目标函数最值的求法
求非线性目标函数最值问题
7x 5y 23 0, 【自我矫正】不等式组 x 7y 11 0, 表示的平面区域为如图所示 4x y 10 0
△ABC的内部(包括边界),令z=x2+y2,则z即为点(x,y)到原点的距离的平方.
由
7x 5y 23 0,
x 7y 11 0,
为是求三点A,B,C到原点的距离的平方的最值.
【规避策略】
1.准确作图
在利用可行域求目标函数的最值时首先要利用约束条件作出可行域, 一定要准确,特别是边界一定要明确是否包含. 2.准确理解目标函数的几何意义 在求非线性目标函数的最值时,一定要准确理解目标函数的几何意义, 利用其几何意义结合可行域准确解题.
此时z=x2+y2=(-3)2+22=13, 而在原点处,
x 0, y 0,
此时z=x2+y2=02+02=0,
x 1, 所以当 时x2+y2取得最大值37, y 6 x 0, 当 时x2+y2取得最小值0. y 0
答案:37 0
得A点坐标(4,1),
此时z=x2+y2=42+12=17,
7x 5y 23 0, 由 4x y 10 0,
得B点坐标(-1,-6), 此时z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37,
x 7y 11 0, 由 得C点坐标(-3,2), 4x y 10 0,
求非线性目标函数最值问题
7x 5y 23 0, 2+y2的最大值为 【典例】(2015·保定模拟)已知 则 x x 7y 11 0, 4x y 10 0,
目标函数的几种极值求解方法
目标函数的几种极值求解方法在数学和优化领域中，目标函数是一个描述优化问题的函数，其目标是将该函数的值最小化或最大化。
目标函数的极值求解方法主要有以下几种方法：1.数值方法：数值方法是通过计算目标函数在一组特定点上的近似值来确定极值。
其中最简单的方法是取目标函数的一些特定点，并计算这些点上的函数值。
然后根据计算结果确定极值。
这些特定点通常是目标函数的极值点的近似值。
例如，可以使用微分方法来估计目标函数的极值点。
2.数学分析方法：数学分析方法是通过对目标函数进行数学分析来确定极值。
其中最常用的方法是求解目标函数的导数或二阶导数，并设置导数等于零来求解函数的极值点。
这个方法适用于一些简单的函数，例如多项式函数。
它可以精确地确定函数的极值点。
3.迭代方法：迭代方法是通过不断迭代目标函数来逼近极值。
迭代方法通常需要一个初始点，然后在每一步中更新该点，直到满足一些停止条件。
最常用的迭代方法是梯度下降法和牛顿法。
梯度下降法通过不断沿着函数的梯度方向进行迭代来逐渐接近极小值。
牛顿法将函数近似为一个二次函数，并使用二次函数的极值点来逼近原函数的极值点。
4.线性规划方法：线性规划方法是对一类特殊的目标函数进行极值求解的方法。
线性规划问题是指包含一组线性不等式或等式约束条件的目标函数的最小化或最大化问题。
线性规划方法可以通过求解线性规划问题的对偶问题来确定原问题的极值。
这个方法对于一些特殊的线性规划问题非常高效。
5.元启发式方法：元启发式方法是一种基于经验和启发式规则来确定目标函数极值的方法。
这些方法通常使用一些随机算法和优化算法，例如遗传算法、粒子群算法等。
元启发式方法通过不断目标函数的解空间来逼近极值。
总之，目标函数的极值求解方法有多种选择，可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。
不同的方法有不同的适用范围和计算复杂度，需要根据具体情况进行选择和调整。
目标函数的几种极值求解方法
目标函数的几种极值求解方法目标函数是数学模型中的一个重要部分，它描述了问题的目标或者优化方向。
在实际应用中，求解目标函数的极值是一个重要的问题。
这篇文章将介绍目标函数的几种极值求解方法。
一、解析法解析法是指通过对目标函数进行数学推导和分析，找到极值的解析表达式。
这种方法适用于目标函数是一些简单的函数形式的情况。
常见的解析法包括：1.导数法：通过计算目标函数的导数，找到导数为零的点，这些点即为目标函数的极值点。
2.二阶导数法：在导数法的基础上，继续计算二阶导数，通过二阶导数的正负性判断极值点的类型（极大值点还是极小值点）。
3.泰勒展开法：通过将目标函数在其中一点进行泰勒展开，得到一个近似的二次函数模型，在该模型上求解极值问题。
解析法的优点是求解速度快，得到的解析表达式可以直接进行数值计算。
但是，解析法只适用于特定的函数形式，对于复杂的目标函数，可能很难得到解析解。
二、迭代法迭代法是指通过不断迭代目标函数的其中一个起始点，逐步逼近极值点的方法。
迭代法的基本思想是通过不断更新目标函数的当前点，使其逐渐趋向极值点。
常见的迭代法包括：1.简单迭代法：选择一个适当的起始点，通过不断迭代目标函数，直至收敛到一些极值点。
2.牛顿法：通过利用目标函数的一阶和二阶导数信息，不断更新当前点，使其逐渐逼近极值点。
3.拟牛顿法：在牛顿法的基础上，通过近似估计目标函数的二阶导数，减少计算二阶导数的开销。
迭代法的优点是适用于一般的函数形式，可以通过不断迭代逼近任意精度的极值点。
但是，迭代法的收敛性和稳定性很大程度上依赖于初始点的选择和算法的设计，收敛速度也可能较慢。
三、启发式算法启发式算法是一类基于自然界中的一些现象、规律或者人类的智慧的算法。
它们通过模拟自然界中一些现象的过程，来求解优化问题。
启发式算法一般不保证找到全局最优解，但通常能找到较好的解。
常见的启发式算法包括：1.遗传算法：模拟自然界中生物的进化过程，通过随机选择、交叉和变异操作，不断优化种群的适应度，最终找到较优解。
线性目标函数的最值
线性目标函数的最值
在线性规划中，我们通常会遇到线性目标函数的最值问题。
线性目标函数是指由线性项组成的目标函数，其中每个变量的系数都是常数。
最值问题要求找出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
在解决线性目标函数的最值问题时，我们可以使用多种方法。
其中一种常用的方法是图形法。
首先，我们将目标函数表示为一个以变量为自变量的直线方程。
然后，我们将所有约束条件表示为线性不等式，并将它们绘制在一个二维坐标系中。
通过观察约束条件和目标函数在图中的关系，我们可以确定目标函数取得最大值或最小值的范围。
另一种解决线性目标函数最值问题的常用方法是单纯形法。
这是一种基于可行解空间的迭代算法，通过不断迭代改善当前解的目标函数值，直到找到最优解。
单纯形法利用了线性规划解的几何特性，通过在可行解空间中移动，逐步接近最优解。
当线性目标函数的变量较多或约束条件较复杂时，我们还可以使用线性规划软件来求解最值问题。
这些软件能够自动解决包含数百个变量和约束条件的线性规划问题，并给出最优解。
线性目标函数的最值问题在实际中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们需要确定如何安排资源以最大化利润或最小化成本。
在运输领域，我们需要确定如何最优地分配货物以最小化运输成本。
在金融领域，我们需要确定如何最优地分配投资以最大化收益。
总之，线性目标函数的最值问题是线性规划中的核心问题之一。
通过图形法、单纯形法或线性规划软件，我们可以解决这类问题，并得出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
这些方法在实际中有广泛的应用，能够帮助我们进行有效的决策和资源分配。
求函数最值的10种方法
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学） 设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内 可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值 和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导 数法．
【例 6】 函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
【例 3】 设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值 是______． （以后学） 分析 由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法 求a＋b的最值． 解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz
目标函数的最值怎么看
目标函数的最值怎么看目标函数的最值是指函数能达到的最大或最小的取值。
在数学建模和优化问题中，确定目标函数的最值非常重要，它能帮助我们找到最优解或最佳方案。
首先，确定目标函数的最值需要明确定义问题的目标和约束条件。
目标函数通常是一个数学表达式，它描述了问题的目标。
约束条件则是对问题的限制和限制条件。
在优化问题中，我们通常希望找到一个解使得目标函数最大化或最小化。
根据问题的具体定义，可以通过数学模型或问题的定义确定目标函数的具体形式。
一般来说，确定目标函数的最值存在两种常见的方法：解析法和数值法。
解析法是指通过解析方法求解目标函数的最值。
这种方法通常适用于目标函数是一个可导函数，并且问题的约束条件也是可导函数的情况。
通过求解目标函数的导数和约束函数的梯度，可以找到最值点。
最常见的解析方法包括拉格朗日乘子法、KKT条件等。
数值法是指通过数值计算方法求解目标函数的最值。
这种方法通常适用于目标函数和约束条件无法解析求解的情况。
数值方法通过迭代计算和数值优化算法，逐步逼近目标函数的最值。
最常用的数值方法包括梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。
确定目标函数的最值也需要考虑问题的特征和目标的要求。
例如，某些最优化问题可能存在多个局部最优解，但只有一个全局最优解。
在这种情况下，需要采用更为复杂的算法和策略，以尽可能接近全局最优解。
此外，一些问题可能存在多个目标函数，每个目标函数都有不同的最值。
在这种情况下，需要权衡不同的目标，并构建合适的目标函数组合，以达到问题的综合最优解。
在实际应用中，确定目标函数的最值也需要考虑计算资源的限制。
有时候，计算目标函数的最值可能需要消耗大量的计算时间和计算资源。
在这种情况下，需要采用更高效的算法或技术，以加速计算过程。
综上所述，确定目标函数的最值是解决数学建模和优化问题中的一个关键步骤。
通过合适的方法和策略，我们可以找到目标函数的最大或最小取值，从而得到问题的最优解或最佳方案。
求函数的最大值和最小值方法归纳总结
函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。
例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。
3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。
将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。
例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。
通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。
例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。
将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。
线性目标函数最优解的求解方法
线性目标函数最优解的求解方法线性规划中寻求最优解是解析几何的重点，也是难点。
现就如何利用可行域寻求最优解的常见方法作些探讨.一、 平移直线法平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等.例1变量x 、y 满足下列条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,0............2432...........3692..............122y x ③y x ②y x ①y x 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 ) 解析：作出约束条件的可行域（如图），由z=3x+2y 知223zx y +-=,于是作一系列与直线x y 23-=平行的直线，当直线223zx y +-=过图中的B 点时，2z取得最小值。
于是由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+6336922432y x y x y x ，从而知当⎩⎨⎧==63y x 时，z=3x+2y 取得最小值。
故选B 。
评析：解决线性规划中的最值问题的关键是：作出可行域，找出最优解。
二、代入检验法通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性.于是在有关选择题的线性规划中的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解。
例2，已知x 、y 满足约束条件：⎩⎨⎧≤+≤+3623242y x y x ，则Z=10x+15y 的最大值为（）A 195B 200C 210D 220解：解程组⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+963623242y x y x y x 从而代入Z=10x+15y 可得Z max =195,故选A 。
评析：代入检验法在涉及最优解为近似解或整格解的问题时，是一种行之有效的方法，具有其它方法不可替代的作用.三、 比较斜率法 平移法的缺陷在于，当可行域的顶点数较多时，不易直观地判断出哪个或哪几个顶点的坐标是最优解.这时若进一步考虑直线斜率的大小，则可以确定出最优解.例3 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300t 、B 种矿石不超过200t 、煤不超过360t .甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为xt 、yt ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0360942004515025y x y x y x y x 且Z=600x+1000y 作出约束条件所表示的平面区域（如左图），即可行域. 作直线l ：600x+1000y=0,即直线l ：3x+5y=0.因为94534525-<-<-<-，即k EN <k MN <k l <k FN ，所以把直线l 向上方移至m 的位置，直线经过可行域上的点M ，此时Z=600x+1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+3609420045x x y x 得M 的坐标x=29360=12.3，y=291000=34.5，代入计算得Z max =291216000． 答：应生产甲产品约12.3t,乙产品34.5t ，能使利润总额达到最大.评析：这是高中新教材第二册上册第七章，“简单的线性规划”一节中的例3（P62～63）,确定了直线斜率的大小，实质是确定了直线在向上平移的过程中，在经过可行域X 围内时，即可确定最优解。
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2. 欲求最大值或最小值的函数 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数 叫做目标函数. 目标函数
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2. 欲求最大值或最小值的函数 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数 叫做目标函数. 目标函数 又是x、 的一次解析式 的一次解析式， 由于 z=2x+y又是 、y的一次解析式， 又是 所以又叫线性目标函数 所以又叫线性目标函数. 线性目标函数
探究问题（三）
设工厂获得的利润为z， 设工厂获得的利润为 ，则z = 2x + 3y， ， ——求z的最大值。 求 的最大值 的最大值。
思考：1、如果将目标函数看成关于变量x,y的方程，它的 思考： 的方程， 几何意义是什么？ 几何意义是什么？ 2、z的几何意义又是什么？ 的几何意义又是什么？ 3、z的值因谁的变化而变化？你又能得到什么启 的值因谁的变化而变化？ 示
2.【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，由 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示， 图可知z＝ － 经过点 经过点A时 有最小值 经过点B 有最小值， 图可知 ＝3x－4y经过点 时z有最小值，经过点 有最大值． 时z有最大值．易求 有最大值 易求A(3,5)，B(5,3)，∴z最大＝3×5 ， ， × ＝－11. －4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－ × ＝ ， × － × ＝－
O
x
将上述不等式组表示成平面上的区域， （3） 将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴 影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产 影部分中的整点（坐标为整数） 安排。 安排。
y
4 3
M
o
4
8
x
• 探究问题（二）： 探究问题（ 进一步，若生产一件甲产品获利2 进一步，若生产一件甲产品获利2 万元，生产一件乙产品获利3万元， 万元，生产一件乙产品获利3万元， 采用哪种生产安排利润最大？ 采用哪种生产安排利润最大？ 若设工厂获得的利润为z，则z = 的最大值。 2x + 3y，即求z的最大值。
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3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 一般地， 条件下的最大值或最小值的问题， 条件下的最大值或最小值的问题，统称 线性规划问题. 为线性规划问题 4. 满足线性约束条件的解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解 叫做可行解 叫做可行解. 5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域 可行域.
方法总结： 方法总结：
解答线性规划问题的步骤： 解答线性规划问题的步骤： 第一步：建立数学关系式； 第一步：建立数学关系式； 第二步：根据约束条件画出可行域； 第二步：根据约束条件画出可行域； 第三步：令目标函数z=0，作出对应的直线 第三步：令目标函数 ， 第四步：在可行域内平行移动直线； 第四步：在可行域内平行移动直线；利用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵截 距最大或最小的直线从而找到最优解； 距最大或最小的直线从而找到最优解； 从而找到最优解 第五步：求出目标函数的最大值或最小值 第五步：求出目标函数的最大值或最小值.
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3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 一般地， 条件下的最大值或最小值的问题， 条件下的最大值或最小值的问题，统称 线性规划问题. 为线性规划问题 4. 满足线性约束条件的解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解 叫做可行解 叫做可行解. 5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域 可行域. 6. 使目标函数取得最大值或最小值的可行 最优解. 解，它们都叫做这个问题的最优解 它们都叫做这个问题的最优解
x + 2y ≤ 8 4x ≤16 4y ≤12 x ≥0 y ≥ 0 上一页
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 画出不等式组所表示的平面区域：
x + 2y ≤ 8 4x ≤16 4y ≤12 x ≥0 y ≥0
y
x =4
y=3 x+2y-8=0
O
x
x=4
M点是两条直线的交点，解方程组 点是两条直线的交点， 点是两条直线的交点
x = 4 x + 2y −8 = 0
得x=4 y=2, 此时2x+3y=14 此时2x+3y=14
所以每天生产甲产品4 所以每天生产甲产品4件，乙产品2件时， 乙产品2件时， 工厂可获得最大利润14万元 工厂可获得最大利润14万元 14
课堂练习：
1. ＋ ≤ ， x＋y≤3， － ≥ ， (2010 年高卷天津卷 设变量 x，y 满足约束条件x－y≥－1， 年高卷天津卷)设变量 ， y≥1， ≥， ) B．10 ． D．2 ． － ＋ ≥ ， x－y＋2≥0， － ＋ ≤ ， (2010 年高考山东卷 设变量 x、y 满足约束条件x－5y＋10≤0， 年高考山东卷)设变量 、 x＋y－8≤0， ＋－≤， 则目标函数 则目标函数 z＝4x＋2y 的 ＝ ＋ 最大值为( 最大值为 A．12 ． C．8 ． 2．变式训练 ．
【答案】 答案】
A
注意：z与对应直线在 y轴上截距的关系
如图)． 【解析】 由约束条件画出可行域 如图 ． 解析】 由约束条件画出可行域(如图 的坐标为(3,1)，z最大时，即平移 ＝－ 使直 最大时， ＝－ax使直 点C的坐标为 的坐标为 ， 最大时 即平移y＝－ 线在y轴上的截距最大 轴上的截距最大． 线在 轴上的截距最大．∴－a＜kCD， ＜ ＜－1， 即－a＜－ ，∴a＞1. ＜－ ＞
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3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 一般地， 条件下的最大值或最小值的问题， 条件下的最大值或最小值的问题，统称 线性规划问题. 为线性规划问题
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3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 一般地， 条件下的最大值或最小值的问题， 条件下的最大值或最小值的问题，统称 线性规划问题. 为线性规划问题 4. 满足线性约束条件的解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解 叫做可行解 叫做可行解.
z＝3x－4y 的最大值和最小值分别为 ＝ － 的最大值和最小值分别为 值和最小值分别为( ) A．3，－ ，－11 B．－ ，－ ．－3，－ ． ，－ ．－ ，－11 C．11，－ ． ，－ ，－3 D．11,3 ． ）
y≤x 全国） 的最小值为（ 3（全国）设变量 x 、 y 满足约束条件 x + y ≥ 2 ，则目标函数 z = 2 x + y 的最小值为（ y ≥ 3x − 6
x −5y = 3
5 x + 3 y = 15
3x+5y=0
例2 ：
5 x + 3 y ≤ 15, 若求z=x-2y的最大值和最小值呢？ y ≤ x + 1, 的最大值和最小值呢？ 变式1.若求 的最大值和最小值呢 变式 若求 y 5 1 z x − 5 y ≤ 3. ∵z = x −2y ⇒ y = x − 2 2
最小时， ∴ -z/2最小时，z最大 最小时 最大
y = x +1
-z/2最大时，z最小 最大时， 最小 最大时 故过点C时 最大 最大， 故过点 时，z最大， 过点B时 最小 最小. 过点 时，z最小 zmax=3 zmin=-3.5
B (1.5,2.5) 1 C o 3
5 x + 3 y = 15
A． 2 ．
B． 3 ．
C． 4 ．
D． 9 ．
4．(2011 广东卷 已知变量 x，y 满足约束条件 1≤x＋y≤4，－ ≤x－y≤2.若目标函数 z ． 广东卷)已知变量 ， ，－2≤ － ≤ 若目标函数 ≤ ＋ ≤ ，－ 仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的取值范围为 处取得最大值， 的取值范围为________． ＝ax＋y(其中 a＞0)仅在点 ＋ 其中 ＞ 仅在点 处取得最大值 ．
不等式组所表示的平面区域： 不等式组所表示的平面区域：
2 z 2 z ∵y = − x + , 表 k = − ,b = 的 线 示 直 3 3 3 3
y
所以当Z变化
时，可以得到一 组互相平行的直 线，而且当截距 z/3最大时 最大时， z/3最大时，z取 最大值。-8=0
例1 ： 的最大值和最小值,使 、 满足约束条件 求z=3x+5y的最大值和最小值 使x、y满足约束条件 的最大值和最小值
5 x + 3 y ≤ 15, y ≤ x + 1, x − 5 y ≤ 3.
Z max=17 Z min=-11
A(-2,-1)
y 5
y = x +1
B (1.5,2.5) 1 C o 3 x
【答案】 答案】
a＞1 ＞
知识小结：
• 1、熟悉本节有关概念。 • 2、简单线性规划问题的求解步骤。 • 3、需要注意的问题。
x − 5y = 3
x
的最值与对应直线在y轴上的截距有关 注：1、目标函数 的最值与对应直线在 轴上的截距有关。 、目标函数z的最值与对应直线在 轴上的截距有关。 A 2、目标函数的最优解有时是唯一的，有时是不唯一的 、目标函数的最优解有时是唯一的， (-2,-1) 3x+5y=0 甚至是无穷多个。 甚至是无穷多个。 变式2.使 取得最小值的最优解有几个? 变式 使z=x-y取得最小值的最优解有几个 取得最小值的最优解有几个
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探究问题（一）
• （1）如何用不等式组表示问题中的限制条件？ • （2）请画出不等式组所表示的平面区域。 • （3）对照平面区域，你能说出该厂可能的日生产安排 的几何意义是什么吗？
解决问题
（1）用不等式组表示问题中的限制条件： 用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产 品分别生产x 品分别生产x、y 件，由已知条件 可得二元一次不 等式组：
线性约束条件.
线性规划问题