直线与平面垂直的判定及其性质_测试题(答案)

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高考数学(人教a版,理科)题库：直线、平面垂直的判定及其性质(含答案)

第5讲直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )．A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析由面面垂直的判定定理，知m⊥β⇒α⊥β.答案 B3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是()．A．P A＝PB＝PCB．P A⊥BC，PB⊥ACC．点P到△ABC三边所在直线的距离相等D．平面P AB、平面PBC、平面P AC与△ABC所在的平面所成的角相等解析条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.答案 B4. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()．A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．答案 A5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()．A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β解析与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.答案 C6．如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图(b)所示，那么，在四面体A－EFH中必有()．A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥面HEF.答案 A二、填空题7. 如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．解析折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．答案垂直8．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．解析由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；因为l⊥α，α⊥β⇒l ∥β或l⊂β，所以l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确；因为l⊥α，l⊥m⇒m⊂α或m∥α，又m⊂β，所以α，β可能平行或相交，故④错误．答案①③9．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．解析如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.答案3个10. 如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③三、解答题11．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠C＝90°，点B1在底面上射影D落在BC上．(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)若AB 1⊥BC 1，且∠B 1BC ＝60°，求证：A 1C ∥平面AB 1D .解析 (1)∵B 1D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴B 1D ⊥AC .又∵BC ⊥AC ，B 1D ∩BC ＝D ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C .(2) ⎭⎬⎫AB 1⊥BC 1AC ⊥BC 1AB 1与AC 相交≠⇒⎭⎬⎫BC 1⊥平面AB 1C B 1C ⊂平面AB 1C ⇒BC 1⊥B 1C ， ∴四边形BB 1C 1C 为菱形，∵∠B 1BC ＝60°，B 1D ⊥BC 于D ，∴D 为BC 的中点．连接A 1B ，与AB 1交于点E ，在三角形A 1BC 中，DE ∥A 1C ，∴A 1C ∥平面AB 1D .12．如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DB＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点．(1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ；(2)求证：MD ⊥AC ；(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .(1)证明由直四棱柱，得BB 1∥DD 1，又∵BB 1＝DD 1，∴BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD .而BD ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ，∴B 1D 1∥平面A 1BD .(2)证明 ∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥AC .又∵BD ⊥AC ，且BD ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D .而MD ⊂平面BB 1D ，∴MD ⊥AC .(3)解当点M 为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连接NN 1交DC 1于O ，连接OM ，如图所示．∵N 是DC 的中点，BD ＝BC ，∴BN ⊥DC .又∵DC 是平面ABCD 与平面DCC 1D 1的交线，而平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1，∴BN ⊥平面DCC 1D 1.又可证得O 是NN 1的中点，∴BM ∥ON 且BM ＝ON ，即BMON 是平行四边形．∴BN ∥OM .∴OM ⊥平面CC 1D 1D .∵OM ⊂平面DMC 1，∴平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .13．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)若N 是BC 的中点，证明：AN ∥平面CME ；(2)证明：平面BDE ⊥平面BCD .(3)求三棱锥D －BCE 的体积．(1)证明连接MN ，则MN ∥CD ，AE ∥CD ，又MN ＝AE ＝12CD ，∴四边形ANME 为平行四边形，∴AN ∥EM .∵AN ⊄平面CME ，EM ⊂平面CME ，∴AN ∥平面CME .(2)证明 ∵AC ＝AB ，N 是BC 的中点，AN ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，∴AN ⊥平面BCD .由(1)，知AN ∥EM ，∴EM ⊥平面BCD .又EM ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD .(3)解 V D －BCE ＝V E －BCD ＝13S △BCD ·|EM |＝13×22×42×2＝83.14．如图，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1綉BB 1，AB ＝AC ＝AA 1＝22BC ，B 1C 1綉12BC .(1)求证：A 1B 1⊥平面AA 1C ；(2)若D 是BC 的中点，求证：B 1D ∥平面A 1C 1C .(3)若BC ＝2，求几何体ABC －A 1B 1C 1的体积．(1)证明 ∵AB ＝AC ＝22BC ，AB 2＋AC 2＝BC 2，∴AB ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴AA 1⊥AB ，AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面AA 1C ，又∵AA 1綉BB 1，∴四边形ABB 1A 1为平行四边形． ∴A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)证明 ∵B 1C 1綉12BC ，且D 是BC 的中点，∴CD 綉C 1B 1，∴四边形C 1CDB 1为平行四边形， ∴B 1D ∥C 1C ，B 1D ⊄平面A 1C 1C 且C 1C ⊂平面A 1C 1C ， ∴B 1D ∥平面A 1C 1C .(3)解连接AD ，DC 1，V ＝V 三棱柱A 1B 1C 1－ABD ＋V 四棱锥C －AA 1C 1D ＝12×1×1×2＋13×(2×1)×1＝526.。

高三数学直线、平面垂直的判定及其性质练习题(含答案)

直线、平面垂直的判定及其性质建议用时：45分钟一、选择题1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．] 2．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()A[A选项中，因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB；B选项中，AB与CD 成60°角；C选项中，AB与CD成45°角；D选项中，AB与CD夹角的正切值为 2.]3．(2019·东北三省三校联考)在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且P A＝AB＝2，则直线PB与平面P AC所成角为()A.π6 B.π4 C.π3 D.π2A[连接BD，交AC于点O.因为P A⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥P A.又因为P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，故BO⊥平面P AC.连接OP，则∠BPO即为直线PB与平面P AC所成角．又因为P A＝AB＝2，所以PB＝22，BO＝ 2.所以sin∠BPO＝BOPB＝12，所以∠BPO＝π6.故选A.]4．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥ACC[如图．∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．] 5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABCD[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.]二、填空题6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为82，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为．30°[连接BC1(图略)，由AB⊥平面BB1C1C知∠AC1B就是直线AC1与平面BB1C1C所成的角．由2×2×AA1＝82得AA1＝22，∴BC1＝BC2＋CC21＝23，在Rt△AC1B中，tan∠AC1B＝ABBC1＝223＝33，∴∠AC1B＝30°.]7．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则点A1到平面AB1D1的距离是．23[如图，△AB1D1中，AB1＝AD1＝5，B1D1＝2，∴△AB 1D 1的边B 1D 1上的高为(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，∴S △AB 1D 1＝12×2×322＝32，设A 1到平面AB 1D 1的距离为h ；则有S △AB 1D 1×h ＝S △A 1B 1D 1×AA 1，即32h ＝12×2，解得h ＝23.]8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确的命题有．(填写所有正确命题的编号)②③④ [对于①，α，β可以平行，可以相交也可以不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l ⊂α，n ∥l ，又m ⊥α，所以m ⊥l ，所以m ⊥n ，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m ⊂α，所以m ，β没有公共点，由线面平行的定义可知m ∥β，故正确．对于④，因为m ∥n ，所以m 与α所成的角和n 与α所成的角相等．因为α∥β，所以n 与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故正确．]三、解答题9．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.[证明](1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，所以PD⊥平面P AB.因为PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.10．(2019·太原模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上的一点，AB＝AC，且AD⊥BC.(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)若AB＝BC＝AA1＝2，求点A1到平面AB1D的距离．[解](1)证明：如图，连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，据直棱柱性质知，四边形ABB1A1为平行四边形，E为AB1的中点，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D是BC的中点，∴DE∥A1C，又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)如图，在平面BCC1B1中，过点B作BF⊥B1D，垂足为F，∵D是BC中点，∴点C到平面AB1D与点B到平面AB1D距离相等，∵A1C∥平面AB1D，∴点A1到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离，∴BF长为所求，在Rt△B1BD中，BD＝1，BB1＝2，B1D＝5，∴BF＝25＝255，∴点A1到平面AB1D的距离为255.1．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部A[连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．]2．(2019·唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()①②③④A．①②B．②④C．①③D．②③B[对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B.] 3．如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是．①②③[由BC⊥AC，BC⊥P A可得BC⊥平面P AC，又AF⊂平面P AC，所以AF⊥BC，又AF⊥PC，则AF⊥平面PBC，从而AF⊥PB，AF⊥BC，故①③正确；由PB⊥AF，PB⊥AE可得PB⊥平面AEF，从而PB⊥EF，故②正确；若AE⊥平面PBC，则由AF⊥平面PBC知AE∥AF与已知矛盾，故④错误．] 4．(2019·西宁模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，又知BA1⊥AC1.(1)求证：AC1⊥平面A1BC；(2)求点C到平面A1AB的距离．[解](1)证明：∠BCA＝90°得BC⊥AC，因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC＝D，所以BC⊥平面A1ACC1，所以BC⊥AC1.因为BA1⊥AC1，BA1∩BC＝B，所以AC1⊥平面A1BC.(2)作DE⊥AB于点E，连接A1E，作DF⊥A1E于点F.因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A1D＝D，所以AB⊥平面A1DE，又DF⊂平面A1DE，所以AB⊥DF，由DF⊥A1E，A1E∩AB＝E，所以DF⊥平面A1AB，由(1)及已知得DE＝22，A1D＝3，Rt△A1DE中，DF ＝A 1D ·DE A 1E ＝217，因为D 是AC 中点，所以C 到面A 1AB 距离2217.1．(2019·衡阳模拟)如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥BD ，截面PQMN 是矩形，则下列结论不一定正确的是( )A ．平面BDC ⊥平面ADCB ．AC ∥平面PQMNC ．平面ABD ⊥平面ADCD ．AD ⊥平面BDCD [由PQ ∥MN ，MN ⊂平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，得PQ ∥平面ADC ，又PQ⊂平面ABC，平面ABC∩平面ADC＝AC，∴PQ∥AC，同理QM∥BD，因为PQ⊥QM，∴AC⊥BD，又BD⊥AD，AC∩AD＝A，∴BD⊥平面ADC，∴平面BDC⊥平面ADC，平面ABD⊥平面ADC，∴A和C选项均正确；由PQ∥AC，得AC∥平面PQMN，∴B选项正确．∵不能得到AD⊥DC或AD⊥BC，∴不能得到AD⊥平面BDC，故选项D 不一定正确．故选D.]2．(2019·泉州模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1M⊥B1N.(1)求证：B1N⊥A1C；(2)求M到平面A1B1C的距离．[解](1)证明：如图，连接CM.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥CM .在△ABC 中，AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1.因为B 1N ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥B 1N .又A 1M ⊥B 1N ，A 1M ∩CM ＝M ，所以B 1N ⊥平面A 1CM .因为A 1C ⊂平面A 1CM ，所以B 1N ⊥A 1C .(2)法一：连接B 1M .在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N .所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x 2.所以1x ＝x 22，解得x ＝2.从而S △A 1B 1M ＝12S 正方形ABB 1A 1＝2，A 1C ＝B 1C ＝2 2.在△A 1CB 1中，cos ∠A 1CB 1＝A 1C 2＋B 1C 2－A 1B 212A 1C ·B 1C ＝34，所以sin ∠A 1CB 1＝74，所以S △A 1B 1C ＝12A 1C ·B 1C ·sin ∠A 1CB 1＝7.设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，由V 三棱锥M -A 1B 1C ＝V 三棱锥C -A 1B 1M ，得13S △A 1B 1C ·d ＝13S △A 1B 1M ·CM ，所以d ＝S △A 1B 1M ·CM S △A 1B 1C ＝2217，即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217. 法二：在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N ，所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x 2，所以1x ＝x22，解得x ＝2.如图，取A 1B 1的中点D ，连接MD ，CD ，过M 作MO ⊥CD 于O .在正方形ABB 1A 1中，易知A 1B 1⊥MD ，由(1)可得CM ⊥A 1B 1，又CM ∩MD ＝M ，所以A 1B 1⊥平面CDM .因为MO ⊂平面CDM ，所以A 1B 1⊥MO .又MO ⊥CD ，A 1B 1∩CD ＝D ，所以MO ⊥平面A 1B 1C ，即线段MO 的长就是点M 到平面A 1B 1C 的距离．由(1)可得CM⊥MD，又MD＝2，所以由勾股定理，得CD＝CM2＋MD2＝7.S△CMD＝12·CD·MO＝12·CM·MD，即12×7×MO＝12×3×2，解得MO＝2217，故点M到平面A1B1C的距离为221 7.。

线面垂直判定定理测试题(含答案)

线面垂直判定定理测试题1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA//平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．3.如图，已知AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2（1）求证：AF∥面BCE；（2）求证：AC⊥面BCE；（3）求三棱锥E-BCF的体积．4.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=√3．（1）求证：CD⊥平面ADS；（2）求AD与SB所成角的余弦值；（3）求二面角A-SB-D的余弦值．6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：（1）MN∥平面PAB；（2）AM⊥平面PCD．7.如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．答案和解析1.【答案】（1）证明：由PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，且AB ∩BC =B ，可得PA ⊥平面ABC ，由BD ⊂平面ABC ，可得PA ⊥BD ；（2）证明：由AB =BC ，D 为线段AC 的中点，可得BD ⊥AC ，由PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ，可得平面PAC ⊥平面ABC ，又平面PAC ∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ，且BD ⊥AC ，即有BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面BDE ，可得平面BDE ⊥平面PAC ；（3）解:PA //平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，且平面PAC ∩平面BDE =DE ，可得PA //DE ，又D 为AC 的中点，可得E 为PC 的中点，且DE =12PA =1，由PA ⊥平面ABC ，可得DE ⊥平面ABC ，可得S △BDC =12S △ABC =12×12×2×2=1，则三棱锥E -BCD 的体积为13DE •S △BDC =13×1×1=13．【解析】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得PA//DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．2.【答案】解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB∥CD ,又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD ,又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF ;（2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD∴CD⊥平面PAD ,又∵AF⊂平面PAD ,∴CD⊥AF ,由（1）可知，AB∥EF，又∵AB∥CD，C,D,E,F在同一平面内，∴CD∥EF ,∵点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点,在△PAD中，∵PA=AD，∴AF⊥PD ,又∵PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD,∴AF⊥平面PCD．【解析】（1）证明AB∥平面PCD，即可得AB∥EF；（2）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.【答案】（1）证明：∵四边形ABEF为矩形，∴AF∥BE，∵AF⊄平面BCE，BE⊄平面BCE，∴AF∥面BCE．（2）证明：∵AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，∵四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2 ∴AC=BC=√12+12=√2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥面BCE．（3）解：三棱锥E-BCF的体积：V E-BCF=V C-BEF=13×S△BEF×AD=1 3×12×BE×EF×AD=1 3×12×1×2×1=13．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题．（1）推导出AF∥BE，由此能证明AF∥面BCE．（2）推导出AC⊥BE，AC⊥BC，由此能证明AC⊥面BCE．（3）三棱锥E-BCF的体积V E-BCF=V C-BEF，由此能求出结果．4.【答案】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，∵△ABC是正三角形，AD=CD，∴DO⊥AC，BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．（2）解：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，设AD=CD=√2，则OC=OA=1，EC=EA，∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2，∴EC=EA=√2=CD，∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=√2，由余弦定理得：cos∠CBD=BC2+BD2−CD22BC⋅BD =BC2+BE2−CE22BC⋅BE，即4+4−22×2×2=4+BE2−22×2×BE，解得BE=1或BE=2，∵BE＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．（2）连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S△DCE=S△BCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.【答案】解：（I）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD又SD⊥AB，AB∥CD，则CD⊥SD（2分）AD⊥SD∴CD⊥平面ADS（II）矩形ABCD，∴AD∥BC，即BC=1，∴要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角在△SBC中，由（1）知，SD⊥面ABCD．∴Rt△SDC中，SC=√(√3)2+22=√7∴CD是CS在面ABCD内的射影，且BC⊥CD，∴SC⊥BCtan∠SBC=SCCB =√71=√7cos∠SBC=√24从而SB与AD的成的角的余弦为√24．（III）∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB∴SD⊥面ABCD．∴平面SDB⊥平面ABCD，BD为面SDB与面ABCD的交线．∴过A作AE⊥DB于E∴AE⊥平面SDB又过A作AF⊥SB于F，连接EF，从而得：EF⊥SB∴∠AFB为二面角A-SB-D的平面角在矩形ABCD中，对角线∵√12+22=√5BD=√5∴在△ABD中，AE=AB⋅CDBD =1⋅2√5=2√55由（2）知在Rt△SBC，SB=√(√7)2+12=√8．而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB2=SA2+AB2，∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角，∴AF=√22AB=√2∴sin∠AFE=AEAF =2√55√2=√105所以所求的二面角的余弦为√155【解析】（1）要证CD⊥平面ADS，只需证明直线CD垂直平面ADS内的两条相交直线AD、SD即可；（2）要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角，解三角形可求AD与SB所成角的余弦值；（3）过A作AE⊥DB于E 又过A作AF⊥SB于F，连接EF，说明∠AFB为二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，异面直线所成的角，考查学生逻辑思维能力，计算能力，是中档题．6.【答案】证明：（1）因为M、N分别为PD、PC的中点，所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC．所以MN∥AB，又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为AP=AD，P为PD的中点，所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM．因为CD、PD⊂平面PCD，CD∩PD=D，∴AM⊥平面PCD．【解析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．7.【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂面ABCD，所以PA⊥CD，又因为直角梯形ABCD中，AC=2√2，CD=2√2，所以AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；（Ⅱ）解法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，则在△PCE中，FG∥CE，又EC⊂平面ACE，FG⊄平面ACE，所以FG∥平面ACE，因为BC∥AD，所以BOOD =GEED，则OE∥BG，又OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，所以BG∥平面ACE，又BG∩FG=G，所以平面BFG∥平面ACE，因为BF⊂平面BFG，所以BF∥平面ACE．解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则FG∥CE，在△DFG中，HE∥FG，则GEED =FHHD=12，在底面ABCD中，BC∥AD，所以BOOD =BCAD=12，所以FHHD =BOOD=12，故BF∥OH，又OH⊂平面ACE，BF⊄平面ACE，所以BF∥平面ACE．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAC，所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，CD=2√2，PD=√PA2+AD2=2√5，所以sin∠DPC=CDPD =2√22√5=√105，所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为√105．【解析】本题考查线面垂直、线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确找出线面角．（Ⅰ）证明CD⊥平面PAC，证明PA⊥CD，AC⊥CD即可；（Ⅱ）解法一：连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，证明平面BFG∥平面ACE，即可证得BF∥平面ACE；解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则证明BF∥OH，即可证得BF∥平面ACE；（Ⅲ）确定∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，即可求得直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．第11页，共11页。

直线、平面垂直判定及其性质(分类)

α、β是空间的两个不同的平面，则a ⊥α的一个充分条件是( )A ．a ∥β，α⊥βB ．a ⊂β，α⊥βC ．a ⊥b ，b ∥αD ．a ⊥β，α∥β解析：只有选项D ，a ⊥β，α∥β⇒a ⊥α.答案：D2．(2010·烟台模拟)如图在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部解析：由AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，得AC ⊥平面ABC 1，AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC 1⊥平面ABC ，C 1在面ABC 上的射影H 必在二平面交线AB 上．答案：A3．m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ；②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β；③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β；④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.解析：①显然正确；②错误，n 还可能在β内；③错误，n 可能与β相交但不垂直；④正确．ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足__________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由三垂线定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)5．(2009·苏北模拟)在四棱锥S －ABCD 中，已知AB ∥CD ，SA ＝SB ，SC ＝SD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．(1)求证：平面SEF ⊥平面ABCD ；(2)若平面SAB ∩平面SCD ＝l ，求证：AB ∥l .解：(1)证明：由SA ＝SB ，E 为AB 中点得SE ⊥AB .由SC ＝SD ，F 为CD 中点得SF ⊥DC .又AB ∥DC ，∴AB ⊥SF . 又SF ∩SE ＝S ，∴AB ⊥平面SEF .又∵AB ⊂平面ABCD ，∴平面SEF ⊥平面ABCD .(2)∵AB ∥CD ，CD ⊂面SCD ，∴AB ∥平面SCD .又∵平面SAB ∩平面SCD ＝l ，根据直线与平面平行的性质定理得AB ∥l .6.(2010·岳阳模拟)设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是( )A ．c ⊥α，若c ⊥β，则α∥βB ．b ⊂α，c ⊄α，若c ∥α，则b ∥cC ．b ⊂β，若b ⊥α，则β⊥αD ．b ⊂β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥c ，则b ⊥a解析：C 选项的逆命题为b ⊂β，若β⊥α则b ⊥α.不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直交线的才垂直另一个平面．答案：C7．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题中错误的是( )A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直于平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°解析：因为三棱锥A －A 1BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面的中心，A 正确；平面A 1BD 平面CB 1D 1，而AH 垂直于平面A 1BD ，所以AH 垂直于平面CB 1D 1，B 正确；根据对称性知C 正确．答案：D8．(文)(2009·天津高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，DB平分∠ADC ，E为PC 的中点，AD ＝CD ＝1，DB ＝2 2.(1)证明P A ∥平面BDE ；(2)证明AC ⊥平面PBD ；解：(1)证明：设AC ∩BD ＝H ，连结EH .在△ADC 中，因为AD ＝CD ，且DB 平分∠ADC ，所以H 为AC 的中点．又由题设，E 为PC 的中点，故EH ∥P A .又EH ⊂平面BDE 且P A ⊄平面BDE ，所以P A ∥平面BDE .(2)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC .由(1)可得，DB ⊥AC .又PD ∩DB ＝D ，故AC ⊥平面PBD .(理)(2009·北京高考)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成的角的正弦值；(3)是否存在点E 使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．解：(1)∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC .又由(1)知，BC ⊥平面P AC ， ∴DE ⊥平面P AC ，垂足为点E ，∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角．∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AB .又P A ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形，∴AD ＝12AB . 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∴BC ＝12AB ，∴在Rt △ADE 中，sin ∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24，即AD 与平面P AC 所成角的正弦值为24. (3)∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC .又∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角．∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∴∠P AC ＝90°，∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC .这时，∠AEP ＝90°，故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角．9．(2009·浙江高考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：如图，取BC 中点E ，连结DE 、AE 、AD ，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE ⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为1，则AE ＝32，DE ＝12，tan ∠ADE ＝AE DE ＝3212＝3， ∴∠ADE ＝60°.答案：C10．设P 是60°的二面角α－l －β内一点，P A ⊥α，PB ⊥β，A 、B 分别为垂足，P A ＝2，PB ＝4，则AB 的长是________．解析：如图所示，P A 与PB 确定平面γ，与l 交于点E ，则BE ⊥l ，AE ⊥l ，∴∠BEA 即为二面角的平面角，∴∠BEA ＝60°，从而∠BP A ＝120°，∴AB＝P A 2＋PB 2－2P A ·PB cos ∠BP A＝4＋16＋8＝27.答案：27。

直线与平面的垂直的判定性质单元测试题及答案

《直线与平面的垂直的判定、性质》单元测试卷一、选择题1.如果直线l 和平面α内的无数条直线都垂直,那么( )A.α⊥lB.l 与α相交C.α⊄lD.l 与α的关系不确定2.如图，PA ⊥平面ABC ，△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数是（）。

A.4 B.3 C.2 D.13.两条异面直线在同一平面内的射影是( ).A.两条平行直线B.两条相交直线C.一个点和一条直线D.以上都有可能4.已知Rt △ABC 中，∠C=90°,点P 在平面ABC 外，且PA=PB=PC, PO ⊥平面ABC 于点O ，则O 是（）A.AC 边的中点B.BC 边的中点C.AB 边的中点D.以上都有可能5.a,b 表示两条直线，α表示平面，给出以下命题，其中正确的命题是（） ①a ⊥α,b ∥α⇒a ⊥b ②a ⊥α, a ⊥b ⇒ b ∥α③a ∥α, a ⊥b ⇒ b ⊥α ④a ⊥α,b ∥a ⇒b ⊥αA.①②B.②③C.③④D.①④6.已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，且P 到这个四边形各边的距离相等，那么这个四边形一定是（）。

A.圆内接四边形B.矩形C.圆外切四边形D.平行四边形7.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于（）。

A.ACB.BDC.A 1D 1D.AA 18.下列命题中真命题是（）。

A.和平面的斜线垂直的直线也和这条斜线的射影垂直B.和斜线的射影垂直的直线也和斜线垂直C.如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行D.和斜线的射影不垂直的直线也和斜线不垂直9.从平面α外一点P 作与α相交的直线，使得P 与交点的距离为1，则满足条件的直线条数一定不可能是（）.A.0B.1C.2D.无数个10.已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，并且PA=6,AB=3,AD=4，则P 到BD 的距离是（）. A.5296 B.296 C.53 D.132 11. Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，C 在α上的射影为D （不在AB 上），则△ABD 是（）。

高考数学刷题评估练：核心素养提升练直线、平面垂直的判定及其性质

核心素养提升练四十二直线、平面垂直的判定及其性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是( )A.若m∥α，α∥β，则m∥βB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥α，α⊥β，则m⊥βD.若m∥α，m⊥β，则α⊥β【解析】选D.A.若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，A错;B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α∩β=l，B错;C，若m∥α，α⊥β，则m与β相交或m∥β或m⊂β，C错;D，因为m∥α，存在直线n，使m∥n，n⊂α.因为m⊥β，所以n⊥β.又因为n⊂β，所以α⊥β.2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【解析】选C.A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误;B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误;C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确;D 中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误.3.下列三个命题中，正确命题的个数是( )①若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则α∥β;②平面α⊥平面β，且α∩β=l，点A∈α，A∉l，若直线AB⊥l，则AB⊥β;③直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，若m⊥n，则α⊥β.A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①，例如墙角的三个面，则α⊥β;②，如果加入条件AB⊂α，则AB⊥β;③，从向量角度看，m与n分别是α，β的法向量，显然m⊥n，即α⊥β.所以只有③正确.4.四面体P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为( )A.64πB.65πC.66πD.128π【解析】选B.如图，D，E分别为BC，PA的中点，易知球心点O在线段DE上，因为PB=PC=AB=AC，则PD⊥BC，AD⊥BC，PD=AD.又因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，所以PD⊥平面ABC，所以PD⊥AD，所以PD=AD=4.因为点E是PA的中点，所以ED⊥PA，且DE=EA=PE=4 .设球O的半径为R，OE=x，则OD=4-x.在Rt△OEA中，有R2=16+x2，在Rt△OBD中，有R2=4+(4-x)2，解得R2=，所以S=4πR2=65π.5.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( )A.PB⊥ACB.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PDD.平面PBD⊥平面ABCD【解析】选B.取BP的中点O，连接OA，OC，易得BP⊥OA，BP⊥OC⇒BP⊥平面OAC⇒BP⊥AC⇒选项A正确;又AC⊥BD⇒AC⊥平面BDP⇒AC⊥PD，平面PBD⊥平面ABCD，故选项C，D正确.6.直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF相交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为( )A. B.1 C. D.2【解析】选A.设B1F=x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE=h.又2×=h，所以h=，DE=.在Rt△DB1E中，B1E==.由面积相等得×=x，得x=.二、填空题(每小题5分，共10分)7.α，β是两个平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α，β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________.【解析】由题意得，AB∥CD，所以A，B，C，D四点共面，①因为AC⊥β，EF⊂β，所以AC⊥EF，又因为AB⊥α，EF⊂α，所以AB⊥EF，因为AB∩AC=A，所以EF⊥平面ABDC，又因为BD⊂平面ABDC，所以BD⊥EF，故①正确;②由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABDC，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误;③由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC，由①可知③正确;④仿照②的分析过程可知④错误.答案:①③8.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.【解析】由题意知PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF.因为AF⊥PC，且BC∩PC=C，所以AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF=A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF.故①②③正确.答案:①②③三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求证:CD⊥平面ABD.(2)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积. 【解析】(1)因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.又因为CD⊥BD，AB∩BD=B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.又AB=BD=1，所以S△ABD=×12=.因为M是AD的中点，所以S△ABM=S△ABD=.根据(1)知，CD⊥平面ABD，则三棱锥C-ABM的高h=CD=1，故V A-MBC=V C-ABM=S△ABM·h=.10.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，△PAD≌△BAD，平面PAD⊥平面ABCD，AB=4，PA=PD，M在棱PD上运动.(1)当M在何处时，PB∥平面MAC.(2)已知O为AD的中点，AC与OB交于点E，当PB∥平面MAC时，求三棱锥E-BCM的体积.【解析】(1)如图，设AC与BD相交于点N，当M为PD的中点时，PB∥平面MAC，证明:因为四边形ABCD是菱形，可得DN=NB，又因为M为PD的中点，可得DM=MP，所以NM为△BDP的中位线，可得NM∥PB，又因为NM⊂平面MAC，PB⊄平面MAC，所以PB∥平面MAC.(2)因为O为AD的中点，PA=PD，则OP⊥AD，又△PAD≌△BAD，所以OB⊥AD，且OB=2，又因为△AEO∽△CEB，所以==，所以BE=OB=，所以S△EBC=×4×=.又因为OP=4×=2，点M为PD的中点，所以M到平面EBC的距离为，所以V E-BCM=V M-EBC=××=.(20分钟40分)1.(5分)如图，在三棱锥D ABC中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE【解析】选C.因为AB=CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC ⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.2.(5分)下列命题中错误的是( )A.如果直线a与平面α不平行，则平面α内不存在与a平行的直线B.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γC.如果直线l⊥平面β，那么过直线l的所有平面都垂直于平面βD.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交【解析】选A.如果直线a与平面α不平行，则直线a可能是平面α内一条直线，所以A错误;在平面γ内作两条相交直线m，n分别垂直于平面α与平面γ的交线及平面β与平面γ的交线，则由平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，得m，n分别垂直于平面α及平面β，即m，n都垂直于直线l，因此直线l⊥平面γ，即B正确;由面面垂直的判定定理可知C正确;当一条直线与两个平行平面中的一个平面相交时，若此直线在另一个平面内，则与原平面无交点，矛盾，若此直线与另一个平面平行，则可得此直线与原平面平行或在原平面内，矛盾，因此此直线必与另一个平面相交，即D正确.3.(5分)在Rt△ABC中，AC⊥BC，BC=3，AB=5，点D，E分别在AC，AB边上，且DE∥BC，沿着DE将△ADE 折起至△A′DE的位置，使得平面A′DE⊥平面BCDE，其中点A′为点A翻折后对应的点，则当四棱锥A′-BCDE的体积取得最大值时，AD的长为________.【解析】由勾股定理易得:AC=4，设AD=x，则CD=4-x，而△AED∽△ABC，故DE=x，四棱锥A′-BCDE的体积:V(x)=×××(4-x)×x=(16x-x3)(0<x<4).求导可得:V′(x)=(16-3x2)(0<x<4)，当0<x<时，V′(x)>0，V(x)单调递增;当<x<4时，V′(x)<0，V(x)单调递减;故当x=时，V(x)取得最大值.答案:4.(12分)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC.(2)求证:平面MOC⊥平面VAB.(3)求三棱锥V-ABC的体积.【解析】(1)因为点O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)因为AC=BC，点O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，所以AB=2，OC=1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB=.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于×OC×S△VAB=.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为.5.(13分)如图M，N，P分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，DD1上的点.(1)若=，求证:无论点P在D1D上如何移动，总有BP⊥MN.(2)棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1?证明你的结论.【解析】(1)连接AC，BD，在△ABC中，因为=，所以MN∥AC.又因为AC⊥BD，DD1⊥底面ABCD.所以DD1⊥AC，因为BD∩DD1=D，所以AC⊥平面BDD1B1.所以MN⊥平面BDD1B1.因为BP⊂平面BDD1B1，所以MN⊥BP.(2)假设存在点P，使平面APC1⊥平面ACC1，过点P作PF⊥AC1，则PF⊥平面ACC1.又因为BD⊥平面ACC1，所以PF∥BD，而两平行线PF，BD所确定的平面即为两相交直线BD，DD1确定的对角面BB1D1D，所以F为AC1与对角面BB1D1D的交点，故F为AC1的中点，由PF∥BD，P∈DD1知，点P也是DD1的中点.显然，当点P为DD1的中点，点F为AC1的中点时，AP=PC1，所以PF⊥AC1又PF∥BD，BD⊥AC，所以PF⊥AC.从而PF⊥平面ACC1，则平面APC1⊥平面ACC1.故存在点P，当点P为DD1中点时，平面APC1⊥平面ACC1.关闭Word文档返回原板块。

直线、平面垂直的判定及其性质经典例题

直线、平面垂直的判定及其性质经典例题经典例题透析类型一、直线和平面垂直的定义1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；②如果直线与平面内的一条直线垂直，则；③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直．A．0B．1 C．2 D．3答案：B解析：当内的无数条直线平行时，与不一定垂直，故①不对；当与内的一条直线垂直时，不能保证与垂直，故②不对；当与不垂直时，可能与内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．故选B．总结升华：注意直线和平面垂直定义中的关键词语．举一反三：【变式1】（2010 山东）在空间，下列命题正确的是A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行答案：D解析：A项，平行直线的平行投影也可以是两条平行线；B项，平行于同一直线的两个平面可平行、可相交；C项，垂直于同一平面的两个平面可平行、可相交；D项，正确．总结升华：本题主要考察对基础知识的掌握．类型二、直线和直线、平面垂直的判定2．（2011 广东理18）如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点．（1）证明：AD 平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值．解析：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD．∵PA=PD，∴，在中，，∴为等边三角形，∴，∴AD⊥平面PBG，∴又PB//EF，得，又∵DE//GB，得AD⊥DE，又，∴AD⊥平面DEF．（2）为二面角P—AD—B的平面角，在，在中，总结升华：要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和这条直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.举一反三：【变式1】如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M．求证：平面CBD ⊥平面BDM．证明：如下图，连接、、，则．∵，∴为等腰三角形．又知D为其底边的中点，∴．∵，，∴．又，∴．∵为直角三角形，D为的中点，∴，．又，，∴．．即CD⊥DM．∵、为平面BDM内两条相交直线，∴CD⊥平面BDM．又∵，∴平面CBD⊥平面BDM．总结升华：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.所以证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.类型三、直线和平面所成的角3．如图所示，已知∠BOC在平面内，OA是平面的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，BC=，求OA和平面所成的角．解析：∵，∠AOB=∠AOC=60°，∴△AOB、△AOC为正三角形，∴．∵，∴，∴△ABC为直角三角形．同理△BOC也为直角三角形．过A作AH垂直平面于H，连接OH，∵AO=AB=AC，∴OH=BH=CH，H为△BOC的外心．∴H在BC上，且H为BC的中点．∵Rt△AOH中，，∴，∴∠AOH=45°．即AO和平面所成角为45°．总结升华：(1)确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解．(2)求斜线与平面所成的角的程序：①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求解；③把该角放入三角形计算．(3)直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况，也就是直线和平面成90°角和0°角的情况，所以求线面所成角时，应想到以上两种情况．举一反三：【变式1】（2011 全国大纲19）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)求与平面所成角的大小．解析：（I）取AB中点E，连结DE、SE，∴四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，∵侧面为等边三角形∴又∵SD=1，，∴为直角．又∵，∴AB⊥平面SDE，∴．又SD与两条相交直线AB、SE都垂直．∴SD⊥平面SAB．（II）作垂足为F，FG⊥BC，垂足为G，连结SG∵AB⊥平面SDE，∴平面ABCD⊥平面SED．∴SF⊥平面ABCD，∵∴，又∵FG⊥BC，∴BC⊥平面SFG，∵∴平面SBC⊥平面SFG．作，H为垂足，则FH⊥平面SBC．又∵在中，，在中，∴，即F到平面SBC的距离为．∵ED//BC，∴ED//平面SBC，∴E到平面SBC的距离d也是．设AB与平面SBC所成的角为α，则．∴与平面所成的角为．【变式2】如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是________．答案：解析：如下图．由题取AC中点O，连接BO．则BO⊥平面．故为与平面所成角．又在中，，．∴，∴．类型四、二面角4．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小．解析：取BC的中点E，连接AE、DE，∵AB=AC，∴AE⊥BC．又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，∴DB=DC，∴DE⊥BC．∴∠AED为二面角的平面角．又∵△ABC≌△BDC，∴AD=BC=2，在Rt△DEB中，DB=，BE=1，∴，同理．在△AED中，∵，，∴，∴∠AED=90°．∴以面BCD和面ABC为面的二面角大小为90°．总结升华：确定二面角的平面角，常常用定义来确定．举一反三：【变式1】已知D、E分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且．求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小．解析：如图，在平面内延长DE和交于点F，则F是面与面的公共点，为这两个平面的交线，∴所求二面角就是的平面角．∵，且，∴E、分别DF和A1F的中点．∵，∴．又面，面，∴面，而面．∴．∴是二面角的平面角，由已知，∴．总结升华：当所求的二面角没有给出它的棱时，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小即可．类型五、平面与平面垂直的判定5．在四面体ABCD中，，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示．求证：平面ABD⊥平面BCD．证明：∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，∴取BD的中点E，连接AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．在△ABD中，，，∴．同理．在△AEC中，，，由于，∴AE⊥CE，即∠AEC=90°，即二面角A-BD-C的平面角为90°．∴平面ABD⊥平面BCD．总结升华：利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是(1)找出两个相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个平面互相垂直．举一反三：【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD．证明：∵AB=BC，CD=AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF．总结升华：证面面垂直的方法：(1)证明两平面构成的二面角的平面角为90°；(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明“面面垂直”的问题转化为证明线面垂直的问题.【变式2】如图所示，在Rt△AOB中，，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．D是AB的中点．求证：平面COD⊥平面AOB；证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角．又∵二面角B-AO-C是直二面角．∴CO⊥BO．又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB．又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．【变式3】过点P引三条长度相等但不共面的线段PA、PB、PC，有∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，求证：平面ABC⊥平面BPC．证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E直角△BPC中，，，由AB=AC，AE⊥BC，直角△ABE中，，，，在△PEA中，，，∴，平面ABC⊥平面BPC．类型六、综合应用6．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．证明：(1)取EC的中点F，连接DF．∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，，∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MN CF．∵BD CF，∴MN BD．N平面BDM．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．总结升华：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，这里证明的关键是BN⊥平面ECA，应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系．7．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．思路点拨：要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线．注意到M、N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可．证明如下．证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．又∠PDA=45°，E为PD的中点．∴AE⊥PD，即MN⊥PD．又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD．总结升华：本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多知识点的一道综合题．(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理的方向明朗化．线线垂直→线面垂直→线线垂直是转化规律．。

(23)直线、平面垂直的判定及其性质 Word版含答案

寒假作业（23）直线、平面垂直的判定及其性质1、以下四个命题中,正确命题的个数是( )①过空间一点与已知平面垂直的直线有且只有一条;②过空间一点与已知平面平行的直线有且只有一条;③过空间一点与已知直线垂直的直线有且只有一条;④过空间一点与已知直线平行的直线有且只有一条.A.1B.2C.3D.42、若平面α外的一条直线a 不垂直于平面α,则α内与a 垂直的直线有( )A.0条B.1条C.无数条D. α内所有直线3、如图①,在正方体1111ABCD A B C D -中, P 为1BD 的中点,则PAC ∆在该正方体各个面上的摄影可能是图②中的( )A. bcB. abC. acD. ad4、若三棱锥S ABC -的顶点S 在底面上的射影H 在ABC ∆的内部,且是ABC ∆的垂心,则( )A.三棱锥的三条侧棱长相等B.三棱锥的三个侧面与底面所成的角相等C. H 到ABC ∆三边的距离相等D.点A 在平面SBC 上的射影是 SBC ∆的垂心5、在空间中,给出下列命题:①平行于同一条直线的两条直线互相平行;②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;③平行于同一个平面的两条直线互相平行;④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.则下列说法正确的是( )A.仅②不正确B.仅①④正确C.仅①正确D.四个命题都正确6、若点P 到平面四边形ABCD 四条边的距离相等,则四边形ABCD 是( )A.某圆的内接四边形B.某圆的外切四边形C.正方形D.任意四边形7、已知三条直线,,a b c 和平面α,则下列命题中正确的是( )A.//,//,a b αα则//a b B.,,a c b c ⊥⊥则//a b C.,//,a b αα⊂则//a b D. ,,a b αα⊥⊥则//a b8、已知直线a 与 b 垂直, b ⊥平面α,则a 与α的位置关系是( )A.a α⊥ B.//a α C.a α⊂ D. a α⊂或//a α9、已知直线l ⊥平面α,直线,m α⊂则有( )A. l 和 m 异面B. l 和 m 相交C. //l mD. l 不平行于 m10、给出下列四个命题:①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;②若一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,则它必和另一个平行;③过平面外一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;④如果平面α与平面β不垂直,那么α内一定不存在垂直于平面β的直线.其中正确的是( )A.①③B.②③C.②③④D.④11、如图, PA ⊥平面ABC ,90ACB ∠=,//EF PA ,则图中直角三角形的个数是__________.12、已知直线,,m n 平面,,.αβγ给出下列命题:①,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n α⊥或;n β⊥②若//,,,m n αβαγβγ⋂=⋂=则//;m n③ 若 m 不垂直α,则 m 不可能垂直于α内的无数条直线;④ 若,//,m m n αβ⋂=且,,n n αβ⊄⊄则//,n α且//.n β其中正确的是__________.13、线段AB 在平面α的同侧,若点,?A B 到平面的距离分别为3和5,则AB 的中点到平面α的距离为__________.14、已知ABC ∆是等腰直角三角形, 90, ,A AD BC D ∠=︒⊥为垂足,以AD 为折痕,将ABD ∆和ACD ∆折成互相垂直的两个平面后,如图所示,有下列结论:①BD CD ⊥;②BD AC ⊥;③AD ⊥平面BCD ;④ABC ∆是等边三角形.其中正确结论的序号为__________.15、若a b αβαβ,⊥,⊥,⊥则a __________;b 若,,,a b a b αβ⊥⊥⊥则α__________β.16、如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,,60AB AD BAD =∠=︒,,E F 分别是,AP AD 的中点.求证:1.直线//EF 平面PCD2.平面BEF ⊥平面PAD17、如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面,//,ABCD AB DC PAD ∆是等边三角形,已知28,2BD AD AB DC ====1.设M 是PC 上的一点,证明:平面MBD ⊥平面PAD .2.求三棱锥C PAB -的体积.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：C解析：即使直线与平面不垂直,平面内也会有无数条直线与该直线垂直,故选C.3答案及解析：答案：D解析：在上、下底面上的射影为a ,在前、后及左、右侧面上的射影均为d .4答案及解析：答案：D解析：5答案及解析：答案：B解析：①正确;垂直于同一条直线的两条直线有可能相交、平行、垂直、异面,故②错误; 平行于同一个平面的两条直线有可能相交、平行、垂直、异面,故③错误;④正确.6答案及解析：答案：B解析：作PO ⊥平面AC ,因为点P 到四边形ABCD 各边的距离都相等,所以 O 到ABCD 四边的距离相等,所以四边形应为某圆的外切四边形.7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：D解析：9答案及解析：答案：D解析：由題意知: l 与 m 的位置关系可以异面,也可以相交,但一定不平行.10答案及解析：答案：D解析：11答案及解析：答案：6解析：∵PA ⊥平面ABC ,∴PA BC ⊥,PA AC ⊥,PA AB ⊥.又∵//EF PA ,∴EF ⊥平面ABC .∵CE ⊂平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,∴EF CE ⊥,EF AB ⊥.又∵90ACB ∠=,PA BC ⊥,∴BC ⊥平面PAC ,∴BC PC ⊥,∴PBA ∆,PCA ∆,ABC ∆,PCB ∆,FBE ∆,FCE ∆都是直角三角形,共6个直角三角形.12答案及解析：答案：②④解析：13答案及解析：答案：4解析：如图所示,设AB 的中点为分别过,,A M B 向α作垂线,垂足分别为111,,,A M B 则由线面垂直的性质可知, 111////.AA MM BB则四边形11ABB A 是梯形且1MM 是该梯形的中位线.又113,5,AA BB ==所以1 4.MM =即AB 的中点M 到平面α的距离为4.14答案及解析：答案：①②③④解析：因为,,,AD BD AD DC BD DC D ⊥⊥⋂=所以AD ⊥平面BCD 且BDC ∠为二面角B AD C --的平面角,则90,BDC ∠=所以,BD CD ⊥所以BD ⊥平面,ADC故,BD AC ⊥因为,AD BD DC ==所以,AB AC BC ==故ABC ∆是等边三角形,所以4个结论都正确.15答案及解析：答案：;⊥⊥解析：若a b αβαβ,⊥,⊥,⊥则a b ⊥;若a b ⊥,,a b αβ⊥,⊥则.αβ⊥16答案及解析：答案：1.如图,在△PAD 中,因为,E F 分别为,AP AD 的中点,所以//EF PD . 又因为EF ⊄平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,所以直线//EF 平面PCD2.连接BD .因为,60AB AD BAD =∠=︒,所以△ABD 为正三角形.因为F 是AD 的中点,所以BF AD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD ,BF ⊂平面ABCD ,平面PAD ⋂平面ABCD AD =, 所以BF ⊥平面PAD又因为BF ⊂平面BEF ,所以平面BEF ⊥平面PAD .解析：17答案及解析：答案：1.在ABD ∆中,因为4,8,AD BD AB ===所以222.AD BD AB +=故.AD BD ⊥又平面PAD ⊥平面,ABCD 平面PAD ⋂平面,ABCD AD BD =⊂,ABCD 所以BD ⊥平面.PAD又BD ⊂平面,MBD故平面MBD ⊥平面.PAD2.过P 作PO AD ⊥交AD 于,O因为平面PAD ⊥平面,ABCD所以PO ⊥平面,ABCD因此PO 为三棱锥P ABC -的高.因为PAD ∆是边长为4的等边三角形.所以4PO ==又116.2ABC ABDS S AD BD∆∆==⋅=所以1163C PAB P ABCV V--==⨯⨯=解析：。

直线、平面垂直的判定及其性质_练习题1(答案)

直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1、“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是（）A、l⊂αB、l⊥αC、l∥αD、l⊂α或l∥α3、若两直线a⊥b，且a⊥平面α，则b与α的位置关系是（）A、相交B、b∥αC、b⊂αD、b∥α，或b⊂α4、a∥α，则a平行于α内的( )A、一条确定的直线B、任意一条直线C、所有直线D、无数多条平行线5、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 ( )A、一条直线不相交B、两条直线不相交C、无数条直线不相交D、任意一条直线都不相交6、若直线l上有两点P、Q到平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是( )A、平行B、相交C、平行或相交D、平行、相交或在平面α内二、填空题7、过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.8、过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.9、过一点可作________个平面与已知平面垂直.10、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.11、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直.三、解答题12、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条14、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？15、已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l求证：AP在α内参考答案一、选择题1、B ；2、D ；3、D ；4、D ；5、D ；6、D二、填空题7、无数，一，一，无数8、一，无数，无数，一9、无数10、一个11、一个三、解答题12、已知：a∥b,a⊥α 求证：b⊥α证明：设m 是α内的任意一条直线αααα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥b m m b b a m a m a //13、已知：平面α和一点P 求证：过点P 与α垂直的直线只有一条证明：不论P 在平面α内或外，设直线PA α⊥，垂足为A（或P ）若另一直线PB α⊥，设,PA PB 确定的平面为β，且a αβ=I ∴,PA a PB a ⊥⊥又∵,PA PB 在平面β内，与平面几何中的定理矛盾所以过点P 与α垂直的直线只有一条βαa P B A14、解：在ABC∆和ABD∆中，∵8,6,10=====AB m BC BD m AC AD m Array∴222222+=+==6810AB BC AC222222+=+==AB BD AD6810∴90ABC ABD∠=∠=o即,⊥⊥AB BC AB BD又∵,,B C D不共线∴AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直；15、证明：设AP与l确定的平面为β如果AP不在α内，则可设α与β相交于直线AM∵l⊥α，∴l⊥AM又AP⊥l，于是在平面β内过点A有两条直线垂直于l，这是不可能的所以AP一定在α。

直线和平面垂直的判定和性质(习题)

利用直线和平面垂直的性质解决实际问题，如建筑物的设计、空间定位等。
总结词：结合其他几何知识，考察对直线和平面垂直的综合应用能力。
在给定的几何图形中（如长方体、正方体、球等），判断某一直线是否与某一平面垂直，并证明。
在解析几何中，结合直线和平面垂直的性质，研究曲线的性质和几何意义。
04
数学建模中的应用
解析几何
在解析几何中，直线和平面垂直的性质是重要的概念之一，用于描述几何图形中的垂直关系和位
置关系。
物理建模
在物理建模中，直线和平面垂直的性质常常被用来描述物体的运动轨迹和受力分析，以解决物理问题。
经济建模
在经济建模中测经济发展趋势。
判定定理的应用
应用场景
在几何、工程、建筑等领域中，常常需要判断一条直线是否与某个平面垂直。通过应用判定定理，可以快速准确地判断出结果。
实例
在建筑设计中，为了确保建筑物的稳定性，需要确保建筑物的支撑柱与地面垂直。这时，可以通过应用直线和平面垂直的判定定理来判断支撑柱是否与地面垂直。
02
直线和平面垂直的性质
解释
这个定理说明，只要一条直线与平面内的一条直线垂直，那么这条直线就与整个平面垂直，不需要与平面内的所有直线都垂直。
判定定理的证明
• 证明方法：通过反证法，假设直线与平面不垂直，那么直线要么与平面斜交，要么与平面平行。但当直线与平面斜交或平行时，直线不可能与平面内的任意一条直线都垂直，这与已知条件矛盾。因此，原假设不成立，直线与平面垂直。
性质的理解
直线和平面垂直时，该直线与平面内任意一条直线都垂直。
直线和平面垂直时，该直线上的任意一点到平面的距离都相等。

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直线与平面垂直的判定与性质
一、选择题
1．两异面直线在平面α内的射影（）
A．相交直线B．平行直线
C．一条直线—个点D．以上三种情况均有可能
2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）
A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个D．—定不存在
3．在空间，下列哪些命题是正确的（）
①平行于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．
A．仅②不正确B．仅①、④正确C．仅①正确D．四个命题都正确
4．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）
A．必相交B．必为异面直线C．垂直D．无法确定
5．下列命题
①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；
②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；
③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；
④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．
其中，正确的命题有（）
A．1个B．2个C．3个n 4个
6．在下列四个命题中，假命题为（）
A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直
B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边
C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内
D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面
7．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）
A．圆内接四边形B．矩形C．圆外切四边形D．平行四边形
8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离等于（）2C．35D．45
A．5B．5
二、填空题
9．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A_________．10．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，m α和m⊥γ，现给出以下四个结论：
①α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m；其中正确的为“________”．（写出序号即可）
11．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．
12．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且P A⊥平面A BCD则在△P AB、△PBC、△PCD、△P AD、△P AC及△PBD中，为直角三角形有_________个．
13．给出以下四个命题
（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线；
（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线；
（3）两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线；
（4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角．
其中假命题的共有_________个．
14．若一个直角在平面α内的射影是一个角，则该角最大为___________．
三、解答题
15．已知直线a∥平面α,直线b⊥平面α，求证：a⊥b．
16．如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过B l作B1⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC⊥平面EB l D1
17．如图在△ABC中，已知∠ABC＝90°，SA⊥△ABC所在平面，又点A在SC和SB上的射影分别是P、Q．
求证：PQ⊥SC．
18．已知在如图中，∠BAC在平面α内，点P α，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF，
求证：∠BAO＝∠CAO，
19．已知：点P与直线a，试证；过点P与a垂直的直线共面．
20．四面体ABCD的棱AB⊥CD的充要条件是AC2＋BD2＝AD2＋BC2．
四、思考题
对于一个三角形，它的三条高线总相交于—点，而对于一个四面体，它的四条高线是否总相交于一点呢?若不总相交于一点，则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢?这是一个美丽而非凡的问题，请读者进行研究拓展．
参考答案
一、选择题
1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D 二、填空题
9．2
2b a － 10．③、④ 11．4 12．5 13．4 14．180°
三、解答题
15．证明：设β为过a 的平面，且α∩β＝l ．
∵a ∥α，∴a ∥l ．
∵b ⊥l ，∴b ⊥a ．
16．证明：∵AB ⊥面B 1C ，BC 1为AC 1在平面B 1C 上的射影，且B 1E ⊥BC 1，∴由三垂线定理知B 1E ⊥AC 1．又∵AA 1⊥面A 1C 1，AB ＝BC ，A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1是AC 1在面A 1C 1上的射影
∴由三垂线定理得AC 1⊥B 1D 1．
又∵B 1E ∩B 1D 1＝B 1，
∴AC 1⊥平面EB 1D 1．
17．证明：∵SA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，
∴SA ⊥BC ．
又∵AB ⊥BC 且SA ∩AB ＝A ，
∴BC ⊥面SAB ，AQ ⊂面SAB ．
∴BC ⊥AQ ，又AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ．
∵AQ ⊥面SBC ．
∴PQ 是斜线AP 在平面SBC 上的射影，
又∵AQ ⊥SC ，
∴由三垂线定理的逆定理可得PQ ⊥SC ．
18．证明：∵PO ⊥α，PE ＝PF ，
∴OE ＝OF ，
又∵PE ⊥AB 、PF ⊥AC ，
∴OE ⊥AB 、OF ⊥AC ．
故Rt △AOE ≌Rt △AOF ，
∴∠BAO ＝∠CAO ．
19．证明：如图，在点P 和直线a 所在的平面β内，过点P 作直线a 的垂线b ，设垂足为A ．设过点P 与β垂直的直线为c ，则必有c ⊥a ，再设由b 、c 确定的平面为α，则必有a ⊥α．
设l 是过点P 与a 垂直的直线，下证：l ⊂α．
若l ⊄α，设由l 与c 确定的平面为α′，
则由a ⊥l ，a ⊥c ，l ∩c ＝P ，
∴a ⊥α′，这样平面α与α′都是过点P 与直线a 垂直的平面．这是一个错误的结论，因此，假设不成立，故必有l ⊂α，也就是说过点P 与a 垂直的直线均在平面α内，于是本题获证．
20．证明：先证必要性：过B 作CD 的垂线，垂足E ，连AE ，
∵CD ⊥AB ，
∴CD ⊥平面ABE ，
∴CD ⊥AE ．
∴AC2＝AE2＋CE2、BD2＝BE2＋DE2；
又有AD2＝AE2＋DE2、BC2＝BE2＋CE2．
∴AC2＋BD2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2，
而AD2＋BC2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2．
∴AC2＋BD2＝AD2＋BC2．
再证充分性：过A点作CD的垂线，垂足设为F，于是有：
AD2＝AF2＋DF2、BC2＝BE2＋CE2；
AC2＝AF2＋CF2、BD2＝BE2＋DE2；
∵AD2＋BC2＝AC2＋BD2；
∴AF2＋DF2＋BE2＋CE2＝AF2＋CF2＋BE2＋DE2
∴DF2＋CE2＝CF2＋DE2，
∴DF2―CF2＝DE2―CE2，
∴（DF＋CF）（DF－CF）＝（DE＋CE）（DE－CE），
∴DF－CF＝DE－CE．
∴DF＋CE＝DE＋CF．
∴E、F只能重合于一点，故有CD⊥平面ABE，
∴CD⊥AB．
四、思考题
我们称：三对对棱分别互相垂直的四面体为对棱垂直的四面体．
可以证明：对棱垂直的四面体的四条高线相交于一点，反过来，若一个四面体，若它的四条高线相交于一点，则该四面体一定是对棱垂直的四面体．
P。