点线面的投影规律总结
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简述直线上点的投影规律
简述直线上点的投影规律
直线上点的投影规律是指当一个点沿着一条直线移动时，它在垂直于该直线的平面上的投影的变化规律。
这里以一条水平直线作为例子进行说明。
1. 初始位置：当点位于直线上时，它的投影重合于直线上的相应位置。
2. 向上移动：当点沿直线向上移动时，其投影在直线上向上移动，但保持与初始位置的水平距离不变。
3. 向下移动：当点沿直线向下移动时，其投影在直线上向下移动，但同样保持与初始位置的水平距离不变。
4. 垂直投影：无论点在直线上的位置如何变化，其投影始终垂直于直线。
5. 投影长度变化：当点距离直线越远时，其投影在直线上的长度也相应增加。
通过以上规律，我们可以观察到点在直线上的投影变化是与该直线垂
直的平面上的投影。
这种规律在几何学、物理学等领域中都有广泛的应用，例如在光学中的成像原理、建筑设计中的阴影效果等。
直线上点的投影规律为我们理解和应用相关领域提供了基础。
点线面的投影工程图学
措施二 b" ab : cd不等于a'b': c'd‘
d b
举例： 试作一直线MN与AB、CD两直线相交 , 且平行 EF 能否作？有几条？
e ’
(m ’)
(a’) b’
d
’
分析
作图环节
X
f ’
c n’ ’
ac f
（1）过m’作直线 O m’n’平行e’f’
, 且与c’d’交于 (2) n’由n’求得n
复杂－－展为平面
1. 展开
V a
●
X
ax
a● H
Z
az
O
ay
Y
不动
W a
●
Y
ay
V a
●
X ax
向下翻
Z
向右翻
az
A
●
a● H
●a
O
W
ay
Y
2. 投影规律
Z
V
a
●
az
A
X ax
●
●a
W O
a●
ay
H Y
a ●
X ax
a●
Z az
a
●
O
Y
ay
ay
Y
从投影展开图能够看出: (1) aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
返回
§2.3 直线旳投影（续）
四、两直线旳相对位置
1. 两直线平行
b' d'
b
V
d
a
B
c
A
C
D
a' c'
a
c
c b
a
dH
d b
投影特征:
d b
举例： 试作一直线MN与AB、CD两直线相交 , 且平行 EF 能否作？有几条？
e ’
(m ’)
(a’) b’
d
’
分析
作图环节
X
f ’
c n’ ’
ac f
（1）过m’作直线 O m’n’平行e’f’
, 且与c’d’交于 (2) n’由n’求得n
复杂－－展为平面
1. 展开
V a
●
X
ax
a● H
Z
az
O
ay
Y
不动
W a
●
Y
ay
V a
●
X ax
向下翻
Z
向右翻
az
A
●
a● H
●a
O
W
ay
Y
2. 投影规律
Z
V
a
●
az
A
X ax
●
●a
W O
a●
ay
H Y
a ●
X ax
a●
Z az
a
●
O
Y
ay
ay
Y
从投影展开图能够看出: (1) aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
返回
§2.3 直线旳投影（续）
四、两直线旳相对位置
1. 两直线平行
b' d'
b
V
d
a
B
c
A
C
D
a' c'
a
c
c b
a
dH
d b
投影特征:
第3章 点线面的投影
b a a b a
b
投影特性：
三个投影都为类似 形。即: 都不反映空间 线段的实长及与三个投 影面夹角的实大，且与 三根投影轴都倾斜。
三、直线上点的投影
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或 判断已知点是否在直线上。
两直线相交吗？ ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 为什么？ 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
投影特性：
例：判断两直线的相对位置
c
1 a d d 1
相交吗？
b
X
a
c 1d
b
1c
判断两直线重影点的可见性
a k● b a
●
k
b
a k●
b
因k 不在a b 上， 故点K不在AB上。
另一判断法 如何判断 ? ?
应用定比定理
例3 ：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
a k
b
●
解法二： （应用定比定理）
a
a k
● ●
●
k● b
怎么做?
b
b
k● a
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a
A a c k b
注意：交点 为两直线共 有！
B c b k d
C
d K D d
k
a b
H
c
a c k
d
b
投影特性：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 (反之 用于判断） 。
04 点、线、面的投影
四、作图
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角 2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角角
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角
AB
|zA-zB|
|zA-zB|
ab
O
AB AB |zA-zB |
ab
|zA-zB|
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
（解法1） （解法2） [例题7] 作正平线CD, 与直线AB相交于点D
[例题5] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段， 求分点C的投影c、c' 。
c'
c
[例题6（解法1）] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
bc
c' ca
[例题6（解法2）] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
(a')b'
a"
b"
a'
b'
a"(b ")
a'
a b(a) b
a
b
（2）物体上垂直线的投影分析
§4.3 直线上的点
一、属于直线的点的投影 二、例题
一、属于直线的点的投影
e'
E
e'
e
e
二、例题
[例题5] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段
[例题6] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影
d'
d
三、两交叉直线
1. 交叉直线的投影
2. 交叉二直线重影点投影的可见性判断
3. 例题
1. 交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
点线面的投影分析
一、点的投影分析
点的投影规律： (1)点的正面投影和水平投影的连线
垂直于OX 轴。即ss’⊥ OX
(2)点的正面投影和侧面投影的连线
垂直于OZ 轴。即s’s” ⊥ OZ (3)点的水平投影到OX轴的距离等于
侧面投影到OZ 的距离。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
一、点的投影分析
影面。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
三、平面的投影分析
1.一般位置平面 投影特性：
(1)三个投影都不 反映平面实形。 (2)三个投影均对 投影轴倾斜。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
平行于侧面的平面称为侧平面
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
3.投影面垂直面 投影特性：
(1)在所垂直的投 影面内投影积聚 为一段斜线。 (2)其他两个投影 面上的投影均为 缩小的类似形。
平行于侧面的直线称为侧平线
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
二、直线的投影分析
3.投影面垂直线 投影特性：
（1）在所垂直的 投影面上投影积 聚为一点。
（2）其他两个投 影面上的投影反 映实长，且分别 垂直于相应的投 影轴。
垂直于水平面的直线称为铅垂线
点的投影规律： (1)点的正面投影和水平投影的连线
垂直于OX 轴。即ss’⊥ OX
(2)点的正面投影和侧面投影的连线
垂直于OZ 轴。即s’s” ⊥ OZ (3)点的水平投影到OX轴的距离等于
侧面投影到OZ 的距离。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
一、点的投影分析
影面。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
三、平面的投影分析
1.一般位置平面 投影特性：
(1)三个投影都不 反映平面实形。 (2)三个投影均对 投影轴倾斜。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
平行于侧面的平面称为侧平面
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
3.投影面垂直面 投影特性：
(1)在所垂直的投 影面内投影积聚 为一段斜线。 (2)其他两个投影 面上的投影均为 缩小的类似形。
平行于侧面的直线称为侧平线
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
二、直线的投影分析
3.投影面垂直线 投影特性：
（1）在所垂直的 投影面上投影积 聚为一点。
（2）其他两个投 影面上的投影反 映实长，且分别 垂直于相应的投 影轴。
垂直于水平面的直线称为铅垂线
点线面正投影
影上kn为可见。
还可通过重影点判别可见性。
47
⑵ 直线为特殊位置
m
空间及投影分析
b
直线MN为铅垂线，其
k●
水平投影积聚成一个点，
a
c ●1(2)
故交点K的水平投影也积聚
n
在该点上。
b
作图
a
mk(●●n2) ● 1
e f e(f) ●
b
b
d
●
a(b)
c
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
13
⑶ 一般位置直线
b
b
投影特性：
a
a
a b
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实大，且与三根 投影轴都倾斜。
14
二、直线与点的相对位置
是什么位置
的平面？ a
b
b
类似性
c c a
积聚性
βc
b
γ
a
投影特性：
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面 与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
34
⒉ 投影面平行面
积聚性
a b
积聚性
c a c b
a
实形性
c
水平面
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
解法一:
a●
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
ax
a●
解法二:
用圆规直接量 取aaz=aax
点线面投影
两点中X值大的点 ——在左 两点中Y值大的点 ——在前 两点中Z值大的点 ——在上
1.3 重影点
a'
b'
被挡住的 投影加( )
(c')d' A B
被挡住的 投影加( )
C
D
A、B和C、D 分别为哪个投 影面的重影点 呢？
a(b)
c
d
1.3 重影点
被挡住的 投影加( )
b″
d″ c"
被挡住的 投影加( )
① 在与其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影反映线段实长，且垂直于相应 的投影轴。
判断线的空间位置 特殊位置直线的投影特征
X
O
3、从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线
返回
从属于V面的直线
返回
从属于V投影面的铅垂线
返回
从属于OX轴的直线
返回
Y
3 、 a b 与OX、OZ 的夹角反映α、 角的真实大小
返回
3 、侧垂面 b’
z
c’
b’’
β c’’ α
x
a’ b
c
o
a’’ Y
a
投影特性：1、 a’’b’’c’’积聚为一条线 2 、 a’b’c’、 a’b’c’为 ABC的类似形
Y
3 、 a’’b’’c’’与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小 返回
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a● ax
az
●a
通过作45°线 使aaz=aax
a● 解法二: 用分规直接量 取aaz=aax
a●
ax az
点、线、面与体的投影
应用：在工程和设计中，投影是重要的几何概念，用于描述物体表面的形状和轮廓。
平面方程的一般形式：Ax + By + Cz + D = 0
平面方程的参数形式：通过点P(x0, y0, z0)且与向量v=(A, B, C)垂直的平面方程 为：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
展览展示：利用投影技术，将展品或艺术品投影到屏幕上，让观众更全面地欣赏和了解
广告宣传：通过投影技术，将广告内容投影到建筑物、街道、车辆等物体上，吸引路人的注 意力
舞台演出：利用投影技术，将虚拟场景、人物、道具等投影到舞台上，增强演出的视觉效指点在垂直于平面的方向上向平面内投射形成的影子。
建筑图纸的规范与标准：介绍建筑图 纸的规范和标准，如制图比例、线型、 符号等，以及它们在实际应用中的作 用。
表达方式：点、线、 面与体的投影在工 程图样中的表示方 法
解读技巧：如何准 确理解工程图样的 投影关系和尺寸标 注
应用案例：介绍实际 工程中点、线、面与 体的投影在工程图样 中的应用实例
重要性：强调工程 图样的表达与解读 在工程建设中的重 要地位和作用
建筑图纸的绘制：点、线、面与体 的投影在实际建筑图纸中的应用， 如平面图、立面图和剖面图的绘制。
建筑图纸的投影原理：介绍投影的 基本原理，如正投影、斜投影等， 以及它们在建筑图纸中的应用。
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建筑图纸的解读：如何通过点、线、 面与体的投影来理解建筑图纸，如从 平面图解读房间功能、从立面图了解 建筑外观等。
直线投影的应用：在工程设计中，常常需要利用直线的投影变换来绘制三维物体 的二维图形，或者根据二维图形想象出三维物体的形状。
平面方程的一般形式：Ax + By + Cz + D = 0
平面方程的参数形式：通过点P(x0, y0, z0)且与向量v=(A, B, C)垂直的平面方程 为：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
展览展示：利用投影技术，将展品或艺术品投影到屏幕上，让观众更全面地欣赏和了解
广告宣传：通过投影技术，将广告内容投影到建筑物、街道、车辆等物体上，吸引路人的注 意力
舞台演出：利用投影技术，将虚拟场景、人物、道具等投影到舞台上，增强演出的视觉效指点在垂直于平面的方向上向平面内投射形成的影子。
建筑图纸的规范与标准：介绍建筑图 纸的规范和标准，如制图比例、线型、 符号等，以及它们在实际应用中的作 用。
表达方式：点、线、 面与体的投影在工 程图样中的表示方 法
解读技巧：如何准 确理解工程图样的 投影关系和尺寸标 注
应用案例：介绍实际 工程中点、线、面与 体的投影在工程图样 中的应用实例
重要性：强调工程 图样的表达与解读 在工程建设中的重 要地位和作用
建筑图纸的绘制：点、线、面与体 的投影在实际建筑图纸中的应用， 如平面图、立面图和剖面图的绘制。
建筑图纸的投影原理：介绍投影的 基本原理，如正投影、斜投影等， 以及它们在建筑图纸中的应用。
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建筑图纸的解读：如何通过点、线、 面与体的投影来理解建筑图纸，如从 平面图解读房间功能、从立面图了解 建筑外观等。
直线投影的应用：在工程设计中，常常需要利用直线的投影变换来绘制三维物体 的二维图形，或者根据二维图形想象出三维物体的形状。
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点线面的投影规律总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
点线面的投影规律 类型 投影规律 点 a'a ⊥OX 轴,a'a''⊥OZ 轴,aa YH
⊥Oa YH 轴,a''a YW ⊥Oa YW 轴,Oa YH =Oa YW
投影面
平行线 两投影线分别平行于不同
轴，
根据实形斜线判断所平行的投影面，
斜线反映与另外两投影面夹角
投影面
垂直线 两投影实长线平行于同一轴，
根据集聚点判断所垂直的投影面，
一般位置直线 三个投影都倾斜于投影轴， 均不反应夹角和实长
投影面
平行面 两面投影积聚成线，且平行于不同轴，
根据实形面判定所平行的投影面
投影面
垂直面 两面投影相仿，
根据积聚斜线判定所垂直的
投影面，
斜线反映与另外两投影面夹角
一般位置平面 三个投影都类似。