中小学优质课件指数函数应用课件.ppt

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指数函数ppt课件

新知探究
【针对训练】比较下列各值的大小：
4
1 3
2
，23
，
−2
3
，
3
1
2.
3
3
4
【解析】先根据幂的特征，将这4个数分类：
(1)负数：
−2
3
3
；(2)大于1的数：
4 3
1 3
2
，23
；(3)大于0且小于1的数：
3 4
1
2.
在(2)中，
4 3
1 3
1
< 23
2
< 23(也可在同一平面直角坐标系中，
分别作出y =
【方法指导】(1)根据偶次根式被开方数非负以及指数函数的单调性可解得原函数的定义域；
(2)根据偶次根式被开方数非负、分母不为零以及指数函数的单调性可解得原函数的定义域.
【解析】(1)由题意可得2x − 1 ≥ 0，即2x ≥ 20，又指数函数f(x) = 2x单调递增，得x ≥ 0.
所以函数y = 2x − 1的定义域为[0，+∞).
新知探究
【探究小结】比较幂的大小的方法
(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较. (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小. (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同和另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较. (4)当底数含参数时，要按底数a > 1和0 < a < 1两种情况分类讨论.
【解析】令x − 4 = 0得x = 4，y = 5.所以f(4) = 5，所以函数f(x)恒过定点(4，5).
4.求下列函数的定义域和值域：

第三章第五节指数函数课件(共53张PPT)

解析：函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0，若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为

指数函数的图像及性质的应用PPT课件

9
比较函数
8
y 2x
7
6
y 2x 1
5
y 2x 1
4
3
的图象关系.
2
1
-4 -2 O
2
4
x15
小结：
f(x)的图象向左平移a个单位得到f(x＋a)的图象; 向右平移a个单位得到f(x－a)的图象; 向上平移a个单位得到f(x)＋a的图象; 向下平移a个单位得到f(x)－a的图象.
16
二对称问题
例2 说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的
图象的关系,并画出它们的示意图.
(1) y 2x (2) y 2x
y
（x,y)和(-xy,-y)关
于原点对称！
(3) y 2x
y
o
x
（x,y)和(-x,y)关于y轴对称！
o
x
o
x
（x,y)和(x,-y)关于 x轴对称！
17
(1) y 2 x
1
函数y 2 x4的值域为{y | y 0,且y 1}.
33
求函数 y＝41x＋21x＋1 的值域．【错解】令 t＝21x，则原函数可化为 y＝t2 ＋t＋1＝t＋212＋34≥34，当 t＝－12时，ymin＝34，即函数的值域是[34，＋∞)．【错因】原函数的自变量 x 的取值范围是 R，换元后 t＝21x>0，而不是 t∈R，错解中，把 t 的取值范围错当成了 R.
注意：若y=f(u)定义域为A，u=g(x)值域为
B，则必须满足B A
28
观察y (1)x2 2x , x 1 5
由u x2 2x与y (1)u 复合而成。 5
u x2 - 2x在（- ，1]上单调递减， y (1)u 在定义域内单调递减，

4.2.1指数函数及其性质(优质课件)

（x,y)和(x,-y)关于x轴对称！
(1) y 2 x (2) y 2x (3) y 2 x
y y=2x
y y=2x
y y=2x
(0,1)
o
x
(0,1)
o
x
(0,1)
o
x
(1) y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴对称； (2) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴对称； (3) y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.
换元令 t＝ax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数的单调性，构建方程获解．解令 t＝ax (a>0 且 a≠1)，则原函数化为 y＝(t＋1)2－2 (t>0)． ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a，此时 f(t)在a，1a上为增函数．
所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14. 所以1a＋12＝16，所以 a＝－15或 a＝13. 又因为 a>0，所以 a＝13. ②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a，此时 f(t)在1a，a上是增函数．
【3】方程 2x x2y 的解有___3__个.
o
x
【点评】当判断方程 f (x) = g (x)的实根个数时，
我们可转化为判断函数y = f (x) 与函数 y = g (x)的
图像的交点的个数．
【4】函数y＝ax+2015＋2015(a＞0,且a≠1)的图象恒过定点___________.
2022年11月16日星期三
课前自助餐: 1. 将下列各数值按从小到大的顺序排列
2: 求下列函数的定义域
(1) y 22x1 ,

2024《指数函数》课堂PPT

《指数函数》课堂PPTcontents •指数函数基本概念•指数函数运算规则与性质•指数函数与对数函数关系•指数函数增长模型分析•指数函数在经济学中应用•指数函数在生物学和物理学中应用目录01指数函数基本概念指数函数定义及性质定义指数函数是数学中一类重要的函数，一般形式为y=a^x（a>0且a≠1），其中x为自变量，y为因变量。

性质指数函数具有一些重要的性质，如正值性（函数值总是正的）、单调性（当a>1时单调递增，当0<a<1时单调递减）、过定点（1,0）等。

运算规则指数函数遵循一些基本的运算规则，如乘法规则、除法规则、乘方规则等。

指数函数的图像是一条光滑的曲线，其形状取决于底数a 的大小。

当a>1时，图像向上凸起；当0<a<1时，图像向下凹陷。

图像指数函数的图像具有一些明显的特征，如渐近线（当x→-∞时，y→0；当x→+∞时，y→+∞或0）、定点等。

特征通过对指数函数进行平移、伸缩等变换，可以得到不同形状和特征的图像。

变换指数函数图像与特征指数函数在实际问题中应用指数函数在生物学中有广泛应用，如描述细菌繁殖、放射性衰变等现象。

在经济学中，指数函数常用于描述复利、折旧等经济现象。

指数函数在物理学中也有应用，如描述电磁波衰减、电容放电等现象。

此外，指数函数还在计算机科学、统计学等其他领域中有广泛应用。

生物学经济学物理学其他领域02指数函数运算规则与性质包括同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等基本法则。

指数法则基本内容推导过程详解示例与练习通过具体的数学推导，展示指数法则的由来和应用，加深学生对法则的理解和记忆。

结合具体例题，讲解指数法则在实际问题中的应用，并引导学生进行针对性练习。

030201指数法则及推导过程包括指数运算的封闭性、结合律、分配律等基本性质。

指数运算基本性质通过数学证明和实例分析，帮助学生理解和掌握指数运算的基本性质。

性质证明与理解结合实际问题，展示指数运算性质在解决数学问题中的应用。

指数函数的图象及性质完整课件PPT

【拓展提升】 1.处理指数函数图象问题的两个要点 (1)牢记指数函数y=ax的图象恒过定点(0,1)，分布在第一和第二象限. (2)明确影响指数函数图象特征的关键是底数.
2.底数变化对指数函数图象形状的影响指数函数y=ax的图象如图所示，由指数函数y=ax的图象与直线x=1相交于点(1，a)可知： (1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； (2)在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 如图中的底数的大小关系为 0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.
22
答案：3 或 1
22
【类题试解】已知a>0，且a≠1，若函数f(x)=2ax-4在区间
［-1，2］上的最大值为10，则a=______.
【解析】(1)若a>1，则函数y=ax在区间［-1，2］上是递增的，
当x=2时，f(x)取得最大值f(2)=2a2-4=10，
即a2=7,又a>1，∴a= 7.
【解析】＞1时，函数y=ax的图象过点(0,1)，分布在第一、二象限，且从左到右是上升的. 直线y=x+a过第一、二、三象限，与y轴的交点为(0,a),在点(0,1)的上方. A，B，C，D四项均不符合此要求.当0＜a＜1时，函数y=ax的图象过点 (0,1)，分布在第一、二象限，且从左到右是下降的. 直线 y=x+a过第一、二、三象限, 与y轴的交点为(0,a)，在点(0,1) 和点(0,0)项符合此要求.
=af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)值域 ①换元，令t=f(x)； ②求t=f(x)的定义域x∈D； ③求t=f(x)的值域t∈M； ④利用y=at的单调性求y=at，t∈M的值域.

指数函数优秀课件

•指数函数基本概念•指数函数运算规则•指数函数在生活中的应用•指数函数与对数函数关系目•指数方程和不等式求解方法•指数函数在高级数学中的应用录指数函数的定义底数a的取值范围函数的单调性函数的值域函数的周期性030201指数函数的图像是一条从y轴上的点(0,1)出发的曲线。

当a>1时，曲线向上增长；当0<a<1时，曲线向下减少。

指数函数的图像关于y轴对称，即对于任意x值，f(-x)=f(x)。

指数函数的图像具有渐近线y=0，即当x趋近于负无穷大时，y趋近于0。

同时，当x趋近于正无穷大时，y趋近于正无穷大（a>1）或0（0<a<1）。

指数函数图像与特征同底数指数法则乘法法则除法法则幂的乘方法则不同底数指数法则乘法公式除法公式指数运算优先级01020304括号指数乘除加减复利计算复利公式A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A表示未来值，P表示本金，r表示年利率，n表示每年计息次数，t表示时间（年）。

该公式用于计算投资或存款在定期计息的情况下的未来值。

连续复利当计息次数趋于无穷大时，复利公式变为A = Pe^(rt)，其中e是自然对数的底数，约等于2.71828。

连续复利更精确地描述了资金在连续时间内的增长情况。

放射性物质衰变衰变公式半衰期细菌繁殖模型细菌增长公式N = N₀e^(kt)，其中N表示经过时间t后的细菌数量，N₀表示初始数量，k表示细菌增长率，t表示时间。

该公式用于描述在理想条件下细菌数量的指数增长。

细菌繁殖周期细菌从一个分裂成两个所需的时间称为繁殖周期。

在理想条件下，细菌数量每经过一个繁殖周期就会翻倍。

因此，细菌数量的增长与繁殖周期和经过的时间密切相关。

对数函数的定义：对于任意正实数a（a≠1），如果N （N>0）的a次幂等于X，那么X叫做以a 为底N的对数，记作X=logaN。

其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

对数函数的性质底数大于1时，函数是增函数；底数小于1时，函数是减函数。

《指数函数》PPT课件

商的乘方
商的乘方等于乘方的商。如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指数的增大而趋于无穷大；当底数在0到1之间时，指数函数随着指数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的，即对于任意两个相邻的点，函数值之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的代谢过程，用于计算药物浓度随

指数函数的概念图象及性质PPT课件

栏目导引
第4章指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1，指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函数．故(1)(3)(4)为指数函数．
栏目导引
第4章指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3； (3)0.80.6，0.60.8.
栏目导引
第4章指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)＝1.8x. 因为 a＝1.8＞1，所以 f(x)＝1.8x 在 R 上是增函数．因为－π＜－3，所以 1.8－π＜1.8－3. (2)因为 y＝11..79x在 R 上是减函数，所以11..79－－00..33＝11..79－0.3＞11..790＝1. 又因为 1.7－0.3 与 1.9－0.3 都大于 0，所以 1.7－0.3＞1.9－0.3.
栏目导引
第4章指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y＝0.8x 在 R 上单调递减，而 0.6＜0.8，所以 0.80.6＞0.80.8. 又因为00..6800..88＝00..860.8＞00..680＝1，且 0.60.8＞0， 0．80.8>0，所以 0.80.8＞0.60.8.所以 0.80.6＞0.60.8.
x＝0 时，__y_＝__1___；质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时，_0_<__y_<_1__； x＝0 时，_y_＝__1____；

指数函数6省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

你能从以上两个解析式中抽象出一种更具有一般性旳函数模型吗？
提醒：用字母a来替代2与0.94
得到：y=ax，这是一类主要旳函数模型，而且有广泛旳用途，它能够处理好多生活中旳实际问题，这就是我们下面所要研究旳一类主要函数模型。
一、指数函数旳概念：
一般地，函数y=ax (a>0，a≠1) 叫做指数函数，其中x是自变量，函数旳定义域是R。
( a>1)
（1）指数函数Y= ax 过点（1，1.7) , 说出a旳范围并指出它旳奇偶性和单调性。
1 01
练:指数函数y=bx 过点(1, 0.3),说出b旳范围并指出它旳奇偶性和单调性。
答案： 0＜ b＜1，是非奇非偶函数，x在（-∞，+∞）上Y= b x是减函数
（2）指数函数Y=a x ,Y=b x ,Y=c x ,Y=m x旳图象如图,试判断底数a、 b、c、m旳大小。
解:
y
2
x3
增函数且
1
1
32
y 1 x 是减函数且 2 1
2
33
2
2
1 3 1 3 3 2
2
1
1
3
1 3
2 2
第17张
4。已知
( 4)a
(
4
b
)
，比较a.
7
7
b旳大小
5、已知y=f（x）是指数函数，且f（2）=4，求函数y=f（x）旳解析式。
6、某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年它剩余旳质量约是原来旳84%，画出这种物质旳剩余量随时间变化旳图象，并从图象上求出经过多少年，剩余量是原来旳二分之一。（成果保存1位有效数字）
2、
定义

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1
m
(a
0, m, n N *且n
1)
an
（3)0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义。
例1、用分数指数幂的形式表示下列各式:
（式中a>0）
(1)a2 a (2)a3 3 a2 (3) a a
解：
(1)a2
a
1
1
5
=
a2 a2
2
a 2
a2
(2)a3 3 a2
=
2
2
指数
（二）
1）整数指数幂是如何定义的？有何规定？
a n = a×a×a× ……×a ( n ∈ N * ) n 个a
a0=1 (a≠0)
an
1 an
(a
0, n
N*)
2）整数指数幂有那些运算性质？ ( m、n ∈Z ) （1）a m ×a n = a m + n （2）( a m ) n = a m × n
（3）( a b ) n = a m b n
a m ÷a n = a m ×b －n = a m－n
a b
n
=
(
a
×b
－1
)
n
=
a
n
×
b
－n
an bn
3）根式又是如何定义的？有那些规定？如果一个数的平方等于 a ，则这个数叫做 a 的平方根；如果一个数的立方等于 a ，则这个数叫做 a 的立方根；如果一个数的 n 次方等于 a ，则这个数叫做 a 的 n 次方根；
5
4 c5 c 4 (c 0)
a 0, k m (n 1,且n N*),那么 n
（ak )n
(a
m n
)
n
am n
n
am
你能得到什么结论？
二，分数指数幂的定义
规定正数的正分数指数幂
m
(1)a n
n
am (a
0, m.n N *且n
1)
3
35
5
33
,16
5 3
3
16 5
(
2)
a
m n
你发现了什么？
a a 1。 5
10 a2
10 5
a a a 2。3
12
4
12 3
再看下面几个变形：
(25 )2 210
210 25 ；5 10
10
210 2 2 。
2
12
15
3 312 3 3 ， 3 315 3 3 ，
1
a a 2 (a 0)
2
3 b 2 b 3 (b 0),能否成立
ar as ars (a 0, r, s Q) (ar )s ars (a 0, r, s Q) (ab)r arbr (a 0, b 0, r Q)
例3
求值：8
2 3
、100
1 2
、
(
1 4
)
3、
(16
)
3 4
81
.
2
(1)8 3
2
(23 ) 3
3 2
2 3
22
=4
1
(2)100 2 =
3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式为根式的，再将结果化为根式。
11
a3 a3
3
a 3
a3
11
31
3
(3) a a = (a a 2 ) 2 (a 2 ) 2 a 4
题型一
将根式转化分数指数幂的形式。（a>0,b>0)
1, a a3 a
a5 6
2, 3 ( 3a3 )4 27b3
3
8 3
a
4b
4
a b 3, 4
(a b)3
3
(a b)4
4.
9
a 2 4 b3
根指数
na
被开方数
a＞0
根式
4） n an 的运算结果如何？
当 n 为奇数时，n an = a ； ( a ∈ R )
a 当 n 为偶数时， n an = | a | a
a0 a0
n 0 0
(n a )n a
a 一，引入：
1， 10 的5次方根是________
2, a12的3次方根是___________
3
(1),10000 4
1
(
2),
(125
)
2 3
9
(3),
(
36
)
3 2
216
1000
27
25
49 343
已知10 a 2,10b 3,10 c 5,求103a2bc的值。
40 9
【课堂练习】
2.用分数指数幂表示下列各式:
（1）
5
(2) 4
=
4
25
1
(2)
=
2
39 3 3
(3) 5
31= 16
2
75
4
2 5
【课堂练习】
3、用分数指数幂表示下列各式:
3
⑴ 4 a3 = a 4
x 1
（2） 7 x 3 =
3 7
(x>0)
ab
1
3
(3)
4 (a b)3
=
(a b) 2 (a b) 4
小结
注意三点：
1、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何差异，注意不能随意约分）.
2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指数幂的运算性质。
9 4
3 8
小结：1，当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3、要熟悉运算性质。
【课堂练习】
1.课本P74练习：第1题:
1
1）a 5 5 a
3
3）a 5
1
1
3
a5
5 a3
1，2
3
2） a 4 4 a 3
2
4） a 3
1
2
a3
1 3 a2
【课堂练习】
1
1
1
1
100 2
1
(10 2 ) 2
10
(3)(
1 4
)
=3
(2-2)-3
=
2(-2)(-3)
=
26
=
64
(4)(16 81
)
3 4
=
(
2
)
4(
3 4
)
( 2)3
27
3
3
8
题型二
a x 分数指数幂
m n 求值，先把a写成
n
然后原式便化为
m
m
a n ( x n ) n x m （即：关键先求a的n次方根）
第2题:
2
3
（1） 3 x2 x 3 （2） 4 (a b)3 (a b) 4 (a+b>0)
2
（3）3 (m n)2 (m n) 3（4） (m n)4 (m n)2
（5）
p6q5
5
p3q 2
(p
0)（6）
m3
m3
1
m2
5
m2
m
分数指数幂的运算性质：
整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进而推广到有理数范围：