离散数学(软件)课程第14章
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大连理工大学软件学院离散数学习题答案
目录第一章命题逻辑 (2)第二章谓词逻辑 (9)第三章集合论习题答案 (13)第四章二元关系习题答案 (21)第五章函数习题答案 (42)第六章代数系统习题答案 (51)第七章群与环习题答案 (57)第八章格与布尔代数习题答案 (66)第九章图的基本概念及其矩阵表示 (71)第十章几种图的介绍 (82)第十一章树 (90)第一章命题逻辑1.（1）不是命题；（2）不是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）是命题；2.（1）并非大连的每条街都临海；（2）2不是一个偶数或者8不是一个奇数；（3）2不是偶数并且-3不是负数；3.（1）逆命题：如果我去公园，那么天不下雨。
否命题：如果天下雨，我将不去公园。
逆否命题：如果我不去公园，那么天下雨。
（2）逆命题：如果我逗留，那么你去。
否命题：如果你不去，那么我不逗留。
逆否命题：如果我不逗留，那么你不去。
（3）逆命题：如果方程无整数解，那么n是大于2的正整数。
否命题：如果n不是大于2的正整数，那么方程有整数解。
逆否命题：如果方程有整数解，那么n不是大于2的正整数。
（4）逆命题：如果我不能完成这项任务，那么我不获得更多的帮助。
否命题：如果我获得更多的帮助，则我能完成这项任务。
逆否命题：如果我能完成这项任务，则我获得更多的帮助。
4.（1）T；（2）T；（3）T；（4）F；5.6.（1）P:他聪明；Q:他用功；命题：P∧Q。
（2）P:天气好；Q:我骑车上班；命题：Q→P。
（3）P:老李是球迷；Q:小李是球迷；命题：P∨Q。
（4）P:休息好；Q:身体好；命题：Q→P。
7.8.9.（1）（P∧Q）→R；（2）┓P；（3）（┓P∧┓Q）→┓R10.不依赖于命题变元的真值指派，而总取T（1）的命题公式，称为重言式（永真式）；不依赖于命题变元的真值指派，而总取F（0）的命题公式，称为永假式（矛盾式）；至少存在一组真值指派使得命题公式取值为T的命题公式称为可满足的。
本题可用真值表求解：（4）得真值表如下：1，故为重言式。
离散数学(第十四章)
8
实例
强连通
单连通
弱连通
二部图
定义14.23 设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分 图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G 记为<V1,V2,E>.
m 2 ( j 1,2,...,m ) ( 2) m d ( v ) ( i 1, 2,...,n) ( 3) m 2m
n i 1 m ij j 1 ij i ij i, j
(4) 平 行 边 的 列 相 同
13
无向图的关联矩阵
例如 M(G)=
211000 010111 000011 000000 001100
1. 删除顶点及删除边 Gv ——从G中将v及关联的边去掉 GV——从G中删除V中所有的顶点 Ge ——将e从G中去掉 GE——删除E中所有边 2. 点割集与边割集 点割集与割点 定义14.16 G=<V,E>, VV V为点割集——p(GV)>p(G)且有极小性 v为割点——{v}为点割集 定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
6
有向图的连通性
定义14.20 D=<V,E>为有向图 vi vj（vi 可达 vj）——vi 到vj 有通路 vi vj（vi 与vj 相互可达） 性质 具有自反性(vi vi)、传递性 具有自反性、对称性、传递性 vi 到vj 的短程线与距离 类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同 (无向图中d(vi,vj)，有向图中d<vi,vj>) 及 d<vi,vj>无对称性
实例
强连通
单连通
弱连通
二部图
定义14.23 设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分 图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G 记为<V1,V2,E>.
m 2 ( j 1,2,...,m ) ( 2) m d ( v ) ( i 1, 2,...,n) ( 3) m 2m
n i 1 m ij j 1 ij i ij i, j
(4) 平 行 边 的 列 相 同
13
无向图的关联矩阵
例如 M(G)=
211000 010111 000011 000000 001100
1. 删除顶点及删除边 Gv ——从G中将v及关联的边去掉 GV——从G中删除V中所有的顶点 Ge ——将e从G中去掉 GE——删除E中所有边 2. 点割集与边割集 点割集与割点 定义14.16 G=<V,E>, VV V为点割集——p(GV)>p(G)且有极小性 v为割点——{v}为点割集 定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
6
有向图的连通性
定义14.20 D=<V,E>为有向图 vi vj（vi 可达 vj）——vi 到vj 有通路 vi vj（vi 与vj 相互可达） 性质 具有自反性(vi vi)、传递性 具有自反性、对称性、传递性 vi 到vj 的短程线与距离 类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同 (无向图中d(vi,vj)，有向图中d<vi,vj>) 及 d<vi,vj>无对称性
《离散数学(软件)》教学大纲
《离散数学（软件）》课程教学大纲课程编号：18084制定单位：用友软件学院制定人（执笔人）：赵晓平审核人：尹爱华制定（或修订）时间：2010年8月20日江西财经大学教务处《离散数学》课程教学大纲一、课程总述二、教学时数分配三、单元教学目的、教学重难点和内容设置绪论【教学目的】使学生了解学习离散数学的目的和意义，同时掌握离散数学的学习方法。
【重点难点】怎样学习离散数学。
【教学内容】1、《离散数学》学什么；2、为什么学习《离散数学》；3、怎样学习《离散数学》。
命题逻辑的基本概念【教学目的】掌握命题的概念及其表示法，掌握五个联结词的概念及性质、真值表，理解原子命题、复合命题，掌握命题公式与翻译，掌握命题公式的生成及利用真值表对命题公式的判定，了解其它联结词。
【重点难点】重点：命题和命题公式、五个联结词的性质、真值表。
难点：命题的翻译。
【教学内容】命题与联结词命题公式及其赋值命题逻辑等值演算【教学目的】熟悉掌握常用的命题等价公式和蕴涵公式，命题公式的等价公式，重言式与蕴含式推理理论，掌握小项与大项的定义及其性质，熟练掌握求一个命题公式的主析取公式和主合取范式，了解联结词的完备集。
【重点难点】重点：命题公式的等值演算，等价公式、重言式与蕴含式的性质，命题公式的范式。
难点：求命题公式的主析取公式和主合取范式。
【教学内容】等值式析取范式与合取范式联结词的完备集命题逻辑的推理理论【教学目的】了解推理的形式结构，理解推理理论的有效结论，了解判别有效结论的方法，掌握自然推理系统，理解掌握P规则、T规则、CP规则进行命题演算的推理。
【重点难点】重点：推理的形式结构和自然推理系统。
难点：命题的推理理论和方法。
【教学内容】推理的形式结构自然推理系统P一阶逻辑基本概念【教学目的】掌握谓词与量词的概念，掌握约束变元与自由变元的概念，了解命题逻辑的知识和命题逻辑与谓词逻辑的联系与区别。
理解命题函数、复合命题函数的概念，掌握谓词公式的翻译。
西北工业大学《离散数学》课件-第14章
{a} {a}{b} {b{}a,b{}a,b} x x ∼x ∼x {a} {a}{b} {b}{a,b{}a,b} {a,b{}a,b} {a} {a} {a} {a} {a.b{}a.b{}b} {b} {a} {a} {a} {a} {b} {b} {b} {b{}a,b{}a,b} {a} {a} {b} {b} {b} {b} {a,b{}a,b}{a,b{}a,{bb}} {b}{a} {a} {a,b{}a,b}
的逆元
12
实例
集合 运算
Z,Q,R 普通加法+ 普通乘法
单位元
0 1
零元 无 0
Mn(R) P(B)
矩阵加法+ 矩阵乘法
并 交 对称差
n阶全0矩阵 n阶单位矩阵
B
无 n阶全0
矩阵
B 无
逆元
x逆元x x逆元x1 (x1给定集合)
X逆元X X的逆元X1 （X可逆）
的逆元为 B的逆元为B X的逆元为X
交与对称差 对可分配 无
10
特异元素：单位元、零元
定义14.7-9 设◦为S上的二元运算, (1) 如果存在el (或er)S，使得对任意 x∈S 都有
el◦x = x (或 x◦er = x)， 则称el (或er)是S中关于◦运算的左(或右)单位元. 若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上 关于◦运算的单位元. 单位元也叫做幺元.
2
14.1 代数系统的基本概念
定义14.1 设S为集合，函数f：SSS 称为S上的二元运算， 简称为二元运算．函数 f:S→S 称为S上的一元运算，简 称一元运算. S 中任何元素都可以进行运算，且运算的结果惟一． S 中任何元素的运算结果都属于 S，即 S 对该运算封闭．
的逆元
12
实例
集合 运算
Z,Q,R 普通加法+ 普通乘法
单位元
0 1
零元 无 0
Mn(R) P(B)
矩阵加法+ 矩阵乘法
并 交 对称差
n阶全0矩阵 n阶单位矩阵
B
无 n阶全0
矩阵
B 无
逆元
x逆元x x逆元x1 (x1给定集合)
X逆元X X的逆元X1 （X可逆）
的逆元为 B的逆元为B X的逆元为X
交与对称差 对可分配 无
10
特异元素：单位元、零元
定义14.7-9 设◦为S上的二元运算, (1) 如果存在el (或er)S，使得对任意 x∈S 都有
el◦x = x (或 x◦er = x)， 则称el (或er)是S中关于◦运算的左(或右)单位元. 若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上 关于◦运算的单位元. 单位元也叫做幺元.
2
14.1 代数系统的基本概念
定义14.1 设S为集合，函数f：SSS 称为S上的二元运算， 简称为二元运算．函数 f:S→S 称为S上的一元运算，简 称一元运算. S 中任何元素都可以进行运算，且运算的结果惟一． S 中任何元素的运算结果都属于 S，即 S 对该运算封闭．
离散数学-近世代数-代数结构
添加标题
例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。
添加标题
是否满足交换律？
添加标题
单位元( 幺元)
一个代数系统(S，*)， 若存在一个元素eU，使得对 xS，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。 注意： 单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。
解： 作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a
a
b
c
d
a
b
b
b
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b
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a
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c
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c
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*
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1
设代数系统V1=(A1，*)，V2=(A2，º)， 其中A1={1，2，3，4}， A2={a，b，c，d}， * 和 º 的运算分别如下表，V1 和 V2 是否同构？
等幂律
设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。 例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？ 解：对于任意的A p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。
性质、定理
定理 一个代数系统，其零元若存在，则唯一。 定理 一个代数系统(S，)，若集合 A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元θ，则θe。 证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有 x = ex = θx =θ= e， 即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。
例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。
添加标题
是否满足交换律？
添加标题
单位元( 幺元)
一个代数系统(S，*)， 若存在一个元素eU，使得对 xS，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。 注意： 单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。
解： 作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a
a
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设代数系统V1=(A1，*)，V2=(A2，º)， 其中A1={1，2，3，4}， A2={a，b，c，d}， * 和 º 的运算分别如下表，V1 和 V2 是否同构？
等幂律
设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。 例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？ 解：对于任意的A p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。
性质、定理
定理 一个代数系统，其零元若存在，则唯一。 定理 一个代数系统(S，)，若集合 A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元θ，则θe。 证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有 x = ex = θx =θ= e， 即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。
离散数学第14章课件PPT-高等教育出版社-屈婉玲-耿素云-张立昂主编(高等教学)
支，其个数 p(G)=k (k1)； k=1，G连通
行业材料
21
短程线与距离
(3) 短程线与距离 ① u与v之间的短程线：uv，u与v之间长度最短的通路 ② u与v之间的距离：d(u,v)——短程线的长度 ③ d(u,v)的性质： d(u,v)0, u≁v时d(u,v)= d(u,v)=d(v,u) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
易知，强连通单向连通弱连通
判别法 定理14.8 D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次 的回路 定理14.9 D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一 次的通路
行业材料
27
二部图
定义14.23 设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分 图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G 记为<V1,V2,E>. 又若G是简单二部图，V1中每个顶点均与V2中所有的顶点相 邻，则称G为完全二部图，记为 Kr,s，其中r=|V1|，s=|V2|.
vV
vV1
vV2
由于2m, d(v) 均为偶数，所以 d(v) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
行业材料
10
握手定理应用
例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余 顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？
解 本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则
i 1
i 1
i 1
本定理的证明类似于定理14.1
行业材料
21
短程线与距离
(3) 短程线与距离 ① u与v之间的短程线：uv，u与v之间长度最短的通路 ② u与v之间的距离：d(u,v)——短程线的长度 ③ d(u,v)的性质： d(u,v)0, u≁v时d(u,v)= d(u,v)=d(v,u) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
易知，强连通单向连通弱连通
判别法 定理14.8 D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次 的回路 定理14.9 D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一 次的通路
行业材料
27
二部图
定义14.23 设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分 图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G 记为<V1,V2,E>. 又若G是简单二部图，V1中每个顶点均与V2中所有的顶点相 邻，则称G为完全二部图，记为 Kr,s，其中r=|V1|，s=|V2|.
vV
vV1
vV2
由于2m, d(v) 均为偶数，所以 d(v) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
行业材料
10
握手定理应用
例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余 顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？
解 本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则
i 1
i 1
i 1
本定理的证明类似于定理14.1
离散数学第14讲
1
知识回顾
定义 为集合， 中元素为第一元素， 中 设A，B为集合，用A中元素为第一元素，B中 ， 为集合 中元素为第一元素 元素为第二元素构成有序对。 元素为第二元素构成有序对。所有这样的有 序对组成的集合叫做A和 的笛卡儿积， 序对组成的集合叫做 和B的笛卡儿积，记 作A×B。 × 。 笛卡儿积的符号化表示为： 笛卡儿积的符号化表示为： A × B={<x,y>|x ∈ A ∧ y∈ B} ∈
OBVIOUS: R是A上的传递关系 R。R ⊆ R 是 上的传递关系 。
7
知识回顾
等价关系与划分
是非空集合A上的关系 是自反的、 定义 设R是非空集合 上的关系。若R是自反的、对称的 是非空集合 上的关系。 是自反的 和传递的，则称R是A上的等价关系。 和传递的，则称 是 上的
是非空集合A上的等价关系 定义 设R是非空集合 上的等价关系， ∀x∈A，令 是非空集合 上的等价关系， ， [x]R={y| y ∈ A ∧ xRy} 称 [x]R为x关于 的等价类，简称为x的等价类，简记为[x]或x。 关于R的等价类，简称为 的等价类，简记为 或 。 关于 的等价类 是非空集合A上的等价关系 定义 设R是非空集合 上的等价关系，以R的所有等价类作 是非空集合 上的等价关系， 的所有等价类作 为元素的集合称为A关于 的商集，记作A/R，即 为元素的集合称为 关于R的商集，记作 关于 ， A/R={[x]R| x ∈ A }
证明： 证明：
设A={x1, x2 ,…, xn},构造相容类序列 构造相容类序列 构造 C0 ⊂ C1 ⊂ C2 ⊂… ⊂ Cn，其中 0 =C 其中C 其中k是满足 不属于C 是满足x 且Ci+1 = Ci ∪{xk} ，其中 是满足 k不属于 i而xk与Ci中 各元素都有相容关系的最小下标。 各元素都有相容关系的最小下标。 由于A的元素个数有限 所以至多经过n-|C|步，就可 的元素个数有限， 由于 的元素个数有限，所以至多经过 步 使此过程结束，此时的相容类就是要找的最大相容 使此过程结束，此时的相容类就是要找的最大相容 类。
离散数学刘任任版第14章答案.ppt
x 和y 的作用域： (R(x, y) Q(x, z)
x 的作用域： H (x, y)
5．设谓词公式。判定以下改名是否正确 ：
x (P(x, y) Q(x, z))
(1)u(P(u, y) Q(x, z))
错误
(2)u(P(u, y) Q(u, z))
正确
(3) x(P(u, y) Q(u, z))
x0 D或y0 D, 使得G（x0,y）或G（x, y0）为假，
于是，此xo或yo亦弄假 yxG(x, y)
（2） xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。
（a)若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下,有
8．
• (1) x(G(x) H ) xG(x) H
• (2) x(G(x) H ) xG(x) H
• 证明（1）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
• 证明（2）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x)) (4)如果明天天气好, 有一些学生将去公园. 解 : P(x) : x是公园, S(x) : x是学生,W :明天天气好. W x(P(x) S(x))
离散数学
习题解答
1、
x 的作用域： H (x, y)
5．设谓词公式。判定以下改名是否正确 ：
x (P(x, y) Q(x, z))
(1)u(P(u, y) Q(x, z))
错误
(2)u(P(u, y) Q(u, z))
正确
(3) x(P(u, y) Q(u, z))
x0 D或y0 D, 使得G（x0,y）或G（x, y0）为假，
于是，此xo或yo亦弄假 yxG(x, y)
（2） xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。
（a)若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下,有
8．
• (1) x(G(x) H ) xG(x) H
• (2) x(G(x) H ) xG(x) H
• 证明（1）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
• 证明（2）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x)) (4)如果明天天气好, 有一些学生将去公园. 解 : P(x) : x是公园, S(x) : x是学生,W :明天天气好. W x(P(x) S(x))
离散数学
习题解答
1、
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G的最大度(G)=max{d(v)| vV} G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
(G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环。
11
设D=<V,E>为有向图, vV, v的出度d(v)：v作为边的始点次数之和 v的入度d+(v)：v作为边的终点次数之和 v的度数(度) d(v)：v作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v)
接于vi .
vi
vj
定义 标定图：顶点或边带标记。
非标定图：顶点或边不带标记。
如
a
c
b
d
7
4、邻域和关联集
设无向图G, vV(G)
v的邻域
v的闭邻域
v的关联集
先
v
后
设有向图D, vV(D) 驱
继
v的后继元集
v的先驱元集
v的邻域
v的闭邻域
8
5、多重图与简单图
定义 (1)平行边： 在无向图中,关联同一对顶点的无向边多于1条. 在有向图中,关联同一对顶点的有向边多于1条， 且这些边的始点和终点相同(同向)。 重数：平行边的条数.
5
3、顶点和边的关联与相邻
定义 设ek=(vi, vj)是无向图G=<V,E>的一条边, 称vi, vj 为ek的端点, ek与vi ( vj)关联. 若vi vj, 则称ek与vi ( vj) 的关联次数为1;若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关联次数为2; 若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关联 次数为0. 无边关联的顶点称作孤立点.
定义 设无向图G=<V,E>, vi,vjV, ek,elE, 若(vi,vj) E,
则称vi,vj相邻; 若ek,el至少有一个公共端点, 则称
ek,el相邻. vi
vj
(vi,vj)
ek el
6
对有向图有类似定义. 设ek=vi,vj是有向图的一条
边,又称vi是ek的始点, vj是ek的终点, vi邻接到vj, vj邻
D的最大出度(D), 最小出度(D) 最大入度+(D), 最小入度+(D) 最大度(D), 最小度(D)
例如 d(a)=4, d+(a)=1, d(a)=5, d(b)=0, d+(b)=3, d(b)=3,
(D)=4, (D)=0, +(D)=3, +(D)=1, (D)=5, (D)=3.
12
例 如图，V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
2
有向图 D=<V,E>, 其中 (1) V同无向图的顶点集, 元素也称为顶点. (2) E是笛卡尔积VV的多重子集， 其元素称为有向边，简称边.
如右图，试写出它的V和E。
注意：图的数学定义与图形表示，在同构的意义 下是一一对应的。
3
一般地，用小圆圈（或实心点）表示顶点，用 顶点间的连线表示无向边，用有方向的连线表示 有向边。如
u
vu
v
(u, v)
(起点) <u, v> (终点)
例1 设D=<V, E>，V={a, b, c, d, e}，E={<a, a>, <a, b>, <a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>, <d, b>}，画图。42、几个特殊的图
通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图, 用ek表示无向边或有向边. V(G), E(G) —表示图G的顶点集, 边集. |V(G)|, |E(G)| —表示图G的顶点数集（阶）和边数. n 阶图：n个顶点的图 有限图：V, E都是有穷集合的图 零图：E= 平凡图：1 阶零图 空图：V= 基图：用无向边代替D的所有有向边所得到的无向 图称作D的基图。
14
8、图的度数列
(1) 设无向图G的顶点集V={v1, …, vn} G的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数列:4,4,2,1,3
(2) 设有向图D的顶点集V={v1, v2, …, vn} D的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D的出度列: d(v1), …, d(vn) D的入度列: d+(v1), …, d+(vn)
2·x=2×16 ∴ x=16 (2) 21条边, 3个4度的顶点, 其余顶点的度数均为3。 解：设顶点数为x，由握手定理，有
4×3+3×(x-3)=2×21 ∴ x=13 (3) 24条边，每个顶点的度数均相同。 解：设顶点数为x，顶点的度数为y，则x·y= 2×24
∴整数解(x, y)有：(2, 24), (24, 2), (3, 16), (16, 3), (4, 12), (12, 4), (6, 8), (8, 6) 8种。
第十四章 图的基本概念
14.1 图
无向图与有向图 几个特殊的图 顶点和边的关联与相邻 邻域和关联集 简单图与多重图 顶点的度数
握手定理 图的度数列 图的同构 完全图与正则图 子图 补图
1
1、无向图与有向图
多重集合：元素可以重复出现的集合。 无序积：AB={(x,y) | xAyB} 。 无向图 G =<V,E>, 其中 (1) V为顶点集，元素称为顶点. (2) E为VV的多重子集，其元素 称为无向边，简称边.
(2) 简单图：既无平行边也无环的图. (3) 多重图：含平行边的图.
注意：简单图是极其重要的概念
9
例2
e5和e6 是平行边 重数为2
不是简单图
e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7 不是平行边 不是简单图
10
6、顶点的度数
设G=<V, E>为无向图, vV, v的度数(度) d(v)：v作为边的端点次数之和 悬挂顶点：度数为1的顶点 悬挂边：与悬挂顶点关联的边
7、图论的基本定理—握手定理
定理 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都 等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之 和等于出度之和等于边数.
d(v) 2m d(v) d(v) m
推论 在任何无向图和有向图中，奇度顶点的个数 必为偶数.
13
例3 下列各图中各有多少个顶点？ (1) 16条边，每个顶点的度数均为2。 解：设顶点数为x，由握手定理，有
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
(G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环。
11
设D=<V,E>为有向图, vV, v的出度d(v)：v作为边的始点次数之和 v的入度d+(v)：v作为边的终点次数之和 v的度数(度) d(v)：v作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v)
接于vi .
vi
vj
定义 标定图：顶点或边带标记。
非标定图：顶点或边不带标记。
如
a
c
b
d
7
4、邻域和关联集
设无向图G, vV(G)
v的邻域
v的闭邻域
v的关联集
先
v
后
设有向图D, vV(D) 驱
继
v的后继元集
v的先驱元集
v的邻域
v的闭邻域
8
5、多重图与简单图
定义 (1)平行边： 在无向图中,关联同一对顶点的无向边多于1条. 在有向图中,关联同一对顶点的有向边多于1条， 且这些边的始点和终点相同(同向)。 重数：平行边的条数.
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3、顶点和边的关联与相邻
定义 设ek=(vi, vj)是无向图G=<V,E>的一条边, 称vi, vj 为ek的端点, ek与vi ( vj)关联. 若vi vj, 则称ek与vi ( vj) 的关联次数为1;若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关联次数为2; 若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关联 次数为0. 无边关联的顶点称作孤立点.
定义 设无向图G=<V,E>, vi,vjV, ek,elE, 若(vi,vj) E,
则称vi,vj相邻; 若ek,el至少有一个公共端点, 则称
ek,el相邻. vi
vj
(vi,vj)
ek el
6
对有向图有类似定义. 设ek=vi,vj是有向图的一条
边,又称vi是ek的始点, vj是ek的终点, vi邻接到vj, vj邻
D的最大出度(D), 最小出度(D) 最大入度+(D), 最小入度+(D) 最大度(D), 最小度(D)
例如 d(a)=4, d+(a)=1, d(a)=5, d(b)=0, d+(b)=3, d(b)=3,
(D)=4, (D)=0, +(D)=3, +(D)=1, (D)=5, (D)=3.
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例 如图，V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
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有向图 D=<V,E>, 其中 (1) V同无向图的顶点集, 元素也称为顶点. (2) E是笛卡尔积VV的多重子集， 其元素称为有向边，简称边.
如右图，试写出它的V和E。
注意：图的数学定义与图形表示，在同构的意义 下是一一对应的。
3
一般地，用小圆圈（或实心点）表示顶点，用 顶点间的连线表示无向边，用有方向的连线表示 有向边。如
u
vu
v
(u, v)
(起点) <u, v> (终点)
例1 设D=<V, E>，V={a, b, c, d, e}，E={<a, a>, <a, b>, <a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>, <d, b>}，画图。42、几个特殊的图
通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图, 用ek表示无向边或有向边. V(G), E(G) —表示图G的顶点集, 边集. |V(G)|, |E(G)| —表示图G的顶点数集（阶）和边数. n 阶图：n个顶点的图 有限图：V, E都是有穷集合的图 零图：E= 平凡图：1 阶零图 空图：V= 基图：用无向边代替D的所有有向边所得到的无向 图称作D的基图。
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8、图的度数列
(1) 设无向图G的顶点集V={v1, …, vn} G的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数列:4,4,2,1,3
(2) 设有向图D的顶点集V={v1, v2, …, vn} D的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D的出度列: d(v1), …, d(vn) D的入度列: d+(v1), …, d+(vn)
2·x=2×16 ∴ x=16 (2) 21条边, 3个4度的顶点, 其余顶点的度数均为3。 解：设顶点数为x，由握手定理，有
4×3+3×(x-3)=2×21 ∴ x=13 (3) 24条边，每个顶点的度数均相同。 解：设顶点数为x，顶点的度数为y，则x·y= 2×24
∴整数解(x, y)有：(2, 24), (24, 2), (3, 16), (16, 3), (4, 12), (12, 4), (6, 8), (8, 6) 8种。
第十四章 图的基本概念
14.1 图
无向图与有向图 几个特殊的图 顶点和边的关联与相邻 邻域和关联集 简单图与多重图 顶点的度数
握手定理 图的度数列 图的同构 完全图与正则图 子图 补图
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1、无向图与有向图
多重集合：元素可以重复出现的集合。 无序积：AB={(x,y) | xAyB} 。 无向图 G =<V,E>, 其中 (1) V为顶点集，元素称为顶点. (2) E为VV的多重子集，其元素 称为无向边，简称边.
(2) 简单图：既无平行边也无环的图. (3) 多重图：含平行边的图.
注意：简单图是极其重要的概念
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例2
e5和e6 是平行边 重数为2
不是简单图
e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7 不是平行边 不是简单图
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6、顶点的度数
设G=<V, E>为无向图, vV, v的度数(度) d(v)：v作为边的端点次数之和 悬挂顶点：度数为1的顶点 悬挂边：与悬挂顶点关联的边
7、图论的基本定理—握手定理
定理 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都 等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之 和等于出度之和等于边数.
d(v) 2m d(v) d(v) m
推论 在任何无向图和有向图中，奇度顶点的个数 必为偶数.
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例3 下列各图中各有多少个顶点？ (1) 16条边，每个顶点的度数均为2。 解：设顶点数为x，由握手定理，有