平面向量综合练习题

一、选择题1．下列命题中正确的是( )A.－＝OA→ OB → AB → B.＋＝0AB→ BA → C ．0·＝0AB → D.＋＋＝AB→ BC → CD → AD → 考点　向量的概念题点　向量的性质答案　D解析　起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对OA→ OB → BA → AB → BA → 相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0.AB → BA → AB→ 2．已知A ，B ，C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13考点　向量共线的坐标表示的应用题点　已知三点共线求点的坐标答案　C解析　设C 点坐标(6，y )，则＝(－8,8)，＝(3，y ＋6)．AB → AC→ ∵A ，B ，C 三点共线，∴＝，∴y ＝－9.3－8y ＋683．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，AB → AD→ 则·等于( )AD→ AC → A ．5 B ．4 C ．3 D ．2考点　平面向量数量积的坐标表示与应用题点　坐标形式下的数量积运算答案　A解析　∵四边形ABCD 为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，∴·AC → AB → AD → AD→ ＝2×3＋(－1)×1＝5.AC→4．(2017·辽宁大连庄河高中高一期中)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，a ＋λb 与a 垂直，则λ等于( )A ．－2 B ．1C ．－1D ．0考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用题点　已知向量垂直求参数答案　C解析　a ＋λb ＝(1＋4λ，－3－2λ)，因为a ＋λb 与a 垂直，所以(a ＋λb )·a ＝0，即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1.5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2 B ．4C ．6D ．12考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点　利用坐标求向量的模答案　C解析　因为a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2|a |，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.所以|a |＝6.6．定义运算|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，其中θ是向量a ，b 的夹角．若|x |＝2，|y |＝5，x·y ＝－6，则|x ×y |等于( )A ．8B ．－8C ．8或－8D ．6考点　平面向量数量积的概念与几何意义题点　平面向量数量积的概念与几何意义答案　A解析　∵|x |＝2，|y |＝5，x·y ＝－6，∴cos θ＝＝＝－.x·y|x|·|y|－62×535又θ∈[0，π]，∴sin θ＝，45∴|x ×y |＝|x |·|y |·sin θ＝2×5×＝8.457．如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设＝a ，＝b ，＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )AB → AC → AF→A.B.(12，12)(23，23)C.D.(13，13)(23，12)考点　平面向量基本定理的应用题点　利用平面向量基本定理求参数答案　C解析　令＝λ.BF → BE→ 由题可知，＝＋＝＋λAF → AB → BF → AB → BE→＝＋λ＝(1－λ)＋λ.AB → (12AC → －AB → )AB → 12AC → 令＝μ，CF → CD → 则＝＋＝＋μAF → AC → CF → AC → CD →＝＋μ＝μ＋(1－μ).AC → (12AB → －AC → )12AB → AC → 因为与不共线，AB→ AC → 所以Error!解得Error!所以＝＋，故选C.AF → 13AB → 13AC→ 二、填空题8．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________．考点　平面向量数量积的应用题点　已知向量夹角求参数答案　238解析　由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －3)×2×cos60°－5×4＝0，解得m ＝.2389．若菱形ABCD 的边长为2，则＝________.|AB → －CB → ＋CD → |考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法化简向量答案　2解析　＝＝＝＝2.|AB →－CB → ＋CD → ||AB → ＋BC → ＋CD → ||AC → ＋CD → ||AD → |10．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝，则|b |＝________.10考点　平面向量数量积的应用题点　利用数量积求向量的模答案　32解析　因为向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝.10所以＝，4a 2＋b 2－4a ·b 10化为4＋|b |2－4|b |cos 45°＝10，化为|b |2－2|b |－6＝0，2因为|b |≥0，解得|b |＝3.211．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．考点　平面向量数量积的应用题点　利用数量积求向量的模答案　[0,1]解析　b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角，θ∈)，[0，π2]∴0≤|b |≤1.三、解答题12．(2017·四川宜宾三中高一月考)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，且＝x ＋y .OP → OA → OB → (1)若＝，求x ，y 的值；AP→ PB → (2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．AP → PB → OA → OB → OA → OB → OP→ AB → 考点　平面向量数量积的概念与几何意义题点　平面向量数量积的概念与几何意义解　(1)若＝，则＝＋，AP → PB → OP → 12OA → 12OB→ 故x ＝y ＝.12(2)若＝3，AP → PB → 则＝＋，OP → 14OA → 34OB → ·＝·OP → AB → (14OA → ＋34OB →)(OB →－OA → )＝－2－·＋214OA → 12OA → OB → 34OB → ＝－×42－×4×2×cos 60°＋×22141234＝－3.13．若＝(sin θ，－1)，＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈，求||的最大值．OA → OB → [0，π2]AB→ 考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点　利用坐标求向量的模解　∵＝－＝(sin θ，2cos θ＋1)，AB→ OB → OA → ∴||＝AB→ sin2θ＋4cos2θ＋4cos θ＋1＝3cos2θ＋4cos θ＋2＝，3(cos θ＋23)2＋23∴当cos θ＝1，即θ＝0时，||取得最大值3.AB→ 四、探究与拓展14．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且||＝3||，当＝x ＋y 时，BO → CO → AO → AB → AC→ x －y ＝________.考点　向量共线定理及其应用题点　利用向量共线定理求参数答案　－2解析　由||＝3||，得＝3，BO → CO → BO → CO→ 则＝，BO → 32BC → 所以＝＋＝＋＝＋(－)AO → AB → BO → AB → 32BC → AB → 32AC→ AB → ＝－＋.12AB → 32AC → 所以x ＝－，y ＝，所以x －y ＝－－＝－2.1232123215．已知＝(1,0)，＝(0,1)，＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点．OA → OB → OM→ (1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；(2)当t 取何值时，·取到最小值？并求出最小值．MA→ MB → 考点　向量共线的坐标表示的应用题点　利用三点共线求参数解　(1)＝－＝(－1,1)，AB→ OB → OA → ＝－＝(t －1，t )．AM→ OM → OA → ∵A ，B ，M 三点共线，∴与共线，AB→ AM → ∴－t －(t －1)＝0，∴t ＝.12(2)∵＝(1－t ，－t )，＝(－t,1－t )，∴·＝2t 2－2t ＝22－，故当t ＝时，MA → MB → MA → MB → (t －12)1212→MB→1 2·取得最小值－. MA。