沪科版-数学-九年级上册- 21.4 第2课时 建立二次函数模型解决实际问题
沪科版数学九年级上册 21.4二次函数的应用-教案
二次函数的应用【第一课时】【教学目标】1．经历数学建模的基本过程。
2．会运用二次函数求实际生活中的最值问题。
3．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
【教学重点】二次函数在最优化问题中的应用。
【教学难点】从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课。
由课文中的问题1引入。
例1：在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？问题分析：这是一个求最值的问题。
要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。
二、讲授新课。
在前面的学习中我们已经知道S=-x2+20x，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式。
通过配方，得到S=-（x-10）2+100。
由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是（10，100）。
所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m²）。
所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100m²。
总结得出解这类题的一般步骤：（一）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（二）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
通过图形之间的关系列出函数解析式。
【教学过程】（一）创设情景。
欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。
（挂图展示） （二）新课教学。
例题讲解：1．例2：如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。
若两端主塔之间水平距离为900m ，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m ，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m 。
（1）若以桥面所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，如图，求这条抛物线的函数关系式；（2）计算距离桥两端主塔分别为100m 、50m 处垂直钢索的长。
最新初中沪科版九年级数学上册第2课时二次函数的应用(2)公开课教案
第2课时二次函数的应用(2)【学习目标】1．能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型从而解决实际问题．2．经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验．【学习重点】会根据不同条件，利用二次函数解决生活中的实际问题．【学习难点】利用二次函数解决生活中的实际问题．1．线段长度转化为点的坐标．2．点的坐标转化为线段长度．情景导入生成问题如图所示从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：米)与小球运动时间t(单位：秒)＝4.9米．的函数关系式是h＝9.8t－4.9t2，那么小球运动中的最大高度h最大解：h＝9.8t－4.9t2＝－4.9(t2－2t)＝－4.9(t－1)2＋4.9当t＝1时，小球运动最大高度为4.9米．利用二次函数还可以解决日常生活中一些常见的问题，下面就让我们一起去看看吧！自学互研生成能力知识模块一二次函数与高度问题阅读教材P38～39页，回答问题：1．当初始速度为10m/s，问题中得到哪两个量之间的二次函数关系式？如何求解？得到排球上升高度与排球被垫起的时间之间的二次函数关系式，求解方法是化为顶点式，求出最大值即可．2．第2个问题属于什么问题？怎样求解？答：第2个问题属于知道函数值求相应自变量值的问题．范例：如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12米时，球移动的水平距离为9米，已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30°，O 、A 两点相距83米．(1)求出点A 的坐标及直线OA 的解析式；(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点．归纳：1．将线段长度转化为点的坐标问题．2．利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解．3．利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度．解：(1)在Rt △OAC 中，∵∠AOC ＝30°，OA ＝83，∴AC ＝12OA ＝43，∴OC ＝（83）2－（43）2＝12，∴A 点坐标为(12，43)，∴OA 解析式y ＝33x ；(2)抛物线顶点B(9，12)，设抛物线解析式y ＝a(x －9)2＋12，代入O(0，0)得a ＝－427，∴y ＝－427(x －9)2＋12；(3)代入A(12，43)，－427×(12－9)2＋12≠43，∴不能． 知识模块二 二次函数与刹车距离阅读教材P 39～40页，回答下列问题：1．如何明确汽车刹车的制动距离与车速成二次函数关系式？通过描点观察，图象可近似地以二次函数来模拟．2．通过本例的解决，你认为利用二次函数解决实际问题的方法是什么？通过实际问题中数据建立坐标系，求出二次函数解析式，再利用二次函数来解答相应问题． 变例1：某一型号的飞机着陆后滑行的距离y(单位：m )与滑行时间x(单位：s )之间的函数关系式是：y ＝60x －1.5x 2.该型号飞机着陆后滑动600m 才能停下来．变例2：某车的刹车距离y(m )与开始刹车时的速度x(m /s )之间满足二次函数y ＝120x 2(x ＞0)，若该车某次的刹车距离为5m ，则开始刹车时的速度为10m /s ．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次函数与高度问题知识模块二二次函数与刹车距离检测反馈达成目标1．军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y＝－15x2＋10x.经过25s炮弹到达它的最高点，最高点的高度是125m，经过50s，炮弹落到地上爆炸了．2．行驶中的汽车，在刹车后由于汽车惯性，还要向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某型号汽车的刹车性能，对其进行了测试，测得数据如下表：刹车时车速x/km·h－10 10 20刹车距离y/m0 5 20若刹车距离y/m与刹车时车速x/km·h－1可近似地看成二次函数关系，试求此函数关系式y＝1 20x2．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________。
沪科版九年级数学 21.4 二次函数的应用(学习、上课课件)
用配方法把函数表达式化为y＝a(x＋h)2＋k的形式求函
数的最值，或者针对函数表达式用顶点坐标公式求函数
的最值.
感悟新知
知1－练
例1 张大爷用32m 长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园一边 靠墙( 墙长为 15 m)， 平行于墙的一边开一扇宽度为 2 m的门( 如图 21.4-1 ①)．( 注： 门都用其他材料)
知1－练
解题秘方：利用二次函数的表达式，求出抛物线 上未知点的坐标 .
感悟新知
知1－练
解：当 y=0 时，
的函数表达式为 y=－16 (x－5) 2+6．
感悟新知
知1－练
(1)求雕塑 OA 的高度；
解题秘方：找出实际问题中的量与数学问题中的
量之间的联系；
解：
当
x=0
时，
y=
－
1 6
×(0
－
5)
2+6=
11 6
，
∴点
A
的坐标为(0，
161 m．
感悟新知
(2)求落水点 C， D 之间的距离；
知1－练
感悟新知
1-1. [ 模拟·合肥 ] 春回大地，万物复苏，又是一年花季 知1－练 到． 某花圃基地计划将如图所示的一块长为40 m， 宽 为20 m 的矩形空地划分成五块小矩形空地．其中一块 正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地 为种植区，分别种植 A， B， C三种花卉．活动区一边 与育苗区等宽，另一边长是10 m． A， B， C 三种花卉每平方米的产值 分别为 2 百元、 3 百元、 4 百元．
感悟新知
知1－练
(2) 设矩形菜园的面积为 S1m2， 则 S1 的最大值为多少？ 解：由题意得 S1= － 2x2+34x= － 2( x － 8.5) 2 ＋ 144.5(9.5 ≤ x<16)， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线 x=8.5. ∴当 x=9.5 时， S1 的值最大，最大值为 142.5．
沪科版九年级上册数学第21章 二次函数与反比例函数 用二次函数解决“抛物线”形问题
∵当大孔水面宽度为 20 米，即 x＝－10 时，
y＝－530×(－10)2＋32＝－92，∴－92＝－295(x－b)2， 解得 x1＝52 2＋b，x2＝－5 2 2＋b， ∴单个小孔的水面宽度为
5 2
2＋b－－52
2＋b＝5
2(米)．故选B.
【答案】B
7．【2019·合肥 50 中月考】如图所示的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12 m 时，桥洞顶部离水面 4 m，已知桥洞的拱形是抛物线， 以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐 标原点时的抛物线表达式是 y＝－19(x－6)2＋4，则选取点 B 为坐标原点时的抛物线表达式是___y_＝_－__19_(_x_＋__6_)2_＋__4__．
HK版九年级上
第21章 二次函数与反比例函数
21.4二次函数的应用 第2课时用二次函数解决“抛物线”
形问题
核心必知 1 见习题
提示：点击 进入习题
1C 2C 3 见习题 43 5 见习题
答案显示
6B 7 见习题 8 见习题 9 见习题
答案显示
在解决形状是抛物线(抛物线形状的拱桥、物体的运动路线等)的实际问题 时，通常需要建立适当的______________．为方便解决问题，通常以抛物 线的顶点为____________，以抛物线的对称轴为________建立平面直角坐 标系． 平面直角坐标系
由题意知 OC＝5 m．令 y＝0，得－210x2＋5＝0， 解得 x1＝10，x2＝－10，∴AB＝20 m. ∴地毯的总长度为 AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)． 30×1.5×20＝900(元)．答：购买地毯需要 900 元．
6．【2020·绵阳】三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全 相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当 水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水 面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )
沪科版数学九年级上册 21.4二次函数的应用-学案
二次函数的应用【学习目标】1．会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题。
2．经过面积、利润等最值问题的学习，学会分析问题，解决问题的方法，并总结和积累解题经验。
3．根据给出的函数解析式，应用二次函数的知识解决实际问题。
4．经历解决实际问题，再应用于实践，能够对问题的变化趋势进行分析。
根据函数图象确立函数关系式，解决实际问题。
5．熟练应用二次函数的知识解决实际问题。
6．通过对实际问题的分析，建立二次函数的模型，解决实际问题。
【学习重难点】1．利用二次函数求实际问题的最值。
2．二次函数的最值问题和二次函数模型的建立。
3．应用二次函数的知识解决实际问题。
【学时安排】3学时【第一学时】 【学习过程】一、预习导航（一）链接。
1．在二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）中，当a >0时，有最_____值，最值为__________；当a <0时，有最_____值，最值为__________。
2．二次函数y=-(x-12)²+8中，当x=_____时，函数有最_____值为__________。
（二）导读。
在21.1问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？二、合作探究问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可买出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为40元，如何定价才能使利润最大？1．问题中定价有几种可能？涨价与降价的结果一样吗？2．设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价__________元，每件利润为__________元，每星期少卖__________件，实际卖出__________件。
所以Y=__________。
（0<X<30）何时有最大利润，最大利润为多少元？3．设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为__________元，每件利润为__________元，每星期多卖__________件，实际卖出__________件。
时建立二次函数模型解决实际问题PPT课件
问题：如何建立直角坐标系？
y
解：如图建立直角坐 标系.
l
o
x
问题：解决本题的关键是什么？ 解：建立合适的直角坐标系.
解：如图建立直角坐标系.
y
根据题意可设该拱桥形成
的抛物线的解析式为
y=ax2+2.
∵该抛物线过(2,0),
l
x
o
x
∴0=4a+2，a= 1 2
y 1 x2 2. 2
解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0， 1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
y x 12 2.25
数学化
y ●B(1,2.25) A
(0,1.25)
●
D(-2.5,0) o
●x
C(2.5,0)
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式 为：y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
导入新课
回顾与思考 问题：解决生活中面积的实际问题时，你会用到什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
讲授新课
二次函数在建筑问题中的应用
问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题引导 （1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
沪科版-数学-九年级上册-21.4 二次函数的应用教案
21.4 二次函数的应用┃教学整体设计┃第1课时二次函数的应用（1）┃教学过程设计┃例2(教材第37页例2)如图1,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬索之间用垂直钢索连接.若两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图2,求这条抛物线对应的函数表达式；(2)计算距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长.教师引导学生(1)这个抛物线的顶点坐标是什么？对称轴是什么？你还能写出这个抛物线上哪几个点的坐标？(2)这个抛物线对应的函数表达式可设什么形式？(3)第(2)题中离两端主塔分别为100 m,50m的点的横坐标各是多少？(4)第(2)题转化为数学语言是什么？思考：如果本题不给出坐标系,你还有没有其他方法建立坐标系,从而解决问题？初步了解建立平面直角坐标系解决实际问题.三、运用新知,解决问题 1.教材第38页练习第1题.2.某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A 处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内,柱高为0.8 m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图1所示.根据设计图纸已知：如图2所示的平面直角坐标系中,水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数表达式是y ＝－x 2＋2x ＋45.(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ (2)如果不计其他因素,那么水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内？ 教师板演,纠错,巡视指导,讲评. 及时巩固所学知识.四、课堂小结,提炼观点1.通过学习本节,你有哪些收获？2.对本节课你还有什么疑惑？ 总结回顾学习的重点、难点内容,巩固所学知识.五、布置作业,巩固提升 1.教材第42页习题21.4第1、2题. 2.(选做题)教材第42页习题21.4第5题. 体现分层,加深认识,深化提高.┃教学小结┃【板书设计】二次函数的应用(1)例1 S ＝x (20－x ),配方,得S ＝－(x －10)2＋100.因为a ＝－1＜0,所以当x ＝10时,S 取得最大值,最大值为100.21.4二次函数的应用┃教学整体设计┃第2课时二次函数的应用（2）┃教学过程设计┃┃教学小结┃。
沪科版九年级数学上册21.4.2利用二次函数解决问题课件
限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，
它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式
为 y n2 14n 24 ，则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月
B．2月至12月
C．1月
D．1月、2月和12月
随堂训练
2．某旅行社有100张床位，每张床位每晚收费10元时，客床可全部租出，若 每张床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每张床每晚收费再提 高2元，则再减少10张床位的租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为 了投资少而获利大，每张床每晚应提高________元．
问题5：帮小华算一算该如何定价才能使一星期所获利润最大? 最大利润是多少?
知识讲解
问题6： 综合以上两种调价方法请同学分析 怎样定价可使小华家的服装店获利最大。
解析：6125 6250 当x 65时，即定价为 65元时，所获利润最大。
随堂训练
1．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求
c＝0， 则有4ac4－a b2＝23，
解得ab＝＝－1302，65，或ab＝＝－－322，，
4a＋2b＋c＝－10. c＝0.
c＝0.
∵抛物线的对称轴在 y 轴右侧，∴－2ba>0，即 a，b 异号，
又开口向下，则 a<0，b>0，∴a＝－32，b＝－2，c＝0 不合题 意，舍去．
∴这条抛物线的函数表达式为 y＝－265x2＋130x. (2)此次跳水会出现失误． ∵当 x＝335－2＝85时，y＝－265×(85)2＋130×85＝－136.
21.4 二次函数的应用
第4课时
利用二次函数解决经济最大利润和模拟数据问题
学习目标