基本不等式的向量形式
向量形式的基本不等式
一
由向量基本 不等式有 ２ ｎ ＋３ ｂ ＞口 ＋２ ＋２ ａ
６ ＞ ＋４ ａ・ｂ ，
所 以 Ｓ有 ３个不 同的值 ， 结论①是错误 的． 由于 一 ＋４ ａ・ ｂ ， 当 ａ＿ ｌ － ｂ时 ， 。 一
Ｉ ｂ Ｉ 与ｌ ａ ｌ 无关 ， 结 论②正确．
一
⑤若 ｆ ｂ ｌ 一２ Ｉ ａ ｌ ， 一８ ｌ ａ ｌ ， 则ａ 与ｂ 的夹角
为 ．
解
ａ。
、 、
由于数量积 ｘ ｉ ｙ （ 一１ ， ２ ， …， ５ ） 的值 只有
ａ・ ｂ三种情形 ， 考虑 到两组 向量 １ ， Ｘ ２ ， Ｘ ３ ， ， Ｘ ５ 和Ｙ ｌ ， Ｙ ２ ， Ｙ ３ ，
一
记 Ｓ ＝ｘ １ Ｙ １ ＋ｘ ｚ ｙ ２ － ｝ － ｘ ￣ ｙ ３ ＋Ｘ ４ Ｙ ４ ．
（ ４ ａ） ］＞Ｏ ， 结论④正确 ． 若ｌ ｂ ｊ 一２ ｌ ａ ｌ ， ５ 一８ Ｉ ａ ｝ 。 ， 则
ｂ 。 ＋４ ａ・ｂ ＝８ ｌ ａｌ 。 ．
由题意 知 ， 数量积 ｘ ｉ ｙ 的值 只 有 ａ 、 、 ａ・ ｂ ｊ种情形 ， 考虑 到 两组 向量 ｔ ， 娩， 托， Ｘ ４ 和Ｙ ｌ ， Ｙ ｚ ， Ｙ ３ ， Ｙ ４ 共有 ４ 个 ａ和 ４ 个６ ， 所以 Ｓ ＝２ ａ ＋２ 、 ａ 。 ＋ ＋２ ａ・ ｂ 、４ ａ・ ｂ ． 由向量基本 不 等式有 ２ ＋２ ＞口 ＋ ＋２ ａ・ ＞４ 口・ ｂ ． 所以 Ｓ 一４ ａ・ 记 向量 ａ与 ｂ的夹 角为 ，
综 上可得 ， 本题 中正确 的结论是 ② 、 ④． 例３ （ ２ ０ １ ２高考数 学安徽 卷理科 第 １ ４题 ） 若 平 面 向量 ａ ， ｂ 满足 ｌ ２ 口 一易 ｝ ≤３ ， 则 ａ・ ｂ的最小 值
不等式总结
不等式总结一、不等式的性质1．（不等式建立的基础）两个实数a 与b 之间的大小关系(1)a b 0a b (2)a b =0a =b (3)a b 0a b －＞＞；－；－＜＜．⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎩⎪若、，则＞＞；；＜＜． a b R (4)a b 1a b (5)a b =1a =b (6)a b 1a b ∈⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪+2．不等式的性质(1)a b b a()＞＜对称性⇔(2)a b b c a c()＞＞＞传递性⎫⎬⎭⇒(3)a b a c b c()＞＋＞＋加法单调性⇔a b c 0 ac bc ＞＞＞⎫⎬⎭⇒(4) (乘法单调性)a b c 0 ac bc ＞＜＜⎫⎬⎭⇒(5)a b c a c b()＋＞＞－移项法则⇒(6)a b c d a c b d()＞＞＋＞＋同向不等式可加⎫⎬⎭⇒ ---不等式相加(7)a b c d a c b d()＞＜－＞－异向不等式可减⎫⎬⎭⇒ ---不等式相减(8)a b 0c d 0ac bd()＞＞＞＞＞同向正数不等式可乘⎫⎬⎭⇒---不等式相乘(9)a b 00c d b d ()＞＞＜＜＞异向正数不等式可除⎫⎬⎭⇒a c --不等式相除(10)a b 0n N a b ()n n ＞＞＞正数不等式可乘方∈⎫⎬⎭⇒ 乘方法则(11)a b 0n N a ()n ＞＞＞正数不等式可开方∈⎫⎬⎭⇒b n 开方(12)a b 01a ()＞＞＜正数不等式两边取倒数⇒1b ----倒数法则3．绝对值不等式的性质 (1)|a|a |a|= a (a 0)a (a 0)≥；≥，－＜．⎧⎨⎩(2)如果a ＞0，那么|x|a x a a x a 22＜＜－＜＜；⇔⇔|x|a x a x a x a 22＞＞＞或＜－．⇔⇔(3)|a ·b|＝|a|·|b|．(4)|a b | (b 0)＝≠．||||a b(5)|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|．(6)|a 1＋a 2＋……＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋……＋|a n |．4. 基本不等式（1）如果a ，b 是正数，那么ab ≤2b a +，当且仅当a=b 时，等号成立。
基本不等式常用公式
基本不等式常用公式
基本不等式是初中数学的基础，可以表示为：对于任意实数a，b，有(a+b)/2≥√(ab)，且等号仅在a=b 时取得。
除了基本不等式，其他一些常用的不等式公式包括：
1. 柯西-施瓦茨不等式：对于任何两个向量 a 和b，有|a·b|≤|a|·|b|，且等号仅在a 和b 共线时取得。
2. 三角不等式：对于任何两个实数a 和b，有|a+b|≤|a|+|b|，且等号仅在a 和b 同号时取得。
3. 约旦不等式：对于任何两个实数a 和b，有|a-b|≥|a|-|b|，且等号仅在a 和b 同号时取得。
4. 均值不等式：对于任何一组非负实数a1、a2、...、an，有(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)，且等号仅在a1=a2=...=an 时取得。
这些不等式公式广泛应用于数学、物理等领域，可帮助我们解决各种问题。
基本不等式完整版
基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。
2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。
3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。
向量模的基本不等式
向量模的基本不等式
向量模是向量的长度，在计算中经常使用，而向量模的基本不等式是数学中的一个重要定理。
该定理可以用于证明向量的大小和方向的关系，而且在很多数学、物理和工程领域都有广泛的应用。
向量模的基本不等式可以表示为：对于任意向量a和b，有
|a+b|<=|a|+|b|。
这个不等式表明，当两个向量相加时，它们的和的模不会超过它们的模之和。
这个不等式也可以被理解为三角形不等式的扩展，即任意两个向量的和的模不会超过它们的模之和。
这个基本不等式有很多有用的推论。
例如，如果两个向量的模相等，那么它们的和的模也相等；如果一个向量的模为0，则它是一个零向量。
此外，向量模的基本不等式也可以用于证明其他重要的不等式，如柯西-施瓦茨不等式和三角形不等式。
在物理学中，这个不等式也有广泛的应用，尤其是在力学中，用于计算物体的加速度、速度和位移等。
总之，向量模的基本不等式作为数学中的重要定理，有着广泛的应用。
通过理解和掌握这个不等式，我们可以更好地理解向量的性质，同时也可以更好地应用向量来解决各种实际问题。
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不等式讲义
不等式精品讲义一、不等式的基本性质 （1）对称性：a >b ⇔b <a ； （2）传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； （3）可加性：a >b ，c ∈R ⇔a +c >b +c ； （4）加法法则：a >b ，c >d ⇒a +c >b +d ；（5）可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ； （6）乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；（7）乘方法则：a >b >0⇒a n >b n （n ∈N ∗，且n >1）； （8）开方法则：a >b >0⇒√a n>√b n（n ∈N ∗，且n >1）； （9）倒数法则：110a b a b>>⇒<； （10）有关分数的性质：若 a >b >0，m >0，则①真分数的性质：b b m a a m +<+；b b ma a m −>−； ②假分数的性质：a a mb b m +>+；a a mb b m−<−； （11）**不等式的对称性（了解）设f(x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是一个n 元函数. 若将x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n 中任意的两个变元互相交换位置，得到的f 与原式是恒等的，则称 f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是完全对称的. 如xy +yz +zx ，a b cb c c a a b+++++等. 设f(x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是一个n 元函数. 若作置换 x 1→x 2,x 2→x 3,⋅⋅⋅,x n−1→x n ,x n →x 1，得到的f 与原式是恒等的，则称f(x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是轮换对称的. 如x 3y +y 3z +z 3x ，a b ca b b c c a+++++等. 显然，完全对称的一定是轮换对称的.二、重要不等式1.无理式化为有理式，分式化为整式 （12()0()0() ()0()()g x g x g x f x f x g x <≥⎧⎧>⇔⎨⎨≥>⎩⎩或2()0()()0()()g x g x f x f x g x >⎧⎪<⇔≥⎨⎪<⎩()0(0()0 ()0g x f x g x f x >⎧≥⇔=⎨≥⎩或（2）()()()00()f x f xg x g x >⇔⋅> ()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩2.1. 含有绝对值的不等式（1）()()()() ()()f x g x f x g x f x g x ≥⇔≥≤−或； （2）|()|()()()()f x g x g x f x g x ≤⇔−≤≤；（3）对形如|x −a|+|x −b|≤(≥)c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． （4）含有绝对值的不等式的性质|a|−|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|.取等条件：不等式|a|−|b|≤|a +b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≥0，左侧“=”成立的条件是ab ≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|−|b|≤|a −b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≤0，左侧“=”成立的条件是ab ≥0，且|a|≥|b|.2.2. 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)的解 （设 Δ=b 2−4ac ）对于a <0的情况，先移项将系数变为正然后求解. 2.3．基本不等式（1）设a,b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立．（2）若 a,b >0，则2a b+≥，当且仅当a =b 时，等号成立． （3）若 a,b >0，则2112a b a b+≤≤≤+，当且仅当a =b 时，等号成立． 其中，211a b+称为几何平均数，2a b +2.4. 柯西不等式（1）柯西不等式简单形式：,,,a b x y R ∈，()()22222()ab x y ax by ++≥+，()()22222()ax by a b x y −≥−−证：()()()2222222222222222222222()22()0ab x y ax by a x b y a y b x a x axby b ya yb x axby ay bx ++−+=+++−++=+−=−≥()()()()2222222222222222222222()22()0ax by a b x y a x axby b y a x a y b x b y a y b x axby ay bx −−−−=−+−−−+=+−=−≥ 得证. 当ay bx =时取等号.（2）柯西不等式向量形式：|α⃗⋅β⃗|≤|α⃗|⋅|β⃗|如图，设在平面直角坐标系xOy 中有向量α⃗=(a,b),β⃗=(c,d)，α⃗与β⃗之间的夹角为θ，0≤θ≤π. 根据向量数量积的定义，有α⃗⋅β⃗=|α⃗|⋅|β⃗|cosθ，因为|cosθ|≤1，所以|α⃗⋅β⃗|≤|α⃗|⋅|β⃗|. 当且仅当β⃗是零向量，或者α⃗//β⃗时取等. （3）二维形式的三角不等式：√x 12+y 12+√x 22+y 22≥√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2当且仅当P 1,P 2与原点O 在同一直线上，并且点P 1,P 2在原点O 两旁时，式中的等号成立.三、例题展示 3.1 比较法【例1】设a 、b 是非负实数，求证：)3322.a b a b +≥+【证明】3322)a b a b a b ++=+55]=−当a b ≥≥，从而55≥，得55]0−≥；当a b <<，从而55<，得55]0−<；所以)3322.a b a b +≥+【例2】已知,a b R +∈，证明：a bb aa b a b ≥.【证明】,a b R +∈，0b aa b ∴>，a ba b a b b a a b a b a a a b b b −−−⎛⎫== ⎪⎝⎭∴当a b ≥时，1a b ≥，0a b −≥，于是1a ba b −⎛⎫⎪⎝⎭≥；当a b <时，1a bb aa b b a −−⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎝⎭=>⎭.所以a bb aa b a b ≥.【例3】设1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则( )A ．abaa ab << B ．aab a b a<<C ．b a a a a b <<D ．b a aa b a <<【答案】C【解析】∵1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0 1.1a a a b b b a a a b a b a −∴<<<∴>=>，b aa a ∴<|,01,0,1aaa a a a a a ab b b b ⎛⎫⎛⎫=<<>∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a a b a a a b a a b ∴<∴<<，. 故答案为：C3.2 分析法1. 凑项【例4】设a >1，则2213M a a =+−的最小值是 ▲ ． 【答案】5【解析】22133335M a a −+=−+≥= 当且仅当22133a a −=− ，即2a =时取等号. 【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型. 【练习】设x,y 为正实数，且43112x y+=++，则xy 的最小值为 ▲ ． 【答案】27 【解析】因为43112x y +=++，所以3(3)1y x y +=−，,0x y >，1y ∴>因此3(3)43(1)5352711y y xy y y y ⎡⎤⎡⎤+==+−+≥=⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦当且仅当y −1=2,y =3时取等号，即xy 的最小值为27. 未知定值（没有形如“a +b =1”这样的定值式） 【例5】设x,y 为正实数，则433x yM x y x=++的最小值为 【答案】3【解析一】配凑434311333x y x x y x y x x y x ++=+−≥=++， 当且仅当433x x yx y x+=+时，即x =3y 取等号.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法，其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件，对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题，要灵活依据条件或待求式合理构造定值式． 【解析二】比值换元 令y =kx ，k >0则443(31)1131313M k k k k =+=++−≥=++. 当且仅当41313k k =++时，即13k =时取等号. 【点评】由于分子，分母皆为x,y 的一次方式子，通过减量换元的方法可将两个未知量x,y 减少为一个未知量k ，再通过一元函数求值域的方法或者基本不等式求出最值. 【例6】已知,0x y >，2811x y+=，则x y +的最小值为. 22818122x x k k x y k y k k k xy x y ⎛⎫+++−=++++−≥= ⎪⎝⎭取等条件：22822424811x x k x x k y y y k xy ⎧==⎪⎪=⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪+=⎪⎩所求最小值为6k =28186x x y x y y xy x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭取等条件：482x x y y x y =⎧==⇒⎨=⎩2. 凑系数【例7】 当0<x <4时， y =x(8−2x)的最大值为 ▲ ． 【答案】8【分析】由0<x <4知8−2x >0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x +(8−2x)=8为定值，故只需将y =x(8−2x)凑上一个系数即可．【解析】[]211282(82)2(82)8222x x y x x x x −−⎛⎫=−=⋅−≤= ⎪⎝⎭，当2x =8−2x ，即x =2时取等号，∴当x =2时，y =x(8−2x)的最大值为8．【评注】本题也可通过二次函数求最值的方法求解，当无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．【练习】已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，则3122M x y x y=++−的最小值是 ▲ ．【分析】将x y +凑出λ(x +3y)+μ(x −y)的形式（本质是换元法），即可使用均值不等式或者柯西不等式求出最小值：[]231(2)(2)2x y x y x y x y λμ⎛⎫+++−≥ ⎪+−⎝⎭【解析】31(2)(2)(2)(2),55x y x y x y x y λμλμλμλμ++−=++−=+⇒== 即31(2)(2)55x y x y x y +=++−， 313113119138(2)(2)2222225525555M x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤⎛⎫∴=+=+⋅++−≥++⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+−+−⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 取等条件：3222212x x y x y x y y ⎧=⎪−=+⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩ 或者直接换元：令x +2y =m ，2x −y =n ，可得1221,5555x m n y m n =+=−，即 122132155551010m nx y m n m n +=++−=⇒+=313139133811010101010105m n m n M m n m n n m ⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 3. 凑完全平方式凑完全平方式用于条件与问题皆为一次、二次式的情况. 【例8】已知4x 2+y 2+xy =5，求M =2x +y 的最大值. 解：取参数k ∈R ，M 2=(2x +y )2+k (4x 2+y 2+xy −5) =(4+4k)x 2+(4+k)xy +(1+k)y 2−5k当(4+4k)x 2+(4+k)xy +(1+k)y 2为完全平方式时， (4+k 2)2=(4+4k )(1+k )时，即k =−85时，有M 2=−35(2x −y)2+8≤8.于是{2x −y =04x 2+y 2+xy =5，{x =√22y =√2时，2x +y 有最大值2√2.【例9】若22425x xy y −+=，则223M x y =+的取值范围是 . 取参数k R ∈，有()()()222222342534125M x y k x xy y k x kxy k y k =++−+−=+−++−当()()22341k x kxy k y +−++为完全平方式时，有最值.于是令()()226341,235k k k x ⎛⎫++=⇒=−− ⎪⎝⎭当23x =−时，()22212125125253333333M x xy y x y =+++=++≥ 取等条件：0x y +=.即6666x x y y ⎧⎧==−⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=−=⎪⎪⎩⎩或 当65x =−时，()222961130330305555M x xy y x y =−+−+=−−+≤取等条件：30x y −=，即x y ==于是所求的取值范围是25303⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【评析】将问题中223x y +变为()212533x y ++的形式，可得最小值；变为()213305x y −−+的形式可得最大值. 变形过程需要利用已知条件凑成完全平方，于是设出参数，列方程求解即可. 4. 分离对于2ax bx cx d +++形式的分式函数，将分子降次，化为1m m+的形式运用不等式.【例10】 求2710(1)1x x y x x ++=>−+的值域．【分析】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有x +1的项，再将其分离．【解析】22710(1)5(1)44(1)5111x x x x y x x x x ++++++===++++++，当x >−1，即x +1>0时，59y ≥=（当且仅当x =1时取“＝”号）． 【练习】已知a ，b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是 . 【答案】2(√2−1)【解析】2()(2)(2)()2()222222a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b+−++−++++=+=+−≥++++++.【例11】已知,,0a b R ab ∈>，求4441a b M ab++=的最小值.【解析】442241141144a b a b M ab ab ab ab ab++++=≥==+≥.取等条件：44142144a a b ab b ab ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩【例12】已知0,0x y >>，且25x y +=的最小值为【解析】===≥取等条件：62531x yxy+=⎧=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩=⎨⎩【练习】变形：已知0,0x y>>的最小值为.【解析】拆开运用基本不等式：≥=≥或用柯西不等式：)2(1)(21)1x y++≥，21+≥=≥取等条件：12112x y xy=⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎩=.3.3 代换对于一些结构比较复杂，变元较多而变化关系不太清楚的不等式，可适当引进一些新的变量或等式进行代换，以简化其结构.主要目的：非标准问题标准化；复杂问题简单化；降次；化分式为整式；化无理式为有理式；化超越式为代数式.1. 消元【例13】已知实数,0x y>，且811x y+=，求2x y+的取值范围.【解析】由已知条件得8xyx=−，08y x>⇒>，22(8)161628101018888x xx y x x xx x x−++=+=+=−++≥=−−−，取等条件168128x x x −=⇒=−，38xy x ==−. 2. 整体代换（“1”的代换）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错． 【例14】已知x >0,y >0，且1x +9y =1，求x +y 的最小值．【错解】 x >0,y >0，且1x +9y =1， x +y =(1x +9y )(x +y)≥2√9xy 2√xy =12，故(x +y)min =12．【错因】解法中两次连用基本不等式，在x +y ≥2√xy 等号成立条件是x =y ，在1x +9y ≥2√9xy 等号成立条件是1x =9y ，即y =9x ，取等号的条件的不一致，产生错误．因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法． 【正解】x >0,y >0,1x +9y =1∴x +y =(x +y)(1x +9y )=yx +9x y+10≥6+10=16 ，当且仅当y x =9x y时，上式等号成立，又1x +9y =1，可得x =4,y =12时，(x +y)min =16．【练习】已知正实数x,y 满足111x y +=，则3411x yx y +−−的最小值为________． 【答案】7+4√3【解析】正实数x ，y 满足1x +1y =1，则：x +y =xy ， 则：3473443111x y xy x yx y x y xy x y −−+==+−−−−+，1143(43)4377x y x y x y y x ⎛⎫∴++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭故3411x yx y +−−的最小值为7+4√3． 【例15】已知a ，b 为正实数，2b +ab +a ＝30，求y =1ab 的最小值．【分析】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行． 【解法一】由已知得a =30−2b b+1,ab =30−2b b+1⋅b =−2b 2+30b b+1．∵a ＞0，∴0＜b ＜15．∴令t ＝b +1，则1<t <16， ∴ab =−2t 2+34t−31t=−2(t +16t)+34．∵t +16t≥2√t ⋅16t=8，∴ab ≤18,∴y ≥118，当且仅当t ＝4，即a ＝6，b ＝3时，等号成立．【解法二】由已知得：30−ab =a +2b ．∵a +2b ≥2√2ab ，∴30−ab ≥2√2ab ． 令u =√ab ，则u 2+2√2u −30≤0，−5√2≤u ≤3√2，∴√ab ≤3√2，ab ≤18，∴y ≥118． 【点评】①本题考查不等式a+b 2≥√ab(a >0,b >0)的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式ab =a +2b +30 (a >0,b >0)出发求得ab 的范围，关键是寻找到a +b 与ab 之间的关系，由此想到不等式0,0)2a ba b +≥>>，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围． 【例16】已知,0x y >且2312x y +=，求xy 的最大值.【解析】将24(06)3y x x =−<<代入得， 2224433x x x y x x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭=即可将二元变量问题转化为一元函数求值域问题，()()224,0,63f x x x x =−+∈ ()()36f x f ≤=即3,2x y ==时，xy 有最大值6. 部分使用“1的代换”若形如“已知1ma nb +=，求1(,,,,0am n a b k a kb+都是大于）的最小值”，只需部分使用“1的代换”，即1a ma nb a a kb a kb++=+ 【例17】设正实数b a , 满足ba ab a 81,2+=+则的最小值为 ．【答案】1 【解析】0,0a b >>，111111828228222a ab a b a a b a b a b +∴+=+=++≥+=+=．当且仅当28b a a b =即42,33a b ==时取得等号． 【例18】设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值. 【答案】2−【解析】因为2a b +=，所以12a b+=所以1||||||||12||4||4||4||4|||4||a ab a a b a a a aa b a b a a b a b a ++=+=++≥+=+ 当且仅当||4||b a a b+，即2||b a =时取等号， 当0a >时，1||15112||4||44a a a b a +≥+=+=； 当0a <时，1||13112||4||44a a ab a +≥+=−+=； 所以1||2||a a b +的最小值为34，此时2b a =− 又2a b +=，所以(2)2a a +−=，即2a =− 【例19】已知且，则的最小值是 . 【答案】32 【解析】222222222141414(2)(44)a b a ab b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222241684b a b a a b ab ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44b a a b +≥=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取等号； 2222168b a a b +≥=，当且仅当222216b a a b+，即2b a =时取等号； 所以2214844832a b +≥+⨯+=，当且仅当2b a =时取等号； 所以2214a b +的最小值为32 【点评】在使用“1的代换”时，注意保持两和式是同次的.；在使用两次基本不等式时，注意两次等号成立,a b R +∈21a b +=2214a b+的条件是否一致.3. 判别式法（万能K 法）判别式法（万能K 法）并不万能，很容易出错，因此求出最值后，必须验证取等条件！！如果二次项系数不为0，此方程为关于x 的一元二次方程。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：a b cc b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
schwarz不等式条件
schwarz不等式条件
Schwarz不等式（Schwarz Inequality）是数学中的一个基本不等式，它表明对于任何向量x和y，有
(x·y) ≤ x·y
其中“·”表示点积，“x”表示向量x的模。
Schwarz不等式的取等条件是：只有当两个矢量对应元素相等（或完全相同）时，不等式才能有效。
这就意味着，如果将向量x和y交换，带入Schwarz 不等式中，结果仍能保持不变。
也就是说，矢量的大小取决于它们的“内插性”，而不是它们的位置。
此外，Cauchy-Schwarz不等式是一个十分常见的不等式，其形式如下：若x，y为内积空间的元素，则有(x·y)^2 ≤ x^2·y^2。
当且仅当x和y线性相关时，等号成立。
最常在初等微积分领域应用的积分形式为：若f(x),g(x)在[a,b]上连续，则(∫f(x)g(x)dx)^2 ≤ (∫f(x)^2dx)(∫g(x)^2dx)。
当且仅当f(x)与g(x)线性相关时，等号成立。
此形式在证明许多积分不等式中有着非常广泛的应用。
以上内容仅供参考，建议查阅数学书籍或咨询数学专业人士获取更多专业解答。
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点总结向量不等式：rr r【注意】： a 、b 同向或有 0r rra 、b 反向或有 0 r r ur a 、b 不共线 || a | 代数不等式 ：a, b 同号或有 0 |a a, b 异号或有 0|aur ur ur urur ur ur ur| a b | | a | | b|≥ ||a | | b || | a b |； ur ur ur ur ur urur ur| a b | | a | | b | ≥ ||a | |b || | a b |； ur ur ur ur ur| b || |a b | |a | |b |.(这些和实数集中近似 )b | | a | |b |≥ |a | | b | |a b | ； b | |a | |b | | a | | b | | a b |.≥绝对值不等式：a 1 a 2 a 3 ≤ a 1 a 2 a 3双向不等式：ab ≤ ab ≤ abab0(0)（左侧当 ab≤ 0( 0)时获得等号，右侧当 ≥ 时获得等号 .）≥ ≤ 放缩不等式：① a b 0， a m0 ，则 b m b b m .a m a a m【说明】：b b m（ a b 0, m 0 ，糖水的浓度问题） .aa m 0，则 bb m a na .【拓展】： a b0，m 0， n 1a a mb nb②a,b, cR ，bd ， bb d d ；ac则 a a cc③ n N ，n 1n1nn 1 ；2 n④ nN , n1，1 1111nn1 n 2n 1 .n⑤ ln x ≤ 1 x ( x 0) , e x ≥ x 1 ( x R) .函数 f (x)axb(a 、 b 0) 图象及性质x(1) 函数 f ( x)axb a 、 b 0 图象如图：yxb 2 abxbaob (2) 函数 f ( x) axa 、 b0 性质：2 abxa①值域： ( , 2 ab ][ 2 ab , ) ；②单一递加区间： ( ,b] ， [ b ,) ；单一递减区间：(0,b ] ， [ b, 0) .aaaa基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：a,b Ra 2b 2 ≥ 2ab (当且仅当 ab 时取到 “ ”)．【变形】 ： ① ab ≤ a b2≤ a 2 b2a b2a 2b 2() 2 （当 a = b 时， () ab ）222【注意】：ab ≤ab( a, b R ) ，ab ≤ ( a b) 2(a ,bR)222、均值不等式：两个正数 a 、 b 的调解均匀数、几何均匀数、算术均匀数、均方根之间的关系，即 “平方均匀 ≥ 算术均匀 ≥ 几何均匀 ≥ 调解均匀 ”*. 若 x 0 ，则 x1 2 (当且仅当 x1时取“ = ”）;x若 x0 ，则 x1 2 (当且仅当 x1 时取“ = ”）x若 x0，则 x112或 x1 -2 (当且仅当 a b 时取“ = ”）x2即 xxx*. 若 ab 0，则ab 2(当且仅当 ab 时取“ = ”）ba若 ab 0 ，则ab 2即ab 2或ab -2 (当且仅当 ab 时取“ = ”）bababa3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：a 3b 33c 0等式即可建立 ， a b c 或a b c 0时取等 ）；c ≥ 3abc （ a b *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有宽泛应用，如：当ab 0 时， a 2b 22ab 同时除以 ab 得ba 2 或 b1 1 a 。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
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基本不等式的向量形式
[思维扩展]
波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．
我们知道，a 2
＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R)以及
a ＋b
2
≥ab (a ，b ∈R ＋)是
两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？
由(a －b )2＝|a －b |2≥0不难得到a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
但将
a ＋b
2
≥ab (a ，b ∈R ＋)简单地类比为
a ＋b
2
≥a ·b 就不行
了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．
注意到a ＋b
2≥ab (a ，b ∈R ＋)⇔⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
≥ab (a ，b ∈R ＋)，而不等式⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
≥a ·b 左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a ＋b )2＝(a －b )2＋4a ·b ＝|a －b |2
＋4a ·b ≥4a ·b
可得⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
≥a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
这样，我们就得到如下两个结论：
定理1 设a ，b 是两个向量，则a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
定理2 设a ，b 是两个向量，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
≥a ·b ，当且仅当a ＝b
时等号成立．
例1 若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98
解析 方法一 由定理1得 32≥|2a －b |2＝(2a －b )2 ＝(－2a )2＋b 2－4a ·b
≥2·(－2a ·b )－4a ·b ＝－8a ·b ，
所以a ·b ≥－9
8，当且仅当b ＝－2a 时等号成立，
故a ·b 的最小值是－9
8.
方法二 由定理2得
2a ·(－b )≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a －b 22＝|2a －b |24≤9
4， 则a ·b ≥－9
8，当且仅当b ＝－2a 时等号成立．
故a ·b 的最小值是－9
8
.
说明 本题可推广至一般形式：若平面向量a ，b 满足：|λa ＋b |≤
m (m >0)，则当λ>0时，a ·b 的最大值为m 2
4λ；当λ<0时，a ·b 的最
小值为m 2
4λ
.
例2 已知a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的最小值为________．
分析 此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理1此题极易作答，过程如下．
答案 12
解析 引入正参数λ，
由(a ＋b )·(a －2b )＝0得a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，则1－2b 2＝a ·b ，
1－2b 2
＝a ·b ≤12⎝
⎛⎭⎪⎫λa 2
＋1λb 2
＝12(λ＋1λb 2
)， 当且仅当λa 2
＝
1
λ
b 2，即b 2＝λ2时等号成立．
所以1－2λ2＝a ·b ≤12⎝
⎛⎭⎪⎫λa 2
＋1λb 2
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫λ＋1λ·λ2
，
解得λ＝|b |≥1
2，
故|b |的最小值为1
2
.
例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，求|c |的最大值． 解 由(a －c )·(b －c )＝0得c 2＝c ·(a ＋b )， 由定理1及已知条件得 c 2
＝c ·(a ＋b )≤12
[c 2
＋(a ＋b )2]
＝12(c 2＋a 2＋b 2)＝1
2(c 2＋2)， 解得|c |2≤2，故|c|的最大值是 2.
拓展1 已知a ，b 是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是
1cos
θ
2
.
拓展2 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的向量，且|a |＝m ，|b |＝n ，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是m 2＋n 2. 例4 平面上三点A ，B ，C 满足AB →·BC →>0，求AC →2＋
1
AB →·BC
→的最小值．
解 由定理2得0<AB →·BC →≤⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →＋BC →22＝1
4AC →2， 则 AC →2＋
1
AB →·BC →≥AC →2＋4AC →2
＝|AC →|2＋4|AC →|2≥2·|AC →|·2|AC →|＝4，
故当且仅当AB →＝BC →，且|AC →|＝2时，AC →2＋
1
AB →·BC →取得最小值4.
例5 设a ，b 满足a 2＋a ·b ＋b 2＝3，求a 2－a ·b ＋b 2的取值范围． 解 由定理1得a ·b ≤
a 2＋
b 2
2
，
所以a ·b ≤3－a ·b
2，
解得a ·b ≤1.
又由定理1得(－a )·b ≤－a 2＋b 2
2，
所以a ·b ≥－
a 2＋
b 2
2＝－3－a ·b 2
，解得a ·b ≥－3.
所以－3≤a ·b ≤1.
因为a2－a·b＋b2＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b，所以1≤a2－a·b ＋b2≤9.
以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考．。