人教版数学八年级下册18.2.2 菱形同步练习(解析版)
18.2.2 菱形基础闯关全练1．如图18-2-2-1．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（）A．AO=BO B．AC=AD C．AB=BC D．OD=AC2．如图18-2-2-2，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A．20 B．24 C．40 D．483．如图18-2-2-3，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60º，则花坛对角线AC的长等于（）A．63米 B．6米 C．33米 D．3米4．如图18-2-2-4，点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上，且CE=AF.求证：∠ABF=∠CBE．5．如图18-2-2-5．菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是DC边上的中点，连接OE，若OE=5，BD=12，则菱形的面积为（）A．96 B．48 C．192 D．246．如图18-2-2-6，下列条件中能使平行四边形ABCD为菱形的是（）①AC⊥BD；②∠BAD=90º；③AB=BC；④AC=BD.A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③7．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，当△ABC 再添加一个条件_______时，四边形AEDF为菱形（填写一个条件即可）．能力提升全练1．如图18-2-2-7，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC 在y轴上，若点A的坐标为(12，13)．则点C的坐标是（）A ．（0，-5）B ．（0，-6）C ．（0，-7）D ．（0，-8） 2．如图18-2-2-8．菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点为O ，E 、F 分别是OA 、OC 的中点．下列结论：①EOD△ADE △S =S ；②四边形BFDE 是菱形；③菱形ABCD 的面积为EF ·BD ；④∠ADE=∠EDO ；⑤△DEF 是轴对称图形，其中正确的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将等宽红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，图18-2-2-9中红丝带重叠部分形成的图形一定是_______．三年模拟全练 一、选择题1．如图18-2-2-10．剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠A BC =∠A DC,∠B AD=∠BCD B ．AB=BCC ．AB=CD ,AD=BC D ．∠D AB+∠B CD=180º2．如图18-2-2-11，在菱形ABCD 中,AB=4 cm, ∠A DC=120º．点E,F 同时由A,C 两点出发，分别沿AB ，CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1 cm/s ．点F 的速度为2 cm/s ，经过ts 后，△DEF 为等边三角形，则t 的值为 （ ）A ．1B ．31C ．21 D ．34 二、填空题3．如图18-2-2-12．已知四边形ABCD 中，AB=CD ，AB ∥CD ，要使四边形ABCD 是菱形，应添加的条件是____________________.（只填写一个条件，不使用图形以外的字母）4．如图18-2-2-13，菱形ABCD 的边长为2，∠DAB=60º，点E 为BC 边上的中点，点P 为对角线AC 上一动点，则PB+PE 的最小值为_______.三、解答题5．如图18-2-2-14，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=8．将矩形纸片折叠，使点B 与点D 重合．求折痕GH 的长．五年中考全练一、选择题1．菱形不具备的性质是（ ）A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2．如图18-2-2-15，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AO=CO ，BO=DO ，添加下列条件，不能判定四边形ABCD 是菱形的是（ ）A ．AB=ADB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．∠A BO=∠CBO 3．如图18-2-2-16，已知点E 、F 、G 、H 分别是菱形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．梯形 二、填空题4．菱形ABCD 中，∠A =60º，其周长为24 cm ，则菱形的面积为_____cm²． 三、解答题5．如图18-2-2-17，△ABC 中，D 是AB 上一点，DE ⊥A C 于点E ，F 是AD 的中点，FG ⊥BC 于点G ，与DE 交于点H ，若FG=AF ，AG 平分∠CAB ，连接GE ，GD.(1)求证：△FCG ≌△GHD ；(2)小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC ．请你帮助小亮同学证明这一结论：(3)若∠B=30º，判定四边形AEGF 是不是菱形，并说明理由．核心素养全练1．如图18-2-2-18，矩形ABCD 的面积为S cm ²，对角线交于点O ．以AB 、AO 为邻边作平行四边形AOC ₁B ，连接AC ₁交BD 于O ₁，以AB 、AO ₁为邻边作平行四边形AO ₁C ₂B ，……，依此类推，则平行四边形AO n C n+1B 的面积为( )A ．21cm 21S n -⎪⎭⎫ ⎝⎛B ．2cm 21S n⎪⎭⎫ ⎝⎛C ．21cm 21S n +⎪⎭⎫ ⎝⎛D ．2cm 31S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛2．如图18-2-2-19，在菱形ABCD 中，∠A BC=60º，AB=2，点P 是这个菱形内部或边上的一点．若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P 、D （P 、D 两点不重合）两点间的最短距离为____________.3．图18-2-2-20①是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图18-2-2-20②），依此规律继续拼下去，求第n 个图形的周长．18.2.2菱形1.C 根据菱形的定义可得，当AB=BC 时 ABCD 是菱形，故C 正确．2.A 由菱形的对角线互相垂直可以得：对角线AC ⊥BD 于O ，由勾股定理得AB ²=A0²+B0²，又AO=21AC=3,BO=21BD=4．所以AB=5．所以菱形的周长为4×5=20． 3.A 设AC 、BD交于点O ．∵四边形ABCD为菱形,∴AC ⊥BD,OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），∴∠BAD=60º,∴△ABD 为等边三角形，∴BD=AB=6米,∴OD=OB=21BD=3米，在Rt △AOB 中，根据勾股定理得OA=333-622=(米)，则AC=20A=63米，故选A ．4．证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC ，∠A=∠C ，又∵AF=CE ，∴△ABF ≌△CBE(S △S)，∴∠A BF=∠CBE ．5.A 因为四边形ABCD 是菱形，则AC ⊥BD ，AC=2CO ，DO=21BD=6．在Rt △DOC 中，OE 是斜边DC 的中线，则DC=2OE=10，由勾股定理，得CO=22DO DC -=8，则AC=16，所以，菱形的面积为21BD •AC=21×12×16=96．故选A ．6．A 根据菱形的判定“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知①③正确．7．答案AB=AC(答案不唯一)解析 根据DE ∥AC ，DF ∥AB 可得四边形AEDF 是平行四边形，根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可以添加AB=AC ，这时根据等腰三角形的“三线合一”可知AD 是顶角的角平分线，因此可得DE=DF ．（答案不唯一） 1.A ∵A(12,13)，∴OD=12,AD=13,∵四边形ABCD 是菱形，∴CD=AD=13,在Rt △ODC 中，DC=22221213-=-OD CD =5，∴C （0，-5）.故选A. 2．B ∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC,OA=OC,OB=OD. ∵E 为OA 的中点，∴AE=OE ， ∵S △ADE =21AE •OD,S △EOD =21OE •OD, ∴S △ADE =S △EOD ，故①正确， ∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点， ∵OE=21OA,OF=21OC,∵OA=OC,∴ OE=OF,又OB=OD,EF ⊥BD, ∴四边形BFDE 是菱形，故②正确． S 菱形ABCD =21AC •BD ，易知EF=21AC, ∴S 菱形ABCD =EF •BD ，故③正确． 由已知条件推不出∠A DE =∠EDO.由题意得OE=OF,BD ⊥EF ，∴∠D OE =∠D OF=90º, 又OD=OD ，∴△DOE ≌△DOF, ∴DE=DF ，∴△DEF 为等腰三角形， ∴△DEF 是轴对称图形，故⑤正确．3．答案 菱形解析 过点A 作AE ⊥BC 于E,AF ⊥CD 于F ，由题意知AB ∥CD,AD ∥BC,AE=AF ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵S ABCD =BC •AE=CD •AF,又AE=AF ，∴BC=CD ，∴四边形ABCD是菱形．一、选择题1．D ∵四边形ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠放在一起而组成的图形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC,∴四边形ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）．过点A 分别作BC ，CD 边上的高为AE ，AF ，连接AC ，则AE=AF(两纸条相同，纸条宽度相同)，∴在平行四边形ABCD 中．S △ABC =S △ACD ，即BC •AE=CD •AF ，∴BC=CD ，AB=BC ．故B 中结论成立；∴平行四边形ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），∴∠A BC =∠A DC ，∠B AD =∠B CD （菱形的对角相等），故A 中结论成立；AB=CD ，AD=BC （平行四边形的对边相等），故C 中结论成立：当四边形ABCD 是矩形时，有∠D AB+∠B CD=180º．故D 中结论不一定成立，故选D ．2．D 连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A DC=120º， ∴AB=AD,∠A DB=∠D BC=21∠A DC=60º， ∴△ABD 是等边三角形，∴AD=BD ，又∵△DEF 是等边三角形，∴∠EDF =∠D EF=60º，又∵∠A DB=60º，∴∠A DE =∠B DF,在△ADE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧BDF,∠=ADE ∠，BD =AD ，DBC ∠=A ∠∴△ADF ≌△BDF(ASA)，∴AE=BF ，∵AE=t cm,CF=2t cm,∴BF=BC -CF=(4-2t)cm, ∴t=4-2t ，∴t=34.故选D ． 二、填空题3．答案 AB=BC(答案不唯一)解析 由已知条件AB=CD ，AB ∥CD ，可得四边形ABCD 是平行四边形，再加一个条件可以是一组邻边相等，如AB=BC ；或对角线互相垂直，即AC ⊥BD 等． 4．答案 3解析 连接BD ，交AC 于O ，连接DE 交AC 于P ，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD=PB,∴ PE+PB=PE+PD=DE 、 即DE 就是PE+PB 的最小值． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠D CB =∠D AB=60º,DC=BC=2,∴△DCB 是等边三角形，∵BE=CE=1,∴DE ⊥BC(等腰三角形三线合一的性质)．在Rt △CDE 中，DE=31-222=． 即PB+PE 的最小值为3. 三、解答题．5．解析如图，由折叠得DH=BH ，设BH=DH=x ，则CH=8-x ， 在Rt △CDH 中，DH ²=DC ²+CH ²， 即x ²=6²+（8-x ）²，解得x=425， 连接BD 、BG ，由翻折的性质可得BG=DG ，∠B HG =∠D HG, ∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠B HG=∠DGH ， ∴∠D HC =∠D GH ， ∴DH=DG ，∴BH=DH=DG=BG, ∴四边形BHDG 是菱形，在Rt ABCD 中，BD=22CD BC +=10，∵S 菱形BHDG =21BD •GH=BH •CD ，即21×10•GH=425×6， 解得GH=425.一、选择题1.B 菱形的对角线一定互相垂直，但不一定相等，故选B ．2．B ∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD 是平行四边形．当AB=AD 时，根据邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形ABCD 是菱形；当AC=BD 时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定四边形ABCD 是菱形；当AC ⊥BD 时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能判定四边形ABCD 是菱形； ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A DB =∠D BC ． ∵∠A BO=∠CBO ．∴∠A BO =∠A DO. ∴AB=AD ,∴四边形ABCD 是菱形．故选B ．3.B 在菱形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，由三角形中位线定理可得四边形EFGH 的对边平行且相等，所以此四边形为平行四边形；又因为菱形的对角线互相垂直平分，可求得四边形EFGH 的一角为90º，所以连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，即四边形EFGH 是矩形．故选B ． 二、填空题 4．答案183解析如图，连接AC 、BD 交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=DA,AC ⊥BD,∵∠A=60º．△ABD 是等边三角形， 又菱形ABCD 的周长为24 cm, ∴BD=AB=6 cm,OD=3 cm,在Rt △AOD 中,∴A0=33362222=-=-OD AD cm, ∴AC=2A0=63 cm,S 菱形ABCD =21AC •BD=21×63×6=183(cm²). 三、解答题5．解析 (1)证明：∵AF=FG,∴∠FAG =∠FGA ，∵AG 平分 ∠CAB,∴∠CAG=∠FAG,∴∠CAG =∠FGA,∴AC ∥FG.∵DE⊥AC,∴ FC ⊥DE.∵FG ⊥BC,∴ DE ∥BC,∴ AC ⊥BC, ∴∠C=∠D HG=90º,∠C GE =∠GED.∵F 是AD 的中点，FC ∥AE,∴H 是ED 的中点，∴FG 是线段ED 的垂直平分线，∴GE=GD,∠GDE =∠GED,∴∠C GE =∠GDE,∴△ECG ≌△GHD.(2)证明：如图，过点G 作GP ⊥A B 于点P ，∴GC=GP ， ∴△CAG ≌△PAG,∴AC=AP.由(1)得EG=DG ，∴Rt △ECG ≌Rt △GPD ，∴EC=PD, ∴AD=AP+PD=AC+EC ．(3)四边形AEGF 是菱形，理由如下：∵∠B=30º,∴∠ADE=30º,∴AE=21AD,∴AE=AF=FG ． 由(1)得AE ∥FG ，∴四边形AECF 是菱形． 1．C ． ∵O 为矩形ABCD 的对角线的交点，∴平行四边形AOC ₁B 的边AB 上的高等于BC 的21， ∴平行四边形AOC ₁B 的面积为21S cm²， ∵平行四边形AOC ₁B 的对角线交于点O ₁，∴平行四边形A0₁C ₂B 的边AB 上的高等于平行四边形AOC ₁B 的边AB 上的高的21， ∴平行四边形AO 1C 2B 的面积为21×21S=(21)²S cm ²，……，依此类推，平行四边形AO n C n+1B 的面积为(21)ⁿ⁺¹S cm²．故选C ． 2．答案23-2解析 连接PC ，当等腰△PBC 以∠PBC 为顶角时，如图，点P 在以B 为圆心，BC 长为半径的弧AC 上，连接AC 、BD 相交于点O ．若使PD 最短，则点P 在如图所示的位置处．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD, ∠A BO=21∠A BC=30º，∴AO=21AB=1， ∴BO=3122222=-=-AO AB ∴BD=2BO=23， ∵PB=BC=2,∴PD=BD -PB=23-2.当等腰△PBC 以∠PCB 为顶角时，易知点P 与点D 重合（不合题意，舍去）或点P 与点A 重合，则PD=2．当等腰△PBC 以∠B PC 为顶角时，如图，作BC 的垂直平分线交BC 于点E ，易知该直线过点A ，则点P 在线段AE 上（不含点E ）．当P 与A 重合时，PD 最短，此时PD=2．∵23-2＜2,∴PD 的最小值是23-2． 3．解析 下面是各图形的周长：题图①的周长为4=2²； 题图②的周长为8=2³； 题图③的周长为16=2⁴； ……所以第n 个图形的周长为2ⁿ⁺¹．。
初中数学人教版八年级下册 18.2.2 菱形同步练习(共2课时,)
18.2.2 菱形第一课时一、选择题1. 下列各项中，菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ).A. 对角相等B. 对边相等C. 邻边相等D. 对角线相等2. 菱形ABCD中, 对角线AC、BD交于点O, 给出下列结论: ①∠ABC=∠ACB, ②∠ABC=2∠DBC ,③OA²+OB²= AB².其中正确的有 ( ).A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3. 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是AB、AC的中点,若EF=2, 则菱形ABCD的周长是 ( ).A. 4B. 8C. 12D. 164. 菱形ABCD中, ∠A:∠B=1:5, 若周长为8, 则此菱形的高为( ).A. 0.5B. 1C. 2D. 45. 菱形的两条对角线分别为2m和2n，则它的高为 ( ).A.mnm+n B.√m2+n2√m2+n2√m2+n2二、填空题6. 菱形是的平行四边形，因此它具有平行四边形的一切性质，此外菱形还具有的性质是：四条边；对角线，并且每条对角线.7. 菱形的两条对角线长度分别为6和8，则它的周长是，面积是 .8. 菱形的周长为 40，两个相邻角度数之比为1：2；则它的较长对角线的长为 .9. 如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形OACB的顶点C在x轴正半轴上，OC=4，点B的纵坐标为1，则点A的坐标是 .10. 如图, 菱形AB₁C₁D₁的边长为1,∠B₁=60°;作B₁C₁边上的高AD₂，以AD₂为边作菱形AB₂C₂D₂,使∠B₂=60°;作B₂C₂边上的高AD₃, 以AD₃为边作菱形.AB₃C₃D₃,使∠B₃=60°;……以此类推，这样作的第n个菱形.ABₙCₙDₙ的边 ADn的长是 .三、解答题11. 如图, 四边形ABCD 中, AB∥CD, AC平分∠BAD, CE∥AD交AB于E.(1)求证: 四边形 AECD 是菱形;(2)若点 E 是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由.12. 如图, 菱形ABCD中, E为AB边上一点, F为BC延长线上一点,且DE=DF.求证: ∠BED +∠F=180°.13. 如图, 菱形ABCD的边长为25, 对角线BD长为40, 点P、Q分别为BD、BC上一动点，求CP+PQ的最小值.第二课时一、选择题1. 对角线互相垂直平分的四边形是( ).A. 任意四边形B. 筝形C. 矩形D. 菱形2. 顺次连结矩形各边的中点，所得四边形是 ( ).A. 筝形B. 矩形C. 菱形D. 正方形3. 下列命题中, 正确的是 ( ).A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 有三条边相等的平行四边形是菱形C. 一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形是菱形D. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形4. 给出下列命题：①对角线垂直的四边形是菱形，②有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形，③两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形. 其中正确的有( ).A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 如图,菱形ABCD的边长为1, BD=1, E、F分别是边AD、CD上的两个动点,且满足AE+CF= 1, 设△BEF的面积为S, 则S的取值范围是( ).A.14≤s≤1B.3√34≤s≤√3C.3√38≤s≤√32D.3√316≤s≤√34二、填空题6. 菱形的判定定理包括：(1) 的平行四边形是菱形；(2) 的平行四边形是菱形； (3) 的四边形是菱形.7. △ABC中,延长BA至D使得AB=AD,延长CA至E使得AC=AE, 当△ABC满足条件时, 四边形 BCDE 是菱形.8. 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O为坐标原点, 点A坐标为(2,0), ∠AO C=45°, 则点B的坐标是 .9. 菱形ABCD的边长为6, ∠BAD=60°,如果点P 是菱形内一点，且PB=PD=2√3,那么 AP的长为 .10. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 .三、解答题11. 如图,矩形ABCD中, 对角线AC、BD交于点O,DE‖AC,CE‖BD.求证：OE与CD互相垂直平分.12 如图, ▱ABCD中, 对角线AC、BD交于O, AH⊥BC于H, ∠1=∠2.(1) 求证: □ABCD是菱形;(2) 若AC=2√5,AH=4,求菱形ABCD的面积.13. 在▱ABCD 中, ∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E, 交直线DC 于点 F。
人教版八年级数学下册18.2.2菱形同步测试(包含答案)
18.2.2 菱形 班级： 姓名：一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．一组邻边相等，一组对边平行的四边形是菱形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形2．如图，在中，添加下列条件不能判定是菱形的是（ ）A ．B ．C ．平分D ．3．如图，在菱形ABCD 中，62AC =，6BD =，E 是BC 边的中点，,P M 分别是,AC AB 上的动点，连接,PE PM ，则PE PM +的最小值是（ ）A ．6B ．62C ．32D ．264．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是AD 、AB 边上的中点，连接EF ，若EF=3，OC=2，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．23B ．43C ．63D ．835．如图，菱形ABCD 的一边AB 的中点E 到对角线交点O 的距离为4cm ，则此菱形的周长为（ ）A ．8 cmB ．16 cmC ．162 cmD ．32 cm6．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是（ ）A ．AC =BDB ．AB =AC C ．∠ABC =90°D ．AC ⊥BD7．如图为菱形ABCD 与△ABE 的重叠情形，其中D 在BE 上．若AB ＝17，BD ＝16，AE ＝25，则DE 的长度为（ ）A ．8B ．9C ．11D ．128．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点C 的坐标是（3，4），则顶点A 、B 的坐标分别是（ ）A ．（4，0）（7，4）B ．（4，0）（8，4）C ．（5，0）（7，4）D ．（5，0）（8，4）二、填空题 9．在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，其周长为8cm ，则菱形的面积为__2cm ．10．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点P 是AB 的中点，PO ＝2，则菱形ABCD 的周长是_________.11．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝50°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．12．在菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB ＝6，则菱形ABCD 的对角线BD 的长是_____．三、解答题13．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，点E 是AC 的中点，A C=2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF ∥BC ，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC ．求证：四边形ADCF 是菱形．14．如图，菱形ABCD 中，BE CD ⊥，垂足是点E ，55ABD ∠=︒.求CBE ∠的度数.一、单选题1．如图，在菱形ABCD 中对角线,AC BD 相交于点,6,8O BD AC ==，直线OE AB ⊥交 CD 于点F ,则AE 的长（ ）A．4 B．4. 8 C．2. 4 D．3. 22．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD 的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．40°3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为（）A．3cm2B．4 cm2C．cm2D．2cm24．如图，已知菱形ABCD的周长是24米，∠BAC＝30°，则对角线BD的长等于（）A．63米B．33米C．6米D．3米5．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．两条对角线相等C．四个内角都是直角D．每一条对角线平分一组对角6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，DB=6cm，DH⊥AB于点H，则DH的长为（）A．5 B．10 C．245D．4857．如图，菱形中，分别是的中点，连接，则的周长为（）A．B．C．D．8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为()A．4.8cm B．5cm C．9.6cm D．10cm9．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点A坐标是(﹣2，0)，则点B坐标为（）A．(0，2) B．(0，3) C．(0，1) D．(0，23)二、填空题10．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为_______________cm2．11．在菱形ABCD中，两条对角线AC与BD的和是14．菱形的边AB＝5，则菱形ABCD的面积是_____．12．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再增加一个条件，就可得出ABCD是菱形，则你添加的条件是___________．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=________．三、解答题14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CF D．求证：（1）△AED≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．参考答案1-5．CDDBD6-8．DDD9．2310．1611．25．12．613．证明略14．20°1-5．DBDCD6-9．CDAD10．3．11．2412．AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB或AC⊥BD或AB=BC=CD=DA13．12 5.14．（1）证明略；（2）证明略．。
18.2.2.2 菱形的判定-八年级数学下学期同步训练(人教版)(解析版)
§18.2.2.2菱形的判定一、知识导航菱形的判定二、重难点突破重点1利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定例1.如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且DE =BF ，AC ⊥EF ，求证：四边形AECF是菱形．【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明【详解】证明： 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，DE BF = ，AE CF ∴=，//AE CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，AC EF ⊥ ，∴四边形AECF 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．类别判定方法符号语言图形边有一组邻边相等的平行四边形是菱形在ABCD 中，AB BC = ，ABCD ∴ 是菱形四条边相等的四边形是菱形在四边形ABCD 中，∵AB BC CD DA===∴四边形ABCD 是菱形对角线对角线互相垂直的平行四边形是菱形在ABCD 中，AC BD⊥ ABCD ∴ 是菱形变式1-1如图，在▱ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD ，BC 于E ，F ，连接BE ，DF ．求证：四边形BFDE是菱形．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE ≌△BOF ，得到OE=OF ，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE 为菱形．【详解】∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∠EDB=∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中，EOD FBO OD OB EOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DOE ≌△BOF （ASA ）,∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF 是解题关键．变式1-2已知：如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB 、CD 的延长线分别相交于点E 、F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A 、E 、C 、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．【分析】（1）由矩形的性质：OB =OD ，AE //CF ，进一步即可证明△BOE ≌△DOF ；重点点拨：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．（2）若四边形为菱形，则对角线互相垂直，因此可添加条件：EF ⊥AC ，再根据（1）的结论和题目条件证明OA =OC ，OE =OF ，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，∵AE //CF ，∴∠E =∠F ，∠OBE =∠ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）当EF ⊥AC 时，四边形AECF 是菱形．证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形得判定等知识，证明定理的综合运用能力是解决问题的关键．重点2利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定例2.如图，在平行四边形ABCD 中，DB DA =，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE .求证：四边形AEBD是菱形；【分析】由△AFD ≌△BFE ，推出AD=BE ，可知四边形AEBD 是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AD BC ，∴ADE DEB∠=∠∵F 是AB 的中点，∴AF BF=∴在AFD ∆与BFE ∆中，,,ADE DEB AF BF AFD BFE∠=∠=∠=∠∵//AD BC ，∴四边形AEBD 是平行四边形∵DB DA =，∴四边形AEBD 是菱形【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．变式2如图，在 ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，过点C 作CF ∥DB ，且CF ＝DE ，连接AE ，BF ，EF（1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若∠ABE +∠BFC ＝180°，则四边形ABFE 是什么特殊四边形？说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定解答即可．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ．∵CF ∥DB ，∴∠BCF =∠DBC ，∴∠ADB =∠BCF在△ADE 与△BCF 中DE CF ADE CBF AD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△ADE ≌△BCF （SAS ）．（2）四边形ABFE 是菱形理由：∵CF ∥DB ，且CF =DE ，∴四边形CFED 是平行四边形，∴CD =EF ，CD ∥EF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴AB =EF ，AB ∥EF ，∴四边形ABFE 是平行四边形．∵△ADE ≌△BCF ，∴∠AED =∠BFC ．∵∠AED +∠AEB =180°，∴∠ABE =∠AEB ，∴AB =AE ，∴四边形ABFE 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定知识点是解题的关键．重点3利用四条边相等的四边形是菱形进行判定例3.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ，（1）证明：∠BAC=∠DAC ．（2）若∠BEC=∠ABE ，试证明四边形ABCD是菱形．【分析】由AB=AD ，CB=CD 结合AC=AC 可得△ABC ≌△ADC ，由此可得∠BAC=∠DAC ，再证△ABF ≌△ADF 即可得到∠AFB=∠AFD ，结合∠AFB=∠CFE 即可得到∠AFD=∠CFE ；（2）由AB ∥CD 可得∠DCA=∠BAC 结合∠BAC=∠DAC 可得∠DCA=∠DAC ，由此可得AD=CD 结合AB=AD ，CB=CD 可得AB=BC=CD=AD ，即可得到四边形ABCD 是菱形.【详解】（1）在△ABC 和△ADC 中，∵AB=AD ，CB=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中，重点点拨：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形．【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的关键．变式3如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．【分析】(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根据CF∥AB 得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA.从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形．【详解】(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED在△AED 与△CFDEAC ＝∠FCA ，AED ＝∠CFD ，＝CD ，∴△AED ≌△CFD(AAS)∵△AED ≌△CFD∴AE ＝CF∵EF 为线段AC 的垂直平分线∴EC ＝EA ，FC ＝FA∴EC ＝EA ＝FC ＝FA∴四边形AECF 为菱形．【点睛】判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．难点4菱形的性质与判定的综合例4.如图，矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且32BE DF ==.（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）求线段EF 的长．【分析】（1）根据菱形的性质得到4CD AB ==，2AD BD ==，CD AB ，90D B ∠=∠=︒，求得35422CF AE ==-=，根据勾股定理得到52AF CE ==，于是得到结论；（2）过F 作FH AB ⊥于H ，得到四边形AHFD 是矩形，根据矩形的性质得到32AH DF ==，2FH AD ==，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，∴4CD AB ==，2AD BD ==，CD AB ，90D B ∠=∠=︒，重点点拨：在无法确定一个四边形是平行四边形的情况下，要证明该四边形是菱形，可考虑利用“四条边相等的四边形是菱形”进行证明.∵32 BE DF==，∴35422 CF AE==-=，∴52 AF CE==，∴52 AF CF CE AE====，∴四边形AECF是菱形；（2）解：过F作FH AB⊥于H，则四边形AHFD是矩形，∴32AH DF==，2FH AD==，∴53122EH=-=，∴EF==【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．变式4如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；（2）将菱形ADCF的面积转换成△ABC的面积，再用S△ABC=12AB•AC，结合条件可求得答案．【详解】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE．在△AEF和△DEB中AFE DBE DEB AEF AE DEìÐ=ÐïïïïÐ=Ðíïïï=ïî∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB．∵D是BC的中点，∴BD=CD=AF，∴四边形ADCF是平行四边形．∵∠BAC＝90°，∴AD＝CD＝12 BC．∴四边形ADCF是菱形；(2)解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，∴S菱形ADCF ＝CD•h＝12BC•h＝S△ABC＝12AB•AC＝168242⨯⨯=．【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．难点点拨：利用菱形的性质和判定解决问题，一般是先判定一个四边形是菱形，再根据菱形的性质解决其他问题.判定一个四边形是菱形的思路：三、提升训练1.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定四边形ABCD 是矩形的是（）A ．AC ⊥BDB ．AB ⊥BC C ．AC ＝BD D ．∠1＝∠2【答案】A 【分析】根据菱形和矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的性质逐项判断即可得．【详解】解：A 、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，添加AC BD ⊥能判定ABCD 是菱形，不一定是矩形，则此项符合题意；B 、由有一个角是直角的平行四边形是矩形可知，添加AB BC ⊥能判定ABCD 是矩形，则此项不符题意；C 、由对角线相等的平行四边形是矩形可知，添加AC BD =能判定ABCD 是矩形，则此项不符题意；D 、12∠=∠ ，OA OD ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，2,2AC OA BD OD ∴==，AC BD ∴=，ABCD ∴ 是矩形，即添加12∠=∠能判定ABCD 是矩形，则此项不符题意；故选：A ．【点睛】本题考查了菱形和矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．2.顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是（）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．梯形【答案】B【分析】题中给出的条件是中点，所以利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【详解】解：连接A C 、BD ，在△ABD 中，∵AH =HD ，AE =EB ，∴EH =12BD ，同理FG =12BD ，HG =12AC ，EF =12AC ，又∵在矩形ABCD 中，AC =BD ，∴EH =HG =GF =FE ，∴四边形EFGH 为菱形．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质和菱形的判定方法，解题的关键是掌握菱形的判定方法有：有一组邻边相等的平行四边形称为菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．3.如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF =3，那么菱形ABCD 的周长为（）A．24B．18C．12D．9【答案】A【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．4.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．13B．14C．15D．16【答案】D【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=12BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．【详解】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∴∠DAE =∠BAE ，∴∠BAE =∠BEA ，∴AB =BE ，同理可得AB =AF ，∴AF =BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB =AF ，∴四边形ABEF 是菱形，∴AE ⊥BF ，OA =OE ，OB =OF =12BF =6，∴OA ，∴AE =2OA =16．故选：D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF 是菱形是解决问题的关键．5.如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=︒，FO FC =．则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②四边形DEBF 为菱形；③OC FB =；④2AM BM =；⑤:3:2BOM AOE S S = ．其中正确结论的个数是（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】C 【分析】证明△OFB ≌△CFB ，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确；根据OC=OB ，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM ，故结论④是错误的；证NE ∥BM ，AN=NO=OM ，所以BM=3NE ，AO=2OM ，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.【详解】连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD ，AC 、BD 互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，FC=AE，∴DF=BE，DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF，∴四边形EBFD是菱形，∴结论②正确；∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB＞OB，∵OB=OC，∴FB＞OC，∴③错误，在直角三角形AMB 中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM ，∴④错误，设ED 与AC 的交点为N ，设AE=OE=2x ，则NE=x ，BE=4x ，∴AB=6x ，∴BM=3x ，∴11::22BOM AOE S S OM BM AO NE =⋅⋅ =3:2OM x OM x⋅⋅=3:2，结论⑤正确.故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.6.如图，将两张对边平行且相等的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD_________菱形（是，或不是）．【答案】是【分析】如图（见解析），先根据“两张对边平行且相等的纸条”得出//,//,AB CD AD BC BE DF =，再根据平行四边形的判定可得四边形ABCD 是平行四边形，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AB AD =，最后根据菱形的判定即可得．【详解】如图，过点B 作BE AD ⊥，交DA 延长线于点E ，过点D 作DF AB ⊥，交BA 延长线于点F由题意得：//,//,AB CD AD BC BE DF=∴四边形ABCD 是平行四边形在ABE △和ADF 中，90BAE DAF AEB AFD BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩(AAS)ABE ADF ∴≅ AB AD∴=∴平行四边形ABCD 是菱形故答案为：是．【点睛】本题考查了平行四边形与菱形的判定、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形与菱形的判定是解题关键．7.已知四边形ABCD 是矩形，点E 是矩形ABCD 的边上的点，且EA EC =．若6AB =，AC =DE 的长是___．【答案】83或3【分析】根据EA EC =，则E 在AC 的中垂线上，作AC 的中垂线交,DC AB 于12,,E E 交AC 于O ，所以：如图的12,E E 都符合题意，先证明四边形12AE CE 是菱形，再利用菱形的性质与勾股定理可得答案．【详解】EA =EC ，E ∴在AC 的中垂线上，作AC 的中垂线交,DC AB 于12,,E E 交AC 于O ，所以：如图的12,E E 都符合题意，矩形,ABCD //,AB DC ∴12,CE O AE O ∴∠=∠21,,OA OC AOE COE =∠=∠ 21,AOE COE ∴ ≌21,OE OE ∴=12,,OA OC AC E E =⊥ ∴四边形12AE CE 是菱形，1122,AE E C CE AE ∴===6AB = ，210AC =，90ABC ∠=︒，()22210642,BC ∴=-==2,AD ∴=设1,DE x =则116,CE AE x ==-()22262,x x ∴-=+8,3x ∴=18,3DE ∴=218106,33AE AE ∴==-=222102342,33DE ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭DE ∴的长为：83或234.3【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．8.如图平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①FE＝GE；②AE＝GF；③AE⊥GF；④FE⊥GE；⑤∠ADB＝2∠CBE；⑥GF平分∠AGE，其中正确的有_____．【答案】①③⑤⑥【分析】根据平行四边形的性质可得证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BE⊥AC，根据直角三角形斜边中线定理得GE＝12AB，由三角形中位线得EF＝12CD，进而得到EG＝EF，可判断①；证明四边形AGEF是菱形可判断②③⑥；④易证BE⊥AE，四边形BEFG是平行四边形，由EG＝EF，要使EF⊥GE，则∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，没有条件AE＝BE，或∠BAC＝45°，可判断④；根据平行线的性质和等腰三角形的性质可判断⑤．【详解】①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD＝BC，DO＝BO＝12 BD，∵BD＝2AD，∴AD＝DO，BC＝BO，∴△BOC是等腰三角形，∵E是CO中点，∴EB⊥CO，∴∠BEA＝90°，∵G为AB中点，∴EG＝12 AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF＝12 CD，∴EG＝EF，故①正确；②连接AF，Rt△AEB中，G是AB的中点，∴EG＝12AB＝AG，∵EG＝EF，∴AG＝EF，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF//CD，∵AB//CD，∴AG//EF，∴四边形AGEF是菱形，∴AE⊥FG，GF平分∠AGE，故②错误，③⑥正确；③∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF//DC，∵DC//AB，∴EF//AB，∴∠EFG＝∠AGF，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠EGF，∴∠EGF＝∠AGF，∴GF平分∠AGE，故③正确；④由①知：BE⊥AE，由②、③得：EF//AB，EF＝12CD＝12AB＝BG，∴四边形BEFG是平行四边形，∵EG＝EF，∴要使EF⊥GE，则∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，没有条件AE＝BE，或∠BAC＝45°，故④错误；⑤∵AD//BC，∴∠ADB ＝∠CBD ＝2∠CBE ，∴故⑤正确；本题正确的有：①③⑤⑥．故答案为：①③⑤⑥．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．9.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：△AEF ≌△DEB ；（2）证明四边形ADCF是菱形．【分析】（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可；（2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可．【详解】（1）∵//BC AF ，∴AFE DBE ∠=∠，∵E 是AD 的中点，∴AE DE =，在△AEF 与△DEB 中，AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEF DEB AAS ≅△△；（2）由（1）可知，AF BD =，∵D 是BC 的中点，∴BD CD =，∴AF CD =，∵//AF CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，又∵△ABC 为直角三角形，∴DA DC =，∴四边形ADCF 是菱形．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．10.如图，已知，矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ，连接AF 、CE ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）求证：四边形AFCE 为菱形；（3）求菱形AFCE的周长．【分析】（1）求出AO =OC ，∠AOE =∠COF ，根据平行的性质得出∠EAO =∠FCO ，根据ASA 即可得出两三角形全等；（2）根据全等得出OE =OF ，推出四边形是平行四边形，再根据EF ⊥AC 即可推出四边形是菱形；（3）设AF =x cm ，则CF =AF =x cm ，BF =（8-x ）cm ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得出方程42+（8-x ）2=x 2，求出x 的值，进而得到菱形AFCE 的周长．【详解】（1）证明：∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO =OC ，∠AOE =∠COF =90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO =∠FCO ．在△AOE 和△COF 中，EAO FCO OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE ≌△COF （ASA ）；（2）证明：∵△AOE ≌△COF ，∴OE =OF ，∵OA =OC ，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE为菱形；（3）解：设AF=x cm，则CF=AF=x cm，BF=（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5．所以菱形AFCE的周长为5×4=20cm．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，矩形的性质等知识.根据勾股定理并建立方程是解题的关键.。
人教版八年级数学下册 菱形 同步课时练习(解析版)
人教版八年级下册18.2.2 菱形 同步课时练习一、选择题1．萎形不一定具备的性质是（ ） A ．对边平行且相等 B ．对角相等 C ．对角线互相平分D ．对角线相等2．矩形和菱形都一定具有的性质是（ ） A ．对角线互相垂直 B ．对角线互相平分 C ．对角线长度相等D ．对角线平分一组对角3．如图,下列条件中,能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ）A ．AB CD = B ．AD BC = C ．AB BC =D ．AC BD =4．在平行四边形ABCD 中,添加下列条件能够判定平行四边形ABCD 是菱形的是（ ） A ．AC ⊥BDB ．AB ＝CDC ．AB ⊥BCD ．AC ＝BD5．下列命题中,假命题是（ ） A ．对角线垂直的平行四边形是菱形 B ．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 C ．对角线互相平分且平分一组内角的四边形是菱形 D ．对角线相等且垂直的四边形是菱形6．如图,在菱形ABCD 中,点E 、F 分别是AB 、AC 的中点,如果4EF =,那么菱形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．24C ．28D ．327．若菱形ABCD 的边长为2,其中∠ABC ＝60°,则菱形ABCD 的面积为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．238．如图,已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8,M 、N 分别是边BC 、CD 的中点,P 是对角线BD 上一点,则PM +PN 的最小值是（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8二、填空题9．在菱形ABCD 中,AB ＝2,则菱形的周长是___．10．菱形两条对角线长为8cm 和6cm,则菱形面积为_______cm 2．11．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”,这是个______命题．（填“真”、“假”）12．如图,在ABC 中,已知E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 上的点,且//DE AC ,//DF AB ,请你添加一个________条件,使四边形AEDF 是菱形．13．如图,在菱形ABCD 中,∠BAD =45°,DE 是AB 边上的高,BE =2,则AB 的长是____．14．如图,在菱形ABCD 中,6BC =,点E 是AD 的中点,连接OE,则OE=_____________．15．如图,在矩形ABCD 中,边AB 的长为3,点E ,F 分别在AD ,BC 上,连接BE ,DF ,EF ,BD ．若四边形BEDF 是菱形,且=+EF AE FC ,则边BC 的长为______．16．如图,菱形ABCD 中,E 、F 分别在BC CD 、边上,AB AE =,且AEF 是等边三角形,则C ∠=_______．三、解答题17．如图,平行四边形ABCD 中,对角线BD 平分ABC ∠．求证：平行四边形ABCD 是菱形．18．如图,在▱ABCD 中,点O 是对角线BD 的中点,过点O 作EF ⊥BD ,垂足为点O ,且交AD ,BC 分别于点E ,F ． 求证：四边形BEDF 是菱形．19．如图,矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,CE ∥BD ,DE ∥AC ,AD =23,DE =2,求四边形OCED 的面积．20．如图,在四边形ABCD 中,AB DC ∥,AB AD =,对角线AC 、BD 交于点O ,AC 平分∠BAD ,过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形； (2)若8AC =,6BD =,求CE 的长．21．如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,//BE AC ,//AE BD ,OE 与AB 交于点F ．(1)试判断四边形AEBO 的形状,并说明理由； (2)若5OE =,8AC =,求菱形ABCD 的面积．22．如图,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC 于点E ．(1)如图1,若∠BAE＝30°,AE＝3,求菱形ABCD的周长及面积；(2)如图2,作AF⊥CD于点F,连接EF,BD,求证：EF∥BD；(3)如图3,设AE与对角线BD相交于点G,若CE＝4,BE＝8,四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2,求S1﹣S2的值．参考答案1．D【解析】【分析】本题考查菱形的性质,菱形两组对边平行,四条边相等,两组对角相等,对角线互相垂直平分,以此可以求解．【详解】解：A、菱形的对边平行且四边相等,此选项说法正确,不符合题意；B、菱形的两组对角相等,此选项说法正确,不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直平分,此选项说法正确,不符合题意；D、菱形的对角线不相等,此选项说法错误,符合题意．故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质,熟悉菱形的性质是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据菱形和矩形的性质对各选项分别进行判断．【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分,而矩形的对角线互相平分且相等,所以A选项错误；B、菱形和矩形的对角线都互相平分,所以B选项正确；C、菱形的对角线互相垂直平分,而矩形的对角线互相平分且相等,所以C选项错误；D、菱形的对角线互相垂直平分且平分每组对角,而矩形的对角线互相平分且相等,所以D选项错误．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.也考查了矩形的性质．解题关键是掌握菱形的性质及矩形的性质．3．C【解析】【分析】根据菱形的性质逐个进行证明,再进行判断即可．【详解】解：A、▱ABCD中,本来就有AB=CD,故本选项错误；B、▱ABCD中本来就有AD=BC,故本选项错误；C、▱ABCD中,AB=BC,可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定▱ABCD是菱形,故本选项正确；D、▱ABCD中,AC=BD,根据对角线相等的平行四边形是矩形,即可判定▱ABCD是矩形,而不能判定▱ABCD是菱形,故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质,菱形的判定的应用,注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形,②四条边都相等的四边形是菱形,③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．4．A【解析】【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定,即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形,∵AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形,故选：A．．【点睛】本题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．5．D【解析】【分析】利用菱形的判定定理分别对每个选项逐一判断后即可得到正确的选项．【详解】解：A、正确,是真命题；B、正确,是真命题；C、正确,是真命题；D、对角线相等且垂直的四边形也可能是等腰梯形,故错误,是假命题,故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解菱形的判定定理,属于基础题,比较简单．6．D根据三角形的中位线定理易得BC=2EF,那么菱形的周长等于4BC【详解】解：点E、F分别是AB、AC的中点,4EF=,∴==,BC EF28四边形ABCD是菱形,∴菱形ABCD的周长是：4832⨯=．故选：D．【点睛】本题考查三角形的中位线定理和菱形周长,掌握这两个知识点是关键．7．D【解析】【分析】过点A作AE⊥BC于E,由含30°角的直角三角形的性质得BE＝1,再求出AE的长,然后由菱形的面积公式即可得解．【详解】解：如图,过点A作AE⊥BC于E,则∠AEB＝90°,∵菱形ABCD的边长为2,∠ABC＝60°,∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°,AB＝1,∴BE＝12∴AE33∴菱形的面积＝BC×AE＝2×33故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质,解直角三角形,作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．8．A作M 关于BD 的对称点Q ,连接NQ ,交BD 于P ,连接MP ,此时MP +NP 的值最小,连接AC ,求出CP 、BP ,根据勾股定理求出BC 长,证出MP +NP =QN =BC ,即可得出答案． 【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ,连接NQ ,交BD 于P ,连接MP ,此时MP +NP 的值最小,连接AC ,则P 是AC 中点,∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC ⊥BD ,∠QBP =∠MBP , 即Q 在AB 上, ∵MQ ⊥BD , ∴AC ∥MQ , ∵M 为BC 中点, ∴Q 为AB 中点,∵N 为CD 中点,四边形ABCD 是菱形, ∴BQ ∥CD ,BQ =CN ,∴四边形BQNC 是平行四边形, ∴PQ ∥AD ,而点Q 是AB 的中点,故PQ 是△ABD 的中位线,即点P 是BD 的中点, 同理可得,PM 是△ABC 的中位线, 故点P 是AC 的中点,即点P 是菱形ABCD 对角线的交点, ∵四边形ABCD 是菱形, 则△BPC 为直角三角形, 113,422CP AC BP BD ====, 在Rt △BPC 中,由勾股定理得：BC =5, 即NQ =5,∴MP +NP =QP +NP =QN =5, 故选：A ．本题考查了轴对称-最短路线问题,平行四边形的性质和判定,菱形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．9．8cm【解析】【分析】根据菱形的性质可直接进行求解．【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2×4=8cm,故答案为：8cm．【点睛】本题主要考查菱形的性质,熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10．24【解析】【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求其面积即可．【详解】解：菱形面积是6×8÷2＝24cm2；故答案为24．【点睛】本题考查的是菱形的面积的计算,掌握“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解本题的关键.11．假．【解析】【分析】利用菱形的判定定理判断后即可确定正确的答案．【详解】对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,故错误,是假命题．故答案为：假．【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解菱形的判定方法,难度不大．12．AE AF（不唯一）【解析】先根据平行四边形的判定可得四边形AEDF是平行四边形,再根据菱形的判定即可得．【详解】DE AC DF AB,解：//,//∴四边形AEDF是平行四边形,则当AE AF=时,平行四边形AEDF是菱形,故答案为：AE AF=（不唯一）．【点睛】本题考查了平行四边形和菱形的判定,熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．13．4+【解析】【分析】设AB=x,根据勾股定理列方程为：AD2=AE2+DE2,则x2=(x−2)2+(x−2)2,解方程可解答．【详解】解：设AB=x．∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=x．∵DE是AB边上的高,∴∠AED=90°．∵∠BAD=45°,∴∠BAD=∠ADE=45°,∴AE=ED=x﹣2,由勾股定理得：AD=AE2+DE2,∴x2=(x﹣2)2+(x﹣2)2,解得：x1,x2=4﹣∵BE=2,∴AB＞2,∴AB=x故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质,等腰直角三角形的性质和勾股定理,熟练掌握菱形的性质是解题的关键．14．3【分析】由菱形的性质可得出AC ⊥BD,AB=BC=CD=DA,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形, ∴AC ⊥BD,AB=BC=CD=DA=6, ∴△AOD 为直角三角形． ∵点E 为线段AD 的中点,AD=6, ∴OE=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质,本题属于基础题,难度不大．15．【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质可利用“HL ”间接证明ABE CDF ≅,即得出AE =CF ．由=+EF AE FC ,即可证明AE =OE ,继而可再次利用“HL ”证明ABE OBE ≅,即得出ABE OBE ∠=∠,从而可求出1303ABE DBE DBC ABC ∠=∠=∠=∠=︒,最后由含30角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB =CD ,90A C ∠=∠=︒． ∵四边形BEDF 是菱形,∴BE =DF ,OE =OF ,DBE DBC ∠=∠∴在ABE △和CDF 中AB CDBE DF=⎧⎨=⎩ ,∴()ABE CDF HL ≅, ∴AE =CF ．∵=+EF AE FC ,即OE OF AE FC +=+ ∴AE =OE ,∴在ABE △和OBE △中AE OEBE BF =⎧⎨=⎩,∴()ABE OBE HL ≅,∴ABE OBE ∠=∠∴1303ABE DBE DBC ABC ∠=∠=∠=∠=︒．∴26BD CD ==,∴BC ===故答案为： 【点睛】本题考查矩形、菱形的性质,全等三角形的判定和性质,含30角的直角三角形的性质以及勾股定理,综合性强．掌握各知识点,利用数形结合的思想是解答本题的关键． 16．100︒ 【解析】 【分析】根据菱形性质可得AB =AD =BC =CD ,∠C =∠BAD ,∠B +∠BAD =180°,由AEF 是等边三角形,可得∠EAF =60°,AE =AF ,由AB =AE ,可得∠B =∠BEA =∠AFD =∠D ,可求∠BAE =∠DAF ,设∠BAE =∠DAF =m °,根据两直线平行同旁内角互补可列方程()11802m ︒-︒+60°+2m °=180°求解即可． 【详解】解：在菱形ABCD 中,AB =AD =BC =CD ,∠C =∠BAD ,∠B +∠BAD =180°, ∵AEF 是等边三角形, ∴∠EAF =60°,AE =AF , ∵AB =AE , ∴AD =AF =AB =AE ,∴∠B =∠BEA =∠AFD =∠D ,∴∠BAE =180°-∠B -∠AEB =180°-∠AFD -∠D =∠DAF , 设∠BAE =∠DAF =m °, ∴∠B =()11802m ︒-︒,∠BAD =60°+2m °, ∴()11802m ︒-︒+60°+2m °=180°, 解得m =20°, ∴∠C =∠BAD =60°+40°=100°． 故答案为100°． 【点睛】本题考查菱形性质,等边三角形性质,等腰三角形性质,平行线性质,利用同旁内角互补建构方程是解题关键．17．证明见解析 【解析】 【分析】根据题意可得：13∠=∠,从而AB AD =,即可解答． 【详解】 证明：如图,∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴//AD BC , ∴23∠∠=． 又∵BD 平分ABC ∠, ∴12∠=∠, ∴13∠=∠, ∴AB AD =,∴平行四边形ABCD 是菱形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定,平行四边形的性质,解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理,平行四边形的性质定理,并能灵活运用相关知识进行证明． 18．证明见解析 【解析】 【分析】证△DOE ≌△BOF （ASA ）,得OE =OF ,再证四边形EBFD 是平行四边形,然后由EF ⊥BD 即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,O 为对角线BD 的中点, ∴BO =DO ,AD ∥BC , ∴∠EDB =∠FBO ,在△EOD 和△FOB 中,EDO FBO OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△DOE ≌△BOF （ASA ）；又∵OB =OD ,∴四边形BEDF 是平行四边形, ∵EF ⊥BD ,∴平行四边形BEDF 为菱形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定,平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识,证明△DOE ≌△BOF 是解题的关键． 19．23 【解析】 【分析】连接OE ,与DC 交于点F ,只要证明四边形ODEC 是菱形,四边形ADEO 是平行四边形即可解决问题． 【详解】解：∵CE //BD ,DE //AC , ∴四边形OCED 是平行四边形. ∴OD =EC ,OC =DE .∵矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O , ∴OD =OC .∴平行四边形OCED 是菱形. 连接OE , ∵DE =2,∴AC =2OC =2DE =4, ∵AD =23,∴DC =22224(23)2AC AD -=-=, ∵DE ∥AC ,AO =OC =DE , ∴四边形AOED 是平行四边形. ∴OE =AD =23.∴四边形OCED 的面积为2 3.2DC OE⨯=本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,利用菱形的性质解决问题． 20．(1)见解析； (2)245【解析】 【分析】（1）先判断出OAB DCA ∠=∠,进而判断出DAC DCA ∠=∠,得出CD AD AB ==,此题得证； （2）根据菱形的性质得到OA OC =,BD AC ⊥,132OB OD BD ===,由勾股定理可以求出AB 的长,然后通过菱形的面积公式可以求出CE 的长． (1)证明：∵//AB DC , ∴OAB DCA ∠=∠, ∵AC 平分∠BAD , ∴OAB DAC ∠=∠, ∴DAC DCA ∠=∠, ∴CD AD =, ∵AB=AD , ∴AB CD =, ∵//AB DC ,∴四边形ABCD 是平行四边形, 又∵AB AD =,∴四边形ABCD 是菱形； (2)∵四边形ABCD 是菱形,BD ＝6,AC =8,∴118422OA OC AC ===⨯=,BD AC ⊥,116322OB OD BD ===⨯=, ∴90AOB ∠=︒,在Rt AOB △中,根据勾股定理可知,5AB =,∴菱形的面积11862422S AC BD ==⨯⨯=, ∵CE AB ⊥,∴菱形面积524S AB CE CE ===, ∴245CE =． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,等腰三角形的判定,勾股定理等知识,熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．21．(1)四边形AEBO 是矩形,理由见解析； (2)24． 【解析】 【分析】（1）根据//BE AC ,//AE BD 可先证明四边形AEBO 是平行四边形,再利用菱形对角线互相垂直平分可得90AOB ∠=︒,即可证明四边形AEBO 是矩形；（2）利用菱形对角线互相平分的性质可知4OA =,利用勾股定理可求出3AE =,进一步得6BD =,利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可求出菱形的面积． (1)解：四边形AEBO 是矩形,理由如下： ∵//BE AC ,//AE BD ,∴四边形AEBO 是平行四边形, ∵ABCD 是菱形, ∴BD AC ⊥, ∴90AOB ∠=︒,∴四边形AEBO 是矩形． (2)解：∵8AC =, ∴4OA =,∵5OE =且90OAE ∠=︒, ∴3AE OB ==, ∴6BD =,∴菱形ABCD 的面积1=242BD AC =． 【点睛】本题考查菱形的性质和面积,矩形的判定定理,勾股定理解三角形,掌握矩形的判定定理：有一个角等于90︒的平行四边形是矩形,是解本题的关键之一,另一个关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．22．(1)周长为,面积为(2)见解析【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得2AB BE = ,再由勾股定理可得BE =,从而得到BC AB == ,即可求解； （2）根据菱形的性质和AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,可得△ABE ≌△ADF ,从而得到BE =DF ,进而得到CE =CF ,则有∠CBF =∠CBD =12（180°-∠C ）,即可求证；（3）连接CG ,可先证明△ADG ≌△CDG ,可得到AG =CG ,△ADG 和△CDG 的面积相等,从而得到S 1﹣S 2=S △CEG ,再由勾股定理可得AE =,然后设EG x = ,则CG AG x == ,根据勾股定理可得EG =,即可求解． (1)解：∵AE ⊥BC ,∠BAE ＝30°, ∴2AB BE = , ∵AE ＝3,∴()222222233AB BE BE BE BE -=-== ,∴BE =, ∴AB =,∵四边形ABCD 是菱形,∴BC AB ==,∴菱形ABCD 的周长为4=,面积为3AE BC ⨯=⨯； (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形, ∴∠ABE =∠ADF ,AB =AD =BC =CD , ∵AE ⊥BC ,AF ⊥CD , ∴∠AEB =∠AFD =90°, 在△ABE 和△ADF 中,∵∠ABE =∠ADF ,∠AEB =∠AFD ,AB =AD , ∴△ABE ≌△ADF （AAS ）, ∴BE =DF ,∵BC =CD , ∴CE =CF ,∴∠CBF =∠CBD =12（180°-∠C ）,∴EF ∥BD ； (3)解：连接CG ,∵四边形ABCD 是菱形, ∴∠ADG =∠CDG ,AD =CD , 在△ADG 和△CDG 中,∵AD =CD ,∠ADG =∠CDG , DG =DG , ∴△ADG ≌△CDG ,∴AG =CG ,△ADG 和△CDG 的面积相等, ∴S 1﹣S 2=S △CEG , ∵CE ＝4,BE ＝8, ∴AB =BC =CE +BE =12, ∵AE ⊥BC ,∴222212845AE AB BE -=-=, 设EG x = ,则45CG AG x == , ∵222EG CE CG += , ∴()22245x x += , 解得：855x,即85EG =, ∴121185165422CEGS S S CE EG -==⨯=⨯=． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,勾股定理,熟练掌握菱形的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,勾股定理是解题的关键．。
精品解析：人教版八年级数学下册第18章182特殊的平行四边形--矩形、菱形同步练习(解.docx
人教版八年级数学下册第18章18.2特殊的平行四边形矩形、菱形一.选择题（共10小题）1.下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A.对角线互相垂直B.对角线所在直线是对称轴C.对角线相等D.对角线互相平分【答案】C【解析】菱形的对角线互相垂直平分，菱形是轴对称图形，每一条对角线所在的直线就是菱形的i条对称轴，故选C.2.如图，2XABC中，CD丄AB于D,且E是AC的中点.若AD=6, DE=5,则CD的长等于（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】试题分析：rtr直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"求得AC=2DE=10；然后在直角AACD屮, 利用勾股定理來求线段CD的长度即可.解：如图，VAABC中，CD丄AB于D, E是AC的中点，DE=5,・・・DE=*AO5,AAC=10.在直角AACD中，ZADC=90°, AD=6, AC=10,则根据勾股定理，得CD=A/A C2-AD2=A/102 - 62=8故答案是：8.考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线.3.如图，在"BCD中，对角线AC与BD交于点0,若增加一个条件，使-ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）【答案】c【解析】试题解析：A.根据菱形的定义可得，当AB=AD时创BCD是菱形；B.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，口ABCD是菱形；C.对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D • ZBAG乙DAC时，• ：MBCD中，AI）\\ BC，:.AACB^ADAC^ ：・ ZBAC= ZACB，・\AB=AC> :dBCD是菱形•故选c・4.如图，已知△ ABC, AB二AC,将厶ABC沿边BC翻转，得到的△ DBC与原△ ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）• rDA.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直的平分四边形是菱形【答案】B【解析】因为翻折后△ ABC和△DBC是全等三角形，所以AB=AC=BD=CD^以四边形ABDC是菱形，故选B.5.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角相等【答案】B【解析】矩形的性质有：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分且相等；平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分.故选B.6.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, CE〃BD, DE〃AC,若AC=4,则四边形0CED的周长为（）EA. 4B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】四边形ABCD为矩形，得到0D二0C,再利用平行四边形的判定得到四边形DECO为平行四边形，利用菱形的判定定理得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出0C的长，即可确定出其周长.解：•・•四边形ABCD为矩形,A0A=0C, 0B二0D,且AC=BD,A0A=0B=0C=0D=2,・.・CE〃BD, DE〃AC,・・・四边形DECO为平行四边形，V0D=0C,・・・四边形DECO为菱形，.\0D=DE=EC=0C=2,则四边形OCED的周长为2+2+2+2二8,故选B.7.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（）A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量对角线是否相等D.测量其屮三个角是否都为直角【答案】D【解析】试题分析：根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形.故选D考点：矩形的判定点评：本题考查的是矩形的判定定理，难度简单&已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O,下列结论中不正确的是（）A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B.当AC丄BD时，四边形ABCD是菱形C.当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D.当ZABD=ZCBDH寸，四边形ABCD是矩形【答案】D【解析】试题解析：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项止确；D、不能得到一个角是直角，故错误，故选D.考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的性质；3.菱形的判定.9.下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是（）A.①②③B.①②C.①③D.②③【答案】B【解析】试题解析：根据矩形的性质，矩形的对角线把矩形分为两个直角三角形，根据勾股定理，对角线相等，正方形属于特殊的矩形，对角线相等，故选B.考点：1 •正方形的性质；2.菱形的性质；3.矩形的性质.10.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了错题，从下列四个条件：①AB=BC,②ZABC=90°,③AC=BD,④AC丄BD中选两个作为补充条件，使口ABCD为正方形（如图所示），现有如下四种选法，你认为其屮错误的是（）A.①②B.①③C.②③D.②④【答案】C【解析】A选项四边形ABCD是平行四边形，①时，平行四边形ABCD是菱形,②ZABC=90°时，菱形ABCD是正方形,故此选项正确，不合题意，B,：・四边形ABCD是平行四边形,.••当②ZABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时•这是矩形的性质，无法得出四边形M仞杲正方形•故此选项错误，符合题意，学科网…学|科网… 学|科网…学|科网…学|科|网…学|科|网…C,T四边形ABCD是平行四边形，当®AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当®AC=BD时，菱形ABCD是正方形,故此选项正确，不合题意，D,・・・四边形ABCD是平行四边形，・・・当②ZABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC丄时，矩形ABCD是正方形,故此选项正确，不合题意.故选C.二.填空题（共5小题）11.如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC,则ZB等于【解析】试题解析：・・・CD是斜边AB上的中线,A CD=AD,又CD=AC,是等边三角形,••• ZA=60°,.\ZB=90°-Z/l=30o.【点睛】本题考查的是直角三角形的性质和等边三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.12.一个菱形的周长为52cm, —条对角线长为10cm,则其面积为_cm2.【答案】120【解析】因为菱形的周长为52cm,所以其边长13cm,根据勾股定理可求得其另一对角线为24cm,从而得到菱形的面积=10 x 24-2 = 120 cn?,故答案为：120.13.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD,若AD-4cm, ZABC=30°,则长方形纸条的宽度是cm.【解析】过点A作BC的垂线可得直角三角形，在30度角的直角三角形中,30度角所对直角边等于斜边的一半，可得长方形纸条的宽度是2,故答案为:2.14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是AO、AD的屮点，若AB=6cm,BC=8cm,则EF=_cm.【答案】2.5【解析】根据勾股定理可得:BD = y齐卫=10,根据矩形的性质可得:OZ>5,因为点E,F分别是AOAD的中点, 所以EF是三角形AOD的中位线,根据中位线性质可得:EF=2.5,故答案为25.15.如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC, BD的氏度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其川的数学原理【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角【解析】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角。
人教版数学八年级下册 菱形同步习题(Word版含答案)
18.2.2菱形 同步习题一．选择题1．下列关系中,是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（ ）A ．对角线垂直B ．两组对边分别平行C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等 2．如图,菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ,点E 是边AB 的中点,若3OE =,则BC 的长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33．如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,6AC =,8BD =,EF 为过点O 的一条直线,则图中阴影部分的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．124．如图,在MON ∠的两边上分别截取OA ,OB ,使OA OB =；再分别以点A ,B 为圆心,OA 长为半径作弧,两弧交于点C ；再连接AC ,BC ,AB ,OC ．若2AB =,4OC =,则四边形AOBC 的面积是（ ）A ．45B ．8C ．4D ．525．如图,四边形ABCD 为菱形,对角线AC ,BD 相交于点O ,DH ⊥AB 于点H ,连接OH ,∠CAD ＝25°,则∠DHO 的度数是（ ）A．20°B．25°C．30°D．35°6．如图,在菱形ABCD中,AB＝5cm,∠ADC＝120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止）,点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF 为等边三角形,则t的值为（）A．B．C．D．7．如图,菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F,连接DF．当∠BAD＝100°时,则∠CDF＝（）A．15°B．30°C．40°D．50°8．如图,菱形ABCD中,点M、N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB．若NF＝4,NM＝8,ME＝8,则AN 等于（）A．6B．8C．10D．129．如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC＝8cm,BD＝6cm,DH⊥AB于点H,且DH与AC交于G,则BH＝（）A．B．C．D．10．如图所示,在菱形ABCD中,AB＝4,∠BAD＝120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC 、CD 上滑动,且E 、F 不与B 、C 、D 重合．当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时,△CEF 的面积最大值是（ ）A ．B ．2C ．D ．二．填空题11．如图,在▱ABCD 中,点E ,F 分别是AB ,CD 边上的点,且∠ADE ＝∠CBF ,连接BD ,EF ．补充一个条件,可使四边形EBFD 是菱形,这个条件是 ．12．如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,且24cm AC =,10cm BD =,则菱形ABCD 一边上的高DH 长为______cm ．13．如图,在边长为1的菱形ABCD 中,∠ABC ＝60°,将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D ',分别连接A 'C ,A 'D ,B 'C ,则A 'C +B 'C 的最小值为_____．14．如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,且OA=OC,OB=OD ．请你添加一个适当的条件：______________,使四边形ABCD 成为菱形．15．如图,在菱形ABCD 中,∠B ＝60°,E ,H 分别为AB ,BC 的中点,G ,F 分别为线段HD ,CE 的中点．若线段FG 的长为2,则AB 的长为 ．三．解答题16．如图,在菱形ABCD中,E为对角线BD上一点,且AE＝DE,连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2,CE＝1时,求菱形的边长．17．如图,已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,且∠1＝∠2．（1）求证：▱ABCD是菱形．（2）F为AD上一点,连接BF交AC于E,且AE＝AF,若AF＝3,AB＝5,求AO的长．18．在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC垂直平分BD,BD平分∠ADC．（1）如图1,求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2,过点B作BE∥AC,交DC延长线于点E,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有与△CBE面积相等的三角形（△CBE除外）．19.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是边AD,AB的中点.（1）求证：ABE ADF ≌；（2）若3,60BE C =∠=︒,求菱形ABCD 的面积.20.如图,已知在菱形ABCD 中,F 为边BC 的中点,DF 与对角线AC 交于点M,过M 作ME ⊥CD 于点E,∠1=∠2.(1)若CE=1,求BC 的长;(2)求证:AM=DF+ME.参考答案一．选择题1．A 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．B 10．A11．：BD ⊥EF ．12．1201313314．AB=AD.15. 616．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ABE＝∠CBE,AB＝CB,在△ABE和△CBE中,,∴△ABE≌△CBE（SAS）,∴AE＝CE,∵AE＝DE,∴CE＝DE；（2）解：如图,连接AC交BD于H,∵四边形ABCD是菱形,∴AH⊥BD,BH＝DH,AH＝CH,∵CE＝DE＝AE＝1,∴BD＝BE+DE＝2+1＝3,∴BH＝BD＝,EH＝BE﹣BH＝2﹣＝,在Rt△AHE中,由勾股定理得：AH＝＝＝,在Rt△AHB中,由勾股定理得：AB＝＝＝, ∴菱形的边长为．17．（1）证明：∵AB∥CD,∴∠OAB＝∠DCA,∵AC为∠DAB的平分线,∴∠OAB＝∠DAC,∴∠DCA＝∠DAC,∴CD＝AD,∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AD＝AB,∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形,∴OA＝OC,BD⊥AC,OB＝OD＝BD＝3,∴OA＝＝＝4,∴AC＝2OA＝8,∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24,∵CE⊥AB,∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝5CE＝24,∴CE＝．18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形,∴OA＝OC＝AC,∵2DE＝AC,∴DE＝OA,又∵DE∥AC,∴四边形OADE是平行四边形,∴AF＝EF；（2）解：连接CE,∵DE∥OC,DE＝OC,∴四边形OCED是平行四边形,又∵菱形ABCD,∴AC⊥BD,∴四边形OCED是矩形,∴∠OCE＝90°,又∵AB＝2DE＝AC,∴△ABC为等边三角形,∵在菱形ABCD中,∠ABC＝60°,∴AC＝AB＝2,AO＝AC＝1,∴在矩形OCED中,CE＝OD＝＝,∴在Rt△ACE中,AE＝＝．19答案：（1）证明：由图可知,BD 垂直平分AC ,且5AB BC CD AD ====.所以,四边形ABCD 为菱形.（2）8AC =,BD AC ⊥且BD 平分AC .4OA OC ∴==.∴在Rt AOB △中,2222543OB AB OA =-=-=.2236BD OB ∴==⨯=.∴BD 的长为6.20. (1)解:∵四边形ABCD 是菱形,∴CB=CD,AB ∥CD,∴∠1=∠ACD.∵∠1=∠2,∴∠2=∠ACD,∴MC=MD.∵ME ⊥CD,∴CD=2CE=2,∴BC=CD=2.(2)证明:如图,延长DF 交AB 的延长线于点G.∵四边形ABCD 是菱形,∴∠BCA=∠DCA,BC=CD.∵BC=2CF,CD=2CE,∴CE=CF.∵CM=CM,∴△CEM ≌△CFM,∴ME=MF.∵AB ∥CD,∴∠2=∠G,∠BCD=∠GBF.∵CF=BF,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF.∵∠1=∠2,∠G=∠2, ∴∠1=∠G,∴AM=GM=MF+GF=DF+ME.。
人教版八年级下册数学 18.2.2 菱形 同步练习题(含答案)
18.2 .2 菱形同步练习题基础训练1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件__________使其成为菱形(只填一个即可).2.下列命题中正确的是()A.对角线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是()A.BA=BCB.AC,BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CD4.在▱ABCD中,下列结论不一定正确的是()A.AC=BDB.当AC⊥BD时,它是菱形C.当AC=BD时,它是矩形D.AB=CD5.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是__________.(只填写序号)6.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件,使▱ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是()A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠BAC=∠DAC7.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积()A.2B.4C.4D.88.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是()A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°9.如图,△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,若AE=4 cm,那么四边形AEDF的周长为()A.12 cmB.16 cmC.20 cmD.22 cm10.如图,将▱ABCD沿AE翻折,使点B恰好落在AD上的点F处,则下列结论不一定成立的是()A.AF=EFB.AB=EFC.AE=AFD.AF=BE11.下列命题:①四边都相等的四边形是菱形;②两组邻边分别相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直的平行四边形是菱形;④对角线相等的四边形是菱形;⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.其中正确的是.(填序号)提升训练12.图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD 交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.求证:四边形ADCF是菱形.13.如图所示,AC是▱ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F.(1)求证:△AOE≌△COF;(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由.探究培优14.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BD 相交于点O,与BC相交于点N,连接BM,DN.(1)求证:四边形BMDN是菱形;(2)若AB=8,AD=16,求MD的长.15.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.(1)证明:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定点E的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.参考答案1.【答案】AC⊥BD(答案不唯一)2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】③6.【答案】C解：根据菱形的定义可得,当AB=AD时▱ABCD是菱形,故A正确;根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得,当AC⊥BD时,▱ABCD是菱形,故B正确;对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形,故C不正确;当∠BAC=∠DAC时,在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC,∴▱ABCD是菱形.故D正确.7.【答案】A解：如图,连接OE,与DC交于点F,易得四边形OCED为菱形,得到对角线互相平分且垂直,然后求出OE,DC的长,即可求出菱形OCED的面积.8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】C11.错解:①②③⑤诊断:②是最容易出错的,两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形,如图,AB=AD,BC=CD,但四边形ABCD不是菱形.判定菱形时,要区分是在四边形还是平行四边形的基础上进行判定的,要注意两者的区别与联系.正解:①③⑤12.证明:∵AF∥CD,∴∠AFE=∠CDE.∵E是AC的中点,∴AE=CE.在△AFE和△CDE中,∴△AFE≌△CDE(AAS).∴AF=CD.∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.∵∠B=90°,AC=2AB,∴∠ACB=30°,∠BAC=60°.∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD.∴DA=DC.∴四边形ADCF是菱形.13.(1)证明:∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.∵点O是AC的中点,∴AO=CO.又∵∠EOA=∠FOC,∴△AOE≌△COF.(2)解:当EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形.理由如下:由(1)知△AOE≌△COF,∴OE=OF.又∵AO=CO,∴四边形AFCE是平行四边形.∴当EF⊥AC时,四边形AFCE是菱形.14.(1)证明:∵MN是BD的垂直平分线,∴MB=MD,NB=ND,MN⊥BD.∴∠BMN=∠DMN.又∵AD∥BC,∴∠DMN=∠BNM.∴∠BMN=∠BNM.∴BM=BN.∴BM=BN=ND=MD.∴四边形BMDN是菱形.(2)解:∵MB=MD,设MD的长为x,则MB=x,在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2,即x2=(16-x)2+82,解得x=10.∴MD的长为10.15.(1)证明:在△ABC和△ADC中,∴△ABC≌△ADC(SSS).∴∠BAC=∠DAC.在△ABF和△ADF中,∴△ABF≌△ADF(SAS).∴∠AFB=∠AFD.∵∠AFB=∠CFE,∴∠AFD=∠CFE.(2)证明:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.又∵∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.又∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.(3)解:当BE⊥CD,即E为过B且和CD垂直的垂线与CD的交点时,∠EFD=∠BCD. 理由:∵四边形ABCD为菱形,∴∠BCF=∠DCF.在△BCF和△DCF中,∴△BCF≌△DCF(SAS). ∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°. ∴∠EFD=∠BCD.。
人教版八年级下册数学课时练《18.2.2 菱形》(含答案解析)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！人教版数学八年级下册《18.2.2菱形》单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在菱形ABCD 中，,AE AF 分别垂直平分,BC CD ，垂足分别为,E F ，则EAF Ð的度数是（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°2．菱形ABCD 中，60BAD Ð=°，对角线AC =）A ．2B ．4C ．D ．3．如图，在ABCD 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD 的面积为()A ．6B ．12C ．24D ．484．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（）A ．100°B ．105°C ．110°D ．120°5．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A ．AB ＝CD B ．AD ＝BC C ．AC ＝BD D ．AB ＝BC6．如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A ．10cm 2B ．20cm 2C ．40cm 2D ．80cm 2二、填空题7．△ABC 中，延长BA 至D 使得AB =AD ，延长CA 至E 使得AC =AE ，当△ABC 满足条件________时，四边形BCDE 是菱形．8．已知菱形的两条对角线长为6和8，菱形的周长是_______，面积是________．9．如图，矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于O ，∠AOB ＝120°，//,//CE BD DE AC ，若4=AD 则四边形CODE 的周长为______________．10．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且OA=OC ，OB=OD ．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD 成为菱形．11．如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC CD 、边上，AB AE =，且AEF 是等边三角形，则C Ð=_______．12．已知菱形的周长为40，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______．三、解答题13．如图，在ABCD 中，AC 为对角线，EF AC ^于点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF ，CE ．请你探究当点O 满足什么条件时，四边形AFCE 是菱形，并说明理由．14．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠CAD ，分别交OD ，CD 于F ，E 两点，求∠AFO 的度数．15．如图，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长10cm ．求：（1）对角线AC 的长度；（2）菱形ABCD 的面积．16．如图，ABCD 中，对角线AC BD 、交于O ，AH BC ^于H ，12Ð=Ð．（1）求证：ABCD是菱形：（2）若4AC AH==，求菱形ABCD的面积．17．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．18．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于H．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求DH的长．参考答案1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．A7．∠BAC =90°8．20249．1610．AB=AD.11．100°12．13．解：当点O 是AC 的中点时，四边形AFCE 是菱形．理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴AEO CFO Ð=Ð，EAO FCO Ð=Ð．∵O 是AC 的中点，∴AO CO =，∴AOE COF D D ≌，∴OE OF =，∴四边形AFCE 是平行四边形，又∵EF AC ^，∴平行四边形AFCE 是菱形．14．【解析】∵在菱形ABCD 中，∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，∵对角线AC 、BD 交于点O ，∴∠BAC=∠CAD=30°，∠DOA=90°∵AE 平分∠CAD ，∴∠OAF=15°，∴∠AFO 的度数为：90°-15°=75°．15．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 相交于点E ，∴90AED Ð=°（菱形的对角线互相垂直），11105(cm)22DE BD ==´=（菱形的对角线互相平分）．∴12(cm)AE ===．∴221224(cm)AC AE ==´=（菱形的对角线互相平分）；（2）ABD BDC ABCD S SS =+菱形1122BD AE BD CE =×+×1()2BD AE CE =×+12BD AC =×110242=´´2120(cm )=．16．【解析】（1）证明： AH BC ^，\90AHC Ð=°，190ACH Ð+Ð=°，12Ð=Ð，\290ACH Ð+Ð=°，\在BOC D 中，180(2)BOC ACH Ð=°-Ð+Ð=1809090°-°=°，BO OC \^，即ABCD 的对角线BD AC ^，\ABCD 是菱形；（2）在Rt AHC D 中，2HC ==， ABCD 是菱形，\AB BC =，设==AB BC x ，则2BH x =-，在Rt ABH D 中，由勾股定理得：222AH BH AB +=中，即2224(2)x x +-=，解得5x =，=5420ABCD S BC AH \×=´=菱形.17．【解析】（1）∵AC 、BD 分别是∠BAD 、∠ABC 的平分线，∴∠DAC=∠BAC ，∠ABD=∠DBC ，∵AE ∥BF ，∴∠DAB+∠CBA=180°，∴∠BAC+∠ABD=12（∠DAB+∠ABC ）=12×180°=90°，∴∠AOD=90°；（2）证明：∵AE ∥BF ，∴∠ADB=∠DBC ，∠DAC=∠BCA ，∵AC 、BD 分别是∠BAD 、∠ABC 的平分线，∴∠DAC=∠BAC ，∠ABD=∠DBC ，∴∠BAC=∠ACB ，∠ABD=∠ADB ，∴AB=BC ，AB=AD∴AD=BC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD=AB ，∴四边形ABCD 是菱形．18．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC=8cm ，BD=6cm ，∴S 菱形ABCD =12AC•BD=12×6×8=24cm 2，（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA=OC=12AC=4cm ，OB=OD=3cm ，∴在直角三角形AOB 中，5cm ，∴DH=ABCD S AB =4.8cm ．。
2021年人教版数学八年级下册18.2.2《 菱形》同步练习(含答案)
人教版数学八年级下册18.2.2《菱形》同步练习一、选择题1.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )A. B. C. D.2.下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内②有一个角是直角的四边形是矩形③有一组邻边相等的平行四边形是菱形④两边及一角对应相等的两个三角形全等⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4.能判定一个四边形是菱形的条件是（）A.对角线互相平分且相等B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相垂直且对角相等D.对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角5.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A.①③B.②③C.③④D.①②③6.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为( )A.28°B.52°C.62°D.72°7.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠B:∠BCD=1:2,则对角线AC的长等于( )A.5B.10C.15D.208.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC9.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A.6米B.6米C.3米D.3米10.如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）A.3B.4C.5D.6二、填空题11.在菱形ABCD 中，AC=3，BD=6，则菱形ABCD的面积为．12.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（只填一个你认为正确的即可）.13.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是________(写出一个即可).14.如图,已知矩形ABCD的对角线长为8 cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH的周长等于________cm.15.在图中所示的方格纸中有一个菱形ABCD(A、B、C、D四点均为格点),若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则该菱形的面积为________.三、解答题16.如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)条件下，连接BF，求∠DBF的度数．17.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．18.在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF．求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE=BF+EF．19.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且AC=2DE,连接AE交OD于点F,连接CE、OE．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．20.准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．参考答案1.C.2.A3.D4.C5.A6.C7.A8.B9.A.10.B11.答案为：9．12.答案为：AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD;13.答案为：C；B=BF或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF(答案不唯一)14.答案为：16.15.答案为：12；16.解：(1)如图所示，直线EF即为所求；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∴∠C=∠A=30°，∵EF垂直平分线段AB，∴AF=FB，∴∠A=∠FBA=30°，∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．17.解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60°；（2）由（1）可知BD=AB=4，又∵O为BD的中点，∴OB=2，又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，∴BE=1．18.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AD∥BC，∴∠BOA=∠DAE，∵∠ABC=∠AED，∴∠BAF=∠ADE，∵∠ABF=∠BPF，∠BPA=∠DAE，∴∠ABF=∠DAE，∵AB=DA，∴△ABF≌△DAE(ASA)；(2)∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF，∵AF=AE+EF=BF+EF，∴DE=BF+EF．19.（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=0.5AC，AD=CD，∵DE∥AC且DE=0.5AC，∴DE=OA=OC，∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，∴OE=AD，∴OE=CD；（2）解：∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2，∴在矩形OCED中，CE=OD=．∴在Rt△ACE中，AE==．20.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠EBD=∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）∵四边形BFDE为菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°，∵∠A=90°，AB=2，∴AE==，BF=BE=2AE=，∴菱形BFDE的面积为：×2=。
人教版八年级数学下册18.2.2第2课时菱形的判定2同步练习题及答案.doc
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】18.2.2 菱形第2课时菱形的判定一、选择题1．下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=•BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A．1种B．2种C．3种D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cmC．8cm和83cm D．4cm和43cm二、填空题4．如图1所示，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）图1 图25．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．三、解答题8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．四、思考题9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．参考答案一、1．A 点拨：本题用排除法作答．2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．3．C 点拨：如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC 为等边三角形，• 所以A C=AB=14×32=8（cm ），AO=12AC=4cm ． 因为AC ⊥BD ，在Rt △AO B 中，由勾股定理，得OB=222284AB OA -=-=43（cm ），• 所以BD=2OB=83cm ．二、4．AB=BC 点拨：还可添加A C ⊥BD 或∠ABD=∠CBD 等． 5．点D 在∠BAC 的平分线上（或AE=AF ）6．12cm ；723cm 2点拨：如图所示，过D 作DE ⊥AB 于E ， 因为AD ∥BC ，•所以∠BAD+∠ABC=180°． 又因为∠BAD ：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，因为AB=AD ，所以△ABD 是等边三角形，所以BD=AD=12cm ．所以AE=6cm ． 在Rt △AED 中，由勾股定理，得AE 2+ED 2=AD 2，62+ED 2=122，所以ED 2=108， 所以ED=63cm ，所以S 菱形ABCD =12×63=723（cm 2）．7．4；43 点拨：如图所示，因为DE 垂直平分AB ，又因为DA=AB ，所以DA=DB=4．所以△ABD 是等边三角形，所以∠BAD=60°， 由已知可得AE=2．在Rt △AED•中，•AE 2+DE 2=AD 2，即22+DE 2=42，所以DE 2=12，所以DE=23，因为12AC·BD=AB·DE，即12AC·4=4×23，所以AC=43．三、8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABC D中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．四、9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：因为PD∥OC，PC∥OD，所以四边形PCOD是平行四边形．又因为OC=OD，所以平行四边形PCOD是菱形．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。