高一数学讲义-集合及其应用
高中数学集合ppt课件

描述法
总结词
通过描述集合中元素的共同特征来展 示集合的方法。
详细描述
描述法适用于集合元素数量较多,无 法一一列举的情况。例如,集合 B={x|x>2},可以通过描述法表示为 {x|x>2}。
韦恩图法
总结词
通过图形表示集合及其关系的方法。
详细描述
韦恩图法是一种直观的表示方法,通过圆圈、椭圆等图形来 表示不同的集合,以及它们之间的关系。这种方法有助于理 解集合的并、交、差等运算。
总结词
表示两个或多个集合中共有的元 素
详细描述
交集是指两个或多个集合中共有 的元素组成的集合。可以用符号 "∩"表示交集,例如A∩B表示集合 A和集合B的交集。
并集
总结词
表示两个或多个集合中所有的元素, 不考虑重复
详细描述
并集是指两个或多个集合中所有的元 素组成的集合,不考虑重复。可以用 符号"∪"表示并集,例如A∪B表示集 合A和集合B的并集。
互异性
• 互异性是指集合中的元素互不相同,即集合中不会有重复的元素。例如,集合 {1,2,3}中没有重复的元素,而集合{1,2,2,3,3}中有重复的元素2和3。
05
集合的应用
在数学中的应用
1 2
3
集合论
集合论是数学的基础理论之一,它为数学概念提供了一种抽 象的描述方式。通过集合,数学中的许多概念,如函数、数 列、平面几何等都可以被统一地表达和描述。
在经济学中,集合的概念也经常被使 用。例如,可以将一组商品看作一个 集合,然后对这组商品进行分析和比 较。
计算机科学
在计算机科学中,集合的概念被广泛 应用于数据结构和算法的设计。例如 ,数组、链表、栈、队列等数据结构 都是基于集合的。
高一数学必修一第一章集合与函数的概念讲义(集合的关系与运算)

知识点3、集合间的基本关系知识梳理1、子集的概念定义一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集图示(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.如果集合A是集合B的子集(A⊆B),且集合B是集合A的子集(B⊆A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B.3、真子集的概念(1)A⊂B且B⊂C,则A⊂C;(2)A⊆B且A≠B,则A⊂B常考题型题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中,正确的个数是()①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}⊆{2,1,0};③∅⊆{0,1,2};④∅={0};⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0}A.1B.2 C.3 D.4①A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};②A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};③M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.判断集合间关系的方法(1)用定义判断.首先,判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,则A⊆B,否则A不是B的子集;其次,判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则B⊆A,否则B不是A的子集;若既有A⊆B,又有B⊆A,则A=B.(2)数形结合判断.对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.变式训练能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是()A. B. C. D.题型二、有限集合子集的确定例2、(1)集合M={1,2,3}的真子集个数是()A.6 B.7 C.8 D.9(2)满足{1,2}⊂≠M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个.公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集.(2)含n个元素的集合有(2n-1)个真子集.(3)含n个元素的集合有(2n-1)个非空子集.(4)含有n个元素的集合有(2n-2)个非空真子集.(5)若集合A有n(n≥1)个元素,集合C有m(m≥1)个元素,且A⊆B⊆C,则符合条件的集合B有2m-n个.变式训练非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S,则6-a∈S”,则这样的集合S共有________个.题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围.变式训练已知集合A={x|1<ax<2},B={x|-1<x<1},求满足A⊆B的实数a的取值范围.课时小测1、给出下列四个判断:①∅={0};②空集没有子集;③任何一个集合必有两个或两个以上的子集;④空集是任何一个集合的子集.其中,正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个2、已知A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四边形},那么A,B,C之间的关系是()A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.A⊂≠B⊆C D.A=B⊆C3、已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B⊆A,则实数m=________.4、集合A={x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数为________.5、已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a}.(1)若A是B的真子集,求a的取值范围;(2)若B是A的子集,求a的取值范围;(3)若A=B,求a的取值范围.同步练习一、选择题1.已知集合A,B,若A不是B的子集,则下列命题中正确的是A.对任意的a∈A,都有a∉B B.对任意的b∈B,都有b∉A2.如果{}|1A x x =>-,那么A .0A ⊆B .{}0A ∈C .A ∅∈D .{}0A ⊆ 3.下列各式中,正确的个数是(1){0}∈{0,1,2};(2){0,1,2}⊆{2,1,0};(3)∅⊆{0,1,2}. A .0 B .1 C .2 D .3 4.若集合{}|0A x x =≥,且B A ⊆,则集合B 可能是A .{}1,2B .{}|1x x ≤C .{}1,0,1-D .R 5.若2{|,}x x a a ⊂∅≤∈≠R ,则实数a 的取值范围是A .B .C .D . 6.已知全集U =R ,则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩(Venn)图是A B C D7.设集合{1,2}M =,2{}N a =,那么 A .若1a =,则N M ⊆B .若N M ⊆,则1a =C .若1a =,则N M ⊆,反之也成立D .1a =和N M ⊆成立没有关系8.已知集合{}4,5,6P =,,定义{},,P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈,则集合P Q ⊕的所有非空真子集的个数为A .32B .31C .30D .以上都不对二、填空题9.设P ={x |x <4},Q ={x |-2<x <2},则P Q .10.已知集合,,则满足条件的集合C 的个数为_____.三、解答题11.写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. (0,)+∞[0,)+∞(,0]-∞(,0)-∞{}1,2,3Q =2{|320,}A x x x x =-+=∈R {|05,}B x x x =<<∈N A C B ⊆⊆12.已知集合{}{}2,4,6,8,9,1,2,3,5,8A B ==,又知非空集合C 是这样一个集合:其各元素都加2后,就变为A 的一个子集;若各元素都减去2后,则变为B 的一个子集,求集合C .13.已知集合A ={x|2a −1<x <3a +1},集合B ={x|−1<x <4}.(1)若A ⊆B ,求实数a 的取值范围;(2)是否存在实数a ,使A =B ?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.知识点4、集合的并集、交集知识梳理1、并集的概念、并集的性质(1)A ∪B =B ∪A ,即两个集合的并集满足交换律.(2)A ∪A =A ,即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身. (3)A ∪∅=∅∪A =A ,即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.(4)A ⊆(A ∪B),B ⊆ (A ∪B),即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集.(5)若A ⊆B ,则A ∪B =B ,反之也成立,即任何集合同它的子集的并集,等于这个集合本身. 3、交集的概念4、交集的性质(1)A∩B=B∩A,即两个集合的交集满足交换律.(2)A∩A=A,即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身.(3)A∩∅=∅∩A=∅,即任何集合与空集的交集等于空集.(4)A∩B⊆A,A∩B⊆B,即两个集合的交集是其中任一集合的子集.(5)若A⊆B,则A∩B=A,反之也成立,即若A是B的子集,则A,B的公共部分是A.常考题型题型一、并集的运算例1、(1)设集合M={4,5,6,8},集合N={3,5,7,8},那么M∪N等于()A.{3,4,5,6,7,8}B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8} (2)若集合A={x|x>-1},B={x|-2<x<2},则A∪B等于()A.{x|x>-2} B.{x|x>-1} C.{x|-2<x<-1} D.{x|-1<x<2}变式训练若集合A={1,4,x},B={1,x2},A∪B={1,4,x},则满足条件的实数x有()A.1个B.2个C.3个D.4个题型二、交集的运算例2、(1)若A={0,1,2,3},B={x|x=3a,a∈A},则A∩B等于()A.{1,2} B.{0,1} C.{0,3} D.{3}(2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于()A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}求交集运算应关注两点(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合.(2)利用集合的并、交求参数的值时,要检验集合元素的互异性.变式训练已知M={1,2,a2-3a-1},N={-1,a,3},M∩N={3},求实数a的值.题型三、交集、并集的性质及应用例3、已知集合A={x|-3<x≤4},集合B={x|k+1≤x≤2k-1},且A∪B=A,试求k的取值范围.变式训练已知集合A={x|-3<x≤4},集合B={x|k+1≤x≤2k-1},且A∩B=A,试求k的取值范围.课时小测1、设集合M={m∈Z|-3<m<2},N={n∈Z|-1≤n≤3},则M∩N=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}2、已知S={(x,y)|y=1,x∈R},T={(x,y)|x=1,y∈R},则S∩T=()A.空集B.{1}C.(1,1) D.{(1,1)}3、若集合A={x|-1<x<5},B={x|x≤-1,或x≥4},则A∪B=________,A∩B=________.4、已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是________.5、设集合A={2,-1,x2-x+1},B={2y,-4,x+4},C={-1,7},且A∩B=C,求实数x,y的值及A∪B.知识点5、补集及综合应用知识梳理1、全集的定义及表示(1)定义:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.(2)符号表示:全集通常记作U.2、补集的概念及性质的补集,记作U=∅,U∅U U(U(U U常考题型题型一、补集的运算例1、(1)设全集U=R,集合A={x|2<x≤5},则U A=________.(2)设U={x|-5≤x<-2,或2<x≤5,x∈Z},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},则U A=________,U B=________.变式训练设全集U={1,3,5,7,9},A={1,|a-5|,9),U A={5,7},则a的值为________.题型二、集合的交、并、补的综合运算例2、已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(U A)∪B,A∩(U B),U(A∪B).变式训练已知全集U={x|x<10,x∈N*},A={2,4,5,8},B={1,3,5,8},求U(A∪B),U(A∩B),(U A)∩(U B),(U A)∪(U B).题型三、补集的综合应用例3、设全集U=R,M={x|3a<x<2a+5},P={x|-2≤x≤1},若M⊂≠U P,求实数a的取值范围.变式训练已知集合A={x|x<a},B={x<-1,或x>0},若A∩(R B)=∅,求实数a的取值范围.课时小测2、已知全集U =R ,集合A ={x |-2≤x ≤3},B ={x |x <-1,或x >4},那么集合A ∩(U B )等于( )A .{x |-2≤x <4}B .{x |x ≤3,或x ≥4}C .{x |-2≤x <-1}D .{x |-1≤x ≤3}3、已知集合A ={3,4,m },集合B ={3,4},若A B ={5},则实数m =________. 4、已知全集U =R ,M ={x |-1<x <1},U N ={x |0<x <2},那么集合M ∪N =________.5、设U =R ,已知集合A ={x|-5<x<5},B ={x|0≤x<7},求(1)A∩B ;(2)A ∪B ;(3)A ∪(U B);(4)B∩(U A);(5)(U A )∩(U B ).同步练习一、选择题1、已知集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,3,4}A =,则UA =A .{5,6}B .{1,2,3,4}C .{2,5,6}D .{2,3,4,5,6} 2、已知集合{}|1A x x =>,{|1}B x x =≤,则 A .AB ≠∅ B .A B =RC .B A ⊆D .A B ⊆3、若集合{}{}1,2,3,4,2A B x x ==∈≤N ,则AB 中的元素个数是A .4B .6C .2D .34、已知全集U ={1,2,3,4,5,6},集合P ={1,3,5},Q ={1,2,4},则U P Q ()= A .{1}B .{3,5}C .{1,2,4,6}D .{1,2,3,4,5}5、设集合{},A a b =,集合{}1,5B a =+,若{}2A B =,则A B =A .{}1,2B .{}1,5C .{}2,5D .{}1,2,5 6、若集合AB BC =,则集合A,B,C 的关系下列表示正确的是。
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3. 如果A⊆B且B和C是两个互不相交的集 合(即B与C没有交集),那么A与C也是 互不相交的。
2. 如果A⊆B且B⊆C,那么A⊆C。
子集的性质
1. 任何一个集合都是其本身的子集,即 A⊆A。
真子集的定义与性质
真子集的定义:如果 一个集合A是集合B的 一个子集,并且A和B 中至少有一个元素不 相同,那么我们称A 是B的真子集,记为 A⊈B。
集合通常用大写字母 表示,如A、B、C等 。
集合的元素
元素是集合中的个体,可以用小 写字母表示,如a、b、c等。
一个元素可以属于一个或多个集 合,不同元素可以属于同一个集
合。
空集是指不含有任何元素的集合 。
集合的表示方法
列举法
图示法
把集合中的元素一一列举出来,用大 括号{}括起来。
用一条封闭的曲线表示集合,内部可 以填充颜色或点上小点表示元素。
如果一个集合不是另一个集合 的真子集,那么称它为该集合 的真超集。
04
集合的交集、并集、补集的图形 表示
交集的图形表示
总结词
交集是指两个或两个以上集合的公共 部分,可以用符号 "∩" 表示。
详细描述
在图形表示中,交集通常用两个或多 个集合的公共部分来表示。例如,在 两个圆的重叠部分中,重叠部分的元 素就是两个圆的交集。
集合的运算性质
01
02
03
交换律
若A、B是两个集合,则A 并B等于B并A,A交B等于 B交A。
结合律
三个集合的交集和并集, 等于这三个集合分别交、 并后再合并得到的交集和 并集。
分配律
两个集合的并集与另一个 集合的交集相等,等于这 两个集合分别与另一个集 合的交集的并集。
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函数奇偶性判断方法
定义法
若对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 ;若对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 。
图象法
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。
练习题与解析
练习题
判断下列函数的奇偶性:(1) f(x)=x^2;(2)f(x)=sinx;(3) f(x)=|x|。
公式法
利用一元二次方程的求根 公式,结合不等式的性质 进行求解。
判别式法
根据一元二次方程的判别 式,判断方程的根的情况 ,进而求解不等式。
区间表示法及应用
1 2
区间表示法
用中括号或圆括号表示数集的方法,如[a, b]表 示a到b之间的所有实数,包括a和b。
区间在不等式中的应用
利用区间表示法可以直观地表示不等式的解集, 便于理解和分析。
解析
因式分解得(x - 1)(x - 3) < 0,根据一元 二次不等式的性质,解集为(1, 3)。
练习题2
解不等式x^2 - 4x + 3 < 0,并用区间表 示其解集。
04
函数概念与性质
函数定义及表示方法
函数定义
设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意 一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集 合A到集合B的一个函数。
等差数列求和公式
$S_n = frac{n}{2} times (a_1 + a_n)$ 或 $S_n = n times a_1 + frac{n(n - 1)}{2} times d$。
高一数学最新课件-集合的含义及其表示 精品

素都是B中的元素, B中的元素也都是A中的元素),
则称这两个集合相等。如:
{北京,天津,上海,重庆} = {北京,天津,上海,重庆}
(2)a与{a}不同:a表示一个元素,
{a}表示一个集合,该集合只有一个元素a。
2、 描述法: 将集合的所有元素都具有的特征(满
足的条件)表示出来,写成{x| P(x)}的形式。
数
学
③{(x,y)|x+y=2且x-2y=4} {(8/3,-2/3)}
④{x|x=(-1)n,n ∈N}
{-1,1}
⑤{(x,y)|3x+2y={1(6,0x,∈8)N,,y ∈(2N,} 5),(4,2)} ⑥{(x,y)|x,y分别是4的正整数约数}
{(1,1),(1,2),(1,4)(2,1),(2, 2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)}
如集合{(x,y)|y=x2+1} ;集合{1000以内的质数}
注:集合{(x,y)|y=x2+1}与集合
{y|y=x2+1}是同一个集合吗? 答:不是。集合{(x,y)|y=x2+1}是点集,
集合{y|y=x2+1} = {y|y≥1}是数集。
(三) 有限集与无限集
高
1、有限集(finite set):含有有限个元素的 集合。
(3)无序性:集合中的元素没有一定 的顺序(通常用正常的顺序写出)
探讨以下问题:
(1){1,2,2,3}是含1个1,2个2, 1个3的四个元素的集合吗?
(2)著名科学家能构成一个集合吗? (3) {a,b,c,d}和{b,c,d,a}是不是
表示同一个集合? (4)“中国的直辖市”构成一个集合,写出该集合的元素。 (5)“young中的字母”构成一个集合,写出该集合的元素。 (6)“book中的字母”构成一个集合,写出该集合的元素。
高一数学《集合》完整版课件

(1)集合的定义:集合是由一些确定的对象组成的整体。
(2)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法。
(3)集合的性质:无序性、互异性、确定性。
(4)集合间的关系:子集、超集、相等、不相交。
(5)集合的运算:并集、交集、补集。
3.例题讲解:
(1)判断以下说法是否正确:①空集是任何集合的子集;②任何集合都是自身的子集。
2.集合间的关系和运算。
3.例题解答步骤。
七、作业设计
1.作业题目:
(1)用列举法和描述法表示集合:{x|x是正整数}。
(2)判断以下集合间的关系:A={x|x是3的倍数},B={x|x是6的倍数}。
(3)求集合A={1, 2, 3, 4, 5}和集合B={4, 5, 6, 7, 8}的并集、交集和补集。
高一数学《集合》完整版课件
一、教学内容
本节课选自高一数学教材第一章《集合与函数的概念》第一节“集合的概念及其表示”,内容包括集合的定义、集合的表示方法、集合的性质、集合间的基本关系和运算。
二、教学目标
1.理解集合的概念,掌握集合的表示方法,能够正确书写集合。
2.掌握集合的性质,理解集合间的基本关系和运算,能够解决相关问=∅。
-集合的运算:
-并集:集合A和集合B中所有元素组成的集合,记作A∪B。
-交集:集合A和集合B共有的元素组成的集合,记作A∩B。
-补集:在全集U中,不属于集合A的元素组成的集合,记作A'。
在教学过程中,需重点关注以下几点:
-解释集合运算的实际意义,如并集表示两个集合中所有元素的汇总,交集表示两个集合共有的部分。
2.鼓励学生主动提问,及时解答疑惑,促进师生互动。
四、情景导入
人教A版数学必修一.1集合的含义与表示应用PPT-完美课件

人教A版数学必修一.1集合的含义与表 示应用 课件PP T-精品 课件( 实用版 )
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例3:已知A={a-2,2a2+5a,10},且3∈A,求a。
例4若A={x|x=3n+1,n ∈ Z}, B= {x|x=3n+2,n ∈ Z} C={x|x=6n+3,n ∈ Z} (1) 若c ∈ C,问是否有a ∈ A,b ∈ B,使得 c=a+b; (2)对于任意a ∈ A,b ∈ B,是否 一定有a+b ∈ C ?并证明你的结论;
作业
教材P.11
T1~4.
人教A版数学必修一1..11集.1合《的集含合义的与含表义示与应表用示课》件应PP用T课-精件品( 课共件21(张 实PP用T)版 )
同一个集合吗?
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课堂小结
1.集合的定义;
判断下列例子能否构成集合
中国的直辖市
√
身材较高的人
×
著名的数学家
×
高一(5)班眼睛很近视的同学 ×
注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词 都不能构成集合
重要数集:
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N+或N﹡ : 正整数集(不含0) (3) Z:整数集 (4) Q:有理数集 (5) R:实数集
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高一数学《集合》完整版课件

高一数学《集合》完整版课件精细化处理后的教学内容:集合的奥秘:探索高中数学中的集合概念与运算教学目标:1. 深刻理解集合的内涵,掌握如何运用列举法和描述法来表征集合。
2. 学会识别和判断集合间复杂的关系,包括子集、真子集和补集。
3. 熟练应用集合的并集、交集和差集运算,并能够解决实际问题。
教学重难点:重点:集合的基本概念、多样化的表示方法、深入的集合关系理解、以及集合的基本运算。
难点:准确判断集合间的关系,以及灵活运用集合运算解决复杂问题。
教学工具与材料准备:教具:多媒体教学设备、黑板、粉笔。
学具:教材、笔记本、绘图工具。
教学流程:1. 导入新课(5分钟)通过一个简单的谜语或故事,如“集合的苹果树”,引入集合的概念。
引导学生回顾初中学过的集合知识,自然过渡到高中新课程。
2. 新课讲解(15分钟)使用互动方式,举例说明集合的定义,让学生参与判断和确认。
展示不同的集合表示方法,并通过实际例子让学生区分开列举法和描述法。
引入集合间的关系,通过图形或具体例子讲解子集、真子集和补集的概念。
讲解集合的基本运算,并通过实际例题展示如何计算并集、交集和差集。
3. 实例分析(10分钟)挑选具有代表性的题目,展示解题思路,让学生跟随解答。
让学生展示自己的解题过程,并互相点评,教师给予指导。
4. 课堂练习(5分钟)发放练习题目,要求学生在限定时间内完成。
选取部分作业进行点评,指出解题的关键点和常见错误。
5. 课堂小结(3分钟)板书设计:黑板上分五个部分板书本节课的主要内容:1. 集合的概念与表示方法2. 集合间的关系判断3. 集合的基本运算示例4. 实例分析与解题技巧5. 课堂小结与作业提示作业设计:1. 判断下列字母组合是否构成集合,并用列举法或描述法表示。
{a, b, c}{x | x 是实数,且 x > 0}2. 判断下列字母组合的关系,并阐述理由。
{1, 2, 3} 是 {1, 2, 3, 4, 5} 的子集还是真子集?{x | x 是实数,且 x > 0} 是 {x | x 是实数} 的子集还是真子集?课后反思与拓展延伸:在课后,教师应反思教学过程中的有效性和学生的参与度。
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D.8
解析:显然 A, B 都是坐标平面内的点集,抛物线 y x2 1 与圆 x2 y 2 1有三个交点, 即集合 A B 有3个元素,∴ A B 有 8 个子集.
答案:D
【例 3】若 A, B, C 为三个集合, A ∪ B = B ∩ C ,则一定有 ( )
A. A ⊆ C
B. C ⊆ A
C.2011∈(∁UA)∩(∁UB)
D.2011∈(∁UA)∪(∁UB)
8.设 P 和 Q 是两个集合,又集合 P-Q={x|x∈P,且 xQ},如果 P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那
A.0
B.1
C.2
D.多个
错解分析:根据 M 为直线 y x 1 上的点集, N 为单位圆 x2 y 2 1上的点集, ∴ M N 中元素的个数是 2,选 C.
解析:根据 M y y x 1 ,得 M R ,为数集,
N (x, y) x 2 y 2 1 为单位圆 x2 y 2 1上的点集,
5. n 个元素的集合所有子集个数为 2 n ,所有真子集个数为 2 n -1.
三、典型例题精讲
【例 1】若集合 A {1,2, x,4}, B {x2 ,1}, A ∩ B ={1,4},则满足条件的实数 x 的值为 ( )
A.4
B.2 或-2
C.-2
D.2
解析:根据 B {x2 ,1},得 x 2 4 , x 2 ,
m≠0 即
,∴m<1且 m≠0.
4-12m>0
3
四、课后训练
1.已知集合 P={x|x2=1},Q={x|mx=1},若 Q P,则实数 m 的数值为( )
A.1
B.-1
C.1 或-1
D.0,1 或-1
2.已知 U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则 ( )
第一讲 集合及其应用
2020 年 5 月
一、知识梳理
1.元素与集合:把一些能够确定的不同的对象看作一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成
的集合(或集).构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.常用数集的符号:自然数集 N ,正整数集 N
或 N * ,整数集 Z ,有理数集 Q ,实数集 R .不含任何元素的集合叫做空集,记为 .
2.注意空集 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如 A B,则 有 A = 或 A ≠ 两种可能,此时应分类讨论.
3.数集的运算往往用数轴法.
4.用 Card( A )表示有限集 A 的元素个数,则由 A B ,可得 Card( A )≤Card( B );由 A = B , 可得 Card( A )=Card( B );Card( )=0.
A.{y|-2≤y≤0}
B.{y|0≤y≤2}
C.{y|y≥-2}
D.{y|y≤0}
解析:由题意易得:B=(0,+∞),∁RB=(-∞,0],所以 A∩∁RB={y|-2≤y≤0}.
4
答案:A 【例 7】已知集合 A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}.
(1)若 A B,求 a 的取值范围;
C. A ≠ C
D. A =
解析:∵ A ⊆( A ∪ B ),( B ∩ C )⊆ C ,又∵ A ∪ B = B ∩ C ,∴ A ⊆ C ,故选 A.
答案:A
技巧提示:理解集合的运算性质是解答本题的关键. A ⊆( A ∪ B ),( B ∩ C )⊆ C 就是交运算和并
运算的重要性质.本题也可利用 Venn 图直接得出结论.
交集:由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的交集,记作: A ∩ B , 读作: A 交 B .
并集:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集,记作: A ∪ B , 读作: A 并 B .
补集:对于一个集合 A ,由全集U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫做集合 A 在全集U 中 的补集,记作:∁U A ,读作: A 在U 中的补集.
6.设集合 A={x|-1<x<2},B={x|x2≤1},则 A∪B= ( ) 2
A.{x|-1≤x<2}
B.{x|-1<x≤1} 2
C.{x|x<2}
D.{x|1≤x<2}
7.设全集为 U,且 2011∈U,与 2011(A∪B)意义相同的是 ( )
A.2011∈A∪B
B.2011A 或 2011B
解析:∵A∩B={-3},∴-3∈A 且-3∈B, 将-3 代入方程:x2+ax-12=0 中,得 a=-1,从而 A={-3,4}. 将-3 代入方程 x2+bx+c=0,得 3b-c=9.
∵A∪B={-3,4},∴A∪B=A,∴B A.
∵A≠B,∴B A,∴B={-3}.
∴方程 x2+bx+c=0 的判别式△=b2-4c=0,
1
二、方法归纳
1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三个特征;对于用描述法给出
的集合 x p(x) ,要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 p(x) ;在读懂集合的基础上尽可
能化简集合,化难为易,化隐为显是常用技巧;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.
D.S1 ( ∁I S2∪∁I S3)
4.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=_____
5.已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素,(∁UA)∪(∁UB)中有 n 个元素.若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为
A.mn
B.m+n
C.n-m
D.m-n
A.M∩N={4,6}
B.M∪N=U
C.(∁UN)∪M=U
D.(∁UM)∩N=N
3.设 I 为全集,S1,S2,S3 是 I 的三个非空子集,且 S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的是
A.∁I S1∩(S2∪S3)=
B.S1 ( ∁I S2∩∁I S3)
C.∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=
但 A {1,2, x,4},由元素的互异性 x 2 .∴ x 2 .
答案:C 技巧提示:牵涉到集合中的元素,必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性.
又例:若 3{1, a , a 2 },求实数 a 的范围.
答案:a≠0,±1,3,± 3
【例 2】已知 M y y x 1 , N (x, y) x 2 y 2 1 ,则集合 M N 中元素的个数是 ( )
答案:A
【例 6】已知全集 U=R,集合 A={x|log2(3-x)≤2},集合 B={x| 5 ≥1}. x+2
(1)求 A、B;
(2)求(∁UA)∩B.
3-x≤4
解析:(1)由已知得:log2(3-x)≤log24,∴
,解得-1≤x<3,∴A={x|-1≤x<3}.
3-x>0
由 5 ≥1,得(x+2)(x-3)≤0,且 x+2≠0,解得-2<x≤3. x+2
注:集合中元素的三个特性:元素的确定性、元素的互异性、元素的无序性.
2.集合与元素的关系:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A ,记作 a ∈ A ;如果 a 不是集合 A
的元素,就说 a 不属于集合 A ,记作 a A .
3.集合表示法: 列举法:将元素一一列出并用花括号括起来表示集合.
B={y|y=2x2},则 A×B 等于
()
A.(2,+∞)
B.[0,1]∪[2,+∞)
C.[0,1)∪(2,+∞)
D.[0,1]∪(2,+∞)
解析:A={x|y= 2x-x2}={x|0≤x≤2},B={y|y=2x2}={y|y≥0},
∴A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2] ,因此 A×B=(2,+∞),故选 A.
真子集:如果集合 A B ,但存在元素 x∈ B ,且 x A ,我们称集合 A 为集合 B 的真子集,记作
A B. 集合的相等:如果构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.集合 A 与集合 B 是
相等的,记作 A = B .
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集. 5.集合的运算:
3 (3)要满足 A∩B={x|3<x<4},显然 a>0 且 a=3 时成立,
∵此时 B={x|3<x<9},而 A∩B={x|3<x<4}, 故所求 a 的值为 3. 技巧提示:(1)本题为集合在一定约束条件下求参数的问题,涉及集合的运算,其转化途径常通过两 个方面:一是分析、简化每个集合;二是利用两集合元素的性质. (2)本题体现了分类讨论的思想,分类的关键点在于比较出 a 与 3a 的大小,进而将集合 B 表示出来. 又例:已知集合 A={x|mx2-2x+3=0,m∈R}. (1)若 A 是空集,求 m 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 m 的值; (3)若 A 中含有两个元素,求 m 的取值范围. 解析:集合 A 是方程 mx2-2x+3=0 在实数范围内的解集. (1)∵A 是空集,∴方程 mx2-2x+3=0 无解.∴△=4-12m<0,即 m>1.
3b0
②
由①得 c=3b-9,代入②整理得:(b-6)2=0,∴b=6,c=9.
故 a=-1,b=6,c=9.
技巧提示:由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的,因此要从集合中元素的特性和交、并集的
含义进行思考.
【例 5】设集合 A、B 是非空集合,定义 A×B={x|x∈A∪B 且 xA∩B},已知 A={x|y= 2x-x2},
描述法:用集合所含元素的特征性质描述集合. x I p(x) 表示集合 A 是由集合 I 中具有性质 p(x)