中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案

2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案

一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为

3

π

.

2. 函数2

2y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为3

21+.

3. 设(,)f x y 是有界闭区域2

22:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，

=

??→D

a dxdy y x f a ),(1

lim

20π)

0,0(f .

4. 区域Ω由圆锥面2

2

2

x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分

f dv ???

Ω

在柱面坐标系下

化为三次积分为

211

()πθ?

??r

d dr f r rdz .

5. 设Γ为由曲线3

2,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续

三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：

Pdx Qdy Rdz Γ

++=

?

6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为

)0()5cos 51

3cos 31(cos 4

12

122ππ

π

≤≤+++

-

+=

+x x x x x Λ.

二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.

7. 若(,)z f x y =有连续的二阶偏导数，且(,)xy

f x y K ''= (常数)，则(,)y f x y '=（ D ） (A) 2

2

K ； (B) Ky ； (C) ()?+Ky x ； (D) ()?+Kx y .

8. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤-≤≤，则

下列结论正确的是（ A ）. (A)

()()0D

f y

g x dxdy =??； (B) ()()0D

f x

g y dxdy =??；

(C)

[()()]0D

f x

g y dxdy +=??； (D) [()()]0D

f y

g x dxdy +=??.

9. 已知空间三角形三顶点)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -，则ABC ?的面积为（ A ） (A)

92； (B) 73； (C) 29； (D)37

. 10. 曲面积分

2

z dxdy ??∑

在数值上等于( C ). (A) 流速场i z v ρρ2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；

(C) 向量场k z F ρρ2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F ρρ2

=沿Σ边界所做的功.

11．若级数

1

(2)

n

n n c x ∞

=+∑在 4x =- 处是收敛的，则此级数在 1x = 处 ( D )

(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.

12.级数1

21(1)n p

n n -∞

=-∑的敛散性为 ( A ) (A) 当12p >时，绝对收敛； （B ）当1

2p >时，条件收敛；

(C) 当102p <≤时，绝对收敛； （D ）当1

02

p <≤时，发散.

三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤. 13. （本题满分6分）设()

x y z x y z e

-++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .

解：两边同取微分 ()

(1)()x y z dx dy dz e

dx dy dz -++++=?-?++ ， 整理得 dz dx dy =--.

14. （本题满分8分）求曲线22230

23540

x y z x x y z ?++-=?-+-=? 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.

解：两边同时关于x 求导22232350dy dz x y z dx dx

dy dz dx dx ?+?+?=????-+=??，解得(1,1,1)(1,1,1)9474dy dx dz dx ?=????=-

??

，

所以切向量为：91{1,,}1616T =-u r ， 切线方程为： 111

1691

x y z ---==

-； 法平面方程为：16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=.

15.（本题满分8分）求幂级数

(21)n

n n x

∞

=+∑的和函数.

解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)-，

(21)n

n n x

∞=+∑0

2∞==+∑n

n nx 0

∞

=∑n n x ，

1

1

22∞∞

-===∑∑Q n

n n n nx x nx

，设1

1

()∞

-==

∑n n A x nx

，则

1

1

1

(),(11);1∞

∞

-=====-<<-∑∑?

?

x x n n

n n x A x dx nx dx x x x 2

1(),1(1)'

??∴== ?--??x A x x x

即

2

222()(1)∞

===

-∑n n x

nx xA x x ，

(21)∞

=∴+∑n

n n x 0

2∞

==+∑n

n nx 0

∞=∑n n x 22

211,(11)(1)1(1)

+=

+=-<<---x x

x x x x . 16.（本题满分6分）计算()∑

=++??I x y z dS ，其中∑为曲面5+=y z 被柱面2

225+=x

y 所截下

的有限部分. 解：()∑

=

++??I x y z dS (5)∑

=+??x dS

∑

=??xdS （∑关于yoz 平面对称，被积函数x 是x 的奇函数）5∑

+??dS

05∑

=+??

dS 2225

+≤=??

x y

dxdy 25π==.

17.（本题满分8分）计算积分2

22(24)(2)=

++-?L

I x

xy dx x y dy ，其中L 为曲线

22355

()()222

-+-=x y 上从点(1,1)A 到(2,4)B 沿逆时针方向的一段有向弧.

解：4??==??Q Q P

x x y

，∴积分与路径无关，选折线u u u r AC +u u u r CB 为积分路径， 其中(2,1)C ，,12:,1,0=≤≤??==?u u u r x x x AC y dy 2,0

:.,14==??=≤≤?

u u u r x dx CB y y y

222(24)(2)∴=++-?L

I x xy dx x y dy

222(24)(2)=++-?u u u r AC x xy dx x y dy 222

(24)(2)+++-?u u u r CB

x xy dx x y dy 2

4

2

21141

(24)(8).3

=++-=

??x x dx y dy

18.（本题满分8分）计算22

()∑

=+++??

òI yzdydz y x z dzdx xydxdy ，∑是由曲面224-=+y x z 与平面0=y 围成的有界闭区域Ω的表面外侧. 解：2

2

22,(),,

,???==+=++=+???P Q R

P yz Q y x z R xy x z x y z

由高斯公式， 22()∑

=+++??òI yzdydz y x z dzdx xydxdy 22

()Ω

=+???x z dxdydz （利用柱面坐标变换cos sin ,θ

θ=??=??=?

z x y y 则2

:02,02,04.θπΩ≤≤≤≤≤≤-r y r ）

2224200032.3

ππθ-==???r d rdr r dy 19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面122

2222=++c

z b y a x 的切平面，使切平面与三个坐标面所围

成的四面体体积最小，求切点坐标.

解：设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法向量为000

222222{

,,}x y z a b c

，

切平面方程为

0)()()(020020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x ，即 1202020=++c

z z b y y a x x ， 则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 222

000

16a b c V x y z =?，

令 )1(ln ln ln ),,,(22

0220220000000-+++++=c

z

b y a x z y x z y x L λλ

解方程组?????????????=++=+=+=+10

210

2102122022022

20020

20

c z b y a

x c z z b y y a x x λλλ，得30a x =，30b y =，30c z =，

故切点坐标为)3

,3,3(

c b a . 20. (本题满分6分)设(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，试证明柯西不等式：

22[()][()]b b a

a

f x dx

g x dx ??2[()()].b

a

f x

g x dx ≥?

证：设:,.D a x b a y b ≤≤≤≤则 2

2[

()][()]b b

a

a

f x dx

g x dx ?

?22()()D

f x

g y dxdy =??（D Q 关于y x =对称）22()()D

f y

g x dxdy =??

221[()()2D f x g y dxdy =+??22()()]D

f y

g x dxdy ??22221

[()()()()]2D

f x

g y f y g x dxdy =+?? 1

[2()()()()]2D

f x

g x f y g y dxdy ≥???[()()()()]D

f x

g x f y g y dxdy =??? ()()()()b b a

a

f x

g x dx f y g y dy =??2[()()]b

a

f x

g x dx =?.

2008—2009学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案

一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.

1. 设三向量,,a b c r r r

满足关系式a b a c ?=?r r r r ，则（ D ）.

（A ）必有0a =r r ; （B ）必有0b c -=r r r

;

（C ）当0a ≠r r 时，必有b c =r r ; （D ）必有()a b c λ=-r r r

（λ为常数）.

2. 直线34273

x y z

++==--与平面4223x y z --=的关系是（ A ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；

（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.

3. 二元函数225,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xy

x y x y f x y x y ?≠?+=??=?

在点（0，0）处（ A ）

(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在

(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在

4. 已知

2

()()

x ay dx ydy

x y +++为某二元函数的全微分，则=a （ D ）. （A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.

5. 设()f u 是连续函数，

平面区域:11,0D x y -≤≤≤≤，则22()D

f x y dxdy +=

??

（ C ）. （A

）122

()dx f x y dy +?

?

; （B

）1

220

()dy f x y dx +??

;

（C ）

120

()d f r rdr ?

?π

θ; （D ）1

20

()d f r dr ??πθ.

6. 设a 为常数，则级数

1

(1)(1cos )n

n a n ∞

=--∑（ B ）. （A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关. 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.

1. 设函数222(,,)161218

x y z u x y z =+

++，向量{1,1,1}n =r ，点0(1,2,3)P ，

则0

.3P u n ?=?r

2. 若函数2

2

(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数5.a =-

3. L 为圆2

2

1x y +=的一周，则

22

()0.L

x y ds -=??

4. 设1lim 2n n n

a a +→∞=，级数211n n n a x ∞

-=∑

的收敛半径为.2

5. 设221()x y f x e dy -=?，则11

01()(1).4

xf x dx e -=

-? 6. 设()f x 是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为32,10

(),01x f x x x -<≤?=?<≤?

，

则()f x 的以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于3.2

三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）. 1.（本小题6分）设()f u

是可微函数，z f =，求2z z x y x y

??+??.

解题过程是：令u =

，则

()z f u x ?'=?

，()z f u y ?'=?，20.z z

x y x y

??∴+=?? 2. （本小题6分）计算二重积分22

11D

xy

dxdy x y +++??，其中22{,)1,0}D x y x y x =+≤≥. 解题过程是：D 关于x 轴对称，被积函数221xy x y ++关于y 是奇函数，2201D

xy dxdy x y ∴=++??，

故2211D xy dxdy x y +++??221D xy dxdy x y =++??221D dxdy x y +++??12202

0ln 2.12rdr d r -=+=+??π

ππθ 3. （本小题6分） 设曲面(,)z z x y =是由方程3

1x y xz +=所确定，求该曲面在点0(1,2,1)M -处的切平面方程及全微分(1,2)

dz

.

解题过程是：令3

(,,)1F x y z x y xz =+-，23x F x y z '=+，3y F x '=，z F x '=，则

所求切平面的法向量为：0

{,,}{5,1,1}x y z M n F F F '''==r

，切平面方程为：560.x y z ++-=

23x z F z x y z x F x '?+=-=-'?，2y z F z

x y F '?=-=-'

?，00

(1,2)

5.M M z z

dz

dx dy dx dy x y

??∴=

+=--??

4. （本小题6分）

计算三重积分

Ω

，其中Ω

是由柱面y =0,0y z ==，

4x y z ++=所围成的空间区域.

解题过程是：利用柱面坐标变换，

Ω

1

4(cos sin )2

r d r dr dz -+=???

π

θθθ

12300[4(cos sin )]d r r dr =-+??πθθθ04141

[(cos sin )].3432

d =-+=

-?ππθθθ 5. （本小题6分）求(2)x z dydz zdxdy ∑

++??，其中∑为曲面22

(01)z x y z =+≤≤，方向取下侧.

解题过程是：补22

11,(,){1}.z x y D x y ∑=∈=+≤上：

∑与1

∑上

所围立体为20201, 1.r r z Ω≤≤≤≤≤≤：，θπ 由高斯公式，得

1(2)(201)x z dydz zdxdy dxdydz Ω

∑+∑++=++?????ò上

下2211

332

r

d rdr dz ππ

θ==

?

??， (2)x z dydz zdxdy ∑

∴++=

??1

3(2)2x z dydz zdxdy π

∑-++??上

3012D

dxdy π=--??3.22πππ=-= 6. （本小题7分） 求幂级数21

1n

n n x n

∞

=+∑

的收敛域及和函数. 解题过程是：

因为1

lim n n n a R a →∞+=2211

lim 1(1)1n n n n n →∞++==++，故收敛区间为(1,1)-； 1±=x 时，极限2

1lim 0n n n

→∞+≠，级数均是发散的；于是收敛域为(1,1)-， 211()n n n S x x n ∞=+=∑1n

n nx ∞==∑1n n x n ∞=+∑10011n x x n n n x x nx dx dx n ∞∞-==''????=+ ? ?????

∑∑??

0111x x x dx x x '

??=+ ?--??

?2ln(1),(1,1).(1)x x x x =--∈-- 7. （本小题7分）例1 计算2

2()I x

y dS ∑

=+??，∑

1z ≤≤的边界.

解题过程是：

设12∑=∑+∑，其中1∑

为锥面1z z =≤≤，2∑为221,1z x y =+≤部分，

12,∑∑在xoy 面的投影为:D 221x y +≤

.1dS ==，2dS dxdy =，

22()I x y dS ∑

∴=+??1

22()x y dS ∑=++

??2

22

()x y dS ∑+

??22(D x y =+??22()D

x y dxdy ++??

22

1)()D

x y dxdy =+

??21

30

1)d r dr πθ==

?

?

四．证明题（8分）.

设函数(,)f x y 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其

起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记222

1()[()1]

L

y f xy x y f xy I dx dy y y +-=+?， （1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.

证明: (1)记21()(,)y f xy P x y y +=，22

[()1]

(,)x y f xy Q x y y

-=， ;1

)()()](]1)([);(1

)()](1[])()(2[2

2322222y xy f xy xy f y xy f y x xy f y x Q xy f xy y xy f y xy f y y x xy f y xy yf y P -'+='?+-=??'+-=+-?'+=?? P Q

y x

??∴=

??成立，积分I 与路径L 无关. （2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点(,)a b 起至点(,)c b ，再至终点(,)c d ，则

(,)(,)(,)(,)(,)(,)c b c d a b c b I P x y dx Q x y dy =+??21[()][()]c d a c c

bf bx dx cf cy dy b y

=++-??

()()cb cd ab cb c a c c f t dt f t dt b d b -=+++-??()().Q cd ab c a c a

f t dt ab cd d b d b

=-+==-?

2009—2010学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案

一、填空题（6530?=分分）

1. 若向量,,a b c r r r

两两互相垂直，且5,12,13a b c ===r r r

，则.a b c ++=r r r

2．设函数22sin y z xy x =，求2.z z

x

y z x y

??+=??

3. 设函数(,)f x y 为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序：

2

110

1

(,)(,)(,).y dy f x y dx dx f x y dy f x y dy =

+??

???

?

4. 计算(1,2)2(0,0)

7

()(2).2

y y I e x dx xe y dy e =

++-=-

?

5. 幂级数

21

3n

n n n x ∞

=∑

的收敛域为：(.

6. 设函数2

()()f x x x x πππ=+-<< 的傅里叶级数为：

01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑，

则其系数32.3

b π

= 二、选择题（4520?=分分）

1．直线

11

321

x y z --==-与平面342x y z +-=的位置关系是( A ) (A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直. 2.设函数2

2

(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ C ） (A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值； (C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值.

3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，

则

22L

xdy ydx

x y -=+??（ C ） (A) 0； (B)π； (C) 2π； (D) 2π-.

4. 设a

为常数，则级数2

1sin n na n ∞

=? ?

∑ （ B ） (A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.

三、计算题 (7+7+7+7+6+8=42分)

1. 设2

24,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y f x y x y x y ?≠?

=+??=?

讨论(,)f x y 在原点(0,0)处是否连续，并求出两个

偏导数(0,0)x f '和(0,0)y f '. (7分)

解：令42

244200,lim (,)lim 1

y y ky k

x ky f ky y k y y k →→===++，随k 的取值不同，其极限值不同， 00

lim (,)x y f x y →→∴不存在，故(,)f x y 在原点不连续；

00(0,0)(0,0)00

(0,0)lim

lim 0x x x f x f f x

x ?→?→+?--'===??，

00(0,0)(0,0)00

(0,0)lim lim 0y y y f y f f y

y ?→?→+?--'===??.

2.

计算I Ω

=

其中Ω

是由上半球面z =和锥面

z =所围成的立体 . (7分)

解：作球面坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos .x y z ρ?θρ?θρ?=== 则

2sin dxdydz d d d ρ?θ?ρ=，

:02,0,0.4

π

θπ?ρΩ≤≤≤≤

≤≤

I Ω

=

2340

sin (2.d d d π

πθ??ρπ==-?

??

3.

求锥面z =

被柱面222x y x +=所割下部分的曲面面积 .（7分）

解：锥面∑

：,)xy z x y D =∈=22{2}.x y x +

≤x z '=

y z '=，

.xy

xy

D D S dS dxdy ∑

∴===

=?? 4. 计算曲面积分222

I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑

=

++??

ò，其中∑是由22z x y =+，221x y +=， 0,0,0x y z ===围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）

解：设Ω为∑所围立体，222

,,,

P z x Q x y R y z ===222,P Q R x y z x y z

???++=++???由Gauss 公式， 222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑

=++??ò222

()x y z dxdydz Ω

=++??? 作柱面坐标变换：cos ,sin ,.x r y r z z θθ=== 则

dxdydz rd drdz θ=， 2:0,01,0.2

r z r π

θΩ≤≤

≤≤≤≤

2

1

222

5

().48

r I d rdr r z dz πθπ∴=+=

??? 5.讨论级数

31

2

ln n n

n ∞

=∑

的敛散性. （6分）

解：54

312

4ln ln lim lim 0,n n n n n n n →∞→∞

?==Q 312

ln n n n ∞

=∴∑ 收敛 .

6. 把级数121

21

1(1)(21)!2

n n n n x n -∞

--=--∑的和函数展成1x -的幂级数.（8分） 解：设级数的和函数为()S x ，则

121

21

1(1)()(21)!2

n n n n S x x n -∞

--=-=-∑21

11(1)sin (21)!22n n n x x n --∞

=-????== ? ?-????∑，(,).x ∈-∞+∞ 即111111()sin sin sin cos cos sin 22

22222x x x x S x ---????

==+=?+? ?

????? 201(1)1sin 2(2)!2n n n x n ∞=--??=? ???∑21

01(1)1cos 2(21)!2n n n x n +∞=--??

+? ?

+??∑ 2201(1)sin (1)2(2)!2n n n n x n ∞=-=?-?∑21

21

01(1)cos (1),(,).2(21)!2

n n n n x x n ∞++=-+?-∈-∞+∞+?∑ 四、设曲线L 是逆时针方向圆周2

2

()()1,()x a y a x ?-+-=是连续的正函数， 证明：

()2()L xdy y x dx y ?π?-≥??. （8分）

证明：设2

2

:()()1,D x a y a -+-≤由Green 公式，

()()()L D xdy Q P y x dx dxdy y x y ????-=-??????1(())()D

x dxdy y ??=+??（而D 关于y x =对称） 1(())()D x dxdy x ??=+??1

[2()]22.()D D x dxdy dxdy x ?π?≥?==????

即 ()2()L xdy

y x dx y ?π?-≥??.

2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A 卷参考答案 一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++=设则dy dx +3 .

2．设

xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y ??1

1

0 ),(=)1cos 1(2

1- .

3．设函数21cos ,0()1,0x

x f x x x x πππ+?<

=-??+-≤≤?以2π为周期，()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则

(3)s π-=

21

2

π+ . 4．设曲线C 为圆周222

R y x

=+,则曲线积分ds x y x C

?

+）—（322=32R π . 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1. 设直线L 为320

21030,

x y z x y z ++=??

--+=?平面π为4220x y z -+-=,则 （ C ） .

(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上

(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直 2．设有空间区域2

2

2

2

:x y z R Ω++≤

，则

Ω

等于 （ B ）.

(A)

432R π (B) 4R π (C) 4

3

4R π (D) 42R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.

(A)

∑∞

=+-1

)1()1(n n

n

n n (B) ∑

∞

=+-+1

1

)1(n n

n n

(C)

n

n e

n -∞

=∑1

3

(D)

∑∞

=+

1

)11ln(n n

n

n

4. 设

∑∞

=1

n n

a

是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ） （A ） 若∑∞

=1n n

a

收敛，则

∑∞

=1

2n n

a

也收敛 （B ）若

∑∞

=1n n

a

收敛，则

11

+∞

=∑n n n

a

a 也收敛

（C ）若

∑∞

=1

n n a 收敛，则部分和n S 有界 （D ）若∑∞=1

n n a 收敛，则1lim

1

<=+∞

→ρn

n n a a

三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）

1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2

y x y x f u +=，求y

x u

???2.

解：

212f xyf x

u

+=??

)()(22222121211212f f x f f x xy xf y

x u

++++=??? 22122

113

1)2(22f f x xy yf x xf ++++= 2．求函数y x xy z

+-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切

线方向的方向导数.

解：曲线?

??+==1:2

x y x

x L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=T ，)2,1(510=T

5

2

cos ,51cos =

=

βα 13|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2

)2,1(=+=??=-=??xy y

z y x z 函数在点（1,2）沿)2,1(=T

方向的方向导数为

5

37

5213511|)2,1(=?+=

?T

3．计算

,)(2dxdy y x D

??+其中}4),({2

2≤+=y x y x D . 解

dxdy xy dxdy y x dxdy y x y x y x D

????

??≤+≤+++=+4

4

2

22

22222)()( 22

30

0d r dr πθ=+?? = π8

4. 设立体Ω

由锥面z =

及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的

密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量. 解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ

法1：?

???

?≤≤≤≤≤≤Ω?

π

?π

θcos 204020r ： 质量M =

??????Ω

Ω

=dxdydz z k dxdydz z y x ||),,(ρ

k

=dr r r d d ???θ?π

πsin cos 2cos 20

40

20

?

??

76

k

π=

.

法2

：22:1,:1D x y z ?+≤?

Ω≤+

(,,)||M x y z dxdydz k z dxdydz ρΩ

Ω==??????

2110

76

r

k

k d dr ππθ

==

?

?

?

. 法3：1

2

2

2

1

7||(1(1)).6

k

M k z dxdydz z z dz z z dz πππΩ

=

=+--=????? 5．计算曲线积分?+++-=

C

y x dy

x y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线12

2

=+y x 沿逆时针方向一周.

解：?++-=

C dy x y dx y x I 1)()( dxdy y P x Q y x ??≤+??-??=1

22)(π2])1(1[122=--=??≤+dxdy y x . 6. 计算第二类曲面积分??

∑

++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2

，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧． 解：利用高斯公式，

dxdydz x x yz dxdy zx

xydxdz xyzdydz ?????Ω

∑

++=++)()(22

dxdydz x yz ???Ω

+=

)(dxdydz x ???Ω

+2

dxdydz z y x ???Ω

+++=)(3102

22 .15

4sin 31104

020π??θππ==???dr r d d

7．求幂级数

n

n x n ∑∞

=+11

1的和函数 . 解:幂级数的收敛半径1=R ，收敛域为)1,1[-

0≠x 时，

111

1)(+∞

=∑+=n n x n x xS =01x n n x dx ∞=∑?01x n n x dx ∞==∑?

0ln(1)1x

x

dx x x x =

=----?

0=x 时，0)0(=S ， ??

???=?-∈--

-=∴0

0)1,0()0,1[)1ln(1)(x x x

x x S

四．证明题（本题4分）

证明下列不等式成立：π

≥??D x y

dxdy e

e ，其中}1|),{(D 22

≤+=y x

y x .

证明：因为积分区域关于直线x y =对称， ????=D D y x

x y dxdy e

e dxdy e e

??=∴D x y dxdy e

e 21）（????+D D y x

x

y dxdy e e dxdy e e =π=≥+????dxdy dxdy e e e e D y x x y 22

1

(21） 五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为

},75:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(22xy y x y x h +--=

（1）设),(00y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式。

（2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说要在D 的边界线752

2

=-+xy y x 上找使（1）中的),(y x g 达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。

解：（1）由梯度的性质知，),(y x h 在点),(00y x M 处

沿梯度j y x i x y y x gradh ρ

ρ)2()2(),(000000-+-=方向的方向导数值最大，

最大值为2002000000)2()2(),(),(y x x y y x gradh y x g -+-=

=.855002

020y x y x -+=

（2）令xy y x y x g y x f 855),(),(2

2

2

-+==，则模型为

?????=+---+=075855),(max 2

22

2xy y x xy

y x y x f 约束条件：

做Lagrange 函数)75(855),(2

222xy y x xy y x y x L +--+-+=λ，得

?

????=+--='=-+-='=-+-=')3(.075)2(,0)2(810)

1(,0)2(81022ΛΛΛxy y x L y x x y L x y y x L y x λ

λλ (1)、(2)式相加可得()(2)0,x y λ+-=,y x ?=-或 2.λ= 若2λ=，由1y x ?=（）

，再由

3x y ?=±=±（） 若y x =-，由(3)5,5x y ?=±=m .

得4

个可能极值点：1234(5,5),(5,5),(M M M M ----

由于1234()()450,()()150,f M f M f M f M ==== 故1(5,5)M -或2(5,5)M -可作为攀登的起点.