高三数学,一轮复习,人教A版,4.1第一节, 平面向量的概念,及其线性运算 , 课件 (1)
非零向量 a 的单位向量为 a ± |a|
0 与任一向量⑪______ 平行 或 共线
0 的相反向量为 0
2.向量的表示方法 → 等． (1)字母表示法：如 a，AB 有向线段 表示向量． (2)几何表示法：用一条⑯__________
3．向量的线性运算 向量 定义 法则(或几何意义) 运算
运算律 (1)交换律：a＋b＝ ⑲______.(2) 结合 b＋a 律：(a＋b)＋c＝⑳ a＋(b＋c) ____________.
)
解析：可举特例，当 n＝0 时，满足 m∥nБайду номын сангаасn∥k，故 A，B， C 选项都不正确，故 D 正确． 答案：D
3．如图所示，向量 a－b 等于( A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2
)
→ ＝e1－3e2. 解析：由题图可得 a－b＝BA 答案：C
4．(2017· 通州模拟)已知在△ABC 中，D 是 BC 的中点，那 么下列各式中正确的是( ) 1→ → → → → → A.AB＋AC＝BC B.AB＝2BC＋DA → －DC → ＝AC → D．2CD → ＋BA → ＝CA → C.AD
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1．向量的有关概念 定义 既有①______ 大小 又有② ______ 向量的大小叫 方向 的量； 向量 模 或④ 做向量的③____( ______) 长度 长度为⑤______ 的向量； 其 零 零向量 方向是任意的 名称 备注 平面向量是自由向量
记作⑥__________ 0
[小题热身] 1．若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定( ) A．有不相等的模 B．不共线 C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量
解析：若 a 与 b 都是零向量，则 a＝b，故选项 C 正确． 答案：C
2．若 m∥n，n∥k，则向量 m 与向量 k( A．共线 B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线
二、必明 3●个易误点 1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量 的终点； 2．在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”，否则 λ 可能 不存在，也可能有无数个； 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
考向一 平面向量的有关概念[自主练透型] [例 1] 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； → 与向量CD → 共线，则 A、B、C、D 四点共线； ③向量AB ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
→ ＋AC → ＝2AD →； 解析： 本题考查向量的线性运算． A 错， 应为AB 1→ → → → → → ＝AD → ＋DC →； B 错， 应为2BC＋DA＝BD＋DA＝BA； C 错， 应为AC → ＋BA → ＝CB → ＋BA → ＝CA → ，故选 D. D 正确，2CD 答案：D
→ －CB → ＋CD → |＝________. 5．若菱形 ABCD 的边长为 2，则|AB
[解析] ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是 有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不 确定的，故两向量方向不一定相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的 模均为实数，可以比较大小． [答案] ④
单位向 量 平行向 量 共线向 量 相等向 量 相反向 量
长度等于⑦ 1 个单位长度 的向量 ________________ 方向⑧______ 相同 或⑨______ 相反 的非零向量 方向相同或相反 向量 10________________ ○ 又叫做共线向量 长度⑫________ 相等 且方向⑬ ________ 相同 的向量 长度⑭________ 相等 且方向⑮ 相反 的向量 ________
求两个向量和的 加法 运算
⑰三角形 ______法则
平行四边形 法则 ⑱___________
求 a 与 b 的相反 向量－b 的和的 减法 运算叫做 a 与 b 的差
a－b＝a＋(－b) 21________ ○ 三角形 法则
|λ||a| 22____. (1)|λa|＝○ λμa ； 26____ λ(μa)＝○ (2)当 λ＞0 时， λa 与 a 27 (λ＋μ)a＝○ 23______ 求实数 λ 与向量 a 的方向○ 当λ 相同 ； λa＋μa ； 数乘 __________ 的积的运算 ＜0 时，λa 与 a 的方 28 λ(a＋b)＝○ 相反 ；当 λ＝0 24______ 向○ λa＋λb __________. 0 25______ 时，λa＝○
—[悟· 技法]— 平面向量中常用的几个结论 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． a a (3)|a|是与 a 同向的单位向量，－|a|是与 a 反向的单位向量．
—[通· 一类]— 1．设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个 向量，则 a＝|a|· a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同， 但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0， 故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3. 答案：D
→ －CB → ＋CD → |＝|AB → ＋BC → ＋CD → |＝|AD → |＝2. 解析：|AB 答案：2
6．已知 a，b 是非零向量，命题 p：a＝b，命题 q：|a＋b| ＝|a|＋|b|，则 p 是 q 的________条件．
解析：若 a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a| 即 p⇒q， 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知 a 与 b 同向共线， 即 a＝λb，且 λ>0，故 q⇒/ p. ∴p 是 q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要
人教A版(旧)高考数学一轮复习 4.1平面向量的概念及其线性运算(文理合卷)
[练案27理][练案26文]第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一讲 平面向量的概念及其线性运算A 组基础巩固一、选择题1．(2020·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．模为0的向量与任意向量共线C ．平行向量不一定是共线向量D ．任一向量与它的相反向量不相等2．(2020·广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A ．|AB →|＝|CD →|一定成立 B.AC →＝AB →＋AD →一定成立 C.AD →＝CB →一定成立 D.BD →＝AD →－AB →一定成立3．(2021·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知线段上A ，B ，C 三点满足BC →＝2AB →，则这三点在线段上的位置关系是( )4．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A ．0B ．BE →C.AD →D ．CF →5．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B ．OG →C.EO →D ．FO →6．(2018·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B ．12AD →C.BC →D ．12BC →7．(2021·辽宁丹东模拟)设平面向量a ，b 不共线，若AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线8．在△ABC 中，D 是AC 的中点，P 是BD 的中点，若BP →＝λBA →＋μBC →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.116 B ．118C.14 D ．12二、填空题9．如图所示，下列结论不正确的是____.①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .10．设a 和b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于____.11．(2021·河南三市联考)若AP →＝12PB →，AB →＝(λ＋1)BP →，则λ＝ .12．如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ，若用OA →和OB →来表示向量OC →，则OC →＝ 34OA →＋14OB → .三、解答题13．(1)设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. ①求证：A ，B ，D 三点共线；②若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求实数k 的值；(2)已知a 、b 不共线，若向量k a ＋b 与a ＋k b 共线反向，求实数k 的值．B 组能力提升1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形2．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量OA →相等的向量有几个( )A ．1B ．2C ．3D ．43．(2021·广西玉林高中模拟)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA→＋2EB →＋3FC →＝( )A.12AD →B ．32AD →C.12AC →D ．32AC →4.(2020·四川成都七中一诊)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上5．(2021·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝－4CD →，则AD →＝( ) A.14AB →－34AC →B ．14AB →＋34AC →C.34AB →－14AC →D ．34AB →＋14AC →[练案27理][练案26文]第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一讲 平面向量的概念及其线性运算A 组基础巩固一、选择题1．(2020·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是( B ) A ．单位向量都相等B ．模为0的向量与任意向量共线C ．平行向量不一定是共线向量D ．任一向量与它的相反向量不相等[解析] 对于A ，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A 错误；对于B ，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B 正确；对于C ，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C 不正确；对于D ，零向量与它的相反向量相等，所以D 错误，故选B 、C 正确．2．(2020·广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( C ) A ．|AB →|＝|CD →|一定成立 B.AC →＝AB →＋AD →一定成立 C.AD →＝CB→一定成立D.BD →＝AD →－AB →一定成立[解析] 在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →一定成立，AD →＝CB →一定不成立，BD →＝AD →－AB →一定成立，但|AB →|＝|CD →|一定成立，故选C.3．(2021·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知线段上A ，B ，C 三点满足BC →＝2AB →，则这三点在线段上的位置关系是( A )[解析] 根据题意得到BC →和AB →是共线同向的，且BC ＝2AB ，故选A. 4．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( D )A ．0B ．BE →C.AD →D ．CF →[解析] 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →.5．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( D )A.OH →B ．OG →C.EO →D ．FO →[解析] 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则容易看出OP →＋OQ →＝FO →，故选D.6．(2018·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( A )A.AD →B ．12AD →C.BC →D ．12BC →[解析] EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.7．(2021·辽宁丹东模拟)设平面向量a ，b 不共线，若AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则( A )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线[解析] ∵AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋5b )＋(－2a ＋8b ) ＋3(a －b )＝2(a ＋5b )＝2AB →，∴AD →与AB →共线，即A ，B ，D 三点共线，故选A.8．在△ABC 中，D 是AC 的中点，P 是BD 的中点，若BP →＝λBA →＋μBC →(λ，μ∈R )，则λμ＝( A )A.116 B ．118C.14D ．12[解析] 在△ABC 中，D 是AC 的中点，P 是BD 的中点，由平面向量的线性加法运算，可知BP →＝12BD →＝12⎣⎡⎦⎤12(BA →＋BC →)＝14()BA →＋BC →＝14BA →＋14BC →，因为BP →＝λBA →＋μBC →(λ，μ∈R )，所以λ＝14，μ＝14，则λμ＝116.故选A.二、填空题9．如图所示，下列结论不正确的是__②④__.①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .[解析] 由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32b ，从而②错误；PS →＝PT→＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误．故正确的为①③.10．设a 和b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于__－4__.[解析] ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →∥BD →.∵AB →＝2a ＋k b ，BD →＝BC →＋CD →＝a －2b ，∴k ＝－4.故填－4.11．(2021·河南三市联考)若AP →＝12PB →，AB →＝(λ＋1)BP →，则λ＝ －52.[解析] 由AP →＝12PB →可知，点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB →＝－32BP →，所以λ＋1＝－32，解得λ＝－52.12．如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ，若用OA →和OB →来表示向量OC →，则OC →＝ 34OA →＋14OB → .[解析] 易知OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA →＋14OB →.三、解答题13．(1)设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. ①求证：A ，B ，D 三点共线；②若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求实数k 的值；(2)已知a 、b 不共线，若向量k a ＋b 与a ＋k b 共线反向，求实数k 的值． [解析] (1)①证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →，又AB →与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． ②由①可知BD →＝e 1－4e 2，又BF →＝3e 1－k e 2，由B ，D ，F 三点共线，得BF →＝λBD →， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12， (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线反向， ∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，kλ＝1.∴k ＝±1.又λ<0，∴k ＝－1. B 组能力提升1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( C )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →， ∴AD →∥BC →.又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形．2．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量OA →相等的向量有几个( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个．3．(2021·广西玉林高中模拟)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( D )A.12AD →B ．32AD →C.12AC →D ．32AC →[解析] ∵D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，∴DA →＋2EB →＋3FC →＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12(AC →＋BC →)＝12BA →＋12CA →＋AB →＋CB →＋32AC →＋32BC →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝32AC →.4.(2020·四川成都七中一诊)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( B )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上[解析] ∵2OP →＝2OA →＋BA →，∴2OP →－2OA →＝BA →，即2AP →＝BA →，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.5．(2021·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝－4CD →，则AD →＝( B ) A.14AB →－34AC →B ．14AB →＋34AC →C.34AB →－14AC →D ．34AB →＋14AC →[解析] 解法一：设AD →＝xAB →＋yAC →，由BC →＝－4CD →可得，BA →＋AC →＝－4CA →－4AD →，即－AB →－3AC →＝－4xAB →－4yAC →，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝34，即AD →＝14AB →＋34AC →，故选B.解法二：在△ABC 中，BC →＝－4CD →，即－14BC →＝CD →，则AD →＝AC →＋CD →＝AC →－14BC →＝AC→－14(BA →＋AC →)＝14AB →＋34AC →，故选B.。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
高考数学一轮总复习 4.1平面向量的概念及其线性运算课件
×2A→D＝A→D，故选A.
答案 A
精选ppt
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知识点三 共线向量定理
5.判一判 (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．( ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( ) (3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则 λ＝－12.( ) (4)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要 条件．( )
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问题3 为什么共线定理b＝λa中要求a≠0？如何应用共线定
理证明三点共线？
(1)若a＝0，当b＝0时，λ有无数多个值，b≠0时，λ值不存
在，所以要求a≠0；
(2)证明三点共线，若存在实数λ，使
→ AB
＝λ
→ AC
，则A，B，C
三点共线．这里注意A→B与A→C有公共点A.
精选ppt
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高频考点 考点一 向量的有关概念 【例1】 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若A→B＝D→C，则四边形ABCD为平行四边形； ③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
上，所以ABCD不一定是四边形．
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝
μb，但a与b不一定共线．
答【规律方法】 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④ 是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行 判定的行之有效的方法．
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对点自测 知识点一 向量的有关概念 1.判一判 (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向 量．( ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( )
高三数学,一轮复习人教A版 ,第4章 第1节 ,平面向量的概念,及其线性运算 ,课件
→ → → → → → → → → 解析：如图，DC＝ AB＝OB－OA＝b－a， BC＝OC －OB＝－OA－OB＝－a－ b.
核心考点 互动探究 考点一 平面向量的有关概念
1．给出下列命题：
①不正确．两个向量的长度相等，但 解决平面向量有关概念问题的4 它们的方向不一定相同． ①若|a|＝|b|，则a＝b； 个注意点 → → → → AB ＝ DC ，∴| AB |＝| DC |且 (1)相等向量具有传递性，非零 → ②正确．∵ ②若A，B，C，D是不共线的四点，则“ AB → → 向量的平行也具有传递性． AB ∥ DC ，又A，B，C，D是不共线的 → (2)共线向量即为平行向量，它 ABCD为平行四边形； ＝ DC ”是“四边形ABCD为平行四边形”的 四点，∴四边形 反之，若四边形 ABCD为平行四边形， 们均与起点无关． 充分必要条件； → → → → → → (3) 向量可以平移，平移后的向 则 |AB |＝| DC|，AB∥DC且AB，DC 方向 ③若a＝b，b＝c，则a＝c； 量与原向量是相等向量．解题 → → 相同，因此AB＝DC. 时，不要把它与函数图象的移动 ④若a∥b，b∥c，则a∥c. ③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等 混为一谈． b＝c，∴b，c的长度相 且方向相同，又 其中正确命题的序号是( A ) a 等且方向相同，∴ aa ，的关系： c的长度相等且方 (4) 非零向量 a 与 是 A．②③ B．②④ | a | | a | 向相同，故a＝c. 与a同方向的单位向量． ④不正确 .当b＝0时,a，c可能不平行． C．③④ D．②③④ 综上所述，正确命题的序号是②③.
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第四章 平面向量、数系的扩 充与复数 第一节 平面向量的概念及 其线性运算
最新人教版A版高考数学理科一轮复习4.1 平面向量的概念及其线性运算教学设计
第一节平面向量的概念及其线性运算向量的线性运算及几何意义(1)理解平面向量的有关概念及向量的表示方法．(2)掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义．(3)理解两个向量共线的含义．(4)了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识点一向量的有关概念易误提醒1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．[自测练习]1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．答案：C2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D正确．答案：D知识点二向量的线性运算平行四边形法则易误提醒1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．2．数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数．[自测练习]3．(2016·通州模拟)已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是( )A.AB→＋AC→＝BC→B.AB→＝12BC→＋DA→C.AD→－DC→＝AC→D．2CD→＋BA→＝CA→解析：本题考查向量的线性运算．A错，应为AB→＋AC→＝2AD→；B错，应为12BC→＋DA→＝BD →＋DA→＝BA→；C错，应为AC→＝AD→＋DC→；D正确，2CD→＋BA→＝CB→＋BA→＝CA→，故选D.答案：D知识点三共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.易误提醒1．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．2．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．必记结论三点共线等价关系：A，P，B三点共线⇔AP→＝λAB→(λ≠0)⇔OP→＝(1－t)·OA→＋tOB→(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP→＝xOA→＋yOB→(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．[自测练习]4．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎨⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13考点一 向量的基本概念|1．(2015·郑州二模)已知a ，b ，c 是任意向量，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，则a ，b 方向相同或相反； ③若a ＝－b ，则|a |＝|b |；④若a ，b 不共线，则a ，b 中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：按照平面向量的概念逐一判断．若b ＝0，则①②都错误；若a ＝－b ，则|a |＝|b |，③正确；若a ，b 不共线，则a ，b 中一定没有零向量，④错误，所以正确命题只有1个．答案：D2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b |b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b |b |·|a |≠0，则a ，b 共线且方向相反，因此当向量a ，b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．对照各个选项可知，选项A 中向量a ，b 的方向相同，选项B 中向量a ，b 共线，方向相同或相反，选项C 中向量a ，b 的方向相反，选项D 中向量a ，b 互相垂直，故选C.答案：C解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．考点二 平面向量的线性运算|(1)(2015·高考课标卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD→＝43AB→－13AC→[解析] 由题意得AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13AC→－13AB→＝－13AB→＋43AC→，故选A.[答案] A(2)(2015·东北三校联考(二))已知在△ABC中，D是AB边上的一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________.[解析] 因为AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，所以CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23.[答案] 2 3平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．1．设O为△ABC内部的一点，且OA→＋OB→＋2OC→＝0，则△AOC的面积与△BOC 的面积之比为( )A.32B.53C．2 D．1解析：取AB的中点E，连接OE，则有OA→＋OB→＋2OC→＝2(OE→＋OC→)＝0，OE→＋OC→＝0，所以E，O，C三点共线，所以有△AEO与△BEO面积相等，因此△AOC的面积与△BOC的面积之比为1，故选D.答案：D考点三共线向量定理的应用|(2015·高考全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b 平行，则实数λ＝________.[解析] 由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a ＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝1 2 .[答案] 1 21．共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB→＝λAC→，则A、B、C三点共线．2．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，AF→＝3e1－k e2，且A，C，F三点共线，求k的值．解：(1)证明：AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2， 又CD →＝－8e 1－2e 2，∴CD →＝－2AC →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线． (2)∵AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2. ∵A ，C ，F 三点共线．∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2， 又e 1，e 2是不共线的非零向量， ∴⎩⎨⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.13.方程思想在平面向量呈线性运算中的应用【典例】 如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.[思路点拨] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM →能用a ，b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． [解] 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋m b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b . 又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎨⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线， ∴CM →与CB →共线．∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎨⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[方法点评] (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A ，M ，D 三点共线和B ，M ，C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．[跟踪练习] 如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n＝6.答案：6A 组 考点能力演练1．关于平面向量，下列说法正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量是唯一的C ．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D ．共线向量就是相等向量解析：对于A ，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 不正确；对于B ，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B 不正确；对于C ，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C 正确；对于D ，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确，故选C.答案：C2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( )A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →解析：因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.答案：C3．(2015·嘉兴一模)已知在△ABC 中，M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a .答案：A4.(2015·海淀期中)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB→＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋32BD →＝AB →＋32(AD →－AB →)＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n＝32，所以m －n ＝－2. 答案：B5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 的起点相同，已知a ，t b ，13(a＋b )三个向量的终点在同一条直线上，则t ＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，则AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB→－OA →＝t a －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa即可，又a ，b是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧－23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12，∴当三个向量的终点在同一条直线上时，t ＝12.答案：A6．(2016·长沙一模)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)． 答案：12(5e 1＋3e 2)7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎨⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－128.(2016·青岛一模)已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则|OA →|的最大值为________．解析：因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角．又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.答案：29．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．10．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心． 解：如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC →|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．B 组 高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD → C.AD →D.12BC → 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选C. 答案：C2．(2015·高考陕西卷)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a·b |＝|a ||b ||cosθ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥||a |－|b ||，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B.答案：B3．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. 答案：124．(2015·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. 解析：∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝BC →，又△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|a |＝1，|b |＝2，故①正确，②错误，③错误；由b ＝BC →，知b ∥BC →，故④正确；∵4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，∴(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案为①④⑤.答案：①④⑤。
高三数学 一轮复习 第4知识块第1讲 平面向量的基本概念及线性运算课件 文 新人教A版
同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量的加减法及数乘
运算来求解.
思维点拨：结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形 法则是向量加减运算的关键．
1.证明三点A、B、C共线，借助向量，只需要证明由这三点A、B、C所组成的向量 中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数λ，使a＝λb(b≠0)即可．
提示：(1)向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0. (2)要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则
时
两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线 所对应的向量． (3)运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移， 使
之符合条件．
3． 实数与向量的积 (1)|λa|＝ (2)当λ>0 |λ||a| . 时，λa与a的方向相同；当 λ<0 0 . 时，λa与a的方向相反；
④若m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中不正确的个数是( A．2 B．3 ) C．4 D．5
变式1：判断下列命题是否正确，不正确的说明理由． (1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b； (2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行． 解：(1) 不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确
当λ＝0时，λa＝
(3)运算律：设λ，μ∈R，则： a．λ(μa)＝ b．(λ＋μ)a＝ c．λ(a＋b)＝ (λμ)a ； λa＋μa λa＋λb . ；
4．两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 b＝λa 【思考】 如何用向量法证明三点A、B、C共线？ .
高三数学,一轮复习人教A版, 第四章第1讲,平面向量的概念,及线性运算 课件
2．三点共线的等价关系 → → → → → A，P，B 三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)· OA＋tOB(O → → → 为平面内异于 A，P，B 的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
1.教材习题改编 如图，D，E，F 分别是△ABC 各边的中点， 则下列结论错误的是( D ) → → A．EF＝CD → → B．AB与DE共线 → → C．BD与CD是相反向量 → 1→ D．AE＝ |AC| 2
1 1 A． a＋ b 2 2
1 1 B． a－ b 2 2
1 1 1 1 C．－ a－ b D．－ a＋ b 2 2 2 2 1 1 → 1→ 1 [解析] MD＝ BD＝ (b－a)＝－ a＋ b，故选 D. 2 2 2 2
4.教材习题改编 已知 a， b 是非零向量， 命题 p： a＝b， 命题 q： |a＋b|＝|a|＋|b|，则 p 是 q 的( A ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3.两个向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ， b＝λa 使得__________ ．
1．辨明两个易误点 (1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要 注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点． (2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”， 否则 λ 可能不存 在，也可能有无数个．
[解析] 因为 e1 与 e2 不共线，且 a＝e1－e2 与 b＝－2e1＋λe2 共 线， 所以存在 μ∈R， 使 e1－e2＝μ(－2e1＋λe2)＝－2μe1＋μλe2，
1＝－2μ 得 ，所以 －1＝μλ
高考数学一轮复习第5章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算课件理新人教A版
[最新考纲] 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
[考情分析]
[核心素养]
平面向量的相关概念，平面向量的线性运算，共线向 1.数学运算
量定理及其应用仍是 2021 年高考考查的热点，题型仍将是 2.直观想象
选择题与填空题，分值为 5 分.
1
课 前 ·基 础 巩 固
‖知识梳理‖ 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 1 __方__向_____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 2 _____模____． (2)零向量：长度为 3 ___0______的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 4 _1_个__单__位___的向量．
(2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， ∴kλk－－λ＝1＝0，0. ∴k2－1＝0.∴k＝±1.
|变式探究| 1．若将本例(1)中“B→C＝2a＋8b”改为“B→C＝a＋mb”，则 m 为何值时，A，B，D 三点共线？ 解：B→D＝B→C＋C→D＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b， 若 A，B，D 三点共线，则存在实数 λ，使B→D＝λA→B， 即 4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴4m＝－λ3，＝λ，解得 m＝7. 故当 m＝7 时，A，B，D 三点共线．
法则(或几何意义)
运算律
交换律：a＋b＝ 8 __b_＋__a____；
结 合 律 ： (a ＋ b) ＋ c ＝ 9 _a_＋__(b_＋__c_)_
人教版2024年高考数学一轮复习高考频点《第01讲 平面向量的概念及其线性运算知识点必背》
第01讲 平面向量的概念及其线性运算知识点必背1、向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量表示方法:向量AB 或a ;模||AB 或||a .(2)零向量:长度等于0的向量,方向是任意的,记作0.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量,常用e 表示.特别的:非零向量a 的单位向量是||a a . (4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,a 与b 共线可记为λ=a b ; 特别的:0与任一向量平行或共线.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量,记作=a b .(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量,记作=-a b .2、向量的线性运算2.1向量的加法①定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量a ,我们规定00a a a +=+=.②向量加法的三角形法则(首尾相接,首尾连)已知非零向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB a =,BC b =,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a b +,即a b AB BC AC +=+=.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.③向量加法的平行四边形法则(作平移,共起点,四边形,对角线)已知两个不共线向量a ,b ,作OA a =,OB b =,以OA ,OB 为邻边作OACB ,则以O 为起点的向量OC (OC 是OACB 的对角线)就是向量a 与b 的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.2向量的减法①定义:向量a 加上b 的相反向量,叫做a 与b 的差,即()a b a b -=+-. ②向量减法的三角形法则(共起点,连终点,指向被减向量)已知向量a ,b ,在平面内任取一点O ,作OA a =,OB b =,则向量a b BA -=.如图所示如果把两个向量a ,b 的起点放在一起,则a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.2.3向量的数乘向量数乘的定义:一般地,我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a λ.它的长度与方向规定如下:①||||||a a λλ=②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ=.3、共线向量定理①定义:向量b 与非零向量a 共线,则存在唯一一个实数λ,b a λ=.②向量共线定理的注意问题:定理的运用过程中要特别注意0a ≠;特别地,若0a b ==,实数λ仍存在,但不唯一.4、常用结论4.1向量三角不等式①已知非零向量a ,b ,则||||||||||||a b a b a b -≤+≤+(当a 与b 反向共线时左边等号成立;当a 与b 同向共线时右边等号成立);②已知非零向量a ,b ,则||||||||||||a b a b a b -≤-≤+(当a 与b 同向共线时左边等号成立;当a 与b 反向共线时右边等号成立);记忆方式:(“符异”反向共线等号成立;“符同”同向共线等号成立)如||||||||||||a b a b a b -≤+≤+中,||||||||a b a b -≤+中间连接号一负一正“符异”,故反向共线时等号成立;右如:||||||||||||a b a b a b -≤+≤+中|||||||a b a b +≤+中间链接号都是正号“符同”,故同向共线时等号成立;4.2中点公式的向量形式: 若P 为线段AB 的中点,O 为平面内任意一点,则2OP OA OB =+.4.3三点共线等价形式:OA OB OB λμ=+(λ,μ为实数),若A ,B ,C 三点共线⇔1λμ+=。
高三数学人教A版一轮复习课件：第4章 第1节 平面向量的基本概念及线性运算
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】
(1)∵c∥d，∴c＝λd，
对点训练
→ → → (1)如图 4－1－1 所示，向量OA＝a，OB＝b，OC )
→ → ＝c，A、B、C 在一条直线上，若AC＝－3CB，则( 1 3 A．c＝－ a＋ b 2 2 C．c＝－a＋2b 3 1 B．c＝ a－ b 2 2 D．c＝a＋2b
→ → → → → → 图4－1－1 (2)若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝________.
→ → (2)∵AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2， → → → ∴AC＝AB＋BC＝3e1－2e2. ∵A、C、F 三点共线， → → → → ∴AC∥AF，从而存在实数 λ，使得AC＝λAF. ∴3e1－2e2＝3λe1－λke2， 又 e1，e2 是不共线的非零向量，
3＝3λ， ∴ －2＝－λk，
→ (2)若 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2OA → → ＋OB＋OC＝0，那么( → → A.AO＝OD → → C.AO＝3OD ) → → B.AO＝2OD → → D．2AO＝OD
→ → → 【思路点拨】 (1)D 是 AB 边上的三等分点， 把CD用CA、 CB 表示； → → → (2)由 D 为 BC 边中点可得OB＋OC＝2OD，代入已知条件即 可求解．
【尝试解答】
→ → → → 2→ → 2 → (1)CD＝CA＋AD＝CA＋ AB＝CA＋ (CB－ 3 3
→ 1→ 2→ 2 CA)＝ CA＋ CB，所以 λ＝ ，故选 A. 3 3 3 → → → → → (2)因为 D 为 BC 边中点，∴OB＋OC＝2OD，又 2OA＋OB＋ → → → → → OC＝0，∴2OA＋2OD＝0，即AO＝OD，故选 A.