Vasiek利率模型下的亚式期权的定价问题和数值分析
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263Vol.26No.3 20037ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA July,2003 Vasiˇc ek
∗
(200092)
(230026)
Vasiˇc ek
Cauchy
Cauchy
1
(Call/Put Option)
(Exotic Option).
Black-Scholes
Vasiˇc ek T,[0,T]
2001107
∗(10201029)
468
26
Monte Carlo
[1,2],
[3–5].
Turnbull &Wakeman (1991)
Levy (1992).
Laplace
Taylor
(
[6–9]),
[3,10,11].
Cauchy
[12].
1
Cauchy
Cauchy
2
T ,
[0,T ]
T 0
(Zero-Coupon).
(Ω,F,P )
r
S
d r t =(β−αr t )d t +γd Z t ,d S t =S t (r t dt +σB t ).
(2.1)
(Z t ,B t )
(Ω,F,P )2
(F t )t ≥0
σ-α,β,λ=0σ=0
T ,
1
T
T
S (τ)d τ
T
ξ=
S T −
1
T
T
S (τ)d τ
+
.(2.2)
C (t )
C (t )=E p ξexp
−
T
t
r s d s F t .
(2.3)
I t =
t
S (τ)d τ,(t,r t ,S t ,I t )
Markovian
C (t )
(t,r,S,I )
C (t,r,S,I ).Feymann-kac
3Vasiˇc ek469 PDE Cauchy
⎧⎪⎨
⎪⎩∂V
∂t
+
1
2
σ2S2
∂2V
∂S2
+
1
2
γ2
∂2V
∂r2
+rS
∂V
∂S
+(β−αr)
∂V
∂r
+S
∂V
∂I
−rV=0,
V(T,S,r,I)=
S−
I
T
+
,
(2.4)
0≤t T S , V(t,S,r,I)=Sf(t,x,r), ⎧⎨⎩∂f ∂t + 1 T −rx ∂f ∂x + 1 2 σ2x2 ∂2f ∂x2 +(β−αr) ∂f ∂r + 1 2 γ2 ∂2f ∂r2 =0, f(T,x,r)=(1−x)+. (2.5) t→T∂2f(x,t,r) ∂x2 →δ(1−x),δ(ξ)0Dirac T (2.5)f=f1+f2, f1f2PDE: ⎧⎨⎩∂f1 ∂t +rx ∂f1 ∂x + 1 2 σ2x2 ∂2f1 ∂x2 +(β−αr) ∂f1 ∂r + 1 2 γ2 ∂2f1 ∂r2 −rf1=0, f1(T,x,r)=(1−x)+ (2.7) ⎧⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎩∂f2 ∂t + 1 T −rx ∂f 2 ∂x + 1 2 σ2x2 ∂2f2 ∂x2 +(β−αr) ∂f2 ∂r + 1 2 γ2 ∂2f2 ∂r21 =− 1 T −2rx ∂f 1 ∂x −rf, f2(T,x,r)=0, (2.7) 0≤t f1Vasiˇc k1 Call-Put C(t,r t,S t,K)−P(t,r t,S t,K)=S t−KP(t,T),(2.8) P(t,T)T0t Vasiˇc k ([13]): C(t,r t,S t,K)=S t N(d1)−Ke−C1(t,T,r t)+σ2 X 2N(d2).(2.9) d1=log S t K +1 2 σ2Y+C(t,T,r t) σ2X+σ2Y ,d2= log S t K − σ2X+12σ2Y +C(t,T,r t) σ2X+σ2Y , σ2X=1 α T t γ2e2α(T−u)d u,σ2Y=σ2(T−t), C1(t,T,r t)=γ α (eα(T−t)−1)− γ α2 (T−t+1)+ γ α2 eα(T−t).