向量法证明不等式(多篇)
向量法证明不等式(完整版)
向量法证明不等式向量法证明不等式第一篇：向量法证明不等式向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=。
因此，原不等式等价于证明a?b?a?b，其中a?b，向量 a和b不可能同向，不取等号。
二利用a?b?ab证明不等式2222例2 、已知实数mnx满足m?n?a,x??b（a?b），求mx?n得最大值?解析：构造向量a?0，求证：4a0矛盾，故a=0时，4a0，∴存在m，当-1第五篇：不等式的证明．3．在横线上填写恰当的符号2x2若x∈r，且x≠1，那么，1?x．若0＜a＜1，那么－a)． 1413若a＞0，a≠1，那么loga_____loga．当x≥1时，那么x5＋x4＋x32＋x＋1．4．设p＝a2b2＋5，q＝2ab－a2－4a，若p＞q，则实数a，b满足的条件为________．5．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为2lg_____lg＋lg．提升你的能力！基础巩固题1．设0＜a＜2，下列不等式成立的是1111?1?a2?1?a2?1?a21?a2?1?ab．1?a1?a a．1?a．1?a2?11111?a2?1?a21?a21?a1?a1?ad．1?a2．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是11?a．ab11?b．a?ba．｜a｜＞｜b｜d．a2＞b23．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则下列不等式中恒成立的是XX?mXX?m1?a．bb?mb．bb?mXX?ma?ma11b?mb ．bb?md．4．设a、b∈r，用不等号连接下列两个式子，a2＋b2＋ab＋1_____a＋b．5．已知a＞b＞，求证：a2b＋b2＋2a＞ab2＋b2＋a2综合应用题11?1．a，b∈r，那么ab成立的一个充分非必要条件是a．a＞bb．ab＜0．0＜a＜bd．a＜b2．设0＜a＜b＜1，则a＋b，2ab，a2＋b2，2ab中最大的值是ab a．a2＋b2b．a＋b．2abd．23．已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是a．a＞b＞2＞abb．a＞2＞ab＞ba?ba?b．a＞2＞b＞abd．a＞ab＞2＞b4．若x为正数，且x3－x＝2，则x与5的大小关系为_____．a2b25．设a b ，求证：a?b+b? a+2b+.6．已知a＞b＞＞0，求证:XXbb＞13探索创新题1x?11．11．设a＞0，a≠1，x＞0，比较2logax与loga2的大小，并证明你的结论．2．12．甲、乙两个粮油公司，同时在某地按同一批发价格购进粮食，他们各购粮两次，已知每次批发价格互不相同，甲公司每次购粮为1万千克，乙公司每次用1万元购粮，试比较这两种购粮方法，哪一种购粮方法购得的粮食平均批发价格较低，并证明你的结论．试试你的身手！1．2．向量法证明不等式附送：向量法证明正弦定理向量法证明正弦定理三级记向量i，使i垂直于a于，△ab三边ab,b,接着得到正弦定理其他步骤在锐角△ab中，证明asina=bsinb=sin=2r：任意三角形ab,4过三角形ab的顶点a作b边上的高，垂足为d.当d落在边b上时，向量ab与向量ad的夹角为90°-b，向量a与向量ad的夹角为90°-，由于向量ab、向量a在向量ad方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量a*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*os=向量的a绝对值*向量ad的绝对值*os所以sinb=bsin即bsinb=sin当d落在b的延长线上时，同样可以证得第五篇：用正弦定理证明三重向量积用正弦定理证明三重向量积作者：光信1002班李立内容：通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——?a?b。
用向量方法证明柯西不等式
用向量方法证明柯西不等式想象一下，你和朋友一起去旅行，你们的行李需要装进车里。
你有两个箱子，一个重，一个轻。
如果你把重的箱子和轻的箱子一起提起，重的箱子就会让你觉得累。
这个时候，你就会意识到，轻的东西能够让你更轻松。
这就像柯西不等式，简单说就是两组数之间的关系。
如果我们用向量来描述这个关系，那就是一种很直观的表现方式。
说到向量，想象一下，你在一张地图上画了一条线，从你家到咖啡店。
这条线就是一个向量，方向明确，长度也很清楚。
柯西不等式告诉我们，这种向量之间的内积总是有一种优雅的平衡感。
再比如说，想象你和你的朋友们在打篮球。
你们需要传球，每次传球的力量和角度都至关重要。
你传球的力量可以用一个向量表示，而接球的力量又是另一个向量。
柯西不等式就像是篮球场上的裁判，确保每一次传球都在合理的范围之内。
它让我们意识到，强的传球和接球要互相配合，才能让游戏变得更加有趣。
聊聊这个不等式的数学形式，虽然它看起来有点复杂，但其实可以拆分开来理解。
设想你有两个向量，一个是你平时的努力，另一个是你想要达到的目标。
这两个向量之间的关系就像你努力和成就之间的关系一样。
柯西不等式就是在告诉我们，努力与目标之间的相互作用总是会保持一种理想的平衡。
换句话说，如果你的努力和目标之间的配合得当，最终你就会实现你的梦想。
然后，再想象一下你在厨房里做饭。
你有几个不同的食材，每种食材的重量和营养成分都不一样。
柯西不等式就像是你在调整菜谱时的一个指导原则，确保每种成分都在一个合理的范围内。
你不能只放盐，没放其他调料，那样的味道肯定不行！同样的道理，向量的组合也要讲究一个平衡，才能创造出和谐美味的结果。
再说说日常生活，假设你在运动会的跑道上，你和你的队友们在赛跑。
每个人的速度和体力就像是不同的向量。
柯西不等式就像是在提醒你，团队合作的重要性。
一个人的力量再强，也不能单靠自己完成比赛。
只有大家一起努力，才能跑出最好的成绩，团结就是力量嘛！有时候你可能会觉得柯西不等式有些高深莫测，但其实生活中的许多事情都与它息息相关。
柯西不等式向量形式证明
柯西不等式向量形式证明对于n维实（或复）向量空间V中的任意两个向量某和y，有：某⋅y，≤，某，，y。
其中，某⋅y表示某和y的内积，某，和，y，分别表示向量某和y的范数。
接下来，我将证明这一不等式的向量形式。
证明：1. 首先，我们知道任意向量某都可以表示为实数λ1, λ2, ..., λn与向量基v1, v2, ..., vn的线性组合。
也即某= λ1v1 + λ2v2 + ... + λnvn2.类似地，向量y可以表示为实数μ1,μ2,...,μn与同一组向量基的线性组合。
也即y = μ1v1 + μ2v2 + ... + μnvn3.利用内积的双线性性质，我们可以展开某⋅y为：某⋅y = (λ1v1 + λ2v2 + ... + λnvn)⋅(μ1v1 + μ2v2 + ... + μnvn)= λ1μ1(v1⋅v1) + λ1μ2(v1⋅v2) + ... + λnμn(vn⋅vn)= ∑∑λiμj(vi⋅vj)4. 由于内积的对称性，即vi⋅vj = vj⋅vi，上式可以简化为：某⋅y = ∑∑λiμj(vi⋅vj)= ∑∑λjμi(vj⋅vi)5. 对于任意的实数λj和μi，不等式，λjμi(vj⋅vi)，≤ ，λjμi，vi，vj，始终成立。
将其代入上式可得：某⋅y，= ∑∑，λjμi(vj⋅vi)。
≤ ∑∑，λjμi，vi，vj。
= (∑λj^2，vi，vj，)^(1/2) (∑μi^2，vi，vj，)^(1/2)6. 基于向量范数的定义，某，^2和，y，^2可分别表示为∑λj^2，vi，vj，和∑μi^2，vi，vj。
因此，上式进一步化简为：某⋅y，≤ (∑λj^2，vi，vj，)^(1/2) (∑μi^2，vi，vj，)^(1/2) =，某，，y。
综上所述，柯西不等式的向量形式得证。
证明三角不等式
证明三角不等式三角不等式是数学中一条基本不等式，通常用于比较三边长度之间的大小关系。
其表述为：对于任意三角形ABC，有AB+BC>AC，AC+BC>AB，AB+AC>BC。
证明三角不等式可以采用多种方法，其中一种常见的方法是利用向量的性质。
假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)和C(x3,y3)，则向量AB可以表示为v1=(x2-x1, y2-y1)，向量AC可以表示为v2=(x3-x1, y3-y1)。
根据向量的加法，有v1+v2=(x3-x1+x2-x1, y3-y1+y2-y1)=(x3-x2, y3-y2)。
因此，向量v1和v2的和指向了点B和C之间的向量。
根据向量的模长，有AB=|v1|，AC=|v2|，BC=|v1+v2|。
利用向量的余弦定理，可得：cos∠BAC = (v1 v2) / (|v1| |v2|)cos∠ABC = ((-v1) (v1+v2)) / (|v1| |v1+v2|)cos∠ACB = ((-v2) (v1+v2)) / (|v2| |v1+v2|) 其中，表示向量的点积。
由于余弦函数在[0,π]上单调递减，可得：∠BAC < ∠ABC,∠ACBcos∠BAC > cos∠ABC,cos∠ACB将上面的式子代入，则有：AB/AC = |v1|/|v2| = sin∠ACB/sin∠BAC < sin∠ABC/sin∠BAC = BC/ABAC/BC = |v2|/|v1+v2| = sin∠ABC/sin∠ACB < sin∠ABC/sin ∠BAC = AB/BCBC/AB = |v1+v2|/|v1| = sin∠BAC/sin∠ACB < sin∠ABC/sin ∠ACB = AC/BC由于sin函数在[0,π]上单调递增，因此可以得到：sin∠BAC < sin∠ABC, sin∠ACBsin∠ACB < sin∠BAC, sin∠ABCsin∠ABC < sin∠BAC, sin∠ACB将上述结论代入，即可得到三角不等式：AB+BC > ACAC+BC > ABAB+AC > BC证毕。
关于柯西不等式的证明
关于柯西不等式的证明柯西不等式也被称为柯西-施瓦茨不等式，是线性代数中一个重要的不等式，用于衡量两个向量之间的内积值。
它是柯西首次给出的，施瓦茨之后对其进行了发展和扩展。
柯西不等式表明，任意两个向量之间的内积的绝对值不会大于向量的模的乘积。
柯西不等式的表述如下：对于两个n维的向量A(x_1,x_2,...,x_n)和B(y_1,y_2,...,y_n)，它们的内积满足以下不等式：A·B，≤，A，×，B接下来，我们将证明柯西不等式。
首先，令t为任意实数，并定义函数f(t)=，A-tB，^2，其中，·，表示向量的模，^2表示平方。
根据向量的内积定义，可知f(t)=(A-tB)·(A-tB)=(A·A)-2t(A·B)+t^2(B·B)=，A，^2-2t(A·B)+t^2，B，^2由于t为任意实数，因此f(t)为一个关于t的二次函数。
接下来，我们考虑该二次函数的性质。
由于f(t)=，A-tB，^2≥0，所以二次函数对于所有的t都有非负的值。
根据二次函数的性质，当二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac ≤ 0时，该二次函数的值不会取得最小值。
其中，a、b和c是二次函数f(t) =at^2 + bt + c的系数。
对于f(t)=，A-tB，^2，我们可以将其写成f(t)=，B，^2t^2-2(A·B)t+，A，^2根据二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac，我们可以得到Δ=(-2(A·B))^2-4，B，^2，A，^2由于Δ≤0，所以4(A·B)^2-4，B，^2，A，^2≤0继续变换不等式(A·B)^2≤，A，^2，B，^2因此A·B，≤，A，×，B柯西不等式得证。
柯西不等式的证明可以通过几何方法进行解释。
根据柯西不等式，两个向量的内积的绝对值不会大于向量的模的乘积。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是数学中一个重要的不等式，具有广泛的应用。
本文将列举一些柯西不等式的应用，并对这些应用进行详细讲解。
应用一：向量内积的最大值柯西不等式给出了两个向量内积的最大值。
具体表述为：对于任意两个n维向量a和b，它们的内积满足：|a·b| ≤||a|| ||b|| ，其中||a||和||b||分别表示向量a和b的范数（长度）。
利用柯西不等式，我们可以得到向量内积的最大值。
当两个向量a和b线性相关时，内积达到最大值；当两个向量a和b正交时，内积达到最小值。
应用二：函数内积的最大值在函数空间中，柯西不等式同样适用。
给定两个定义域为[a,b]的函数f(x)和g(x)，它们的内积满足：|∫f(x)g(x) dx| ≤ (∫f^2(x) dx)^(1/2) (∫g^2(x) dx)^(1/2)。
利用柯西不等式，我们可以得到函数内积的最大值。
当两个函数f(x)和g(x)线性相关时，内积达到最大值；当两个函数f(x)和g(x)正交时，内积达到最小值。
应用三：平均值与均方差的关系柯西不等式可以用来证明平均值与均方差的关系。
具体表述为：对于任意n个实数x1,x2,…,xn，它们的平均值avg和均方差sd满足：avg^2 ≤ sd^2，其中avg = (x1+x2+…+xn)/n，sd = [(x1-avg)^2 + (x2-avg)^2 + … + (xn-avg)^2]/n。
利用柯西不等式，我们可以得到均方差的最小值。
当n个实数x1,x2,…,xn相等时，均方差达到最小值；当n个实数x1,x2,…,xn分别与极值相等时，均方差达到最大值。
应用四：不等式约束条件下的最优化在最优化问题中，柯西不等式可以用来求解不等式约束条件下的最优解。
具体表述为：对于一组实数x1,x2,…,xn和正实数a1,a2,…,an，满足不等式约束条件：(x12/a12) + (x22/a22) + … + (xn2/an2) ≤ 1，以及目标函数f(x1,x2,…,xn)。
向量不等式｜a·b｜≤｜a｜｜b｜的妙用
向量不等式｜ab｜≤｜a｜｜b｜的妙用
高召
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2006(000)007
【摘要】根据向量数量积的定义：a·b=｜a｜｜b｜cosθ ，易得向量不等式｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a,b同向，共线即b=λa（λ〉0）时取等号）。
此不等式结构简单，形式优美，内涵丰富，利用它可巧妙地解决一类求函数最值和不等式证明问题。
下面举例说明它的一些应用。
【总页数】1页(P7)
【作者】高召
【作者单位】河南省三门峡市第一高中,472000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.向量拟变分不等式与标量广义拟变分不等式之间的关系 [J], 张杰
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5.一个简单不等式在证明数列不等式中的妙用 [J], 谈玉楼
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向量解决不等式
向量解决不等式
向量在解决不等式问题时，主要用途是作为连接不同问题之间的桥梁，或者作为创造新的解题方法的工具。
以下是一个使用向量来解决不等式问题的简单例子。
例题：设a, b, c, d是实数，且a²+ b²= c²+ d²。
我们需要证明：ac + bd ≥√(a²+ b²) * √(c²+ d²)。
证明：为了证明这个不等式，我们可以构造两个向量并用向量的点积来进行证明。
设向量A = (a, b)，向量B = (c, d)。
根据向量点积的定义，向量A与向量B的点积为a*c + b*d。
由于$a^2 + b^2 = c^2 + d^2$，根据向量的模长公式，我们可以得到向量A 的模为√(a²+ b²)，向量B的模为√(c²+ d²)。
根据向量点积的性质，当两个向量的模长确定时，它们的点积取得最大值当且仅当这两个向量是共线的，并且它们的方向相同。
因此，向量A与向量B的点积不大于√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d^2)。
整理上述不等式，我们可以得到ac + bd ≥√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d²)。
因此，我们证明了给定的不等式。
向量法证明柯西不等式
教学内容：第一部分：自我介绍及课堂纪律要求第二部分：课程介绍1、教材及参考书、参考视频说明2、课程教学说明3、本课程学习导入第一节饭店产品及其构成、性质一、饭店产品内涵饭店产品是有形设施设备和无形服务的结合。
（一）饭店产品的品质、品味与品牌品质是通过控制管理而形成稳定的产品质量，是饭店产品的基础。
品位是对产品赋予文化内涵而形成特色和成熟的风格，是对标准化产品的超越。
品牌则是在品质、品位的基础上形成的市场的认可度、美誉度和消费者的忠诚度。
星级是不是品牌？（二）饭店产品的层次1.饭店产品的核心饭店产品的核心是饭店产品最基本的效用和功能，即饭店顾客餐饮等最基本需要的实现。
2.饭店产品核心的表现形式服务是饭店核心产品的表现形式，也是促进饭店市场营销交换的实现、创造饭店利润价值空间以及确立饭店产品差异性的关键组成部分之一。
3.饭店产品的附加价值饭店产品的附加价值，既包括顾客通过购买饭店产品而获得的较高享受和满足的精神文化氛围，也包括为了满足个别宾客的需要而提供的特殊和临时性的服务。
饭店产品服务构成分析核心服务第二节饭店产品的功能结构及其演变一、饭店产品功能结构分析1 主体功能2 选择功能额外创收和辅助性作用吸引力和影响力重要形象和卖点3支持功能不可或缺起保障作用的功能智能化加以解决二、饭店产品功能结构划分方式1 实用功能、外观功能与象征功能2 标识功能惯例功能3 平行功能和上下位功能三功能结构演变既有“公共场所”，又有“私人空间”住宿的基本功能，又有强烈的体验性什么是体验？第三节饭店产品的创新开发生命周期理论典型的四个阶段导入期成长期成熟期衰退期必须运用创新观念一、饭店产品创新明确两个概念饭店产品创新：在功能、结构、技术、规格、实物、符号、服务等方面与老产品有显著差异。
饭店新产品有差别或完全不同什么是“新”？顾客界面创新二、饭店产品开发过程六大过程1 分析可行性2构思开发新产品的方案3挑选最佳方案4组织开发新产品5试销新产品6正式推出新产品三、饭店产品开发的保障条件1 观念创新2知识创新3技术创新4管理创新5组织机构和结构创新6制度创新7环境创新四、饭店创新的特征1 新颖性2变革性3协同性4延续性5价值型6风险性五饭店产品创新的着力点1 物质环境时代设计思想、材料与施工技术进步2服务氛围人文价值和境界观念与思想的集中体现3消费氛围物质环境和服务氛围的历史积淀七天连锁酒店7天连锁酒店在2010年11月20日在纽约证交所成功上市。
向量法证明不等式(精选多篇)
向量法证明不等式(精选多篇)第一篇：向量法证明不等式向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈r，i=1，…，n)规定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即例1设a，b，c∈r+，求证：(a+b+c)≤++≤.证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，则由综上，原不等式成立.点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.作单位向量j⊥acj(ac+cb)=jabjac+jcb=jabjcb=jab|cb|cos(π/2-∠c)=|ab|cos(π/2-∠a)即|cb|sinc=|ab|sinaa/sina=c/sinc其余边同理在三角形abc平面上做一单位向量i,i⊥bc,因为ba+ac+cb=0恒成立，两边乘以i 得i*ba+i*ac=0①根据向量内积定义，i*ba=c*cos(i,ab)=c*sinb,同理i*ac=bcos(i,ac)=b(-sinc)=-bsinc代入①得csinb-bsinc=0所以b/sinb=c/sinc类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sina=b/sinb,所以a/sina=b/sinb=c/sinc步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。
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作ch⊥ab垂足为点hch=a·sinbch=b·sina∴a·sinb=b·sina得到a/sina=b/sinb同理，在△abc中，b/sinb=c/sinc步骤3.证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交⊙o于d.连接da.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.所以c/sinc=c/sind=bd=2r类似可证其余两个等式。
运用向量可以证明不等式向量一章中有两处涉及到不等式，其一，?a?a+???b?a?b或-???b?a?b；其二，??a?b??a?b。
前者的几何意义是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，后者是数量积的性质，这两个结论用于证明不等式，可以使证明思路清晰明快，过程简单明了之功效。
????一、利用a-b?a?b证明不等式例1、函数f(x)?，a?b，求证：f(a)?f(b)?a?b解析：f(a)?f(b)?a?b即??a?b??构造两个向量 a?(1,a),b?(1,b)，?可??以理解为两个向量的模的差a?b，那么a?b表示向量???c?(0,a?b)的模，其中a?b?(1,a)?(1,b)?(0,a?b) 。
????因此，原不等式等价于证明a?b?a?b，其中a?b，向量 ??a和b 不可能同向，不取等号。
????二利用a?b?ab证明不等式2222例2 、已知实数mnxy满足m?n?a,x?y?b（a?b），求mx?ny得最大值???解析：构造向量a?(m,n),b?(x,y)，则a?? ??a?b?mx?ny????，因为a?b?ab，所以mx?ny??my?nx取最大值。
?例3、已知a?b?1,解析：构造向量???a?b?1m?，n??12?2 ???n?(1,1),m?，。
???。
m?n?????因为m?n???m?n所以，??????n??n?2。
用向量法证明步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c ∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。
作ch⊥ab垂足为点hch=a·sinbch=b·sina∴a·sinb=b·sina得到a/sina=b/sinb同理，在△abc中，b/sinb=c/sinc步骤3.证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交⊙o于d.连接da.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.所以c/sinc=c/sind=bd=2r类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!2设向量ab=a,向量ac=b，向量am=c向量bm=d,延长am到d使am=dm，连接bd,cd,则abcd为平行四边形则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c平方(1)向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d平方(2)(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方c平方=1/2(a+b)-d平方am^2=1/2(ab^2+ac^2)-bm^23已知ef是梯形abcd的中位线，且ad//bc，用向量法证明梯形的中位线定理过a做ag‖dc交ef于p点由三角形中位线定理有：向量ep=?向量bg又∵ad‖pf‖gc且ag‖dc∴向量pf=向量ad=向量gc(平行四边形性质)∴向量pf=?(向量ad+向量gc)∴向量ep+向量pf=?(向量bg+向量ad+向量gc)∴向量ef=?(向量ad+向量bc)∴ef‖ad‖bc且ef=(ad+bc)得证4先假设两条中线ad,be交与p点连接cp,取ab中点f连接pfpa+pc=2pe=bppb+pc=2pd=appa+pb=2pf三式相加2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf3pa+3pb+2pc=2pf6pf+2pc=2pfpc=-2pf所以pc,pf共线，pf就是中线所以abc的三条中线交于一点p连接od,oe,ofoa+ob=2ofoc+ob=2odoc+oc=2oe三式相加oa+ob+oc=od+oe+ofod=op+pdoe=op+peof=op+pfoa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp 由第一问结论2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp2pa+2pb+2pc=01/2ap+1/2bp+1/2cp所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量)构造法证明不等式由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使得不等式证明成为中学数学的难点之一.下面通过数例介绍构造法在证明不等式中的应用.一、构造一次函数法证明不等式有些不等式可以和一次函数建立直接联系，通过构造一次函数式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的证明.例1设0≤a、b、c≤2，求证：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.证明：视a为自变量，构造一次函数=4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=(bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，由0≤a≤2，知表示一条线段.又=b+c-2bc=(b-c)≥0，=b+c-4b-4c+8=(b-2)+(c-2)≥0，可见上述线段在横轴及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.二、构造二次函数法证明不等式对一些不等式证明的题目，若能巧妙构造一元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明.例2实数a、b、c满足(a+c)(a+b+c)4a(a+b+c).证明：由已知得a=0时，b≠c，否则与(a+c)(a+b+c)<0矛盾，故a=0时，(b-c)>4a(a+b+c)成立.当a≠0时，构造二次函数=ax+(b-c)x+(a+b+c)，则有=a+b+c，=2(a+c)，而·=2(a+c)(a+b+c)<0，∴存在m，当-1不等式的证明（一）（比较法）点击要点1．作差比较法证明不等式的步骤是：、、变形是手段，判断差的符号才是目的．常用的变形方法有：配方法、通分法、因式分解法等．有时把差变形为常数，有时变形为常数与几个数平方和的形式，有时变形为几个因式积的形式等．总之，变形到能即可．2．商比法：若b＞0，欲证a≥b，只需证步骤：；；判断商值与的大小关系．指数不等式常用证明．有时要用到指数函数的性质．如若a＞1，且x＞0，则等．学习策略解答本节习题应把握以下几个方面：（1）准确理解比较法的概念；（2）综合应用作差比较法、作商比较法证明不等式；（3）要注意等价转化的思想、化归思想的应用；（4）本节知识易错点是不能合理运用因式分解和正确使用指数函数的性质解题。
高考展望本节知识在高考中以考查比较法证明不等式为主，考点有比较法证明不等式，经常与一次函数、二次函数、对数函数等知识结合考查，多以选择题、填空题为主。
练好你的基本功！1．已知a、b、c∈r，那么，下列命题正确的是()ab??22 a．a＞b?ac＞bcb．a＞bc．a3＞b3且ab＞0?1111???22abd．a＞b且ab＞0ab2．设a、b∈r，下面的不等式成立的是()a．a2＋3ab＞b2b．ab－a＞b＋abaa?1?bb?1d．a2＋b2≥2(a－b－1) c．3．在横线上填写恰当的符号(＞，≥，＝，＜，≤)2x2(1)若x∈r，且x≠1，那么，1?x．(2)若0＜a＜1，那么(1－a)－a)． 1413(3)若a＞0，a≠1，那么loga(1＋a)_____loga(1＋a)．(4)当x≥1时，那么x5＋x4＋x32＋x＋1．4．设p＝a2b2＋5，q＝2ab－a2－4a，若p＞q，则实数a，b满足的条件为________．5．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为2lg(1＋ab)_____lg(1＋a)＋lg(1＋b)．提升你的能力！基础巩固题1．设0＜a＜2，下列不等式成立的是()1111?1?a2?1?a2?1?a2??1?a2?1?ab．1?a1?a a．1?ac．1?a2?1111??1?a2?1?a2??1?a21?a1?a1?ad．1?a2．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是()11?a．ab11?b．a?bac．｜a｜＞｜b｜d．a2＞b23．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则下列不等式中恒成立的是()aa?maa?m??1?a．bb?mb．bb?(收藏，)maa?ma?ma??11??b?mb c．bb?md．4．设a、b∈r，用不等号连接下列两个式子，a2＋b2＋ab＋1_____a ＋b．5．已知a＞b＞c，求证：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2 综合应用题11?1．a，b∈r，那么ab成立的一个充分非必要条件是()a．a＞bb．ab(a－b)＜0c．0＜a＜bd．a＜b2．设0＜a＜b＜1，则a＋b，2ab，a2＋b2，2ab中最大的值是() ab a．a2＋b2b．a＋bc．2abd．23．已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是()a．a＞b＞2＞abb．a＞2＞ab＞ba?ba?bc．a＞2＞b＞abd．a＞ab＞2＞b4．若x为正数，且x3－x＝2，则x与5的大小关系为_____．a2b25．设a>b>c，求证：a?b+b?c>a+2b+c.6．已知a＞b＞c＞0，求证:aabb＞(abc)1(a?b?c)3 探索创新题1x?11．11．设a＞0，a≠1，x＞0，比较2logax与loga2的大小，并证明你的结论．2．12．甲、乙两个粮油公司，同时在某地按同一批发价格购进粮食，他们各购粮两次，已知每次批发价格互不相同，甲公司每次购粮为1万千克，乙公司每次用1万元购粮，试比较这两种购粮方法，哪一种购粮方法购得的粮食平均批发价格较低，并证明你的结论．试试你的身手！1．2．内容仅供参考。