第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质

也得一个新的正项级数，记为 n .

un un 即 n 2
{
un，当un 0时 0, 当un 0时
n 1
.
2
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论:
(1).若级数 un绝对收敛,
则级数 vn和 n都收敛;
n 1
证毕
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
梅尔腾斯（Mertens）定理：
若级数 un与 vn中仅有一个绝对收敛， 其和为A，
另一个是条件收敛，其和为B， 则它们的柯西乘积所组成的级数仍收敛，其和为AB.
n 1 n 1
定理2和定理3指出，绝对收敛级数具有和 普通有限项和数相仿的两个运算性质---交换律 和分配律成立.
（）先证 1 证明： un为收敛的正项级数（必绝对收敛）情形.
n1


n 1

n 1
n 1
n 1
的部分和Sk ， 考虑它的更序级数 un

un1 , u2 un2 ,, uk unk , 由u1
所以取n大于所有下标 n1 , n2 ,nk 后, 应有
由于级数 un和 vn都绝对收敛，所以 U*，V*都有界.
n 1 n 1


* 另外 S n u n1 vm1 u n2 vm2 u nn vmn
（u1 u2 u ）（v1 v2 v ）
U* V*，
* 即Sn 有界，这证明了级数 n绝对收敛. n 1
n 1
n 1 n 1

(2).若级数 un条件收敛,
n 1
则级数 vn和 n都发散.
n 1 n 1


级数 un的敛散性，对级数 vn和 n敛散性的影响.
n 1 n 1 n 1



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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
证明： （）若级数 1 un绝对收敛，
1 1 1 1 1 1 3 从而1 S， 3 2 5 7 4 9 2
1 1 1 1 1 1 3 1 0 0 0 S， 3 2 5 7 4 9 2
两者虽然都收敛，但其和数却不同. 2015年8月30日星期日 10
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
n 1 n 1 n 1



所有正项和所有负项所组成的级数，
由定理1知，
这两个级数都收敛.
设它们的和分别为V 和W , 则有
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u V W , u V W. 由(1)知 u 的更序级数 u 有 u V W , 即更序级数 u 绝对收敛.

由收敛级数基本性质知 ，加括号不影响和的数 值.
记级数 un , vn 部分和分别为U n ,Vn .
级数 an 部分和为An ,
n 1
n 1
n 1
则有An U nVn ,
n
于是 lim An = lim(U nVn ) UV ,

n
这就证明了 an UV .
关于条件收敛级数,有如下性质:
黎曼定理:
若级数 un条件收敛，则总可以适 当更换原来
n 1

级数的次序而组成一个 级数， 使它收敛于任何预先给 定的数S（包括情形） .
证明思路:(略)
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
二.级数的乘法运算:
解决的问题是在什么条件下,两个级数相乘可以像有 限和一样逐项相乘.
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
正 方 形 法
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
定理3 (柯西定理):
若级数 un和 vn都绝对收敛，
n 1 n 1


其和分别为U，V，
则它们各项之积ui v （ ， 2， 3） k i，k 1
按照任何方法排列所构成的级数 也绝对收敛，且其和为UV .
1 1 1 1 1 S 得 ， 2 2 4 6 8 2 1 1 1 1 S 0 0 0 0 ， 将它和第一个级数对应 项相加得 2 4 6 8 2 两端乘以
注意：
定理对条件收敛级数不一定成立.
n 1 （ 1 ） 这个级数正是第一个级 数 的更序级数， n n 1
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
例 级数1 q q 2 q n
1 （q 1)绝对收敛, 1 q
则这个级数自乘积为
1 2q 3q nq
2 n 1

n 1
1 . 2 （ 1 q）
作业：p 43、1

由vn，n表达式知： 0 vn un ， 0 n un ，
按比较判别法，级数 vn和n都收敛.
n 1 n 1
n 1
（2）若级数 un条件收敛，（反证法） .
n 1

做与（2）结论相反的反面假设：
假设 vn和 n中至少有一个收敛,
n
定理1: 若对级数 un， 将它所有正项保留而负项换为0， 此 定 理 揭 示 的 规 律 ？
n 1

得一个新的正项级数，记为 vn .
n 1
un un un，当un 0时 { 即 vn ， 0, 当un 0时 2
将它所有负项变号(乘以 1)而将正项换为0,
n n
记 max （n1，m1，n2，m2， nn，mn），
又记U* u1 u2 u ，即 un 的部分和，
V* v1 v2 v ，即 vn 的部分和.
n1
k 1
k 1

n 1
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
设两个收敛级数 un与 vn， 仿照有限和的乘法规则，
n 1 n 1


这两个级数的项的所有 可能成对的乘积，
记为 ui v （ ，k 1 ， 2， 3），这些乘积表示为： k i u1v1，u1v2， ，u1vi， u2v1，u2v2， ，u2vi， uk v1，uk v2， ，uk vi，
vn n ， 而un
n 1 n 1




n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n ） 所以 un （vn V W un .
n 1

证毕
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
1 1 1 如莱布尼茨级数 1 S是条件收敛的， 2 3 4
n 1
u1 u2 uk u1 u2 un Sn . Sk
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
又由于正项级数 un =S，k有S k S，
n 1

故根据正项级数收敛基 本定理，
也收敛, 其和为S， 且有S S. 更序级数 un
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
引
言
对于任意项级数，我们给出绝对收敛 与条件收敛的概念，无论是绝对收敛级数 还是条件收敛级数,都具有本章第二节所 给出的1-4个性质,除此而外,对于这两种 不同的收敛级数,还具有各自不同的重要 性质.本节分别进行简单介绍和讨论.
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
以下再证明这个和数恰 为UV .
考虑由正方形法排列所 构成的级数，并加括号 如下
a
n 1

n
u1v1 （u1v2 u2v2 u2v1）
（u1v3 u2v3 u3v3 u3v2 u3v1） ，
n 1

这与已知条件矛盾 .故得证.
下面的定理2将涉及到一个概念 更序级数：一个级数把它的项重新排列后
得到的新级数称为原来级数的更序级数。
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
定理2： 绝对收敛级数 un的更序级数 un 仍为绝对收敛，
且其和相同， un un . (绝对收敛级数可重排性)
n 1 n

§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质

n 1
n

n 1

n
n 1
n
n 1
n
再设级数 vn和 n的更序级数 分别为 vn 和 n ，
n 1 n 1
n 1
n


由（）知 1 vn vn V， n n W，
不妨假设 vn收敛,
n 1

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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
则由于n vn un , 知 n也必收敛.
又由un vn n , 所以 un vn n ,
n 1 n 1 n 1

n 1


得知 un 绝对收敛,
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
证明: 用1 , 2 ,n ,表示按某一种次序