点线面的投影规律总结
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简述直线上点的投影规律
简述直线上点的投影规律
直线上点的投影规律是指当一个点沿着一条直线移动时，它在垂直于该直线的平面上的投影的变化规律。
这里以一条水平直线作为例子进行说明。
1. 初始位置：当点位于直线上时，它的投影重合于直线上的相应位置。
2. 向上移动：当点沿直线向上移动时，其投影在直线上向上移动，但保持与初始位置的水平距离不变。
3. 向下移动：当点沿直线向下移动时，其投影在直线上向下移动，但同样保持与初始位置的水平距离不变。
4. 垂直投影：无论点在直线上的位置如何变化，其投影始终垂直于直线。
5. 投影长度变化：当点距离直线越远时，其投影在直线上的长度也相应增加。
通过以上规律，我们可以观察到点在直线上的投影变化是与该直线垂
直的平面上的投影。
这种规律在几何学、物理学等领域中都有广泛的应用，例如在光学中的成像原理、建筑设计中的阴影效果等。
直线上点的投影规律为我们理解和应用相关领域提供了基础。
点线面的投影工程图学
措施二 b" ab : cd不等于a'b': c'd‘
d b
举例： 试作一直线MN与AB、CD两直线相交 , 且平行 EF 能否作？有几条？
e ’
(m ’)
(a’) b’
d
’
分析
作图环节
X
f ’
c n’ ’
ac f
（1）过m’作直线 O m’n’平行e’f’
, 且与c’d’交于 (2) n’由n’求得n
复杂－－展为平面
1. 展开
V a
●
X
ax
a● H
Z
az
O
ay
Y
不动
W a
●
Y
ay
V a
●
X ax
向下翻
Z
向右翻
az
A
●
a● H
●a
O
W
ay
Y
2. 投影规律
Z
V
a
●
az
A
X ax
●
●a
W O
a●
ay
H Y
a ●
X ax
a●
Z az
a
●
O
Y
ay
ay
Y
从投影展开图能够看出: (1) aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
返回
§2.3 直线旳投影（续）
四、两直线旳相对位置
1. 两直线平行
b' d'
b
V
d
a
B
c
A
C
D
a' c'
a
c
c b
a
dH
d b
投影特征:
d b
举例： 试作一直线MN与AB、CD两直线相交 , 且平行 EF 能否作？有几条？
e ’
(m ’)
(a’) b’
d
’
分析
作图环节
X
f ’
c n’ ’
ac f
（1）过m’作直线 O m’n’平行e’f’
, 且与c’d’交于 (2) n’由n’求得n
复杂－－展为平面
1. 展开
V a
●
X
ax
a● H
Z
az
O
ay
Y
不动
W a
●
Y
ay
V a
●
X ax
向下翻
Z
向右翻
az
A
●
a● H
●a
O
W
ay
Y
2. 投影规律
Z
V
a
●
az
A
X ax
●
●a
W O
a●
ay
H Y
a ●
X ax
a●
Z az
a
●
O
Y
ay
ay
Y
从投影展开图能够看出: (1) aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
返回
§2.3 直线旳投影（续）
四、两直线旳相对位置
1. 两直线平行
b' d'
b
V
d
a
B
c
A
C
D
a' c'
a
c
c b
a
dH
d b
投影特征:
第3章 点线面的投影
b a a b a
b
投影特性：
三个投影都为类似 形。即: 都不反映空间 线段的实长及与三个投 影面夹角的实大，且与 三根投影轴都倾斜。
三、直线上点的投影
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或 判断已知点是否在直线上。
两直线相交吗？ ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 为什么？ 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
投影特性：
例：判断两直线的相对位置
c
1 a d d 1
相交吗？
b
X
a
c 1d
b
1c
判断两直线重影点的可见性
a k● b a
●
k
b
a k●
b
因k 不在a b 上， 故点K不在AB上。
另一判断法 如何判断 ? ?
应用定比定理
例3 ：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
a k
b
●
解法二： （应用定比定理）
a
a k
● ●
●
k● b
怎么做?
b
b
k● a
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a
A a c k b
注意：交点 为两直线共 有！
B c b k d
C
d K D d
k
a b
H
c
a c k
d
b
投影特性：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 (反之 用于判断） 。
点线面小结(工程制图基础)
A
E B
c
d
c b
直线和平面平行
• 几何条件
如果平面P 外的一条直线AB 与平面内的一条直线 平行,那么这条直线AB 和这个平面P 平行。 ∵ L∈P ；
L
A
L ∥AB ；
∴ AB ∥ P 。
B
反之，如果直线AB 与平面P 平行，那么在平面内 一定有一条直线与该直线AB 平行。
平面与平面平行
• 几何条件：
实长
α
α z 坐标差
水平投影
z 坐标差
实长
α
α
α
实长
z坐标差
实长
实长
水平投影 水平投影
z 坐标差 α
z 坐标差
两直线平行
两直线在空间平行则它们的各组同面投影必平行
即若AB∥CD B 则ab∥cd ； a’b’∥c’d’ 。
C A
D
c’ d’ X b’
a’
O d c
a d
b
c
b
a
两直线平行
① a a b c c b ② c d d c b a b
b m
c a n
b
m(n)
a
●
c
两平面相交
⑴ 两特殊位置平面 相交，根据交线的 投影特性分析交线 的空间位置，有时 可找出两平面的一 个共有点，画出交 线的投影。
a b e f
c
d a e c
d
b f
两平面相交
⑵ 一般位置平面与特殊 位置平面相交，可利 用特殊位置平面的积 聚性找出两平面的两 个共有点，求出交线。
平行于 面 （侧平线）
＝
反映 、实角
直线的位置
直 观 图
E B
c
d
c b
直线和平面平行
• 几何条件
如果平面P 外的一条直线AB 与平面内的一条直线 平行,那么这条直线AB 和这个平面P 平行。 ∵ L∈P ；
L
A
L ∥AB ；
∴ AB ∥ P 。
B
反之，如果直线AB 与平面P 平行，那么在平面内 一定有一条直线与该直线AB 平行。
平面与平面平行
• 几何条件：
实长
α
α z 坐标差
水平投影
z 坐标差
实长
α
α
α
实长
z坐标差
实长
实长
水平投影 水平投影
z 坐标差 α
z 坐标差
两直线平行
两直线在空间平行则它们的各组同面投影必平行
即若AB∥CD B 则ab∥cd ； a’b’∥c’d’ 。
C A
D
c’ d’ X b’
a’
O d c
a d
b
c
b
a
两直线平行
① a a b c c b ② c d d c b a b
b m
c a n
b
m(n)
a
●
c
两平面相交
⑴ 两特殊位置平面 相交，根据交线的 投影特性分析交线 的空间位置，有时 可找出两平面的一 个共有点，画出交 线的投影。
a b e f
c
d a e c
d
b f
两平面相交
⑵ 一般位置平面与特殊 位置平面相交，可利 用特殊位置平面的积 聚性找出两平面的两 个共有点，求出交线。
平行于 面 （侧平线）
＝
反映 、实角
直线的位置
直 观 图
4第四章点线面投影
b′ a′ b″ b′ a″ a′ b Z B b″
β γ α A
b a
a″
X
a
Y
直线的投影特性：
一般来说，直线的投影 仍然为直线。当直线垂直 于投影面时，直线的投影 则积聚为一点。
A B b C D E F
a c
d
e(f)
H
直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：
一般位置直线 —— 直线与三个投影面均倾斜。
b′
a′
△Z=15 △X=20 X=35
b″ a″
Z=10
b
a
Y=20 △Y=10
二、直线的投影(P51)
• 直线的投影
• 直线上的点
a′ V b′ β A b aH Y γ
Z B b″
W a″
• 两直线间的相对位置
X
α
1、直线的投影
直线的投影就是将直线上两端点投影求出，再将连接 同面投影即可得到。
1′ b′
k′
2′
c′
b 1 k 2
c
(三)平面上的点和直线
直线在平面上的几何条件： 若直线在平面上，则该直线 必通过平面上的两个已知点或通 过平面上的一个点且平行于平面 上某一直线。
V
b´
Z
B
b"
n´
点在平面上的几何条件： 若点在平面上，则该点必定位 于平面上的某一直线上。反之，若 一点位于平面上的某一直线上，则 该点必定位于平面上。 X
a ′ b ′ c ′z b ″a ″ c ″ a″ W c″
C
X
b
o
YW
x
a
H b
O
a
c
Y
c Y H
β γ α A
b a
a″
X
a
Y
直线的投影特性：
一般来说，直线的投影 仍然为直线。当直线垂直 于投影面时，直线的投影 则积聚为一点。
A B b C D E F
a c
d
e(f)
H
直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：
一般位置直线 —— 直线与三个投影面均倾斜。
b′
a′
△Z=15 △X=20 X=35
b″ a″
Z=10
b
a
Y=20 △Y=10
二、直线的投影(P51)
• 直线的投影
• 直线上的点
a′ V b′ β A b aH Y γ
Z B b″
W a″
• 两直线间的相对位置
X
α
1、直线的投影
直线的投影就是将直线上两端点投影求出，再将连接 同面投影即可得到。
1′ b′
k′
2′
c′
b 1 k 2
c
(三)平面上的点和直线
直线在平面上的几何条件： 若直线在平面上，则该直线 必通过平面上的两个已知点或通 过平面上的一个点且平行于平面 上某一直线。
V
b´
Z
B
b"
n´
点在平面上的几何条件： 若点在平面上，则该点必定位 于平面上的某一直线上。反之，若 一点位于平面上的某一直线上，则 该点必定位于平面上。 X
a ′ b ′ c ′z b ″a ″ c ″ a″ W c″
C
X
b
o
YW
x
a
H b
O
a
c
Y
c Y H
04 点、线、面的投影
四、作图
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角 2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角角
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角
AB
|zA-zB|
|zA-zB|
ab
O
AB AB |zA-zB |
ab
|zA-zB|
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
（解法1） （解法2） [例题7] 作正平线CD, 与直线AB相交于点D
[例题5] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段， 求分点C的投影c、c' 。
c'
c
[例题6（解法1）] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
bc
c' ca
[例题6（解法2）] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
(a')b'
a"
b"
a'
b'
a"(b ")
a'
a b(a) b
a
b
（2）物体上垂直线的投影分析
§4.3 直线上的点
一、属于直线的点的投影 二、例题
一、属于直线的点的投影
e'
E
e'
e
e
二、例题
[例题5] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段
[例题6] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影
d'
d
三、两交叉直线
1. 交叉直线的投影
2. 交叉二直线重影点投影的可见性判断
3. 例题
1. 交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
点线面的投影分析
一、点的投影分析
点的投影规律： (1)点的正面投影和水平投影的连线
垂直于OX 轴。即ss’⊥ OX
(2)点的正面投影和侧面投影的连线
垂直于OZ 轴。即s’s” ⊥ OZ (3)点的水平投影到OX轴的距离等于
侧面投影到OZ 的距离。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
一、点的投影分析
影面。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
三、平面的投影分析
1.一般位置平面 投影特性：
(1)三个投影都不 反映平面实形。 (2)三个投影均对 投影轴倾斜。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
平行于侧面的平面称为侧平面
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
3.投影面垂直面 投影特性：
(1)在所垂直的投 影面内投影积聚 为一段斜线。 (2)其他两个投影 面上的投影均为 缩小的类似形。
平行于侧面的直线称为侧平线
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
二、直线的投影分析
3.投影面垂直线 投影特性：
（1）在所垂直的 投影面上投影积 聚为一点。
（2）其他两个投 影面上的投影反 映实长，且分别 垂直于相应的投 影轴。
垂直于水平面的直线称为铅垂线
点的投影规律： (1)点的正面投影和水平投影的连线
垂直于OX 轴。即ss’⊥ OX
(2)点的正面投影和侧面投影的连线
垂直于OZ 轴。即s’s” ⊥ OZ (3)点的水平投影到OX轴的距离等于
侧面投影到OZ 的距离。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
一、点的投影分析
影面。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
三、平面的投影分析
1.一般位置平面 投影特性：
(1)三个投影都不 反映平面实形。 (2)三个投影均对 投影轴倾斜。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
平行于侧面的平面称为侧平面
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
3.投影面垂直面 投影特性：
(1)在所垂直的投 影面内投影积聚 为一段斜线。 (2)其他两个投影 面上的投影均为 缩小的类似形。
平行于侧面的直线称为侧平线
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
二、直线的投影分析
3.投影面垂直线 投影特性：
（1）在所垂直的 投影面上投影积 聚为一点。
（2）其他两个投 影面上的投影反 映实长，且分别 垂直于相应的投 影轴。
垂直于水平面的直线称为铅垂线
点线面正投影
影上kn为可见。
还可通过重影点判别可见性。
47
⑵ 直线为特殊位置
m
空间及投影分析
b
直线MN为铅垂线，其
k●
水平投影积聚成一个点，
a
c ●1(2)
故交点K的水平投影也积聚
n
在该点上。
b
作图
a
mk(●●n2) ● 1
e f e(f) ●
b
b
d
●
a(b)
c
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
13
⑶ 一般位置直线
b
b
投影特性：
a
a
a b
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实大，且与三根 投影轴都倾斜。
14
二、直线与点的相对位置
是什么位置
的平面？ a
b
b
类似性
c c a
积聚性
βc
b
γ
a
投影特性：
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面 与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
34
⒉ 投影面平行面
积聚性
a b
积聚性
c a c b
a
实形性
c
水平面
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
解法一:
a●
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
ax
a●
解法二:
用圆规直接量 取aaz=aax
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点线面的投影规律总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
2 点线面的投影规律
类型
投影规律
点 a'a ⊥OX 轴,a'a''⊥OZ 轴,aa YH
⊥Oa YH 轴,a''a YW ⊥Oa YW 轴,Oa YH =Oa YW
投影面平行线 两投影线分别平行于不同
轴，
根据实形斜线判断所平行的投影面，
斜线反映与另外两投影面夹角
投影面垂直线 两投影实长线平行于同一轴，
根据集聚点判断所垂直的投影面，
一般位置直线 三个投影都倾斜于投影轴， 均不反应夹角和实长 投影面平行面 两面投影积聚成线，且平行于不同轴，
根据实形面判定所平行的投影面
投影面垂直面 两面投影相仿，
根据积聚斜线判定所垂直的
投影面，
斜线反映与另外两投影面夹角
一般位置平面 三个投影都类似。