偏导数的概念【重点】
微积分4.3 偏导数
f ; zx x ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x ) f ( x ) d x f ( x y 0 0 lim f ( x0 ) x 0 x d x x x0
p V T RT Байду номын сангаас 1 V T p pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
定理. 若 f x y ( x,y ) 和 f y x ( x,y ) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
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f1( x0 , y0 ) .
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为
z f , , z y , f y ( x, y ) , f 2 ( x, y ) y y
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
高数大一偏导数知识点
高数大一偏导数知识点在高数学习中，偏导数是一个重要的数学概念，它在多元函数的微积分中起着重要的作用。
以下是关于大一偏导数的一些基础知识点。
一、偏导数的定义偏导数是多元函数对于其中一个自变量的导数，在计算偏导数时，其他自变量视为常数。
对于一个具有n个自变量的函数f(x₁,x₂,…,xn)，其中x₁,x₂,…,xn分别表示不同的自变量，函数f对于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
二、一阶偏导数的计算1. 对于只有一个自变量的函数，其一阶偏导数就是常规的导数。
例如，对于函数f(x) = x²，其一阶偏导数为∂f/∂x = 2x。
2. 对于多元函数，计算一阶偏导数时需将其他自变量视为常数，分别对每个自变量求偏导数。
例如，对于函数f(x,y) = x² + y³，其关于x的一阶偏导数为∂f/∂x = 2x，关于y的一阶偏导数为∂f/∂y =3y²。
三、高阶偏导数的计算1. 高阶偏导数表示在求导过程中，对于同一自变量连续求导的次数。
例如，对于函数f(x) = x⁴，其二阶偏导数为∂²f/∂x² = 12x²。
2. 高阶偏导数的计算与一阶偏导数类似，将其他自变量视为常数，对每个自变量进行多次求导。
例如，对于函数f(x,y) = x²+ y³，其关于x的二阶偏导数为∂²f/∂x² = 2，关于y的二阶偏导数为∂²f/∂y² = 6y。
四、偏导数的几何意义在几何上，偏导数表示函数曲面在某一点上的切线斜率。
对于一个二元函数f(x,y)，偏导数∂f/∂x表示曲面在该点沿x轴方向的切线斜率，偏导数∂f/∂y表示曲面在该点沿y轴方向的切线斜率。
五、偏导数的应用偏导数在实际问题中有广泛的应用，例如在最优化问题、经济学、物理学等领域。
偏导数可以帮助我们确定函数极值点、判断函数的变化趋势等。
六、常见函数的偏导数1. 对于多项式函数，求导时可以按照常规的导数法则进行，将其他自变量视为常数进行求导。
求偏导知识点总结
求偏导知识点总结1. 偏导数的定义偏导数的定义相对于函数的变量而言，是指在其他变量保持不变的情况下，函数对某一变量的变化率。
假设有一个由两个自变量 x 和 y 组成的函数 z=f(x,y)，在某个点（a,b）处的偏导数，表示对于 x 的变化率和对于 y 的变化率。
偏导数通常用∂z/∂x 表示对 x 的偏导数，用∂z/∂y 表示对 y 的偏导数。
2. 偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质，它们可以帮助我们更好地理解和应用偏导数。
（1）如果函数 z=f(x,y) 在某一点处可微分，那么在这一点处偏导数存在。
（2）偏导数的交换律：如果函数 f(x,y) 的偏导数∂z/∂x 和∂z/∂y 都存在且连续，那么∂z/∂x 与∂z/∂y 的交换组合也存在，并且两者相等。
（3）混合偏导数：如果函数 f(x,y) 在某一点处具有偏导数∂z/∂x 和∂z/∂y，那么这两个偏导数的混合偏导数∂^2z/(∂x∂y) 和∂^2z/(∂y∂x) 都存在，并且相等。
3. 偏导数的计算方法计算偏导数的方法和计算常规一元函数的导数有些不同。
对于二元函数 z=f(x,y)，求偏导数∂z/∂x 时，我们将 y 视为常数，对 x 求导；求偏导数∂z/∂y 时，我们将 x 视为常数，对y 求导。
例如，对于函数 z=x^2*y+sin(x)，求∂z/∂x 和∂z/∂y，分别视 y 和 x 为常数，计算出对 x 和对 y 的偏导数。
4. 偏导数的几何意义在二元函数的图像中，偏导数有一些很有趣的几何意义。
对于函数 f(x,y) 在某一点（a,b）处的偏导数∂z/∂x，可以理解为函数在 x 轴方向上的斜率，即函数在沿 x 方向的增加（或减小）时 z 的变化速率。
类似地，对于函数 f(x,y) 在某一点（a,b）处的偏导数∂z/∂y，可以理解为函数在 y 轴方向上的斜率。
在实际应用中，偏导数可以提供很多有用的信息。
例如，在经济学中，偏导数可以用来描述不同市场因素对价格的影响；在物理学中，偏导数可以用来描述多变量物理量的变化规律；在工程学中，偏导数可以用来解决多变量约束条件下的最优化问题。
高数大一偏导数知识点归纳
高数大一偏导数知识点归纳一、导数的定义和计算方法在高等数学中，偏导数是一个非常重要的概念。
它描述了一个函数在某一点上的变化率，即函数沿特定方向的斜率。
下面将对偏导数的定义和计算方法进行总结。
1.1 导数的定义偏导数的定义是：对于具有多个自变量的函数，当其中的一个自变量发生微小变化时，其他自变量保持不变，函数值相应地发生变化。
偏导数用来表示函数在这一自变量上的变化率。
1.2 偏导数的计算方法偏导数的计算方法与普通的导数计算方法类似，只需将其他自变量看作常数。
对于一个具有两个自变量的函数f(x, y)，其偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
具体计算时，可以使用以下方法来计算偏导数：- 对于一个单变量函数，求导即可得到偏导数。
- 对于一个多变量函数，可以将其他自变量看作常数，并对每个自变量求导。
二、偏导数的性质和应用2.1 偏导数的性质偏导数具有以下性质：- 线性性质：偏导数满足线性运算法则，即和、差的偏导数等于偏导数之和、差的和。
- 交换性：对于函数f(x, y)，其关于x和y的偏导数可以互相交换次序。
- 高阶偏导数：偏导数可以进行多次求导，得到高阶偏导数。
2.2 偏导数的应用- 偏导数可以用于求函数的最大值、最小值等极值问题。
- 在物理学、工程学等领域中，偏导数可以表示变量之间的相互关系和影响。
- 偏导数还可以用于微分方程的求解和函数的泰勒展开等数学问题。
三、常见的偏导数公式3.1 二阶偏导数二阶偏导数是指对一个函数的偏导数再次求导。
在计算二阶偏导数时，需要注意求导的次序，常见的二阶偏导数公式有：- 混合偏导数：对于函数f(x, y)，其混合偏导数可以通过先对一个自变量求偏导数，再对另一个自变量求一次偏导数得到。
- 拉普拉斯算子：表示对函数f(x, y)的二阶混合偏导数之和。
3.2 高阶偏导数在实际问题中，有时需要对一个函数进行多次求导，得到高阶偏导数。
高阶偏导数的计算需要依次对各个变量求导，按照求导的顺序，可以得到各个阶数的偏导数。
高数大一偏导数知识点汇总
高数大一偏导数知识点汇总在大一的高等数学学习中，偏导数是一个重要且必须掌握的概念。
偏导数主要用来描述函数在多个变量中，针对其中一个变量的变化率。
下面将对大一偏导数的相关知识进行汇总，并进行分类介绍。
一、偏导数的概念和计算方法偏导数是多元函数关于其中一个变量的导数，并将其它变量视为常数。
可以用符号∂表示它的差分。
对于二元函数，偏导数可以表示为∂z/∂x或∂z/∂y，表示z关于x或y的变化率。
对于高维函数，偏导数可以类似地进行求解。
计算偏导数的方法主要有两种：隐函数法和参数法。
隐函数法是通过将多元函数转化为隐函数，然后求解对应的偏导数。
参数法则是将多元函数表示为参数方程的形式，再对每个参数求偏导数。
这两种方法根据具体问题的不同，可以选择合适的方法进行计算。
二、偏导数的几何意义偏导数在几何上有直观的解释。
对于二元函数而言，偏导数可以理解为二元曲面在某一点上的切线斜率。
如果将函数的自变量取为平面上的坐标轴，则偏导数可以表示平面上曲线在某一点的切线斜率。
类似地，对于更高维度的函数，偏导数可以表示为多元曲面的切平面的斜率。
三、高阶偏导数和混合偏导数高阶偏导数是指对一个函数的偏导数再次求导，可以用符号∂²z/∂x²表示。
高阶偏导数描述了函数的变化率的变化率。
对于二阶偏导数，可以通过二阶混合偏导数来判断函数的凸凹性。
如果二阶混合偏导数满足一定的条件，即Hessian矩阵的主特征值都大于0，则函数为凸函数；反之，如果主特征值都小于0，则函数为凹函数；否则，函数为非凸非凹函数。
四、偏导数的应用偏导数在各个领域有广泛的应用。
在物理学中，偏导数可以用于描述物理量的变化率，例如速度、加速度等。
在经济学中，偏导数可以用于描述需求变化对价格的影响。
在工程学中，偏导数可以用于优化问题的求解，例如最小化路径长度等。
此外，偏导数还可以用于描述曲线的切线方程和法线方程等。
总结：偏导数是描述多元函数关于其中一个变量的变化率的重要工具。
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
对x的偏导数
对x的偏导数偏导数是高等数学中的重要概念，它是多元函数在某一点处沿着某一坐标轴方向上的导数。
对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，其在某一点(x1,x2,...,xn)处沿着第i个坐标轴方向上的偏导数定义为：∂f/∂xi。
在本文中，我们将对偏导数进行更详细的介绍。
一、偏导数的概念偏导数是指函数在某一点处，沿着某一坐标轴方向上的导数。
具体来说，偏导数f(x1,x2,...,xn)在点(x1,x2,...,xn)处沿着第i个坐标轴方向上的偏导数为：∂f/∂xi。
其中，∂表示偏导符号，表示只对xi求导，而其他变量视为常数。
二、偏导数的计算方法偏导数的计算方法与一元函数中求导数的方法类似。
对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，我们可以先将其他自变量视为常数，再对第i 个自变量求导。
例如，对于函数f(x,y)=2x^3+3xy^2，我们可以求出∂f/∂x=6x^2+3y^2和∂f/∂y=6xy。
这就是函数f(x,y)在点(x,y)处沿着x轴和y轴方向上的偏导数。
三、偏导数的应用偏导数在实际应用中有着广泛的应用。
其中，最常见的应用就是在微积分中。
在微积分中，我们需要对多元函数进行求导，而偏导数就是我们求导的基础。
除此之外，偏导数还可以用于优化问题和求解方程组。
在优化问题中，我们需要求出函数的极值点，而偏导数可以帮助我们找到这些点。
在求解方程组中，偏导数也可以帮助我们求解方程组的解。
四、偏导数的注意事项在求偏导数时，需要注意以下几点：（1）偏导数只能在可导的点处计算。
（2）偏导数的计算顺序不影响结果，但需要注意变量的顺序。
（3）对于一些非常数函数，偏导数可能不存在，这需要我们进行特殊处理。
（4）偏导数的计算需要一定的技巧和经验，需要多加练习和思考。
五、总结偏导数是多元函数在某一点处沿着某一坐标轴方向上的导数，是微积分中的重要概念。
通过本文的介绍，我们了解了偏导数的概念、计算方法、应用以及注意事项。
6.2偏导数
例1 求zx3xy2 y3在点(-1, 2)处的偏导数.
解
z x 1 3y2 ,
z 6xy 3y2 , y
z (1 3y2 ) 13,
x x1
x1
y2
y2
z
(6xy 3y2 )
0
y x1
x 1
y2
y2
例6.2.2 z x y (x 0,且 x 1) 的偏导数 z , z .
x)'y
2x3
18xy.
❖练习2 求下列函数的二阶偏导数
(1) z arctan y
z x
1
1 ( y)2
(
y x2
x
)
x2
y
y2
,
z y
1 1 ( y)2
(1) x
x2
x
y2
,
x
x
2z x2
2xy (x2 y2 )2
,
2z xy
y2 x2 (x2 y2)2
,
2z y 2
2xy (x2 y2)2
x
y
(3)
u ln(x 2 y 3z)
u 1 ; u 2 ; u 3 x x 2 y 3z y x 2y 3z z x 2y 3z
2.求下列函数的二阶偏导数
(1) z x4 3x2 y3 z 4x3 6xy3; z 9x2 y2
x
y
2z x2
12x2
6y3;
2z xy
18xy2;
2z yx
18 xy 2 ;
2z y 2
18x2 y
(2) z ex cos y z ex cos y; z ex sin y
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若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需 先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函 数值，即 fx (x, y) |(x0,y0) fx (x0, y0 )，这样就得到了函数 z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入 z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以 x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为 常数y0.
同样，fy(x0,y0)是这条曲线z=f(x,y)与平面x=x0的交
线
z f (x, y), x x0 在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于y 轴的斜率.
二 、偏导数的求法
求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一 元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数 仍然适用.
例如，给定一个二元函数z=f(x,y)，求 z 时，可将 x
固定y=0，让x→0，考察在(0,0)点处对x的偏导 数.此时 f (x,0) x2 0 | x |，已知函数|x|在x=0处是 不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在， 同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.
在点(x0,y0)处二元函数连续，推不出偏导数存在， 而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元 函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系.
2.二元函数偏导数的几何意义 二元函数z=f(x,y)的图形表示空间一张曲面.当y=y0
时，曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线方程为
z f (x, y),
y
y0.
上式表示y=y0平面上的一条 曲线z=f(x,y0).根据导数的几 何意义可知：fx(x0,y0)就是这 条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的 切线关于x轴的斜率.
解 r
x
x.
x x2 y2 z 2 r
r y . y r
r z . z r
例5 已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常量)，
求证： P V T 1. V T P
证 P RT , V
P V
RT V2
,
V RT , P
T PV , R
Байду номын сангаас
V R , T P
T V . P R
解 z 3x2 y 6xy3, z x3 9x2 y2 ,
x
y
2z x 2
6xy
6y3,
2 z 3x2 18xy 2 , xy
2z y 2
18x2 y,
2 z 3x2 18xy 2. yx
该题值得注意的是，一般函数f的二阶混合偏导数 fxy 和 f yx并不一定相等.例7的两个二阶混合偏导数相等， 是因为它们是连续的，一般我们有下面的定理. 定理8.1 如果函数z=f(x,y)在开区域D上二阶混合偏导 数 2z , 2z 连续，则在该区域上任一点处必有
(0,0
y) y
f
(0,0)
0 (y) 0
lim 0 (y)2 lim 0 0.
y0
y
y0
对于多元函数,偏导数存在不能保证函数在该点处 连续，这与一元函数不同.一元函数在其可导点处，一 定连续的结论，对多元函数是不成立的.这是因为偏导 数存在，只能保证当点(x,y)沿着平行坐标轴的方向趋 于(x0,y0)点时，函数数值f(x,y)趋于f(x0,y0)，但不能保证 当点(x,y)以任意方式趋于点(x0,y0)时，函数f(x,y)趋于 f(x0,y0).
2
x 2t
.
1
t
3 2
x2
5
t2
e
x2 4t
.
2
4
x2
所以，u
1
e 4t
满足方程
t
u t
2u x2
.
例10
设z
xex sin y ，求
2 x
z
2
,
2z xy
.
解 z ex sin y xex sin y ex (x 1)sin y. x
2z x 2
ex(x
1)sin
y
ex
sin
例9
证明函数 u
x2
1
e 4t
t
满足方程
u t
2u x2
.
证
u
1
t
3 2
e
x2 4t
t 2
1
x2
e 4t
t
x2 4t 2
1
t
3 2
x2
5
t2
e
x2 4t
.
2
4
u
1
x2
e 4t
x
1
t
3 2
xe
x2 4t
.
x t
2t 2
2u x 2
1
t
3 2
e
x2 4t
2
1
t
3 2
xe
x2 4t
x
类似地，可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数 为
z
lim f (x0, y0 y) f (x0, y0 ).
y y0 ( x0 , y0 )
y
又可记为
f y
,
( x0 , y0 )
f
y
(x0 ,
y0
)或z y
(x0 ,
y0 ).
如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x 的偏导数，即
P V
V T
T P
RT V2
R V PR
RT VP
1 .
偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分
母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元
函数导数记号 dy 是不同的，dy 可看成函数的微分dy
dx
dx
与自变量微分dx之商.
例6 设
f
(x,
y)
x2
xy
y
2
,
x2 y 2 0,
xy yx 2z 2z . xy yx
例8 设f (x, y, z) xy2 yz 2 zx2 ,求f xx (1,1,2), f xyz (1,1,1). 解 f x (x, y, z) y2 2xz,
fxx (x, y, z) 2z, f xx (1,1,2) 4, fxy (x, y, z) 2 y, f xyz (x, y, z) 0, f xyz (1,1,1) 0.
z yx (x, y)
f yx (x, y)
(混合偏导),
z y y
2z y2
zyy (x, y)
f yy (x, y).
同样可得三阶、四阶以至n阶偏导数(如果存在的
话).一个多元函数的n–1阶偏导数的偏导数，称为原来
函数的n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数称为高阶
偏导数.
例7 求z x3 y 3x2 y3 的二阶偏导数.
y0
y
记作
z y
,
f y
,
f
y
(x,
y )或z y
(x,
y).
二元以上多元函数的偏导数可类似地定义.例如三 元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导函数定义为
u lim f (x x, y, z) f (x, y, z) .
x x0
x
同样地，可以定义偏导数 u , u . y z
同样还可以举出函数在(x0,y0)点连续，而在该点 的偏导数不存在的例子.
例如，二元函数 f (x, y) x2 y2 ，在点(0,0)处 是连续的，但在(0,0)点偏导数不存在.
事实上，f (x, y) x2 y2 是初等函数，(0,0)点是 定义区域内的一点，故f(x,y)在点(0,0)点是连续的.
y
ex(x
2) sin
y.
2 z ex (x 1)cos y. xy
例1 求函数 f (x, y) x2 2xy y2在点(1,3)处对x和y的 偏导数. 解 fx (x, y) 2x 2 y
f y (x, y) 2x 2 y. 将点(1,3)代入上两式，得
f x (1,3) 2 1 2 3 8, f y (1,3) 2 1 2 3 4.
例2 求函数 z x y 的偏导数. 解 z yx y1,
x z x y ln x. y
例3 求函数z ex2 y 2的偏导数.
解
z x
ex2 y2
(x2
y 2 )x
2xe x2 y2，
z y
ex2 y2
(x2
y2 )y
2 ye x 2 y 2 .
例4 求函数 r x2 y2 z2 的偏导数.
0,
x2 y 2 0，
求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数.
解 原点(0,0)处对x的偏导数为
f x (0,0)
lim
x0
f
(0
x,0) x
f
(0,0)
(x) 0 0
lim (x)2 0 lim 0 0.
x0
x
x0
原点(0,0)处对y的偏导数为
f y (0,0)
lim
y0
f
第二节 偏导数
一、偏导数的概念 二、偏导数的求法 三、高阶偏导数
一 、偏导数的概念
1.偏导数的定义 定义1 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，
当y固定在y0，而x在x0处有增量△x时，相应函数有增
量 f (x0 x, y0) f (x0, y0).
如果极限 lim f (x0 x, y0) f (x0, y0)