函数的基本性质-单调性
函数的基本性质之单调性
函数的基本性质之单调性1.增函数：y随x的增大而增大的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）>f（x2）2.减函数：y随x的增大而减小的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）<f（x2）3.单调性：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为单调区间考点一：用定义证明函数的单调性方法：取值变形例：证明：函数y=x+在（0，上是减函数练：在上例中，若定义域换为（3，），那么函数的单调性如何？且画出在（0，）上的大致图像。
考点二：求单调区间方法：化简函数解析式画出函数图像确定单调区间例：指出函数y=-++3的单调区间练：指出函数y=-+3x+3的单调区间考点三：利用单调性确定参数指导思想：若y=f(x)在区间（a，b）上递增（减）就等价于（a，b）是增区间（减区间）的一个子集例：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2在区间（-，上是减函数，求实数a的取值范围练：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2的单调递减区间是（-，，求实数a的取值范围4.函数的最大值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最大值5.函数的最小值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最小值考点四：利用图像求函数最值例：已知函数f（x）=3-12x+5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值，最小值：（1）x R;(2)x；（3）x考点五：利用单调性求函数最值方法：定义法证明函数单调性求最值例：求函数f（x）=x+在x上的最大值及最小值。
练：求函数f（x）=x+在x上的最值。
函数的基本性质及常用结论
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)(原卷版)
专题04 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）知识点1 函数的单调性 1、单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。
当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。
2、单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势 下降趋势3、函数的单调区间若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间． 4、单调性定义的等价形式:（1）函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .（2）函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .5、定义法证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 为该区间内任意的两个值，且12x x <②作差变形：做差()()12f x f x -，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
函数的基本性质单调性的应用
函数的基本性质单调性的应用函数的单调性是函数在定义域上的性质，描述了函数图像随着自变量的增减而变化的规律。
应用函数的单调性可以帮助我们分析函数的性质，解决各类数学问题。
下面将对函数的基本性质单调性的应用进行分类总结。
一、判断函数的增减性：1.定义法：根据函数定义，若对于任意x1、x2∈定义域，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在该定义域上严格递增。
若f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在该定义域上是严格递减。
2.导数法：对于可导函数f(x)，若在定义域上f'(x)≥0，则函数f(x)在该定义域上是递增的；若f'(x)≤0，则函数f(x)在该定义域上是递减的。
3.不等式法：对于不等式f(x1)≤f(x2)，如果我们能够证明当x1<x2时，则不等式成立，那么函数f(x)在该定义域上是递增的；如果我们能够证明当x1<x2时，则不等式反向成立，那么函数f(x)在该定义域上是递减的。
二、判断函数的最大值和最小值：1.极值点：对于可导函数f(x)，当f'(x)=0时，x就是函数f(x)的一个极值点。
若在x点的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则x是函数f(x)的一个局部最大值点；若在x点的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则x是函数f(x)的一个局部最小值点。
2.二阶导数：对于二次可导函数f(x)，当f''(x)>0时，函数f(x)在该点上是凹的，存在一个局部极小值；当f''(x)<0时，函数f(x)在该点上是凸的，存在一个局部极大值。
通过判断二阶导数的正负，可以得出函数的凹凸性及极值点。
三、求解方程和不等式：1.方程求解：对于严格递增（递减）函数f(x)，f(x)=k（k为常数）的方程只有一个解。
2.不等式求解：对于不等式f(x)≤0，f(x)≥0，若函数f(x)在定义域上递减，则不等式解集由定义域内满足f(x)≤0（≥0）的x组成。
函数的基本性质——单调性
-3
间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．
解：函数y＝f(x)的单调区间有[－5,－2)， [－2, 1)，[1, 3)，[3, 5]，
其中y＝f(x)在[－5,－2)，[1, 3)上是减函数， 在区间[－2, 1)，[3, 5]上是增函数．
变式1：求y＝x2－4x＋5的单调区间.
变式1：求y＝x2－4x＋5的单调区间.
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
O x1 x2 x
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O
x
y y 1 x
Ox
如何描述上升、下降呢y ？
y x2
x O
y f ( x1)
x1 O
y x2
x
y
f ( x1)
x1 O
y x2
x
y
y x2
f ( x1) x
x 1 O0
y
y x2
f ( x1)
x
x1O
y
y x2
f ( x1)
x
O x1
y
y x2
f ( x1)
x
O x1
y
y x2
f ( x1) x
O x1
y
y x2
f ( x1) x
O x1
y
y x2
f ( x1)
x
函数的基本性质ppt课件
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
函数的基本性质
函数的基本性质一．函数的单调性：1. 定义：设D 为函数)(x f 定义域的子集。
对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔>--⇔>--⇔<0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是增加的。
对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔<--⇔<--⇔>0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是减少的。
2. 图像特点：自左向右看图像是上升的。
（图像在此区间上是增加的） 自左向右看图像是下降的。
（图像在此区间上是减少的）3.判断函数单调性的方法：（1）图像法：作出函数图像，由图像直观判断求解，只能用于判断。
（数形结合） 解题程序：解析式-----图像-----单调区间（2）性质法：需要先记清基本初等函数的单调性。
高中基本初等函数：一次函数：)0(≠+=k b kx y ，二次函数：)0(2≠++=a c bc ax y 反比例函数：)0(≠=k x k y ，简单幂函数：3,2,21,1,1)(-=∈=αααR x y 指数函数：)10(≠>=a a a y x 且，对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且， “对勾”函数：)0(>+=a x ax y①a x f y +=)(与)(x f y =的单调性相同。
②当0>a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相同；当0<a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相反；③在公共定义域内，增函数)(x f +增函数)(x g 是增函数， 减函数)(x f +减函数)(x g 是减函数；增函数)(x f －减函数)(x g 是增函数，减函数)(x f －增函数)(x g是减函数；④两函数积的单调性：当)(x f ，)(x g 在公共区间上都是增（减）函数。
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（知识与技能、过程与方法、情感态度价值观）
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学重点
函数的单调性及其几何意义．
教学难点
利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学方法
回顾旧知，通过分析探究实例，深化单调性的概念
教具
ＰＰＴ 黑板
授课类型
新授课
板书设计
函数的单调性
（一）复习回顾（二）例题讲解：
1.课题引入
2.单调性的概念
（1）增函数
（2）减函数
（3）单调性与单调区间
（三）课堂练习：
归纳小结与作业
教
学
过
程
环节
教师行为（活动）
学生行为（活动）
设计意图
一
课
前
引
入
二深化概念
北京市垂杨柳中学教案
课题
函数的单调性
授课日期
年月日
第19课时
课程标准解读
数学基础知识、数学符号、运算能力、函数思想、函数应用
在考试说明
中的地位
掌握（C）：对所列知识内容有深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有关问题．
北京（中）高考
试题的呈现
选择、填空较多。在大题当中均涉及到函数的思想。
学情分析
2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
求f(0)、f(1)的值；
若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．
学生根据自己所想给出判断结果。
可以学生总结得到。
学生记下来。要有反馈
通过测验默写反馈
师生共同回顾总结，并简要阐述.
独立完成
由旧知引入函数的概念.
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)．
2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
三
归纳小结
一新课引入
1．f(x) = x
从左至右图象上升还是下降______?
在区间____________上，随着x的增大，
f(x)的值随着________．
2．f(x) = -2x+1
从左至右图象上升还是下降______?
在区间____________上，随着x的增大，
f(x)的值随着________．
说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．
归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取值→作差→变形→定号→下结论
作业布置
1．书面作业：课本P45习题1．3（A组）第1- 5题．
课
后
反
思
后附相关材料：
3．f(x) = x2
在区间____________上，
f(x)的值随着x的增大而________．
在区间____________上，
f(x)的值随着x的增大而________．
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
二新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
任取x1，x2∈D，且x1<x2；
作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
三典型例题
例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：课本P38练习第1、2题
利用示例，探究规律，形成并深化函数的概念.
给出规范概念
规范书写。写清楚注意事项。
.规范格式。提出作业要求。
归纳总结函数的三种常见表示法.
总结知识，形成系统
巩固知识
课
堂
检
测
学习效果评价设计：
设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
求f(0)、f(1)的值；
若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．
例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单练习第3题；
证明函数 在（1，+∞）上为增函数．
例3．借助计算机作出函数y =－x2+2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略）
思考：画出反比例函数 的图象．
这个函数的定义域是什么？
它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．