Lecture 8-2018 同济大学研究生结构动力学课件
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结构动力学课件
惯性力 M点位移
F i m y
y Fi m y
m y 0 y
13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立
建立方程
1）刚度法：
m
y
y yst yd
k ( yst yd ) m( st d ) W 0 y y
ky
kyst W st 0 y
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
具体例子比较:
y 1.例如设:st 0.4cm, h 10cm
h
则
g 980 49.5rad / s yst 0.4
A 0.42 2 10 0.4 2.86cm
0.4 arctg ( ) arctg 0.141 0.14rad 2 10
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
第二类问题：反应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载） 结构 （系统）
输出 （动力反应）
13.1.2 动力荷载的分类
第三类问题：荷载识别
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
建筑抗震设计原则 结构“小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。”
13.1.3 动力计算的自由度
动力自由度： 确定全部质量的位臵，所需独立几何参数的个数。 这是因为：惯性力取决于质量分布及其运动方向。 例：简支梁：
m
m
E、A、I、 R
m y
(忽略m )
体系振动自由度为？ 无限自由度
忽略轴向变形 忽略转动惯量
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
《结构动力学》PPT课件
0
P
sin t
计算步骤: 1.求振型、频率;
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求组合系数;
N
y(t)
Y
i
Di
(t )
i 1
15
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解:
1 5.692
6
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所 附加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y(x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
j
Y T j
2 j
K
* j
/
M
* j
k Y j
2 j
Y
T j
mY j
折算体系
13
一.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) Yi Di (t)
EI
D2 (t)
2 2
D2
(t )
P2* (t)
/
M
* 2
D2 (t)
0.1054
10 2
Pl 3 EI
s in t
例一.求图示体系的稳态振幅.
P
sin t
计算步骤: 1.求振型、频率;
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求组合系数;
N
y(t)
Y
i
Di
(t )
i 1
15
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解:
1 5.692
6
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所 附加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y(x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
j
Y T j
2 j
K
* j
/
M
* j
k Y j
2 j
Y
T j
mY j
折算体系
13
一.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) Yi Di (t)
EI
D2 (t)
2 2
D2
(t )
P2* (t)
/
M
* 2
D2 (t)
0.1054
10 2
Pl 3 EI
s in t
例一.求图示体系的稳态振幅.
结构动力学课件PPT
地震作用
200 0 -200
t(sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
结构在确定性荷载作用下的响应分析通 常称为结构振动分析。 结构在随机荷载作用下的响应分析， 被称为结构的随机振动分析。 本课程主要学习确定性荷载作用下的结 构振动分析。
§1-3 动力问题的基本特性
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性
元件中） 分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成） 只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
A
x
x p( x,t ) = p a ( t )
1
令：
5l FE (t ) q(t ) 8
y FE (t )
FE(t) 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式
P FE (t )
含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与
实际动荷载产生的位移相等！
已经知道柔度和刚度k 之间的关系为： k 表达式成为：
简支梁： 比较： 刚架： 基本质量弹簧体系：
大型桥梁结构 的有限元模型
§1-5 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
（2-3）
刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受 的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方 程，得到体系的运动方程。
同济大学高等结构动力学课件(全)
车辆振动作用 地震振动作用 风致振动作用
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、 同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
主要内容
第一讲 单自由度系统自由振动 第二讲 单自由度系统强迫振动 第三讲 广义单自由度叠加方法 第四讲 广义单自由度分步方法 第五讲 多自由度系统动力问题 第六讲 特征值问题求解方法 第七讲 随机振动基础 第八讲 结构随机振动分析 第九讲 结构动力可靠性分析 第十讲 桥梁车辆振动作用 第十一讲 桥梁地震振动作用 第十二讲 桥梁风致振动作用
阻尼比计算：
2πξω vn = exp vn +1 ωD
Hale Waihona Puke 两边取对数： δ ≡ ln vn = 2πξ ≈ 2πξ = c
ξ≈
vn +1 1−ξ v n − v n +1
2mf
2πv n +1
ξ≈
vn − vn+m 2mπv n + m
振幅衰减值：振幅减小50％的振动次数
1. 1结构重力影响(续)
&&(t ) + cv &(t ) + k∆ st + kv (t ) = p (t ) + W mv
∵ k∆ st = W ∴ ∵ ∴
&&(t ) + cv &(t ) + kv (t ) = p (t ) mv
&&(t ) , v & (t ) &&(t ) = v ν &(t ) = v
A = 0，
B=− p0 β k 1 1 − β 2
无阻尼系统通解：
p v(t ) = 0 k 1 1 − β 2 (sin ω t − β sin ωt )
结构动力学课件
m
EI = ∞
W=2
m m>>m梁 m +αm梁 I
厂房排架水平振动 时的计算简图
m 2I
I
单自由度体系 三个自由度体系
v(t) u(t) θ(t)
三个自由度 水平振动时的计算体系
三个自由度 顶板简化成刚性块
多自由度体系
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
§15-2 单自由度体系的运动方程 15建立运动方程的方法很多，常用的有“动静法” 虚功法、 建立运动方程的方法很多，常用的有“动静法”、虚功法、 变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法” 变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。 m
P(t )
&&(t ) y
m&&(t ) = P(t ) y
运动方程
m
P(t )
一、柔度法
− m&&(t ) y
惯性力 && 柔度法步骤： 柔度法步骤(t ) f I = −my ： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； P(t ) + [−m&&(t )] = 0 y 2.求外力和惯性力引起的位移； 形式上的平衡方程， 形式上的平衡方程，实质上的运动方程 3.令该位移等于体系位移。
∆
δ 11
P (t )
柔度法步骤： 柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
三、列运动方程例题 例3.
&& my + ky = P(t )
P(t )
P(t )
m
EI1 = ∞
第12章结构动力学 ppt课件
§14-1 概 述
一、结构动力计算的特点 动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化。
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。 求出它们的最大值并作为结构设计的依据。
（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。 （2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力。 3、特点 (1)必须考虑惯性力。 （2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理， 加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。
动力自由度的确定方法：加附加链杆约束质点位移，最少链杆数即为自 由度
图刚架上有四个集中质点，但只需要加三根链杆 便可限制全部质点的位置。如图e。
自由度=3 或
图示梁，其分布质量集度为m，可看作有无穷多 个mdx的集中质量，是无限自由度结构。
自由度的数目与结构是否静定或超静定无关
§14-2 结构振动的自由度
2、运动方程的解：
方程
y2y0
为一常系数线性齐次微分方程，其通解为
y (t) A 1 co t s A 2sitn
A1和A2为任意常数，可有初始条件来确定。
振动的初始条件为 t 0 时 y y ， 0 ， y y 0
式中y0—初位移， y0—初速度。则有Fra bibliotekA1y0，A2
y0
可得
yy0cots y0si nt
第十四章 结构动力学
§14-1 概 述 §14-2 结构振动的自由度 §14-3 单自由度结构的自由振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 §14-6 多自由度结构的自由振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-8 振型分解法 §14-9 无限自由度结构的振动 §14-10 计算频率的近似法
同济大学-结构力学课件
• 加里莱·伽利略 （Galileo·Galilei 1564—
1642年）是意大利伟大的物理学家、力 学家、天文学家。他推翻了当时最权威 的 亚里斯多德 的学说， 1582年，他先 后发明了“摆锤摆动等时性定律、落体 定律、惯性定律”。伽利略的成就被公 认为——近代科学的起源。
牛顿（1642-1727年、英国）使力学 成为一门较完整与系统的学科。
2008年5月底，上海新的“第一高”方案确定——580米的 “上海中心”，被设计成盘旋上升的龙形。
截止到2009年1月23日， 迪拜塔封顶，高达818米。
在“迪拜塔”之前，纽 约帝国大厦(381米)、中国 上海金茂大厦(420.5米)、 美国芝加哥希尔斯大厦 (442.3米)、马来西亚双子 星塔(451.9米)、中国台北 101大楼(508米)都曾是享誉 世界的著名高楼。
■ 世界最高酒店：设在大楼79至93层 的柏悦酒店，将成为世界最高酒店。
■ 燃气输送至93层416米的高度，生 活用水最高处在434米的97层观光天 桥上，而消防用水则通过4节系统送至 楼顶，均创下了新高。
被誉为“江苏省 第一高楼”的南京绿地广场紫峰大厦2008 年6月封顶。该大厦位于南京中心鼓楼广场西北角，总高88 层，主体高度最高达381米、天线顶高450米，因其高度超 过420米的上海金茂大厦，而成为中国第二高楼
• 建筑是在力学基础上发展起来的，古
人根据经验设想来构造结构，直到18 世纪有了系统力学分析后，以受力状
态为依据的结构设计才逐渐代替经验 设想。
建筑历史
• 1、历代建筑的演变 • 穴居 巢居 棚居 房屋（人类生活逐步
稳定和发明工具）
• 2、建筑三要素 • 公元前32-22年间，古罗马奥古斯都时代的
第十章结构动力学1 56页PPT文档
5.与其它课程之间的关系
结构动力学以结构力学和数学为基础。 要求熟练掌握已学过的结构力学知识和数学知识（微分方程的求解）。
结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
2019/9/6
结构力学
§10-2 体系的动力自由度
1.动力自由度的定义
动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（D‘Alembert Jean Le Rond）原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位 移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。
世界上采用被动式TMD的其它代表性建筑有：加拿大多伦多 的CN Tower、日本大阪的Crystal Tower、澳洲悉尼的 Centerpoint Tower、美国纽约的Citicorp Center、日本的明石 海峡大桥 Akashi Kaikyo Bridge ，等等。
§10-1 概述
结构振动控制的工程应用实例
冲击和突加载荷： 其特点是荷载的大小在极短的时间内有较大的变化。冲 击波或爆炸是冲击载荷的典型来源；吊车制动力对厂房的水平作用是典型 的突加荷载。
随机载荷：其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。风 荷载和荷载均属此类。对于随机荷载，需要根据大量的统计资料制定出相 应的荷载时间历程（荷载谱）。
第10章 结构动力学
Structural dynamics
§10-1 概述 §10-2 体系的动力自由度 §10-3 单自由度体系运动方程的建立 §10-4 单自由度体系的自由振动 §10-5 单自由度体系的强迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 振型的正交型 §10-8 多自由度体系的强迫振动 §10-9 无限自由度体系的自由振动 §10-10 自振频率的近似计算
结构动力学以结构力学和数学为基础。 要求熟练掌握已学过的结构力学知识和数学知识（微分方程的求解）。
结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
2019/9/6
结构力学
§10-2 体系的动力自由度
1.动力自由度的定义
动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（D‘Alembert Jean Le Rond）原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位 移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。
世界上采用被动式TMD的其它代表性建筑有：加拿大多伦多 的CN Tower、日本大阪的Crystal Tower、澳洲悉尼的 Centerpoint Tower、美国纽约的Citicorp Center、日本的明石 海峡大桥 Akashi Kaikyo Bridge ，等等。
§10-1 概述
结构振动控制的工程应用实例
冲击和突加载荷： 其特点是荷载的大小在极短的时间内有较大的变化。冲 击波或爆炸是冲击载荷的典型来源；吊车制动力对厂房的水平作用是典型 的突加荷载。
随机载荷：其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。风 荷载和荷载均属此类。对于随机荷载，需要根据大量的统计资料制定出相 应的荷载时间历程（荷载谱）。
第10章 结构动力学
Structural dynamics
§10-1 概述 §10-2 体系的动力自由度 §10-3 单自由度体系运动方程的建立 §10-4 单自由度体系的自由振动 §10-5 单自由度体系的强迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 振型的正交型 §10-8 多自由度体系的强迫振动 §10-9 无限自由度体系的自由振动 §10-10 自振频率的近似计算
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u x, t x z t
The equation of motion
u j x, t j z t
The analysis method for normal SDOF can be readily applied to the above equation. The key step here is to determine the generalized mass, damping, stiffness and excitation for a given system.
u j x, t j z t
Systems with distributed mass and elasticity
WE =WI
External virtual work
u j x, t j z t
Systems with distributed mass and elasticity
u x, t x z t
Selection of sha来自e functionThe accuracy of Rayleigh method depends entirely on the shape function which is assumed to represent the vibration mode shape. In principle, any shape that satisfies the geometric boundary conditions can be selected. Better shape functions give lower estimates. The true natural frequency being a lower bound of all estimates
Rigid-body assemblages
u x, t x z t x t u x, t x z t x t
Natural frequency and damping ratio
Solution with c=0
where can be any reasonable approximation of the exact mode shape.
Selection of shape function
One common assumption is that the inertial loading p(x) is merely the weight, that is p(x)=m(x)*g, can be any reasonable approximation of the exact mode shape. The vibration frequency then is evaluated on the basis of the deflected shape resulting from the dead-weight load.
WE =WI
u j x, t j z t
WI = k j u j u j 1 u j u j 1
j 1
N
EOM
Systems with distributed mass and elasticity
u j x, t j z t
WE WI
Systems with distributed mass and elasticity
WE =WI
External virtual work
u x, t x z t
Systems with distributed mass and elasticity
Distributed-mass system
Lumped-mass system
u j x, t j z t
According to the principle of conservation of energy:
Natural frequency by Rayleigh’s method
WE =WI
Internal virtual work
u x, t x z t
Systems with distributed mass and elasticity
WE =WI
u x, t x z t
Systems with distributed mass and elasticity
Rigid-body assemblages
the critical or buckling axial load
Systems with distributed mass and elasticity
Assumed shape function: The assumed shape function must satisfy the displacement boundary conditions.
Lumped-mass system
u x, t x z t
According to the principle of conservation of energy:
Natural frequency by Rayleigh’s method
Mass-spring system
Rigid-body assemblages
u x, t x z t x t u x, t x z t x t
Rigid-body assemblages
EOM
u x, t x z t x t u x, t x z t x t
Systems with distributed mass and elasticity
The variable-separating method:
u x, t x z t u j x, t j z t
Generalized SDOF systems
Structural Dynamics
Lecture 8 Generalized SDOF Systems
Contents
Generalized SDOF systems
Rigid-body assemblages
Systems with distributed mass and elasticity
Selection of shape function
The properties of exact mode shape
If ψ(x) were the exact mode shape, static application of these inertia forces at each time instant will produce deflections u x, t ' An approximate shape function may be determined as the deflected shape due to the following static forces.
WE =WI
Internal virtual work
u j x, t j z t
WI = k j u j u j 1 u j u j 1
j 1
N
Systems with distributed mass and elasticity
EOM
u x, t x z t
Natural frequency
Systems with distributed mass and elasticity
EOM
u x, t x z t
Lumped-mass system: Shear building
Lumped-mass system: Shear building Natural frequency by Rayleigh’s method Selection of shape function
Generalized SDOF systems
Rigid-body assemblages Lumped-mass system
k n m Properties of Rayleigh’s Quotient: The approximate frequency obtained from an assumed shape function is never smaller than the exact value. Rayleigh’s quotient provides excellent estimates of the fundamental frequency, even with a mediocre shape function.
g
2 n
m x u x dx
0 2
L
u x m x
0
L
dx
Selection of shape function
In general, the selection of trial shapes goes through two steps 1. considers the flexibilities of different parts of the structure and the presence of symmetries to devise an approximate shape 2. the structure is loaded with constant loads directed as the assumed displacements, the displacements are computed and used as the shape function
The equation of motion
u j x, t j z t
The analysis method for normal SDOF can be readily applied to the above equation. The key step here is to determine the generalized mass, damping, stiffness and excitation for a given system.
u j x, t j z t
Systems with distributed mass and elasticity
WE =WI
External virtual work
u j x, t j z t
Systems with distributed mass and elasticity
u x, t x z t
Selection of sha来自e functionThe accuracy of Rayleigh method depends entirely on the shape function which is assumed to represent the vibration mode shape. In principle, any shape that satisfies the geometric boundary conditions can be selected. Better shape functions give lower estimates. The true natural frequency being a lower bound of all estimates
Rigid-body assemblages
u x, t x z t x t u x, t x z t x t
Natural frequency and damping ratio
Solution with c=0
where can be any reasonable approximation of the exact mode shape.
Selection of shape function
One common assumption is that the inertial loading p(x) is merely the weight, that is p(x)=m(x)*g, can be any reasonable approximation of the exact mode shape. The vibration frequency then is evaluated on the basis of the deflected shape resulting from the dead-weight load.
WE =WI
u j x, t j z t
WI = k j u j u j 1 u j u j 1
j 1
N
EOM
Systems with distributed mass and elasticity
u j x, t j z t
WE WI
Systems with distributed mass and elasticity
WE =WI
External virtual work
u x, t x z t
Systems with distributed mass and elasticity
Distributed-mass system
Lumped-mass system
u j x, t j z t
According to the principle of conservation of energy:
Natural frequency by Rayleigh’s method
WE =WI
Internal virtual work
u x, t x z t
Systems with distributed mass and elasticity
WE =WI
u x, t x z t
Systems with distributed mass and elasticity
Rigid-body assemblages
the critical or buckling axial load
Systems with distributed mass and elasticity
Assumed shape function: The assumed shape function must satisfy the displacement boundary conditions.
Lumped-mass system
u x, t x z t
According to the principle of conservation of energy:
Natural frequency by Rayleigh’s method
Mass-spring system
Rigid-body assemblages
u x, t x z t x t u x, t x z t x t
Rigid-body assemblages
EOM
u x, t x z t x t u x, t x z t x t
Systems with distributed mass and elasticity
The variable-separating method:
u x, t x z t u j x, t j z t
Generalized SDOF systems
Structural Dynamics
Lecture 8 Generalized SDOF Systems
Contents
Generalized SDOF systems
Rigid-body assemblages
Systems with distributed mass and elasticity
Selection of shape function
The properties of exact mode shape
If ψ(x) were the exact mode shape, static application of these inertia forces at each time instant will produce deflections u x, t ' An approximate shape function may be determined as the deflected shape due to the following static forces.
WE =WI
Internal virtual work
u j x, t j z t
WI = k j u j u j 1 u j u j 1
j 1
N
Systems with distributed mass and elasticity
EOM
u x, t x z t
Natural frequency
Systems with distributed mass and elasticity
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u x, t x z t
Lumped-mass system: Shear building
Lumped-mass system: Shear building Natural frequency by Rayleigh’s method Selection of shape function
Generalized SDOF systems
Rigid-body assemblages Lumped-mass system
k n m Properties of Rayleigh’s Quotient: The approximate frequency obtained from an assumed shape function is never smaller than the exact value. Rayleigh’s quotient provides excellent estimates of the fundamental frequency, even with a mediocre shape function.
g
2 n
m x u x dx
0 2
L
u x m x
0
L
dx
Selection of shape function
In general, the selection of trial shapes goes through two steps 1. considers the flexibilities of different parts of the structure and the presence of symmetries to devise an approximate shape 2. the structure is loaded with constant loads directed as the assumed displacements, the displacements are computed and used as the shape function