浙教版-数学-九年级上册-圆的知识点小结
圆的知识点小结
(1) (2)
(3) (4)
(4) ∵ CD=AD=BD ∴ ΔABC 是RtΔ
5．圆内接四边形性质定理:
圆内接四边形的对角互补， 并且任何一个外角都等于 它的内对角.
几何表达式举例： ∵ ABCD 是圆内接四边形
∴ ∠CDE =∠ABC
∠C+∠A =180°
几何B 级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题) 一 基本概念：
圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、扇形、圆锥不、侧面积、全面积 二 定理：
1． 不在一直线上的三个点确定一个圆.
2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式：
1．有关的计算：(1)圆的周长C=2πR ；(2)弧长L=
180
R
n π；(3)圆的面积S=πR 2. (4)扇形面积S 扇形 =LR 2
1
360R n 2=π；(5)弓形面积S
弓形
=扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面
积.(如图)
2．圆柱与圆锥的侧面展开图：
(1)圆柱的侧面积：S圆柱侧=2πrh；(r:底面半径；h:圆柱高)
1. (L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径)
(2)圆锥的侧面积：S圆锥侧=LR
2
四常识：
1．圆是轴对称和中心对称图形.
2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.
3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；
三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心. 7．关于圆的常见辅助线：。
圆心角与圆周角(4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
圆心角与圆周角（4种题型）【知识梳理】一．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．二．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．三．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．四．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．【考点剖析】一．圆心角、弧、弦的关系（共9小题）1．（2023•杭州二模）如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（）A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙OC．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°【分析】过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到＝，于是得到＝＝，推出AE＝BE ＝BC，根据三角形的三边关系得到2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；【解答】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，则＝，∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE＝AOB，∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，∴＝＝，∴AE＝BE＝BC，∴2BC＞AB，故C错误；∵OA＝OB＝OC，∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；∵∠BOE＝∠BOC＝AOB，∵∠BOE+∠OBA＝90°，∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是．【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出∠BOD＝∠AOE＝32°，再根据对顶角相等，可推出∠AOC＝∠BOD＝32°，最后用∠COE＝∠COA+∠AOE即可求解．【解答】解：∵，∠AOE＝32°，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠AOC＝∠BOD＝32°，∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝32°+32°＝64°．故答案为：64°．【点评】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键．3．（2022秋•越城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O 的周长为（）A．4πB．6πC．8πD．9π【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC ＝4cm；然后由圆的周长公式进行计算．【解答】解：如图，连接OC、OD∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝DA＝4，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4，∴⊙O的周长＝2×4π＝8π．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等．4．（2023•越城区模拟）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝140°，则∠BOC的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案．【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，∵∠DOE＝140°，∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°，∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．（2023•路桥区校级二模）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是．【分析】如图，连接OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连接AT，ET．利用勾股定理求出AT，再证明△OCD≌△TCE（SAS），推出ET＝OD＝8，由AE≥AT﹣ET＝4﹣8，可得结论．【解答】解：如图，连OD，以OC为边向下作正方形OCTH，连AT，ET．∵OA＝OB＝8，OC＝CB＝CT＝OH＝HT＝4，∴AH＝AO+OH＝12，∴AT＝＝＝4，∴∠OCT＝∠ECD＝90°，∴∠OCD＝∠RCE，在△OCD和△TCE中，，∴△OCD≌△TCE（SAS），∴ET＝OD＝8，∴AE≥AE﹣ET＝4﹣8，∴AE的最小值为4﹣8．故答案为：4﹣8．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．6．（2023•宁波模拟）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中AD长度为米，BC长度为米，圆心角∠AOD＝60°，则裙长AB 为．【分析】由题意知，＝＝，＝＝计算求解OA ，OB 的值，然后根据AB ＝OB ﹣OA 计算求解即可．【解答】解：由题意知，＝＝，＝＝，解得OA ＝1，，∴＝0.8（米）， 故答案为：0.8米．【点评】本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算．7．（2023•萧山区校级模拟）如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ＝AD ，AC 交BD 于点E ，已知∠COD ＝135°．（1）求∠AEB 的度数，（2）若CO ＝1，求OE 的长．【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰直角三角形的性质可求出答案；（2）由相似三角形的判定和性质得出＝，进而得到＝，而OE+BE ＝OB ＝1，代入求解即可．【解答】解：（1）∵BD 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∴∠BAD ＝90°，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∵∠COD ＝135°，∴∠BOC ＝180°﹣135°＝45°，∴∠BAC＝∠BOC＝22.5°，∴∠AEB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°；（2）在Rt△ABD中，AB＝AD，BD＝2OC＝2，∴AB＝×BD＝，∵∠ABC＝∠BOC＝45°，∴AB∥OC，∴△COE∽△ABE，∴＝，即＝，而OE+BE＝OB＝1，∴OE＝﹣1．【点评】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆心角、弦、弧之间的关系，圆周角定理是正确解答的前提．8．（2023•玉环市二模）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥OC．（1）求证：点C平分弧BD．（2）利用无刻度的直尺和圆规作出AB的中点P（保留作图痕迹）．【分析】（1）连接OB，由平行线的性质，等腰三角形的性质，得到∠DOC＝∠COB，由此点C平分．（2）分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，得到两弧的交点，从而得到点P．【解答】（1）证明：连接OB，∵OC∥AB，∴∠DOC＝∠OAB，∠COB＝∠OBA．∵OA＝OB，∴∠DOC＝∠COB，∴点C平分．（2）作法：①分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于M，②连接OM交AB于P，∴点P即为所求作的点．【点评】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，尺规作图，关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，用尺规作线段垂直平分线的方法．9．（2023•婺城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得CE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是的中点，∴＝，∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵＝，∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，∴CE＝＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用．二．圆周角定理（共11小题）10．（2023•鹿城区一模）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的两点，连结AB，BC，CD，BD，若∠A+∠D＝80°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】根据圆周角定理得出∠ABC＝90°，∠A＝∠D＝40°，根据直角三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵∠A+∠D＝80°，∠A＝∠D，∴∠A＝40°，∴∠ACB＝50°，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．11．（2023•西湖区校级三模）如图，点A、B、C在圆O上，若∠A＝50°，则∠OBC的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°【分析】根据圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形内角和定理及等边对等角即可求得答案．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，故选：A．【点评】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形性质，它们均为几何中重要知识点，必须熟练掌握．12．（2023•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在圆上，连接AD，CD，且＝，∠CAB＝25°，P为上一动点，在运动过程中，DP与AC相交于点M，当△CDM为等腰三角形时，∠PDC的度数为．【分析】根据＝，∠CAB＝25°，得∠CAD＝∠CAB＝25°，由AB是⊙O的直径，得∠C＝40°，然后分三种情况讨论即可求出答案．【解答】解：∵＝，∠CAB＝25°，∴∠CAD＝∠CAB＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝40°，当△CDM为等腰三角形时，①当MD＝MC时，∠PDC＝∠C＝40°，②当CD＝CM时，∠PDC＝＝70°，③当DM＝DC时，∠PDC＝180°﹣2×40°＝100°，故答案为：40°或70°或100°．【点评】本题主要考查了圆周角定理，关键是求出∠C的度数和分三种情况讨论求角．13．（2023AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝．【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，∵∠AED＝100°，∴∠BED＝∠BCD+∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠BED﹣∠BCD＝80°﹣30°＝50°，故答案为：50°．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．14．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．23°B．24°C．25°D．26°【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解．【解答】解：连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC＝∠BOC＝26°，故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．15．（2023•余杭区模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D是弧AC的中点，若∠DAC＝25°．则∠BAC等于（）A．40°B．42°C．44°D．46°【分析】利用圆周角定理和弧与圆心角的关系求解即可．【解答】解：连接OC，OD，∵点D是弧AC的中点，∴弧AD＝弧CD，又∠DAC＝25°，∴∠AOD＝∠COD＝2∠DAC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOD﹣∠COD＝80°，∴，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理、弧与圆心角的关系，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．16．（2023•杭州模拟）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝度；的值等于．【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE＝∠DEA，证出∠BEC＝∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO＝∠BCO，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，证出∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∠CEB＝2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，得出a2＝x（x+a），求出OE＝a，进而可得出答案．【解答】解：∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO＝∠BCO，又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∴∠CEB＝2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠B＝36°；∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴，∴CE2＝EO•BE，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，∴a2＝x（x+a），解得，x＝a（负值舍去），∴OE＝a，∴AE＝OA﹣OE＝a﹣a＝a，∴＝＝．故答案为：36，．理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．（2023•钱塘区三模）如图，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AB，点E在OB上，连接DE并延长交⊙O于点C，连接BC．（1）求∠B﹣∠D的值．（2）当∠B＝75°时，求的值．（3）若BC＝CE，△DOE与△CBE的面积分别记为S1，S2，求的值．【分析】（1）由圆周角定理求出∠BCD＝∠BOD＝45°，由等腰三角形的性质推出∠OBC﹣∠ODC＝∠OCB ﹣∠OCD＝∠DCB＝45°；（2）由直角三角形的性质得到＝，由等腰三角形的性质得到CD＝OD，即可求出的值；（3）由OC∥BD，得到△CBD的面积＝△ODB的面积，因此△CBE的面积＝△OED的面积，即可解决问题．【解答】解：（1）连接OC，∵半径OD⊥AB，∴∠BOD＝90°，∴∠BCD＝∠BOD＝45°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC﹣∠ODC＝∠OCB﹣∠OCD＝∠DCB＝45°；（2）∵∠B＝75°，∠DCB＝45°，∴∠CEB＝60°，∴∠OED＝60°，∴＝，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝75°，∴∠BOC＝30°，∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝120°，∴CD＝OD，∴＝＝．（3）连接BD，∵BC＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝67.5°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠CBE＝67.5°，∴∠OCE＝∠OCB﹣∠BCD＝22.5°，∵∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝45°，∴∠BDC＝∠BOC＝22.5°，∴∠OCE＝∠BDC，∴OC∥BD，∴△CBD的面积＝△ODB的面积，∴△CBE的面积＝△OED的面积，∴＝1．【点评】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的面积，关键是由圆周角定理∠BCD＝45°，由等腰三角形的性质即可求出∠OBC﹣∠ODC＝45°；由直角三角形的性质，等腰三角形的性质求出OE、CD与OD的数量关系，即可求出的值；由OC∥BD，即可得到△CBE的面积＝△OED的面积．18．（2023•衢州二模）如图，在⊙O中，OA，OB是直径，C是劣弧上的一点．且∠AOB＝120°．（1）求∠ACB的度数；（2）若AC＝BC．求证：四边形ACBO是菱形．【分析】（1）由题意可得劣弧＝120°，从而可得优弧＝240°，再由圆周角定理即可求∠ACB的度数；（2）连接OC，利用SSS可证得△AOC≌△BOC，则有∠AOC＝∠BOC，可求得∠AOC＝∠BOC＝60°，可得△AOC是等边三角形，则有AO＝AC＝OC，同理得BO＝BC＝OC，故AO＝AC＝BC＝BO，即可判定四边形ACBO 是菱形．【解答】（1）解：∵C是劣弧上的一点，且∠AOB＝120°，∴劣弧的度数为：120°，∴优弧的度数为：240°，∴∠ACB＝×240°＝120°；（2）证明：连接OC，如图，∵OA，OB是半径，点C在⊙O上，∴OA＝OB＝OC，在△AOC与△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴AO＝AC＝OC，同理得：BO＝BC＝OC，∴AO＝AC＝BC＝BO，∴四边形ACBO是菱形．【点评】本题主要考查圆周角定理，菱形的判定，圆心角，弦，弧的关系，解答的关键是熟记相应的知识并灵活运用．19．（2023•金东区二模）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，点E是CA延长线的一点，射线ED交⊙O点于F，连结AD，CF，∠CDA＝∠EDA，∠CAB＝30°，AB＝8．（1）求证：AB∥FE．（2）求∠FCA的度数．（3）求CE的长．【分析】（1）由OA＝OD，得到∠ODA＝∠OAD，而∠CDA＝∠EDA，因此∠OAD＝∠EDA，即可证明AB∥FE；（2）由AB∥FE，得到∠E＝∠CAB＝30°，由圆周角定理得到∠EFC＝90°，由直角三角形的性质，即可得到∠FCA的度数；（3）可以证明DC＝DE，由圆周角定理得到AD⊥CE，因此CE＝2CA，由cos∠DCA＝＝，CD＝AB＝8，求出AC的长，即可得到CE的长．【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵∠CDA＝∠EDA，∴∠OAD＝∠EDA，∴AB∥FE；（2）解：∵AB∥FE，∴∠E＝∠CAB＝30°，∵CD是圆的直径，∴∠EFC＝90°，∴∠FCA＝90°﹣∠E＝60°；（3）解：∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∵∠E＝30°，∴∠OCA＝∠E＝30°，∴DC＝DE，∵DC是圆的直径，∴AD⊥CE，∴CA＝EA，∴CE＝2CA，∵cos∠DCA＝＝，CD＝AB＝8，∴AC＝4，∴CE＝2×4＝8．【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握以上知识点是解题的关键．20．（2023•滨江区一模）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．（1）求证：CD＝BF．（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．（3）连结GO，OF，如图2，求证：．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E得，又由，得到，从而得到，即，即可得证；（2）连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，从而得到∠FBC＝∠BCD，则BG＝CG，设EG＝x，则BG ＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，即可得到答案；（3）连接OC交BF于I，则OC⊥BF，通过证明△OCG≌△OBG（SSS），得到∠IOB＝2∠EOG，再由等腰三角【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，∴，∵，∴，∴，即，∴BF＝CD；（2）解：如图所示：连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，∴∠FBC＝∠BCD，∴BG＝CG，∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，∴，设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，解得：，∴GE的长为；（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，∴，在△OCG和△OBG中，，∴△OCG≌△OBG（SSS），∴∠COG＝∠BOG，∴∠IOB＝2∠EOG，∵OF＝OB，OC为半径，∴OC⊥BF，∴∠OIB＝90°，∵∠IOB+∠IBO＝90°，∴．【点评】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．三．圆内接四边形的性质（共11小题）21．（2022秋•嘉兴期末）已知，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：5，则∠D的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】先根据在圆内接四边形ABCD中∠A：∠B：∠C＝1：2：5，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝5x，再根据圆内接四边形的对角互补求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD中∠A：∠B：∠C＝1：2：5，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝5x，∵∠A+∠C＝180°，即x+5x＝180°，解得x＝30°，∴2x＝60°．即∠B＝60°，∵∠B+∠D＝180°，∴D＝120°．故选：C．22．（2023•宁波模拟）圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，求∠A＝°．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝180°﹣∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A，∵∠CBF＝∠A+∠E，∠DCB＝∠CBF+∠F，∴180°﹣∠A＝∠A+∠E+∠F，即180°﹣∠A＝∠A+40°+60°，解得∠A＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．23．（2023•龙港市一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，若∠BAD ＝110°，则∠DCE＝度．【分析】由∠DAB+∠DCB＝180°，再结合圆周角定理，即可计算∠DCE的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD＝110°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴∠DCB＝180°﹣110°＝70°，∵BE是⊙O的直径，∴∠DCE+∠DCB＝90°，【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．24．（2022秋•仙居县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点C是弧BD的中点，连接BD，若∠CBD＝35°，求∠A的度数．【分析】根据圆的性质及等腰三角形的性质得出∠CBD＝∠CDB＝35°，根据三角形内角和推出∠C＝110°，再根据圆内接四边形的性质即可求解．【解答】解：∵点C是弧BD的中点，∴＝，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝35°，∴∠C＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A＝70°．【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形的对角互补”是解题的关键．25．（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是．【分析】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝100°，【点评】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．26．（2023•萧山区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，延长AB到点E，使得BE ＝AD，连结AC，CE．（1）求证：AC＝CE．（2）若，，∠BCD＝120°，求BC的长．【分析】（1）根据圆内接四边形性质易得∠D＝∠CBE，再根据圆心角、弧、弦的关系可得CD＝CB，再结合已知条件证得△ACD≌△ECB，从而证得结论；（2）作CM⊥AB交AB于点M，结合（1）中所求易得AE的长度，再根据圆内接四边形性质及圆心角、弧、弦的关系可得∠CBM＝30°，利用三线合一及三角函数可求得CM，BM的长度，最后利用勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠D＝∠CBE，∵点C时的中点，∴CD＝CB，在△ACD与△ECB中，，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AC＝CE；（2）如图，作CM⊥AB交AB于点M，∵AD＝4，BE＝AD，∴BE＝4，∵AB＝6，∴AE＝AB+BE＝6+4＝10，∵AC＝CE，CM⊥AB，∴AM＝AE＝5，∴BM＝AB﹣AM＝6﹣5＝，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∵CD＝CB，∴∠CAM＝∠BAD＝30°，∵∠AMC＝90°，∴tan∠CAM＝tan30°＝＝，∴CM＝5×＝5，∴BC＝＝＝＝2．【点评】本题主要考查圆的相关性质及全等三角形的判定及性质，（2）中作CM⊥AB交AB于点M，构造直角三角形及利用三线合一求得线段长度是解题的关键．27．（2023•金华三模）在⊙O中，点A，B，C，D都在圆周上，OB∥DC，OD∥BC，则∠A的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C+∠A＝180°，根据平行线的性质得出∠C+∠OBC＝180°，∠BOD+∠OBC＝180°，求出∠C＝∠BOD，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A，求出∠C＝2∠A，再求出∠A即可．【解答】解：∵点A，B，C，D都在圆周上，∴∠C+∠A＝180°，∵OB∥DC，OD∥BC，∴∠C+∠OBC＝180°，∠BOD+∠OBC＝180°，∴∠C＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠A，∴∠C＝2∠A，即3∠A＝180°，∴∠A＝60°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的性质等知识点，能求出∠C+∠A＝180°和∠BOD＝2∠A是解此题的关键．28．（2023•萧山区校级模拟）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝α，AO∥DC，∠B＝β，则α，β满足关系为（）A．2α﹣β＝90°B．α+β＝90°C．2β+α＝180°D．α+9β＝540°【分析】先根据平行线的性质得出∠ODC＝∠AOD＝α，再由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求得∠即可．【解答】解：连接OC，∵AO∥DC，∴∠ODC＝∠AOD＝α，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝α，∴∠DOC＝180°﹣2α，∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝180°﹣α，∴∠ABC＝∠AOC＝90°﹣α，即β＝90°﹣α，∴2β+α＝180°．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．29．（2022秋•上城区期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是直径，CD＝BC．若∠DCB ＝100°，则∠ADC的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】连接BD，分别求出∠ADB，∠CDB，可得结论．【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∵CD＝CB，∠C＝100°，∴∠CDB＝∠CBDD＝40°，∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝90°+40°＝130°．故选：D．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．30．（2022秋•嵊州市期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB．（2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠BCD＝180°，再由邻补角互补可得∠BCD+∠DCE＝180°，根据同角的补角相等可得∠A＝∠DCE，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换可得∠A＝∠AEB．（2）连接AC，根据直角所对的弦是直径得出AC为⊙O的直径，根据勾股定理求出AC，即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵DC＝DE∴∠E＝∠DCE，（2）解：如图，连接AC，∵∠EDC＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠A＝∠AEB∴AB＝BE∵AB＝8，∴BE＝8，∵点C为BE的中点，∴，在Rt△ABC中，，∴⊙O的半径为．31．（2023•杭州二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；（2）过点A作AG⊥BD，分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB，根据全等三角形的性质计算．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF＝∠ADB，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，在Rt△AED和Rt△AGD中，，∴Rt△AED≌Rt△AGD，∴GD＝ED＝2，在Rt△AEC和Rt△AGB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），∴BG＝CE，∵BD＝11，∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，∴CE＝BG＝9，∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．四．相交弦定理（共4小题）32．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6B．7C．12D．16【分析】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE ＝CE•EF即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，AE＝3，EC＝1，∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，EF＝AE+AF＝3+4＝7，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7，故选：B．【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键．33．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16B．24C．12D．不能确定【分析】由相交线定理可得出AP•BP＝CP•DP，再根据AP＝6，BP＝8，CP＝4，可得出PD的长，从而得出CD即可．【解答】解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故选：A．【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．34．（2022秋•温州期末）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE •DE的值为（）A．6B．7C．12D．16．【分析】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE ＝CE•EF即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，AE＝3，EC＝1，∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，EF＝AE+AF＝3+4＝7，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7，故选：B．【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键．35．（2022秋•嵊州市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若AE＝2，BE＝8，CE＝2DE，则O到CD的距离为．【分析】连接AD、BC、OC，过O作OH⊥CD交CD于H，先根据圆周角定理和相似三角形的判定证明△ADE∽△CBE，再利用相似三角形的性质求得进而求得，进而求得，然后利用垂径定理和勾股定理求得OH即可求解．【解答】解：如图，连接AD、BC，则∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE∽△CBE，∴，∵AE＝2，BE＝8，CE＝2DE，∴2DE2＝AE•BE＝2×8＝16，AB＝10，∴，，∴， 过O 作OH ⊥CD 交CD 于H ，连接OC ，则， 在Rt △OHC 中，， ∴，即O 到CD 的距离为， 故答案为：．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理，会利用相似三角形的判定与性质求线段长是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在O 中,45CD A AB OB =∠=︒，则COD ∠=（ ）A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．40︒【答案】B 【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等，即可求解．【详解】解：∵,45CD A AB OB =∠=︒，∴COD ∠=45︒，故选：B ．【点睛】本题考查了同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，掌握同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，则图中一定与ABC ∠相等的角是（ ）A ．BAD ∠B ．ACD ∠C ．BCD ∠ D ．ADC ∠【答案】D 【分析】根据同弧所对等圆周角相等求解即可．【详解】∵ABC ∠所对应的弧为AC ，∴ADC ABC ∠=∠，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，BC CD =，连接AC ．若40DAB ∠=︒，则B ∠的度数为（ ）A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°【答案】A 【分析】连接AC ，根据等弧所对的圆周角相等可得1202DAC BAC DAB ∠=∠=∠=︒，再根据直径所对的圆周角为直角可得90ACB ∠=︒，最后根据三角形的内角和即可求解．【详解】解：连接AC ，∵点C 为BD 的中点 ∴1202DAC BAC DAB ∠=∠=∠=︒∵AB 为O 的直径∴90ACB ∠=︒∴180902070ABC ∠=︒−︒−︒=︒故选：A ．【点睛】本题主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．4．（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB 把圆周分成1:3两部分，则弦AB 所对圆心角的度数为（ ）【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可．【详解】解：∵弦AB 把圆周分成1:3两部分，∴劣弧AB 的度数为：1360904°´=°，即：劣弧所对的圆心角的度数为90︒， 优弧AB 的度数为：33602704︒⨯=︒，即：优弧所对的圆心角的度数为270︒，∴弦AB 所对圆心角的度数为90︒或270︒；故选C ．【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系．注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况． 5．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，CD 是O 的直径，弦AB 垂直CD 于点E ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，则下列结论不一定．．．成立的是（ ）。
浙教版九年级上册 《圆的基本性质圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结
《圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结1.圆的定义;在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”2、与圆有关的概念（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径）（2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。
（3）等弧：能够互相重合的两段弧（4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆）（5）点和圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：（1）d<r → 圆内（2）d=r → 圆上（3）d>r → 圆外（6）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
过不在同一条直线上的三点做圆，能找出圆的圆心（7）三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。
三角形的外心到各顶点距离相等。
一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。
3、图形的旋转：原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。
图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。
对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。
旋转作图基本步骤：1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）；2、找出关键点；3、找出关键点的对应点；4、作出新图形；5、写出结论。
4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
九年级数学浙教版知识点归纳总结
九年级数学浙教版知识点归纳总结数学作为一门学科，在九年级的学习中起到了至关重要的作用。
为了更好地帮助同学们复习和巩固九年级数学浙教版的知识点，特将各个章节的重点内容进行归纳总结，并提供一些解题技巧和注意事项，希望能够对同学们的学习有所帮助。
一、函数与方程1. 一元一次方程与一次函数- 一元一次方程的概念及解法- 一次函数的概念与图像特征- 一元一次方程与一次函数之间的关系2. 二元一次方程组- 二元一次方程组的概念及解法- 二元一次方程组的几何意义3. 二次根式与二次函数- 二次根式的概念及运算规则- 二次函数的概念与图像特征- 二次函数与二次根式之间的关系二、平面图形的认识1. 三角形- 三角形的分类及性质- 三角形的内角和与外角性质2. 平行四边形与菱形- 平行四边形的性质- 菱形的性质3. 等腰梯形与等腰直角梯形- 等腰梯形的性质及面积计算- 等腰直角梯形的性质及面积计算三、立体几何与空间图形1. 立体图形的认识- 立体图形的分类及性质- 立体图形的表面积和体积计算2. 圆锥与圆台- 圆锥与圆台的性质- 圆锥与圆台的体积计算3. 圆柱与圆球- 圆柱与圆球的性质- 圆柱与圆球的体积计算四、统计与概率1. 统计的基本概念- 数据的收集与整理- 数据的图表表示及分析2. 概率的初步认识- 随机事件及其概率- 两个独立事件的概率计算3. 抽样与推测- 抽样调查的基本原则- 样本推断与总体估计通过对九年级数学浙教版各章节的知识点进行归纳总结，我们可以清晰地了解到每个章节的重点内容。
在复习时，我们应该重点关注每个知识点的概念及相关的解题方法，掌握基本的计算技巧和推理能力。
除此之外，我们还要注重实际问题与数学模型之间的联系，培养数学思维和应用能力。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：- 阅读题目时要认真理解题意，并推断出问题所需的数学思路。
- 分析问题时要分清已知条件和需求，合理运用已学知识进行问题求解。
浙教版数学九年级上册_《圆(1)》参考教案1 (1)
3.1圆(一)1．理解圆、弧、弦等有关概念，学会圆、弧、弦等的表示方法．2．理解直径和半径的关系、点与圆的位置关系并能正确判断．3．通过学生动手、观察、比较、分析、概括等活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力．4．通过对圆的进一步认识，加深对圆的完美性的体会，激发学生的学习热情．重点：弦和弧的概念、弧的表示方法、点与圆的位置关系．难点：点与圆的位置关系及判定．一、新课导入1．展示一些类似圆的形状的物体图片，例如，压力锅封圈、玉手镯……你觉得这些物体与哪种图形相类似呢？你能再举出一些例子吗？2．你知道圆是怎样定义的吗？怎样作出适合某种需要的圆？说明：通过展示图片，让学生感受圆是生活中大量存在的图形，从而激发学生的学习兴趣．二、新知学习活动1(一)自主探索：1．师生一起用圆规画一个圆，其圆心为点O.2．教师示范：取一根绳子，把它的一端用图钉固定在画板上，另一端系一支铅笔，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，这样就得到一个圆．(课本图3－1) 3．圆上的任意一点P(铅笔尖)到定点O(图钉)的距离相等吗？【解】相等(二)概念形成1．圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点旋转一周(如图)，另一端点P 所经过的封闭曲线叫做__圆__，定点O 叫做圆心，线段OP 叫做圆的__半径__．2．圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记做“⊙O”，读作“圆O”．3．弦的定义：连结圆上任意两点的__线段__叫做__弦__(如图中的AB )．经过圆心的弦叫做__直径__，显然，直径等于半径的__2__倍(如图所示)．活动2 (一)做一做已知点O 和线段a(如图所示)，请以O 为圆心，线段a 为半径作一个圆，并在圆上画出一条半径、一条直径和一条不是直径的弦．(二)概念形成1．弧的定义：圆上任意两点间的__部分__叫做__圆弧__，简称弧．2．半圆、劣弧、优弧的概念及表示方法：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做__半圆__．小于半圆的弧叫做__劣弧__，劣弧用符号“⌒”和弧两端的字母表示，右图中的劣弧BC 记作BC ︵，读作“弧BC ”；大于半圆的弧叫做__优弧__，优弧用符号“⌒”和三个字母表示(弧两端的字母和弧中间的字母)，如图中的优弧BAC ，记作BAC ︵，读作“弧BAC ”．3．如图所示，你看到哪几条弦？哪几段弧？各如何表示？解：弦有三条：AB ，BC ，AC ，弧有六段：AB ︵，半圆ABC ，半圆AC ，BC ︵，BCA ︵，CAB ︵. 4．等圆：半径相等的两个圆能够完全重合，因此，把半径相等的两个圆叫做__等圆__，如图中的⊙O 1和⊙O 2是等圆．5．想一想：等圆的半径相等吗？ 相等．6．补充：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做__等弧__． (三)议一议同一平面内的点与圆有几种位置关系？怎样确定点与圆的位置关系？请你与你的同伴议一议．结论：一般地，如果点P 是圆所在平面内的一点，d 表示点P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则有：d ＞r ⇔点在圆外；d ＝r ⇔点在圆上；d ＜r ⇔点在圆内.说明：通过合作学习，让学生明确点与圆的三种位置关系以及判定方法，从而培养合作意识和自主探究习惯．三、新知应用 典例探究：【例1】已知矩形ABCD的边AB＝3，AD＝4，如图所示．(1)以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？(2)若以点A为圆心作⊙A，使点B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是多少？【分析】(1)点与圆的位置关系是两个图形的位置关系，只能观察、估计，而不能准确、具体地进行判断，所以通常转化为点到圆心的距离d与半径r之间的数量大小关系．(2)要使三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，圆的半径应介于这三点到圆心的距离的最大值与最小值之间．【解】(1)∵AD＝4＝r，∴点D在⊙A上．∵AB＝3＜4，∴点B在⊙A内．∵AC＝5＞4，∴点C在⊙A外．(2)∵AC＞AD＞AB，∴3＜r＜5.说明：本例涉及点与圆的位置关系的判定，解题的关键是分析求出点B，C，D到点A的距离．通过本例可培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，激发学生的兴趣．【例2】如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．【分析】因为同圆半径相等，所以当圆中有两条半径出现，就有等腰三角形出现，于是可利用等腰三角形的有关知识求解．【解】连结OB.∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝OB，∴∠A＝∠1.又∵OB＝OE，∴∠2＝∠E.又∵∠2＝∠A＋∠1＝2∠A.∴∠E＝2∠A.∴∠EOD＝∠E＋∠A＝3∠A＝84°.∴∠A＝28°.说明：引导学生思考、交流的习惯，提高知识的应用能力．四、巩固新知尝试完成下面各题．1．下列说法中错误的是( D )A．直径是弦B．半圆是弧C．圆内最长的弦是直径 D．弧小于半圆2．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个圆是等圆．其中错误的有( A )A．1个B．2个C．3个D．4个3．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为__4或3__．4．如图，已知OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，求证：(1)∠A＝∠B；(2)AE＝BE.证明：(1)∵OA＝OB，OC＝OD＝12OA，∠O＝∠O，∴△OAD≌△OBC(SAS)，∴∠A＝∠B.(2)∵AC＝BD＝12OA，∠A＝∠B，∠AEC＝∠BED，∴△AEC≌△BED(AAS)，∴AE＝BE.五、课堂小结1．回顾所学的有关概念——圆、弦、弧(半圆、劣弧、优弧)、等圆．2．直径与弦的关系是直径是弦而弦不一定是直径．3．点与圆的三种位置关系．六、课后作业请完成本资料对应的课后作业部分内容．。
九年级数学上册浙教版圆的基本性质复习.优秀精选PPT
性A质O：=B圆O是=C轴O对=D称O图，形，任何B一条直A径所在
的直弧线A都D＝是弧它B的C=对弧称A轴C 。
＝弧BD。
C
D
O
观察右图，有什么等量关系？
AO=BO=CO=DO，弧 AD＝弧BD，弧AC＝ C 弧BC, AE＝BE 。
垂直于B 弦的直A
径
O
ED
B
垂径定理 垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧。
知识体系
圆
基本性质
概
对
念
称
性
垂 圆心角、 径 弧、弦之 定 间的关系 理 定理
圆周角与 圆心角的 关系
弧长、扇形面积和圆锥 的侧面积相关计算
圆的定义（运动观点）
在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段 OA叫做半径，以点O为圆心的圆， 记作☉O，读作“圆O”
圆的有关性质
过三点的圆
思考：确定一条直线的条件是什么？
类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
CCC
三角形叫做圆的内接三角形。
O
要过圆心作弦的垂线段，
这是一条非常重要的辅
助线。
圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形，
便将问题转化为直角三
角形的问题。
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧；
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。
浙教版九年级圆知识点
浙教版九年级圆知识点圆是一种基本的几何图形，它在我们日常生活中无处不在。
在浙教版九年级数学课本中，关于圆的知识点主要包括圆的定义、圆的性质、圆的元素、弧长与扇形面积等内容。
本文将逐一介绍并详细解释这些知识点。
1. 圆的定义圆是由平面内与一个确定点的距离相等于一定长度的所有点组成的图形。
圆通常由一个圆心和半径来确定，圆心即为圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的性质（1）圆的任意两点之间的距离都相等，这就是圆的最重要的性质，也被称为圆周上两点之间的弦长。
（2）圆的半径相等的两个或多个弦相等。
（3）半径垂直于弦，并且平分弦。
（4）圆周角是由圆周上的两条弧所对应的角，圆周角的大小等于其所对应的弧所对的圆心角的一半。
3. 圆的元素一个完整的圆通常包括圆心、半径、直径、弧、弦和切线等元素。
（1）圆心：圆的中心点。
（2）半径：从圆心到圆上任意一点的距离。
（3）直径：穿过圆心的线段，它的两个端点在圆上。
（4）弧：圆上的一段弧线，可以用圆心角度数或弧长来表示。
（5）弦：圆上连接两个点的线段，它的两个端点在圆上。
（6）切线：与圆只有一个交点，且与半径垂直的直线。
4. 弧长与扇形面积（1）弧长：弧长是指圆上一段弧线所对应的弧长，可以用度数或弧长来表示。
（2）扇形面积：扇形是由圆周上的弧和两条半径所围成的图形，扇形的面积可以通过圆心角的度数来计算。
通过以上的阐述，我们对浙教版九年级数学课本中关于圆的知识点有了更深入的理解。
圆作为一种常见的几何图形，在生活中存在着广泛的应用和意义。
通过学习圆的定义、性质、元素以及弧长和扇形面积的计算方法，我们可以更好地理解并运用圆的相关概念。
在解决生活和学习中的问题时，我们可以运用这些知识点，帮助我们更好地理解和分析几何图形的性质和关系，提升数学解题能力。
浙教版九年级数学上册知识点汇总
九年级（上册）1. 二次函数1.1. 二次函数把形如()0a ,,y 2≠++=是常数，其中c b a c bx ax 的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
1.2. 二次函数的图象二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右（当m>0时）或向左（当m<0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点是(m,k)，对称轴是直线x=m 。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线a b 2x -=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a 44,2b 2 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
1.3. 二次函数的性质二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象具有如下性质：1.4. 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的必须在自变量的取值范围内。
2. 简单事件的概率2.1. 事件的可能性把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；把在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。
2.2.简单事件的概率把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示。
事件A发生的概率记为P(A)。
必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，则事件A发生的概率为：P(A)=m/n。
新浙教版初三上第三章《圆的基本性质》各节知识点及典型例题
圆的基本性质第一节 圆 第二节 图形的旋转 第三节 垂径定理（选学） 第四节 圆心角 第五节 圆周角 第六节 圆内接四边形第七节 正多边形 第八节 弧长及扇形的面积十二大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、旋转的概论及性质4、垂径定理5、垂径定理的逆定理及其应用6、圆心角的概念及其性质 【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。
2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。
小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外⇔ ； 点P 在⊙O 上⇔ ； 点P 在⊙O 内⇔ 。
6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。
过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。
三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。
浙教版九年级上册数学圆知识要点
浙教版九年级上册数学圆知识要点第一节gt;gt;gt;圆一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
（详情点击：九年级数学圆知识点总汇）光有知识点的积累不够，你所需要的在这里#9758;#9758;九年级上册数学第四单元同步测试：圆第二节gt;gt;gt;圆的轴对称性圆的对称性(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形》》》练习题九年级上册数学圆的轴对称性课后练习第三节gt;gt;gt;圆心角圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
练一练：数学同步练习弧、弦、圆心角九年级上册数学圆知识要点结合练习是同学们提高总体学习成绩的重要途径，本文为大家巩固第三单元的重点，让我们一起学习，一起进步吧!相关内容关注九年级数学知识点栏目~。