对称式和轮换对称式及问题详解
轮换对称方程组及其解法-2019年精选文档
轮换对称方程组及其解法-2019年精选文档轮换对称方程组及其解法一、轮换式与对称式1.1轮换式与对称式的概念如果把一个多元多项式中的所有字母(元),依某种顺序进行轮换(即第一个字母换成第二个字母,第二个字母换成第三个字母,……,第n个字母换成第一个字母),多项式保持不变,则称它是轮换对称多项式,简称轮换式。
例如 x+y ,a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),x2y+y2z+z2x等都是轮换式如果把一个多元多项式中的任意两个字母(元)对调,多项式都保持不变,我们就称它是对称多项式,简称对称式例如 a+b 称为二元一次对称式ab 称为二元二次对称式a3+b3+c3-abc 称为三元三次对称式1.2轮换式与对称式的性质轮换式的和、差、积、商(整除时)仍是轮换式。
对称式的和、差、积、商(整除时)仍是对称式。
特别地,轮换式与对称式的积、商(整除时)是轮换式由此可知,对称式的因式一定是对称式;轮换式的因式一定是轮换式(或对称式)。
这个特征对对称式、轮换式的因式分解尤为重要。
1.3轮换式与对称式的解法轮换式与对称式多用于因式分解。
例分解因式 a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)解:原式是三元四次齐次轮换式。
易见,当 a=b时,原式=0,由此,由因式定理知,它有因式a-b,再由轮换式的性质,经字母轮换式b-c,c-a也是它的因式,由于(a-b)(b-c)(c-a)是三次齐次轮换式,所以原式还应有一个一次因式,显然必为a+b+c(否则原式至少为六次式,例如,若a+b+-c 是它的因式,则a+c-b,b+c-a亦是)。
令a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)原式=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) 取 a=0,b=1,c=2代入上式得k=-1。
所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)二、轮换对称方程组轮换对称方程组是一类重要的方程组,常见于各种数学竞赛中。
由于轮换对称方程组具有特殊的性质,所以,用常规方法解不易奏效。
对称式和轮换对称式及问题详解
-- -对称式和轮换对称式一．填空题〔共10小题〕1．，a，b，c是△ABC的边，且，，，那么此三角形的面积是：_________ ．2．实数a、b、c，且b≠0．假设实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，那么y12+ay22的值为_________ ．3．正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，那么〔a+c+e〕﹣〔b+d+f〕的值为_________ ．4．bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，那么6a+7b+8c= _________ ．5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．那么y12+y22= _________ ．6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，那么= _________ ．7．，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，那么a+b+c= _________ ．8．设2〔3x﹣2〕+3=y，2〔3y﹣2〕+3=z，2〔3z﹣2〕+3=u且2〔3u﹣2〕+3=x，那么x= _________ ．9．假设数组〔x，y，z〕满足以下三个方程：、、，那么xyz= _________ ．10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，那么xyz= _________ ．二．选择题〔共2小题〕11．，，，那么的值是〔〕A．B．C．D．12．如果a，b，c均为正数，且a〔b+c〕=152，b〔c+a〕=162，c〔a+b〕=170，那么abc的值是〔〕A．672 B．688 C．720 D．750三．解答题〔共1小题〕13．b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．答案与评分标准一．填空题〔共10小题〕1．，a，b，c是△ABC的边，且，，，那么此三角形的面积是：．考点：对称式和轮换对称式。
对称式与轮换对称式 部分完善
竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x = ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
高中定义：如果对n 元多项式),,,(21n x x x f 的变数字母的下标集｛1,2,…,n ｝施行任意一个置换后，),,,(21n x x x f 都不改变，那么就称),,,(21n x x x f 为一个n 元对称多项式. 例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x = ，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
10. 因式分解技巧-轮换式与对称式 -单墫
10 .轮换式与对称式关于x 、y 的多项式)1(,,,*,,223322 xy y x y x y x xy y x ++++在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x 、y 的对称式.类似地，关于x 、y 、z 的多项式,,,,333222z y x zx yz xy z y x z y x ++++++++)2(,,22/2222 xyz y z x z x y z y z x y x +++++在字母x 、y 、z 中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为x 、y 、z 的对称式．关于x 、y 、z 的多项式,,,,333222z y x zx yz xy z y x z y x ++++++++)3(,,,222222 xyz zx yz xy x z z y y x ++++在将字母x 、y 、z 轮换（即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x ）时，保持不变，这样的多项式称为x 、y 、z 的轮换式，显然，关于x 、y 、z 的对称式一定是x 、y 、z 的轮换式．但是，关于x 、y.z 的轮换式不一定是对称式．例如，x z z y y x 222++就不是对称式，次数低于3的轮换式同时也是对称式，两个轮换式（对称式）的和、差、积、商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式）． 轮换式与对称式反映了数学的美．它们的因式分解也是井然有序，可以按照一定的规律去做的．10.1 典 型 方法例1 分解因式：).()()(222y x z x z y z y x -+-+- 解 )()()(222y x z x z y z y x -+-+-是关于x 、y 、z 的轮换式．如果把)()()(222y x z x z y z y x -+-+-看作关于x 的多项式，那么在y x= 时，它的值为 .0)()()(222=-+-+-y y z y z y z y y因此，根据第8单元，y x -是)()()(222y x z x z y z y x -+-+-的因式．由于）（y x z x z y z y x -+-+-222)()(是x 、y 、z 的轮换式，所以可知z y -与x z -也是它的因式，从而它们的积))()((x z z y y x --- (4)是 )()()(222y x z x z y z y x -+-+- (5)的因式．由于(4)、(5)都是x 、y 、z 的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k ，即有).)()(()()()(222x z z y y x k y x z x z y z y x ---=-+-+- (6)现在我们来确定常数k 的值．为此，比较(6)的两边y x 2的系数：左边系数为1，右边系数为-k ，因此，于是 )()()(222y x z x z y z y x -+-+-).)()((x z z y y x ----=例2 分解因式：).()()(333b a c a c b c b a -+-+-解 )()()(333b a c a c b c b a -+-+-是关于a 、b 、C 的轮换式．与例1类似，它有三次因式 ).)()((a c c b b a ---由于原式是a 、b 、c 的四次式，所以还应当有一个一次因式．原式是a 、b 、c 的四次齐次式，所以这个一次因式也是a 、b 、c 的一次齐次式，即它的常数项是0（否则，它的常数项与三次式))()((a c c b b a ---相乘得到一个三次式）．这个一次齐次式是a 、b 、c 的轮换式，它的形状应当是k c b k ),(++α是常数．即有)()()(333b a C a c b c b a -+-+-).)()()((a c c b b a c b a k ---++= (7)比较两边b a 3的系数，得k=-1．于是 )()()(333b a c a c b c b a -+-+-).)()()((a c c b b a c b a ---++-=上面求k 的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使0))()()((=/---++a c c b b a c b a的数代替a 、b 、c ，从而定出k ，例如，令,0,1,2===c b a把它代入(7)，得),2(3028-⋅⋅=+-k即 .1-=k以上两种确定系数的方法可以结合起来使用．例3 分解因式.)()()()(3333c b a b a c a c b C b a -+--+--+-++解 在0=a 时，原式的值为,0)()()()(3333=----+-+c b b c c b c b所以a 是原式的因式．由于原式是a 、b 、c 的轮换式，所以b 、c 也是它的因式，从而有,)()()()(3333kabc c b a b a c a c b c b a =-+--+--+-++ (8)其中k 是待定系数．令,1===c b a 得,11133333k =---即 ,24=k所以.24)()()()(3333abc c b a b a c a c b c b a =-+--+--+-++在(3)中列出的各式称为基本的轮换式．每一个轮换式都能由它们组成，例如：一次齐次的轮换式是);(z y x l ++二次齐次的轮换式是);()(222zx yz xy m z y x l +++++三次齐次的轮换式是.)()()(222222333kxyz zx yz xy n x z z y y x m z y x l +++++⋅++++这里，L 、m 、n 、k 都是待定的常数．10.2 齐 次 与 非 齐 次例4 分解因式：.)()()(555y x x z z y -+-+- 解 用上面的方法易知原式有因式).)()((x z z y y x ---因为原式是x 、y 、z 的五次齐次轮换式，所以还有一个因式是二次齐次轮换式，我们设555)()()(y x x z z y -+-+-)].()()[)()((222zx yz xy m z y x l x z z y y x +++++---= （9）令,0,1,2===z y x 得),25(21321m l +-=+-即 .1525=+m l （10）令,1,0,1-===z y x 得),2(21321m l --=+-即 .152=-m l （11）由(10)、(11)这两个方程，解得⎩⎨⎧-==,5,5m l 于是 555)()()(y x x z z y -+-+-)](5)(5)[)()((222zx yz xy z y x x z z y y x ++-++---=).)()()((5222zx yz xy z y x x z z y y x ---++---=在例4中，任给一组x 、y 、z 的值(当然不能使(x- y) (y-z) (z-x)为0)，都可以得到一个形如(10)或(11)的方程，不过为了便于计算，以较小的值代人为好．在例4中，如果注意到,5)(455 +-=-z y y z y那么比较(9)式两边z y 4的系数，可以得 ,5l -=-再结合(10)或(11)中的任一个，可以得出.5-=m 这种做法更简单一些．例5 分解因式：.)(555b a b a ---解 原式在a 、b 互换时变号，它不是a 、b 的轮换式（二元的对称式与轮换式是一致的）．但是，如果改记-b 为c ，那么原式成为,)(555c a c a +-+是a 、c 的轮换式，因而也可以采用前面的方法去处理．不过，应当注意到，更简单的办法是在例4中令,,b C x z a z y -==-=-那么 ,a b y x -=-555)(b a b a ---555)()()(y x x z z y -+-+-=))()()((5222zx yz xy z y x x z z y y x ---++---=2)()()().(5222x z z y y x b a ab -+-+--= 2)().(5222a b b a b a ab -++-= ).)((522ab b a b a ab -+-=由此可以看出，做题的时候应当充分利用已有的结果．例6 分解因式：).1)(()1)(1)((2222yz x z xz xy z y +-+++-).1)(1)(()1(22zy zx y x yx ++-++ 解 这是x 、y 、z 的轮换式，容易知道它有因式),)()((y x x z z y ---但是另一个因式是什么呢？原式并非齐次式，为了便于处理，我们按照次数把它整理一下．由于,1)()1)(1(+++⋅=++z y x x xyz xz xy所以 )1)(1)(()1)(1)((2222yx yz x z xz xy z y ++-+++-)1)(1)((22zy zx y x ++-+ )]()()([222222y x z x z y z y x xyz -+-⋅+-=)]()()[(222222y x x z z y -+-+-+)])(())(())(([222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-++)]()()([222222y x z x x y z y x xyz -+-+-= )].)(())(())(([222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-++于是，例题中的非齐次式化为两个齐次式的和，用前面所说的方法可得齐次式)()()(222222y x z x z y z y x -+-+-),)()((x z z y y x ---=))(())(())((222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-+).)()()((z y x x z z y y x ++---=所以得)1)(1)(()1)(1)((2222yx yz x z xz xy z y ++-+++-)1)(1)((22zy zx y x ++-+).)()()((z y x xyz x z z y y x +++---=10.3 abC C b a 3333-++例7 分解因式：.3333abc c b a -++解 在)(c b a +-=时，有abc C b a 3333-++)(3)(333c b bc C b c b +++++-=2233322333)33(bc c b C b c bc c b b +++++++-=,0=所以c b a ++是abc c b a 3333-++的因式，显然，abc c b a 3333-++是a 、b 、c 的三次齐次轮换式，我们设abc C b a 3333-++)].()()[(222ca bc ab m C b a l c b a +++++++=（12） 比较两边3a 的系数得,1=l 比较abc 的系数得,33m =-即 ,1-=m所以 abc c b a 3333-++ ).)((222ca bc ab c b a c b a ---++++= （13）有的时候也把(13)写成abc c b a 3333-++)13].(2)()())[((2122a c c b b a c b a -+-+-++=(13)与)13(/也可以作为公式来使用．例8 分解因式：-+--++-++-+b a b a c a c b c b a (3)()()(333).)()(b a c a c b c -+-+ 解 由公式),13(/得333)()()(b a c a c b c b a -++-++-+))()((3b a c a c b c b a -+-+-+-)].()()[(21b a c a c b c b a -++-++-+=22)]()[()](){[(b a c a c b a c b c b a -+--++-+--+})]()[(2c b a b a c -+--++ ])(4)(4)(4)[(21222b c a b c a c b a -+-+-++= ])()())[((2222b c a b c a c b a -+-+-++=).)((4222Ca bc ab C b a C b a ---++++=本题的结果表明将abc c b a 3333-++中的a 、b 、c 分别用a+b-c 、b a c a c b -+-+、代替后，所得的式子为原来的4倍，从(13)可以看出，如果,0=++c b a 那么,3333abc c b a =++这也是一个有用的结论．例9 分解因式：.)()()(333y x x z z y -+-+- 解 因为 ,0)()()(=-+-+-y x x z z y所以 333)()()(y x x z z y -+-+- ).)()((3y x x z z y ---=10.4 焉 用 牛 刀例10 分解因式：.2)()()(222333xyz y x z x z y z y x z y x -++++++---解 在z y x +=时，有原式)(2)2()2()()(22333z y yz z y z y z y z y z y z y +-++++++--+-=β)(2)]2([)]2([2323z y yz z y z z y z y y +-++-+++-=y z z y z z y z y y z y 222222)2()2(---++-+=y zz y y x z y 22222222 ⋅--+= ,0=所以，x- y-z 是原式的因式．由于原式为x 、y 、z 的三次轮换式，我们设xyz y x z x z y z y x z y x 2)()()(222333-++++++--- ),)()((y x z x z y z y x k ------=比较3x 的系数，得k=-1，于是 xyz y x z x z y z y x z y x 2)()()(222333-++++++---))()((y x z x z y z y x -------=).)()((z y x y x z x z y -+-+-+=例11 分解因式：.3222222xyz zx yz xy x z z y y x ++++++解 这个三次式如果能分解，那么它必有一次因式，这一次因式是齐次的轮换式，即x+y+z ．事实上，把x 用一(y+z)代入后原式为0.不过，没有必要去验证这一点，因为原式不难直接分解．由 ),(22z y x xy xyz xy y x ++=++),(22z y x yz xyz yz z y ++=++),(22z y x zx xyz zx x z ++=++可得 xyz zx yz xy x z z y y x 3222222++++++ )./)((zx yz xy z y x ++++=杀鸡焉用牛刀！特殊的问题可以用特殊的方法处理，并不是每一道题都非得用一般的方法去对付不可．10.5 整 除 问 题例12 证明：322243222432224)()()(c b a c b a C b a c b a -++-++-+能被222222444222a c c b b a c b a ---++整除．证明 由第4单元例6，可得222222444222a c c b b a c b a ---++),)()()((c b a b a c a c b C b a -+-+-+++-=因此，只要证明 ))()()((c b a b a c a c b c b a -+-+-+++是.)()()(322243222432224C b a c b a c b a C b a -++-++-+ (14)的因式即可，在a=b+c 时，(14)式的值为4222432224])([])([)(b c b C b c b c b c b -++++-++32224])[(c b c b c -+++32432434)22()22()2()(bc b c bc cb bc c b ++++-+= 343334433)(8)(8)(8c b c b c b c b c b c b +++++-=])([)(8333c b c b C b c b +++-+=,0=所以c b a --是(14)的因式．由于在a 变号时，(14)的值不变，所以)(c b a +-=时，(14)的值仍然为0．即c b a ++也是(14)的因式．(14)是a 、b 、c 的轮换式；因而b a c a c b ----、也是它的因式，从而))()()((b a c a c b c b a c b a ------++是(14)的因式，这就是要证明的结论．例13 n 是大于1的自然数，证明n n n n n n n z y x y x x z z y z y x 2222222)()()()(++++-+-+-++ )15(能被4444444)()()()(z y x y x x z z y z y x ++++-+-+-++ （16）整除，证明 在x=0时，(15)的值为,0)()(222222=++--+-+n n n n n n z y y z z y z y因此，x 是(15)的因式．在)(z y x +-=时，(15)的值为,0)()(222222=--++--+-n n n n n n z y z y z y z y因此，z y x ++是(15)的因式．由于(15)是轮换式，所以)(z y x xyz ++ （17）是它的因式．特别地，在n=2时得到(17)是(16)的因式．(16)与(17)都是四次式，因此它们至多相差一个常数．(15)能够被(17)整除，所以(15)也能够被(16)整除，10.6 原 来 是 零例14 分解因式： -----+-+-c c b b a b a a c c b ()()9)()()(22666（----332)()(2)c a b a a .)()(2)()(23333b c a c a b c b ----- )18( 解 易知b a =时(18)为0，从而导出(18)有因式).)()((a c c b b a ---在a=0时，(18)的值为333333222666)(2)(22)(9)(b c c b c b c b c b c b b c c b -------++-)2()(9]22)[()(33662223333c b c b c b c b c b c b c b -++--+---=-+--+--+--=32223332233)(9]2233[)(b c b c b c b C bc c b b c b （23)cbc b c b c b c b c b bc b c c b +-+---+--=2222222333)()(9)]33()[()(（22)c +2222223)[()()](3))([()(c bc b c b b c bc b bc c b c c b ++-+-+++--=])3(2bc -22222224)(3()()4()(c bc b bc c bc b c b b bc c c b +++++-+++--=)3bc -)4()()4()(224224C bc b c b b bc C c b ++-+++--=,0=于是a 是(18)的因式，从而))()((a c c b b a abc ---是(18)的因式．由于(18)的次数为6，所以设222666)()()(9)()()(a c c b b a b a a c c b -----+-+-333333)()(2)()(2)()(2b c a c a b c b c a b a ---------).)()((a c c b b a kabc ---=令,1,2,3===c b a 得3333222666)1(.122122119121-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯-++33)1()2(2-⨯-⨯-,12k -=即 ,012=-k于是 ,0=k从而 222666)()()(9)()()(a c c b b a b a a c c b -----+-+-333333)()(2)()(2)()(2b c a c a b c b c a b a ---------.0=表面上(18)是一个6次式，实质上，它等于0，这是有一点出乎意料的．0无需进行分解，每一个（非零）多项式都是它的因式．例15 分 解 因 式：).2()()2()()2()(333c b a b a b a c a c a c b c b -+-+-+-+-+-解 容易验证在a=0与a=b 时，原式的值为0．因此，a(a-b)是它的因式，由于原式是a 、b 、c 的轮换式，所以))()((a c c b b a abc --- (19)是它的因式．但(19)是6次式，而原式的次数≤4，这说明原式必须为0，即.0)2()()2()()2()(333=-+-+-+-+-+-c b a b a b a c a c ac b c b )20( 例16 证明.0)2)(()2)(()2)((333=-+-+-+-+-+-z y x y x y x z x z x z y z y分析 本题可以按照例15的办法处理．不过，更简单地是在(20)中令,,,y x c x z b z y a -=-=-=便得到)33()2()33()2(33x x y z x y z x y z --++--+)33()2(3x y z x y --++,0=从而导出了要证明的结论．10.7 四 元 多项 式例17 分解因式：.)())(()(44d b a c d a c b d a c b --++----+).)(()())((4d c b a d c b a d b a c ----++--解 原式是a 、b 、c 的轮换式，用前面的方法易知它有因式 ).)()((a c c b b a ---另一方面，把原式看成d 的多项式，在d=a 时，易知它的值为0．因此，原式有因式d -a ．再由轮换性，它也有因式d-b ，d-c 于是))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------是它的因式，因为原式是a 、b 、c 、d 的6次式，我们设 ))(()())(()(44d b a c d b a c d a c b d a c b ----++----+))(()(4d c b a d c b a ----++ ).)()()()()((c d b d a d a c c b b a k ------=令,2,1,0,1=-===d c b a 得.16=k 即原式 ).)()()()()((16c d b d a d a c c b b a ------=例18 分解因式：).)(())()((222222a d d c a d c b d d c c b d c b ------)()(222a d b a k c a -- ).)()(())((222a c c b b a c b a d b b a ------解 原式是a 、b 、c 的轮换式，和上题类似，可得))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------是它的因式，则))()(())()(([222222c a a d d c a d c b d d c c b d c b -------)(222a d b a d -+)])()(())((222a c c b b a c b a d b b a ------))()([(a c c b b a ---÷)])()((c b b d a d ---所得商式是a 、b 、c 、d 的三次齐次式，并且，在a 、b 、c 、d 中，任意两个字母互换时，商式保持都不变（请读者自己观察一下），说明商式是a 、b 、c 、d 的三次齐次对称式．又原式对每一个字母来说，都是四次多项式，----d a c c b b a )()()(())()(c d b d a --对每一个字母来说，都是三次多项式，所以商式对每个字母来说，是一次多项式，因此，商式的形式是).(dab cda bcd abc l +++由待定系数法易知L=l ，于是原式).)()()()()()((dab cda bcd abc c d b d a d a c c b b a +++------=小 结轮换式与对称式的分解通常是：首先，把它看成一个字母的多项式，用第8单元的方法导出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式．非齐次的轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加后分解．特殊的轮换式可能有比较简便的特殊的方法，不一定非用一般的方法去分解．))((3222333ca bc ab C b a C b a abc c b a ---++++=-++可以作为一个公式使用，在0=++c b a 时，.3333abc C b a =++这两个结论都有不少应用．习 题10将以下各式分解因式：1 ).()()(b a ab a c ca c b bc -+-+-2 .2222222abc ab b a ca a c bc c b ++++++3 .2222222abc bc c b ac c a ab b a -++-+-4 ).()()(222222b a c a C b c b a -+-+-5 .)(3333z y x z y x ---++6 .))(())(())((222b a b a a c a c c b c b +-++-++-7 ).())()(())()((b a a c b a c b a c c b a c b a c b -+-++--+-++--)(b a c +-).(b a c -+8 .4)()()(222xyz y x z x z y z y x -+++++9 ).)(()()()(222b a c a c b c b a c b a c b a c b a -+-+--++-++-+).(c b a -+ 10 ).)(()()()(222b a c a c b c b a c b a c b a c b a -+-++-++-++-+).(c b a -+11 ).())(())((a c b c a c b c b a b c b a b a c a -++-+-++-+-+)()(a c b b a c -++-+ ).)((c b a b a c -+-+12 ).)(())(())((5333b c a c c a b c b b c a b a a abc C b a ---------+++ 13 ).()()(333b a ab a c ca C b bc C b a ++++++++14 +--+-++-++-+))((2)2()2()2(22222c a b a c b a c b a c b a c b a ))((222a b c b -- ).)((222b c a C --+15 .1333-++ab b a16 .8)1(1827)1(2332+++-+y x y x 17 .)()()(333333bx ay C az cx b cy bz a -+-+-18 .)()()(333b a c a c b c b a -+-+-19 .))(())(())((333b a b a a c a c c b c b +-++-++-20 )()()()()(222222222c b a c b a abc b a c a c b c b a +++++++++++).(ca bc ab ++ 21 ).()()(444b a c a c b c b a -+-+-22 ).()()(222222b a b a a c a c c b c b -+-+- 23 ).()()(444444b a c a c b c b a -+-+-24 .)(555b a b a --+25 .)(5555z y x z y x ---++26 .)()()()(5555c b a b a C a c b c b a -+--+--+-++ 27 .)()()(323232y x z x z y z y x -+-+-28 .))(())(())((444b a b a a c a c c b c b +-++-++- 29 ).)(())()(())()((222b c a c c a c a b c b b c b c a b a a +++-+++-++).(b a -30 ++++-++-++-+)()()()(222232323C b a abc c b a c b a c b a c b a ab c b a -++222（ ).)()()(c b a b a c a c b ca bc -+-+-+--31 ).()()(224224224b a c a c b c b a -+-+-32 ).()()(555b a c a c b c b a -+-+- 33 .)()()(555b a c a c b c b a -+-+-34 .)2()2()()(4222322b a b a b a b ab a ++--++35 .)(777y x y x +-+36 ).()()(333333b a b a a c a c c b c b -+-+- 37 ).()()(663663663y x z x z y z y x -+-+-38 ).)(())()(())()((333b a a d c c a a d d c b b d d c c b a --+-------3)(d d b --)(b a - ).)((a c c b --习题答案。
轮换对称式因式分解对称轮换式
轮换对称式因式分解对称轮换式对称多项式和轮换多项式的因式分解【定义1】一个n元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数式为n元对称式，简称对称式。
多项式中的任意两个字母互换，多项式保持不变例如，x y，xyx y，x2 y2 z2，xy y z z x都是对称式。
xy由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式中，若有ax项，则必有ay3，az3项；若有bx2y项，则必有bxz，by2z，by2x，bz2x，bz2y 项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
【定义2】一个n元代数式中的所有字母顺次轮换（如x y,y z,z,... x）后，代数式保持不变，那么称这个代数式为n元轮换对称式，简称轮换式。
显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。
例如，a(x2 y2 z2)是对称式也是轮换式；b(x2y y2z z2x)是轮换式，但不是对称式。
对称式、轮换式之间有如下性质：（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；（2）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是轮换式；齐次（各项的次数均等于同一个常数r）对称多项式的一般形式：（1）二元齐次对称多项式一次：a(x y)，二次：a(x2 y2) b xy；三次：a(x3 y3) b xy(x y)（2）三元齐次对称多项式一次：a(x y z)；二次：a(x2 y2 z2) b(xy y z z x)333222x(y z) y(z x) z(x y) 三次：a(x y z) b c xyz 322．分解因式（1）f(x，y) (x x y y) 4xy(x y)3（3）f(x，y，z) (x y) y z z x3322222（4）f(x，y，z) x y y z z x x y z x yz（5）f(x，y，z) x4 y z y4 z x z4 x y333（6）f(x，y，z) x y z x y z333222222（7）f(x，y，z) x y z x y z y z x z x y2xyz 3（8）f(x，y，z) x2y x y2 x2z x z2 y2z y z2 3xyz222333（9）f(x，y，z) x y z y z x z x y x y z2xyz（10）f(a，b，c，d) b cd c da d ab a bc b c a d c d a b d b a c2练习答案与提示：1．5(x y)(y z)(z x)(x2 y2 z2 x y y z z x)2．（1）可设f k(x2 A xy y2)(x2 B xy y2)，可求得k 1，A B 1（2）可设f kxyz(x y z)，可求出k 12（3）可设f k(x y)(y z)(z x)，可求出k 3（4）可设f k(x y)(y z)(z x)，可求出k 1222（5）f (x y)(y z)(z x) A(x y z) B(xy y z z x) ，可求出A B 1（6）3(x y)(y z)(z x)（7）(x y z)(y z x)(z x y)（8）(x y z)(xy y z z x)（9）(x y z)(y z x)(z x y)（10）当a b c d时，f 0，∴f有abcd的因式，可设2222f abcd A(a b c d) B(ab b c c d d a a c b d) ，，B 2，∴f abcd(a b c d) 可求得A 12百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆。
对称式和轮换对称式及答案
对称式和轮换对称式之相礼和热创作一．填空题（共10小题）1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：_________．2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_________．3．已知负数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为_________．4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=_________．5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22= _________．6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=_________．7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=_________．8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=_________．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz=_________．10．设x、y、z是三个互不相称的数，且x+=y+=z+，则xyz=_________．二．选择题（共2小题）11．已知，，，则的值是（）A．B．C．D．12．假如a，b，c均为负数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750三．解答题（共1小题）13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．答案与评分尺度一．填空题（共10小题）1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：．考点：对称式和轮换对称式.分析：首先将将三式全部取倒数，然后再将所得三式相加，即可得：++=+++，再整理，配方即可得：（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，则可得此三角形是边长为1的等边三角形，则可求得此三角形的面积．解答：解：∵a=，b=，c=，∴全部取倒数得：=+，=+，=+，将三式相加得：++=+++，两边同乘以2，并移项得：﹣+﹣+﹣+3=0，配方得：（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，∴﹣1=0，﹣1=0，﹣1=0，解得：a=b=c=1，∴△ABC是等边三角形，∴△ABC的面积=×1×=．故答案为：．点评：此题考查了对称式和轮换对称式的学问，考查了配方法与等边三角形的性子．此题难度较大，解题的关键是将三式取倒数，再利用配方法求解，得到此三角形是边长为1的等边三角形．2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为．考点：对称式和轮换对称式.分析：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．首先将第②、③组合成一个方程组，变形把x1、x2暗示出来，在讲将x1、x2的值代入①，经过化简就可以求出结论．解答：解：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．由②，得④，把④代入③，得⑤把⑤代入③，得⑥把⑤、⑥代入①，得+=b∴，∴（a3+c2）（y12+ay22）=b（y12+ay22）2∴y12+ay22=．故答案为：点评：本题是一道代数式的转化成绩，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用．3．已知负数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为﹣．考点：对称式和轮换对称式.分析：根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，又a，b，c，d，e，f 为负数，即abcdef=1，再根据所给式子即可求出a，b，c，d，e，f的值，继而求出答案．解答：解：根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，且a，b，c，d，e，f为负数，∴abcdef=1，∴bcdef=，∵=4，∴bcdef=4a，∴4a=，∴a=．同理可求出：b=，c=，d=2，e=3，f=4．∴原式=++3﹣﹣2﹣4，=．故答案为：﹣．点评：本题是一道分式的化简求值试题，考查了分式的轮换对称的特征来解答本题，有肯定难度，根据所给条件求出a，b，c，d，e，f的值是关键．4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=44或﹣44．考点：对称式和轮换对称式.分析：令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，用①式减②式得 bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b﹣a）=6，②式减③式得 ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c﹣b）=6，于是求出b和a、c之间的关系，进一步讨论求出a、b和c的值，6a+7b+8c的值即可求出．解答：解：令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，①式减②式得 bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b﹣a）=6，②式减③式得 ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c﹣b）=6，以是b﹣a=c﹣b，即b=，代入②得 ca﹣=﹣1，4ac﹣（a+c）2=﹣4，（a﹣c）2=4，a﹣c=2或a﹣c=4，当a﹣c=2时，a=c+2，b==c+1，代入③式得（c+2）（c+1）﹣c2=﹣7，3c+2=﹣7，c=﹣3，以是a=﹣1，b=﹣2，此时6a+7b+8c=6×（﹣1）+7×（﹣2）+8×（﹣3）=﹣44，当a﹣c=﹣2时，a=c﹣2，b==c﹣1，代入③式得（c﹣2）（c﹣1）﹣c2=﹣7﹣3c+2=﹣7，c=3，以是a=1，b=2 此时6a+7b+8c=6×1+7×2+8×3=44，以是6a+7b+8c=﹣44或6a+7b+8c=44，故答案为44或﹣44．点评：本题次要考核对称式和轮换对称式的学问点，解答本题的关键是求出b=，此题难度不大．5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22= 5．考点：对称式和轮换对称式.分析：根据题意令x1=sinθ，x2=cosθ，又知x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3，列出方程组解出y1和y2，然后求出y12+y22的值．解答：解：令x1=sinθ，x2=cosθ，又知x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3，故，解得：y1=cosθ+3sinθ，y2=3cosθ﹣sinθ，故y12+y22=5．故答案为5．点评：本题次要考核对称式和轮换对称式的学问点，解答本题的关键是令x1=cosθ，x2=sinθ，此题难度不大．6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=1．考点：对称式和轮换对称式.分析：∵a=，b=，c=分别代入，，暗示出，，的值，然后化简就可以求出结果了．解答：解：∵a=，b=，c=，∴===∴=++=∵x+y+z≠0∴原式=1．故答案为：1．点评：本题是一道代数式的化简求值的题，考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用．具有肯定的难度．7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=．考点：对称式和轮换对称式.分析：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），由可得：==，解出a、b和c的值即可．解答：解：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），又知，即==，解得a=2，c=，b=﹣，即a+b+c=2﹣+=．故答案为．点评：本题次要考核对称式和轮换对称式的学问点，解答本题的关键是令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x，此题难度不大．8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=．考点：对称式和轮换对称式.专题：计算题.分析：先化简各式，将各式联立相加，然后分别将y、z和u关于x的式子代入消往y、z和u，即可求出x的值．解答：解：将各式化简得：，（1）+（2）+（3）+（4）得：x+y+z+u=⑤，分别将y、z和u关于x的式子代入⑤中，得：x+6x﹣1+6（6x﹣1）﹣1+=，解得：x=．故答案为：．点评：本题考核对称式和轮换对称式的学问，难度适中，解题关键是将y、z和u关于x的式子代入消弭y、z和u．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz=162．考点：对称式和轮换对称式.分析：将3个方程分别分别由第一个方程除以第二方程，再由第一个方程除以第三个方程．就可以把x、y用含z的式子暗示出来，然后代入第一个方程就可以求出z、x、y的值，从而求出其结果．解答：解：由①÷②，得y=④由①÷③，得x=⑤把④、⑤代入①，得，解得z=9∴y=6，x=3∴原方程组的解为：∴xyz=3×6×9=162．故答案为：162．点评：本题是一道三元高次分式方程组，考查了运用分式方程的轮换对称的特征解方程的方法，解方程组的过程以及求代数式的值的方法．10．设x、y、z是三个互不相称的数，且x+=y+=z+，则xyz=±1．考点：对称式和轮换对称式.专题：计算题.分析：分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，由右边的两个等式可得出zy=，同理可得出zx=，xy=，三式相乘可得出xyz的值．解答：解：由已知x+=y+=z+，得出x+=y+，∴x﹣y=﹣=，∴zy=①同理得出：zx=②，xy=③，①×②×③得x2y2z2=1，即可得出xyz=±1．故答案为：±1．点评：此题考查了对称式和轮换式的学问，有肯定的难度，解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式，技巧性较强，要留意观察所给的等式的特点．二．选择题（共2小题）11．已知，，，则的值是（）A．B．C．D．考点：对称式和轮换对称式.专题：计算题.分析：先将下面三式相加，求出+，+，+，再将化简即可得出结果．解答：解：∵，∴+=15①，∵，∴+=17②；∵，∴+=16③，∴①+②+③得，2（++）=48，∴++=24，则===，故选D．点评：本题考查了对称式和轮换对称式，是根底学问要纯熟掌握．12．假如a，b，c均为负数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750考点：对称式和轮换对称式.分析：首先将a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170分别展开，即可求得ab+ac=152 ①，bc+ba=162 ②，ca+cb=170 ③，然后将三式相加，即可求得ab+bc+ca值，继而求得bc，ca，ab的值，将它们相乘再开方，即可求得abc的值．解答：解：∵a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，∴ab+ac=152 ①，bc+ba=162 ②，ca+cb=170 ③，∴①+②+③得：ab+bc+ca=242 ④，④﹣①得：bc=90，④﹣②得：ca=80，④﹣③得：ab=72，∴bc•ca•ab=90×80×72，即（abc）2=7202，∵a，b，c均为负数，∴abc=720．故选C．点评：此题考查了对称式和轮换对称式的学问，考查了方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是将ab，ca，bc看作团体，利用团体头脑与方程头脑求解．三．解答题（共1小题）13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．考点：对称式和轮换对称式.分析：分别暗示出a，b，c，d，然后经过分别代入，使末了成为只含b的代数式，b的范围晓得从而得解．解答：解：∵a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，∴2b+c=6，c=6﹣2b，代入a+b=c+1得a=7﹣3b，代入b+c=d+2得d=4﹣b，则a+b+c+d=17﹣5b，由于b≥0，以是当b取0时，a+b+c+d的最大值为17．点评：本题对称式和轮换对称式，关键是根据代数式的运算，用代入法，转换成关于b的代数式，从而求出取值范围．。
对称式和轮换对称式及答案
对称式和轮换对称式之五兆芳芳创作一．填空题（共10小题）1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：_________ ．2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_________ ．3．已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为_________ ．4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=_________ ．5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=_________ ．6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=_________ ．7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c= _________ ．8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x= _________ ．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz= _________ ．10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=_________ ．二．选择题（共2小题）11．已知，，，则的值是（）A．B．C．D．12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750三．解答题（共1小题）13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．答案与评分尺度一．填空题（共10小题）1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：．考点：对称式和轮换对称式.阐发：首先将将三式全部取倒数，然后再将所得三式相加，便可得：++=+++，再整理，配方便可得：（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，则可得此三角形是边长为1的等边三角形，则可求得此三角形的面积．解答：解：∵a=，b=，c=，∴全部取倒数得：=+，=+，=+，将三式相加得：++=+++，两边同乘以2，并移项得：﹣+﹣+﹣+3=0，配方得：（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，∴﹣1=0，﹣1=0，﹣1=0，解得：a=b=c=1，∴△ABC是等边三角形，∴△ABC的面积=×1×=．故答案为：．点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了配办法与等边三角形的性质．此题难度较大，解题的关头是将三式取倒数，再利用配办法求解，得到此三角形是边长为1的等边三角形．2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为．考点：对称式和轮换对称式.阐发：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．首先将第②、③组分解一个方程组，变形把x1、x2暗示出来，在讲将x1、x2的值代入①，通过化简就可以求出结论．解答：解：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．由②，得④，把④代入③，得⑤把⑤代入③，得⑥把⑤、⑥代入①，得+=b∴，∴（a3+c2）（y12+ay22）=b（y12+ay22）2∴y12+ay22=．故答案为：点评：本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值进程中的运用．3．已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为﹣．考点：对称式和轮换对称式.阐发：按照题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，又a，b，c，d，e，f 为正数，即abcdef=1，再按照所给式子便可求出a，b，c，d，e，f的值，继而求出答案．解答：解：按照题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，且a，b，c，d，e，f为正数，∴abcdef=1，∴bcdef=，∵=4，∴bcdef=4a，∴4a=，∴a=．同理可求出：b=，c=，d=2，e=3，f=4．∴原式=++3﹣﹣2﹣4，=．故答案为：﹣．点评：本题是一道分式的化简求值试题，考查了分式的轮换对称的特征来解答本题，有一定难度，按照所给条件求出a，b，c，d，e，f的值是关头．4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c= 44或﹣44 ．考点：对称式和轮换对称式.阐发：令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，用①式减②式得 bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b﹣a）=6，②式减③式得 ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c﹣b）=6，于是求出b和a、c之间的关系，进一步讨论求出a、b和c的值，6a+7b+8c的值便可求出．解答：解：令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，①式减②式得 bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b ﹣a）=6，②式减③式得 ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c ﹣b）=6，所以b﹣a=c﹣b，即b=，代入②得 ca﹣=﹣1，4ac﹣（a+c）2=﹣4，（a﹣c）2=4，a﹣c=2或a﹣c=4，当a﹣c=2时，a=c+2，b==c+1，代入③式得（c+2）（c+1）﹣c2=﹣7，3c+2=﹣7，c=﹣3，所以a=﹣1，b=﹣2，此时6a+7b+8c=6×（﹣1）+7×（﹣2）+8×（﹣3）=﹣44，当a﹣c=﹣2时，a=c﹣2，b==c﹣1，代入③式得（c﹣2）（c﹣1）﹣c2=﹣7﹣3c+2=﹣7，c=3，所以a=1，b=2 此时6a+7b+8c=6×1+7×2+8×3=44，所以6a+7b+8c=﹣44或6a+7b+8c=44，故答案为44或﹣44．点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关头是求出b=，此题难度不大．5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=5 ．考点：对称式和轮换对称式.阐发：按照题意令x1=sinθ，x2=cosθ，又知x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3，列出方程组解出y1和y2，然后求出y12+y22的值．解答：解：令x1=sinθ，x2=cosθ，又知x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3，故，解得：y1=cosθ+3sinθ，y2=3cosθ﹣sinθ，故y12+y22=5．故答案为5．点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关头是令x1=cosθ，x2=sinθ，此题难度不大．6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则= 1 ．考点：对称式和轮换对称式.阐发：∵a=，b=，c=辨别代入，，暗示出，，的值，然后化简就可以求出结果了．解答：解：∵a=，b=，c=，∴===∴=++=∵x+y+z≠0∴原式=1．故答案为：1．点评：本题是一道代数式的化简求值的题，考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用．具有一定的难度．7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=．考点：对称式和轮换对称式.阐发：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），由可得：==，解出a、b和c的值便可．解答：解：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），又知，即==，解得a=2，c=，b=﹣，即a+b+c=2﹣+=．故答案为．点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关头是令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x，此题难度不大．8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=．考点：对称式和轮换对称式.专题：计较题.阐发：先化简各式，将各式联立相加，然后辨别将y、z和u关于x的式子代入消去y、z和u，便可求出x的值．解答：解：将各式化简得：，（1）+（2）+（3）+（4）得：x+y+z+u=⑤，辨别将y、z和u关于x的式子代入⑤中，得：x+6x﹣1+6（6x﹣1）﹣1+=，解得：x=．故答案为：．点评：本题考查对称式和轮换对称式的知识，难度适中，解题关头是将y、z和u关于x的式子代入消除y、z和u．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz= 162 ．考点：对称式和轮换对称式.阐发：将3个方程辨别辨别由第一个方程除以第二方程，再由第一个方程除以第三个方程．就可以把x、y用含z的式子暗示出来，然儿女入第一个方程就可以求出z、x、y的值，从而求出其结果．解答：解：由①÷②，得y=④由①÷③，得x=⑤把④、⑤代入①，得，解得z=9∴y=6，x=3∴原方程组的解为：∴xyz=3×6×9=162．故答案为：162．点评：本题是一道三元高次分式方程组，考查了运用分式方程的轮换对称的特征解方程的办法，解方程组的进程以及求代数式的值的办法．10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz= ±1．考点：对称式和轮换对称式.专题：计较题.阐发：阐发本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们无妨先看二元的情形，由左边的两个等式可得出zy=，同理可得出zx=，xy=，三式相乘可得出xyz的值．解答：解：由已知x+=y+=z+，得出x+=y+，∴x﹣y=﹣=，∴zy=①同理得出：zx=②，xy=③，①×②×③得x2y2z2=1，便可得出xyz=±1．故答案为：±1．点评：此题考查了对称式和轮换式的知识，有一定的难度，解答本题的关头是辨别求出yz、zx、xy的表达式，技能性较强，要注意不雅察所给的等式的特点．二．选择题（共2小题）11．已知，，，则的值是（）A．B．C．D．考点：对称式和轮换对称式.专题：计较题.阐发：先将上面三式相加，求出+，+，+，再将化简便可得出结果．解答：解：∵，∴+=15①，∵，∴+=17②；∵，∴+=16③，∴①+②+③得，2（++）=48，∴++=24，则===，故选D．点评：本题考查了对称式和轮换对称式，是根本知识要熟练掌握．12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750考点：对称式和轮换对称式.阐发：首先将a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170辨别展开，便可求得ab+ac=152 ①，bc+ba=162 ②，ca+cb=170 ③，然后将三式相加，便可求得ab+bc+ca值，继而求得bc，ca，ab的值，将它们相乘再开方，便可求得abc的值．解答：解：∵a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，∴ab+ac=152 ①，bc+ba=162 ②，ca+cb=170 ③，∴①+②+③得：ab+bc+ca=242 ④，④﹣①得：bc=90，④﹣②得：ca=80，④﹣③得：ab=72，∴bc•ca•ab=90×80×72，即（abc）2=7202，∵a，b，c均为正数，∴abc=720．故选C．点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了方程组的求解办法．此题难度较大，解题的关头是将ab，ca，bc看作整体，利用整体思想与方程思想求解．三．解答题（共1小题）13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．考点：对称式和轮换对称式.阐发：辨别暗示出a，b，c，d，然后通过辨别代入，使最后成为只含b的代数式，b的规模知道从而得解．解答：解：∵a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，∴2b+c=6，c=6﹣2b，代入a+b=c+1得a=7﹣3b，代入b+c=d+2得d=4﹣b，则a+b+c+d=17﹣5b，因为b≥0，所以当b取0时，a+b+c+d的最大值为17．点评：本题对称式和轮换对称式，关头是按照代数式的运算，用代入法，转换成关于b的代数式，从而求出取值规模．。
对称式和轮换对称式及答案
对于称式战轮换对于称式之阳早格格创做一．挖空题（共10小题）1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的里积是：_________．2．已知真数a、b、c，且b≠0．若真数x1、x2、y1、y2谦脚x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_________．3．已知正数a，b，c，d，e，f谦脚=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为_________．4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=_________．5．x1、x2、y1、y2谦脚x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=_________．6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=_________．7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡是谦脚第一式的m，n，P，Q，也谦脚第二式，则a+b+c=_________．8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u ﹣2）+3=x，则x=_________．9．若数组（x，y，z）谦脚下列三个圆程：、、，则xyz=_________．10．设x、y、z是三个互没有相等的数，且x+=y+=z+，则xyz= _________．二．采用题（共2小题）11．已知，，，则的值是（）A．B．C．D．12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c （a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750三．解问题（共1小题）13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，供a+b+c+d的最大值．问案与评分尺度一．挖空题（共10小题）1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的里积是：．考面：对于称式战轮换对于称式.分解：最先将将三式局部与倒数，而后再将所得三式相加，即可得：++=+++，再整治，配圆即可得：（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，则可得此三角形是边少为1的等边三角形，则可供得此三角形的里积．解问：解：∵a=，b=，c=，∴局部与倒数得：=+，=+，=+，将三式相加得：++=+++，二边共乘以2，并移项得：﹣+﹣+﹣+3=0，配圆得：（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，∴﹣1=0，﹣1=0，﹣1=0，解得：a=b=c=1，∴△ABC是等边三角形，∴△ABC的里积=×1×=．故问案为：．面评：此题考查了对于称式战轮换对于称式的知识，考查了配要领与等边三角形的本量．此题易度较大，解题的闭键是将三式与倒数，再利用配要领供解，得到此三角形是边少为1的等边三角形．2．已知真数a、b、c，且b≠0．若真数x1、x2、y1、y2谦脚x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为．考面：对于称式战轮换对于称式.分解：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．最先将第②、③拉拢成一个圆程组，变形把x1、x2表示出去，正在道将x1、x2的值代进①，通过化简便不妨供出论断．解问：解：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．由②，得④，把④代进③，得⑤把⑤代进③，得⑥把⑤、⑥代进①，得+=b∴，∴（a3+c2）（y12+ay22）=b（y12+ay22）2∴y12+ay22=．故问案为：面评：本题是一道代数式的转移问题，考查了对于称式战轮换对于称式正在代数式供值历程中的使用．3．已知正数a，b，c，d，e，f谦脚=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为﹣．考面：对于称式战轮换对于称式.分解：根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，又a，b，c，d，e，f为正数，即abcdef=1，再根据所给式子即可供出a，b，c，d，e，f的值，既而供出问案．解问：解：根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，且a，b，c，d，e，f为正数，∴abcdef=1，∴bcdef=，∵=4，∴bcdef=4a，∴4a=，∴a=．共理可供出：b=，c=，d=2，e=3，f=4．∴本式=++3﹣﹣2﹣4，=．故问案为：﹣．面评：本题是一道分式的化简供值试题，考查了分式的轮换对于称的特性去解问本题，有一定易度，根据所给条件供出a，b，c，d，e，f 的值是闭键．4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=44或者﹣44．考面：对于称式战轮换对于称式.分解：令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，用①式减②式得 bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b﹣a）=6，②式减③式得 ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c﹣b）=6，于是供出b战a、c之间的闭系，进一步计划供出a、b战c的值，6a+7b+8c的值即可供出．解问：解：令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，①式减②式得 bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b﹣a）=6，②式减③式得 ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c﹣b）=6，所以b﹣a=c﹣b，即b=，代进②得 ca﹣=﹣1，4ac﹣（a+c）2=﹣4，（a﹣c）2=4，a﹣c=2或者a﹣c=4，当a﹣c=2时，a=c+2，b==c+1，代进③式得（c+2）（c+1）﹣c2=﹣7，3c+2=﹣7，c=﹣3，所以a=﹣1，b=﹣2，此时6a+7b+8c=6×（﹣1）+7×（﹣2）+8×（﹣3）=﹣44，当a﹣c=﹣2时，a=c﹣2，b==c﹣1，代进③式得（c﹣2）（c﹣1）﹣c2=﹣7﹣3c+2=﹣7，c=3，所以a=1，b=2 此时6a+7b+8c=6×1+7×2+8×3=44，所以6a+7b+8c=﹣44或者6a+7b+8c=44，故问案为44或者﹣44．面评：本题主要考核查于称式战轮换对于称式的知识面，解问本题的闭键是供出b=，此题易度没有大．5．x1、x2、y1、y2谦脚x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=5．考面：对于称式战轮换对于称式.分解：根据题意令x1=sinθ，x2=cosθ，又知x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3，列出圆程组解出y1战y2，而后供出y12+y22的值．解问：解：令x1=sinθ，x2=cosθ，又知x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3，故，解得：y1=cosθ+3sinθ，y2=3cosθ﹣sinθ，故y12+y22=5．故问案为5．面评：本题主要考核查于称式战轮换对于称式的知识面，解问本题的闭键是令x1=cosθ，x2=sinθ，此题易度没有大．6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=1．考面：对于称式战轮换对于称式.分解：∵a=，b=，c=分别代进，，表示出，，的值，而后化简便不妨供出截止了．解问：解：∵a=，b=，c=，∴===∴=++=∵x+y+z≠0∴本式=1．故问案为：1．面评：本题是一道代数式的化简供值的题，考查了代数式的对于称式战轮换对于称式正在化简供值中的使用．具备一定的易度．7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡是谦脚第一式的m，n，P，Q，也谦脚第二式，则a+b+c=．考面：对于称式战轮换对于称式.分解：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），由可得：==，解出a、b战c的值即可．解问：解：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），又知，即==，解得a=2，c=，b=﹣，即a+b+c=2﹣+=．故问案为．面评：本题主要考核查于称式战轮换对于称式的知识面，解问本题的闭键是令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x，此题易度没有大．8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u ﹣2）+3=x，则x=．考面：对于称式战轮换对于称式.博题：估计题.分解：先化简各式，将各式联坐相加，而后分别将y、z战u闭于x的式子代进消去y、z战u，即可供出x的值．解问：解：将各式化简得：，（1）+（2）+（3）+（4）得：x+y+z+u=⑤，分别将y、z战u闭于x的式子代进⑤中，得：x+6x﹣1+6（6x﹣1）﹣1+=，解得：x=．故问案为：．面评：本题考核查于称式战轮换对于称式的知识，易度适中，解题闭键是将y、z战u闭于x的式子代进与消y、z战u．9．若数组（x，y，z）谦脚下列三个圆程：、、，则xyz=162．考面：对于称式战轮换对于称式.分解：将3个圆程分别分别由第一个圆程除以第二圆程，再由第一个圆程除以第三个圆程．便不妨把x、y用含z的式子表示出去，而后代进第一个圆程便不妨供出z、x、y的值，进而供出其截止．解问：解：由①÷②，得y=④由①÷③，得x=⑤把④、⑤代进①，得，解得z=9∴y=6，x=3∴本圆程组的解为：∴xyz=3×6×9=162．故问案为：162．面评：本题是一道三元下次分式圆程组，考查了使用分式圆程的轮换对于称的特性解圆程的要领，解圆程组的历程以及供代数式的值的要领．10．设x、y、z是三个互没有相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=±1．考面：对于称式战轮换对于称式.博题：估计题.分解：分解本题x，y，z具备轮换对于称的特性，咱们无妨先瞅二元的情形，由左边的二个等式可得出zy=，共理可得出zx=，xy=，三式相乘可得出xyz的值．解问：解：由已知x+=y+=z+，得出x+=y+，∴x﹣y=﹣=，∴zy=①共理得出：zx=②，xy=③，①×②×③得x2y2z2=1，即可得出xyz=±1．故问案为：±1．面评：此题考查了对于称式战轮换式的知识，有一定的易度，解问本题的闭键是分别供出yz、zx、xy的表白式，本领性较强，要注意瞅察所给的等式的特性．二．采用题（共2小题）11．已知，，，则的值是（）A．B．C．D．考面：对于称式战轮换对于称式.博题：估计题.分解：先将上头三式相加，供出+，+，+，再将化简即可得出截止．解问：解：∵，∴+=15①，∵，∴+=17②；∵，∴+=16③，∴①+②+③得，2（++）=48，∴++=24，则===，故选D．面评：本题考查了对于称式战轮换对于称式，是前提知识要流利掌握．12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750考面：对于称式战轮换对于称式.分解：最先将a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170分别展启，即可供得ab+ac=152 ①，bc+ba=162 ②，ca+cb=170 ③，而后将三式相加，即可供得ab+bc+ca值，既而供得bc，ca，ab的值，将它们相乘再启圆，即可供得abc的值．解问：解：∵a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，∴ab+ac=152 ①，bc+ba=162 ②，ca+cb=170 ③，∴①+②+③得：ab+bc+ca=242 ④，④﹣①得：bc=90，④﹣②得：ca=80，④﹣③得：ab=72，∴bc•ca•ab=90×80×72，即（abc）2=7202，∵a，b，c均为正数，∴abc=720．故选C．面评：此题考查了对于称式战轮换对于称式的知识，考查了圆程组的供解要领．此题易度较大，解题的闭键是将ab，ca，bc瞅做完齐，利用完齐思维与圆程思维供解．三．解问题（共1小题）13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，供a+b+c+d的最大值．考面：对于称式战轮换对于称式.分解：分别表示出a，b，c，d，而后通太过别代进，使末尾成为只含b的代数式，b的范畴了解进而得解．解问：解：∵a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，∴2b+c=6，c=6﹣2b，代进a+b=c+1得a=7﹣3b，代进b+c=d+2得d=4﹣b，则a+b+c+d=17﹣5b，果为b≥0，所以当b与0时，a+b+c+d的最大值为17．面评：本题对于称式战轮换对于称式，闭键是根据代数式的运算，用代进法，变换成闭于b的代数式，进而供出与值范畴．。
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4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=_________．
5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=_________．
解答：解：由已知x+ =y+ =z+ ，
得出x+ =y+ ，
∴x﹣y= ﹣ = ，
∴zy= ①
同理得出：
zx= ②，
xy= ③，
①×②×③得x2y2z2=1，即可得出xyz=±1．
故答案为：±1．
点评：此题考查了对称式和轮换式的知识，有一定的难度，解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式，技巧性较强，要注意观察所给的等式的特点．
8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x= ．
考点：对称式和轮换对称式。
专题：计算题。
分析：先化简各式，将各式联立相加，然后分别将y、z和u关于x的式子代入消去y、z和u，即可求出x的值．
解答：解：将各式化简得： ，
（1）+（2）+（3）+（4）得：x+y+z+u= ⑤，
∵a，b，c均为正数，
∴abc=720．
故选C．
点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是将ab，ca，bc看作整体，利用整体思想与方程思想求解．
6．设a= ，b= ，c= ，且x+y+z≠0，则 =_________．
7．已知 ， ，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=_________．
8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=_________．
解答：解：∵a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，
∴ab+ac=152①，
bc+ba=162②，
ca+cb=170③，
∴①+②+③得：ab+bc+ca=242④，
④﹣①得：bc=90，
④﹣②得：ca=80，
④﹣③得：ab=72，
∴bc•ca•ab=90×80×72，
即（abc）2=7202，
解答：解：令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，
①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b﹣a）=6，
②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c﹣b）=6，
所以b﹣a=c﹣b，即b= ，代入②得ca﹣ =﹣1，
∴△ABC是等边三角形，
∴△ABC的面积= ×1× = ．
故答案为： ．
点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了配方法与等边三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是将三式取倒数，再利用配方法求解，得到此三角形是边长为1的等边三角形．
2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为 ．
4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=44或﹣44．
考点：对称式和轮换对称式。
分析：令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，用①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b﹣a）=6，②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c﹣b）=6，于是求出b和a、c之间的关系，进一步讨论求出a、b和c的值，6a+7b+8c的值即可求出．
A．672B．688C．720D．750
三．解答题（共1小题）
13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．
答案与评分标准
一．填空题（共10小题）
1．已知，a，b，c是△ABC的边，且 ， ， ，则此三角形的面积是： ．
考点：对称式和轮换对称式。
分析：首先将将三式全部取倒数，然后再将所得三式相加，即可得： + + = + + + ，再整理，配方即可得：（ ﹣1）2+（ ﹣1）2+（ ﹣1）2=0，则可得此三角形是边长为1的等边三角形，则可求得此三角形的面积．
故y12+y22=5．
故答案为5．
点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令x1= cosθ，x2= sinθ，此题难度不大．
6．设a= ，b= ，c= ，且x+y+z≠0，则 =1．
考点：对称式和轮换对称式。
分析：∵a= ，b= ，c= 分别代入 ， ， 表示出 ， ， 的值，然后化简就可以求出结果了．
∴ + + =24，
则 = = = ，
故选D．
点评：本题考查了对称式和轮换对称式，是基础知识要熟练掌握．
12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（ ）
A．672B．688C．720D．750
考点：对称式和轮换对称式。
分析：首先将a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170分别展开，即可求得ab+ac=152①，bc+ba=162②，ca+cb=170③，然后将三式相加，即可求得ab+bc+ca值，继而求得bc，ca，ab的值，将它们相乘再开方，即可求得abc的值．
考点：对称式和轮换对称式。
分析：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），由 可得： = = ，解出a、b和c的值即可．
解答：解：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），
又知 ，
即 = = ，
解得a=2，c= ，b=﹣ ，
即a+b+c=2﹣ + = ．
故答案为 ．
点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x，此题难度不大．
∴bcdef= ，
∵ =4，
∴bcdef=4a，
∴4a= ，
∴a= ．
同理可求出：b= ，c= ，d=2，e=3，f=4．
∴原式= + +3﹣ ﹣2﹣4，
= ．
故答案为：﹣ ．
点评：本题是一道分式的化简求值试题，考查了分式的轮换对称的特征来解答本题，有一定难度，根据所给条件求出a，b，c，d，e，f的值是关键．
所以a=1，b=2此时6a+7b+8c=6×1+7×2+8×3=44，
所以6a+7b+8c=﹣44或6a+7b+8c=44，
故答案为44或﹣44．
点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是求出b= ，此题难度不大．
5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=5．
9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程： 、 、 ，则xyz=_________．
10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+ =y+ =z+ ，则xyz=_________．
二．选择题（共2小题）
11．已知 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（ ）
考点：对称式和轮换对称式。
分析：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．首先将第②、③组合成一个方程组，变形把x1、x2表示出来，在讲将x1、x2的值代入①，通过化简就可以求出结论．
解答：解：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．
考点：对称式和轮换对称式。
分析：根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，又a，b，c，d，e，f为正数，即abcdef=1，再根据所给式子即可求出a，b，c，d，e，f的值，继而求出答案．
解答：解：根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，且a，b，c，d，e，f为正数，
∴abcdef=1，
4ac﹣（a+c）2=﹣4，（a﹣c）2=4，a﹣c=2或a﹣c=4，
当a﹣c=2时，a=c+2，b= =c+1，代入③式得（c+2）（c+1）﹣c2=﹣7，3c+2=﹣7，c=﹣3，