称元素：对图形进行对称操作，所依赖的几何要素，如：点，线，面及其组合。
<2>对称元素及相应的对称操作○1恒等元素和恒等操作，（E ） ΛE 所有分子图形都具有。
○2旋转轴（对称轴）和旋转操作，Λn n C C ,；对称轴是一条特定的直线。
绕该线按一定方向（逆时针方向为正方面）进行一个角度θ旋转，nπθ2=如：H 2O ： πθ21==n 。
分子中可能有 n 个对称轴，其中n 最大的称为主轴，其它称为非主轴，如：BF 3 ，主轴C 3 ，三个C 2垂直于C 3 与分子平面平行。
n C 将产生n 个旋转操作：E =-nn n n n n C C C C ,,,,12逆时旋转为正操作，k n C ；顺时旋转为逆操作，k n C -。
)(k n nk n C C --= 分子图形完全复原的最少次数称操作周期，旋转操作的周期为 n ；分子中，nC的轴次不受限制，n 为任意整数。
如： E =→332333,,C C C C○3对称和反映操作。
Λσσ, ：对称面是一个特定的镜面，把分子图形分成两个完全相等的对称部分，两部分之间互为镜中映像，对称操作是镜面的一个反映。
图形中相等的部分互相交换位置，其反映的周期为2。
E =Λ2σ。
对称面可分为：v σ面：包含主轴； h σ面：垂直于主轴；d σ面：包含主轴且平分相邻'2C 轴的夹角（或两个v σ之间的夹角）。
结构化学分子的对称性ppt课件
一个h阶有限群的乘法表由h行和h列组成，共h2个乘积； 设行坐标为x，列坐标为y，则交叉点yx,先操作x，再操作y；对 称操作的乘法一般是不可交换的，故应注意次序。
在群的乘法表中，每个元素在每一行和每一列中被列入一 次而且只被列入一次，不可能有两行或两列是全同的。每一行 或每一列都是群元素的重新排列，这就是群的重排定理。
作时分子中至少有一点不动；(2) 分子的全部对称元
素至少通过一个公共点。
19
以H2O为例来说明： H2O分子的对称操作的完全集合为
G Eˆ,Cˆ2 ,σˆV ,σˆV
20
Cˆ 2
σv
C2
σˆ v σ v
σˆ v
σ v
21
(a)满足封闭性：如：Cˆ2σˆv σˆv
(b)有恒等元素：恒等操作 Eˆ
(c)满足缔合性： Cˆ2σˆvσˆv Cˆ2σˆv σˆv σˆvσˆv Eˆ
Cˆ2σˆvσˆv Cˆ2 σˆvσˆv Cˆ2Cˆ2 Eˆ
(d)有逆元素： Cˆ21 Cˆ2 ,σˆv1 σˆv ,
22
(2) 群的乘法表
假若有一个有限群的h个元素的完全而不重复的名单，并 且知道所有可能的乘积(有h2个乘积)是什么，那么这个群就完全 而唯一地被定义了——至少在抽象地意义上是如此。上述概念 可以方便地呈现在群的乘法表的形式中。
第二节 对称操作群与对称元素的组合
(1) 群的定义： 设元素A，B，C，属于集合G，在G中定义
有称之为“乘法”的某种组合运算。如果满足以 下四个条件，则称集合G构成群：
(a) 封闭性：设A和B为集合G中的任意两个元素， 且AB＝C，则C也必是集合G中的一个元素；
(b) 恒等元素：在集合G中必有一个恒等元素E，满 足RE＝ER＝R，R是集合G中任意一个元素。
在群的乘法表中，每个元素在每一行和每一列中被列入一 次而且只被列入一次，不可能有两行或两列是全同的。每一行 或每一列都是群元素的重新排列，这就是群的重排定理。
作时分子中至少有一点不动；(2) 分子的全部对称元
素至少通过一个公共点。
19
以H2O为例来说明： H2O分子的对称操作的完全集合为
G Eˆ,Cˆ2 ,σˆV ,σˆV
20
Cˆ 2
σv
C2
σˆ v σ v
σˆ v
σ v
21
(a)满足封闭性：如：Cˆ2σˆv σˆv
(b)有恒等元素：恒等操作 Eˆ
(c)满足缔合性： Cˆ2σˆvσˆv Cˆ2σˆv σˆv σˆvσˆv Eˆ
Cˆ2σˆvσˆv Cˆ2 σˆvσˆv Cˆ2Cˆ2 Eˆ
(d)有逆元素： Cˆ21 Cˆ2 ,σˆv1 σˆv ,
22
(2) 群的乘法表
假若有一个有限群的h个元素的完全而不重复的名单，并 且知道所有可能的乘积(有h2个乘积)是什么，那么这个群就完全 而唯一地被定义了——至少在抽象地意义上是如此。上述概念 可以方便地呈现在群的乘法表的形式中。
第二节 对称操作群与对称元素的组合
(1) 群的定义： 设元素A，B，C，属于集合G，在G中定义
有称之为“乘法”的某种组合运算。如果满足以 下四个条件，则称集合G构成群：
(a) 封闭性：设A和B为集合G中的任意两个元素， 且AB＝C，则C也必是集合G中的一个元素；
(b) 恒等元素：在集合G中必有一个恒等元素E，满 足RE＝ER＝R，R是集合G中任意一个元素。
结构化学分子的对称性课件.ppt
(c)满足缔合性： Cˆ2σˆvσˆv Cˆ2σˆv σˆv σˆvσˆv Eˆ
Cˆ2σˆvσˆv Cˆ2 σˆvσˆv Cˆ2Cˆ2 Eˆ
(d)有逆元素： Cˆ21 Cˆ2 ,σˆv1 σˆv ,
0.0
22
(2) 群的乘法表
假若有一个有限群的h个元素的完全而不重复的名单，并
作时分子中至少有一点不动；(2) 分子的全部对称元
素至少通过一个公共点。 0.0
19
以H2O为例来说明： H2O分子的对称操作的完全集合为
G Eˆ,Cˆ2 ,σˆV ,σˆV
0.0
20
Cˆ 2
σv
C2
σˆ v σ v
σˆ v
σ v
0.0
21
(a)满足封闭性：如：Cˆ2σˆv σˆv
(b)有恒等元素：恒等操作 Eˆ
的夹角的对称面；
0.0
9
(2) 对称面和反映
H2O
σv
C2
0.0
σv
10
C2轴
主轴C4轴 σd σh
C2轴
0.0
11
C2(z)
d'
d
C2(x)
C2(y)
0.0
12
(3) 对称中心和反演
分子中若存在一点,将每个原子通过这一点引连线 并延长到反方向等距离处而使分子复原,这一点就是对 称中心 i ,这种操作就是反演.
一个偶数次的旋转轴C2n可以产生2n个对称操作：
Cˆ2n ,Cˆ22n ,Cˆ23n ,,Cˆ2nn ,,Cˆ22nn1 ,Cˆ22nn E
而
Cˆ
n 2n
n 0.220πn
2π 2
Cˆ 2
29
x, y, z
Cˆ2σˆvσˆv Cˆ2 σˆvσˆv Cˆ2Cˆ2 Eˆ
(d)有逆元素： Cˆ21 Cˆ2 ,σˆv1 σˆv ,
0.0
22
(2) 群的乘法表
假若有一个有限群的h个元素的完全而不重复的名单，并
作时分子中至少有一点不动；(2) 分子的全部对称元
素至少通过一个公共点。 0.0
19
以H2O为例来说明： H2O分子的对称操作的完全集合为
G Eˆ,Cˆ2 ,σˆV ,σˆV
0.0
20
Cˆ 2
σv
C2
σˆ v σ v
σˆ v
σ v
0.0
21
(a)满足封闭性：如：Cˆ2σˆv σˆv
(b)有恒等元素：恒等操作 Eˆ
的夹角的对称面；
0.0
9
(2) 对称面和反映
H2O
σv
C2
0.0
σv
10
C2轴
主轴C4轴 σd σh
C2轴
0.0
11
C2(z)
d'
d
C2(x)
C2(y)
0.0
12
(3) 对称中心和反演
分子中若存在一点,将每个原子通过这一点引连线 并延长到反方向等距离处而使分子复原,这一点就是对 称中心 i ,这种操作就是反演.
一个偶数次的旋转轴C2n可以产生2n个对称操作：
Cˆ2n ,Cˆ22n ,Cˆ23n ,,Cˆ2nn ,,Cˆ22nn1 ,Cˆ22nn E
而
Cˆ
n 2n
n 0.220πn
2π 2
Cˆ 2
29
x, y, z
04章分子的对称和群
Cnv 是 S2n
是 Ci
否 S2n?
否 i?
否 C1
否 Cn
一些化学中重要的点群
点群 对 称 元 素(未包括恒等元素)
举例
Cs 仅有一个对称面 C1 无对称性 Cn 仅有一根n－重旋转轴 Cnv n－重旋转轴和通过该轴的镜面 Cnh n－重旋转轴和一个水平镜面 C∞v 无对称中心的线性分子 Dn n－重旋转轴和垂直该轴的n根C2轴 Dnh Dn的对称元素、再加一个水平镜面 D∞h 有对称中心的线性分子
ONCl, HOCl
SiFClBrI
H2O2, PPh3 H2O, NH3 反－N2F2 CO，HCN Cr(C2O4)33－ BF3，PtCl42－ H2, Cl2
Dnd Dn的对称元素、再加一套平分每一C2轴的垂直镜面 Sn 有唯一对称元素(Sn映轴) Td 正四面体分子或离子，4C3、3C2、3S4和6d
B2Cl4,交错C2H6
S4N4F4 CH4, ClO4－
Oh 正八面体分子或离子，3C4、4C3、6C2、6d、3h、i SF6
Ih 正二十面体，6C5、10C3、15C2及15σ
B12H122－
分子点群的分类：5 类 1. 无轴群—无Cn轴或Sn轴的群
如 C1，
H
C
F
Br
Cl
Ci，
H
Cl
F
F
Cl
第四章 分子对称性与点群
本章重点
掌握分子轨道理论及其应用； 掌握对称操作与对称元素的概念； 了解常见无机分子（离子）所属的点群； 掌握运用对称性知识判断分子的偶极矩和旋光性的 方法
2.1 对称元素与对称操作
如果分子各部分能够进行互换，而分子的取向没有产生可 以辨认的改变，这种分子就被说成是具有对称性。
结构化学第四章分子对称性
X射线晶体学需要制备晶体样品，通过X射线照射晶 体并记录衍射数据，再通过计算机软件分析衍射数 据，最终得到分子的晶体结构。
X射线晶体学对于理解分子结构和性质具有重要意义 ，尤其在化学、生物学和材料科学等领域中广泛应 用。
分子光谱方法
分子光谱方法是研究分子对称 性的另一种实验方法。通过分 析光谱数据，可以确定分子的 振动、转动和电子等运动状态 ，从而推断出分子的对称性。
04
分子的点群
点群的分类
80%
按照对称元素类型分类
分子点群可按照对称元素类型进 行分类，如旋转轴、对称面、对 称中心等。
100%
按照对称元素组合分类
分子点群可按照对称元素的组合 进行分类，如Cn、Dn、Sn等。
80%
按照分子形状分类
分子点群可按照分子的形状进行 分类，如线性、平面、立体等。
点群的判断方法
分子没有对称元素，如 NH3。
分子有一个对称元素， 如H2O。
分子有两个对称元素， 如CO2。
分子有多个对称元素， 如立方烷。
02
分子的对称性
对称面和对称轴
对称面
将分子分成左右两部分的面。
对称轴
将分子旋转一定角度后与原分子重合的轴。
对称中心
• 对称中心：通过分子中心点，将分子分成互为镜像的两部分。
具有高对称性的分子往往表现出较弱的磁性，因为它们具有较低的轨道和自旋分 裂能。相反，对称性较低的分子可能表现出较强的磁性，因为它们的轨道和自旋 分裂能较高。
对称性与化学反应活性
总结词
分子对称性对化学反应活性也有重要影响，可以通过对称性 分析来预测和解释分子的化学反应行为。
详细描述
具有高对称性的分子往往具有较低的反应活性，因为它们的 电子云分布较为均匀，难以发生化学反应。相反，对称性较 低的分子可能具有较高的反应活性，因为它们的电子云分布 较为不均匀，容易发生化学反应。
X射线晶体学对于理解分子结构和性质具有重要意义 ，尤其在化学、生物学和材料科学等领域中广泛应 用。
分子光谱方法
分子光谱方法是研究分子对称 性的另一种实验方法。通过分 析光谱数据，可以确定分子的 振动、转动和电子等运动状态 ，从而推断出分子的对称性。
04
分子的点群
点群的分类
80%
按照对称元素类型分类
分子点群可按照对称元素类型进 行分类，如旋转轴、对称面、对 称中心等。
100%
按照对称元素组合分类
分子点群可按照对称元素的组合 进行分类，如Cn、Dn、Sn等。
80%
按照分子形状分类
分子点群可按照分子的形状进行 分类，如线性、平面、立体等。
点群的判断方法
分子没有对称元素，如 NH3。
分子有一个对称元素， 如H2O。
分子有两个对称元素， 如CO2。
分子有多个对称元素， 如立方烷。
02
分子的对称性
对称面和对称轴
对称面
将分子分成左右两部分的面。
对称轴
将分子旋转一定角度后与原分子重合的轴。
对称中心
• 对称中心：通过分子中心点，将分子分成互为镜像的两部分。
具有高对称性的分子往往表现出较弱的磁性，因为它们具有较低的轨道和自旋分 裂能。相反，对称性较低的分子可能表现出较强的磁性，因为它们的轨道和自旋 分裂能较高。
对称性与化学反应活性
总结词
分子对称性对化学反应活性也有重要影响，可以通过对称性 分析来预测和解释分子的化学反应行为。
详细描述
具有高对称性的分子往往具有较低的反应活性，因为它们的 电子云分布较为均匀，难以发生化学反应。相反，对称性较 低的分子可能具有较高的反应活性，因为它们的电子云分布 较为不均匀，容易发生化学反应。
04 分子的对称性
时， n 为奇数时， 包含 2n 个对称动作， 个对称动作，可由 Cn +i I 组成； 组成； 当 n为偶数时， 为偶数时， 不是4的倍数时， 组成， (1) n 不是4的倍数时，In 可由 Cn/ 2 +σh组成，包 个对称动作。 含 n 个对称动作。 (2) n是4的倍数，为独立的对称元素(n个动作)。 的倍数，为独立的对称元素(n个动作) (n个动作
ˆ 共有两个独立动作。 σ共有两个独立动作。
反映操作是一种虚动作。
20112011-1-28 16
第四章 分子的对称性
4. 镜面的分类 设主轴位于z轴 设主轴位于z 水平的）； σ ⊥Cn ，记为 σ（horizontal水平的）； h horizontal水平的
σ // Cn ，记为 σ（Vertical 垂直的 ）； v
y (x', y') (x, y)
α
x' x cosα −sinα 0x ' ˆ y = C(α) y = sinα cosα 0y ' z z 0 0 1z
x
20112011-1-28 12
20112011-1-28
13
第四章 分子的对称性
2. 对称中心 对称中心(
i)
反演操作依据的是一个几何点称为对称中心。 反演操作依据的是一个几何点称为对称中心。 3. 反演操作的独立动作
ˆ i n = i , n = 奇 数 ˆ n ˆ ˆ i = E, n = 偶 数
i 共有两个独立动作 。
转900
ˆ C4
ˆ i
20112011-1-28
19
第四章 分子的对称性
分子中的反轴有： 分子中的反轴有： I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8 。
ˆ 共有两个独立动作。 σ共有两个独立动作。
反映操作是一种虚动作。
20112011-1-28 16
第四章 分子的对称性
4. 镜面的分类 设主轴位于z轴 设主轴位于z 水平的）； σ ⊥Cn ，记为 σ（horizontal水平的）； h horizontal水平的
σ // Cn ，记为 σ（Vertical 垂直的 ）； v
y (x', y') (x, y)
α
x' x cosα −sinα 0x ' ˆ y = C(α) y = sinα cosα 0y ' z z 0 0 1z
x
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第四章 分子的对称性
2. 对称中心 对称中心(
i)
反演操作依据的是一个几何点称为对称中心。 反演操作依据的是一个几何点称为对称中心。 3. 反演操作的独立动作
ˆ i n = i , n = 奇 数 ˆ n ˆ ˆ i = E, n = 偶 数
i 共有两个独立动作 。
转900
ˆ C4
ˆ i
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19
第四章 分子的对称性
分子中的反轴有： 分子中的反轴有： I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8 。
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结合律：A(BC)=(AB)C; 2+(3+4)=(2+3)+4
单位元素： 0;
0+3=3+0=3
逆元素： A-1=-A ; 3-1=-3 3+(-3)=(-3)+3=0
群的例子
除零外，全体非零实数对乘法构成群
（群的乘法即为代数乘法）
封闭性： 实数相乘仍为实数 结合律： 乘积与次序无关 单位元素： 1 逆元素： A-1=1/A
H
C H
H C
H
Cl
Cl 2-
Pt
Cl Cl
H
H
H
H
H
H
-
Dnh点群的分子实例
D2h 群 ：N2O4
D2h群：乙烯
D3h 群 ： 乙烷重叠型
D4h群：XeF4
Dh群： I3-
D6h群：苯
Dnd群
在 Dn 群的基础上加上n个通过主轴且又平分C2 副轴夹角
的镜面 d ，属于此类点群的分子也较少。
D3d : 乙烷交错型
从正四面体的每两条相对的棱中点有一条S4穿过, 6
条棱对应着3条S4. 每个S4可作出S41 、S42 、S43 三个
② Cnh群
在Cn的基础上加上与垂直Cn的h。Cnh群为2n阶群，对
称操作为：
Cnh
E,
Cn ,
Cn2 , , Cnn1,
h,
hCn,
hCn2，
，
C n1
hn
C2h群: 反式二氯乙烯
C2h群: N2F2
Cnh群分子实例
C3h群
③ Cnv群
在 Cn 的基础上加上n个通过主轴的v，Cnv群为2n阶
4.1.4 对称中心（i）和反演操作（ i）
与对称中心 i 对应的对称操作叫反演或倒反 。 若将i 坐标原点放在对称中心处，则反演操作将空间 任意一点（x, y, z）变为其负值（-x, -y, -z），反演操 作的矩阵表示为：
y
i x
y
i n 为奇数
i
in
x
E n 为偶数
连续进行两次反演操作等于不动操作，即
群。对称操作：
Cnv
{E
,
Cn
,
Cn2
,
Cnn1
,
(1) v
,
( v
2)
,
( v
n
)}
分子中常见的Cnv点群有：
C2v：H2O, H2S, HCHO, 顺1,2-乙烯等。 C3v：NH3, CH3Cl等三角锥分子。 C4v：BrF5（四方锥结构） Cv：HCl, CO, NO, HCN等直线型异核分子。
C2v
臭氧
菲
H2O中的C2和两个σv
C3v
NF3
CHCl3
Cv CO2 , HCl 等直线分子
4.3.3 双轴群(双面群)
Dn群
在Cn群的基础上，加上n个垂直Cn的C2轴，Cn群 为2n阶。对称操作为：
Dn
E
,Cn
,
Cn2
,
,
C பைடு நூலகம்1 n
,
C (1) 2
,C2(2)
,
C(n) n
低 月 半
落 花 余
苏锦 轼图
阁城梧碧 回
空暮桐草 。，。，
文
4.1 对称元素与对称操作
对称操作（symmetry operation）
4.1.2 旋转轴 Cn(n) 和旋转操作Ĉn
4.1.3
镜面（
）和反映操作
（
）
镜面（或对称面），是平分 分子的平面，它把分子图形分成 两个完全相等的两个部分，两部 分之间互为镜中关系。与对称面 相对应的操作是反映，它把分子 中的任一点都反映到镜面的另一 侧垂直延长线的等距离处。
Td群(四面体群)
对称元素有：4个C3轴，3个C2轴，6个d ，3个S4 （与3
个C2重合）；为24阶群。对称操作为：
Td {E, 8C3, 3C2, 6S4, 6 d }
正四面体构型分子都属于此点群。 如：CH4，PO43-，SO42-
在Td群中, 你可以找到一个四面体结构. 打开P4分子，对照以下讲解自己进行操作：
对称性的概念：
对称性普遍存在于自然界。 例如五瓣对称的梅花、桃花， 六瓣对称的水仙花、雪花（轴 对称或中心对称）；建筑物和 动物的镜面对称；美术与文学 中也存在很多对称的概念。
草桐暮空 碧梧城阁 余半边绣 花月远帘 落低雁疏 晚凉随映 春夜人雨 。，。，
雨人夜春 题
映随凉晚 织
疏 帘 绣
雁 远 边
i2
E
，
最小周期为2；反演操作和它的逆操作相等，即
iˆ iˆ1
反演操作是虚动作，不可能具体真实操作， 只能在想象中实现。
4.1.5 象转轴(或映轴 Sn )和旋转反映操作(Ŝn )
这是一个复合动作：先绕轴旋3600/n（并未进入等价图形），
接着按垂直于轴的平面 h 进行反映（图形才进入等价图形）。
D4d ：单质硫
俯视图
D5d : 交错型二茂铁
4.3.4 立方群
特点是有多个高次轴（n≥3 的轴称为高次轴）。 含有多个高次轴的对称元素组合所得的对称元素 系和正多面体的对称性相对应。
立方群：包括Td 、Th 、Oh 、Ih 等.
Td 群：属于该群的分子，对称性与正四面体完全相同。
CH4
P4 （白磷）
Sn h Cn
CH4 的
四
旋转90°
重
象
转
轴
S4
相互等价
及
旋
转
反映
反
映
操
作
仍代表 H
4.2 群的基础知识
4.2.1 群的定义
4.2.2 群的乘法表
群的例子
立正（ ），向右转（ ），向左转 （ ），向后转（ ）构成对称操作群
-1 =
-1 =
-1 =
全体整数对加法构成群，称为整数加群
封闭性： 所有整数（包括零）相加仍为整数
D2 群
D3：这种分子比较少见，其对称元素也不易看出. [Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+是一实例
何其相似！
唯一的C3旋转轴从xyz轴连
成的正三角形中心穿过, C2
通向Co;
三条C2旋转轴分别从每个N–N
x
键中心穿过通向Co.
C2 z
y
C2
Dnh群
在Dn群的基础上，加上一个垂直主轴的h。
4.3.2 单轴群(轴向群)
① Cn群
对称元素只有一个n次轴，对称操作共有n个，即 Cn1， Cn2，Cn3，···，Cnn = E，其阶次为n。 对称操作为：
Cn
Cn1
,Cn2,, Cnn
E
n 阶群
分子中常见的 Cn点群有：C1, C2, C3 。
C2 群
R2
R1
R2
R1
C2 群
C3群
Cn群分子实例
此群为无限群
4.2.3 对称元素的组合规律
4.3 分子点群
4.3.1 点群
分子点群
分子中全部对称操作的集合构成分子点群(point groups ). 分子点群可以归为四类:
(1) 单轴群: 包括Cn 、Cnh 、Cnv ; (2) 双面群：包括Dn、Dnh、Dnd ; (3) 立方群：包括Td 、Th 、Oh 、Ih 等; (4) 非真旋轴群：包括Cs 、Ci 、S4等.