向量在不等式中的应用概述
向量法在数学中的应用
向量法在高中数学中的应用向量是高中数学的新增内容，也是数学的重要概念之一，由于它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，与中学数学的许多主干知识综合， 形成知识的交汇点．因此， 它或作为知识的载体，或作为解决问题的工具，几乎渗透到数学的所有分支之中．本文就向量在复数，等式不等式，最值，三角，线性规划，几何等问题中的应用进行了详细的探讨． 1 向量在复数问题中的应用例1 设复平面上三个不同的点P 、Q 、R 分别对应复数z 、z 、()1z i +，已知QPR ∠=2π，z =2，求复数z ．解 设(),OP x y = ，则(),OQ x y =- ，(),OR x y x y =-+ ，()0,2PQ y =-，(),PR y x =-．由于2QPR π∠=，即PQ ⊥PR，所以PQ PR ⋅=()0,2y -⋅(),y x -=2xy -=0．因为P 、Q 对应不同的点，即z ≠z ，所以0y ≠，当0y ≠时可得x =0，又因为OP=2，即=2．所以 2y =±即求得z =2i ±．2 向量在等式和不等式问题中的应用 2.1 向量在等式问题中的应用例2 设()222x y z++()222a b c ++=()2ax by cz ++()0abc ≠．求证：x y za b c ==．证明 若0x y z ===，结论显然成立．若x ，y ，z 不全为0，构造向量p =(),,x y z ，q=(),,a b c ．则cos θ=．由已知条件得2cos θ=1，所以0θ=或θπ=，即x y z a b c==． 2.2 向量在不等式问题中的应用［１］向量与不等式结合，缘于向量的性质m n m n m n -≤+≤+ ，m n m n ⋅≤⋅等．在这类问题中，向量一般是作为解决问题的工具出现的．有时我们可以通过构造向量，利用向量不等式m n m n ⋅≤⋅轻松获证，显示了向量在证明不等式时的独特威力．例3 已知a 、b 、c ∈R ，且236a b c ++=，求证222236a b c ++≥． 证明 构造向量m =()a ，n=(．由向量不等式m n m n ⋅≤⋅，得6=23a b c ++⋅所以222236a b c ++≥．例4 已知a 、b 、c ∈R +，且a b c ++=1，求证:149a b c++≥36． 证明 构造向量m =，n =．由向量不等式m n m n ⋅≤⋅，得⋅≥⋅+⋅+⋅ 又因为a b c ++=1，所以≥6， 即149a b c++≥36． 3 向量在最值问题中的应用［２］函数的最值问题，经常出现在中学各类试题中．巧妙利用向量求函数的最大值，最小值等问题，可以使函数最值问题的思路变得清晰，解题变得巧妙，并富于规律性，趣味性．定理 a ，b 为两个向量，则()222a b a b⋅≥ ．证明 设a ，b两个向量的夹角为θ，则()2222222222cos a b a ba b a b b bθ⋅⋅⋅=≥= ．3.1 向量在求未知数最值问题中的应用例5 已知实数1x ，2x ，3x 满足方程12311123x x x ++=及22212311323x x x ++=， 则3x 的最小值是多少．解 方程可以化为12311123x x x +=-，22212311323x x x +=-， 巧设向量12x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b ⎛= ⎝．则23133x -=221212x x +=()222a b a b⋅≥ =21212112x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=2321133x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．解得321311x -≤≤， 故3x 的最小值是2111-． 3.2 向量在求整式最值问题中的应用例6 已知实数x ，y 满足方程22240x y x y +-+=，求2x y -的最值． 解 设向量()1,2a x y =-+ ，()1,2b =-．由22240x y x y +-+=，得5=22245x y x y +-++=()()2212x y -++ =()222a b a b⋅≥=()()22212412x y ---+-=()2255x y --即()22525x y --≤，解得5255x y -≤--≤，所以0210x y ≤-≤．故2x y -的最小值是0，最大值是10． 3.3 向量在求分式最值问题中的应用例7 已知实数x ，y 满足方程()2221x y ++=，则12y x --的最小值是多少．解 令12y x --k =，则 12y kx k -=-，即21y kx k =-+．设()2,21a x kx k =+-+ ，(),1b k =-．则1=()222x y ++=()()22221x kx k ++-+ =()222a b a b⋅≥=()2222211kx k kx k k +-+-+=()222411k k -+所以()222411k k -≤+，解得8015k ≤≤， 故12y x --的最小值是0． 3.4 向量在求无理函数值域问题中的应用例8求函数y解 因为19940x -≥且19930x -≥，所以19931994x ≤≤，可以知道1y ≥．设a =，()1,1b = ．则1=19941993x x -+-=()222a b a b⋅≥=22211+=即≤又由于1y ≥，所以函数y =1y ≤≤4 向量在三角问题中的应用［４］近年来，平面向量与三角函数的创新交汇是当今中学数学命题的焦点．对于此类问题，我们可以从以下几个方面入手．4.1 向量在三角函数性质问题中的应用例9 设函数()f x a b =⋅ ，其中(),cos2a m x = ，()1sin 2,1b x =+，x R ∈且()y f x =的图像经过点,24π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求实数m 的值；（2）求函数()f x 的最小值及此时x 取值的集合．解 （1）根据题意，得()f x a b =⋅=()1sin 2m x ++cos 2x ，由已知4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭=1sin 2m π⎛⎫+ ⎪⎝⎭+cos 2π=2，解得m =1．（2）由（1）得()f x =1sin 2cos 2x x ++=124x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以当sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭=1-时，()f x 取得最小值，取值为1sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1-，得此时x 取值的集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭．分析 此题以平面向量为载体，巧妙地将平面向量数量积与三角函数有关知识融合在一起，体现了在知识的交汇点处命题的原则．例10 已知ABC ∆的面积为3，且满足0≤AB AC ⋅ ≤6，设AB 和AC的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数()fθ=22sin 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭θ的最大值和最小值． 解 （1）设ABC ∆中的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 由1sin 2bc θ=3，0≤cos bc θ≤6， 可得0≤cot θ≤1，即,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）化简得()f θ=2sin 213πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，又因为23πθ-2,63ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 可得2≤2sin 213πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤3， 即当θ=512π时，()max f θ =3；θ=4π时，()min f θ=2． 分析 本题主要考查平面向量数量积与三角函数恒等变形，正弦函数图像的单调性与函数最值等问题的综合运用．4.2 向量在三角函数求值、运算问题中的应用例11 已知04πα<<，β为()f x =cos 28x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期，a =tan ,14βα⎛⎫+- ⎪⎝⎭，b =()cos ,2α，且a ⋅b =m ，求()22cos sin 2cos sin ααβαα++-的值．解 因为β为()f x =cos 28x π⎛⎫+⎪⎝⎭的最小正周期，故 β=π．因为a ⋅b=m ，且a ⋅b =cos α⋅tan 4βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2，故cos α⋅tan 4βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=m 2+，又由于04πα<<，所以()22cos sin 2cos sin ααβαα++-=2cos α⋅1tan 1tan αα+-=2cos αtan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2()2m +．分析 此题以平面向量为载体，综合三角函数与平面向量知识，利用向量引进条件，体现了新内容与传统内容的联系． 4.3 向量在解三角形问题中的应用例12 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tan C = （1）求cos C ;（2）若CB CA ⋅ =52，且9a b +=，求c ．简析 （1）由题意tan C =cos C =18． （2）由向量的数量积运算可得CB CA ⋅ =a b ⋅⋅cos C =52．所以a b ⋅=20．又因为9a b +=，联立可得22a b +=41．由余弦定理2c =222cos a b ab C +-=41-2⨯52=36， 解得c =6．分析 本题侧重考查向量的数量积的运算，同时考查余弦定理与转化思想． 4.4 向量在三角变换问题中的应用例13 已知向量a =33cos ,sin 22x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，且3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求a ⋅b 及a b +；（2）求函数()f x =a b a b ⋅-+的最小值．简析 （1）a b ⋅ =cos 2x ，a b +=2cos x -．（2）由题意得()f x =cos 2x 2cos x +=221cos 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭32-，因为3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得 1cos 0x -≤≤．即当cos x =12-时， ()min f x =32-．4.5 向量在解三角不等式问题中的应用例14 已知二次函数()f x 对任意x R ∈，都有()1f x -=()1f x +成立．设向量()sin ,2a x = ，12sin ,2b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()cos 2,1c x =，()1,2d = ，当[]0,x π∈时，求不等式()f a b ⋅ >()f c d ⋅的解集．解 设()f x 的二次项系数为m ，则其图像上有点()11,A x y -，()21,B x y +． 因为()()112x x -++=1，()1f x -=()1f x +，得1y =2y ．由x 的任意性得()f x 的图像关于直线1x =对称．若0m >，则1x ≥时，()f x 是增函数；若0m <，则1x ≥时，()f x 是减函数． 又因为22sin 11a b x ⋅=+> ，cos 221c d x ⋅=+>当0m >时，()f a b ⋅ >()f c d ⋅⇔()()22sin 1cos 22f x f x +>+⇔cos 2x 0<，解得322222k x k ππππ+<<+，化简得344k x k ππππ+<<+，k z ∈， 又因为0x π≤≤，所以344x ππ<<． 当0m <时，同理可得04x π≤≤或34x ππ<≤， 综上所述，不等式()f a b ⋅ >()f c d ⋅的解集是：当0m >时，为344x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当0m <时，为3044x x x πππ⎧⎫≤≤<≤⎨⎬⎩⎭或．4.6 向量在三角函数与其他数学知识交汇问题中的应用例15 设函数()f x =()a b c ⋅+，其中向量a =()sin ,cos x x -，b =()sin ,3cos x x -，c=()cos ,sin x x -，x R ∈．（1）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（2）将函数()y f x =的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d．简析 （1）由题意得()f x =3224x π⎛⎫++⎪⎝⎭，故()f x 的最大值为222ππ=． （2）由3sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=0， 得328k x ππ=- 于是d =3,282k ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，d=()k Z ∈． 因为k 为整数，要使d最小，则只有k =1，此时d =,28π⎛⎫-- ⎪⎝⎭即为所求．分析 本小题主要考查平面向量数量积的计算方法，三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力． 5 向量在数列问题中的应用在向量与数列结合的问题中，向量往往不仅仅是问题的装饰，而且还是解决问题的工具．解题时，一般是根据向量的内在联系，把问题转化成关于向量的分量或模的数列问题来解决．例16 已知一列非零向量n a满足：()111,a x y = ，(),n n n a x y ==()1111,n n n n x y x y -----+，()2n ≥．（1）证明：{}n a是等比数列；（2）求向量1n a - 与n a的夹角()2n ≥；（3）设()11,2a =，把1a ，2a ，…，n a ，…中所有与1a 共线的向量按原来的顺序排成一列，记为1b ，2b ，…，n b ，…，令n OB =1b +2b +···+n b ，O 为坐标原点，求点列{}n B 的极限点B的坐标．解 （1）由题意可得n a ==1n -，()2n ≥．因为1a = ≠0，12n n a a -= （常数）， 所以{}n a是等比数列．（2）因为1n a - ⋅n a =()11,n n x y --⋅()11111,2n n n n x y x y -----+=()221112n n x y --+ =()221112n n x y --+=2112n a - ， 所以1cos ,n n a a - =11n n n na a a a --⋅==2， 求得1n a - 与n a的夹角为4π．（3）因为()111,a x y = ，()21111,2a x y x y =-+ ，3a =()1112,24y x -=()111,2y x -，4a =()11111,4y x y x ---+，5a =()1112,28x y --=()111,4x y -，…可得1a 平行于5a ，5a 平行于9a，…一般地，令1b =1a ，2b =5a ，…，n b =43n a - …递推可得n b =()1111,4n x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭．设n OB=(),n n t s ，则n t =2111111...444n x -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=41154n⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，lim n n t →∞=45；n s =2111111...444n y -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=81154n⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，8lim 5n n s →∞=， 即B 48,55⎛⎫⎪⎝⎭． 6 向量在线性规划问题中的应用［３］用向量数量积解线性规划问题，首先要明确a b ⋅ 的几何意义：数量积a b ⋅ 等于a 的长度a 与b 在a的方向上的投影cos b θ 的乘积．在线性规划问题中，若令OM (),a b =，(),OP x y =，则线性目标函数ax by +（a ，b 是常数，且不同时为0）可表示为ax by +=OM OP ⋅．由于OM 的长度OM 是定值，于是求线性目标函数ax by +的最小值或最大值转化为确定OP 在向量OM的方向上的投影OP cos θ的最小值或最大值．当可行域内存在点A ，使OA 在向量OM的方向上的投影OA cos θ最小时，()minax by +=OM OA ⋅ ；当可行域内存在点B ，使OB 在向量OM的方向上的投影cos OB θ 最大时，()maxax by +=OM OB ⋅ ．6.1 用向量求线性规划问题中的最小值例17 设变量x ，y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩ ，求目标函数2z x y =+的最小值．图6-1解 设向量OM ()2,1=，(),OP x y =，则2z x y =+=OM OP ⋅=OP cos θ．由约束条件作出可行域如图1所示．当P 为可行域内的点A 时，向量OP 在向量OM的方向上的投影OP cos θ最小．由2y x x y =⎧⎨+=⎩ ， 解得11x y =⎧⎨=⎩，即A ()1,1，于是minz =OM OA ⋅=()()2,11,1⋅=3．6.2 用向量求线性规划问题中的最大值例18 设变量x ，y 满足约束条件4025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，求目标函数3y x -的最大值．图6-2解 设向量OM =()3,1-，(),OP x y =，则3y x -=OM OP ⋅=OP cos θ．由约束条件作出可行域如图2所示．当P 为可行域内的点A 时，向量OP 在向量OM的方向上的投影OP cos θ最大．由40250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩， 解得31x y =⎧⎨=⎩， 即A ()3,1，于是()max3y x -=OM OA ⋅=()3,1-⋅()3,1=8-．6.3 用向量求线性规划问题中目标函数的取值范围例19 设变量x ，y 满足约束条件2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求目标函数2y x -的范围．图6-3解 设向量OM ()1,2=-，(),OP x y =，则2y x -=OM OP ⋅=OP cos θ．由约束条件作出可行域如图3所示．当P 为可行域内的点A 时，向量OP 在向量OM的方向上的投影OP cos θ最小； 当P 为可行域内的点B 时，向量OP 在向量OM的方向上的投影OP cos θ最大．由3223010x y y +-=⎧⎨-=⎩， 解得71x y =⎧⎨=⎩， 即A ()7,1； 由320210x y x y +=⎧⎨-+=⎩， 解得37x y =⎧⎨=⎩， 即B ()3,7． 从而()min 2y x -=OM OA ⋅=()()1,27,1-⋅=5-；()max2y x -=OM OB ⋅=()()1,23,7-⋅=11．所以2y x -的取值范围为[]5,11-． 7 向量在平面解析几何问题中的应用向量与解析几何都是代数形式和几何形式的统一体，有着异曲同工之妙．向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带；而解析几何也具有数形结合与转换的特征．所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为中学数学命题的一个新的亮点．下面试从两者的结合点着手浅谈向量在平面解析几何问题中的应用． 7.1 向量在定比分点问题中的应用例20 O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点．动点P 满足()AB AC OP OA AB ACλ=++，[)+∞∈,0λ．则P点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解 这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB是什么？一个非零向量除以它的模就是单位向量．设AB 与AC方向上的单位向量分别为1e 和2e ，又OP OA AP -= ，则原式可化为12()AP e e λ=+．那么在ABC ∆中，很容易知道AP 平分BAC ∠，则知选B ．分析 此题所用的都是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等．若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有． 7.2 向量在平行共线问题中的应用［６］运用向量共线的充要条件来处理有关平行、共线等问题，思路清晰，易于操作．比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多．例21 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB + 与(3,1)a =-共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明22μλ+为定值．解 （1）设椭圆方程为22221x y a b+=()a b c >>，(,0)F c ．则直线AB 的方程为c x y -=．代入12222=+b y a x ， 化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a ．令A （11,y x ），B 22,(y x ），则212222a c x x a b +=+，22221222a c ab x x a b -=+．由1212(,)OA OB x x y y +=++ ，(3,1)a =-，OA OB + 与a 共线，可得12123()()0y y x x +++=．又因为11y x c =-，22y x c =-，所以12123(2)()0x x c x x +-++=，化简得1232x x c +=． 即232222c ba c a =+，所以223a b =，c ==故离心率c e a ==．（2）由（1）知223b a =，则椭圆12222=+by a x 可化为22233x y b +=．设(,)OM x y = ，由已知得1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，所以1212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩ ． 因为(,)M x y 在椭圆上，所以2221212()3()3x x y y b λμλμ+++=，即222222*********(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++=． ①由（1）知1232c x x +=，2232a c =，2212b c =， 得22222122238a c ab x xc a b -==+ 1212121233()()x x y y x x x c x c +=+--2121243()3x x x x c c =-++22239322c c c =-+ 0=又2221133x y b +=，2222233x y b +=．代入①得221λμ+=．故22μλ+为定值，定值为1．分析 运用向量OA OB + 与(3,1)a =-共线的充要条件转化成坐标形式再与解析几何题的常规思路接轨是解决本题的关键． 7.3 向量在垂直问题中的应用例22 设0p >是一常数，过点(2,0)Q p 的直线与抛物线22y px =交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆H （H 为圆心）．试证明抛物线顶点在圆H 的圆周上，并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程．解 由题意，直线AB 不可能是水平线，故可设直线方程为2ky x p =-．又设(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，则其坐标满足222ky x py px=-⎧⎨=⎩， 消去x ，得22240y pky p --=．由此得224A B A By y pk y y p +=⎧⎨=-⎩， 所以24()(42)A B A B x x p k y y k p +=++=+，222()4(2)A B A B y y x x p p ==． 因此0A B A B OA OB x x y y ⋅=+=，即OA ⊥OB ，故O 必在圆H 的圆周上．又由题意，圆心(,)H H H x y 是AB 的中点，故2(2)22A B H A B Hx x x k p y y y kp +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩． 由前已证，OH 应是圆H的半径，且OH ==0k =时，圆H 的半径最小，亦使圆H 的面积最小． 此时，直线AB 的方程为2x p =．分析 要证点O 在圆H 上，只要证OA ⊥OB ，故转化为向量运算0OA OB ⋅=，再用向量运算的方法证明．7.4 向量在夹角问题中的应用例23 如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点．（1）求APB ∆的重心G 的轨迹方程． （2）证明PFA PFB ∠=∠．解 （1）设切点A 、B 的坐标分别为200(,)x x 和211(,)x x 01()x x ≠，则切线的方程为20020x x y x --=，切线PB 的方程为21120x x y x --=．解得P 点的坐标为012p x x x +=，01p y x x =． 所以APB ∆的重心G 的坐标为P PG x x x x x =++=310，222201010101014()3333P pP G x y y y y x x x x x x x x y -+++++-====． 所以243GG p x y y +-=． 由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为2(34)20x y x --+-=，即21(42)3y x x =-+．（2）因为2001(,)4FA x x =- ，01011(,)24x x FP x x +=- ，2111(,)4FB x x =- ．由于P 点在抛物线外，则0FP ≠．所以201001001111()()4cos ||||||x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP +⋅+--+⋅∠===， 同理有201101101111()()4cos ||||||x x x x x x x x FP FB BFP FP FB FP +⋅+--+⋅∠===， 即得证PFA PFB ∠=∠．分析 本题是运用向量的数量积公式将两向量的张角余弦值分别求出来再作论证．运用向量的数量积，可以把有关的角度几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果． 7.5 向量在动点问题中的应用［１０］运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，往往可以进一步探求曲线的性质． 例24 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -， 若点C 满足OC OA OB =α+β，其中α，β∈R 且1α+β=，则点C 的轨迹方程为（ ）． （A ）32110x y +-= （B ）22(1)(2)5x y -+-= （C ）20x y -= （D ）250x y +-=解 法一：设(,)C x y ，则(,)(3)(,3)(3,3)x y ααββαβαβ=+-=-+，．所以33x y αβαβ=-⎧⎨=+⎩， 又1αβ+=，所以4123x y αα=-⎧⎨=-+⎩消去参数α，得点C 的轨迹方程为250x y +-=．法二：利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知A ，B ，C 三点共线，故点C 的轨迹方程即为直线AB 的方程250x y +-=，故本题应选D ．分析 本题主要考查向量的运算及直线的方程．把两者联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富．例25 设点A 和B 为抛物线24y x =上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM AB ⊥，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解 设(,)M x y ，211(4,4)A t t ，222(4,4)B t t ，其中0x >，120t t ≠且12t t ≠．所以OA =211(4,4)t t ，OB =222(4,4)t t ，OM =(,)x y ，AB=()2221214(),4()t t t t --．因为OA ⊥OB ，所以22121244440t t t t ⋅+⋅=，由120t t ≠，可知121t t =- （1）因为OM AB ⊥，所以2221214()4()0x t t y t t ⋅-+⋅-=，由12t t ≠，可知12yt t x+=-（2） 又因为A 、B 、M 三点共线，所以AM 平行于BM，而AM =OM-OA =211(4,4)x t y t --， BM =OM-OB =222(4,4)x t y t --，由向量共线的充要条件，可知221212(4)(4)(4)(4)x t y t y t x t --=--，化简，得1212()40x t t y t t -++= （3）将（1）、（2）代入（3）式，可得点M 的轨迹方程为22(2)4(0)x y x -+=>，它表示与y 轴切于原点的一个圆（不包括原点）．分析 本题解法很多，而构造向量解之，思路清晰，运算简捷，提高了解题速度，拓展了思维空间，为今后解决解析几何问题又提供了一种新思路．这类命题的关键是把解析几何题目中的条件向量化，这无形中加大了题目的难度，提高了对综合能力的要求．。
例析向量在不等式中的应用
评析
以上三例都是三维空间向量在不等
2 .求 证 :(宁)2 <挚
( P12 例 2)
. ( P l l T 1)
式中的应用. 其关键在于分析题意构造向量， 想 办法利用向量基本不等式解决问题 .
3. 已知 a ,bE R+ 求证 :a3+ b3> a2b+ ab2.
}二 川( }m}}川两边平方即得求证，( 证明略) 例3 已知 a ， b 都是正数满足 a + b= 4. 求
向量作为新增 内容进 入中学教材， 不仅丰
富了中学数学知识体系， 而且为我们解决问题
提供了一种全新的、 重要的数学方法. 由平面向
量扩充到了空间向量， 将学生的思维从二维空 间一下子升华到了三维甚至多维空间. 利用向
证‘ 了 乏 石 干 丁 + 丫 豆 石 干 丁 乏 返 2万. 证明 取向量 m= ( 抓 孤 干 丁 ， v厄 不 两下 )，
n= (1 ， 1) 则有 :
量的理论和方法可以有效地解决平面几何、 立
体几何、 三角、 不等式、 复数以及物理学中的诸 如力、 速度、 加速度、 位移等许多问题. 笔者在此 就向量在不等式中的有关应用略作归类， 以供
) ( a 2十b2) 2. (Pl 7T 6)
+ n= (a+ c,b+ d). 由 不等式
Im + n I < I m I + I n } 即 得:
丫(a 十: ) “ 十(b+ d) 2 镇 丫 a2+ b2 + 丫 c2+ d2 证
向量在不等式证明中的应用
这个不等式说明了，向量的模长是非负的。
矩阵不等式指的是对于任意的矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$，有：
$$|\mathbf{A} \mathbf{B}| \leq |\mathbf{A}| \cdot |\mathbf{B}|$$
这个不等式说明了，在将向量看做矩阵的一种情况下，矩阵的乘积的模长是小于等于矩阵的模长的乘
当然，在证明不等式时还有很多其他的技巧和方法。比如，可以利用数学归纳法证明某些结论对于所有的正整数都成立。也可以利用数学归纳法证明某些结论对于所有的自然数都成立。
向量在不等式证明中的应用
向量在不等式证明中经常被用到。在数学中，向量是一种线性代数中的数据类型，可以表示空间中的一个点，也可以表示空间中的一个方向和大小。
在证明不等式时，通常会用到向量的几何意义，即表示空间中的点或方向。通常会用到的不等式有三角不等式，奇偶性不等式，以及把向量看做矩阵的乘积时用到的矩阵不等式。
三角不等式指的是对于任意三个向量$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, 和 $\mathbf{c}$，有：
$$|\mathbf{a} + \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$$
这个不等式说明了，向量的模长是可以相加的。
奇偶性不等式指的是对于任意的向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，有：
向量解决不等式
向量解决不等式
向量在解决不等式问题时，主要用途是作为连接不同问题之间的桥梁，或者作为创造新的解题方法的工具。
以下是一个使用向量来解决不等式问题的简单例子。
例题：设a, b, c, d是实数，且a²+ b²= c²+ d²。
我们需要证明：ac + bd ≥√(a²+ b²) * √(c²+ d²)。
证明：为了证明这个不等式，我们可以构造两个向量并用向量的点积来进行证明。
设向量A = (a, b)，向量B = (c, d)。
根据向量点积的定义，向量A与向量B的点积为a*c + b*d。
由于$a^2 + b^2 = c^2 + d^2$，根据向量的模长公式，我们可以得到向量A 的模为√(a²+ b²)，向量B的模为√(c²+ d²)。
根据向量点积的性质，当两个向量的模长确定时，它们的点积取得最大值当且仅当这两个向量是共线的，并且它们的方向相同。
因此，向量A与向量B的点积不大于√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d^2)。
整理上述不等式，我们可以得到ac + bd ≥√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d²)。
因此，我们证明了给定的不等式。
向量法证明不等式(精选多篇)
向量法证明不等式(精选多篇)第一篇：向量法证明不等式向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈r，i=1，…，n)规定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即例1设a，b，c∈r+，求证：(a+b+c)≤++≤.证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，则由综上，原不等式成立.点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.作单位向量j⊥acj(ac+cb)=jabjac+jcb=jabjcb=jab|cb|cos(π/2-∠c)=|ab|cos(π/2-∠a)即|cb|sinc=|ab|sinaa/sina=c/sinc其余边同理在三角形abc平面上做一单位向量i,i⊥bc,因为ba+ac+cb=0恒成立，两边乘以i 得i*ba+i*ac=0①根据向量内积定义，i*ba=c*cos(i,ab)=c*sinb,同理i*ac=bcos(i,ac)=b(-sinc)=-bsinc代入①得csinb-bsinc=0所以b/sinb=c/sinc类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sina=b/sinb,所以a/sina=b/sinb=c/sinc步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。
向量在不等式及最值中的应用
⋅
c，
又因为 a + b + c = 1 ，所以
1 4 9 + + a b c
≥ 6，
即
1 4 9 + + a b c
≥ 36 ．
二、求数的最值
解 方程可以化为
x1 + 1 1 x2 = 1 − x3 ， x12 + 1 x2 2 = 3 − 1 x32 ， 2 3 2 3
巧设向量
r 1 r 1 a = x1 , x2 ， b = 1, 2 ． 2
三、求整式的最值
解
设向量
r r a = ( x − 1, y + 2 ) ， b = (1, −2 ) ．
2 2 由 x + y − 2 x + 4 y = 0 ，得
5
= x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 5 = ( x − 1) + ( y + 2 ) =
2 2
r r a ⋅b r2 a ≥ r2 b
例7.求y= 1994-x + x − 1993的值域
解 因为 1994 − x ≥ 0 且 x − 1993 ≥ 0 ，所以 1993 ≤ x ≤ 1994 ，可以知道 y ≥ 1 ．
r r 设 a = ( 1994 − x , x − 1993) ， b = (1,1) ．
r r a ⋅b r2 a ≥ r2 则 1= 1994 − x + x − 1993 = b
( 1994 − x + x − 1993) 2 = 2
1994 − x + x − 1993 ≤ 2 即 又由于 y ≥ 1 ，所以函数 y = 1994 − x + x − 1993 的值域是 1≤ y ≤ 2 ．
向量模长不等式
向量模长不等式向量是数学中的一个基本概念，它是带有大小和方向的量。
在研究向量的性质中，向量模长不等式是一项重要的内容。
本文将详细介绍向量模长不等式的定义、性质以及在数学和实际问题中的应用。
首先，我们来了解向量模长不等式的定义。
对于一个向量a=(a1,a2,...,an)，它的模长表示为|a|，即向量a的长度。
向量模长不等式是指对于任意两个向量a和b，有下列不等式成立：1. 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|2. 反三角不等式：|a-b|≥||a|-|b||接下来，我们将讨论向量模长不等式的一些性质。
首先是三角不等式的性质，它表明两个向量的和的模长一定小于等于两个向量模长的和。
这个不等式可以直观地理解为，无论两个向量的方向如何，它们相加后的总长度都不会超过它们各自的长度之和。
反三角不等式则说明两个向量的差的模长一定大于等于两个向量模长之差的绝对值。
这个不等式告诉我们，无论两个向量的方向如何，它们相减后的长度总是比它们各自的长度差要大或相等。
除了这些基本的性质外，向量模长不等式还有一些其他的性质。
比如，如果两个向量的模长相等，那么它们的和的模长一定等于它们各自的模长。
另外，如果一个向量和另一个向量的相反向量的模长相等，那么这个向量一定是零向量。
那么，向量模长不等式在数学和实际问题中有哪些应用呢？首先，在代数、几何和物理学中，我们经常需要研究向量的性质和变换。
向量模长不等式提供了一种有效的方法来比较和估计向量的大小，这对解决各种问题非常有帮助。
比如，在几何中，通过利用向量的模长不等式可以证明三角形的两边之和大于第三边，或者两个向量的夹角的余弦值小于等于它们的模长之积。
在应用数学中，向量模长不等式也有广泛的应用。
比如，在优化问题中，我们经常需要求解最大值或最小值。
通过利用向量模长不等式，我们可以对目标函数进行估计和优化，从而得到更好的结果。
此外，向量模长不等式还在信号处理、图像处理和机器学习等领域有重要的应用。
柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的应用技巧柯西不等式是高等数学中一种重要的不等式，广泛应用于数学分析、线性代数、概率论等领域。
它由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出，被认为是不等式理论的巅峰之作。
柯西不等式的应用技巧有很多，下面主要介绍其中的几种常见应用。
一、向量长度的柯西不等式推导给定n维实向量x=(x1,x2,...,xn)和y=(y1,y2,...,yn)，那么它们的内积满足如下不等式：(x,y)，≤√((x,x)·(y,y))其中(x,y)表示x和y的内积，(x,x)为x的长度平方，(y,y)为y的长度平方。
这个不等式可以通过Cauchy-Schwarz求平方法来证明。
应用技巧：1.在证明向量长度之间的不等式时，可以使用柯西不等式进行推导。
2.可以利用柯西不等式来估计向量长度之间的关系。
二、几何中的柯西不等式给定平面上的两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，那么它们的内积满足如下不等式：a·b，≤，a，·，b其中a·b表示a和b的内积，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。
应用技巧：1.可以使用柯西不等式来推导平面上向量的夹角关系。
2.可以利用柯西不等式来证明平面上的几何定理。
三、数列的柯西不等式给定两个数列a=(a1,a2,...,an)和b=(b1,b2,...,bn)，那么它们的内积满足如下不等式：∑(ak·bk)，≤ √(∑(ak^2)·∑(bk^2))其中ak·bk表示ak和bk的乘积，∑(ak·bk)表示乘积的和，ak^2表示ak的平方，∑(ak^2)表示平方的和。
应用技巧：1.可以利用柯西不等式来证明数列的性质，例如数列的单调性、有界性等。
2.可以将柯西不等式应用于数学问题的解法中，寻找合适的数列。
四、概率论中的柯西不等式给定两个随机变量X和Y，它们之间的相关系数满足如下不等式：E(XY)，≤√(E(X^2)·E(Y^2))其中E(XY)表示X和Y的期望值，E(X^2)和E(Y^2)分别表示X和Y的平方的期望值。
用向量方法解决不等式
线 ，均 可与 ｌＡ台ｌ ＩＡｅｌ构成 三角形的三边 ，而三角形的三边性 质有 ，两边之和大 于第 三边 、两边 之差 小 于第 三边．取 等条 件是 ，三角形 退化 为 三点 在一 条 直 线 上 ，即 任意 俩 向量 平 行 时 ．
第一类题型 ，其实就是从 向量 角度考 虑的柯 西不等 式 ， 柯 西 不 等 式 的题 型 种 类 繁 多 ，有 整 式 形 、分 式 型 、无 理 式 型 、 参数型等等 ，但无 论怎 么变形 ，都 是 考虑 如何 构造 向量 ，然 后 利 用 公 式 ．
例 １ 整 式 型
已知 ｛ Ｌ ＋ ；三 ＋ 墨 ｉ三 ＝ｌ，求 ＋），＋ｚ的
即（ ＋ ＋ ）≥
≥
＝寻．
例 ４ 无 理 型
已知 ａ＋ｂ＋ｃ＝１，且 均为 正数 ，求 ，／３ａ＋１＋ ６＋１＋
３ｃ＋１的最 大 值 ．
解 构 造 向量 Ａ（ Ⅱ＋１， ６＋１
＋
） ≤ ＩＡｌ ·
ＩＢＩ ＝（３口＋１＋３６＋１＋３ｃ＋１）（１＋１＋１）＝６ Ｘ３＝１８，
已知 ｎ＇ｂ，ｃＥＲ¨证 明 Ⅱ＋Ｄ ＋ ０ 十 Ｃ ＋ Ｃ十０ ≥÷．
＝ （Ⅱ＋ｂ＋ｃ） ＋（Ｉ＋２＋３） ＝ ７．
例 ６ 求 ＋ｌ６＋ （ 一４） ＋３６的最 小 值 ． 解 此题 可 以 化 为
（ 一０） ＋（０±４） ＋ｊ（ｘ一４） ＋（０±６）２．
因 此 ，可 以看 成 是 一 个 动 点 Ａ（ ，０）到 两 个 定 点 Ｂ（０， ±４），Ｃ（４，４－６）的最 小 距 离 ．
即 三 角 形 ＡＢＣ 中 ，边 长 ＢＣ为 定 长 ，另 外 两 边 的 最 短 距 离 ，取等时 Ｃ在 ＡＢ上 ，且 Ａ与 在动点 Ｃ的轨迹两侧．
向量知识在函数及不等式中的应用
向量知识在函数及不等式 中的应用
福建福州第十三中学 陈玉如
向量作为新增内容进入中学教材 , 不仅 丰富了中学数学知识体系 , 而且为我们解决 问题提供了一种全新的 , 重要的数学方法 . 下 面例举向量在不等式问题及函数最值方面的 应用. 1 基本知识 (1)柯布不等式在一般欧氏空间中的向量 叙述方式:
= 1 ,求证: ax 2 + by 2 ≥ (ax + by ) 2 .(人教版第二 册 P17 第 7 题)
证明 取 α = ( a , b ), β = ( ax, b y ) , 则 由柯布不等式 〈α , β 〉 2 ≤ 〈α , α 〉 ⋅ 〈 β , β 〉 的向量 ·21·
表示得到: (ax + by )2 ≤ (a + b)(ax 2 + by 2 ) . ∵ a + b = 1, ∴ (ax + by )2 ≤ (ax 2 + by 2 ) . 例 3 已知 a, b, c ∈ R ,求证: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca .(人教版第二册 P16 第 1 题) 证明 取 α = (a, b, c), β = (b, c, a) , 则由 柯 布不等式 〈α , β 〉 2 ≤ 〈α , α 〉 ⋅ 〈 β , β 〉 的向量表示 得到: (ab + bc + ca ) 2
例 2 已知向量 a = ( x 2 , x + 1), b = (1 − x, t ) , 若函数 f ( x) = a ⋅ b ,在区间 (−1,1) 上是增函数, 求 t 的取值范围. 分析 依定义 f ( x) = a ⋅ b = x 2 (1 − x) + t ( x + 1)
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已知a, b, c, d都是实数 ,
求证： (a b )(c d ) (ac bd )
2 2 2 2 2
证明: (a b )(c d ) a c b d a d b c (ac bd) (ad bc) (ac bd )
2 2
1 4 1 6
1 1 1 4 x 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6
补充练习
1.若a , b R, 且a 2 b 2 10, 则a b的取值范围是( A )
C .
A. - 2 5 ,2 5 10 ,
10
D.
B . 2 10 ,2 10 5, 5
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 )， 则 上 述 不 等 式 的 坐 标 表 示 为 ？ x12 y12 x22 y22 x1 x2 y1 y2
(当且仅当x1 y2－x2 y1＝0时取等号)
必修4, P108 ，B组第三题
已知a, b, c, d都是实数 ,
变式 1 ：求函数 y 3 x-2 2 24 4 x的最大值 变式2：解方程 3 x-2 2 24 4 x(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2 变式：已知a,b为实数,证明： (a4+b4) (a2+b2)≥ (a2b+ab2)2
2.已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( B ) 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25
3 3.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______
4.设实数x , y满足3 x 2 2 y 2 6, 则P 2 x y的最大 值是 ______ 11
a a a1 a2 求证： b1 b2 b1 b2
2 1 2 2
例3： 设ai R, bi 0，i {1,2}
2
a1 a2 当且仅当 时取等号 b1 b2
变式题
已知实数 m，n>0.
2 2 2
a b (a＋b) (1)求证：m＋ n ≥ ； m＋ n 1 2 9 (2)已知函数 y＝x＋ ， x∈0，2， 求它的最小值． 1－2x
2 2
变式3：已知 2 x 3 y 2, 求2 x y 的最大值
2 2
例1 2 函数 y＝3 x－2＋4 6－x的最大值是
【解析】 y＝3 x－2＋4 6－x ≤ 32＋42· (x－2)＋(6－x)＝10.
。
x－2 6－x 86 当且仅当 ＝ 时等号成立， 即 x＝ 时函数 3 4 25 取最大值 10.
x y ( x) ( ( a 当且仅当 x b )2 b y
2
y)
2
a x
2
b y
2
y b )2
a x ,即 x y
a 时取等号. b
( x y )min ( a
变式引申: 2 2 若2 x 3 y 1, 求4 x 9 y 的最小值 , 并求最小值点 .
例4： （ 王 161考 题9 ） x y 若 直 线 1通 过 点 M (cos , sin ), 则 a b A.a 2 b 2 1 B .a 2 b 2 1 1 1 1 1 C. 2 2 1 D. 2 2 1 a b a b
a b 例2 已 知x, y, a, b R , 且 1,求x y的 最 小 值 . x y a b 解 : x , y , a , b R , 1, x y
求证： (a b )(c d ) (ac bd )
2 2 2 2 2
向量形式： m (a, b), n (c, d )
m n | m | | n | cos m n ac bd | m | | n | a b
2 2 2
c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
2 2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
向量在不等式中的应用
1、数量积的定义：
若两个非零向量 a和b的夹角为 （ 0 ），那么
a与 b的数量积，记做 ab 我们把 | a || b | cos叫做
即： a b a b cos
求证： a b ab
问题1：当满足什么条件时，不等式取等号？
2
| m n || m | | n |
ac bd a b c d
2 2 2 2
例1 ：已知 x y 2, 求2 x 3 y的最大值
2 2
变式 1 ：已知 2 x y 2, 求2 x 3 y的最大值
2 2
变式2：已知 2 x 3 y 2, 求x y 的最大值
解 : 由柯西不等式(4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) ( 2 x 3 y )2 1, 1 2 2 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号. x 2 x 3 y 由 得 2 x 3 y 1 y
【解答】 (1)因为 m，n>0，利用柯西不等式，得(m
a2 b2 ＋ ≥(a＋b)2， ＋n)· n m
a2 b2 (a＋b) 所以m＋ n ≥ . m＋ n 2 9 22 32 (2) 由 (1) ， 函 数 y ＝ x ＋ ＝ ＋ 2 x 1－2x 1－2x (2＋3)2 ≥ ＝25， 2x＋(1－2x) 2 9 1 x∈0， 的最小值为 25， 所以函数 y＝x＋ 当 2 1－2x 1 且仅当 x＝ 时取得． 5