中考数学培优专题复习旋转练习题含详细答案
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一、旋转 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=α(︒<<︒600α),将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
(1)如图1,直接写出∠ABD 的大小(用含α的式子表示); (2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连结DE ,若∠DEC=45°,求α的值。 【答案】(1)1
302α︒-(2)见解析(3)30α=︒
【解析】解:(1)1
302
α︒-。
(2)△ABE 为等边三角形。证明如下:
连接AD ,CD ,ED ,
∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD , ∴BC=BD ,∠DBC=60°。 又∵∠ABE=60°,
∴1
ABD 60DBE EBC 302
α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。
在△ABD 与△ACD 中,∵AB=AC ,AD=AD ,BD=CD ,
∴△ABD ≌△ACD (SSS )。∴1
1BAD CAD BAC 22
α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°,∴11
BEC 180(30)15022
αα∠=︒-︒--︒=。∴BEC BAD ∠=∠。
在△ABD 和△EBC 中,∵BEC BAD ∠=∠,EBC ABD ∠=∠,BC=BD , ∴△ABD ≌△EBC (AAS )。∴AB=BE 。 ∴△ABE 为等边三角形。
(3)∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。 又∵∠DEC=45°,∴△DCE 为等腰直角三角形。 ∴DC=CE=BC 。
∵∠BCE=150°,∴(180150)
EBC 152
︒-︒∠=
=︒。 而1
EBC 30152
α∠=︒-=︒。∴30α=︒。
(1)∵AB=AC ,∠BAC=α,∴180ABC 2
α
︒-∠=
。
∵将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ,∴DBC 60∠=︒。 ∴180ABD ABC DBC 603022
αα
︒-∠=∠-∠=
-︒=︒-。 (2)由SSS 证明△ABD ≌△ACD ,由AAS 证明△ABD ≌△EBC ,即可根据有一个角等于60︒的等腰三角
形是等边三角形的判定得出结论。
(3)通过证明△DCE 为等腰直角三角形得出(180150)
EBC 152
︒-︒∠==︒,由(1)
1
EBC 302α∠=︒-,从
而1
30152
α︒-=︒,解之即可。
2.在平面直角坐标系中,已知点A (0,4),B (4,4),点M ,N 是射线OC 上两动点(OM <ON ),且运动过程中始终保持∠MAN =45°,小明用几何画板探究其中的线段关系. (1)探究发现:当点M ,N 均在线段OB 上时(如图1),有OM 2+BN 2=MN 2. 他的证明思路如下:
第一步:将△ANB 绕点A 顺时针旋转90°得△APO ,连结PM ,则有BN =OP . 第二步:证明△APM ≌△ANM ,得MP =MM . 第一步:证明∠POM =90°,得OM 2+OP 2=MP 2. 最后得到OM 2+BN 2=MN 2. 请你完成第二步三角形全等的证明.
(2)继续探究:除(1)外的其他情况,OM 2+BN 2=MN 2的结论是否仍然成立?若成立,请证
明;若不成立,请说明理由.
(3)新题编制:若点B是MN的中点,请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案(根据编出的问题层次,给不同的得分).
【答案】(1)见解析;(2)结论仍然成立,理由见解析;(3)见解析.
【解析】
【分析】
(1)将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO,连结PM,则有BN=OP.证明
△APM≌△ANM,再利用勾股定理即可解决问题;
(2)如图2中,当点M,N在OB的延长线上时结论仍然成立.证明方法类似(1);(3)如图3中,若点B是MN的中点,求MN的长.利用(2)中结论,构建方程即可解决问题.
【详解】
(1)如图1中,将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO,连结PM,则有BN=OP.
∵点A(0,4),B(4,4),
∴OA=AB,∠OAB=90°,
∵∠NAP=∠OAB=90°,∠MAN=45°,
∴∠MAN=∠MAP,
∵MA=MA,AN=AP,
∴△MAN≌△MAP(SAS).
(2)如图2中,结论仍然成立.
理由:如图2中,将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO,连结PM,则有BN=OP.
∵∠NAP=∠OAB=90°,∠MAN=45°,
∴∠MAN=∠MAP,
∵MA=MA,AN=AP,
∴△MAN≌△MAP(SAS),
∴MN=PM,
∵∠ABN=∠AOP=135°,∠AOB=45°,
∴∠MOP=90°,
∴PM2=OM2+OP2,
∴OM2+BN2=MN2;
(3)如图3中,若点B是MN的中点,求MN的长.
设MN=2x,则BM=BN=x,
∵OA=AB=4,∠OAB=90°,
∴OB=42,
∴OM=42﹣x,
∵OM2+BN2=MN2.
∴(42﹣x)2+x2=(2x)2,
解得x=﹣22+26或﹣22﹣26(舍弃)
∴MN=﹣42+46.
【点睛】
本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质和判定,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
3.如图所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,EC的延长线交BD于点P.
(1)把△ABC绕点A旋转到图1,BD,CE的关系是(选填“相等”或“不相等”);简要说明理由;
(2)若AB=3,AD=5,把△ABC绕点A旋转,当∠EAC=90°时,在图2中作出旋转后的图形,PD=,简要说明计算过程;
(3)在(2)的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为,最大值为.
【答案】(1)BD,CE的关系是相等;(2
5
34
17
20
34
17
3)1,7
【解析】
分析:(1)依据△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,即可BA=CA,∠BAD=∠CAE,DA=EA,进而得到△ABD≌△ACE,可得出BD=CE;
(2)分两种情况:依据∠PDA=∠AEC,∠PCD=∠ACE,可得△PCD∽△ACE,即可得到