第八-九讲 空间几何体的结构

第八讲空间几何体的结构、三视图、直观图二、要点分析（一）空间几何体的结构1、棱柱的结构特征：有两个面互相，其余的各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的多面体叫棱柱。

棱柱的两个底面是全等的多边形，其对应边互相平行，侧面都是平行四边形。

2、棱锥的结构特征：有一个面是，其余各面都是有一个公共顶点的，由这些面所围成的多面体叫棱锥。

3、棱台的结构特征：用一个平行于底面的平面去截，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫棱台。

4、圆柱的结构特征：以的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱。

圆柱的轴通过上下底面的圆心，并且垂直于底面；母线都相等，并且都等于圆柱的高；轴截面都是。

5、圆锥的结构特征：以的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的旋转体叫圆锥。

圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面；母线都相等；轴截面是。

6、圆台的结构特征：用平行于底面的平面去截，底面与截面之间的部分叫做圆台。

圆台的轴过两底面圆的圆心，并且垂直于底面：母线都相等；轴截面是。

7、球的结构特征：以的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。

（二）空间几何体的三视图1、三视图的概念光线自物体的前面向后投射所得正投影称为，自上向下的正投影称为，自左向右的称为，用这三种视图刻画空间物体的结构，三种视图合称为。

2、三视图的画法规则（1）一般地，三种视图这样安排位置，正视图、侧视图、分别在左右两边，俯视图画在正视图的下边，这种顺序放置可以检查画三视图的注意事项（2）正视图与侧视图的高度保持平齐（简称高平齐）；正视图与俯视图的长应对正（简称长对正），俯视图与侧视图的宽度应相等（简称宽相等）。

（3）在画三视图时，被遮挡的线应用，不被遮挡的线应用。

（三）空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法是用斜投影作图中的一种最常用的画法，斜二测画法是指投影线与投影面斜交，有两轴方向（通常是水平轴与铅直轴）的线段长度不变，另一轴（通常是与水平轴斜交的轴）上的线段长度改变，通常取原来的一半，具体规则如下：1、在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠x Oz= ，且∠y O z= 。

2、画直观图时把它们画成对立的x'轴，y'轴，z'轴，它们相交于O'，并使∠x'O'y'= （或），∠x'O'z'= ，x'轴和y'轴所确定的平面表示水平平面。

3、已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴、z'轴的线段。

4、已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度；平行于y轴的线段，长度变为原来的。

【例题分析】例1、根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称。

（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其余各面都是矩形；（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形；（3）一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体；变式1、以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？例2、下列说法不正确的是（）A．正方体和长方体都是四棱柱B．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱C．棱柱的侧棱都相等D．棱柱的侧面都是四边形变式2、下面说法中，正确的是（）A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形D．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体是棱锥例3、（10广州一模）如图，点O为正方体ABCD—A'B'C'D'的中心，点E为面B'BCC'的中心，点F为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF在该正方体的面上的正投影可能是（填出所有可能的图序号）AB CD A 1 B 1C 1D 1E GF 变式3、如右图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别系A A 1、D 1 C 1的中点，G 是正方形BCC 1 B 1 的中心，则空间四边形AEFG 在该正方体各面上的投影不可能是（ ）ABCD例4、画出如下所示物体的三视图。

变式4、（10广东）如图，△ABC 为正三角形，AA'//BB'//CC'，CC'⊥平面ABC 且3 AA'=32BB'= CC'=AB ，则多面体ABC-A'B'C'的正视图是（ ）例5、如右图所示是由几个小立方块所搭，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数。

请画出这个几何体的正视图和侧视图。

变式5、据下面的三视图，画出空间图形的直观图。

（3）ABCA B D C C BA' B'C'正视图 侧视图 俯视图俯视图侧视图 （1）正视图侧视图俯视图（2） 侧视图俯视图正视图 （3）例6、根据几何体的三视图画出对应的几何体。

变式6、（11全国）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为（ ）（正视图） （俯视图）例7、已知一平面图形的直观图是底角等于45°，上底和腰均为1的等腰梯形，（如右图）求原图形的面积。

【巩固练习】1、将图1所示的三角形直线 旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（ ）2、如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1，2，3，4，5，6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字1，2，3对面的数字是（ ）A ．4，5，6B ．6，4，5C ．5，4，6D ．5，6，4俯视图正视图 侧视图 （4）A B CD3、有下列命题（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的。

其中正确的是（ ） A ．（1）（2） B ．（2）（3） C ．（1）（3） D ．（2）（4）4、下列命题中错误的是（ ）A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所过顶点和截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形5、由5个小立方块所塔成的几何体，其三视图分别为 （正视图）、 （侧视图）、（俯视图），则该几何体是（ ）6、如图，如下放置的四个几何体中，其正视图为矩形的为（ ）A B C D7、如图，如下放置的几何体中，其俯视图不是圆的是（ ）A B C D8、如图，如下放置的几何体（由完全相同的立方体拼成）中，其正视图和俯视图完全一样的是（ ）A B C D9、如图所示，用斜二测画法作△ABC 水平放置的直观图形得△A 1B 1C 1，其中A 1B 1= B 1C 1，A 1D 1是B 1C 1边上的中线，由图形可知在△ABC 中，下列四结论中正确的是（ ）A ．AB=BC=ACB ．AD ⊥BC C ．AC ＞AD ＞AB ＞BC D ．AC ＞AD=AB=BC10、如下图，已知正三角形的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A'B'C'的面积为（ ）A ．243a B ．283a C ．286a D ．2166a11、添线补全下列三视图12、试作出下面几何体的三视图第九讲 空间几何体的表面积与体积一、知识要点（一）柱体、锥体、台体的表面积 1、多面体的表面积可以把多面体展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积。

2、圆柱、圆台、圆锥的表面积其中r′、r 、 分别为圆台的上底面半径，下底面半径、母线长。

（二）柱体、锥体、台体的体积其中s 、s′是底面积，h 是高。

（三）球的表面积、体积S 球=4πR 2V 球=43πR 3其中R 为球的半径二、学法指导1、求几何体的表面积：求柱、锥、台体的表面积就是求它们的侧面积和底面积，对于圆柱、圆锥、圆台，已知上、下底面半径和母线长可以用表面积公式直接求出；对于长方形、直棱柱、正棱柱、正棱台借助展开图求表面积。

2、求柱、锥、台体的体积时，根据体积公式，需要具备已知底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半径求出，但当高不知道时，一般要作出高后转化平面几何知识求出高。

在进行体积计算时，注意应用“等积变换”、“分割求和”、“接补求差”等解题思路。

三、例题分析例1、圆柱的轴截面是边长为5的正方形ABCD ，从A 到C 圆柱侧面上的最短距离为 。

变式1、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中交于顶点A 的三条棱长AD=3，AA 1=4，AB=5，则从A 点沿长方体表面到C 点的最短距离为（ ） A ． B C ．D ．例2、若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是（ ）A ．3︰2B ．2︰1C ．4︰3D ．5︰3变式2、圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为 。

例3、（10湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm 。

变式3、将一钢球放入底面半径为4cm 的圆柱形玻璃器中，水面上升9cm ，则钢球的半径为 。

例4、△ABC 的三边之长分别是AC=3，BC=4，AB=5，现以AB 所在的直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积。

变式4、（10浙江）若某几何体的三视图（单位：cm ）如下面所示，则此几何体的体积是 cm 3。

例5、圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等。

求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比。

例6、（11广东）如图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．12183四、巩固练习1、（11上海）若圆锥的侧面积为2π，底面半径为π，则该圆锥的体积为 。

2、如图在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=41A 1B 1，则多面体P-BCC 1B 1的体积为（ ） A ．38B ．316 C ．4 D ．163、将边长为a 的正方形卷成一个圆柱的侧面，那么所成圆柱的体积是（ ）俯视图 侧视图 俯视图图1图2图3 A ．π43a B ．π23a C ．π3a D ．π33a4、若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（ ）A ．2倍B ．4倍C ．2倍D ．22倍5、若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．21 6、等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（ ）A ．S 球＞S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球＜S 正方体D ．大小关系不确定 7、（09广东）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示。