高中物理竞赛辅导讲义 动量

高中物理竞赛辅导讲义

第4篇 动量

【知识梳理】 一、动量p

（1）定义：物体的质量m 与速度v 的乘积叫做物体的动量。即p =mv 。 （2）意义：描述物体的运动状态。

（3）性质：①矢量性：方向与速度方向相同。遵守平行四边形定则。

②瞬时性：是状态量，与时刻相对应。 ③相对性：中学以地面为参考系。

（4）单位：kg ·m/s 。（导出单位） 二、冲量

（1）定义：力和力的作用时间的乘积叫冲量。即I =Ft 。 （2）意义：力对时间的积累效果。

（3）性质：①矢量性：方向与力的方向相同。遵守平行四边形定则。

②时间性：是过程量，与一段“时间”相对应。 ③绝对性：与参考系无关。

（4）单位：Ns 。（导出单位） 三、动量定理

（1）内容：物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化。Ft =Δp 。 （2）推导：F ma =，21v v at -=

（3）注意：①Ft 是合外力的冲量或总冲量。

②等式两边都是矢量，等式反映“冲量和动量变化大小相等，方向相同”。 ③适用于低速运动的宏观物体与高速运动的微观粒子。 （4）用动量表示牛顿第二定律：物体动量的变化率等于它受到的合外力。p F t

?=

?。 四、动量守恒定律

1．内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。

2．推导：用动量定理和牛顿第三定律推导

1111v m v m t F -'=?；2222v m v m t F -'='?；F F -='；22112211v m v m v m v m +='+'。

3．理解：

（1）守恒条件：系统不受外力或所受外力的合力为零。要区分内力和外力。 （2）守恒含义：任一时刻系统总动量相同，不只是初末状态相同。

（3）系统性：指系统的总动量守恒，不是系统内每个物体的动量守恒。每个物体的动量可以发生很大的变化。

（4）相对性：各物体的动量，都是同一惯性参考系（一般以地面为参考系）。

（6）矢量性：①动量守恒，不只是总动量大小不变，方向也不变。②若系统所受合外力不为零，但系统在某一方向上的合力为零，则在这一方向上系统的动量守恒。

（7）普适性：动量守恒适用于满足条件的相互作用的各种情况。包括宏观和微观，高速和低速。 五、碰撞

1．弹性碰撞和非弹性碰撞

（1）如果碰撞过程中机械能守恒，这样的碰撞叫做弹性碰撞。 （2）如果碰撞过程中机械能不守恒，这样的碰撞叫做非弹性碰撞。 2．特点：作用时间很短，内力变化很快，峰值很大，动量守恒。 3

4情形1：m 1、v 1与静止的m 2弹性碰撞。

方程：动量守恒''221111v m v m v m +=，动能不损失222211211'2

1'2121v m v m v m +=。

结果：121211'v m m m m v +-=，121122'v m m m v +=。

讨论：碰撞后，m 1是否回头。

情形2：m 、v 1与m 、v 2弹性碰撞。

方程：''2121mv mv mv mv +=+；22212

221'2

1'212121mv mv mv mv +=+。

结果：v 1'=v 2，v 2'=v 1。即碰撞后两者速度交换。

情形3：m 1、v 1与m 2、v 2弹性碰撞。

方程：''22112211v m v m v m v m +=+，2222112

22211'2

1'212121v m v m v m v m +=+。

结果：22121212112'v m m m v m m m m v +++-=，12

112211222'v m m m v m m m m v +++-=。

5．完全非弹性碰撞研究

方程：v m m v m v m )(212211+=+，

结果：2

12211m m v m v m v ++=；动能损失最大：)(2)

(212

2121m m v v m m E +-=?

6．对心碰撞和非对心碰撞

两小球碰撞之前的运动速度与两球心连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线。这种碰撞称为正碰，也叫对心碰撞。

两小球碰撞之前的运动速度与两球心连线不在同一条直线上，碰撞之后两球的速度都会偏离原来两球心的连线。这种碰撞称为非对心碰撞。 六、反冲

根据动量守恒定律，如果一个静止的物体在内力的作用下分裂为两个部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反的方向运动。这个现象叫做反冲。

喷气式飞机和火箭的飞行应用了反冲原理，它们都是靠喷出气流的反冲作用而获得巨大速度的。 七、质心

设n 个质点组成的系统，质量分别为m 1，m 2，…，m n ，位矢分别为1r ，2r ，…，n r

，定义

1

n

C i i m m ==∑（系统总质量） 1

1

n C i i C

i r m r m ==∑

（质心位矢）

可以证明，质心C （m C ，C r

）可以代表整个系统的运动状况。 C r

可表示为分量式：1

1

n

C i i C

i x m x m ==∑，1

1n

C i i C i y m y m ==∑，1

1n

C i i

C i z m z

m ==∑。

质心速度、加速度、动量：1

1n

C i i C i v m v m ==

∑ ，1

1n C i i C i a m a m ==∑

，1

n C C C i i P m v P ===∑ 。

八、质心运动定理

质点系的质心运动和一个位于质心的质点的运动相同，该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平行地移到这一点上。

1．质点系牛顿第二定律：（外力矢量和）1

n i C C i F F m a ===∑

2．质点系动量定理：1

n i C i I I p ===?∑

3．质点系动量守恒定律：当质点系所受外力的总冲量为零时，质点系的动量守恒。

（1）如果一个质点系的质心原来是不动的，那么在无外力作用的条件下，它的质心始终不动，即位置不变。

（2）如果一个质点系的质心原来是运动的，那么在无外力作用的条件下，这个质点系的质心将以原来的速度做匀速直线运动。

（3）如果一个质点系的质心在某一个外力作用下做某种运动，那么内力不能改变质心的这种运动。比如某一物体原来做抛体运动，如果突然炸成两块，那么这两块物体的质心仍然做原来的抛体运动。 九、力矩

（1）力对轴的力矩 力臂=力×力臂

（2）力对参考点的力矩 M r F =?

从参考点指向力的作用点的矢量r 与作用力F 的矢积。

十、角动量

为了描述质点相对某一参考点的运动，可仿照力矩的定义引入动量矩的概念。

从给定的参考点指向质点的矢量和质点动量的矢积称为质点对于参考点的的动量矩。 L r p =?

动量矩又称角动量。角动量是矢量，方向由右手螺旋定则确定。 十一、冲量矩

仿照力对时间的积累效应叫冲量，引入冲量矩的概念。

力对时间的积累效应Mt

叫做冲量矩。。 十二、质点角动量定理

质点对任参考点的角动量的增量等于外力的冲量矩。21M t L L ??=- 。

质点对参考点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。L M t

?=? 。 注意力矩和角动量必须都是对同一个固定点。

十三、角动量守恒定律

当质点所受外力对固定参考点（简称定点）的力矩为零时，质点对该点的角动量守恒。 【例题选讲】

1．物体受到的冲量越大，则物体的（ ）

A ．动量一定越大

B ．动量的变化一定越大

C ．动量的变化率一定越大

D ．速度一定越大

2．对于任何运动物体(如汽车)，用不变的力制动使它停下来，需要的时间决定于物体的A ．速度 B ．加速度 C ．动量 D ．质量（ ） 3．关于冲量和动量，下列说法中哪些是错误的是（ ） A ．冲量是反映力对作用时间积累效果的物理量 B ．冲量是物体动量变化的原因

C ．动量是描述物体运动状态的物理量

D ．冲量方向与动量方向一致

4．一粒钢珠从静止状态开始自由下落，然后陷入泥潭中，若把在空中下落的过程称为I，进入泥潭直到停住的过程称为II，则（ ） A ．过程I 中钢珠动量的改变量等于过程I 重力的冲量

B ．过程II 中阻力的冲量的大小等于过程I 中重力的冲量大小

C ．过程II 中阻力的冲量大小等于过程I 与过程II 中重力的总冲量大小

D ．过程II 中钢珠动量的改变量等于阻力的冲量

5．一个质量为0.18kg的垒球，以25m/s的水平速度飞向球棒，被棒打击后，反向水平飞回，速度的大小为45m/s。若球棒与垒球的作用时间为0.01s，球棒对垒球的平均作用力有多大？

6．质量为m=5kg的重物，从距地面H=5m高处落下，与地面撞击后反弹的最大高度为h=0.2m，以上过程共历时t=1.25s，试求物体对地面的平均作用力大小。重力加速度g=10m/s2。

7．质量m=1kg的物体以初速度v0=15m/s做平抛运动，试求：（1）抛出后2s末的速度；（2）抛出后2s内动量的变化量；（3）抛出后任意1s内的动量变化量。

8．一质量为m、长为l的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台秤秤盘接触，如图所示。某时刻放开柔软绳上端，使其自由落在秤盘上。求当绳子中长度为x的一段已经落在秤盘上时台秤的读数以及台秤的最大读数。

9．一根均匀柔软绳长为l=3m，质量为m=3kg，悬挂在天花板的钉子上，且下端刚好接触地板。现将软绳的最下端拾起与上端对齐，使之对折起来，然后让它无初速地自由落下，如图所示，求下落的绳端离钉子的距离为x时，钉子对绳另一端的作用力是多少？重力加速度g取10m/s2。

x

10．盛满水的碗置于倾盆大雨中。其表面面积为500cm 2。雨以5m/s 的速率竖直下降，单位面积上的质量增率为10?3 g/cm 2·s 。若过量的水，以可忽略的速度从碗内溢出，求因下雨所产生的作用在碗上的力。

思考：若碗以2m/s 的速度匀速向上运动，则因下雨所产生的作用在碗上的力又是多大？

11．由喷泉中喷出的水柱，把一个重为G 的垃圾桶倒顶在空中。水以速率v 0、恒定的质量增率（即单位时间喷出的质量）λ从地面射向空中。求垃圾桶可停留的最大高度。设水柱喷到桶底后以相同的速率反弹。

12．长为l 、质量为m 的一根柔软绳子盘放在水平桌面上，用手将绳子一端以恒定的速率v 向上提起，求当提起高度为x 时，手的提力。

13．如图所示，自动称米装置准备称米M kg ，米出口处离容器装满M kg 米时的高度为h ，设出口处米的初速度为0，米的流量为m kg/s ，当台秤称重达M kg 加容器重量时，装置能及时在米出口处切断米流，问这种装置是否正确？说明依据。 x F

v

14．如图所示，长1m 横截面积0.3cm 2的玻璃管，下端弯为直角，上端接水龙头。如果水的流速是2m/s ，水管的质量是80g ，求玻璃管偏离竖直线的角度，橡皮管弹性不考虑。

15．质量分别为m 1、m 2和m 3的三质点A 、B 和C 位于光滑水平桌面上，用已拉直的、不可伸长的柔软轻绳AB 和BC 连接，∠ABC =π?α，α为一锐角，如图所示。今有一冲量为I 的冲击力沿BC 方向作用于质点C ，求质点A 开始运动时的速度。

16．在光滑水平面上，质量m 1=3kg 的物块甲以速率v 1=6m/s 向东运动，质量m 2=2kg 的物块乙以速率v 2=5m/s 向西运动，某时刻两物块发生碰撞，结果甲物块被反弹回头，速率v 1′=1m/s 。试求乙物块的速度。

17．如图所示，质量为0.95kg 的木块用长为L =1.6m 的细线悬挂在空中，细线能承受的最大拉力为20N ，用一颗质量为m =50g 的子弹沿水平方向击中木块并留在其中，要使细线能断，子弹的速度至少多大？g 取10m/s 2。

I

C A B

α

18．质量为M 的小木球放在支架上，有一质量为m 的子弹以速度v 0竖直向上穿过木球，穿出后子弹又上升了h 高度，求小木球上升的高度。

19．将质量为m 的铅球以大小为v 0仰角为θ的初速度抛入一个装砂子的总质量为M 的静止砂车中，砂车与地面的摩擦力不计，球与砂车的共同速度等于多少？

20．如图所示，甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和他的冰车的质量共为M =30kg ，乙和他的冰车的总质量也是30kg 。游戏时，甲推着一个质量为m =15kg 的箱子，和他一起以大小为v 0=2.0m/s 的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相对于地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞。

21．有n 个完全相同的物块放在光滑水平面上沿一直线排开，物块间的距离均为d ，开始时物块1以初速度v 0向物块2运动，碰撞后粘在一起，又向物块3运动，粘在一起又向物块4运动……如此下去，试求： （1）物块n 的最终速度。

（2）从物块1开始运动到物块n 开始运动所需要的时间（忽略每次碰撞所用的时间）。 v 0 甲

乙

22．在光滑的水平桌面上，有n 个体积相同的弹性小球，静止地排列在一条直线上，如图所示，其中1球质量为2m ，其余（n －1）个球的质量都为m 。若1球沿该直线方向以初速v 0碰2球，接着2球碰撞3球……，且各球碰撞时都无机械能损失，设桌面足够长。求： （1）第n 球被碰后的速度。

（2）1球的最终速度。 23．如图所示，三个质量均为m 的弹性小球用两根长均为L 的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上。现给中间的小球B 一个水平初速度v 0，方向与绳垂直。小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长。求：

（1）当小球A 、C 第一次相碰时，小球B 的速度。 （2）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B 的速度。 （3）运动过程中小球A 的最大动能E k A 和此时两根绳的夹角θ。 （4）当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F 的大小。

24．一块足够长的木板，放在光滑水平面上。在木板上自左向右放有序号是1，2，3，…，n 的木块，所有木块的质量均为m ，与木板间的动摩擦因数都相同。开始时，木板静止不动，第1，2，3，…，n 号木块的初速度分别为v 0，2v 0，3v 0，…，nv 0，方向都向右，如图所示。木板的质量与所有木块的总质量相等，最终所有小木块都与木板以相同的速度匀速运动。求： （1）在整个过程中木板运动的最大速度。 （2）第k 号木块的最小速度v k 。

1 2 3 …… n

4 L L v 0

A B

C

25．如图所示，质量相同的两只船静止在湖面上，水的阻力不计，A 船上有一个人，当他从A 船跳到B 船，又从B 船跳到A 船后，此时A 船的速率v A 与B 船的速率v B 的关系是（ ） A ．v A =v B B ．v A >v B C ．v A

26．质量相同的A 、B 、C 三个木块从同一高度由静止释放，A 自由下落，B 在刚释放时刻被一颗水平飞来的子弹击中并留在其中，C 在下落到一半高度时，被另一颗水平飞来的子弹击中并留在其中，则A 、B 、C 落地时间的关系是（ ） A ．t A =t B =t C B ．t A =t B t B >t C 27．有A 、B 两个小球，在光滑水平面上沿同一直线同一方向运动，A 球的动量是10kg·m/s ，B 球的动量是6kg·m/s ，若碰撞后A 球的动量为12kg·m/s ，则A 、B 两球的质量m A 、m B 的关系可能是（ ）

A ．m A /m

B =2 B ．m A /m B =2.5

C ．m A /m B =3

D ．m A /m B =3.5

28．如图所示，光滑水平面上质量为M 的小车上站着质量为m 的人，一起以速度v 0向右运动。突然人以大小为u 相对于车向左的水平速度从车上跳下，求人跳下后车的速度v 。

29．如图所示，静止在光滑水平面上的小车质量为M=20kg 。从水枪中喷出的水柱，横截面积为S=10cm 2，速度为v =10m/s ，水密度为ρ=1.0×103kg/m 3。若用水枪喷出的水从车后沿水平方向冲击小车的前壁，且冲击到小车前壁的水全部沿前壁淌入小车中。当有质量为m =5.0kg 的水进入小车时，试求：

（1）小车的速度大小。 （2）小车的加速度大小。

30．小车静置在光滑水平面上，站在车上的人练习打靶，人站在车的一端，靶固定在车的另一端，与枪口相距为d ，如图所示，已知车、人、靶和枪的总质量为M （不包括子弹），每颗子弹质量为m ，共n 发，打靶时每颗子弹击中靶后，就留在靶内，且待前一发击中靶后，再打下一发，打完n 发后，小车移动的距离为多少？

A B v 0

m

u M

水枪 水柱 车

前 壁

靶 d

θ

m M

31．质量为M的火箭正以速度v0水平飞行，若以相对自身的速率u向相反方向喷出质量为m的气流，火箭的速度变为多少？在此过程中，系统的机械能增加多少？

32．如图所示，质量为m的小木球，从高为h、质量为M的光滑斜面顶端滑下，斜面倾角为θ，放在光滑桌面上，当m滑到底面时，求：（1）M后退的距离；（2）m对M做的功。

33．一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动。设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，狗跳离雪橇时相对于雪橇的速率总为u，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg。

（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。

（2）求雪橇最终连度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。

（供使用但不一定用到的对数值：lg2=0.301，lg3=0.477）

34．如图所示，质量M = 2 kg 的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m = 1 kg 的小球通过长L = 0.6 m 的轻质细杆与滑块上的光滑轴O 连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O 轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v 0 = 6 m/s ，g 取10 m/s 2。 （1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P 时对轻杆的作用力大小和方向。

（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时对轻杆的作用力大小和方向。

（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。

35．一段凹槽A 倒扣在水平长木板C 上，槽内有一小物块B ，它到槽两内侧的距离均为L /2，如图所示。木板位于光滑水平的桌面上，槽与木板间的摩擦不计，小物块与木板间的摩擦系数为μ。A 、B 、C 三者质量相等，原来都静止。现使槽A 以大小为v 0的初速向右运动，已知v 0<2μgL 。当A 和B 发生碰撞时，两者速度互换。求：

（1）从A 、B 发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间内，木板C 运动的路程。 （2）在A 、B 刚要发生第四次碰撞时，A 、B 、C 三者速度的大小。

36．用质量为M 的铁锤沿水平方向将质量为m 、长为l 的铁钉敲入木板，铁锤每次以相同的速度v 0击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离。在每次受击进入木板的过程中，钉所受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的k 倍（k >1）。

(1)若敲击三次后钉恰好全部进入木板，求第一次进入木板过程中钉所受到的平均阻力。 (2)若第一次敲击使钉进入木板深度为l 1，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板？并就你的解答讨论要将钉全部敲入木板，l 1必须满足的条件。

P O L m

v 0

A

B

C v 0 L /2 L /2

37．如图所示，在固定的水平光滑横杆上，套着一个质量为M 的环，一条轻绳一端系连于环，另一端系一质量为m 的小球，绳长为L ，开始时，将系球的绳拉直并拉到与横杆平行的位置，然后将小球释放，试求： （1）摆球摆到最低点时的速度。（2）摆球摆到最低点时，线的拉力。 （3）环振动的振幅。（4）小球运动轨迹是什么形状。

38．如图所示，三个小球A 、B 、C 静止放在光滑水平桌面上，B 在A 、C 之间，如果各球之间的碰撞均为完全弹性正碰，现使A 球以速度v 0撞击B 球，B 球又撞击C 球，如果A 、C 两球质量m 1、m 3确定，则B 球质量m 2为多少时可使C 球获得的速度最大？

39．碰撞后动能之和等于碰撞前动能之和的碰撞称为弹性碰撞。

（1）质量分别为m 1、m 2的两个物体，碰撞前速度为v 10、v 20，如图（a ）所示，碰撞后速度分别记为v 1、v 2，如图（b ）所示。假设碰撞是弹性的，试列出可求解v 1、v 2的方程组，并解之。 （2）光滑的水平桌面上，平放着一个半径为R 、内壁光滑的固定圆环。质量分别为m 、2m 、m 的小球A 、B 、C 在圆环内侧的初始位置和初始速度均在图（c ）中标出，注意此时B 球静止。已知尔后球间发生的碰撞都是弹性的，试问经过多长时间后，A 、B 、C 又第一次恢复到图（c ）所示的位置和运动状态。

m 1

m 2

v 10>v 20 m 1

m 2 v 2≥v 1

v

3v 0

m m A C B 2m

R

图（a

）

图（b ）

图（c ）

m 1 m 2 m 3 A v 0 B C

40．如图所示，质量为m的小球放在质量为M的大球顶上，从高h处释放，紧挨着落下，撞击地面后跳起。所有的碰撞都是完全弹性碰撞，且都发生在竖直轴上。求：

（1）小球弹起可能达到的最大高度？

（2）如在碰撞后，物体M静止，则M与m质量之比应为多少？在此情况下，物体m升起的高度为多少？

41．如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n（n=1，2，3…）。每人只有一个沙袋，x>0一侧的每个沙袋质量为m=14kg，x<0一侧的每个沙袋质量m'=10kg。一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行，不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数）。（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？

（2）车上最终有大小沙袋共多少个？

42．质量为m的小球通过细绳悬挂于固定点O，小球以速率v在水平面上作匀速圆周运动，细绳与铅垂线的夹角为θ，如图所示。求小球从图中A点运动到B点过程中绳子张力的冲量大小。

43．小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B处在位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m，并用长L、不可伸长、无弹性的轻绳相连，如图所示。开始时A、B间的距离为L/2，A、B间连线与小槽垂直。今给滑块A一冲击，使其获得平行于槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度。

44．如图所示，长为L的轻杆两端分别固定相同的小球A和B，开始时系统竖直放在光滑的水平桌面上。系统受外界微扰而在竖直面内倒下，试求当A球着地时：（1）两球的速度；

（2）两球的路程。

45．如图所示，长为L的均匀直杆竖立在光滑的水平桌面上，若从静止自由倒下，求当A 端着地时，（1）A端的着地速度；（2）两端的路程。

46．质量为1kg的箱子静止在光滑水平面上，箱底长度为l=1m，质量为1kg的小物体从箱子中央以v0=5m/s的速度开始运动，如图所示。物体与箱底的动摩擦因数为0.05，物体与箱壁发生完全弹性碰撞，问小物体可与箱壁发生多少次碰撞？当小物体在箱中刚达到相对静止时，箱子在水平面上的位移是多少？

47．一火箭竖直向上发射，当它到达飞行最高点时炸裂成三个等质量的碎片。观察到其中一块碎片经时间t1笔直下落到地上，而其它两块碎片在炸裂后的t2时刻落到地上。求发生炸裂时的高度h（t1，t2）的表达式。设在火箭到达的高度，重力加速度仍为常量g。