立体几何中的数学思想
备战2024高考数学二轮复习讲义第3讲-割补思想在立体几何中的应用
第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。
割补法重在割与补，巧妙对几何体过几何图形实割与补，变整体的为局部，化不规则为规则，化陌生为熟悉，化抽象为直观。
割补法在立体几何中体现的主要的题型就是几何体的切等问题。
【应用一】割的思想在多面体的体积及几何体的内切球中的运用割的思想主要体现两种题型：一是求复杂几何体的体积、表面积等问题，此类问题通过割把复杂的几何体割成几个简单的几何体。
二是求几何体内切球的半径、体积等问题。
此类问题主要是通过球心与几何体的各点割成锥，然后运用等积法求半径。
【例1.1】已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．【例1.2】【2020年新课标3卷理科】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【思维提升】以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P －ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13△ABC ·r ＋13S△PAB·r ＋13S △PAC ·r ＋13S △PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )·r ；第三步：解出r ＝3V P －ABC S O －ABC ＋S O －PAB ＋S O －PAC ＋S O －PBC ＝3VS 表．秒杀公式(万能公式)：r ＝3V S 表【例1.3】（2023·河北唐山·统考三模）（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体)EF ABCD -．底面长方形ABCD 中3BC =，4AB =，上棱长2EF =，且EF 平面ABCD ，高（即EF 到平面ABCD 的距离）为1，O 是底面的中心，则（）A ．EO 平面BCF【变式1.1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图①，在平行四边形ABCD中，AB ===ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P 处（如图②），=PC P BCD -的内切球半径为______.【变式1.2】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知一正四面体棱长为4，其内部放置有一正方体，且正方体可以在正四面体内部绕一点任意转动，则正方体在转动过程中占据的空间体积最大为__________．【变式1.3】（2022·江苏通州·高三期末）将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ′－BD －C ，设三棱锥A ′－BDC 的外接球和内切球的半径分别为r 1，r 2，球心分别为O 1，O 2.若正方形ABCD 的边长为1，则21r r =________；O 1O 2＝__________.【应用二】补的思想在立体几何中几何体外接球中的应用解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．2．记住几个常用的结论：（1）正方体的棱长为a，球的半径为R.①对于正方体的外接球，2R；②对于正方体的内切球，2R＝a；③对于球与正方体的各棱相切，2R.（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，球的半径为R，则2R=.（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．构造法在定几何体外接球球心中的应用（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；（4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体【例2.1】（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB=BD，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【思维提升】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2．)，秒杀公式：R 2＝a 2＋b 2＋c 24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例2.2】（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体A BCD -中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==，则其外接球的体积为______.【思维提升】棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2222R a b c =++(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝x2＋y2＋z28(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【变式2.1】（2023·湖南邵阳·统考三模）三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，4,223,PA AC AB AC AB ===⊥，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为__________.【变式2.2】已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，3AD BC ==，若三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =________．【变式2.3】已知三棱锥A －BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为()A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π【变式2.4】(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()．A．62πD．6π8πB．64πC．6巩固练习1、【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．2、（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（）A．1233++D．63+C．633+B．12433、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示，底面ABCD为正方形，4EF=，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（）A．22πB．42πC．82πD．2π3A ．18B ．275、正四面体的各条棱长都为．6、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________．7、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．8、（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥-P ABC 的棱长均为4，先在三棱锥-P ABC 内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及三棱锥-P ABC 的三个侧面都相切，则球2O 的表面积为__________.第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。
立体几何教学中数学思想的培养
职 业 教 育
立体 几 何 教 学 中数 学 思 想 的培 养
罗胜 祥
摘 要 ：本文结合具体例子 ，从转化思想、分类思想、割补思想三个方面论述 了 培养学生数学思想的方法。 关 键 词 ：立体 几何 ；数 学思 想 ；转 化 ；分 类 ；割补
数 学 教学 中有 两 条 线 ，一 条 是 明线 ，即 数 学 知 识 ；一条 是 暗 线 ，即数 学 思 想 。传 统 教 学 重 “ 明” 轻 “ 暗” ，即 只 重视 知识 的传 授 ，轻 视 数 学 思想 的 培养 。这 种教学 上 的弊端 ，致 使学 生 听得懂 做 不 出 ， 这在 立体 几何 教 学 中尤 为 明显 ，所 以在 立 体 几 何 教 学 中重 视 渗 透 数 学 思 想 ，是 突破 学 习 障 碍 的 关 键 ，
养学 生严谨 地 解 决 问题 的 能力 。分类 思想 的 实质 是 将复 杂 问题 简单 化 ，解 决 分 类 问题 的关 键 ，确 定 合 理 的分类 标准 。 例 ：三个 平 面将空 间分 成几 部分 ？
笔者认为立体几何教学中应着重注意渗透以下几种
数 学思想 。 一Biblioteka 、转化思想 ・
８ ６・
・
教学教法 ・
如何 提 高思想 政 治课程 复 习 的有 效性
“ 对 症下 药 ” 。
相应 的考 试改 革 力 度 也 在 不断 加 大 ，考 查 学 生 的方
法也越来越灵活 ，考试 的主要 目的是考查学生能否 运用 课 本知 识及 用 所 学 知 识 去 观 察 、分 析 、解 决 社 会上 出现各种各样 的热点问题 ，以及能否正确地执 行党和政府 的路线 、方针 、政策 ，来检验 学生的综 合 运用 知识 能 力 和 思想 觉 悟 水 平 。 因此 ，社 会 热点 问题就成了近年来考试 的主要 内容 ，这就要求教师
数学立体几何解题技巧必看
数学立体几何解题技巧必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。
下面是小编给大家整理的一些数学立体几何解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。
高考数学答题技巧：立体几何解答立体几何篇高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。
选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。
随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。
从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。
知识整合1、有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
2、判定两个平面平行的方法：(1)根据定义--证明两平面没有公共点;(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;(3)证明两平面同垂直于一条直线。
3、两个平面平行的主要性质：(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”。
(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
(3)两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。
(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等。
高中数学七大基本思想方法讲解
在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系
数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化
第三：分类与整合思想
（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法
（2）从具体出发，选取适当的分类标准
（5） 高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向
第六：有限与无限的思想：
（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路
（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向
（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用
（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查
第七：或然与必然的思想：
（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性
（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然
（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点
（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化
第五： 特殊与一般思想
（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识
（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论
（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程
（4） 构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法
用数学思想统领立体几何复习
平面距 离 ） ， 几何 问题代 数化 ， 文字 、 图形 线平行甘线面平行铮面面平行 ： （ ２ ）线线 与符号语言 的转化 ，变式 图形 与基本 图 垂直铮线面垂直§ 面面垂 直．
形 的转化． 例 １ 在 正 方 体 ＡＢ Ｃ －４ Ｃ 】 Ｄ 】 中 ， Ｅ、 Ｇ 、 Ｈ 分 别 为棱 Ｂ Ｃ 、 Ｃ Ｃ ｌ 、 Ｃ ｌ Ｄ１ 、
，
、
转化思想
化 归与转化思 想是 解决立体 几何 问 题 的最基 本 、 最常 用的数学思 想 ， 学 习时 要注 意强 化转化 的解 题意识 ．在 立体几
何中， 常见的转化 有 ： 位 置关系 （ 线线、 线
（ ４） ・ ． ・ Ｃ Ｃ １ 上平 面 ＡＣ ， ． ・ ． Ｃ Ｃ 】 上肋 ． 又Ｂ Ｄ上ＡＣ， ． ・ ．Ｂ Ｄ上平 面 Ａ Ａ１ Ｃ ． 又Ｂ Ｄ ｃ平 面 Ｂ Ｄ Ｆ，
・ ． ．
则 由图 ３有体积关系：
尸＿ ＾
平面 Ｂ Ｄ ＦＪ ＿ 平面 Ａ Ａ １ Ｃ．
面、 面面 ） 间的转化 ， 空 间问题平面化 （ 如
空间 角转化 为平面 角、空 间距 离转化 为
评注 ： 论证空 间位置关 系的基本 策略 是 利 用以下两 个关 系链反 复转 化 ： （ １ ） 线
（ ２ ） 按线线 平行 线 面平行 面面平 题 ， 常用方程 的思想方法解决 ．
种数学思想在解题 中的应 用， 深 刻领悟 转 行 的思路． 在平面 Ｂ １ Ｄ１ 日内寻找 曰 １ Ｄ１ 和Ｏ ＇ Ｈ 两 条关键 的相交直线．
立体几何 中， 类比的思想方法被广泛 采用， 常见的有 ： 平面 图形与 立体 图形的
再 寻找 Ａ １ ０垂直于平面 Ｂ Ｄ Ｆ内的另 题 获解 ． 同时 ， 以类 比为切入 点的 立体几
转换与化归思想
浅谈转换与化归思想转化思想就是数学中的一种基本却很重要的思想。
深究起来,转化两字中包含着截然不同的两种思想,即转换与化归。
这两者其实表达了不同的思想方法,可以说就是思维方式与操作方法的区别。
一、 转换思想(1)转换思想的内涵转换思想就是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化,能跳出现有领域的局限,联系相关领域,并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。
要做到这一点,对思维能力的要求相对更高,必须对各个领域分别都有透彻的了解,更必须对各领域之间的联系有较多的研究,在关键时刻才能随心所欲地运用。
(2)转换思想在同一学科中的应用转换思想可以就是在同一学科的不同知识模块之间的变换,在解决问题时改变解题方向。
象数学学科中,数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。
比如,函数、方程、不等式就是代数中的三大重要问题,而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其她模块的各类问题。
不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决,或者就是二次方程根的分布,也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。
再比如,数列问题用函数观点来解释,那更就是我们数学课堂中一再强调的问题了。
瞧这样一个问题:已知:11122=-+-a b b a ,求证:122=+b a 。
[分析] 这就是一个纯粹的代数证明问题,条件的变形就是比较艰难的,所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。
再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式,稍加联系,我们完全可以想到:21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现,它们呈现出完全类似的规律性。
[解答]由题意1≤a 、1≤b ,则可设αsin =a ,αcos =b ,πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα化简得1cos cos sin sin =+αααα所以0sin ≥=αa ,0cos ≥=αb则 1cos sin 2222=+=+ααb a[小结] 本题的解决了就是发现了不同知识模块中的类似规律,加以利用得到新的思路,本题的题设与结论中都没有出现三角函数的形式,最终却必须引进三角函数加以解决,思维已经具有跳跃性,对一般学生来说解决起来还就是比较棘手的。
高等数学的思想总结是什么
高等数学的思想总结是什么高等数学是大学数学的重要组成部分，是数学的一门基础课程。
它通过引入极限的概念，建立了微积分的理论体系，并在此基础上进一步发展了数学的许多分支，如微分方程、多元函数、级数等。
高等数学的思想总结可以从以下几个方面来展开：1. 极限与连续的思想：高等数学最核心的思想之一是极限的思想。
通过引入极限的概念，我们可以研究数列和函数的性态与趋势，从而建立微积分的理论体系。
极限的概念也使我们能够定义出函数的连续性，进而研究函数的导数和积分等相关概念。
2. 微分与积分的思想：微积分是高等数学的核心内容之一，它以导数和积分为基础，研究函数的变化率、曲线的切线、曲线下的面积等问题。
微分与积分的思想让我们能够解决实际问题中的优化、曲线拟合、面积求解等问题，是应用数学中不可或缺的工具。
3. 代数与方程的思想：高等数学中的代数与方程思想在建立数学模型和解决实际问题中起着重要的作用。
代数的思想使我们可以抽象出一般的数学规律和性质，进而研究和解决更为复杂的问题。
方程的思想则提供了解决等式和不等式的方法，并且在求解函数的性质、求解方程组等方面具有重要的作用。
4. 几何与图形的思想：高等数学中的几何与图形的思想不仅包括平面几何、立体几何的基本概念和性质，还涉及到向量、坐标系、空间曲线等更为抽象和广义的概念。
几何与图形的思想可以帮助我们理解和研究抽象的数学结构，同时也有助于解决与空间相关的实际问题。
5. 推理与证明的思想：高等数学强调推理和证明的能力培养，这是数学思维的重要组成部分。
通过学习高等数学，我们能够培养逻辑思维、严谨推理和精确表达的能力，这对于在数学和其他学科中的研究和应用都具有重要的意义。
综上所述，高等数学的思想总结可归纳为极限与连续的思想、微分与积分的思想、代数与方程的思想、几何与图形的思想以及推理与证明的思想。
这些思想不仅构成了高等数学的理论基础，也在应用数学中起着重要的作用，促进了数学在科学研究和实际应用中的发展。
凸显数学思想在“立体几何”复习教学中的价值
２ ０ １ ３年 ６月
教育 观察
Ｓ ｕ ｒ ｖ ｅ ｙ ｏ ｆ Ｅｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ｖｏ ｌ ＿ ２ Ｎｏ ． １ ７
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ３
凸 显数 学 思 想在 “ 立体 几何 ” 复 习教 学 中 的价值
邓 毛 旺 （ 柳 州市柳 东中心 学校 ， 广西柳 州 ， ５ ４ ５ ０ ０ ０ ）
何 的初步 知识 ， 并 在 其 过 程 中形成 空 间观 念 ， 对 以 后进 一步 学 习 图形 与 几何 及 其 他 学 科 知识 的影 响 都 是积极 的 、 重要的 ， 甚 至 是 不 可替 代 的 。而转 化
认识、 把握 ， 才能使抽象空间与现实空 间融为一体 ，
推动学 生 空 间观 念 的 生 成 。体会 体 、 面、 线 之 间 的
二、 沟通 中内化思 想 ： 更能 把准 知识 的脉 络
复习课 时， 有些教师离开课本只重视习题训练
的教学 方法 ， 忽 视 了知识 体 系 的梳理 和 数 学基 本 思 想 方法 的概括 ， 很 多 学 生 上 课 似 乎 听得 懂 ， 可课 后 遇 到稍 难 的题 目就 一筹 莫展 了。例 如 ， 在整 理 圆锥
当这 点 移 动后 留 下 的轨 迹 是 怎 样 的 ？
不知如何把握方 向和难度。本文从复习课中三大
环 节 出发 ， 可 从 回忆 整 理 体 验 思 想 、 沟 通 中 内化 思 想、 练 习 中提 升 思想 三 个 方 面 ， 论 述 在 教 学 中渗 透
数 学思想 方法 的策 略 。
这线段 移 动后 留下 的轨 迹是 怎样 的？
［ 作者简介］ 邓毛 旺（ １ ９ ８ ２ 一） ， 男， 广西￥ ９ Ｐ ￣ １ 人， 本科 ， 广西柳州市柳东 中心学校教师 ， 小学一级 。
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解析：（1）∵ ∥AC，∴ 与AC所成的锐角或直角就是 与 所成的角，连结 、 ，在△ 和△ ，∵ ＝ ， ， ，∴△ ≌△ ，∴ ．∴△ 是等腰三角形．∵O是底边AC的中点，∴ ，故 与 所成的角是90°．
（2）∵E、F分别是AB、AD中点，∴EF∥BD，又∵ ∥AC，∴AC与BD所成的锐角或直角就是EF与 所成的角．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF与 所成的角为90°
专题讲座立体几何中的数学思想方法
立体几何是高中数学教学的一个重要内容，这部分内容蕴含着丰富的数学思想方法。实践证明，教学中适时渗透有关的数学思想方法，有助于学生降低学习难度，把握知识本质和内在规律，提高数学素养，发展思维能力。本文主要谈谈在立体几何中的几种主要数学思想方法。
一、
研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法。这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终。立体几何中转化的思想方法主要体现在如下几个方面：
则PB＝a,AB＝ a,∵PB⊥PC，在RtΔPBC中，
∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝ a.
∵AP⊥PC ∴在RtΔAPC中，AC＝ ＝ ＝2a
(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB，
∴BC在平面PBC上的射影是BP.
∠CBP是CB与平面PAB所成的角
∵∠PBC＝60°，∴BC与平面PBA的角为60°.
证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE
∵AD∥BC
∴FH∥BC，BC BB1C1C
∴FH∥平面BB1C1C
由FH∥AD可得
又BF＝B1E，BD＝AB1
∴
∴EH∥B1B，B1B 平面BB1C1C
∴EH∥平面BB1C1C，
EH∩FH＝H
∴平面FHE∥平面BB1C1C
EF 平面FHE
∴EF∥平面BB1C1C
例2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.
求证：EF∥平面BB1C1C.
证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.
∵AD∥BC
∴△AFD∽△MFB
∴
又∵BD＝B1A，B1E＝BF
∴DF＝AE
∴
∴EF∥B1M，B1M 平面BB1C1C
∴EF∥平面BB1C1C.
立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）；
四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。
【例7】已知正三棱锥 的侧棱长为 ， ， 分别是棱 上的点，求 周长的最小值（图甲）．
【分析及解】由于 的三条边 分别在三个平面 上，要直接计算它们所谓周长，并求其最小值，显然有一定的困难，但是正因为这三条边在三个侧面上，所以可以把三棱锥的侧面展开，使三棱锥的四个面都在同一个平面上（图乙）．
实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。
2、位置关系的转化
线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既互相依存，又在一定条件下不仅能纵向转化：线线平行（或垂直）线面平行（或垂直）;面面平行（或垂直），而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行;线线、线面、面面的垂直。这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。平行或垂直关系的证明（除少数命题外），大都可以利用上述相互转化关系去证明。
4、体积问题中的转化
研究简单几何体体积问题的过程中，利用祖暅定理，将一般柱体体积问题转化为长方体体积问题，一般锥体体积问题转化为三棱锥体积问题，从而推导出柱体和锥体体积公式等。三棱锥体积公式推导过程中，“补法”和“割法”的先后运用，台体的体积，即补台成锥。所展示的割补转化；利用四面体、平面六面体等几何体体积的自等性，以体积为媒介沟通有关元素间的联系，从而使问题获解的等积转化等，均是转化的思想方法在体积问题中的体现。
所有上述这些都充分展现了转化的思想方法在立体几何中的“用武之地”。教学中的适时揭示与恰当运用，确能强化学生思维的目标意识，增强思维的敏捷性和灵活性，提高学习效率。
例3.空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.
解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.
解∵ PA⊥AB，∴∠APB＝90°
在RtΔAPB中，∵∠ABP＝45°，设PA＝a，
1、空间问题向平面问题转化
将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。
如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；
教材中的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、
侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？
说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.
3、位置关系中的定性与定量的转化
立体几何中对点、线、面在空间中特定位置关系的研究是从定性和定量两个方向进行的。这两者既有联系又有区别，在一定条件下还可以互相转化。线线、线面、面面平行,这些定性描述,表示线线、线面、面面的成角是0°,反之则不然；线线、线面、面面的成角是90°，这些量的结果，则反映了它们的垂直关系，反之亦然。可见教材中深刻地蕴含着位置关系中的定性与定量的转化关系。
(2)由上知，PA＝PB＝a,AC＝BC＝2a.
∴M为AB的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM.
∴AB⊥平面PCM.
说明要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.
例4.如图9－19，在棱长为a的正方体ABCD— 中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点．
图9－19（1）求异面源自线 与 所成角的大小；这时， 的周长转化为折线 的长．
于是，所求的 周长的最小值就线段 的长，而 的长很容易用余弦定理求出．
在 中，因为 ， ，则 ，
于是 ．
所以 ．
评析把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.
又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。