生活中的等腰三角形图片
等腰三角形和等边三角形的性质
等腰三角形和等边三角形的性质等腰三角形和等边三角形是基础的几何形状，它们有着特殊的性质和特点。
在本文中，我们将一起探讨等腰三角形和等边三角形的性质，并分析它们在几何学中的重要性。
一、等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
以下是等腰三角形的主要性质：1. 两底角相等：等腰三角形的底边是两边相等的边，因此，其对应的底角相等。
即∠A = ∠C，其中A、C为等腰三角形的两个底角。
2. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角恰好平分了底角。
也就是说，等腰三角形的顶角∠B恰好等于底角∠A和∠C的一半。
3. 等腰三角形的高线：等腰三角形的高线是连接顶点与底边垂直的线段。
在等腰三角形ABC中，高线BD垂直于底边AC，并且BD是AC的中线（即BD=DC）。
4. 等腰三角形的中线：等腰三角形中线是分别连接底边中点与顶点的线段。
在等腰三角形ABC中，中线BE与底边AC相等（即BE=EC）。
二、等边三角形的性质等边三角形是指三条边相等的三角形。
以下是等边三角形的主要性质：1. 三个内角相等：等边三角形的三个内角都相等，即∠A = ∠B =∠C = 60°。
2. 三条高线重合：等边三角形的三条高线分别由顶点向底边上的三个顶点所引。
这三条高线相交于同一个点，也就是等边三角形的垂心。
3. 等边三角形的中线：等边三角形的中线是分别连接底边中点与顶点的线段，也就是等边三角形的高线。
由于等边三角形的三边相等，中线也为等边三角形三边的中线。
三、等腰三角形和等边三角形的重要性等腰三角形和等边三角形在几何学中具有重要的应用和特点。
以下是它们的一些重要性：1. 判定等腰三角形：利用等腰三角形的性质，我们可以通过两条边的长度相等来判定一个三角形是否为等腰三角形。
2. 判定等边三角形：等边三角形的三条边相等，因此，我们可以通过三条边的长度相等来判定一个三角形是否为等边三角形。
3. 等腰三角形的应用：等腰三角形的性质常常应用在各类数学问题中，如三角函数、三角恒等式、三角面积等计算中。
等边三角形(1)
13.3 等腰三角形 （第3课时）
创设情境，导入新知
下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此 图形的名称吗？
创设情境，导入新知
问题 满足什么条件的三角形是等边三角形？ 三条边都相等的三角形是等边三角形．
A
B
C
等边三角形
创设情境，导入新知
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合
你画的图形说出它们有什么区别和联系？
ED
A
B
C
例2、如图，△ABC是等边三角形，P、Q分 别是AC、BC上的点，且AP=CQ，AQ与BP 交于点M。求∠BMQ的度数。
A
P M
B
C
Q
例3、如图，等边三角形ABC中，AD是BC 上的高，∠BDE =∠CDF = 60 °，图中有哪 些与BD相等的线段？
BD = DC = DE = DF = AE = BE = AF = CF
例1 如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分 别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形.
A式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
A
B
C
D
E
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？
细心观察，探索性质
已知：在△ABC 中，AC =BC且∠A =60°．求证： △ABC是等边三角形．
等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
C
符号语言：
在△ABC 中，
∵ BC =AC，∠A =60°，
∴ △ABC 是等边三角形．
A
B
1.三边都相等的三角形是等边三角形.
等腰直角三角形中斜边等于根号二直角边
等腰直角三角形中斜边等于根号二直角边等腰直角三角形是指有两条边长度相等的直角三角形。
在等腰直角三角形中，斜边等于直角边乘以根号二。
这个主题是关于三角形的特殊性质，对于数学和几何知识有很大的重要性。
下面我们将通过深入的讨论和详细的介绍来帮助你更好地理解这个主题。
一、等腰直角三角形的定义1.1 什么是等腰直角三角形等腰直角三角形是指两个直角边相等的直角三角形。
它是直角三角形中的特殊情况，具有一些独特的性质。
1.2 等腰直角三角形的性质在等腰直角三角形中，直角边和斜边之间存在一个特殊的关系，即斜边等于直角边乘以根号二。
这个性质是等腰直角三角形中特别重要的一个特征。
二、斜边等于根号二直角边的证明2.1 斜边和直角边的关系在等腰直角三角形中，根据勾股定理，直角边和斜边的关系可以用数学公式表示为：斜边的平方等于直角边的平方和。
即c² = a² + b²。
2.2 斜边等于根号二直角边的证明我们可以利用勾股定理来推导出斜边等于直角边乘以根号二的结论。
根据勾股定理的公式c² = 2a²，通过开方运算可得c = a√2。
这就证明了斜边等于直角边乘以根号二。
三、等腰直角三角形的应用3.1 等腰直角三角形在几何图形中的应用等腰直角三角形的性质和特点在几何图形中有着广泛的应用。
通过这个性质，我们可以计算三角形的各边长度和角度，从而解决各种几何问题。
3.2 等腰直角三角形在实际生活中的应用等腰直角三角形的性质也经常在实际生活中被应用。
例如在建筑工程中，利用等腰直角三角形的原理可以计算建筑结构的支撑和稳定性。
四、总结和回顾在本篇文章中，我们深入探讨了等腰直角三角形中斜边等于根号二直角边的性质，并给出了相应的证明和应用。
通过对这个主题的深入理解，我们可以更好地掌握等腰直角三角形的特点和应用。
希望通过这篇文章的阐述，你对等腰直角三角形中斜边等于根号二直角边的性质有了更清晰的认识。
人教版八年级数学上册13.3《等腰三角形》说课课件
综合小测
1.(中考•盐城)若等腰三角形的顶角为40°，则它的 底角度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
2.等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?如 A
图,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.将等腰三角形 ABC沿对称轴AD翻折,观察DE与DF的关系.
设计意图：考查学生对等腰三角形的性质的 E
（2）把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折, 找出其中相等的线段和角,填入下表?
重合的线段
重合的角
B
C
D
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他特征吗?
设计意图：通过动手剪，折，直观发现规律， 从而培养学生的概括总结能力。
活动2： 探索等腰三角形的性质 A
等腰三角形的性质：（板书）
（1）等腰三角形的两个底角相等 B D C （2）等腰三角形的顶角平分线、底
4.变式训练：若已知∠BAC=100 º, 你能否求出顶架上∠B、
∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
A
设计意图
B
D
C
让学生进一步理解等腰三角形的性质的意义—它既是全等
知识的运用和延续，又是证明两个角相等、两条线段相等、线
段垂直关系的更为简捷的途径和方法。
5.课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？ （3）“三线合一”的含义是什么？ （4）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的
.
（4）如图3, AB=AC ,AD⊥BC交BC于点D,BD=5cm,那么BC的长度为
（
)A
A
A
图1
图2
图3
B
CB
C B DC
生活中的图形——三角形
生活中的图形——三角形一、知识点梳理1、定义2、分类3、关系4、常见的公式1、定义定义定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形注意：1、不在同一直线2、首尾顺次连接welcome to use these PowerPoint templates, New锐角三角形不等边三角形Content design, 10 years experience按角度直角三角形按边长钝角三角形等腰三角形（等边三角形）①三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
②三角之间的关系三角形三个内角之和为180°4、常见公式1、周长公式：C=a+b+c2、面积公式：S=（底*高）/2二、案例分析例1、一个三角形的两边长为2和9，第三边为奇数，则此三角形的周长是多少？分析：根据三边之间的关系，可以得出第三边的范围为7~11，而在7~11这个范围内的奇数只有9，所以第三条边为9，那么根据周长公式可知三角形周长为：2+9+9=20。
针对性练习：若一个等腰三角形的周长为17cm，一边长为3cm，则它的另一边长为分析：根据三边关系和等腰三角形的性质，可以分两种情况讨论①腰长为3cm，则另一腰长也为3cm，那么底边长为11cm，根据三边之间的关系可得无法组成三角形②底边长3cm,则腰长为（17-3）/2=7cm，即三边分别为7、7、3，根据三边关系判断可以构成三角形综上，另一边长为7cm。
三、课后练习21有下列长度的三条线段，能组成三角形的是A. 1,2,3 B. 1,2,4 C. 2,3,4 D. 2,3,6已知等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为（）A. 9B. 12C. 15D. 12或15跟踪联系：已知等腰三角形的两边长为3和5，则它的周长为（）A. 8B. 11C. 13D. 11或13谢谢。
等腰三角形在生活中的应用
等腰三角形在生活中的应用作者：左加亭来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2008年第07期等腰三角形是特殊的三角形，其特殊性质在解决实际问题时，有着广泛的应用．下面举几个例子，与大家共同探讨．例1一艘轮船由南向北航行，速度为15海里/时.在A处测得小岛P在轮船的北偏西15°方向上.两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上.已知在小岛P周围18海里内有暗礁.若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？解析：根据题意画出图形如图1，则AB=15×2=30（海里）．过P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，由在A点、B点测得的方位角可知∠PAB=15°，∠PBC=30°．∴∠APB=∠PBC-∠PAB=30°-15°=15°．∴AB=PB．在Rt△BCP中，∵∠PBC=30°，∴PC=1/2PB=1/2AB=15（海里）．即点C距小岛P的距离只有15海里，而小岛周围18海里内有暗礁，所以该船继续向北航行有触礁的危险．规律总结：解此类问题，应首先正确画出图形，然后将实际问题转化成数学问题．作垂线是解这类题常用的方法之一.例2某中学学生在工厂学习时，看到工人师傅在材料的边角处画直角采用“三弧法”．如图2所示，（1）画线段AB，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，相交于点C；（2）以C 为圆心，仍以AB长为半径画弧，交AC的延长线于D；（3）连接DB，则∠ABD为直角．这是为什么呢？解析：易知△ABC为等边三角形，△BCD是等腰三角形，进而可得一方程，解出即可．由画法可知，AB=AC=BC=CD．∵ AC=BC，∴∠A=∠1．∵CB=CD，∴∠D=∠2．∵∠A+∠1+∠2+∠D=180°，∴2∠1+2∠2=180°，∠1+∠2=90°，即∠ABD=90°．规律总结：在三角形中求角的度数，有时还可借助于“等边三角形的每个角都是60°”来解决．比如本题，可知∠1=60°.又△BCD为等腰三角形，且易知∠BCD=120°，故∠2=30°.相加即得结论.例3东风汽车公司冲压汽车零件后剩余的废料都是形状为等腰三角形的小钢板，如图3，其中AB=AC.该厂为了降低生产成本，变废为宝，把这些废料加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，但要求零件的形状都要是矩形．现在要求把如图3所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每个钢板切割的次数最多为两次（切割的损失忽略不计）．（1）请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明.（2）若该三角形废料切割后能焊接成正方形零件（要求只切割一次），则该三角形应满足什么条件？解析：等腰三角形切割后焊接成矩形的方法很多，但解此题时要注意切割次数最多为两次的条件．（1）方案一：如图4所示．方案二：如图5所示（虚线为切割线，M、N分别为AB、AC中点，MP⊥BC）．（2）若要把三角形废料只切割一次后焊接成正方形零件，则三角形应为等腰直角三角形．规律总结：应用几何知识设计图形，要勤于动脑，可能的情况下要善于动手操作．。
数学八年级上册第2章三角形2.1三角形课件 湘教版
解： ∵ ∠3是△ABC的一个外角
∴∠3= ∠1+∠2 （三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角的和）
3 21
∵ ∠1=∠2
∴ ∠3= 2∠1
∴ ∠1= ∠2 = 1/2∠3=1/2×100
°
=50 °
3A
B2
1C
课堂达标
1. 三角形按角分类,可以分为锐角三角形, 直角三角形,钝角三角形
2.在 ABC 中, (1)若∠A=54°，∠B=27°，则∠C= 99° . (2)若∠B=∠C=30°，则∠A= 120°, ABC 为 钝角 三角形 (3)若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠A= 30°,∠B= 60°,∠C = 90°.
多边形 三角形 四边形 五边形 … n 边形
内角和
180° 360° 540°
…
180°( n－2 )
做一做
在一张薄纸上任意画一个 三角形，你能设法画出它的一 个内角的平分线吗? 你能通过折纸的方法得到它吗?
B 用圆规画最简便。
在一张纸上画出一个 一个三角形并剪下，将它的 一个角对折，使其两边重合。
∴∠ＢＡＦ＋∠ＣＢＤ＋∠ＡＣＥ ＝（∠２＋∠３＋∠１＋∠３＋∠１＋∠２） ＝２（∠１＋∠２＋∠３）
例4 已知：Ｄ是ＡＢ上一点，
Ｅ是ＡＣ上一点，ＢＥ、ＣＤ相交于点
Ｆ，∠Ａ＝６２º，∠ＡＣＤ＝３５º，
∠ＡＢＥ＝２０º．
求：（１）∠ＢＤＣ的度数； Ａ
（２）∠ＢＦＤ的度
数 解．：Байду номын сангаас１） ∵∠ＢＤＣ ＝∠Ａ＋∠ＡＣＤ
个外角．
A
E
D
F
B
C
三.三角形的分类
直角三角形
按角分
等腰三角形图片
03
等腰三角形的面积计算
等腰三角形的面积公式
等腰三角形的面积公式
• 面积 = (底边 * 高) / 2
公式推导
• 根据三角形的面积公式，可知面积等于底边乘以高除以2。对于等腰三角形，底边
和高都可以通过已知条件求得，所以可以计算出面积。
等腰三角形面积计算实例
已知等腰三角形的底边和高，求面积
• 根据面积公式，可知面积等于底边乘以高除以2。将已知条件代入
在标志设计中的应用
• 可以利用等腰三角形的特点，设计出具有独特风格的标志。
在海报设计中的应用
• 可以将等腰三角形与其他图形进行组合，设计出具有创意的海报。
在包装设计中的应用
• 可以利用等腰三角形的构图技巧，设计出具有美感的包装。
05
等腰三角形与其他图形的组合与变换
等腰三角形与正方形的组合与变换
组合方式
特风格的图案。
等腰三角形与圆形的组合与变换
组合方式
变换方法
• 可以将等腰三角形与圆形进行组合，形成各种不同的图
• 可以通过对等腰三角形和圆形进行变换，如平移、旋
案。
转、缩放等，创造出具有独特风格的图案。
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DOCS
02
等腰三角形的解法与应用
等腰三角形的求解方法(一)
已知等腰三角形的周长和底边，求腰长
• 根据周长公式，可知腰长等于周长除以2减去底边。
已知等腰三角形的底边和高，求腰长
• 根据勾股定理，可知腰长等于底边的一半乘以根号下(1+高^2)。
已知等腰三角形的底角和顶角，求腰长
• 根据三角函数，可知腰长等于底边乘以(sin顶角/sin底角)。