浙江省杭州市高一下期末数学试卷(有答案)
2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={0,1,2}，B={x|1<x≤2}，则A∩B=( )A. {2}B. {1,2}C. {0}D. {0,1,2}2.已知复数z在复平面内对应的点是(0,1)，则1+iz=( )A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3.密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0−07”，478密位写成“4−78”.1周角等于6000密位，记作1周角=60−00，1直角=15−00.如果一个半径为3的扇形，它的面积为3π，则其圆心角用密位制表示为( )A. 10−00B. 20−00C. 30−00D. 40−004.已知l，m是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列结论正确的是( )A. 若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则α⊥βB. 若l⊥m，m//α，则l⊥αC. 若α∩β=l，m⊂α，l//m，则m//βD. 若l⊂α，m⊂β，α//β，则l//m5.已知a1，a2，…，a n是单位平面向量，若对任意的1≤i<j≤n(n∈N∗)，都有a i⋅a j<12，则n的最大值为( )A. 3B. 4C. 5D. 66.已知△ABC的三个内角A、B、C满足sin2B=3sin2A−2sin2C，当sinA的值最大时，sin2Bsin2C的值为( )A. 2B. 1C. 12D. 147.如图，在三棱锥S−ABC中，SA=SC=AC=22，AB=BC=2，二面角S−AC−B的正切值是2，则三棱锥S−ABC外接球的表面积是( )A. 12πB. 4πC. 43ππD. 4338.已知函数f(x)={e|x−2|,x>0−x2−2x+1,x≤0，则下列结论正确的是( )A. 函数y=f(x)−x有两个零点B. 若函数y=f(x)−t有四个零点，则t∈[1,2]C. 若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=1)D. 若关于x的方程f2(x)−3f(x)+α=0有8个不等实根，则α∈(2,94二、多选题：本题共3小题，共18分。
新编浙江省杭州市高一下期末数学试卷(有答案)
浙江省杭州市高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．26．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．712．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．420．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故选：A【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，求得x=，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），且∥，∴﹣1m﹣2n=0∴=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1，∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0∴函数在（1，2）上有唯一的零点故选：B．【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1，=，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；对于B，函数是偶函数，故不正确；对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确故选：D．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]，所以向量，的夹角为；故选：A．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；∴x2=0，x≠0时显然不成立；∴该选项错误；C．f（x）的对称轴为x=；当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；D．根据上面a＜0时，f（x）在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误．故选A．【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，即f（x）对应的图象如图：则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：或，即或，即x＞7或﹣7＜x＜1，故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，∴=，解得a=±2．故选：C．…（4分）【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为1，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），利用y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，可得结论．【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），又∵y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣sin（π+﹣2x）=sin（），∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，，∵f（4﹣2）=2﹣2，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，∴x1+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2，∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2．故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．【解答】解：===．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，∵区间[a，a+2]上的最小值为4，∴当1≤a时，y min=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，当a+2≤1时，即a≤﹣1，y min=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，当a＜a＜a+2时，y min=f（1）=0≠4，故a的取值集合为{﹣3，3}．故选：C．【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，故选：B．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．20．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，∴==，∵共线，∴存在实数μ，使得，∵N为AB的中点，∴μ'又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=BM∴AC≤AM=AB，故，∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，∴x≥0，y≥0；∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．故选：B．【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）【考点】指数函数综合题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答案．【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤=，∵x∈[0，1]，∴∈[，1]，则∈[]，∴∈[]，则m．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用三角形的外心，得到，，两式平方相减化简，得到2，又=||2，得到AB，AC的关系【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，，，两式平方相减得2，即2，又=||2，所以2，所以；故选：B．【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；显然可知a=0时方程无解；故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，结合图象可得，0＜＜1或﹣1＜＜0；解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]【考点】函数的值域．【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选D【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得2﹣=﹣36，又BC=6，则有||=||2+||2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由=6，则（）==﹣（）=6，即﹣（）（）=6，则，又BC=6，则有||=||2+||2，即有C为直角．则三角形ABC为直角三角形．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=4．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==，解得：ω=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=2，∴原式====﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．∴=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=，当且仅当，即时，上式取得最小值．即的最小值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简a=﹣，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解．【解答】解：由题意得，a=﹣=﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了数形结合的思想应用．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，（II）根据向量的运算得出==，=利用夹角得出cosθ=，求解即可．【解答】解：（I）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，（II）设，的夹角θ，∵||=1，||=2，且与的夹角为45°∴=1×2×cos45°=，∴==，=，（）=1﹣4=﹣3，cosθ=====．【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣，求得α的值，可得tan2α的值．（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（）=cos（），∴2sinαcos+2cosαsin=cosαcos+sinαsin，化简可得sinα+cosα=0，即tanα=﹣．又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan=tan=．（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos+cos2xsin﹣1=﹣sin2x﹣cos2x﹣1=﹣sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为﹣1．【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．（Ⅱ）f（x）=，（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣}，当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），即f（x）min=，（3）若﹣a≤﹣3＜，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣，（4）若≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．综上可得，f（x）min=．【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。
2024届浙江省杭州市西湖高中数学高一下期末考试试题含解析
2024届浙江省杭州市西湖高中数学高一下期末考试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数2()sin 223cos 3f x x x =+-，()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]32．若0a b >>，则下列结论成立的是（ ） A ．22a b < B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．a bb a+的最小值为2 D ．2a bb a+> 3．若将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，所得图象对应的函数为（ ） A ．2sin 2y x =B ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos2y x=D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π- B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联5．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6B ．1C ．﹣1D ．﹣66．已知()2,1a =，()1,1b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．22-B ．22C ．55-D ．557．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝1，则当E ，F 移动时，下列结论中错误的是（ ）A ．AE ∥平面C 1BDB ．四面体ACEF 的体积不为定值C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值D ．四面体ACDF 的体积为定值8．函数()()()tan 0f x x πωω=+>的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π，则12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．0B ．33C ．1D ．39．设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是( ).A ．B ．C ．D ．10．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江杭州地区重点中学2024届数学高一下期末统考试题含解析
浙江杭州地区重点中学2024届数学高一下期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数()()()sin 0,0f x A x b A ωϕω=++>>的图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 263f x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭B ．()13sin 236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()2sin 366f x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭D ．()2sin 363f x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭2．根据如下样本数据 x 345678y4.02.50.5-0.52.0-3.0-可得到的回归方程为y bx a ∧=+,则（ ） A ．0,0a b ><B ．0,0a b >>C ．0,0a b <<D ．0,0a b <>3．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯．这首古诗描述的浮屠，现称宝塔．本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有( ) A ．12B ．24C ．48D ．964．一个球自高为6米的地方自由下落，每次着地后回弹高度为原来的13，到球停在地面上为止，球经过的路程总和为（ ）米 A ．16B ．18C ．9D ．125．为了得到函数y=sin （2x+π4）的图象，只需将函数y=sin2x 图象上所有的点( ) A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度6．已知直线1:20l ax y a -+=,与2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是( ) A ．0B ．0或1C ．1D ．0或1-7．如图所示，在四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论中正确的结论个数是（ ）①A C BD '⊥；②90BA C ∠='； ③CA '与平面A BD '所成的角为30； ④四面体A BCD '-的体积为13. A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个8．若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 03a b c A +B +=，则角（ ）A ．90B ．60C ．45D ．309．若直线和直线互相垂直，则( ) A ．或B ．3或1C ．或1D ．或310．已知平面向量a ，b ，c ，e ，在下列命题中：①//a b 存在唯一的实数R λ∈，使得b a λ=；②e 为单位向量，且a //e ，则a a e =±；③2a a a ⋅=；④a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；⑤若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =.正确命题的序号是( ) A ．①④⑤B ．②③④C ．①⑤D ．②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届浙江省杭州市高级中学高一数学第二学期期末达标检测试题含解析
2024届浙江省杭州市高级中学高一数学第二学期期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．菱形，是边靠近的一个三等分点，，则菱形面积最大值为（ ） A ．36B ．18C ．12D ．92．已知向量a ，b 满足3a b -=且(0,1)b =-，若向量a 在向量b 方向上的投影为2-，则a =（ ） A ．2B ．23C ．4D ．123．不等式组2,1,0y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩所表示的平面区域的面积为（ ）A ．1B ．12C ．13D ．144．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人C ．7人D ．12人5．两条直线1:1x y l a b -=和2:1x yl b a-=，22a b ≠，在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）A ．12.5；12.5B ．13；13C ．13；12.5D ．12.5；137．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．为了得到函数sin(2)3y x π=+，(x ∈R )的图象，只需将sin(2)3y x π=-( x ∈R )的图象上所有的点（ ）. A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移3π个单位 9．已知等差数列{}n a 的前m 项之和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项的和为（ ）A.130B.170C.210D.26010．在数列{}n a 中，121,64a a ==，且数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，其公比12q =-，则数列{}n a 的最大项等于（ ） A ．7aB ．8aC ．6a 或9aD ．10a二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江省杭州第二中学等五校2024届数学高一下期末学业质量监测试题含解析
浙江省杭州第二中学等五校2024届数学高一下期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数2,01,()1,1.x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．如图，ABC 中，E F ，分别是BC AC ，边的中点，AE 与BF 相交于点G ，则AG =（ ）A ．1122AB AC + B ．1233AB AC + C ．1133AB AC +D ．2133AB AC +3．菱形，是边靠近的一个三等分点，，则菱形面积最大值为（ ） A ．36B ．18C ．12D ．94．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第20项为（ ）A ．200B ．180C ．128D ．1625．下列结论正确的是（ ）． A ．若，则 B ．若，则 C ．若，，则D ．若，则6．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若389a a =，则31310log log a a +=（ ） A ．1 B ．4 C ．2D ．3log 57．函数()22f x x x m =--的零点有两个，求实数m 的取值范围（ ） A ．10m -<<B ．0m >或1m =-C ．0m >或10m -≤<D ．01m <<8．已知()()()3,0,0,3,cos ,sin A B C αα，若·1AC BC =-，则sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于() A ．23B ．1C ．2D ．639．函数 ()sin 2x f x = 的最小正周期是( ) A ．2π B ．πC ．2πD ．4π10．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且33ah =，则2c a b c c b b ++的最大值是（ ） A ．22B ．23C ．4D ．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年浙江省杭州市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4}2．若z •i ＝2+3i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．2B ．3C ．√13D ．3√23．军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，．若角α＝1000密位，则α＝（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π124．已知平面α⊥平面β，直线l ⊄α，则“l ⊥β”是“l ∥α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体．假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h ，则h 关于时间t 的函数的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC ，测得∠ABC 、∠ADC 的度数分别为α、β，以及D 、B 两点间的距离d ，则塔高AC ＝（ ）A ．dsinαsinβsin(β−α)B ．dsinαsinβcos(β−α) C ．dtanαtanβtan(β−α)D ．dsinαcosβsin(β−α)7．已知函数f(x)=ex +π，g(x)=(πe )x （e 为自然对数的底数），则（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），f （x ）＞g （x ）B ．∃x 0∈(eπ，eπ)，当x ＝x 0时，f （x ）＝g （x ）C ．∀x ∈(e π，eπ)，f(x)＜g(x)D ．∃x 0∈(e 2π，+∞)，当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ） 8．设函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，f(−π8)=0，|f(3π8)|=1，且f （x ）在区间(−π12，π24)上单调，则ω的最大值为（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9．已知函数f(x)=2x−12x +1，则（ ）A ．函数f （x ）的图象关于原点对称B ．函数f （x ）的图象关于y 轴对称C ．函数f （x ）的值域为（﹣1，1）D ．函数f （x ）是减函数10．如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则（ ）A ．AB →−AF →=AO →B ．AC →+AE →=3AD →C ．OA →⋅OC →=OB →⋅OD →D ．AD →在AB →上的投影向量为AB →11．如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针做匀速圆周运动．若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为(12，√32)，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为（1，0），则（ ）A ．在1s 末，点B 的坐标为（sin2，cos2）B ．在1s 末，扇形AOB 的弧长为π3−1C ．在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合D ．△AOB 面积的最大值为1212．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）A ．设内切球的半径为r 1，外接球的半径为r 2，则r 2＝2r 1B ．设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1＝4S 2C ．设圆锥的体积为V 1，内切球的体积为V 2，则V 1V 2=94D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则平面PST 截内切球所得截面的面积为πa 215二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设函数f(x)={x 12，x ＞0(12)x ，x ＜0，若f(a)=12，则a ＝ ．14．将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数y ＝﹣sin x 的图象，则φ的最小值为 ．15．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2，则直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为 ；直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为 ．16．对于函数y ＝f （x ）（x ∈I ），若存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“不动点”．若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“稳定点”．记函数y ＝f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即A ＝{x |f （x ）＝x }，B ＝{x |f （f （x ））＝x }．经研究发现：若函数f （x ）为增函数，则A ＝B ．设函数f(x)=√x −a(a ∈R)，若存在b ∈[0，1]使f （f （b ））＝b 成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P(35，−45)． （1）求sin α的值；（2）若角β满足sin(α+β)=√32，求cos β的值．18．（12分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg /L 与时间th 间的关系为P =P 0e −kt （其中P 0，k 是正常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物． （1）求k 的值（精称到0.01）；（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h ）． 参考数据：ln 2＝0.693，ln 3＝1.099，ln 5＝1.609．19．（12分）我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如图所示，e →1，e →2两分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量．若向是OP →=xe →1+ye →2，则把实数对（x ，y ）叫做向量OP →的“@未来坐标”，记OP →={x ，y}．已知{x 1，y 1}，{x 2，y 2}分别为向是a →，b →的@未来坐标． （1）证明：{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}．（2）若向量a →，b →的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量a →，b →的夹角的余弦值．20．（12分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD•sin∠ADC＝2CD•sin∠ABC．（1）求证：BC＝2CD．（2）若AB＝3CD＝3，且AD•sin∠ADB＝AB•sin60°，求四边形ABCD的面积．21．（12分）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎．有以下两种捆扎方案：方案（1）为十字捆扎（如图（1）），方案（2）为对角捆扎（如图（2））．设礼品盒的长AB，宽BC，高AA1分别为30cm，20cm，10cm．（1）在方案（2）中，若LA1＝A1E＝IC1＝C1H＝FB＝BG＝10cm，设平面LEF与平面GHI的交线为l，求证：l∥平面ABCD；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm？22．（12分）已知函数f(x)=x+1(x＞0)，g(x)=x(x＞0)．x（1）直接写出|f（x）﹣g（x）|＜|g（x）﹣f（x）+1|的解集；（2）若f（x1）＝f（x2）＝g（x3），其中x1＜x2，求f（x1+x2）+g（x3）的取值范围；（3）已知x为正整数，求h（x）＝（m+1）x2﹣2（m2+1）x（m∈N*）的最小值（用m表示）．2022-2023学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2，3，4}解：集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x [x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}，A ∩B ＝{1，2，3}． 故选：C ．2．若z •i ＝2+3i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．2 B ．3 C ．√13 D ．3√2解：因为z =2+3i i =(2+3i)(−i)i(−i)=3−2i ，所以|z|=√32+(−2)2=√13． 故选：C ．3．军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，．若角α＝1000密位，则α＝（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12解：因为1密位等于圆周角的16000，所以角α＝1000密位时，α=10006000×2π=π3．故选：C ．4．已知平面α⊥平面β，直线l ⊄α，则“l ⊥β”是“l ∥α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：设α∩β＝m ，在平面α内作a ⊥m ， 因为平面α⊥平面β，所以a ⊥β， 因为l ⊥β，所以a ∥l ， 因为l ⊄α，a ⊂α， 所以l ∥α，而当平面α⊥平面β，直线l ⊄α，l ∥α时，l 与平面β可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，所以“l⊥β”是“l∥α”的充分而不必要条件．故选：A．5．杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体．假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是（）A．B．C．D．解：由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，结合所得的函数图象，A选项较为合适．故选：A．6．雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC，测得∠ABC、∠ADC的度数分别为α、β，以及D、B两点间的距离d，则塔高AC＝（）A ．dsinαsinβsin(β−α)B ．dsinαsinβcos(β−α) C ．dtanαtanβtan(β−α)D ．dsinαcosβsin(β−α)解：在△ABD 中，∠BAD ＝∠ADC ﹣∠ABC ＝β﹣α， 由正弦定理可得BD sin∠BAD=AD sin∠ABC，即dsin(β−α)=AD sinα，得AD =dsinαsin(β−α)，由题意可知，AC ⊥BC ，所以AC =ADsin ∠ADC =dsinαsinβsin(β−α)．故选：A ．7．已知函数f(x)=ex +π，g(x)=(πe)x （e 为自然对数的底数），则（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），f （x ）＞g （x ）B ．∃x 0∈(e π，eπ)，当x ＝x 0时，f （x ）＝g （x ）C ．∀x ∈(eπ，eπ)，f(x)＜g(x)D ．∃x 0∈(e 2π，+∞)，当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ）解：由指数函数的增长速度最快可知，当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ）恒成立，故A 错误； 画出两个函数图象：f （e π）＝e 2π+π＞25，g （e π）＝（πe ）e π＜（√2）9＜25，所以f （x ）＝g （x ）的零点x 0＞e π，故BC 错误；由指数函数的增长速度最快可知，当x ＞x 0时，f （x ）＜g （x ）恒成立，故D 正确． 故选：D ．8．设函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，f(−π8)=0，|f(3π8)|=1，且f （x ）在区间(−π12，π24)上单调，则ω的最大值为（）A．1B．3C．5D．7解：由f(−π8)=0，得−π8ω+φ=k1π(k1∈Z)，由|f(3π8)|=1，得3π8ω+φ=k2π+π2(k2∈Z)，两式作差，得ω＝2（k2﹣k1）+1（k1，k2∈Z），因为f（x）在区间(−π12，π24)上单调，所以π24+π12≤12⋅2πω，得ω≤8．当ω＝7时，−7π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=−π8，所以f(x)=sin(7x−π8 )．x∈(−π12，π24)，7x−π8∈(−1724π，π6)，因为−1724π＜−π2，所以f（x）在区间(−π12，π24)上不单调，不符合题意；当ω＝5时，−5π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=−3π8，所以f(x)=sin(5x−3π8)．x∈(−π12，π24)，5x−3π8∈(−1924π，−π6)，因为−1924π＜−π2，所以f（x）在区间(−π12，π24)上不单调，不符合题意；当ω＝3时，−3π8+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=3π8，所以f(x)=sin(3x+3π8)．x∈(−π12，π24)，3x+3π8∈(π8，π2)，所以f（x）在区间(−π12，π24)上单调，符合题意，所以ω的最大值是3．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9．已知函数f(x)=2x−12x+1，则（）A．函数f（x）的图象关于原点对称B．函数f（x）的图象关于y轴对称C．函数f（x）的值域为（﹣1，1）D．函数f（x）是减函数解：f（x）的定义域为R，f(x)=2x−1 2x+1，则f(−x)=2−x −12−x +1=−2x−12x +1=−f(x)，所以f （x ）为奇函数，f （x ）的图象关于原点对称，A 正确，B 错误；f(x)=2x−12x +1=1−22x +1，因为2x +1＞1，所以0＜12x +1＜1，0＜22x +1＜2，所以−1＜1−22x+1＜1，故f （x ）的值域为（﹣1，1），C 正确； 设x 2＞x 1，则f(x 2)−f(x 1)=(1−22x 2+1)−(1−22x1+1) 22x 1+1−22x 2+1=2(2x 2−2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1)，因为x 2＞x 1，所以2x 2−2x 1＞0，2x 1+1＞0，2x 2+1＞0， 所以f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1）， 所以函数f （x ）是增函数，故D 错误， 故选：AC ．10．如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则（ ）A ．AB →−AF →=AO →B ．AC →+AE →=3AD →C ．OA →⋅OC →=OB →⋅OD →D ．AD →在AB →上的投影向量为AB →解：对于A 中，由AB →−AF →=FB →≠AO →，所以A 不正确；对于B 中，由AC →+AE →=AO →+OC →+AO →+OE →=2AO →+OC →+OE →=2AO →+OD →=3AO →，所以B 不正确； 对于C 中，设正六边形的边长为a ，可得OA →⋅OC →=1×1×cos120°=−12，OB →⋅OD →=1×1×cos120°=−12，所以OA →⋅OC →=OB →⋅OD →，所以C 正确；对于D 中，如图所示，连接BD ，可得BD ⊥AB ，可得|AD →|cos∠DAB =|AB →|，所以AD →在向量AB →上的投影向量为|AB →|⋅AB →|AB →|=AB →，所以D 正确．故选：CD ．11．如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针做匀速圆周运动．若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为(12，√32)，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为（1，0），则（ ）A ．在1s 末，点B 的坐标为（sin2，cos2）B ．在1s 末，扇形AOB 的弧长为π3−1C ．在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合D ．△AOB 面积的最大值为12解：在1s 末，点B 的坐标为（cos2，sin2），故A 错误；点A 的坐标为(cos(π3+1)，sin(π3+1))；∠AOB =π3−1，扇形AOB 的弧长为π3−1，故B 正确；设在ts 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合，则2t −t =t =2π+π3=7π3，故在7π3s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合，故C 正确；S △AOB =12sin∠AOB ，经过5π6s 后，可得∠AOB =π2，△AOB 面积的可取得最大值12，故D 正确．故选：BCD ．12．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）A ．设内切球的半径为r 1，外接球的半径为r 2，则r 2＝2r 1B ．设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1＝4S 2C ．设圆锥的体积为V 1，内切球的体积为V 2，则V 1V 2=94D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则平面PST 截内切球所得截面的面积为πa 215解：作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，所以△P AB 为等边三角形， 又PB ＝2a ，所以OP =√PB 2−OB 2=√3a ，设球心为G （即为△P AB 的重心）， 所以PG =23PO =2√33a ，OG =13PO =√33a ， 即内切球的半径为r 1=OG =√33a ，外接球的半径为r 2=PG =2√33a ， 所以r 2＝2r 1，故A 正确；设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 2＝4S 1，故B 错误； 设圆锥的体积为V 1，则V 1=13πa 2×√3a =√33πa 3，内切球的体积V 2，则V 2=43π（√33a ）3=4√327πa 3， 所以V 1V 2=94，故C 正确；设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则ST 所对的圆心角为π3（在圆O 上）， 设ST 的中点为D ，则OD ＝a sin π3=√32a ，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ， 则PD =√PO 2+OD 2=√15a2，过点G 作GE ⊥PD 交PD 于点E ，则△PEG ∽△POD ，所以GEOD=PG PD，即√32a =2√33a √152a ，解得GE =2√1515a ，所以平面PST 截内切球截面圆的半径r =√r 12−GE 2=√115a 2， 所以截面圆的面积为πr 2=πa 215，故D 正确．故选：ACD ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设函数f(x)={x 12，x ＞0(12)x ，x ＜0，若f(a)=12，则a ＝ 14 ．解：当a ＞0时，a 12=12，∴a =14，当a ＜0时，(12)a =12，∴a ＝1（舍）．∴a =14． 故答案为：14．14．将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数y ＝﹣sin x 的图象，则φ的最小值为 π ．解：将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y ＝sin （x +φ）， 因为y ＝sin （x +φ）与y ＝﹣sin x 的图象相同， 所以φ＝π+2k π，k ∈Z ，因为φ＞0，所以φ的最小值为π． 故答案为：π．15．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2，则直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为 √155；直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为14．解：空1：取AB 的中点D ，连接CD ，B 1D ， 因为△ABC 为等边三角形，所以CD ⊥AB ， 因为BB 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥CD ，因为BB 1∩AB ＝B ，BB 1，AB ⊂平面AA 1B 1B ， 所以CD ⊥平面AA 1B 1B ，所以∠CB 1D 为直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角， 因为正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2， 所以CD =√32×2=√3，DB 1=√22+12=√5， 所以tan ∠CB 1D =CD DB 1=35=√155， 所以直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为√155，空2：分别取BC ，BB 1，A 1B 1的中点E ，F ，G ，连接EF ，FG ，EG ，则EF ∥B 1C ，EF =12B 1C =12×2√2=√2， FG ∥A 1B ，FG =12A 1B =12×2√2=√2，所以∠EFG （或其补角）为直线CB 1与直线A 1B 所成角， 连接DG ，DE ，则EG =√DG 2+DE 2=√22+12=√5， 在△EFG 中，由余弦定理得：cos ∠EFG =EF 2+FG 2−EG 22EF⋅FG =2+2−52×2×2=−14， 因为异面直线所成的角的范围为(0，π2]， 所以直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为14．故答案为：√155；14．16．对于函数y ＝f （x ）（x ∈I ），若存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“不动点”．若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“稳定点”．记函数y ＝f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即A ＝{x |f （x ）＝x }，B ＝{x |f （f （x ））＝x }．经研究发现：若函数f （x ）为增函数，则A ＝B ．设函数f(x)=√x −a(a ∈R)，若存在b ∈[0，1]使f （f （b ））＝b 成立，则a 的取值范围是 [0，14] ．解：因为f(x)=√x −a(a ∈R)是增函数，所以f （f （b ））＝b 等价于f （b ）＝b ，即√b −a =b ， 所以a ＝b ﹣b 2，而a ＝b ﹣b 2在[0，12)上单调递增，在(12，1]上单调递减， 所以a max =14，而当b ＝0时，a ＝0；当b ＝1时，a ＝0，即a min ＝0， 所以a 的取值范围为[0，14]．故答案为：[0，14 ]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(35，−45)．（1）求sinα的值；（2）若角β满足sin(α+β)=√32，求cosβ的值．解：（1）由角α的终边过点P(35，−45)，得sinα=yr=−45√(35)2+(−45)2=−45．（2）由角α的终边过点P(35，−45)，得cosα=xr=35，由sin(α+β)=√32，得cos(α+β)=√1−sin2(α+β)=±12，cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，当cos(α+β)=12时，cosβ=12×35+√32×(−45)=3−4√310；当cos(α+β)=−12时，cosβ=−12×35+√32×(−45)=−3−4√310，综上所述，cosβ=3−4√310或−3−4√310．18．（12分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间th间的关系为P=P0e−kt（其中P0，k是正常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物．（1）求k的值（精称到0.01）；（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h）．参考数据：ln2＝0.693，ln3＝1.099，ln5＝1.609．解：（1）由P=P0e−kt知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝（1﹣10%）P0；即0.9P0=P0e−5k，所以k=−15ln0.9，即k=−15ln910=−15×(2ln3−ln10)=−15×(2ln3−ln2−ln5)≈0.02；（2）当P＝0.5P0时，0.5P0=P0e−0.02t，即0.5＝e﹣0.02t，则t＝50ln2≈34.7．故污染物减少50%需要花的时间约为34.7h．19．（12分）我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如图所示，e →1，e →2两分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量．若向是OP →=xe →1+ye →2，则把实数对（x ，y ）叫做向量OP →的“@未来坐标”，记OP →={x ，y}．已知{x 1，y 1}，{x 2，y 2}分别为向是a →，b →的@未来坐标． （1）证明：{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}．（2）若向量a →，b →的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量a →，b →的夹角的余弦值．（1）证明：因为a →=x 1e 1→+y 1e 2→={x 1，y 1}，b →=x 2e 1→+y 2e 2→={x 2，y 2}，所以a →+b →=（x 1e 1→+y 1e 2→）+（x 2e 1→+y 2e 2→）＝（x 1+x 2）e 1→+（y 1+y 2）e 2→={x 1+x 2，y 1+y 2}， 所以{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}． （2）解：因为a →={1，2}=e 1→+2e 2→，b→={2，1}＝2e 1→+e 2→，所以a →•b→=（e 1→+2e 2→）•（2e 1→+e 2→）＝2e 1→2+5e 1→•e 2→+2e 2→2=2+5×cos60°+2=132，|a →|＝|b →|=√1+4+2×2×1×cos60°=√7， 所以向量a →，b →夹角的余弦值为： cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=132√7×√7=1314． 20．（12分）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD •sin ∠ADC ＝2CD •sin ∠ABC ． （1）求证：BC ＝2CD ．（2）若AB ＝3CD ＝3，且AD •sin ∠ADB ＝AB •sin60°，求四边形ABCD 的面积．（1）证明：在△ACD 中，由正弦定理得AD •sin ∠ADC ＝AC •sin ∠ACD ，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∴AD•sin∠ADC＝AC•sin∠CAB，在△ABC中，由正弦定理得，即AC•sin∠CAB＝BC•sin∠ABC，∴AD•sin∠ADC＝BC•sin∠ABC．又AD•sin∠ADC＝2CD•sin∠ABC，∴BC•sin∠ABC＝2CD•sin∠ABC，∴BC＝2CD．（2）解：在△ABD中，由正弦定理得AD•sin∠ADB＝AB•sin∠ABD＝AB•sin60°，∴sin∠ABD＝sin60°，∴∠ABD＝60°或120°，①当∠ABD＝60°时，则∠BDC＝60°，在△BCD中，由余弦定理得，BD2﹣BD﹣3＝0，又BD＞0，解得BD=1+√132，此时四边形ABCD的面积S=12(AB+CD)×BD×sin60°=√39+√32，②当∠ABD＝120°时，则∠BDC＝120°，在△BCD中，由余弦定理得，BD2+BD﹣3＝0，解得BD=−1+√132，此时四边形ABCD的面积S=12(AB+CD)×BD×sin120°=√39−√32．21．（12分）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎．有以下两种捆扎方案：方案（1）为十字捆扎（如图（1）），方案（2）为对角捆扎（如图（2））．设礼品盒的长AB，宽BC，高AA1分别为30cm，20cm，10cm．（1）在方案（2）中，若LA1＝A1E＝IC1＝C1H＝FB＝BG＝10cm，设平面LEF与平面GHI的交线为l，求证：l∥平面ABCD；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm？解：（1）证明：连接LI，EH，在长方体中，LA1＝A1E＝IC1＝C1H＝FB＝BG＝10cm，则B1H＝LD1＝10cm，B1E＝ID1＝20cm，所以LE=√102+102=10√2，IH=√102+102=10√2，LI=√202+102=10√5，EH=√202+102=10√5，所以LE＝IH，LI＝EH，所以四边形LEHI是平行四边形，∴LE∥IH，又∵LE⊄平面IHG，LE⊂平面LEF，∴LE∥平面IHG；又∵LE⊂平面LEF，平面LEF∩平面GHI＝1，∴LE∥l；又∵l⊄平面A1B1C1D1，LE⊂平面A1B1C1D1，∴l∥平面A1B1C1D1，又∵l⊄平面ABCD，∴l∥平面ABCD；（2）方案1中，绳长为（30+10）×2+（20+10）×2＝140cm；方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F到F′的折线，如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为FF ′长度， 因为FB ＝F ′B ″，所以FF ′=BB ″=√(60+20)2+(40+20)2=100cm ， 所以彩绳的最短长度为100cm ．22．（12分）已知函数f(x)=x +1x (x ＞0)，g(x)=x(x ＞0)． （1）直接写出|f （x ）﹣g （x ）|＜|g （x ）﹣f （x ）+1|的解集；（2）若f （x 1）＝f （x 2）＝g （x 3），其中x 1＜x 2，求f （x 1+x 2）+g （x 3）的取值范围；（3）已知x 为正整数，求h （x ）＝（m +1）x 2﹣2（m 2+1）x （m ∈N *）的最小值（用m 表示）． 解：（1）∵f(x)=x +1x (x ＞0)，g(x)=x(x ＞0)， ∴|f （x ）﹣g （x ）|＜|g （x ）﹣f （x ）+1|，即为|1x |＜|1−1x|，又因为x ＞0，所以有1x＜|1−1x |，当0＜x ≤1时，1−1x ≤0，故1x＜1x −1，显然不成立；当x ＞1时，1−1x＞0，故1x＜1−1x，即2x＜1，解得x ＞2，综上所述，|f （x ）﹣g （x ）|＜|g （x ）﹣f （x ）+1|的解集为（2，+∞）； （2）设f （x 1）＝f （x 2）＝g （x 3）＝t ，则x 3＝t ， 令x +1x=t ，整理得：x 2﹣tx +1＝0， 故x 1+x 2＝t ，且Δ＝t 2﹣4＞0，得t ＞2，∴f （x 1+x 2）+g （x 3）＝2t +1t 在（2，+∞） 上单调递增， 所以2t +1t ＞2×2+12=92， 即f （x 1+x 2）+g （x 3）∈（92，+∞）；（3）因为h （x ）＝（m +1）x 2﹣2（m 2+1）x ＝（m +1）（x −m 2+1m+1）−(m 2+1)2m+1，因为m 2+1m+1=m ﹣1+2m+1， m ∈N *，m ﹣1∈N *，2m+1≤1，①当m ＝1时，m ﹣1+2m+1=1，所以h （x ）min ＝h （1）＝﹣2；②当m ＝2时，m ﹣1+2m+1=53，所以h （x ）min ＝h （2）＝﹣8；③当m ＝3时，m ﹣1+2m+1=52，所以h （x ）min ＝h （2）＝h （3）＝﹣24；④当m ＞3时，2m+1＜12，m ﹣1＜m ﹣1+2m+1＜m ﹣1+12，所以h （x ）min ＝h （m ﹣1）＝﹣m 3+m 2﹣3m +3；综上所述，h （x ）min ={−2，m =1−8，m =2−24，m =3−m 3+m 2−3m +3，m ＞3．。
2024届浙江省杭州市示范名校高一数学第二学期期末监测试题含解析
2024届浙江省杭州市示范名校高一数学第二学期期末监测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b ＝c ，且满足sin sin B A ＝1cos cos BA-，若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，则平面四边形OACB 面积的最大值是( ) A ．8534+ B ．4534+ C ．3 D ．452+ 2．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1x y>；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积是（ ） A ．3B ．932C ．332D ．334．已知ABC ∆中，(2,8)AB =，(3,4)AC =-，若BM MC =，则AM 的坐标为 （ ） A ．1(,6)2- B ．5(,2)2C ．(1,12)-D ．(5,4) 5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2,PA ABC =∆3则该三棱锥外接球的表面积为( ) A ．43πB ．4πC ．8πD ．20π7．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．14B ．316C ．38D ．7168．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b 32，A ＝4π，则B ＝（ ） A ．6πB ．6π或56πC ．3πD ．3π或23π9．在区间[0,9]随机取一个实数x ，则[0,3]x ∈的概率为( ) A ．29B ．310C ．13D ．2510．与π6-角终边相同的角是 A ．π6 B ．π3C ．11π6D ．4π3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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浙江省杭州市高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．26．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．712．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．420．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故选：A【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，求得x=，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），且∥，∴﹣1m﹣2n=0∴=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1，∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0∴函数在（1，2）上有唯一的零点故选：B．【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1，=，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；对于B，函数是偶函数，故不正确；对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确故选：D．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]，所以向量，的夹角为；故选：A．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；∴x2=0，x≠0时显然不成立；∴该选项错误；C．f（x）的对称轴为x=；当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；D．根据上面a＜0时，f（x）在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误．故选A．【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，即f（x）对应的图象如图：则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：或，即或，即x＞7或﹣7＜x＜1，故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，∴=，解得a=±2．故选：C．…（4分）【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为1，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），利用y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，可得结论．【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），又∵y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣sin（π+﹣2x）=sin（），∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，，∵f（4﹣2）=2﹣2，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，∴x1+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2，∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2．故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．【解答】解：===．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，∵区间[a，a+2]上的最小值为4，∴当1≤a时，y min=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，当a+2≤1时，即a≤﹣1，y min=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，当a＜a＜a+2时，y min=f（1）=0≠4，故a的取值集合为{﹣3，3}．故选：C．【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，故选：B．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．20．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，∴==，∵共线，∴存在实数μ，使得，∵N为AB的中点，∴μ'又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=BM∴AC≤AM=AB，故，∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，∴x≥0，y≥0；∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．故选：B．【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）【考点】指数函数综合题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答案．【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤=，∵x∈[0，1]，∴∈[，1]，则∈[]，∴∈[]，则m．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用三角形的外心，得到，，两式平方相减化简，得到2，又=||2，得到AB，AC的关系【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，，，两式平方相减得2，即2，又=||2，所以2，所以；故选：B．【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；显然可知a=0时方程无解；故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，结合图象可得，0＜＜1或﹣1＜＜0；解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]【考点】函数的值域．【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选D【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得2﹣=﹣36，又BC=6，则有||=||2+||2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由=6，则（）==﹣（）=6，即﹣（）（）=6，则，又BC=6，则有||=||2+||2，即有C为直角．则三角形ABC为直角三角形．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=4．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==，解得：ω=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=2，∴原式====﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．∴=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=，当且仅当，即时，上式取得最小值．即的最小值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简a=﹣，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解．【解答】解：由题意得，a=﹣=﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了数形结合的思想应用．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，（II）根据向量的运算得出==，=利用夹角得出cosθ=，求解即可．【解答】解：（I）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，（II）设，的夹角θ，∵||=1，||=2，且与的夹角为45°∴=1×2×cos45°=，∴==，=，（）=1﹣4=﹣3，cosθ=====．【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣，求得α的值，可得tan2α的值．（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（）=cos（），∴2sinαcos+2cosαsin=cosαcos+sinαsin，化简可得sinα+cosα=0，即tanα=﹣．又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan=tan=．（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos+cos2xsin﹣1=﹣sin2x﹣cos2x﹣1=﹣sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为﹣1．【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．（Ⅱ）f（x）=，（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣}，当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），即f（x）min=，（3）若﹣a≤﹣3＜，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣，（4）若≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．综上可得，f（x）min=．【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。