圆型限制三体问题平动点的稳定性

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拉格朗日点和平面圆三体问题[转]

拉格朗日点和平面圆三体问题[转]中文名称：拉格朗日点英文名称：Lagrangian point定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。

包括两个等边三角形点和三个共线点。

拉格朗日点指受两大物体引力作用下,能使小物体稳定的点.一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。

这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的。

1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。

在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。

每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角.，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783)根据旋转的二体引力场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日Joseph Lagrange(1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗日Lagrange”或“拉格朗日点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。

发现18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（拉格朗治）在1772年发表的论文“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果，即：如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。

A.D1906年，天文学家发现了第588号小行星和太阳正好等距离，它同木星几乎在同一轨道上超前60°运动，它们一起构成运动着的等边三角形。

同年发现的第617号小行星也在木星轨道上落后60°左右，构成第2个拉格朗日（拉格朗治）正三角形。

20世纪80年代，天文学家发现土星和它的大卫星构成的运动系统中也有类似的正三角形。

三体稳定解参数

三体稳定解参数《三体》是刘慈欣所著的科幻小说，其中涉及到了许多科学概念和理论，包括三体稳定解参数。

在小说中，三体稳定解参数是指三体星系中三个恒星之间的相对位置和运动状态，这些参数对于三体星系的稳定性至关重要。

然而，在现实世界中，三体稳定解参数是一个复杂的数学问题，涉及到天体力学和动力系统理论。

本文将详细解析三体稳定解参数的概念、计算方法和应用。

一、三体稳定解参数的概念在数学和物理学中，三体问题是指三个质点在相互作用下的运动问题。

三体稳定解参数是指三个质点在空间中的初始位置和初始速度，这些参数决定了三个质点在相互作用下的运动轨迹和稳定性。

三体问题是一个高度复杂的问题，因为三个质点之间的相互作用会产生非线性动力学行为，导致系统的运动轨迹非常复杂。

二、三体稳定解参数的计算方法三体稳定解参数的计算方法主要基于数值模拟和解析方法。

数值模拟方法是通过计算机模拟三个质点在相互作用下的运动，通过迭代算法求解三体问题的数值解。

解析方法是基于拉格朗日或哈密顿力学理论，通过求解微分方程或积分方程来得到三体问题的解析解。

然而，由于三体问题的非线性特性，解析解通常只能用于特定的初始条件或特殊的限制情况。

三、三体稳定解参数的应用三体稳定解参数在天体物理学和航天工程等领域有着重要的应用。

在天体物理学中，三体稳定解参数可以用于研究星系中的三星系统，了解它们的运动轨迹和稳定性。

在航天工程中，三体稳定解参数可以用于设计航天器的轨道和姿态控制系统，确保航天器在空间中的稳定性和安全性。

四、三体稳定解参数的挑战和研究进展三体问题是一个具有挑战性的数学问题，目前还没有找到通用的解析解。

然而，随着计算机技术的发展，数值模拟方法在解决三体问题上取得了重要的进展。

研究者们通过大量的数值模拟实验，发现了许多有趣的现象和规律，如周期解、准周期解和混沌解等。

此外，研究者们还在探索新的数学方法和理论，以解决三体问题。

结束语：总之，三体稳定解参数是一个复杂的数学问题，涉及到天体力学和动力系统理论。

变质量椭圆限制性三体问题

作者：郑学塘[1];郁丽忠[2]
作者机构： [1]华东工程学院应用物理系;[2]华东工程学院应用物理系
出版物刊名：南京理工大学学报：社会科学版
页码： 1-6页
主题词：天体力学三体问题平动点质量天体琼斯定律
摘要：该文利用Мещерскuu时空变换和波动坐标系研究了变质量椭圆限制性三体问题,得到小天体在波动坐标系中的运动方程、积分不变式和平动点的位置。

文中指出:当小天体的质量减少时,所有平动点都移向坐标原点,当小天体的质量增加时,所有平动点都离开原点。

天体的中三体问题

天体中的三体问题韩博伟谈三体问题算是经典力学里面的天体力学的老难题了，从牛顿那个时候起就是物理学家和数学家的恶梦。

先说一下什么叫三体。

用物理语言来说，在一个惯性参考系中有N个质点，求解这N个质点的运动方程就是N体问题。

参考系是惯性参考系，也就是说不受系统外的力的作用，所有的作用力都来自于体系内的这N个质点之间。

在天体力学里面，我们通常就只考虑万有引力。

用数学语言来说，经典力学的N体问题模型就是，在三维平直空间里有N个质点，每个质点的质量都已知而且不会变化。

在初始时刻，所有质点的位置和速度都已知。

每个质点都只受到来自其它质点的万有引力，引力大小由牛顿的同距离平方成反比的公式描述。

要求解的就是，任意一个时刻，某个质点的位置。

N=2，就是二体问题。

N=3，也就是我们要说的三体问题了。

N=2的情况，早在牛顿时候就已经基本解决了。

学过中学物理后，大家都会知道，两个质点在一个平面上绕着共同质心作圆锥曲线运动，轨道可以是圆、椭圆、抛物线或者双曲线。

然而三体运动的情况就糟糕得多。

攻克二体问题后，牛顿很自然地开始研究三体问题，结果也是十分自然的——头痛难忍。

牛顿自述对付这种头痛的方法是：用布带用力缠紧脑袋，直至发晕为止—虽则这个办法治标不治本而且没多少创意，然而毕竟还是有效果的。

其实，三体运动已经是对物理实际简化得很厉害了。

比如说对质点，自转啦、形状啦我们统统不用考虑。

但是只要研究实际的地球运动，就已经比质点复杂得多。

比如说，地球别说不是点，连球形都不是，粗略看来是个赤道上胖出来一圈的椭球体。

于是，在月球引力下，地球的自转轴方向就不固定，北极星也不会永远是那一颗。

而考虑潮汐作用时，地球都不能看成是“硬”的了，地球自转也因此越来越慢。

然而即使是极其简化了的三体问题，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们为这个祭坛献上了无数脑汁也未能将它攻克。

当然，努力不会完全白费的，许多有效的近似方法被鼓捣了出来。

平动点轨道的动力学与控制研究综述

１３００宇航学报第３０卷解平动点附近相空间的框架。

事实上，关于周期轨道的寻找，可以追溯到非线性科学之父Ｐｏｉｎｃａｒ６，他曾认为周期轨道是解决三体问题的唯一办法ｐ３。

早期的研究仅限于平面情形，Ｓｔｒｆｉｍｇｒｅｎ找到了相应的周期轨道一ｏ，其中包括后文将涉及到的平面Ｌｙａ－ｐｕｎｏｖ轨道和大幅值逆行轨道；Ｍｏｕｈｏｎ在三维情形下研究了平动点附近的振荡运动旧１，并首先得到了后来被称为“Ｈａｌｏ轨道”的周期解和垂直Ｌｙａｐｕｎｏｖ轨道。

Ｈ６ｎｏｎ研究了平面轨道问题。

“，提出了“垂直稳定性指标”口．．用来判断平面轨道抵抗出平面扰动的能力；并指出Ｉ瓯Ｉ＝ｌ为平面轨道向三维情形分叉的临界点。

Ｂｏｂｉｎ和Ｍａｒｋｅｌｌｏｓ阐释了对称轨道（轴对称、面对称、双重对称）由二维向三维分叉的机理‘９１。

Ｚａｇｏｕｒａｓ和Ｋａｚａｎｔｚｉｓ研究了日一木系统共线型平动点附近的三维运动，由平面Ｌｙａｐｕｎｏｖ轨道分叉得到了Ｈａｌｏ轨道¨…。

Ｈｏｗｅｌｌ和Ｃａｍｐｂｅｌｌ研究了圆型限制性三体问题（ＣＲ３ＢＰ）的Ｈａｌｏ轨道的分叉情况，证明随着Ｊａｃｏｂｉ积分的增加，ｎ．周期（ｎ＝２，３，４，５，…）Ｈａｌｏ轨道会陆续出现。

“。

近百年来对周期轨道的研究过程中，连续、分叉等研究非线性动力学的有力工具也被逐步发展起来¨“。

到目前为止，关于周期轨道的探索已取得丰硕的成果，大量轨道簇被发现（见图１）。

图１ＣＲ３ＢＰ的周期轨道分叉图‘”１Ｆｉｇ．１ＴｈｅｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｓｏｆｐｅｒｉｏｄｉｃｏｒｂｉｔｓｉｎＣＲ３ＢＰ航天界对平动点的研究始于１９５０年，Ｃｌａｒｋｅ首先指出地月系厶点是实现月球背面通讯和广播的理想位置。

１４］。

Ｆａｒｑｕｈａｒ和Ｂｒｅａｋｗｅｌｌ认为实现月球背面与地球联系的最好方式是将卫星配置在￡：点附近的周期及拟周期轨道，并根据周期轨道的“晕”形状将其命名为“Ｈａｌｏ轨道”¨“。

Ｆａｒｑｕｈａｒ和Ｋａｍｅｌ研究了太阳引力下周期及拟周期轨道的高阶解析式（Ｆａｒｑｕｈａｒ—Ｋａｍｅｌ展开式）¨“。

三体系统运动规律及稳定性分析

三体系统运动规律及稳定性分析三体系统是指由三个天体组成的运动系统，这三个天体之间相互受到引力作用，相互影响彼此的运动轨迹。

三体问题是一个复杂而困难的物理问题，在天文学、力学等领域具有广泛的研究价值。

在三体问题中，主要研究天体的运动规律和系统的稳定性。

为了研究这一问题，我们需要引入一些基本的物理概念和数学方法。

首先，我们可以通过牛顿力学的运动方程来描述天体之间的相互作用力，即万有引力定律。

其次，我们可以使用质心系来描述系统的整体运动，通过定义质心坐标和质心动量来简化问题。

最后，我们可以通过数值模拟等方法来解决三体问题，以求得系统的运动轨迹和稳定性。

在研究三体系统的运动规律时，我们可以根据不同的初始条件和参数，得到不同的运动轨迹。

常见的运动形态包括：闭合轨道、周期轨道、混沌轨道等。

闭合轨道是指天体在一定的时间内重复运动轨迹，形成稳定的封闭曲线。

周期轨道是指天体在无限时间内重复运动轨迹，但不一定是闭合曲线。

而混沌轨道则是指天体的运动轨迹非常敏感于初始条件，表现出无规则、不可预测的运动形态。

在稳定性分析方面，我们可以通过判别确定性和混沌性来评估三体系统的稳定性。

确定性是指系统的运动规律能够由一组确定的初始条件完全确定，而不受微小扰动的影响。

混沌性则是指系统的微小扰动会导致运动轨迹的剧烈改变，表现出不可预测和敏感依赖于初始条件的特征。

对于稳定性分析，我们可以使用线性稳定性分析和非线性稳定性分析。

线性稳定性分析是指在给定初始条件附近进行小幅度线性扰动，通过求解线性化的运动方程来评估系统的稳定性。

非线性稳定性分析则是考虑系统的非线性效应，通过数值模拟等方法来研究系统的长期动力学行为。

三体系统的稳定性分析是一个复杂而有挑战性的问题。

在实际应用中，通过数值模拟等方法来研究三体系统的运动规律和稳定性是一种常用的手段。

这些方法的发展使得我们能够更加深入地理解三体系统的行为，探索宇宙中的奥秘。

总之，三体系统的运动规律和稳定性分析是非常繁琐而困难的问题，但也是极富挑战性和研究价值的。

限制性三体问题共线平动点相流结构研究

ｇｉｅｍ。ｍａｌｏ．
通信作者简介：言俊（９３），，士，授，士生导师，李１４一男博教博研
究方向：航、导与控制。导制
２７２２
科
学
技
术
与
工
程
１卷１
点垂直于，的超平面，对任意充分接近的则
⑥
பைடு நூலகம்
２１ＳｉｅｈＥｇｇ０ｃＴｃ．ｎｎ．１．
限制性三体问题共线平动点相流结构研究
张汉清李言俊张科孙小炜
（西北工业大学航天学院，西安７０７西安应用光学研究所西安７０６）１０２；，１０５
区域相流的扭转特性，后为了克服流形管道破裂然
的问题，设计了一种打靶方法，算并分析了相流计长期演化的转移特性。
空间物资运输方便，非常适于进一步的深空探且
测，是建立太空基地和星际航行港的最佳选择。Ｃｎｅｌ于１６ｏｌ】ｙ９８年研究了平动点附近的相流结构，为平动点轨道的不变流形将分离转移与非认转移轨道，而转移轨道即可用来构造地月之间的低能飞行轨道。同时，ｃｅｅ也研究了平动点附ＭＧｈｅ
１７０。
，
将所得截面曲线绘制于同一幅图中，２显图

受摄圆型限制性三体问题平动点渐近稳定性法则及应用

收稿日期：００—０２１５—１。２
基金项目：西省白然科学基金资助项目（５１２）江西省教育厅科技项Ｆ（Ｊ８７）江０１０５；１ＧＪ３７。０作者简介：云辉（９７一）男，师，士。易１７，讲硕
一
）～）＋＝０（）。Ｙ＋（（）２）＋（）＝０㈩（ｎ＋）
：：。
，
（
）＋（。
２：
＋
这里（
）＝（Ｆ）Ｉ。Ｆ， …
＝
一
０（，方程（）（）式得（Ｙ，）解２、３，）即可得受摄动
第３５卷第１期２１年２月０１
南昌大学学报（科版）理ＪｕｎｌｆａｅａｇＵｉｒｉ（ａｕａＳｉｃ）ｏｒａｏＮｎｈｎｎｖｓｙＮｔｒｌｃｎｅｅｔｅ
Ｖ０．５Ｎｏ１３．１Ｆｅ２ｂ．０１１
摘
要：用著名的霍尔维茨（ｕｗｔ）理，到ｒ受摄圆型限制性三体问题平动点稳定的一个判别条件，应用利Ｈｒｉ定ｓ得并
它讨论了与速度有关的外力摄动对圆型限制性三体问题三角平动点稳定性影响，进了文Ｉ的主要结论。改２中
Ｙ
十二＝＋，２Ｆ
（）１
后的平动点（，），。一易知系统（）的平动点（，）特征方程为１Ｙ

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xy
0
=
2 xy
0
xz
0
yz
0,
0
zz 0
1
r13
r23
0
令
A
zz
0
0,可将
z 方向的运动分离出来：
Z&& A Z
Z0cost, 2A
这是一个简谐振动的方程,所以在 z 方向的运动是稳定的.
3.5.1 变分方程与线性稳定性
在上述方程中将z自由度分离,只考虑关于X,YT的方程：
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z .
X,Y,Z是小量
代入运动方程：
d 2 x0 X
dt2
d 2
y0 Y dt
x
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
d 2 y 0 Y
dt2
d 2
x0 X
dt
y
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
x& v x ,
v&x
2vy
x
,
y& v y ,
v&y
2vx
y
,
z& v z ,
v&z
z
.
令方程组的右端全部为零则可解得平动点.
3.5.1 变分方程与线性稳定性
假定 m 稍微偏离一点平动点的位置 x0, y0, z0 T 到新的位置 x, y, z T ,其中：
0 0 0
xx
0
V&Y V&Z
yx
0
zx 0
0 0 0
xy 0 yy 0 zy 0
0 0 0
xz 0
yz 0
zz 0
1 0 0 0
2
0
0 1 0 2
0
0
0 0 1
X Y Z
0
V
X
0 0
V V
Y Z
在平动点有 z 0, 显然地：
d 2 z 0 Z
dt2
z
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
而上述方程组的右端可以在 x0, y0, z0 T 附近作展开 ,比如：
x
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
0 表示求导在 x 0 ,y 0 ,z 0 T 处进行
Yi cieit
可见 X & = A X 解 ( 由 X = B - 1 Y 给出 ) 的稳定性情况由系数矩阵 A 的特征根决定 .
3.5.1 变分方程与线性稳定性
考虑平动点的稳定性 ,系数矩阵为 :
0
0 1 0
0
0
0
1
A
x x 0
r15 0
x0 r25
0
1
y0
,
x பைடு நூலகம் 0
1
A
3
1
x0
r15 0
2
x0
12
r25 0
,
yy
0
1
A
3
1
r15 0
r25
0
y
2 0
.
其中
A
zz
0
1 r13
0
r
3 2
0
3.5.2 共线平动点线性稳定性
对共线平动点 ,有 y0 0,则
X&
Y&
VV& &YX
0
0
xx0
yx 0
0 0
xy 0 yy 0
1 0 0
2
1002VVYXYX
.
各变量之间有耦合关系
例如VX VX X,Y,VY
平动点是否稳定,可以从X,Y,Z随时间的变化情况反映.Z是稳定的,而X,Y
的动力学演化情况则由上述常微分方程决定.
一般地,一个关于向量XX1,X2,L,XnT的常微分方程可写成如下形式:
xx
0
yy 0
2
2
xx 0
yy
0
xy 0
0.
这个方程的根是容易求出的.
这是关于 2 的二次方程
3.5.1 变分方程与线性稳定性
为讨论平动点的稳定性 ,首先计算系数矩阵中的元素 :
xy
0
3
1
x0
x
0
X
x
x
0
Y
y
x
0
Z
z
x
0
高
阶
项
3.5.1 变分方程与线性稳定性
在上述方程中略去高阶项 ,考虑到平动点的性质 ,最终可以将关于 X ,Y , Z T
的方程写成一阶形式：
X&
Y&
Z&
V&X
Y&= BAB-1Y
X = B -1Y , X&= B -1Y&
并且其中的系数矩阵 Λ=BAB-1 是一个对角矩阵 :
B -1Y& AB -1Y
1 0 L 0
Λ =B A B -1
0
2
L
0
.
M M O M
0 0 L n
一般地,这样的变换矩阵 B 可以这样构造:
B = B1, B2,L , Bn ,
天体力学基础
第三章
限制性三体问题
3.5 平动点的线性稳定性
圆型限制性三体问题中 m的运动方程为：
&x&
2
y&
x
1 n 2 x 2 y 2 1 ,
2
r1 r2
&y&
2 x&
y
其中
r12 x y 2 z 2 ,
&z&
z
r
2 2
x
1
y2
z2.
该运动方程可以改写成一阶方程组的形式：
xy 0
0
2 .
yx 0 yy 0 2 0
特征根由下述方程给出
01
0
0
d e t
xx
0
xy 0
0
1
2 0
yx 0 yy 0 2
即
Axx AEx0 detAE 0为特征方程
由特征方程可以解出特征根
4
4
xy
0,
0
xx
0
1
2A,
特征根方程:
yy
1 A.
0
4 2 A 2 1 2A 1 A 0.
令 2 B 2 A, C 2 1 2A 1 A 0,方程成为 :
X &=AX.
A是nn矩阵
方程的解的情况由系数矩阵A决定.特别地,如果矩阵A是一个对角矩阵,该
方程的各个变量之间没有耦合关系,那么这个方程就可以解出来：
Adiag1,2,L,n X&i iXi Xi cieit i1,2,L,n
3.5.1 变分方程与线性稳定性
实际上,可以构造一个变换矩阵 B 使得 Y BX 从而将 X&= AX 变成
Y& BAB -1Y
若存在向量 x和数量使 Ax x 则 x为矩阵A的特征向量而为相应的特征根
其中的 Bi 是矩阵 A 的第 i 个特征向量,并且这样的构造使得对角矩阵 Λ 中的第i个对角元素是矩阵 A 的第i个特征根.
根据前述对角系数矩阵常微分方程解的情况,Y&= BAB-1Y ΛY 的解是: