二次函数与幂函数,指数与指数函数专题
高三数学复习课件【二次函数与幂函数】
A．3
B．1－ 2
C. 2－1
D．1
解析：设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即α＝
1 2
，所以f(x)
1
＝x 2 ＝ x，所以f(2)－f(1)＝ 2－1，故选C.
答案：C
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2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3为减函数，
则实数m的值为
()
A．－2
B．1
C．1或－2
D．m≠－12± 5
解析：因为函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)
上的减函数，所以m－25＋mm－－3<10＝，1， 解得m＝1. 答案：B
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4
2
1
3．已知a＝3 5 ，b＝4 5 ，c＝12 5 ，则a，b，c的大小关系为( )
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
当k<0时，
2 k
<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数
y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实
数k的取值范围是[2，＋∞)．答案：A
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[题型技法] 研究二次函数单调性的思路 (1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研 究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论． (2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调 递增)，则A⊆ －∞，－2ba A⊆－2ba，＋∞ ，即区间A一定 在函数对称轴的左侧(右侧)．
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课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
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考点一 幂函数的图象与性质 [考什么·怎么考]
第03讲 幂函数与二次函数(课件)-2024年高考数学一轮复习
=
−
<
（2）方程有两个不等负根 , ⇔
= >
（3）方程有一正根和一负根，设两根为 , ⇔ = <
常用结论
3、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类
问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个
一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(0,0)
(1,1)
②当α>0时，幂函数的图象都过点_____和_____，且在(0，＋∞)上单调
递增；
(1,1)
③当α<0时，幂函数的图象都过点_____，且在(0，＋∞)上单调递减；
1
，即
或
(−1) > 0
> −3
(1) > 0
<1
1
D． − , 0 ⋃(1, +∞)
3
>1
−1 < < 1
1
，
> −3
<1
1
解得− 3 < < 0，
故选：C
题型三：二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 的实根分布及条件
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）方程 2 + ( − 2) + 5 − = 0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)
以2 − 2 − 2 = 1，解得 = 3或 = −1，又因为()
二次函数与幂函数指数函数的比较与性质
二次函数与幂函数指数函数的比较与性质二次函数与幂函数、指数函数是高中数学中常见的函数类型。
本文将比较二次函数与幂函数、指数函数的特点与性质，从多个角度分析它们之间的差异和联系。
一、函数表达式与图像形态比较二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
它的图像是一条抛物线，圆顶方向和开口方向取决于a的正负。
幂函数的一般形式为f(x) = ax^m，其中a为实数，m为常数且m ≠ 0。
它的图像形态根据m的值而定，当m > 1时为上升函数，m < 1时为下降函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1。
它的图像是一条递增或递减的曲线，斜率随x的增大而不断增大或减小。
通过比较函数表达式和图像形态，可以看出二次函数的图像是一条抛物线，幂函数的图像可以是直线、上升或下降的曲线，指数函数的图像是递增或递减的曲线。
二、增长速度与渐近性质比较二次函数的增长速度由a的值决定，当a > 0时随着x的增大，函数值快速增大；当a < 0时，随着x的增大，函数值快速减小。
二次函数没有水平渐近线，但存在一条对称轴。
幂函数的增长速度由m的值决定，当m > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < m < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。
幂函数没有水平渐近线。
指数函数的增长速度由底数a的值决定，当a > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < a < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。
指数函数存在一条水平渐近线，即x轴。
综合比较三种函数的增长速度和渐近性质，可以得出二次函数的增长速度相对较慢，幂函数的增长速度介于二次函数和指数函数之间，而指数函数的增长速度最快。
三、最值与极值比较对于二次函数，如果a > 0，则函数的最小值为c - b^2 / (4a)，无最大值；如果a < 0，则函数的最大值为c - b^2 / (4a)，无最小值。
幂函数和二次函数指数,对数函数
§2.4幂函数与二次函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)知识拓展1．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数．2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0. 题型一 幂函数的图象和性质1．幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( )A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 2．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c 3．若12(21)m +>122(1)m m ＋－，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2题型二 求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 跟踪训练 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.题型三二次函数的图象和性质命题点1二次函数的图象典例(2017·郑州模拟)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()命题点2二次函数的单调性典例函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是() A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0]D．[－3,0]引申探究若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.命题点3二次函数的最值典例已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．命题点4二次函数中的恒成立问题典例(1)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________________．(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．答案－1或3(3)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________．数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用典例 (12分)设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 2．(2017·江西九江七校联考)若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x －＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．24．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)5．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6)8．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是____________．9．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是__________． 10．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 11．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________． 12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．13．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2，2] B ．[1，2]C ．[2,3] D ．[1,2]14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 15．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．§2.5 指数与指数函数1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定-mna＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质(1)R知识拓展1．指数函数图象的画法画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a.2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a ＜1来研究．题型一指数幂的运算1．化简121()4-·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________.2．计算：2327()8--＋120.002-－10(5－2)－1＋π0＝________. 3．(2017·兰州模拟)化简：41233322338(4a a b ab a--÷+＝________.( a >0) 题型二 指数函数的图象及应用典例(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c 且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0C ．2－a ＜2c D ．2a ＋2c ＜2跟踪训练 (1)已知实数a ，b 满足等式2 018a ＝2 019b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个 D ．4个 (2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．题型三 指数函数的性质及应用命题点1 指数函数单调性的应用典例 (1)(2017·河南百校联考)已知f (x )＝2x －2－x，a ＝147()9-，b ＝159()7，则f (a )，f (b )的大小关系是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．命题点2 与指数函数有关的复合函数的单调性 典例 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________； (2)函数f (x )＝2211()2xx -++的单调减区间为____________．(3)函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是________．命题点3 指数函数性质的综合应用典例 已知函数f (x )＝2431()3axx -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}(2)(2017·江淮十校第三次联考)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )＞f (c x )D ．与x 有关，不确定 2．设2x ＝8y＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．273．(2017·河南南阳、信阳等六市一模)已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( )A ．0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜b ＜1C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b4．(2018届吉林实验中学月考)设a ＝log 213，b ＝12e -，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b ＜a ＜c5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]8．不等式222x x －＋>⎝⎛⎭⎫12x ＋4的解集为________．9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_____． 10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 11．(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．13．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．14．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x ＜0，则函数g (x )的最小值是________．15．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 16．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．§2.6 对数与对数函数1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(2)对数的性质 ①log a Na＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质(1)(0，＋∞)4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 知识拓展1．换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a ；(2)log m n ab ＝n mlog a b . 其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 题型一 对数的运算1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10C ．20 D ．1002．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷12100-＝________.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.题型二 对数函数的图象及应用(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2) D ．(2，2) 引申探究若本例(2)变为方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________． (2)(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________． 命题点1 对数函数的单调性典例 (1)(2018届河南信阳高中大考)设a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝log 618，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．a >c >b D ．c >b >a(2)(2017·江西九江七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D ．[－4,4) 命题点2 和对数函数有关的复合函数 典例 已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．跟踪训练 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(2)(2017·新乡二模)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <c <a(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b(4)(2017·石家庄一模)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312的值是( ) A ．5 B ．3C ．－1 D.725．(2017·江西红色七校二模)已知函数f (x )＝ln e x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8C ．9 D ．126．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12， ＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 7．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调递增区间是__________．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________．119．(2017·南昌模拟)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．10．已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________. 11．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________． 12．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝ 12log x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.13．已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( )A ．(a －1)(b －1)＜0B ．(a －1)(a －b )＞0C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞014．已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，＋∞B.⎝⎛⎦⎤－∞，14C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 16．(2017·厦门月考)已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m (x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．。
专题08 二次函数与幂函数(解析版)
2023高考一轮复习讲与练08 二次函数与幂函数练高考 明方向1．(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在0+∞（，）上递减，则α=_____【答案】1-【解析】由题意()f x 为奇函数，所以α只能取1,1,3-，又()f x 在(0,)+∞上递减，所以1α=-． 2．（2017浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关 【答案】B【解析】函数()f x 的对称轴为2a x =-， ①当02a-≤，此时(1)1M f a b ==++，(0)m f b ==，1M m a -=+； ②当12a-≥，此时(0)M f b ==，(1)1m f a b ==++，1M m a -=--； ③当012a<-<，此时2()24a a m f b =-=-，(0)M f b ==或(1)1M f a b ==++，24a M m -=或214a M m a -=++．综上，M m -的值与a 有关，与b 无关．选B ．3．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若101a b c >><<，，则( ) (A )c c a b < (B )c c ab ba < (C )log log b a a c b c <(D )log log a b c c <【答案】C【解析】对A ：由于01c <<，∴函数cy x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；对B ：由于110c -<-<，∴函数1c y x-=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；对C ： 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a， 只需ln b b 和ln a a ，构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确，对D ： 要比较log a c 和log b c ，只需比较 ln ln c a 和ln ln c b ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误 4．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟 D ．4.25分钟【答案】B【解析】由题意可知2p at bt c =++过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入2p at bt c =++中可解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，∴20.2 1.52p t t =-+-=20.2( 3.75)0.8125t --+， ∴当 3.75t =分钟时，可食用率最大．5．(2013广东)定义域为的四个函数,,,中，奇函数的个数是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】是奇函数的为与，故选C ．讲典例 备高考O 5430.80.70.5t p R 3y x =2x y =21y x =+2sin y x =43213y x =2sin y x =二次函数与幂函数奇函数的定义偶函数的定义 函数的对称性 奇偶性的判断奇偶性的应用周期性的判断 周期性的应用类型一、幂函数的定义 基础知识：1、幂函数的定义一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．基本题型：1．（幂函数的判断）下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2 B ．y ＝10x C ．y ＝1x 3D ．y ＝x ＋1【答案】C【详解】根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．（幂函数的判断）给出下列函数：①31y x =；②32y x =-；③42y x x =+；④35y x=；⑤()21y x =-；⑥0.3xy =，其中是幂函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】由幂函数的定义：形如y x α=（α为常数）的函数为幂函数，则可知①331y x x -==和④5353y x x ==是幂函数.类型二、幂函数的图象 基础知识：1、五个常见幂函数的图象基本题型：1．（根据解析式确定图象）已知(),1,m n ∈+∞，且m n >，若26log log 13m n n m +=，则函数()nmf x x =的图像为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得：26log log 2log 6log 13m n m n n m n m +=+=，令()log 01m t n t =<<，则6213t t+=，解得12t =或6t =（舍去），所以n =，即21mn =，所以()2m n f x x =的图像即为()f x x =的图像．2．（根据图象确定解析式）图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3 D ．1-、12、3 【答案】D【详解】由题意得，根据幂函数的图象与性质可知，2310C C C ααα>>>，所以解析式中指数α的值依次可以是11,,32-， 3．（利用图象比较大小）对于幂函数()45f x x =，若120x x <<，则122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭，()()122f x f x +的大小关系是（ ）A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭D ．无法确定【答案】A【解析】幂函数()45f x x =在0,上是增函数，大致图象如图所示.设()1,0A x ，()2,0C x ，其中120x x <<，则AC 的中点E 的坐标为12,02x x +⎛⎫⎪⎝⎭，且()1AB f x =，()2CD f x =，122x x EF f +⎛⎫= ⎪⎝⎭.()12EF AB CD >+，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫∴>⎪⎝⎭.4．（利用图象比较大小）已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 【答案】A【解析】由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ． 5．（幂函数图象的性质）下列命题中，假命题的个数为_________． ①幂函数的图象有可能经过第四象限；②幂函数的图象都经过点()1,1；③当0a =时，函数a y x =的图象是一条直线；④当0a <时，函数a y x =在定义域内是严格减函数； ⑤过点()1,1-的幂函数图象关于y 轴对称． 【答案】3【详解】对于①，正数的指数幂为正数，故幂函数的图象不可能经过第四象限，故错误；对于②，1的任何指数幂均为1，所以幂函数的图象都经过点()1,1，故正确；对于③，当0a =时，函数a y x =的定义域为{}0x x ≠，其a y x =图象是两条射线，故错误；对于④，当1a =-时，1y x=在定义域内不具有单调性，故错误；对于⑤，当幂函数过点()1,1-时，()11a-=得a 为偶数，故幂函数图象关于y 轴对称，故正确.类型三、幂函数的性质 基础知识：1、五个常见幂函数的性质1．（幂函数单调性）已知点(2,8)在幂函数()nf x x =的图象上，设,(ln ),a f b f c f π===⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．a c b <<【答案】D【解析】由已知得82n =，解得：3n =，所以3()f x x =1<1<，ln ln 1e π>=， 又0-==<，所以ln π<<，由3()f x x =在R 上递增，可得：(ln )f f f π<<⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<.2．（幂函数图象的对称性）已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______. 【答案】1【详解】因为()()22322n nf x n n x-=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=. 3．（幂函数的奇偶性）设11,2,3,,12a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且函数a y x =为奇函数的所有a 的值为（ ）A ．1,3-B ．1,1-C ．1,3D ．1,1,3-【答案】C【详解】1a =时，函数解析式为y x =满足题意；2a =时，函数解析式为2yx ，偶函数，不符合题意；3a =时，函数解析式为3y x =满足题意；12a =时，函数解析式为12y x =，定义域为[)0,+∞，不符合题意；1a =-时，函数解析式为1y x -=，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，不符合题意.类型四、二次函数的解析式 基础知识：二次函数解析式的三种形式基本题型：1．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 【答案】12x 2－32x ＋2【解析】因为f (x )是二次函数且f (0)＝2，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)．又因为f (x ＋1)－f (x )＝x －1，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－(ax 2＋bx ＋2)＝x －1，整理得(2a －1)x ＋a ＋b ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝0，a ＋b ＋1＝0，解得a ＝12，b ＝－32，所以f (x )＝12x 2－32x ＋2.2．已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f (x )＝________. 【答案】f (x )＝x 2＋2x .【解析】法一：设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . 法二：由二次函数f (x )与x 轴交于(0,0)，(－2,0)，知f (x )的图象关于x ＝－1对称．设f (x )＝a (x ＋1)2－1(a >0)，又f (0)＝0，得a ＝1，所以f (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x .3．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象经过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.基本方法：求二次函数解析式的方法类型五、二次函数的图象与性质 基础知识：函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是减函数， 在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上是增函数 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数， 在⎣⎡⎭⎫－b 2a，＋∞上是减函数基本题型：1．（根据函数图象求范围）(多选)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．b ＝－2aB ．a ＋b ＋c <0C ．a －b ＋c >0D ．abc <0 【答案】AD【解析】根据对称轴x ＝－b2a＝1得到b ＝－2a ，A 正确；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c >0，B 错误；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c <0，C 错误；函数图象开口向下，所以a <0，b ＝－2a >0，当x ＝0时，y ＝c >0，故abc <0，D 正确．2．（根据解析式确定函数图象）(多选)在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1和函数g (x )＝ax ＋1的图象可能是( )【答案】ABD【解析】若a ＝0，则f (x )＝x ＋1，g (x )＝1，A 符合；若a <0，则f (x )的图象开口向下，过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a ，g (x )的图象过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a <－1a ，B 符合；若0<a <14， 则f (x )的图象开口向上，与x 轴有两个交点，过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a，g (x )的图象过 点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a >－1a ，C 不符合；若a >14，则f (x )的图象开口向上，与x 轴没有交点， 过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a ，g (x )的图象过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a >－1a ，D 符合． 基本方法：1、分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号，它决定二次函数图象的开口方向； 二是看对称轴和顶点，它们决定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息． 类型四、二次函数给定区间上最值问题 基础知识：1、闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．2、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 基本题型：1．（轴定区间定）已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则f (x )的最小值是________． 【答案】－1【解析】∵函数f (x )＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数f (x )＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减，∴f (x )min ＝2－6＋3＝－1.2、（轴动区间定）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，则实数a 的值为________． 【答案】－1或2【解析】易知y ＝－x 2＋2ax ＋1－a (x ∈R)的图象的对称轴为直线x ＝a .当a <0时，函数f (x )的图象如图①中实线部分所示，当x ＝0时，y max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，即a ＝－1. 当0≤a ≤1时，函数f (x )的图象如图②中实线部分所示，当x ＝a 时，y max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1.∴a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1±52.∵0≤a ≤1，∴a ＝1±52不满足题意．当a >1时，函数f (x )的图象如图③中实线部分所示，当x ＝1时，y max ＝f (1)＝a ＝2，∴a ＝2.综上可知，a 的值为－1或2.3、（轴定区间动）设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 【解析】f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为直线x ＝1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，当t ≤0时，f (x )min ＝t 2＋1；当0<t <1时，f (x )min ＝1；当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.新预测 破高考1．已知幂函数()f x 的图象经过点(4,2)，则下列命题正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在定义域上是单调递增函数C ．()f x 的值域为RD ．()f x 在定义域内有最大值【答案】B【详解】设()f x x α=，则42α=，解得12α=，()12f x x ∴==()f x 的定义域为[)0,+∞，故A 错误；可得()f x 在定义域上是单调递增函数，故B 正确；值域为[)0,+∞，故C 错误；故()f x 在定义域内没有最大值，故D 错误.2．下列关于幂函数的结论，正确的是（ ）.A ．幂函数的图象都过(0,0)点B ．幂函数的图象不经过第四象限C ．幂函数为奇函数或偶函数D ．幂函数在其定义域内都有反函数【答案】B【解析】幂函数1y x -=不过点(0,0)，则A 错误；当()0,x ∈+∞时，0a x >，则幂函数的图象不经过第四象限，则B 正确；12y x =的定义域为[0,)+∞，不关于原点或y 轴对称，则C 错误；2y x 在(,)-∞+∞内无反函数，则D 错误；3．已知函数：①2xy =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③1y x -=；④12y x =；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（ ）A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②【答案】D【详解】①：函数2xy =是实数集上的增函数，且图象过点(0,1)，因此从左到右第三个图象符合；②：函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是实数集上的减函数，且图象过点(0,1)，因此从左到右第四个图象符合；③：函数1y x-=在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；④：函数12y x =在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，4．(多选)函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1与g (x )＝x a 在同一坐标系中的图象可能为( )【答案】ACD【详解】当a <0时，g (x )＝x a 为奇函数，定义域为{x |x ≠0}，且在(0，＋∞)上递减，而f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向下，对称轴为x ＝－1a >0，f (0)＝1，故A 符合；当a ＝2n (n ∈N *)时，g (x )＝x a 为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向上，且对称轴为x ＝－1a <0，Δ＝4－4a <0，其图象和x 轴没有交点，故D 符合；当a ＝12n (n ∈N *)时，函数g (x )＝x a 的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上递增，f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向上，且对称轴为x ＝－1a <0，Δ＝4－4a >0，图象和x 轴有两个交点，故C 符合．B 明显不符合题意，故选A 、C 、D. 5．若幂函数()222333m m y m m x+-=++的图象不过原点且关于原点对称，则（ ）A ．2m =-B ．1m =-C ．2m =-或1m =-D ．31m -≤≤-【答案】A【详解】根据幂函数的概念，得2331m m ++=，解得1m =-或2m =-，①若1m =-，则4y x -=，令()4f x x -=，其定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()()44f x x x f x ---=-=≠-，显然幂函数为偶函数，不是奇函数，图象不关于原点对称，不符合题意，舍去；②若2m =-，则3y x -=，令()3f x x -=，其定义域为R ，且()()()33f x x x f x ---=-=-=-，即幂函数为奇函数，图象关于原点对称，符合题意.所以2m =-.6．若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()21f x f x --的最大值为（ ）A ．12B ．12-C ．34-D ．-1【答案】C【解析】设幂函数()y f x x α==，图象过点(8,，故318=2=2ααα，故()f x =()()21f x f x x --=t =，则()21y t t =-+，0t ≥，∴12t =时，max 34y =-.7．幂函数()0y xαα=≠，当α取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点1,0A ，()0,1B ，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数m y x =，n y x =的图象三等分，即有BM MN NA ==，则mn 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【答案】A【解析】由题1,0A ，()0,1B ，BM MN NA ==，所以12,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233m ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，2133n⎛⎫= ⎪⎝⎭，11213333mmnn m⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1mn ∴=.8．幂函数f(x)＝x 3m －5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】∵幂函数f(x)＝x 3m －5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m ＜53.又∵m∈N， ∴m＝0,1.∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．当m ＝0时，f(x)＝x －5是奇函数；当m ＝1时， f(x)＝x －2是偶函数．∴m ＝1,故选B.9．已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =-的图象与y m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A．(0,1])⋃+∞ B ． (0,1][3,)⋃+∞ C ．)⋃+∞ D ．[3,)⋃+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m=单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥. 10．已知幂函数()()22644m m f x m m x--=-+，()m R ∈，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则()3f -，()1f -，()f π的大小关系是（ ）A ．()()()π31f f f <-<-B ．()()()13πf f f -<-<C ．()()()31πf f f -<-<D ．()()()3π1f f f -<<-【答案】A【详解】对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，即()f x 在0,上单调减，又()f x 是幂函数，知：2244160m m m m ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =或3m =（舍去），∴6()f x x -=，()f x是偶函数，∴(1)(1)f f -=，(3)(3)f f -=，而(1)(3)()f f f π>>，即(1)(3)()f f f π->->， 11．已知点⎝⎛⎭⎫2，18在幂函数f (x )＝x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫33，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫22，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b【答案】C【解析】因为点⎝⎛⎭⎫2，18在函数f (x )的图象上，所以18＝2n ，解得n ＝－3，所以f (x )＝x －3，易知当x >0时，f (x )单调递减．因为33<22<1，ln π>ln e ＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫33>f ⎝⎛⎭⎫22>f (ln π)，即a >c >b ，故选C. 12．(多选)已知函数f (x )＝3x 2－6x －1，则( )A ．函数f (x )有两个不同的零点B ．函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增C ．当a ＞1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝3D ．当0＜a ＜1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝13【答案】ACD【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式Δ＝(－6)2－4×3×(－1)＝48＞0，所以函数f (x )有两个不同的零点，A 正确．因为二次函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，且图象开口向上，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，B 不正确．令t ＝a x ，则f (a x )＝g (t )＝3t 2－6t －1＝3(t －1)2－4. 当a ＞1时，1a ≤t ≤a ，故g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上先减后增，又a ＋1a 2＞1，故最大值为g (a )＝3a 2－6a －1＝8， 解得a ＝3(负值舍去)．同理当0＜a ＜1时，a ≤t ≤1a ，g (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫1a ＝3a 2－6a －1＝8， 解得a ＝13(负值舍去)．故C 、D 正确．13．已知幂函数()223mm y f x x --+==（其中22m -<<，m ∈Z ）满足：①在区间,0上为减函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.则()f x 在[]0,4x ∈的值域为__________. 【答案】()4f x x =，值域为[]0,256【解析】22m -<<，m ∈Z ，1m ∴=-，0，1.对任意x ∈R ，都有()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，f x 是偶函数.当1m =-时，()4f x x =，满足条件①②；当1m =时，()0f x x =，不满足条件①；当0m =时，()3f x x =，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数()f x 的解析式为()4f x x =，且在区间[]0,4上是增函数，∴当[]0,4x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,256。
二次函数、幂函数、指数函数与对数函数
一题多解 观察待证式,构造与2x,3y,5z相关的代数式: 2x=3y⇔(2x)6=(3y)6⇔82x=93y,知2x>3y①; 2x=5z⇔(2x)10=(5z)10⇔322x=255z,知2x<5z②.由①②可得3y<2x<5z.选D. 答案 D
针对训练
1.(2023湖北摸底,4)若3x=4y=10,z=logxy,则 ( )
A.x>y>z B.y>x>z C.z>x>y D.x>z>y
答案 A
2.(2023江苏省沭阳高级中学模拟)若a,b∈R,且满足
1 2
<
1 2
b
<
1 2
a
<1,那么
(
)
A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab
C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa
答案 C
3.3 二次函数、幂函数、指数函数与对数函数
考点清单
二次函数的图象和性质 解析式 图象
考点1 二次函数
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
f(x)=ax2+bx+c(a<0)
定义域
R
值域
顶点 坐标 对称性
4ac 4a
b2
,
b 2a
,
4ac 4a
b2
,
4ac 4a
b2
图象关于直线x=- 2ba对称,无对称中心
考点3 幂函数、指数函数与对数函数
1.几个常用幂函数的图象
幂函数y=xα的图象都过点(1,1),且第四象限内无图象,当α>0时,在(0,+∞)上单调递增,且图象过点(0, 0);当α<0时,在(0,+∞)上单调递减.
第5讲二次函数与幂函数PPT课件
或1a≥4， f4＝16a－8＋2≥0，
∴aa≥≥10， 或14a＜＞a12＜1，
或aa≤≥1438，.
∴a≥1 或12＜a＜1 或∅，即 a＞12；
（2）当 a＜0 时， f1＝a－2＋2≥0， f4＝16a－8＋2≥0， 解得 a∈∅； （3）当 a＝0 时， f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意．
，
增
[0，＋∞)增
(0,0)，(1,1)
[0，＋∞) 非奇非偶
增
y＝x－1
{x|x∈R且 x≠0}
{y|y∈R 且y≠0}
奇 (－∞，0)减
， (0，＋∞)减
(1,1)
2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
答案 f(x)＝ x
5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1， x2，则x1＋x2＝________.
解析 由 f(3＋x)＝f(3－x)，知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝3 对称，
应有x1＋2 x2＝3⇒x1＋x2＝6.
答案 6
考点一 幂函数的图象与性质
【训练3】 函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．
(1)求g(t)的解析式； 请先暂停，完成题目后继续观看！
(2)求g(t)的最大值． 解 (1)f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.对称轴x＝2. ①当t＋1＜2，即t＜1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
二次函数与幂函数_PPT课件
增增
时，减x∈(－
经 典
∈(－∞，0]
考
∞，0)时，减
题
时，减
课 时
规
定点
(0,0)，(1,1)
范
(1,1)
训
练
【基础自测】
基
础
知
1．已知点
33，3
3 在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是
识 梳 理
聚
焦
()
考 向
透
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝x－3
析
感
C．f(x)＝x12
D．f(x)＝x－12
焦 考
向
(1)求f(x)解析式；
透 析
感
(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式．
悟 经
典
【审题视点】 对于(1)，可设二次函数的零点式，再结合最值
考 题
课
求出系数a即得；对于(2)，可通过图象上点的对应关系求g(x)解析
时 规
范
式．
训 练
【解】 (1)由于f(x)有两个零点0和－2，
基
础
知
所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
识 梳
理
这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，
聚
焦
考
由于f(x)有最小值－1，
向 透
析
所以必有－a＞a＝0 －1 ，
感 悟 经 典
考
题
解得a＝1.
课
时
因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.
规 范
训
练
基
础
知
(2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点
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函数第3节 二次函数与幂函数
1. (2013浙江文7）已知,,a b c ∈R ，函数()2
f x ax bx c =++.若()()()041f f f =>，则
（ ）.
A. 0a >，40a b +=
B. 0a <，40a b +=
C. 0a >，20a b +=
D. 0a <，20a b +=
2（2014北京文8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用 率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2
p at bt c =++ （a ，b ，c 是常数），如图所示记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可 以得到最佳加工时间为（ ）
A.3.50分钟
B.3.75分钟
C.4.00分钟
D.4.25分钟
函数第4节 指数与指数函数
1.（优质专题四川文8）某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：C )满足函数 关系e
kx b
y += (e = 2.718
为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0C 的保鲜时间
是192h 小时，在22C 的保鲜时间是48h ，则该食品在33C 的保鲜时间是（ ）. A. 16h B. 20h C. 24h D. 21h
2.（优质专题江苏7）不等式2
24x
x
-<的解集为 ．
3.（优质专题山东文3）设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a b c ，，的大小关系是（ ）. A. a b c <<
B. a c b <<
C. b a c <<
D. b c a <<
4.（优质专题全国丙文7）已知4
3
2a =，23
3b =，13
25c =，则（ ）.
A.b a c <<
B.a b c <<
C.b c a <<
D.c a b << 5.（优质专题山东文10）若函数()e x f x （e 2.71828
=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上
单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为（ ）. A.()2x
f x -=
B.()2
f x x
=
C.()-3
x
f x =
D. ()cos f x x =
函数第3节 二次函数与幂函数答案
1.分析 根据条件可确定函数图象的开口方向和对称轴，化简即得.
解析 因为()()()041f f f =>，所以函数图象应开口向上，即0a >，且其对称轴为2x =，即22b
a
-
=，所以40a b +=，故选A. 2. 解析 由已知得930.71640.82550.5a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得0.21.52a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
，
所以2
2
115130.2 1.525416
p t t t ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，所以当15 3.754t ==时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.
评注 本题主要考查二次函数及配方法求最值，考查学生的计算能力，利用待定系数法求出a ，
b ，
c 是解题关键.
函数第4节 指数与指数函数答案
1.解析 由题意可得22192e 48e b
k b +⎧=⎪⎨=⎪⎩，即11192e 1e
2
b
k
⎧=⎪
⎨=⎪⎩.
所以当33x =时，()
3
3
33111e e e 192242k b k b y +⎛⎫
==⋅=⨯= ⎪⎝⎭
.故选C.
2.解析 由题意222
42x x
-<=，根据2x y =是单调递增函数，得2
2x x -<，
即()()22210x x x x --=-+<，故不等式的解集为()1,2-或写成{}12x x -<<均可．
3.C
4. A 解 4
2
3324a ==，233b =，12
33255c ==，又函数
2
3
y x
=在[0,)+∞上是增函数，所以
b a
c <<.故选A.
5.解析 对选项A ，e e 22x x
x
-⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，因为e 12>，所以e e 22x
x x -⎛⎫
⋅= ⎪⎝⎭
在R 上为增函数.
故选A.。