平面向量概念作业
1．(2019年江西南昌期末)下列命题中正确的是( )
A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B ．模相等的两个平行向量是相等向量
C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝b
D ．两个相等向量的模相等
2．下列说法中，不正确的是( )
A ．向量A
B →的长度与向量BA →
的长度相等
B ．任何一个非零向量都可以平行移动
C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
3．如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．
(1)与向量ED →
相等的向量为________；
(2)若|AB →|＝3，则向量EC →
的模等于________．
4．一个人从点A 出发沿东北方向走了100 m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达点C.
(1)画出AB →，BC →，CA →
；
→(2)求|CA
|.。
课时作业8：2.3.1 平面向量基本定理
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理一、基础达标1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1－e 2，e 1－12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2答案 D解析 选项A 、B 、C 中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底． 2．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 答案 B3．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝0 答案 B4.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 答案 C解析 当点P 落在第Ⅰ部分时，OP →按向量OP 1→与OP 2→分解时，一个与OP 1→反向，一个与OP 2→同向，故a <0，b >0.5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案 －74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74y ＝138.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________. 答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c .7.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN →与CM →相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →. 解 ∵AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13λb ＋(1－λ)a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足 AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2a ＋(1－μ)b .∴⎩⎨⎧1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得⎩⎨⎧λ＝35，μ＝45.∴AE →＝25a ＋15b .二、能力提升8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( ) A ．6ME → B ．－6MF →C ．0D ．6MD →答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0.9．如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________． 答案 6解析 如图，以OA 、OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt △OCD 中，∵|OC →|＝23， ∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →， OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b . 12．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、BC 上的点且DM ＝14DC ，BN ＝13BC ，设AM →＝a ，AN →＝b ，试以a 、b 为基底表示AB →和AD →.解 ∵AD →＋DM →＝AM →，而DM →＝14DC →＝14AB →，AM →＝a ，∴AD →＋14AB →＝a .①又AB →＋BN →＝AN →，而BN →＝13BC →＝13AD →，AN →＝b ，∴AB →＋13AD →＝b .②联立①②解得：AB →＝－411a ＋1211b ，AD →＝1211a －311b .三、探究与创新13．如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE 的值．解 设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎨⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。
平面向量小题测试答案
6.1平面向量的概念（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（）A．质量B．功C．温度D．力2．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个-，，则向量AB的长度是（）3．（2022·山东菏泽·高一期中）数轴上点A，B分别对应11A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（）A．向量CD与向量DC长度相等B．单位向量都相等C．0的长度为0，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动5．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（）A．单位向量均相等B．单位向量1e=C．零向量与任意向量平行D．若向量a，b满足||||=，则a ba b=±6．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）下列关于零向量的说法正确的是（）A．零向量没有大小B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线7．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（）A．向量AB与向量BA的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．零向量没有方向D．向量的模是一个正实数8．（2022·山东聊城一中高一期中）下列命题中正确的个数是（）①起点相同的单位向量，终点必相同；A B C D四点必在一直线上；②已知向量AB CD∥，则,,,∥；③若,∥∥，则a ca b b c④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2022·山东东营·高一期中）设点O是正三角形ABC的中心，则向量AO，BO，CO是（）A ．相同的向量B ．模相等的向量C ．共起点的向量D ．共线向量二、多选题10．（2022·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ） A ．a 与b 是否相等与a ，b 的方向无关 B ．零向量相等，零向量的相反向量是零向量 C ．若a ，b 都是单位向量，则a b =D ．向量AB 与BA 相等11．（2022·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ） A ．若a b =，则a b = B ．若,a b b c ==，则a c =C ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件D ．“a b =”的充要条件是“a b =且a b ∥” 三、填空题12．（2022·全国·高一课时练习）下列各量中，是向量的是___________.（填序号） ①密度；②体积；③重力；④质量.13．（2022·全国·高一课时练习）已知圆O 的周长是2π，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，π,6BAC CD AB ∠=⊥于点D ，则CD =___________. 14．（2022·全国·高一课时练习）已知O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO OB CO OD 是___________.（填序号）①平行向量；②相等向量；③有相同终点的向量；④模都相等的向量.15．（2022·全国·高一课时练习）“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的________条件． 16．（2022·北京市第十二中学高一期末）已知向量()1,a k =，()2,4b =，且a 与b 共线，则实数k =______.17．（2022·江苏·南京航空航天大学附属高级中学高一期中）已知()3,4a =，()4,2b =-，若2a b -与2ka b +为共线向量，则实数k ＝__________．18．（2022·全国·高一课时练习）设空间中有四个互异的点A ､B ､C ､D ，若()()20DB DC DA AB AC +-⋅-=，则ABC 的形状是___________.19．（2022·全国·高一专题练习）已知1e ，2e 是两个不共线的向量，而2125(1)2a k e k e =+-，1223b e e =+是两个共线向量，则实数k =________．20．（2022·山东菏泽·高一期中）已知A 、B 、C 是不共线的三点，向量m 与向量AB 是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________. 四、解答题21．（2022·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD 、BC 的中点，如图．(1)写出与向量FC 共线的向量； (2)求证：BE FD =．22．（2022·全国·高一专题练习）在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b a =；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使5c =，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？23．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，2,,3AE AD AB a AC b ===.(1)用,a b 表示,,,,AD AE AF BE BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．24．（2022·全国·高一课前预习）如图，设O 是▱ABCD 对角线的交点，则(1)与OA 的模相等的向量有多少个？ (2)与OA 的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与AB 共线的向量．【能力提升】一、单选题 1．（2022·吉林·白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习）已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）A ．、、ABC B ．B CD 、、 C ．A B D 、、 D ．A C D 、、2．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a 与b 同向，且a b >，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．43．（2022·全国·高一单元测试）已知I 为ABC 所在平面上的一点，且,,AB c AC b BC a ===.若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC 的（ ） A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心4．（2022·陕西渭南·高一期末）设e 是单位向量，3AB e =，3CD e =-，3AD =，则四边形ABCD 是（ ） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 5．（2022·浙江丽水·高一期末）若,a b 为非零向量，则“a a bb =”是“,a b 共线”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2022·全国·高一课时练习）在ABC 中，若BC a CA b AB c ===，，，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．以上都不对7．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心二、多选题8．（2022·广西贺州·高一期末）以下选项中，能使//a b 成立的条件有（ ） A ．a b = B ．0a =或0b = C ．2a b =-D ．a 与b 都是单位向量9．（2022·全国·高一单元测试）下列叙述中错误的是（ ） A ．若a b =，则32a b >B ．若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反C ．若//a b ，//b c ，则//a cD ．对任一非零向量a ，||aa 是一个单位向量 三、填空题10．（2022·上海市向明中学高一期末）P 在线段12PP 的反向延长线上（不包括端点），且12PP PP λ=，则实数λ的取值范围是___________. 11．（2022·全国·高一课时练习）已知G 为ABC 内一点，且满足0AG BG CG ++=，则G 为ABC 的________心．12．（2022·陕西渭南·高一期末）若a 为任一非零向量，b 为单位向量，给出下列说法： ①a b >； ②a b ∥； ③0a >； ④1b =±；⑤若0a 是与a 同向的单位向量，则0a b =. 其中正确的说法有______个.13．（2022·全国·高一课时练习）如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若12MN AM BN λλ=+，12,R λλ∈，则12λλ+的值为___________.14．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知ABC 的面积为214cm ，D E ，分别为边AB ，BC 上的点，且::2:1AD DB BE EC ==，AE CD ，交于点P ，则APC △的面积为 _____2cm .四、解答题15．（2022·全国·高一课时练习）设1e ，2e 是两个不共线的向量，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定λ的值，使122e e λ+和12e e λ+共线；(3)若12e e λ+与12e e λ+不共线，试求λ的取值范围.16．（2022·全国·高一课时练习）情境 我们应该熟悉如下结论：已知A ，B ，C ，O 为平面内不同在一条直线上的四点，则A ，B ，C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m ，n ，使OC mOA nOB =+，且1m n +=． 问题：怎样证明上述的结论呢？17．（2022·全国·高一课时练习）已知向量13(3,1),,22a b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设()23,x a t b y k ta b =++=-⋅+，若存在[0,2]t ∈，使得x y ⊥成立，求k 的取值范围.。
高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 课时作业1 平面向量的概念 新人教A版必
课时作业1 平面向量的概念知识点一平面向量的概念 1.下列说法正确的是( )A ．实数可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小C ．向量的模是正数D ．向量的模可以比较大小 答案 D解析 对于A ，数量可以比较大小，但向量是矢量，不能比较大小，A 错误；对于B ，向量是矢量，不能比较大小，B 错误；对于C ，零向量的模为0,0不是正数，C 错误；对于D ，向量的模长是数量，可以比较大小，故选D.2．有下列说法： ①位移和速度都是向量；②若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③零向量没有方向； ④向量就是有向线段． 其中，正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 对于①，位移和速度都是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，零向量有方向，其方向是不确定的，故③错误；对于④，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故④错误.知识点二向量的几何表示3.在下图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上，点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA →，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上，点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC →，如图所示．4．某船从A 点出发向西航行了150 km 到达点B ，然后改变方向向北偏西30°方向航行了200 km 到达点C ，最后又改变方向向东航行了150 km 到达点D .作出向量AB →，BC →，CD →.解 作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示．知识点三相等向量与共线向量 5.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则向量a 与b 的长度相等且方向相同或相反；②对于任意非零向量a ，b ，若|a |＝|b |且a 与b 的方向相同，则a ＝b ； ③非零向量a 与非零向量b 满足a ∥b ，则向量a 与b 方向相同或相反； ④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线； ⑤若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c . 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 若|a |＝|b |，则向量a 与b 的长度相等而方向可以任意，故①不正确；根据相等向量的定义可知②正确；根据共线向量的定义可知③正确；向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线或AB ∥CD ，故④不正确；若b ＝0，则a 与c 不一定共线，故⑤不正确．综上可知只有②③正确，故选C.6．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与AF →，AE →相等的向量； (2)写出与AD →的模相等的向量．解 (1)与AF →相等的向量为BE →，CD →，与AE →相等的向量为BD →. (2)与AD →的模相等的向量为DA →，CF →，FC →.7. 如图，在△ABC 中，三边长AB ，BC ，AC 均不相等，E ，F ，D 分别是边AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．解 (1)∵E ，F 分别为边AC ，AB 的中点， ∴EF ∥BC .从而与EF →共线的向量包括：FE →，DB →，BD →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)∵E ，F ，D 分别是边AC ，AB ，BC 的中点， ∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC .又∵AB ，BC ，AC 均不相等，从而与EF →的模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →，CD →.8．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是边AD ，BC 上的点，且→＝MA →.求证：DN →＝MB →. 证明 ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →. 同理可证，四边形AM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， ∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同， ∴DN →＝MB →.一、选择题1．下列说法正确的是( )A.AB →∥CD →就是AB →所在的直线与CD →所在的直线平行或重合 B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段D ．共线向量是在一条直线上的向量 答案 C解析 由定义知，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故C 正确．2．汽车以120 km/h 的速度向西走了2 h ，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h ，则下列命题中正确的是( )A ．汽车的速度大于摩托车的速度B ．汽车的位移大于摩托车的位移C ．汽车走的路程大于摩托车走的路程D ．以上都不对 答案 C解析 由向量不能比较大小，可知选C. 3．下列说法正确的是( ) A ．有向线段AB →与BA →表示同一向量 B ．两个有公共终点的向量是平行向量 C ．零向量与单位向量是平行向量 D ．对任一向量a ，a|a |是一个单位向量答案 C解析 向量AB →与BA →方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当a ＝0时，a|a |无意义，故A ，B ，D 错误．零向量与任何向量都是平行向量，C 正确．4．下列结论中，正确的是( )A ．2019 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B ．若O 是直线l 上的一点，单位长度已选定，则l 上有且仅有两个点A ，B ，使得OA →，OB →是单位向量C ．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D ．一个人从A 点向东走500米到达B 点，则向量AB →不能表示这个人从A 点到B 点的位移 答案 B解析 一个单位长度取作2019 cm 时，2019 cm 长的有向线段刚好表示单位向量，故A 错误；B 正确；C 中两向量为平行向量；D 中的AB →表示从点A 到点B 的位移．5．O 是△ABC 内一点，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的( ) A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．垂心 答案 C解析 ∵|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，∴O 到三角形三个顶点的距离相等，∴点O 是△ABC 的外心，故选C.二、填空题6．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．答案532解析 结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是边AD 与BC 的中点，则在以A ，B ，C ，D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．答案 BA →，CD →解析 由题意得AB ∥EF ，CD ∥EF ，∴在以A ，B ，C ，D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →.8．如图，在△ABC 中，∠ACB 的角平分线CD 交AB 于点D ，AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，那么DB →的模为________．答案 32解析 由三角形内角平分线的性质，得|AC →|∶|BC →|＝|AD →|∶|DB →|，故|DB →|＝32.三、解答题9．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么． 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量应与a 平行，且长度相等，如图所示． (2)满足条件的向量c 可以是图中的CD →.所有这样的向量c 的终点的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆，如图．10．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地西南方向飞行1000 2 km到达丁地，问丁地在甲的什么方向？丁地距甲地多远？解如图，用A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知△ABC为正三角形．∴AC＝2000.又∵∠ACD＝45°，CD＝1000 2.∴△ACD为等腰直角三角形．即AD＝10002，∠CAD＝45°.答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000 2 km.。
平面向量(附例题-习题及答案)
向量的线性运算`一．教学目标1.理解向量的概念；2.掌握向量的线性运算；3.理解向量线性运算的几何意义、向量共线的含义、平行向量基本定理；4.理解平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、平面向量的坐标运算；5.理解用坐标表示平面向量的共线条件。
二．知识清单1.向量基本概念（1）向量的定义：既有又有称为向量；（2）向量的大小（或称模）：有向线段的表示向量的大小；^（3）零向量与单位向量：叫做零向量，叫做单位向量；（4）共线向量与相等向量：叫做共线向量（或平行向量），叫做相等向量。
2.向量的线性运算（1）向量的加法a.向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边形法则。
b.向量加法满足的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).（2）向量的减法\a.定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
一个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即=-。
b.三角形法则：“共始点，连终点，指向被减”。
（3）数乘向量a.定义：一般地，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa.b.数乘向量满足的运算律：（λ+μ）a=λ（μa）=λ（a+b）=—3.向量共线的条件与轴上向量坐标运算（1）向量共线的条件平行向量基本定理：如果，则；反之，如果，且，则一定存在，使。
（2）轴上向量的坐标运算4. 向量的分解与向量的坐标运算（1）平面向量基本定理如果是一平面内的的向量，那么该平面内的任一向量a，存在，使。
（2）平面向量的正交分解定义：把一个向量分解为，叫做把向量正交分解。
（3）向量的坐标表示>在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______作为基底。
对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量a都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。
《平面向量基本定理》教案、导学案、课后作业
《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三 题型一 正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】 由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】 设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ． 【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ． 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】 知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本25-27页，填写。
江苏省射阳县高中数学第二章平面向量2.1向量的概念及表示作业(无答案)苏教版必修3(new)
向量的概念及其表示班级__________;姓名______________;学号_______ __；1、已知点O是正六边形ABCDEF的中心，则下列向量组中含有相等向量的是；（1) OB、CD、FE、CB（2）AB、CD、FA、DE(3)。
FE、AB、CB、OF（4)AF、AB、OC、OD2、下列命题:(1）两个有共同起点且相等的向量, 其终点可能不同;（2）若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（3)若a//b且b//c, 则a//c ;（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是AB=DC.其中真命题的序号为____________.3、已知O是正方形ABCD对角线的交点, 在以O , A , B , C ， D这五点中任意一点为起点, 另一点为终点的所有向量中.(1)与BC相等的向量为_______________ ；(2)与OB长度相等的向量为______________________________ ;(3）与DA共线的向量为_______________ .4、如图， O 是正方形ABCD 对角线的交点, 四边形OAED, OCFB 都是正方形, 在图中所示的向量中：（1）分别与出与， 相等的向量;(2）写出与共线的向量；(3)写出与的模相等的向量. 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be someunsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.F。
高中数学《平面向量、数系的扩充与复数的引入》课时作业(含答案)
() A.0 B.1 C.-1 D.-2
8.[2019·广元期中] 设 R=a, =b,点 P 与 R 关于点 A 对称,点 R 与 Q 关于点 B 对称,则向量 =
() A.2(a-b) B.2(b-a) C.12(a-b) D.12(b-a)
9.[2019·哈尔滨三中二模] 给定两个长度为 1 的平面向量 R和 ,它们的夹角为 90°,点 C 在以 O 为圆
Байду номын сангаас
,b=
.
技能提升
6.[2019·合肥质检] 已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 z+z·i=3+i,则复数 z 的共轭复数为
()
A.1+2i B.1-2i
C.2+i D.2-i
7.已知复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于虚轴对称,z1=1+ 3i,则 1 = ( ) 2
A.2 B. 3 C. 2 D.1 8.[2019·德州一模] 已知 i 为虚数单位,复数 z1=1+ai(a∈R),z2=1+2i,若 1为纯虚数,则 a= ( )
() A.-1,12 B.12,-1
C.-12,1 D.1,12
4.[2019·郑州质检] 在△ABC 中,若点 D 满足 =2 ,点 M 为 AC 的中点,则 =( )
A.23 R -16 R C.23 R -13 R
B.13 R -16 R D.23 R +16 R
5.[2019·湖南师大附中二模] 已知 a=(3,4),b=(t,-6),且 a,b 共线,则实数 t=
1.(2-i)2-(1+3i)= ( )
A.2-7i B.2+i C.4-7i D.4+i 2.[2019·清远质检] 设 z=1+i(i 为虚数单位),则| |= ( )
人教版高中数学必修4课时作业11平面向量的实际背景及基本概念
一、选择题1．下列各量中是向量的是( ) A ．密度 B ．电流 C ．面积D ．浮力【解析】 只有浮力既有大小又有方向． 【答案】 D2．(2013·杭州高一检测)下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反 B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 【解析】选项 对否 原因分析 A 、B × 当b ＝0时均错误C × 两个单位向量平行但方向不一定相同 D√本结论实际是向量相等的传递性3. 如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )图2－1－7A.AB →＝DC →B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →＞DC →D.AB →＜DC →【解析】 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等． 【答案】 B4．如图所示，在正方形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )图2－1－8A.DA →与BC →B.AB →与DC →C.DC →与DA →D.BC →与AB →【解析】 ∵AB →＝DC →，∴AB →与DC →可用同一条有向线段表示． 【答案】 B5．如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC ，AB ，BC 的中点，则与E F →的模相等的向量共有( )图2－1－9A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【解析】 ∵E 、F 、D 分别是边AC 、AB 和BC 的中点， ∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC .又∵AB ，BC ，AC 均不相等，从而与EF →的模相等的向量是：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.【答案】 B 二、填空题6．如图所示，B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与AC →相等的向量是________．图2－1－10【解析】 以AD 的13为单位长度，则|AC →|＝2，由图知|BD →|＝2且与AC →的方向相同．【答案】 BD →7．如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．图2－1－11(1)与向量ED →相等的向量为________； (2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________．【解析】 (1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中，∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →.(2)由(1)知，ED →＝DC →，∴E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6. 【答案】 (1)AB →，DC →(2)68．(2012·榆林高一检测)把平面上一切单位向量归结到共同的始点O ，那么这些向量的终点所组成的图形是________．【解析】 单位向量的长度是一个单位，方向任意，若单位向量有共同的始点O ，则其终点构成一个单位圆．【答案】 以O 为圆心的单位圆 三、解答题 9.图2－1－12O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图2－1－12所示的向量中：(1)分别找出与AO →，BO →相等的向量； (2)找出与AO →共线的向量； (3)找出与AO →模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？ 【解】 (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →. (2)与AO →共线的向量有：BF →，CO →，DE →.(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →. (4)向量AO →与CO →不相等，因为它们的方向不相同．10．设在平面内给定一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF →＝HG →.【证明】 如图所示，连接AC .在△ABC 中，由三角形中位线定理知， EF ＝12AC ，EF ∥AC ， 同理HG ＝12AC ，HG ∥AC .所以|EF →|＝|HG →|且EF →和HG →同向，所以EF →＝HG →.11．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．图2－1－13【解】 如图所示，在B 处有3种走法；在C 处有8种走法．【教师备课资源】1．向量在实际问题中的应用如图，半圆的直径AB ＝6，C 是半圆上的一点，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且AD ＝1，BE ＝4，DE ＝3.(1)求证：向量AC →∥DE →； (2)求|AC →|.【思路探究】 (1)先证AC ∥DE ，再证AC →∥DE →； (2)根据平行线分线段成比例求|AC →|.【规范解答】 (1)证明：∵AB 是半圆的直径，C 是半圆上的点，∴AC ⊥BC .① ∵AB ＝6，AD ＝1， ∴DB ＝5.又∵BE ＝4，DE ＝3， ∴BE 2＋DE 2＝DB 2，∴△BED 是直角三角形，且∠BED 为直角， ∴DE ⊥BC .②由①、②知，AC ∥DE ， ∴AC →∥DE →.(2)由(1)知，AC ∥DE ， ∴BD ∶BA ＝DE ∶AC ， ∴AC ＝BA ·DE BD ＝185， ∴|AC →|＝185.1．解答本题的关键是平面几何知识在解题中的应用．2．解决此类问题，首先理解平面几何知识及实际问题与向量的联系，然后准确作出几何图形，转化为几何问题求解．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.【解】 (1)如图所示(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线． 又|AB →|＝|CD →|， ∴在四边形ABCD 中， AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴|AD →|＝|BC →|＝200 km. 2．知识拓展易错环节的避免与方法技巧归纳(1)书写符号出错，如向量a 误写成a ，零向量0误写成数字0等． (2)向量的方向把握不好，如a ∥b ，应有a 、b 方向相同或相反或二向量中至少有一个为零向量三种情况．(3)向量的问题与线段问题相混淆，把无方向的线段问题不加思考地搬到向量中，如|a |＝|b |误推为a ＝±b 等．(4)向量不同于我们以前学过的数量，学习时应结合实际明确它是一种新的量，它是既有大小又有方向的一种量．(5)从实际出发，明确平行向量、相等向量、共线向量的基本性质． (6)平行向量可以平行移动，因此任意一组平行向量都可以移到同一直线上． (7)非零向量a 与b 相等，则必有|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，反之也成立． (8)两个非零向量方向相同或相反，则它们共线，但要注意零向量与任一向量共线，零向量的方向是任意的．(9)长度等于一个单位的向量叫做单位向量．对于任意非零向量a 的单位向量是a|a |，这实质上告诉了求任意非零向量a 的单位向量的方法．(10)注意向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能共线．(11)相等向量不但模相等，方向还要相同，两非零平行向量方向相同或相反． (12)零向量在共线向量问题中是一个特别的对象，应按照平行向量的补充规定来判断；考查向量应考查其大小和方向，二者缺一不可，对于一个向量只要不改变其大小与方向是可以任意平行移动的，即我们研究的向量是自由向量；平行向量与向量的模无关，而方向包含相同和相反两种情形．3．动态课件制作一个动态课件，展示在平面内的一个向量AB →平移至A ′B ′→后，仍然有AB →＝A ′B ′→，但此时两条有向线段不等价．从而说明向量只与大小、方向有关，而有向线段与大小、方向、起点位置均有关.。
统考版2022届高考数学一轮复习第五章5.1平面向量的概念及其线性运算课时作业理含解析
课时作业26 平面向量的概念及其线性运算[基础达标]一、选择题1．[2021·某某某某月考]化简AB →－AC →－BC →＝( )A ．2BC →B ．0C ．－2BC →D ．2AC →2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．23．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a4．[2021·某某省师大附中模拟]设a ，b 是非零向量，则a ＝2b 是a |a |＝b|b |成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线6．[2021·某某威海模拟]设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．27．[2021·某某某某中学月考]设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →8.[2021·某某师大附中月考]在平行四边形ABCD 中，F 是BC 的中点，CE →＝－2DE →，若EF →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y ＝( )A ．1B ．6 C.16D.139．[2021·某某江油中学模拟]如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 为半圆弧的两个三等分点，则AB →＝( )A.AC →－AD →B ．2AC →－2AD → C.AD →－AC →D ．2AD →－2AC →10.设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法不正确的是( ) A ．若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点B ．若AM →＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上 C ．若AM →＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D ．若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12二、填空题11．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________.12．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.13．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AB →＝λAC →＋μAE →，则λ＋μ的值为________．14．在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值是________．[能力挑战]15．已知O ，A ，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且OP →＝OA →＋AB→|AB →|，则( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上16．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以P ，Q ，R ，S ，T 为顶点的多边形为正五边形，且PTAT＝5－12.下列关系中正确的是( )A.BP →－TS →＝5＋12RS →B.CQ →＋TP →＝5＋12TS →C.ES →－AP →＝5－12BQ →D.AT →＋BQ →＝5－12CR →17．[2021·某某模拟]在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值X 围是________．课时作业261．解析：依题意得AB→－AC→－BC→＝CB→－BC→＝－2BC→.故选C项．答案：C2．解析：由题中所给图象可得，2a ＋b ＝c ，又c ＝μ(λa ＋b )，所以λ＝2.故选D. 答案：D3．解析：对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．答案：B4．解析：由a ＝2b 可知，a ，b 方向相同，a |a |，b |b |表示a ，b 方向上的单位向量，所以a|a |＝b|b |成立；反之不成立．故选B.答案：B5．解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2AB →，∴BD →与AB →共线，由于BD →与AB →有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线，故选B. 答案：B6．解析：因为BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a －b . 又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →，BD →共线． 设AB →＝λBD →，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )， 所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1. 答案：B7．解析：由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A项．答案：A8．解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，AD →＝BC →，因为CE →＝－2DE →，所以ED →＝－13DC →＝－13AB →，所以EF →＝ED →－AD →＋AB →＋BF →＝－13AB →－AD →＋AB →＋12BC →＝23AB →－12AD →，又因为EF →＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23，y ＝－12，所以x ＋y ＝16.答案：C9．解析：连接CD .∵C ，D 是半圆弧的两个三等分点， ∴CD ∥AB ，且AB ＝2CD .∴AB →＝2CD →＝2(AD →－AC →)＝2AD →－2AC →， 故选D. 答案：D10．解析：若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点，故A 正确；若AM →＝2AB →－AC →，即有AM →－AB →＝AB →－AC →，即BM →＝CB →，则点M 在边CB 的延长线上，故B 错误；若AM →＝－BM →－CM →，即AM →＋BM →＋CM →＝0，则点M 是△ABC 的重心，故C 正确；如图，AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，可得2AM →＝2xAB →＋2yAC →，设AN →＝2AM →，则M 为AN 的中点， 则△MBC 的面积是△ABC 面积的12，故D 正确．故选B.答案：B11．解析：因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB→＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝23.答案：2312．解析：因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →， 所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)， 又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k λ，－3＝6k ，解得λ＝－4.答案：－413．解析：在△AEC 中，EC →＝AC →－AE →， 所以12AB →＝AC →－AE →，所以AB →＝2AC →－2AE →，所以λ＝2，μ＝－2，λ＋μ＝0. 答案：014．解析：因为AN →＝12NC →，所以AN →＝13AC →，所以AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，因为P 是BN 上一点，所以B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13.答案：1315．解析：由OP →＝OA →＋AB→|AB →|得OP →－OA →＝AB→|AB →|，所以AP →＝1|AB →|·AB →，所以点P 在射线AB 上．答案：D16．解析：由已知，BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →＝RS→5－12＝5＋12RS →，所以A 正确；CQ →＋TP→＝PA →＋TP →＝TA →＝5＋12ST →，所以B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，所以C 错误；AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →，则SD →＝0，不合题意，所以D 错误．答案：A17．解析：由已知AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上，所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)．因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12。
2020高考数学 课后作业 4-2 平面向量基本定理及向量的坐标表示 新人教A版
2020高考数学人教A 版课后作业1.(文)(2020·合肥二模)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3) [答案] A[解析] 依题意得a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，选A.(理)(2020·福建质检)已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 [答案] C[解析] ∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴a ＋b 平行于y 轴，故选C.2．(2020·湖北八市调研)向量a ＝(13，tan α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α的正弦值为( )A.12B.19 C.22 D.32[答案] B[解析] 依题意得13×13－tan α×cos α＝0，即sin α＝19.3．(2020·皖南八校第二次联考)已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则λ的值为( )A.52 B ．－52 C.25 D ．－25 [答案] D[解析] ∵a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，∴a ＋λb ＝(3＋2λ，4－λ)，故2(3＋2λ)－(4－λ)＝0，∴λ＝－25，故选D.4．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72)B ．(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3) [答案] A[解析] 设点D (m ，n )，则由题意知，(4,3)＝2(m ，n －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝42n －4＝3，解得m ＝2，n ＝72，∴D (2，72)，故选A.5．(2020·宁波十校联考)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10) [答案] C[解析] 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．6．(2020·广东高考)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4) [答案] B[解析] 由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)，选B.7．(2020·海南质检)在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．[答案] (0，－2)[解析] 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)．8.如图所示，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP PM 的值．[解析] 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝2e 1＋e 2，∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，∴存在λ、μ∈R ，使AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2， 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，∴由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝23λ＋μ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45μ＝35，∴AP →＝45AM →，即APPM ＝4:1.1.(文)(2020·辽宁文，3)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12[解析] ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k ) ∴a ·(2a －b )＝(2,1)·(5,2－k )＝10＋2－k ＝0 ∴k ＝12.(理)(2020·蚌埠二中质检)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 [答案] B[解析] AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.2．(2020·长沙二检)若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b[答案] B[解析] 由已知可设c ＝xa ＋yb ⇒⎩⎪⎨⎪⎧4＝x －y2＝x ＋y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1，故选B.3．(2020·西安质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)[答案] D[解析] 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(c ＋a )∥b ，则有－3×(1＋m )＝2×(2＋n )．又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.4．在平行四边形ABCD 中，AE →＝13AB →，AF →＝14AD →，CE 与BF 相交于G 点．若AB →＝a ，AD →＝b ，则AG →＝( )A.27a ＋17bB.27a ＋37bC.37a ＋17bD.47a ＋27b[解析] ∵B 、G 、F 三点共线，∴AG →＝λAF →＋(1－λ)AB →＝14λb ＋(1－λ)a .∵E 、G 、C 三点共线，∴AG →＝μAE →＋(1－μ)AC →＝13μa ＋(1－μ)(a ＋b )．由平面向量基本定理得，⎩⎪⎨⎪⎧λ4＝1－μ1－λ＝1－23μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝47μ＝67，∴AG →＝37a ＋17b .5．(文)已知A (－2,3)，B (3，－1)，点P 在线段AB 上，且|AP ||PB |＝12，则P 点坐标为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，53 [解析] 设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －3)，PB →＝(3－x ，－1－y )， ∵P 在线段AB 上，且|AP ||PB |＝12， ∴AP →＝12PB →，∴(x ＋2，y －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2，－1－y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝3－x 2y －3＝－1－y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13y ＝53，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，53.(理)已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，则1α＋1β＝________.[答案] 3[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α1＋λ＝13λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.6．已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由． [解析] (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(t ＋2,3t －1)． 若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)． ∵四边形OABP 为平行四边形，∴OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解．∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OPAB 为平行四边形．7．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.[解析] 因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3) 所以AB →＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M 、N 分别为AB 、AC 的中点，所以F 为AD 的中点，故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．[点评] 注意向量表示的中点公式，M 是A 、B 的中点，O 是任一点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．8．(文)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及定点A (1,1)，M 为圆C 上任意一点，点N 在线段MA 上，且MA →＝2AN →，求动点N 的轨迹方程．[解析] 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，则由MA →＝2AN →得 (1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －21－y 0＝2y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2xy 0＝3－2y ，代入(x －3)2＋(y －3)2＝4，得x 2＋y 2＝1.(理)已知⊙C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝9及定点A (－1,1)，M 是⊙C 上任意一点，点N 在射线AM 上，且|AM |＝2|MN |，动点N 的轨迹为C ，求曲线C 的方程．[解析] 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵N 在射线AM 上，且|AM |＝2|MN |，∴AM →＝2MN →或AM →＝－2MN →，AM →＝(x 0＋1，y 0－1)，MN →＝(x －x 0，y －y 0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋1＝2x －x 0y 0－1＝2y －y 0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋1＝－2x －x 0y 0－1＝－2y －y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝132x －1y 0＝132y ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋1y 0＝2y －1，代入圆方程中得(2x ＋5)2＋(2y －2)2＝81或 (2x ＋3)2＋(2y －2)2＝9.1．(2020·安徽江南十校联考)已知两个非零向量a ＝(m －1，n －1)，b ＝(m －3，n －3)，且a 与b 的夹角是钝角或直角，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[2，32]B ．[2,6]C ．(2，32)D ．(2,6) [答案] D[解析] 根据a 与b 的夹角是钝角或直角得a ·b ≤0，即(m －1)(m －3)＋(n －1)(n －3)≤0.整理得：(m －2)2＋(n －2)2≤2.所以点(m ，n )在以(2,2)为圆心，2为半径的圆上或圆内．令m ＋n ＝z ，则n ＝－m ＋z 表示斜率为－1，在纵坐标轴上的截距为z 的直线，显然直线与圆相切时，z 取最大(小)值，∴2≤z ≤6，即2≤m ＋n ≤6.当取等号时有m ＝n ＝1或m ＝n ＝3，均不合题意，故选D.2．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6 [答案] C[解析] 以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 为矩形，OA →⊥OB →.由图形易知直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2，所以选C.3．(2020·河南许昌调研，2020·深圳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )[答案] A[解析] OC →＝λa ＋μb ＝(3λ＋μ，λ＋3μ)， 令OC →＝(x ，y )，则x －y ＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ) ＝2(λ－μ)≤0，∴点C 对应区域在直线y ＝x 的上方，故选A.4．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．[答案] 1:4[解析] 如图，AE →＝34AB →，AF →＝14AC →，在BC 上取点G ，使BG →＝14BC →，则EG ∥AC ，FG ∥AE ，∴AG →＝AE →＋AF →＝AM →，∴M 与G 重合， ∴S △ABM S △ABC ＝BM BC ＝14. 5．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ＝2b ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，32，n ＝(1，sin A ＋3cos A )，且m 与n 共线．(1)求角A 的大小； (2)求a c的值． [解析] (1)∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1. ∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6.∴2A －π6＝π2.∴A ＝π3.(2)由余弦定理及c ＝2b 、A ＝π3得，a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋c 2－2·c 2·c cos π3，a 2＝34c 2，∴a c ＝32.。